Sifat asimptotik bagi ujian simetri dan persetujuan berasaskan pencirian. Kriteria optimum tanpa gejala berdasarkan bilangan sel dalam reka letak umum

Objek kajian dan kaitan topik. Dalam teori analisis statistik jujukan diskret, tempat khas diduduki oleh ujian kesesuaian untuk menguji hipotesis nol yang mungkin kompleks, iaitu untuk jujukan rawak seperti itu.

Xi e hi,i = 1, ,n, dengan hi = (0,1,. ,M), untuk sebarang i = 1,.,n, dan untuk sebarang k £ 1m kebarangkalian kejadian

Xi = k) tidak bergantung pada r Ini bermakna urutan itu dalam beberapa erti pegun.

Dalam beberapa masalah yang digunakan, urutan (Xr-)™ = 1 dianggap sebagai urutan warna bola apabila memilih tanpa kembali sehingga keletihan dari guci yang mengandungi n - 1 > 0 bola warna k, k € 1m - Kami akan menandakan set pilihan tersebut O(n0 - 1, .,pm - 1). Biarkan terdapat sejumlah n - 1 bola dalam urn, m k=0

Mari kita nyatakan dengan r(k) (fc) Jk) rw - Г! , . . . , urutan bilangan bola warna A; dalam sampel. Pertimbangkan urutan di mana k)

Kk-p-GPk1.

Urutan h^ ditakrifkan menggunakan jarak antara lokasi bola bersebelahan berwarna k sedemikian rupa sehingga

Pk Kf = ms 1>=1

Set jujukan h(fc) untuk semua k £ 1m secara unik menentukan jujukan hk untuk k berbeza bergantung antara satu sama lain. Khususnya, mana-mana daripada mereka ditentukan secara unik oleh semua yang lain. Jika kardinaliti set 1m ialah 2, maka jujukan warna bola ditentukan secara unik oleh urutan jarak antara tempat bola jiran dengan warna tetap yang sama. Biarkan ada N - 1 bola warna 0 dalam bekas yang mengandungi n - 1 bola dua warna yang berbeza Kita boleh mewujudkan korespondensi satu dengan satu antara set ffl(N- l,n - N) dan set 9. \n,N vektor h(n, N ) = (hi,., hjf) dengan komponen integer positif seperti K = P. (0.1)

Set 9П)дг sepadan dengan set semua partition berbeza bagi integer positif n ke N sebutan tertib.

Setelah menentukan taburan kebarangkalian tertentu pada set vektor £Hn,dr, kita memperoleh taburan kebarangkalian yang sepadan pada set Wl(N - 1,n - N). Set ialah subset set vektor dengan komponen integer bukan negatif yang memuaskan (0.1). Pengagihan borang akan dianggap sebagai pengagihan kebarangkalian pada set vektor dalam kerja disertasi

P(%,N) = (n,.,rN)) = P(£„ = ru,v = l,.,N\jr^ = n), (0.2) di mana. ,£dr - pembolehubah rawak integer bukan negatif bebas.

Taburan bentuk (0.2) dalam /24/ dipanggil skema umum untuk meletakkan n zarah dalam sel N. Khususnya, jika pembolehubah rawak £b. ,£lg dalam (0.2) diedarkan mengikut hukum Poisson dengan parameter Ai,., Ldr masing-masing, maka vektor h(n,N) mempunyai taburan polinomial dengan kebarangkalian hasil.

Ri = . , L" ,V = \,.,N.

L\ + . . . + AN

Jika pembolehubah rawak £ь >&v dalam (0-2) diedarkan secara identik mengikut hukum geometri di mana p ialah sebarang dalam selang 0< р < 1, то, как отмечено в /25/,/26/, получающаяся обобщенная схема размещения соответствует равномерному распределению на множестве В силу взаимнооднозначного соответствия между множеством dft(N - 1 ,п - N) и множеством tRn,N получаем равномерное распределение на множестве выборов без возвращения. При этом, вектору расстояний между местами шаров одного цвета взаимно однозначно соответствует вектор частот в обобщенной схеме размещения, и, соответственно, числу расстояний длины г - число ячеек, содержащих ровно г частиц. Для проверки по единственной последовательности гипотезы о том, что она получена как результат выбора без возвращения, и каждая такая выборка имеет одну и ту же вероятность можно проверить гипотезу о том, что вектор расстояний между местами шаров цвета 0 распределен как вектор частот в соответствующей обобщенной схеме размещения п частиц по N ячейкам.

Seperti yang dinyatakan dalam /14/, /38/, tempat khas dalam menguji hipotesis tentang taburan vektor frekuensi h(n, N) = (hi,., /gdr) dalam skema umum untuk meletakkan n zarah dalam sel N diduduki mengikut kriteria berdasarkan berdasarkan statistik bentuk 1 m(N -l,n-N)\ N

LN(h(n,N))=Zfv(hv)

Фн = Ф(-Т7, flQ Hai II-

0.4) dengan fu, v = 1,2,. dan φ - beberapa fungsi bernilai sebenar, N

Encik = E = r), r = 0.1,. 1/=1

Kuantiti dalam /27/ dipanggil bilangan sel yang mengandungi tepat g zarah.

Statistik dalam bentuk (0.3) dalam /30/ dipanggil statistik boleh diasingkan (boleh diasingkan secara tambahan). Jika fungsi /„ dalam (0.3) tidak bergantung pada u, maka statistik tersebut dipanggil dalam /31/ statistik boleh dipisahkan simetri.

Untuk mana-mana r statistik /xr ialah statistik boleh dipisahkan simetri. Daripada kesamarataan

E DM = E DFg (0.5) ia berikutan bahawa kelas statistik boleh dipisahkan simetri bagi hv bertepatan dengan kelas fungsi linear cemara. Selain itu, kelas fungsi bentuk (0.4) adalah lebih luas daripada kelas statistik boleh dipisahkan simetri.

Tetapi = (#o(n, N)) ialah jujukan hipotesis nol mudah bahawa taburan vektor h(n, N) ialah (0.2), dengan pembolehubah rawak ialah,. dalam (0.2) diagihkan secara sama dan k) = pk,k = 0,1,2,., parameter n, N berubah di kawasan tengah.

Pertimbangkan beberapa P £ (0,1) dan urutan, secara amnya, alternatif yang kompleks

H = (H(n, N)) yang wujud - nombor maksimum yang, bagi mana-mana hipotesis mudah H\ € H(n, N), ketaksamaan kekal

РШ > an,N(P)) > Р

Kami akan menolak hipotesis Hq(ti,N) jika fm > asm((3). Jika ada had

Шп ~1пР(0н > an,N(P))=u(p,Н), di mana kebarangkalian bagi setiap N dikira di bawah hipotesis Нк(п, N), maka nilai ^(/З, Н) ialah dinamakan dalam /38/ indeks bagi kriteria φ pada titik (j3, H). Had terakhir mungkin, secara amnya, tidak wujud. Oleh itu, dalam kerja disertasi, sebagai tambahan kepada indeks kriteria, nilai dipertimbangkan

Ish (~1pP(fm > al(/?)))

JV->oo N-ooo min, masing-masing, had bawah dan atas jujukan (odg) untuk N -> oo,

Jika indeks kriteria wujud, maka subskrip kriteria itu bertepatan dengannya. Indeks yang lebih rendah bagi kriteria sentiasa wujud. Semakin tinggi nilai indeks kriteria (subskrip kriteria), lebih baik kriteria statistik dalam erti kata yang dipertimbangkan. Dalam /38/, masalah membina kriteria good-of-fit untuk susun atur umum dengan nilai indeks kriteria tertinggi dalam kelas kriteria yang menolak hipotesis Ho(n,N) pada /MO Ml Mt MS iV" iV """"" ~yv" " telah diselesaikan ^ "di mana m > 0 ialah beberapa nombor tetap, jujukan tepi malar dipilih berdasarkan nilai kuasa kriteria yang diberikan untuk jujukan alternatif, ft ialah nyata fungsi m + 1 argumen.

Indeks kriteria ditentukan oleh kebarangkalian penyelewengan yang besar. Seperti yang ditunjukkan dalam /38/, asimtotik kasar (sehingga kesetaraan logaritma) bagi kebarangkalian sisihan besar statistik boleh dipisahkan apabila keadaan Cramer berpuas hati untuk pembolehubah rawak /(ξ) ditentukan oleh Kull-Bak-Leibler- yang sepadan. Jarak maklumat Sanov (pembolehubah rawak rj memenuhi syarat Cramer, jika untuk beberapa R > 0 fungsi penjanaan momen Metr] adalah terhingga dalam selang \t\< Н /28/).

Persoalan tentang kebarangkalian penyimpangan besar statistik daripada bilangan cemara yang tidak terhad, serta statistik boleh dipisahkan sewenang-wenangnya yang tidak memenuhi syarat Cramer, kekal terbuka. Ini tidak membenarkan kami akhirnya menyelesaikan masalah membina kriteria untuk menguji hipotesis dalam skema penempatan umum dengan kadar tertinggi cenderung kepada sifar kebarangkalian ralat jenis pertama dengan alternatif yang tidak menghampiri dalam kelas kriteria berdasarkan statistik borang (0.4). Perkaitan penyelidikan disertasi ditentukan oleh keperluan untuk menyelesaikan penyelesaian kepada masalah yang ditentukan.

Tujuan kerja disertasi adalah untuk membina kriteria good-of-fit dengan nilai indeks kriteria tertinggi (subskrip kriteria) untuk menguji hipotesis dalam skema pemilihan tanpa pulangan dalam kelas kriteria yang menolak hipotesis U(n). , N) untuk $.<>,■ ■)><*. (0-7) где ф - функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области.

Selaras dengan tujuan kajian, tugas-tugas berikut telah ditetapkan:

Menyiasat sifat entropi dan jarak maklumat Kull-Bak - Leibler - Sanov untuk taburan diskret dengan bilangan hasil yang boleh dikira;

Menyiasat kebarangkalian sisihan besar statistik dalam bentuk (0.4);

Menyiasat kebarangkalian sisihan besar bagi statistik boleh dipisahkan simetri (0.3) yang tidak memenuhi syarat Cramer;

Cari statistik supaya kriteria kesesuaian yang dibina berdasarkannya untuk menguji hipotesis dalam susun atur umum mempunyai nilai indeks tertinggi dalam kelas kriteria bentuk (0.7).

Kebaharuan saintifik:

Nilai saintifik dan praktikal. Kerja ini menyelesaikan beberapa soalan tentang kelakuan kebarangkalian sisihan besar dalam skema penempatan umum. Keputusan yang diperolehi boleh digunakan dalam proses pendidikan dalam pengkhususan statistik matematik dan teori maklumat, dalam kajian prosedur statistik untuk analisis jujukan diskret, dan digunakan dalam /3/, /21/ untuk mewajarkan keselamatan satu kelas sistem maklumat. Peruntukan untuk pertahanan:

Mengurangkan masalah ujian, berdasarkan urutan tunggal warna bola, hipotesis bahawa urutan ini diperolehi sebagai hasil pilihan tanpa kembali sehingga bola habis dari guci yang mengandungi bola dua warna, dan setiap pilihan tersebut mempunyai kebarangkalian yang sama, kepada pembinaan kriteria kesesuaian untuk menguji hipotesis dalam susun atur umum yang sepadan;

Kesinambungan fungsi jarak maklumat entropi dan Kullback-Leibler-Sanov pada simpleks dimensi tak terhingga dengan metrik umum logaritma yang diperkenalkan;

Teorem pada kasar (sehingga kesetaraan logaritma) asimtotik kebarangkalian sisihan besar statistik boleh dipisahkan simetri yang tidak memenuhi syarat Cramer dalam skema peletakan umum dalam kes separuh eksponen;

Teorem pada kasar (sehingga kesetaraan logaritma) asimptotik kebarangkalian sisihan besar untuk statistik bentuk (0.4);

Pembinaan kriteria kesesuaian untuk menguji hipotesis dalam susun atur umum dengan nilai indeks tertinggi dalam kelas kriteria borang (0.7).

Kelulusan kerja. Keputusan telah dibentangkan di seminar Jabatan Matematik Diskret Institut Matematik yang dinamakan sempena. V. A. Steklov RAS, jabatan keselamatan maklumat ITM&VT dinamakan sempena. S. A. Lebedev RAS dan di:

Simposium Semua-Rusia Kelima mengenai Matematik Gunaan dan Industri. Sesi musim bunga, Kislovodsk, 2 - 8 Mei 2004;

Persidangan Petrozavodsk Antarabangsa Keenam "Kaedah probabilistik dalam matematik diskret" 10 - 16 Jun 2004;

Persidangan Antarabangsa Kedua "Sistem dan Teknologi Maklumat (IST" 2004)", Minsk, 8-10 November 2004;

Persidangan antarabangsa "Masalah Moden dan Trend Baru dalam Teori Kebarangkalian", Chernivtsi, Ukraine, 19 - 26 Jun 2005.

Hasil utama kerja telah digunakan dalam kerja penyelidikan "Permintaan maaf", yang dijalankan oleh ITMiVT RAS. S. A. Lebedev demi kepentingan Perkhidmatan Persekutuan untuk Kawalan Teknikal dan Eksport Persekutuan Rusia, dan dimasukkan dalam laporan mengenai pelaksanaan peringkat penyelidikan /21/. Beberapa hasil disertasi dimasukkan dalam laporan penyelidikan "Pembangunan masalah matematik kriptografi" Akademi Kriptografi Persekutuan Rusia untuk 2004/22/.

Penulis mengucapkan terima kasih yang mendalam kepada penyelia saintifik, Doktor Sains Fizikal dan Matematik A. F. Ronzhin dan perunding saintifik, Doktor Sains Fizikal dan Matematik, Penyelidik Kanan A. V. Knyazev Penulis mengucapkan terima kasih kepada Doktor Sains Fizikal dan Matematik, Profesor A. M. Zubkov dan Calon Sains Fizikal dan Matematik Sains Matematik I. A. Kruglov atas perhatiannya terhadap kerja dan beberapa komen yang berharga.

Struktur dan kandungan kerja.

Bab pertama mengkaji sifat entropi dan jarak maklumat untuk taburan pada set integer bukan negatif.

Dalam perenggan pertama bab pertama, tatatanda diperkenalkan dan definisi yang diperlukan diberikan. Khususnya, tatatanda berikut digunakan: x = (xq,x\, . ) - vektor dimensi tak terhingga dengan bilangan komponen yang boleh dikira;

H(x) - -Ex^oXvlnx,-, truncm(x) = (x0,x1,.,xm,0,0,.)] f2* = (x, xi > 0, zy = 0.1,. , Oh "< 1}; Q = {х, х, >0,u = 0.1,., o xv = 1); = (x G O, ££L0 = 7);

Ml = o Ue>1|5 € o< Ml - 7МГ1 < 00}. Понятно, что множество £1 соответствует семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел, П7 - семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел с математическим ожиданием 7.

Jika y 6E P, maka untuk e > 0 set akan dilambangkan dengan Oe(y)

Oe(y) - (x^< уие£ для всех v = 0,1,.}.

Dalam perenggan kedua bab pertama, satu teorem tentang sempadan entropi taburan diskret dengan jangkaan matematik terhad dibuktikan.

Teorem 1. Mengenai sempadan entropi taburan diskret dengan jangkaan matematik terhad.

Untuk mana-mana 6 P7

H(x)

Jika x € terbang sepadan dengan taburan geometri dengan takrif matematik 7, iaitu, 7 x„ = (1- р)р\ v = 0.1,., dengan р = --,

1 + 7 maka kesamaan dipegang

H(x) = F(<7).

Pernyataan teorem boleh dilihat sebagai hasil aplikasi rasmi kaedah Lagrange bagi pengganda bersyarat dalam kes bilangan pembolehubah yang tidak terhingga. Teorem bahawa satu-satunya taburan pada set (k, k + 1, k + 2,.) dengan jangkaan matematik tertentu dan entropi maksimum ialah taburan geometri dengan jangkaan matematik diberikan (tanpa bukti) dalam /47/. Penulis, bagaimanapun, telah memberikan bukti yang tegas.

Perenggan ketiga bab pertama memberikan takrifan metrik umum - metrik yang membenarkan nilai tak terhingga.

Untuk x,y € Q fungsi p(x,y) ditakrifkan sebagai e minimum > O dengan sifat yie~£<хи< уиее для всех и = 0,1,. Если такого е не существует, то полагается, что р(х,у) = оо.

Dibuktikan bahawa fungsi p(x,y) ialah metrik umum pada keluarga taburan pada set integer bukan negatif, dan juga pada keseluruhan set Cl*. Daripada e dalam takrifan metrik p(x,y), anda boleh menggunakan sebarang nombor positif lain selain daripada 1. Metrik yang terhasil akan berbeza mengikut pemalar darab. Mari kita nyatakan dengan J(x, y) jarak maklumat

00 £ J(x,y) = E Dalam-.

Di sini dan di bawah diandaikan bahawa 0 Dalam 0 = 0.0 Dalam jj = 0. Jarak maklumat ditakrifkan untuk x sedemikian, y bahawa x„ = 0 untuk semua dan sedemikian sehingga y = 0. Jika syarat ini tidak dipenuhi, maka kita akan menganggap J(x,ij) = oo. Biarkan L SP. Kemudian kita akan menandakan

J (A Y) = |nf J(x,y).

Perenggan keempat bab pertama memberikan takrifan kepadatan fungsi yang ditakrifkan pada set Q*. Kekompakan fungsi dengan bilangan argumen yang boleh dikira bermakna dengan sebarang tahap ketepatan nilai fungsi boleh dianggarkan oleh nilai fungsi ini pada titik di mana hanya bilangan argumen terhingga bukan sifar. Kekompakan entropi dan fungsi jarak maklumat terbukti.

1. Untuk mana-mana 0< 7 < оо функция Н(х) компактна на

2. Jika untuk beberapa 0< 70 < оо

R e kemudian untuk sebarang 0<7<оо,г>0 fungsi x) = J(x,p) adalah padat pada set

Perenggan kelima bab pertama membincangkan sifat-sifat jarak maklumat yang ditakrifkan pada ruang dimensi tak terhingga. Berbanding dengan kes dimensi terhingga, keadaan dengan kesinambungan fungsi jarak maklumat berubah secara kualitatif. Ia ditunjukkan bahawa fungsi jarak maklumat tidak berterusan pada set dalam mana-mana metrik

Pl&V) = E\Xi~Y»\, u=0

E (xv - Ui)2 v=Q

Рз(х,у) = 8Up\xu-yv\. v

Kesahan ketaksamaan berikut dibuktikan untuk fungsi entropi H(x) dan jarak maklumat J(x,p):

1. Untuk sebarang x, x" € fi

N(x) - N(x")\< - 1){Н{х) + Н{х")).

2. Jika bagi sesetengah x,p e P wujud e > 0 sehingga x 6 0 £(p), maka bagi mana-mana x" £ Q J(x,p) - J(x",p)|< (е"М - 1){Н{х) + Н{х") + ееН(р)).

Daripada ketaksamaan ini, dengan mengambil kira Teorem 1, ia berikutan bahawa entropi dan fungsi jarak maklumat adalah berterusan secara seragam pada subset Q yang sepadan dalam metrik p(x,y)t, iaitu,

1. Untuk mana-mana 7 sehingga 0< 7 < оо, функция Н(х) равномерно непрерывна на Г2 в метрике р(ж,у);

2. Jika untuk beberapa 70, 0< 70 < оо

TO untuk sebarang 0<7<оои£>0 fungsi

L p(x) = J(x,p) adalah selanjar seragam pada set Π Oe(p) dalam metrik p(x,y).

Takrif fungsi bukan ekstrem diberikan. Keadaan bukan ekstrem bermakna bahawa fungsi tidak mempunyai ekstrem tempatan, atau fungsi mengambil nilai yang sama pada minima tempatan (maxima tempatan). Keadaan bukan ekstrema melemahkan keperluan ketiadaan ekstrema tempatan. Sebagai contoh, fungsi sin x pada set nombor nyata mempunyai ekstrem tempatan, tetapi memenuhi keadaan bukan ekstrem.

Biarkan untuk kira-kira 7 > 0, rantau A diberikan oleh keadaan

A = (x € VLv4>(x) > a), (0.9) dengan φ(x) ialah fungsi bernilai sebenar, a ialah beberapa pemalar nyata, inf φ(x)< а < inf ф(х).

Soalan itu dikaji dalam keadaan apa pada fungsi φ apabila menukar parameter n,N di kawasan tengah, ^ -; 7, untuk semua nilai yang cukup besar terdapat integer bukan negatif ko, k\,., kn supaya k0 + ki + . + kn = N, k\ + 2k2. + panel kawalan - N dan

F(ko k\ kp

-£,0,0 ,.)>a.

Dibuktikan bahawa untuk ini adalah mencukupi untuk menghendaki fungsi φ bukan ekstrem, padat dan berterusan dalam metrik p(x,y), dan juga bahawa sekurang-kurangnya satu titik x memuaskan (0.9), untuk sesetengah e > 0 wujud momen terhingga darjah 1 + e dan x„ > 0 untuk sebarang v = 0.1.

Dalam bab kedua, kita mengkaji asimptotik kasar (sehingga kesetaraan logaritma) kebarangkalian penyelewengan besar fungsi dari D = (^0) ■ ) Ts "n, 0, .) - bilangan sel dengan pengisian tertentu di kawasan tengah perubahan parameter N, n Kasar Asymptotics kebarangkalian sisihan besar adalah mencukupi untuk mengkaji indeks kriteria persetujuan.

Biarkan pembolehubah rawak ^ dalam (0.2) teragih sama dan

P(z) - menjana fungsi pembolehubah rawak - menumpu dalam bulatan jejari 1< R < оо. Следуя /38/, для 0 < z < R обозначим через £(z) случайную величину такую, что

Ml+£ = £ i1+ex„< 00.

0.10) k] = Pk, k = 0.1,.

Mari kita nyatakan

Jika terdapat penyelesaian kepada persamaan m Z(z) = ъ maka ia adalah unik /38/. Sepanjang apa yang berikut kita akan menganggap bahawa pk > O,A; = 0.1,.

Perenggan pertama perenggan pertama bab kedua mengandungi asimtotik logaritma kebarangkalian bentuk

1pP(/x0 = ko,.,tsp = kp).

Teorem berikut dibuktikan.

Teorem 2. Teorem tempatan kasar tentang kebarangkalian sisihan besar. Biarkan n, N -» oo supaya jj ->7.0<7 < оо, существует z7 - корень уравнения M£(z) = 7, с. в. £(г7) имеет положительную дисперсию. Тогда для любого k G Cl(n,N)

1nP(D = k) = JftpK)) + O(^lniV).

Pernyataan teorem mengikut terus daripada formula bagi taburan bersama fii,. sirip dalam /26/ dan anggaran berikut: jika nilai integer bukan negatif, Нп memenuhi syarat

Hai + 2d2 + + PNn = n, maka bilangan nilai bukan sifar di antaranya ialah 0(l/n). Ini adalah anggaran kasar dan tidak mendakwa ia baharu. Bilangan CG bukan sifar dalam skema susun atur umum tidak melebihi nilai pengisian maksimum sel, yang di kawasan tengah, dengan kebarangkalian cenderung kepada 1, tidak melebihi nilai O(lnn) /25/, / 27/. Namun begitu, anggaran yang terhasil 0(y/n) berpuas hati dengan kebarangkalian 1 dan mencukupi untuk mendapatkan asimptotik kasar.

Dalam perenggan kedua perenggan pertama bab kedua, nilai had ditemui di mana adg ialah jujukan nombor nyata yang menumpu kepada beberapa G R, φ(x) ialah fungsi nilai sebenar. Teorem berikut dibuktikan.

Teorem 3. Teorem kamiran kasar tentang kebarangkalian sisihan besar. Biarkan syarat Teorem 2 dipenuhi, untuk beberapa r > 0, C > 0 fungsi sebenar φ(x) adalah padat dan selanjar seragam dalam metrik p pada set

A = 0r+<;(p(z7)) П Ц7+с] и удовлетворяет условию неэкстремальности на множестве fly. Если для некоторой константы а такой, что inf ф(х) < а < sup ф(х). xeily существует вектор ра € fi7 П 0r(p(z7)); такой, что

Ф(ra) > a dan j(( (x) >a,xe P7),p(2;7)) = 7(pa,p(*y)) mo untuk sebarang jujukan a^ menumpu kepada a,