Kami telah mentakrifkan kejiranan titik ini sebagai bahagian luar bulatan yang berpusat pada asal: U (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). titik z = ∞ ialah titik tunggal terpencil fungsi analitik w = f (z ) jika tiada titik tunggal lain bagi fungsi ini dalam beberapa kejiranan titik ini. Untuk menentukan jenis titik tunggal ini, kami membuat perubahan pembolehubah , manakala titik z = ∞ pergi ke titik z 1 = 0, fungsi w = f (z ) mengambil borang . Jenis titik tunggal z = ∞ fungsi w = f (z ) kita akan panggil jenis titik tunggal z 1 = 0 ciri w = φ (z satu). Jika pengembangan fungsi w = f (z ) mengikut darjah z di sekitar titik itu z = ∞, i.e. untuk nilai modulo yang cukup besar z , mempunyai borang , kemudian, menggantikan z on , kita dapat . Oleh itu, di bawah perubahan pembolehubah sedemikian, bahagian utama dan tetap siri Laurent ditukar, dan jenis titik tunggal z = ∞ ditentukan oleh bilangan sebutan dalam bahagian yang betul bagi pengembangan fungsi dalam siri Laurent dalam kuasa z di sekitar titik itu z = 0. Oleh itu
1. Titik z = ∞ - boleh tanggal titik tunggal, jika dalam penguraian ini bahagian yang betul tidak hadir (dengan kemungkinan pengecualian ahli A 0);
2. Titik z = ∞ - tiang n -perintah ke-, jika bahagian yang betul berakhir dengan istilah A n · z n ;
3. Titik z = ∞ ialah titik tunggal penting jika bahagian sekata mengandungi banyak istilah yang tidak terhingga.

Pada masa yang sama, tanda-tanda jenis titik tunggal mengikut nilai kekal sah: jika z= ∞ ialah titik tunggal boleh alih, maka had ini wujud dan terhingga jika z= ∞ - kutub, maka had ini adalah tak terhingga jika z= ∞ ialah titik tunggal pada asasnya, maka had ini tidak wujud (tidak terhingga mahupun tak terhingga).

Contoh: 1. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. Fungsi itu sudah pun polinomial dalam kuasa z , darjah yang paling tinggi ialah yang keenam, jadi z
Hasil yang sama boleh diperolehi dengan cara yang berbeza. Jom ganti z pada, kemudian . Untuk fungsi φ (z 1) titik z 1 = 0 ialah tiang tertib keenam, jadi untuk f (z ) titik z = ∞ ialah tiang tertib keenam.
2. . Untuk fungsi ini, dapatkan pengembangan kuasa z sukar, jadi kami dapati: ; had itu wujud dan terhad, jadi intinya z
3. . Bahagian kanan perluasan kuasa z mengandungi tak terhingga banyak istilah, jadi z = ∞ ialah titik tunggal penting. Jika tidak, fakta ini boleh ditubuhkan berdasarkan fakta bahawa ia tidak wujud.

Sisa berfungsi pada titik tunggal yang jauh tak terhingga.

Untuk titik tunggal akhir a , di mana γ - kontur yang mengandungi tidak lain daripada a , titik tunggal, dilalui supaya kawasan yang bersempadan dengannya dan mengandungi titik tunggal kekal di sebelah kiri (lawan arah jam).

Mari kita takrifkannya dengan cara yang sama: , di mana Γ − ialah kontur yang membatasi kejiranan sedemikian U (∞, r ) mata z = ∞, yang tidak mengandungi titik tunggal lain, dan boleh dilalui supaya kejiranan ini kekal di sebelah kiri (iaitu, mengikut arah jam). Oleh itu, semua titik tunggal (hujung) lain bagi fungsi mesti berada di dalam kontur Γ − . Mari kita tukar arah memintas kontur Γ − : . Mengikut teorem sisa utama , di mana penjumlahan adalah ke atas semua titik tunggal terhingga. Oleh itu, akhirnya

,

mereka. sisa pada titik tunggal yang jauh tak terhingga adalah sama dengan jumlah sisa di atas semua titik tunggal terhingga, diambil dengan tanda bertentangan .

Akibatnya, ada teorem tentang jumlah penuh potongan: jika fungsi w = f (z ) adalah analitik di mana-mana dalam pesawat Dengan , kecuali untuk bilangan titik tunggal yang terhingga z 1 , z 2 , z 3 , …,zk , maka jumlah baki pada semua titik tunggal terhingga dan baki pada infiniti ialah sifar.

Perhatikan bahawa jika z = ∞ ialah titik tunggal boleh tanggal, maka sisa padanya mungkin berbeza daripada sifar. Jadi untuk fungsi , jelas sekali, ; z = 0 ialah satu-satunya titik tunggal akhir bagi fungsi ini, jadi , walaupun pada hakikatnya , i.e. z = ∞ ialah titik tunggal boleh tanggal.

Definisi. Titik pada infiniti dalam satah kompleks dipanggil titik tunggal terpencil fungsi analitik bernilai tunggal f(z), jika luar bulatan beberapa jejari R,

mereka. kerana , tiada titik tunggal muktamad bagi fungsi tersebut f(z).

Untuk mengkaji fungsi pada titik yang jauh tidak terhingga, kami membuat perubahan
Fungsi

akan mempunyai singulariti pada titik itu ζ = 0, dan titik ini akan diasingkan, kerana

di dalam bulatan
tiada titik tunggal lain mengikut andaian. Bersifat analitikal dalam hal ini

bulatan (kecuali ζ = 0), fungsi
boleh dikembangkan dalam siri Laurent dalam kuasa ζ . Klasifikasi yang diterangkan dalam perenggan sebelumnya dipelihara sepenuhnya.

Walau bagaimanapun, jika kita kembali kepada pembolehubah asal z, kemudian siri dalam kuasa positif dan negatif z'tukar-tukar' tempat. Itu. klasifikasi mata pada infiniti akan kelihatan seperti ini:

Contoh. 1.
. titik z = i − tiang urutan ke-3.

2.
. titik z = ∞ adalah titik tunggal yang penting.

§lapan belas. Sisa fungsi analitik pada titik tunggal terpencil.

Biarkan titik z 0 ialah titik tunggal terpencil bagi fungsi analitik bernilai tunggal

f(z). Menurut yang sebelumnya, dalam kejiranan titik ini f(z) boleh diwakili secara unik oleh siri Laurent:
di mana

Definisi.potongan fungsi analitik f(z) pada titik tunggal terpencil z 0

dipanggil nombor kompleks, sama dengan nilai kamiran
diambil ke arah yang positif untuk mana-mana gelung tertutup, yang terletak pada domain analisis fungsi dan mengandungi satu-satunya titik tunggal di dalamnya z 0 .

Sisa dilambangkan dengan simbol Res [f(z),z 0 ].

Adalah mudah untuk melihat bahawa sisa pada titik tunggal biasa atau boleh tanggal adalah sama dengan sifar.

Pada tiang atau titik tunggal penting, sisa sama dengan pekali dengan-1 baris Laurent:

.

Contoh. Cari baki bagi suatu fungsi
.

(Biar mudah untuk melihatnya

pekali dengan-1 akan diperolehi dengan mendarab sebutan dengan n= 0:res[ f(z),i ] =
}

Selalunya mungkin untuk mengira sisa-sisa fungsi berakhir dengan cara yang mudah. Biarkan fungsi f(z) mempunyai termasuk. z 0 ialah tiang pesanan pertama. Dalam kes ini, pengembangan fungsi dalam siri Laurent mempunyai bentuk (§16):. Kami mendarabkan kesamaan ini dengan (z − z 0) dan lulus ke had di
. Hasilnya, kami mendapat: Res[ f(z),z 0 ] =
Ya, dalam

dalam contoh terakhir kita mempunyai Res[ f(z),i ] =
.

Untuk mengira sisa pada kutub tertib lebih tinggi, darabkan fungsi

pada
(m− susunan tiang) dan bezakan siri yang terhasil ( m − 1 kali.

Dalam kes ini kita mempunyai: Res[ f(z),z 0 ]

Contoh. Cari baki bagi suatu fungsi
dalam titik z= −1.

{Res[ f(z), −1] }

Jika beberapa jujukan menumpu kepada nombor terhingga a , maka kita tulis
.
Terdahulu, kami memperkenalkan jujukan yang sangat besar sebagai pertimbangan. Kami menerima bahawa ia adalah konvergen dan dilambangkan hadnya dengan simbol dan . Simbol-simbol ini mewakili titik pada infiniti. Mereka tidak tergolong dalam set nombor nyata. Tetapi konsep had membolehkan seseorang memperkenalkan mata tersebut dan menyediakan alat untuk mengkaji sifatnya dengan bantuan nombor nyata.

Definisi
titik infiniti, atau infiniti tak terhingga, ialah had yang menuju ke arah jujukan yang sangat besar.
titik pada infiniti ditambah infiniti, ialah had ke arah mana jujukan besar tak terhingga dengan sebutan positif cenderung.
titik pada infiniti tolak infiniti, ialah had ke arah mana jujukan tak terhingga besar dengan sebutan negatif cenderung.

Untuk sesiapa nombor sebenar a ketaksamaan berikut dipegang:
;
.

Menggunakan nombor nyata, kami memperkenalkan konsep itu kejiranan titik pada infiniti.
Kejiranan titik ialah set .
Akhirnya, kejiranan titik ialah set .
Di sini M ialah nombor nyata sewenang-wenangnya, besar sewenang-wenangnya.

Oleh itu, kami telah mengembangkan set nombor nyata dengan memperkenalkan elemen baharu ke dalamnya. Dalam hal ini, definisi berikut berlaku:

Garis nombor dilanjutkan atau set lanjutan nombor nyata dipanggil set nombor nyata, dilengkapkan dengan unsur dan:
.

Mula-mula, kita tuliskan sifat-sifat yang ada pada mata dan. Seterusnya, pertimbangkan persoalan yang ketat definisi matematik operasi untuk perkara ini dan bukti sifat ini.

Sifat titik pada infiniti

Jumlah dan Perbezaan.
; ;
; ;

Kerja dan swasta.
; ; ;
;
;
; ; .

Sambungan dengan nombor nyata.
Biarkan a menjadi nombor nyata arbitrari. Kemudian
; ;
; ; ; .
Biarkan a > 0 . Kemudian
; ; .
Biarkan a < 0 . Kemudian
; .

Operasi Tidak Ditakrifkan.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Bukti untuk sifat titik pada infiniti

Definisi operasi matematik

Kami telah memberikan definisi untuk titik di infiniti. Sekarang kita perlu menentukan operasi matematik untuk mereka. Oleh kerana kami telah mentakrifkan titik ini dari segi jujukan, operasi pada titik ini juga mesti ditakrifkan dari segi jujukan.

Jadi, jumlah dua mata
c = a + b
kepunyaan set lanjutan nombor nyata,
,
kita akan panggil had
,
di mana dan adalah jujukan arbitrari yang mempunyai had
dan .

Operasi tolak, darab dan bahagi ditakrifkan dengan cara yang sama. Cuma, dalam kes pembahagian, unsur-unsur dalam penyebut pecahan mestilah tidak sama dengan sifar.
Kemudian perbezaan dua mata:
ialah hadnya: .
Produk titik:
ialah hadnya: .
Peribadi:
ialah hadnya: .
Di sini dan ialah jujukan arbitrari yang hadnya ialah a dan b , masing-masing. AT kes terakhir, .

Bukti Harta

Untuk membuktikan sifat titik pada ketakterhinggaan, kita perlu menggunakan sifat jujukan tak terhingga besar.

Pertimbangkan harta:
.
Untuk membuktikannya, kita mesti menunjukkannya
,

Dalam erti kata lain, kita perlu membuktikan bahawa jumlah dua jujukan yang menumpu kepada tambah infiniti menumpu kepada tambah infiniti.

1 ketaksamaan berikut berlaku:
;
.
Kemudian untuk dan kami mempunyai:
.
biarlah . Kemudian
pada ,
mana .
Ini bermakna bahawa .

Ciri-ciri lain dibuktikan dengan cara yang sama. Sebagai contoh, kami mengemukakan satu lagi bukti.

Mari kita buktikan bahawa:
.
Untuk melakukan ini, kita mesti menunjukkannya
,
di mana dan adalah jujukan arbitrari, dengan had dan .

Iaitu, kita perlu membuktikan bahawa hasil darab dua jujukan besar tak terhingga ialah jujukan besar tak terhingga.

Jom buktikan. Oleh kerana dan , maka terdapat beberapa fungsi dan , supaya bagi sebarang nombor positif M 1 ketaksamaan berikut berlaku:
;
.
Kemudian untuk dan kami mempunyai:
.
biarlah . Kemudian
pada ,
mana .
Ini bermakna bahawa .

Operasi Tidak Ditakrifkan

Bahagian operasi matematik dengan titik pada infiniti tidak ditakrifkan. Untuk menunjukkan ketidakpastian mereka, kita perlu memberikan beberapa kes khas apabila hasil operasi bergantung pada pilihan urutan yang disertakan di dalamnya.

Pertimbangkan operasi ini:
.
Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa jika dan , maka had jumlah jujukan bergantung kepada pilihan jujukan dan .

Sesungguhnya, mari kita ambil. Had jujukan ini adalah sama. Had amaun

adalah sama dengan infiniti.

Sekarang mari kita ambil. Had jujukan ini juga sama. Tetapi had jumlah mereka

sama dengan sifar.

Iaitu, dengan syarat dan , nilai had jumlah boleh diambil pelbagai maksud. Oleh itu, operasi tidak ditakrifkan.

Dengan cara yang sama, ketidakpastian baki operasi yang dibentangkan di atas boleh ditunjukkan.

titik infiniti.

Biarkan fungsi menjadi analitik dalam beberapa kejiranan titik yang jauh tidak terhingga (kecuali untuk titik itu sendiri). Mereka berkata begitutitik tunggal boleh tanggal, kutub, atau titik tunggal pentingfungsi bergantung kepadaterhingga, tidak terhingga, atau tidak wujud .

Biarkan dan kemudian menjadi analitik dalam beberapa kejiranan titik. Yang terakhir akan menjadi titik tunggal dari jenis yang sama seperti untuk. Peluasan Laurent di kawasan kejiranan boleh diperolehi dengan perubahan mudah dalam pengembangan Laurent di kawasan kejiranan. Tetapi dengan penggantian sedemikian, bahagian yang betul digantikan oleh yang utama, dan sebaliknya. Justeru, adil

Teorem 1. Dalam kes singulariti boleh tanggal pada titik pada infiniti, pengembangan Laurent bagi fungsi dalam kejiranan titik ini tidak mengandungi sama sekali darjah positif, dalam kes tiangmengandungi bilangan terhingga daripada mereka, dan dalam kes ituciri penting - tidak terhingga.

Jika ada pada satu titik boleh tanggal ciri, ia biasanya dikatakan bahawa iaanalitik pada infiniti, dan terima. Dalam kes ini, fungsi itu jelas terikat dalam beberapa kejiranan titik itu juga.

Biarkan fungsi menjadi analitik dalam ruang penuh. Daripada analisis fungsi pada titik pada infiniti, ia berikutan bahawa ia terikat dalam kejiranan titik ini; biarkan pada. Sebaliknya, daripada analisis kepada lingkaran ganas mengikut hadnya dalam kalangan ini; biarkan ia masuk. Tetapi kemudian fungsi itu dibatasi di seluruh satah: untuk semua yang kita ada. Oleh itu, teorem Liouvilleboleh diberikan borang berikut.

Teorem 2. Jika fungsi adalah analitik dalam satah penuh, maka ia adalah malar.

Sekarang mari kita perkenalkan konsepnyasisa pada infiniti. Biarkan fungsi menjadi analitik dalam beberapa kejiranan titik (kecuali, mungkin, untuk titik ini sendiri); bawahpotongan fungsi pada infiniti faham

di mana bulatan yang cukup besar dilalui mengikut arah jam (supaya bulatan titik kekal di sebelah kiri).

Ia mengikuti terus daripada takrif ini bahawa baki fungsi pada infiniti adalah sama dengan pekali at dalam pengembangan Laurentnya dalam kejiranan titik, diambil dengan tanda bertentangan:

Teorem 3. Jika fungsi mempunyai dalam satah penuh nombor terhingga titik tunggal, maka jumlah semua sisanya, termasuk baki pada infiniti, adalah sama dengan sifar.

Bukti. Sesungguhnya, biarkan a 1 ,…a n tamatkan titik tunggal fungsi dan - bulatan yang mengandungi kesemuanya di dalam. Dengan sifat kamiran, teorem baki, dan takrif baki pada titik yang jauh tak terhingga, kita mempunyai:

Ch.t.d.

Aplikasi teori sisa untuk pengiraan kamiran.

Biarkan ia dikehendaki mengira kamiran bagi fungsi sebenar sepanjang beberapa segmen (terhingga atau tidak terhingga) ( a, b) paksi-x. Pelengkap (a, b ) beberapa lengkung yang terikat bersama dengan ( a , b ) domain, dan secara analitikal teruskan ke.

Kami menggunakan teorem sisa kepada kesinambungan analitik yang dibina:

(1)

Jika kamiran lebih boleh dikira atau dinyatakan dalam sebutan kamiran yang dikehendaki, maka masalah pengiraan diselesaikan.

Dalam kes segmen tak terhingga ( a , b ) biasanya mempertimbangkan keluarga kontur penyepaduan yang berkembang secara tak terhingga, yang dibina sedemikian rupa sehingga, sebagai hasil daripada melepasi had, kita memperoleh integral atas ( a , b ). Dalam kes ini, kamiran atas dalam hubungan (1) tidak boleh dikira, tetapi hanya hadnya yang boleh didapati, yang selalunya ternyata sama dengan sifar.

Yang berikut sangat berguna.

Lemma (Jordan). Jika pada beberapa jujukan lengkok bulatan, (, a tetap) fungsi cenderung kepada sifar seragam berkenaan dengan

. (2)

Bukti. Menandakan

Dengan syarat lemma, seperti juga cenderung kepada sifar, dan Biarkan a>0; pada lengkok AB dan CD yang kita ada.

Oleh itu, kamiran atas lengkok AB, CD cenderung kepada sifar pada.

Oleh kerana ketaksamaan adalah sah untuk , maka pada arka JADILAH

Oleh itu, dan dengan itu juga cenderung kepada sifar pada. Jika pada arka CE Jika sudut kutub dikira mengikut arah jam, maka anggaran yang sama akan diperolehi untuk. Dalam kes di mana bukti dipermudahkan, sejak ia akan menjadi berlebihan untuk menganggar kamiran ke atas lengkok AB dan CD. Lemma terbukti.

Catatan 1. Urutan lengkok bulatan dalam lemma boleh diganti keluarga arka

maka, jika fungsi pada cenderung kepada sifar seragam berkenaan dengan kemudian untuk

. (3)

Buktinya tetap sah.

Catatan 2. Mari tukar pembolehubah: iz=p , maka lengkok bulatan lemma digantikan dengan lengkok, dan kita mendapatkannya untuk sebarang fungsi F(hlm ) cenderung kepada sifar secara seragam berkenaan dengan dan untuk sebarang positif t

. (4)

Menggantikan p dalam (4) dengan (-p ) kita mendapatnya di bawah syarat yang sama untuk

, (5)

di manakah lengkok bulatan (lihat rajah).

Pertimbangkan contoh pengiraan kamiran.

Contoh 1. .

Mari pilih fungsi tambahan. Kerana fungsi pada memenuhi ketaksamaan, maka ia secara seragam cenderung kepada sifar sebagai, dan oleh lemma Jordan, sebagai

Kerana kita mempunyai dengan teorem baki

Dalam had di , kita mendapat:

Memisahkan bahagian sebenar dan menggunakan pariti fungsi, kami dapati

Contoh 2. Untuk mengira kamiran

Mari kita ambil fungsi pembantu. Kontur integrasi memintas titik tunggal z =0. Dengan teorem Cauchy

Ia boleh dilihat dari lemma Jordan bahawa Untuk menganggarkan, pertimbangkan pengembangan Laurent di kawasan kejiranan titik itu z=0

di mana adalah biasa pada titik z =0 fungsi. Dari sini jelas bahawa

Oleh itu, teorem Cauchy boleh ditulis semula sebagai

Menggantikan dalam kamiran pertama x pada x , kita mendapat bahawa ia adalah sama, jadi kita mempunyai

Dalam had pada dan akhirnya:

. (7)

Contoh 3. Hitung kamiran

Kami memperkenalkan fungsi tambahan dan memilih kontur penyepaduan yang sama seperti dalam contoh sebelumnya. Di dalam kontur ini, logaritma mengakui pemilihan cabang bernilai tunggal. Mari nyatakan cabang yang ditentukan oleh ketaksamaan. Fungsi mempunyai pada titik z=i tiang tertib kedua dengan sisa

Mengikut Teorem Pengurangan.

Pada, bermula dari beberapa yang cukup besar R , Akibatnya, .

Begitu juga, untuk bermula dari beberapa yang cukup kecil r , oleh itu

Dalam kamiran pertama selepas penggantian z=-x kita dapat:

dan, dengan itu, dalam had di kita ada:

Membandingkan bahagian sebenar dan khayalan memberikan:

, .

Contoh 4. Bagi kamiran

pilih fungsi tambahan dan kontur yang ditunjukkan dalam rajah. Di dalam kontur tidak jelas, jika kita menganggapnya.

Pada tebing atas dan bawah potongan, termasuk dalam kontur ini, mengambil nilai dan, masing-masing, oleh itu kamiran membatalkan bersama, yang memungkinkan untuk mengira kamiran yang diperlukan. Di dalam kontur terdapat dua kutub urutan pertama fungsi dengan sisa, masing-masing, sama dengan:

di mana. Menggunakan teorem sisa, kita mendapat:

Menurut perkara di atas, kami mempunyai:

Sama seperti dalam contoh sebelumnya, kami akan membuktikan bahawa, dan kemudian dalam had, kami akan mempunyai:

Dari sini, membandingkan bahagian khayalan, kita dapat:

Contoh 5. Kira nilai prinsip kamiran khas

Mari kita pilih fungsi tambahan dan litar yang ditunjukkan dalam rajah. Di dalam kontur, fungsinya tetap. Di tebing bawah bahagian sepanjang semipaksi positif. Oleh itu, mengikut teorem Cauchy:

(8).

Adalah jelas bahawa dengan dan dengan. Along, kami mempunyai masing-masing dan, di mana berbeza dari 0 ke dan dari ke masing-masing. Akibatnya,

Melepasi (8) kepada had pada , dengan itu kita perolehi

di mana kamiran yang dikehendaki adalah sama dengan

Contoh 6. Hitung kamiran

Mari kita pertimbangkan fungsi. Mari kita buat potongan*) .

biarlah. Apabila mengelilingi laluan tertutup lawan jam (lihat rajah, garis putus-putus) dan dapatkan kenaikan,

oleh itu, arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 juga dinaikkan. Oleh itu, di bahagian luar potongan, fungsi berpecah kepada 3 cawangan biasa, yang berbeza antara satu sama lain dalam pilihan elemen awal fungsi, i.e. nilai pada satu ketika.

Kami akan mempertimbangkan bahawa cabang fungsi, yang di tebing atas potongan (-1,1) mengambil nilai positif, dan ambil kontur,

___________________

*) Sebenarnya, dua pemotongan telah dibuat: dan, bagaimanapun, pada paksi x di sebelah kanan titik x =1 fungsi adalah berterusan: di atas potongan, di bawah potongan.

digambarkan dalam gambar. Di bank saya ada, i.e. , di bank II (selepas mengelilingi titik z =1 mengikut arah jam) (iaitu), i.e. , manakala kamiran di atas bulatan dan jelas cenderung kepada sifar**) di. Oleh itu, dengan teorem Cauchy untuk domain berganda bersambung

Untuk pengiraan, kami menggunakan pengembangan cawangan 1/ di sekitar titik pada infiniti. Kami mengeluarkan akar dari bawah tanda, kemudian kami mendapat, di mana dan merupakan cabang fungsi ini, positif pada segmen (1,) paksi sebenar.

pada segmen paksi sebenar. Memperluas yang terakhir mengikut formula binomial:

kita dapati baki cawangan yang dipilih 1/ pada titik yang jauh tak terhingga: (pekali pada 1/ z dengan tanda bertentangan). Tetapi kamiran adalah sama dengan sisa ini didarab dengan, i.e. kita ada di mana akhirnya

Contoh 7. Pertimbangkan kamiran.

__________________

**) Pertimbangkan, sebagai contoh, kamiran atas. Kami ada, i.e.

Anggaplah demikian,

Di dalam bulatan, kamiran dan mempunyai satu tiang II tolak pesanan

Dengan teorem baki, kita ada

Contoh 8. Begitu juga, kita mengira kamiran

Selepas penggantian kami mempunyai:

Salah satu kutub integrand terletak di dalamnya bulatan unit, dan yang lain berada di luarnya, kerana oleh harta akar persamaan kuadratik, manakala berdasarkan syarat, akar ini adalah nyata dan berbeza. Oleh itu, dengan teorem baki

(9)

di manakah tiang di dalam bulatan. Kerana bahagian kanan(9) adalah nyata, maka ia memberikan kamiran yang diperlukan

Definisi
Kejiranan titik sebenar x 0 Mana-mana selang terbuka yang mengandungi titik ini dipanggil:
.
Di sini ε 1 dan ε 2 adalah nombor positif sewenang-wenangnya.

Epsilon - kejiranan titik x 0 dipanggil set titik, jarak dari mana ke titik x 0 kurang daripada ε:
.

Kejiranan tertusuk titik x 0 dipanggil kejiranan titik ini, dari mana titik x itu sendiri telah dikecualikan 0 :
.

Titik akhir kejiranan

Pada awalnya, takrifan kejiranan titik telah diberikan. Ia ditetapkan sebagai . Tetapi anda boleh menyatakan dengan jelas bahawa kejiranan bergantung pada dua nombor menggunakan hujah yang sesuai:
(1) .
Iaitu, kejiranan ialah satu set mata kepunyaan selang terbuka.

Menyamakan ε 1 kepada ε 2 , kami mendapat epsilon - kejiranan:
(2) .
Epsilon - kejiranan - ialah satu set mata kepunyaan selang terbuka dengan hujung yang sama.
Sudah tentu, huruf epsilon boleh digantikan oleh mana-mana yang lain dan kita boleh mempertimbangkan δ - kejiranan, σ - kejiranan, dan sebagainya.

Dalam teori had, seseorang boleh menggunakan definisi kejiranan berdasarkan kedua-dua set (1) dan set (2). Menggunakan mana-mana kawasan kejiranan ini memberikan hasil yang setara (lihat ). Tetapi definisi (2) adalah lebih mudah, oleh itu, ia adalah epsilon yang sering digunakan - kejiranan titik ditentukan dari (2).

Konsep kejiranan kidal, tangan kanan dan kejiranan titik akhir juga digunakan secara meluas. Kami membentangkan definisi mereka.

Kejiranan sebelah kiri titik sebenar x 0 ialah selang separuh terbuka yang terletak pada paksi nyata di sebelah kiri x 0 , termasuk titik itu sendiri:
;
.

Kejiranan sebelah kanan titik sebenar x 0 ialah selang separuh terbuka yang terletak di sebelah kanan x 0 , termasuk titik itu sendiri:
;
.

Kejiranan Titik Akhir Tertusuk

Kejiranan tebuk titik x 0 adalah kejiranan yang sama, yang mana titik itu sendiri dikecualikan. Mereka dikenal pasti dengan bulatan di atas huruf. Kami membentangkan definisi mereka.

Kejiranan tertusuk titik x 0 :
.

Epsilon tertusuk - kejiranan titik x 0 :
;
.

Kejiranan sebelah kiri tertusuk:
;
.

Kejiranan sebelah kanan tertusuk:
;
.

Kejiranan titik di infiniti

Bersama-sama dengan titik akhir, kejiranan titik di infiniti juga diperkenalkan. Kesemuanya tertusuk kerana tiada nombor nyata pada infiniti (titik pada infiniti ditakrifkan sebagai had infiniti urutan besar).

.
;
;
.

Ia adalah mungkin untuk menentukan kejiranan titik yang sangat jauh dan sebagainya:
.
Tetapi bukannya M, kami menggunakan , supaya kejiranan dengan ε yang lebih kecil ialah subset kejiranan dengan ε yang lebih besar, sama seperti untuk kejiranan titik akhir.

harta kejiranan

Seterusnya, kami menggunakan sifat jelas bagi kejiranan titik (terhingga atau pada infiniti). Ia terletak pada fakta bahawa kejiranan mata dengan nilai ε yang lebih kecil ialah subset kejiranan dengan nilai ε yang lebih besar. Kami membentangkan formulasi yang lebih ketat.

Biarkan ada titik terhingga atau jauh tak terhingga. Lepaskan .
Kemudian
;
;
;
;
;
;
;
.

Pernyataan sebaliknya juga benar.

Persamaan takrifan had fungsi mengikut Cauchy

Sekarang kita akan menunjukkan bahawa dalam definisi had fungsi mengikut Cauchy, seseorang boleh menggunakan kedua-dua kejiranan sewenang-wenangnya dan kejiranan dengan hujung yang sama .

Teorem
Takrif Cauchy bagi had fungsi yang menggunakan kejiranan sewenang-wenangnya dan kejiranan dengan hujung yang sama adalah setara.

Bukti

Jom rumuskan takrifan pertama bagi had sesuatu fungsi.
Nombor a ialah had fungsi pada satu titik (terhingga atau pada infiniti) jika ada nombor positif terdapat nombor bergantung pada dan sedemikian rupa sehingga untuk semua , tergolong dalam kejiranan yang sepadan dengan titik a :
.

Jom rumuskan takrifan kedua bagi had sesuatu fungsi.
Nombor a ialah had fungsi pada titik , jika untuk sebarang nombor positif terdapat nombor bergantung pada , supaya untuk semua :
.

Bukti 1 ⇒ 2

Mari kita buktikan bahawa jika nombor a ialah had fungsi dengan takrifan pertama, maka ia juga had bagi takrifan ke-2.

Biarkan definisi pertama bertahan. Ini bermakna terdapat fungsi sedemikian dan , jadi untuk mana-mana nombor positif perkara berikut berlaku:
di mana .

Oleh kerana nombor dan adalah sewenang-wenangnya, kami menyamakannya:
.
Kemudian terdapat fungsi dan , supaya untuk mana-mana pegangan berikut:
di mana .

Perhatikan, bahawa .
Biarkan nombor positif terkecil dan . Kemudian, seperti yang dinyatakan di atas,
.
Jika , maka .

Iaitu, kami menemui fungsi sedemikian, supaya untuk mana-mana perkara berikut adalah benar:
di mana .
Ini bermakna nombor a ialah had fungsi dan mengikut takrifan kedua.

Bukti 2 ⇒ 1

Mari kita buktikan bahawa jika nombor a ialah had fungsi dengan takrifan ke-2, maka ia juga had bagi takrifan pertama.

Biarkan definisi kedua bertahan. Ambil dua nombor positif dan . Dan biarkan menjadi yang terkecil daripada mereka. Kemudian, mengikut takrifan kedua, terdapat fungsi sedemikian , supaya untuk sebarang nombor positif dan untuk semua , ia mengikuti bahawa
.

Tetapi menurut . Oleh itu, daripada apa yang berikut,
.

Kemudian untuk sebarang nombor positif dan , kami telah menemui dua nombor , jadi untuk semua :
.

Ini bermakna nombor a juga adalah had mengikut definisi pertama.

Teorem telah terbukti.

Rujukan:
L.D. Kudryavtsev. Baiklah analisis matematik. Jilid 1. Moscow, 2003.