Taburan binomial sifat dan ciri berangkanya. Sifat taburan binomial

helo! Kita sudah tahu apa itu taburan kebarangkalian. Ia boleh menjadi diskret atau berterusan, dan kami telah mengetahui bahawa ia dipanggil taburan ketumpatan kebarangkalian. Sekarang mari kita terokai beberapa pengedaran yang lebih biasa. Katakan saya mempunyai syiling, dan syiling yang betul, dan saya akan menterbalikkannya sebanyak 5 kali. Saya juga akan mentakrifkan pembolehubah rawak X, menandakannya huruf besar X, ia akan sama dengan bilangan "helang" dalam 5 lambungan. Mungkin saya mempunyai 5 syiling, saya akan melambung kesemuanya sekali gus dan mengira berapa banyak kepala yang saya dapat. Atau saya boleh mempunyai satu syiling, saya boleh membalikkannya 5 kali dan mengira berapa kali saya mendapat kepala. Tak kisah sangat pun. Tetapi katakan saya mempunyai satu syiling dan saya menyelaknya sebanyak 5 kali. Kemudian kita tidak akan mempunyai ketidakpastian. Jadi inilah definisi saya pembolehubah rawak. Seperti yang kita ketahui, pembolehubah rawak sedikit berbeza daripada pembolehubah biasa, ia lebih seperti fungsi. Ia memberikan beberapa nilai kepada percubaan. Dan pembolehubah rawak ini agak mudah. Kami hanya mengira berapa kali "helang" jatuh selepas 5 lambungan - ini adalah pembolehubah rawak kami X. Mari kita fikirkan tentang kebarangkalian yang boleh nilai yang berbeza dalam kes kita? Jadi, apakah kebarangkalian bahawa X (modal X) ialah 0? Itu. Apakah kebarangkalian bahawa selepas 5 kali lambungan ia tidak akan muncul? Nah, ini, sebenarnya, sama dengan kebarangkalian untuk mendapatkan beberapa "ekor" (betul, gambaran keseluruhan kecil teori kebarangkalian). Anda harus mendapatkan beberapa "ekor". Apakah kebarangkalian bagi setiap "ekor" ini? Ini adalah 1/2. Itu. ia sepatutnya 1/2 kali 1/2, 1/2, 1/2, dan 1/2 lagi. Itu. (1/2)⁵. 1⁵=1, bahagi dengan 2⁵, i.e. pada 32. Agak logik. Jadi... saya akan ulang sedikit apa yang kita lalui mengenai teori kebarangkalian. Ini penting untuk memahami di mana kita kini bergerak dan bagaimana sebenarnya, pengedaran diskret kebarangkalian. Jadi, apakah kebarangkalian kita mendapat kepala tepat sekali? Nah, kepala mungkin muncul pada lambungan pertama. Itu. boleh jadi seperti ini: "helang", "ekor", "ekor", "ekor", "ekor". Atau kepala boleh muncul pada lambungan kedua. Itu. mungkin terdapat gabungan sedemikian: "ekor", "kepala", "ekor", "ekor", "ekor" dan sebagainya. Satu "helang" boleh gugur selepas mana-mana 5 lambungan. Apakah kebarangkalian bagi setiap situasi ini? Kebarangkalian mendapat kepala ialah 1/2. Kemudian kebarangkalian mendapat "ekor", bersamaan dengan 1/2, didarab dengan 1/2, dengan 1/2, dengan 1/2. Itu. kebarangkalian bagi setiap situasi ini ialah 1/32. Serta kebarangkalian situasi di mana X=0. Malah, kebarangkalian sebarang susunan khas kepala dan ekor ialah 1/32. Jadi kebarangkalian ini ialah 1/32. Dan kebarangkalian ini ialah 1/32. Dan situasi sedemikian berlaku kerana "helang" boleh jatuh pada mana-mana 5 lambungan. Oleh itu, kebarangkalian bahawa tepat satu "helang" akan jatuh adalah sama dengan 5 * 1/32, i.e. 32/5. Agak logik. Sekarang yang menarik bermula. Apakah kebarangkalian… (saya akan menulis setiap contoh dalam warna yang berbeza)… apakah kebarangkalian pembolehubah rawak saya ialah 2? Itu. Saya akan melambung duit syiling sebanyak 5 kali, dan apakah kebarangkalian ia akan mendarat tepat 2 kali? Ini lebih menarik, bukan? Apakah kombinasi yang mungkin? Ia boleh menjadi kepala, kepala, ekor, ekor, ekor. Ia juga boleh menjadi kepala, ekor, kepala, ekor, ekor. Dan jika anda berfikir bahawa kedua-dua "helang" ini boleh berdiri di tempat yang berbeza dalam kombinasi, maka anda boleh menjadi sedikit keliru. Anda tidak boleh lagi memikirkan peletakan seperti yang kami lakukan di sini di atas. Walaupun ... anda boleh, anda hanya berisiko menjadi keliru. Anda mesti faham satu perkara. Bagi setiap kombinasi ini, kebarangkalian ialah 1/32. ½*½*½*½*½. Itu. kebarangkalian bagi setiap gabungan ini ialah 1/32. Dan kita harus memikirkan berapa banyak kombinasi sedemikian wujud yang memenuhi keadaan kita (2 "helang")? Itu. sebenarnya, anda perlu membayangkan bahawa terdapat 5 lambungan syiling, dan anda perlu memilih 2 daripadanya, di mana "helang" jatuh. Anggap 5 lambungan kita dalam bulatan, bayangkan juga kita hanya ada dua kerusi. Dan kami berkata: "Baiklah, siapa di antara kamu yang akan duduk di kerusi ini untuk Eagles? Itu. yang manakah antara kamu yang akan menjadi "helang"? Dan kami tidak berminat dengan susunan mereka duduk. Saya memberikan contoh sedemikian, dengan harapan ia akan lebih jelas kepada anda. Dan anda mungkin ingin menonton beberapa tutorial teori kebarangkalian mengenai topik ini apabila saya bercakap tentang binomial Newton. Kerana di sana saya akan mendalami semua ini dengan lebih terperinci. Tetapi jika anda membuat alasan dengan cara ini, anda akan memahami apa pekali binomial. Kerana jika anda berfikir seperti ini: OK, saya mempunyai 5 lambungan, lambungan manakah yang akan mendapat kepala pertama? Nah inilah 5 itu , di mana melambung berturut-turut "helang" pertama akan jatuh. Dan berapa banyak peluang untuk "helang" kedua? Nah, lambungan pertama yang telah kami gunakan telah menghilangkan satu peluang kepala. Itu. satu kedudukan kepala dalam kombo sudah diduduki oleh salah satu lambungan. Kini terdapat 4 lambungan yang tinggal, bermakna "helang" kedua boleh jatuh pada salah satu daripada 4 lambungan. Dan anda melihatnya, di sini. Saya memilih untuk mempunyai kepala pada lambungan pertama, dan mengandaikan bahawa pada 1 daripada 4 baki lambungan, kepala juga harus muncul. Jadi hanya ada 4 kemungkinan di sini. Apa yang saya katakan ialah untuk kepala pertama anda mempunyai 5 kedudukan berbeza ia boleh mendarat. Dan untuk yang kedua, hanya tinggal 4 jawatan. Cuba pertimbangkan. Bila kita kira macam ni, order diambil kira. Tetapi bagi kami sekarang tidak kira dalam susunan apa "kepala" dan "ekor" jatuh. Kami tidak mengatakan ia "helang 1" atau ia "helang 2". Dalam kedua-dua kes, ia hanya "helang". Kita boleh menganggap bahawa ini adalah kepala 1 dan ini adalah kepala 2. Atau ia boleh menjadi sebaliknya: ia boleh menjadi "helang" kedua, dan ini adalah "pertama". Dan saya mengatakan ini kerana penting untuk memahami tempat untuk menggunakan peletakan dan tempat untuk menggunakan gabungan. Kami tidak berminat dengan urutan. Jadi, sebenarnya, hanya ada 2 cara asal acara kami. Jadi mari bahagikan itu dengan 2. Dan seperti yang anda akan lihat nanti, ia adalah 2! cara asal acara kami. Jika ada 3 kepala, maka akan ada 3! dan saya akan tunjukkan sebabnya. Jadi... 5*4=20 dibahagikan dengan 2 ialah 10. Jadi terdapat 10 kombinasi berbeza daripada 32 di mana anda pasti akan mempunyai 2 kepala. Jadi 10*(1/32) bersamaan dengan 10/32, apakah itu sama? 16/5. Saya akan menulis melalui pekali binomial. Ini ialah nilai di sini di bahagian atas. Jika anda fikirkan, ini sama dengan 5! dibahagikan dengan ... Apakah maksud 5 * 4 ini? 5! ialah 5*4*3*2*1. Itu. jika saya hanya memerlukan 5 * 4 di sini, maka untuk ini saya boleh membahagikan 5! untuk 3! Ini bersamaan dengan 5*4*3*2*1 dibahagikan dengan 3*2*1. Dan hanya 5 * 4 yang tinggal. Jadi ia adalah sama dengan pengangka ini. Dan kemudian, kerana kami tidak berminat dengan urutan, kami memerlukan 2 di sini. Sebenarnya, 2!. Darab dengan 1/32. Ini akan menjadi kebarangkalian bahawa kita akan memukul tepat 2 kepala. Apakah kebarangkalian bahawa kita akan mendapat kepala tepat 3 kali? Itu. kebarangkalian bahawa x=3. Jadi, dengan logik yang sama, kejadian pertama kepala mungkin berlaku dalam 1 daripada 5 lilitan. Kejadian kedua kepala mungkin berlaku pada 1 daripada 4 lambungan yang tinggal. Dan kejadian kepala ketiga mungkin berlaku pada 1 daripada 3 lambungan yang tinggal. Berapa banyak yang wujud pelbagai cara susun 3 lambungan? Secara umum, berapa banyak cara yang ada untuk menyusun 3 objek di tempatnya? dah 3! Dan anda boleh memikirkannya, atau anda mungkin ingin menyemak semula tutorial di mana saya menerangkannya dengan lebih terperinci. Tetapi jika anda mengambil huruf A, B dan C, sebagai contoh, maka terdapat 6 cara anda boleh menyusunnya. Anda boleh menganggap ini sebagai tajuk. Ini mungkin ACB, CAB. Boleh jadi BAC, BCA, dan… Apa pilihan terakhir yang saya tidak namakan? CBA. Terdapat 6 cara untuk menyusun 3 item yang berbeza. Kami bahagikan dengan 6 kerana kami tidak mahu mengira semula 6 itu cara yang berbeza kerana kita menganggap mereka setaraf. Di sini kami tidak berminat dengan jumlah lambungan yang akan menghasilkan kepala. 5*4*3… Ini boleh ditulis semula sebagai 5!/2!. Dan bahagikan dengan 3 lagi!. Inilah dia. 3! sama dengan 3*2*1. Bertiga semakin mengecut. Ini menjadi 2. Ini menjadi 1. Sekali lagi, 5*2, i.e. ialah 10. Setiap situasi mempunyai kebarangkalian 1/32, jadi ini sekali lagi 5/16. Dan ia menarik. Kebarangkalian anda akan mendapat 3 kepala ialah kemungkinan bahawa anda mempunyai 2 ekor helang. Dan sebab untuk itu... Nah, terdapat banyak sebab mengapa ia berlaku. Tetapi jika difikirkan semula, kebarangkalian untuk mendapat 3 kepala adalah sama dengan kebarangkalian untuk mendapat 2 ekor. Dan kebarangkalian mendapat 3 ekor sepatutnya sama dengan kebarangkalian mendapat 2 kepala. Dan ada baiknya nilai berfungsi seperti ini. Baik. Apakah kebarangkalian bahawa X=4? Kita boleh menggunakan formula yang sama yang kita gunakan sebelum ini. Ia boleh jadi 5*4*3*2. Jadi, di sini kita tulis 5 * 4 * 3 * 2 ... Berapa banyak cara berbeza yang ada untuk menyusun 4 objek? dah 4!. empat! - ini, sebenarnya, bahagian ini, di sini. Ini ialah 4*3*2*1. Jadi, ini membatalkan, meninggalkan 5. Kemudian, setiap kombinasi mempunyai kebarangkalian 1/32. Itu. ini bersamaan dengan 5/32. Sekali lagi, ambil perhatian bahawa kebarangkalian mendapat kepala 4 kali adalah sama dengan kebarangkalian kepala muncul 1 kali. Dan ini masuk akal, kerana. 4 kepala sama dengan 1 ekor. Anda akan berkata: baik, dan pada jenis lambungan apakah "ekor" ini akan jatuh? Ya, terdapat 5 kombinasi berbeza untuk itu. Dan setiap daripada mereka mempunyai kebarangkalian 1/32. Dan akhirnya, apakah kebarangkalian bahawa X=5? Itu. kepala 5 kali berturut-turut. Ia sepatutnya seperti ini: "helang", "helang", "helang", "helang", "helang". Setiap kepala mempunyai kebarangkalian 1/2. Anda mendarabnya dan mendapat 1/32. Anda boleh pergi ke arah lain. Jika terdapat 32 cara anda boleh mendapatkan kepala dan ekor dalam eksperimen ini, maka ini hanyalah salah satu daripadanya. Di sini terdapat 5 daripada 32 cara sedemikian. Di sini - 10 daripada 32. Namun begitu, kami telah menjalankan pengiraan, dan kini kami bersedia untuk melukis taburan kebarangkalian. Tetapi masa saya sudah tamat. Biar saya sambung dalam pelajaran seterusnya. Dan jika anda berada dalam mood, maka mungkin melukis sebelum menonton pelajaran seterusnya? Jumpa lagi!

Bab 7

Undang-undang khusus taburan pembolehubah rawak

Jenis-jenis hukum taburan pembolehubah rawak diskret

Biarkan pembolehubah rawak diskret mengambil nilainya X 1 , X 2 , …, x n, … . Kebarangkalian nilai ini boleh dikira menggunakan pelbagai formula, contohnya, menggunakan teorem asas teori kebarangkalian, formula Bernoulli, atau beberapa formula lain. Bagi sesetengah formula ini, undang-undang pengedaran mempunyai namanya sendiri.

Hukum taburan yang paling biasa bagi pembolehubah rawak diskret ialah binomial, geometri, hipergeometrik, hukum taburan Poisson.

Undang-undang pengedaran binomial

Biar terhasil n percubaan bebas, di mana setiap satu peristiwa mungkin atau mungkin tidak berlaku TAPI. Kebarangkalian berlakunya peristiwa ini dalam setiap percubaan tunggal adalah malar, tidak bergantung pada nombor percubaan dan sama dengan R=R(TAPI). Oleh itu kebarangkalian bahawa peristiwa itu tidak akan berlaku TAPI dalam setiap ujian juga adalah tetap dan sama dengan q=1–R. Pertimbangkan pembolehubah rawak X sama dengan bilangan kejadian kejadian TAPI dalam n ujian. Adalah jelas bahawa nilai kuantiti ini adalah sama dengan

X 1 =0 - peristiwa TAPI dalam n ujian tidak muncul;

X 2 =1 – peristiwa TAPI dalam n percubaan muncul sekali;

X 3 =2 - peristiwa TAPI dalam n percubaan muncul dua kali;

…………………………………………………………..

x n +1 = n- acara TAPI dalam n ujian muncul segala-galanya n sekali.

Kebarangkalian nilai ini boleh dikira menggunakan formula Bernoulli (4.1):

di mana kepada=0, 1, 2, …,n .

Undang-undang pengedaran binomial X, sama dengan nombor kejayaan dalam n Percubaan Bernoulli, dengan kebarangkalian berjaya R.

Jadi, pembolehubah rawak diskret mempunyai taburan binomial (atau diedarkan mengikut hukum binomial) jika kemungkinan nilainya ialah 0, 1, 2, …, n, dan kebarangkalian yang sepadan dikira dengan formula (7.1).

Taburan binomial bergantung kepada dua parameter R dan n.

Siri taburan pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum binomial mempunyai bentuk:

X			…	k	…	n
R			…		…

Contoh 7.1 . Tiga tembakan bebas dilepaskan ke sasaran. Kebarangkalian untuk memukul setiap pukulan ialah 0.4. Nilai rawak X- bilangan pukulan pada sasaran. Bina siri pengedarannya.

Penyelesaian. Kemungkinan nilai pembolehubah rawak X adalah X 1 =0; X 2 =1; X 3 =2; X 4=3. Cari kebarangkalian yang sepadan menggunakan formula Bernoulli. Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa penggunaan formula ini di sini adalah wajar sepenuhnya. Ambil perhatian bahawa kebarangkalian untuk tidak mencapai sasaran dengan satu pukulan akan bersamaan dengan 1-0.4=0.6. Dapatkan

Siri pengedaran mempunyai pandangan seterusnya:

X
R	0,216	0,432	0,288	0,064

Adalah mudah untuk menyemak bahawa jumlah semua kebarangkalian adalah sama dengan 1. Pembolehubah rawak itu sendiri X diedarkan mengikut hukum binomial. ■

Jom cari nilai yang dijangkakan dan varians pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum binomial.

Apabila menyelesaikan contoh 6.5, telah ditunjukkan bahawa jangkaan matematik bilangan kejadian sesuatu peristiwa TAPI dalam n ujian bebas jika kebarangkalian berlaku TAPI dalam setiap ujian adalah malar dan sama R, sama n· R

Dalam contoh ini, pembolehubah rawak telah digunakan, diedarkan mengikut hukum binomial. Oleh itu, penyelesaian Contoh 6.5 adalah, sebenarnya, bukti teorem berikut.

Teorem 7.1. Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret yang diedarkan mengikut hukum binomial adalah sama dengan hasil darab bilangan percubaan dan kebarangkalian "berjaya", i.e. M(X)=n· R.

Teorem 7.2. Varians pembolehubah rawak diskret yang diedarkan mengikut hukum binomial adalah sama dengan hasil darab bilangan percubaan dengan kebarangkalian "berjaya" dan kebarangkalian "gagal", i.e. D(X)=npq.

Kecondongan dan kurtosis pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum binomial ditentukan oleh formula

Rumus ini boleh diperoleh menggunakan konsep momen awal dan momen pusat.

Undang-undang pengedaran binomial mendasari banyak perkara situasi sebenar. Pada nilai yang besar n taburan binomial boleh dianggarkan oleh taburan lain, khususnya taburan Poisson.

Pengagihan Poisson

Biarlah ada n Percubaan Bernoulli, dengan bilangan percubaan n cukup besar. Sebelum ini, ditunjukkan bahawa dalam kes ini (jika, sebagai tambahan, kebarangkalian R perkembangan TAPI sangat kecil) untuk mencari kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa TAPI untuk hadir t sekali dalam ujian, anda boleh menggunakan formula Poisson (4.9). Jika pembolehubah rawak X bermakna bilangan kejadian kejadian TAPI dalam n Bernoulli percubaan, maka kebarangkalian itu X akan mengambil makna k boleh dikira dengan formula

, (7.2)

di mana λ = no.

Undang-undang pengedaran Poisson dipanggil taburan pembolehubah rawak diskret X, yang mana nilai yang mungkin adalah integer bukan negatif, dan kebarangkalian p t nilai ini didapati dengan formula (7.2).

Nilai λ = no dipanggil parameter Pengagihan Poisson.

Pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum Poisson boleh diambil set tak terhingga nilai. Oleh kerana untuk taburan ini kebarangkalian R Kejadian sesuatu peristiwa dalam setiap percubaan adalah kecil, maka taburan ini kadang-kadang dipanggil hukum fenomena jarang.

Siri taburan pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum Poisson mempunyai bentuk

X					…	t	…
R					…		…

Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa jumlah kebarangkalian baris kedua adalah sama dengan 1. Untuk melakukan ini, kita perlu ingat bahawa fungsi itu boleh dikembangkan dalam siri Maclaurin, yang menumpu untuk sebarang X. AT kes ini kita ada

. (7.3)

Seperti yang dinyatakan, undang-undang Poisson dalam kes mengehadkan tertentu menggantikan undang-undang binomial. Contohnya ialah pembolehubah rawak X, nilai yang sama dengan bilangan kegagalan untuk tempoh masa tertentu dengan penggunaan berulang peranti teknikal. Diandaikan bahawa peranti ini mempunyai kebolehpercayaan yang tinggi, i.e. kebarangkalian kegagalan dalam satu aplikasi adalah sangat kecil.

Sebagai tambahan kepada kes pengehadan tersebut, dalam amalan terdapat pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut undang-undang Poisson, tidak berkaitan dengan taburan binomial. Sebagai contoh, pengedaran Poisson sering digunakan apabila berurusan dengan bilangan peristiwa yang berlaku dalam satu tempoh masa (bilangan panggilan ke pertukaran telefon pada waktu itu, bilangan kereta yang tiba di tempat cuci kereta pada siang hari, bilangan mesin berhenti setiap minggu, dsb.). Semua peristiwa ini mesti membentuk apa yang dipanggil aliran peristiwa, yang merupakan salah satu konsep asas teori beratur. Parameter λ mencirikan keamatan purata aliran peristiwa.

Sudah tentu, apabila mengira fungsi taburan kumulatif, seseorang harus menggunakan hubungan yang disebutkan antara taburan binomial dan beta. Kaedah ini sememangnya lebih baik daripada penjumlahan langsung apabila n > 10.

Dalam buku teks klasik mengenai statistik, untuk mendapatkan nilai taburan binomial, selalunya disyorkan untuk menggunakan formula berdasarkan teorem had (seperti formula Moivre-Laplace). Perlu diingatkan bahawa dari sudut pengiraan semata-mata nilai teorem ini hampir kepada sifar, terutamanya sekarang, apabila terdapat komputer berkuasa pada hampir setiap jadual. Kelemahan utama anggaran di atas ialah ketepatannya yang tidak mencukupi sepenuhnya untuk nilai n tipikal untuk kebanyakan aplikasi. Kelemahan yang tidak kurang adalah ketiadaan sebarang pengesyoran yang jelas tentang kebolehgunaan satu atau anggaran yang lain (hanya rumusan asimptotik diberikan dalam teks standard, ia tidak disertakan dengan anggaran ketepatan dan, oleh itu, tidak banyak digunakan). Saya akan mengatakan bahawa kedua-dua formula hanya sah untuk n< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.

Saya tidak menganggap di sini masalah mencari kuantiti: untuk pengagihan diskret, ia adalah remeh, dan dalam masalah-masalah di mana pengagihan tersebut timbul, ia, sebagai peraturan, tidak relevan. Jika kuantiti masih diperlukan, saya mengesyorkan merumuskan semula masalah sedemikian rupa untuk berfungsi dengan nilai-p (kepentingan yang diperhatikan). Berikut ialah contoh: apabila melaksanakan beberapa algoritma penghitungan, pada setiap langkah ia perlu menyemak hipotesis statistik tentang pembolehubah rawak binomial. mengikut pendekatan klasik pada setiap langkah, adalah perlu untuk mengira statistik kriteria dan membandingkan nilainya dengan sempadan set kritikal. Oleh kerana, bagaimanapun, algoritma adalah enumeratif, adalah perlu untuk menentukan sempadan set kritikal setiap kali baharu (lagipun, saiz sampel berubah dari langkah ke langkah), yang secara tidak produktif meningkatkan kos masa. Pendekatan moden mengesyorkan mengira kepentingan yang diperhatikan dan membandingkannya dengan tahap keyakinan, menjimatkan carian untuk kuantil.

Oleh itu, kod berikut tidak mengira fungsi songsang, sebaliknya, fungsi rev_binomialDF diberikan, yang mengira kebarangkalian p kejayaan dalam satu percubaan memandangkan bilangan n percubaan, bilangan m kejayaan di dalamnya, dan nilai y kebarangkalian untuk mendapat m kejayaan ini. Ini menggunakan hubungan yang dinyatakan di atas antara taburan binomial dan beta.

Malah, fungsi ini membolehkan anda mendapatkan sempadan selang keyakinan. Malah, andaikan kita mendapat m kejayaan dalam n percubaan binomial. Seperti yang anda tahu, sempadan kiri dua belah selang keyakinan bagi parameter p dengan aras keyakinan ialah 0 jika m = 0, dan untuk ialah penyelesaian persamaan . Begitu juga, sempadan kanan ialah 1 jika m = n, dan untuk adalah penyelesaian kepada persamaan . Ini menunjukkan bahawa untuk mencari sempadan kiri, kita mesti menyelesaikan persamaan , dan untuk mencari yang betul - persamaan . Ia diselesaikan dalam fungsi binom_leftCI dan binom_rightCI , yang masing-masing mengembalikan sempadan atas dan bawah selang keyakinan dua belah.

Saya ingin ambil perhatian bahawa jika ketepatan yang sangat luar biasa tidak diperlukan, maka untuk n yang cukup besar, anda boleh menggunakan anggaran berikut [B.L. van der Waerden, statistik Matematik. M: IL, 1960, Bab. 2, sec. 7]: , di mana g ialah kuantil taburan normal. Nilai penghampiran ini ialah terdapat penghampiran yang sangat mudah yang membolehkan anda mengira kuantiti taburan normal (lihat teks tentang mengira taburan normal dan bahagian yang sepadan dalam rujukan ini). Dalam amalan saya (terutamanya untuk n > 100), anggaran ini memberikan kira-kira 3-4 digit, yang, sebagai peraturan, cukup mencukupi.

Pengiraan dengan kod berikut memerlukan fail betaDF.h , betaDF.cpp (lihat bahagian pengedaran beta), serta logGamma.h , logGamma.cpp (lihat lampiran A). Anda juga boleh melihat contoh penggunaan fungsi.

fail binomialDF.h

#ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" double binomialDF(percubaan berganda, kejayaan berganda, p berganda); /* * Biarkan ada "percubaan" pemerhatian bebas * dengan kebarangkalian "p" kejayaan dalam setiap satu. * Kira kebarangkalian B(berjaya|percubaan,p) bahawa bilangan * kejayaan adalah antara 0 dan "berjaya" (termasuk). */ double rev_binomialDF(percubaan berganda, kejayaan berganda, y berganda); /* * Biarkan kebarangkalian y sekurang-kurangnya m kejayaan * diketahui dalam percubaan skim Bernoulli. Fungsi mencari kebarangkalian p * kejayaan dalam satu percubaan. * * Hubungan berikut digunakan dalam pengiraan * * 1 - p = rev_Beta(cubaan-kejayaan| kejayaan+1, y). */ binom_leftCI berganda(percubaan berganda, kejayaan berganda, tahap berganda); /* Biarkan terdapat "percubaan" pemerhatian bebas * dengan kebarangkalian "p" kejayaan dalam setiap * dan bilangan kejayaan ialah "kejayaan". * Sempadan kiri selang keyakinan dua belah * dikira dengan aras aras keertian. */ double binom_rightCI(double n, double successes, double level); /* Biarkan terdapat "percubaan" pemerhatian bebas * dengan kebarangkalian "p" kejayaan dalam setiap * dan bilangan kejayaan ialah "kejayaan". * Sempadan kanan selang keyakinan dua belah * dikira dengan aras aras keertian. */ #endif /* Tamat #ifndef __BINOMIAL_H__ */

fail binomialDF.cpp

/************************************************ **** **********/ /* Taburan Binomial */ /**************************** **** *************************/ #include #termasuk #include "betaDF.h" ENTRY double binomialDF(double n, double m, double p) /* * Biarkan ada "n" pemerhatian bebas * dengan kebarangkalian "p" kejayaan dalam setiap satu. * Kira kebarangkalian B(m|n,p) bahawa bilangan kejayaan ialah * antara 0 dan "m" (termasuk), i.e. * jumlah kebarangkalian binomial dari 0 hingga m: * * m * -- (n) j n-j * > () p (1-p) * -- (j) * j=0 * * Pengiraan tidak membayangkan penjumlahan bodoh - * digunakan perhubungan berikut dengan taburan beta pusat: * * B(m|n,p) = Beta(1-p|n-m,m+1). * * Hujah mestilah positif, dengan 0<= p <= 1. */ { assert((n >0) && (p >= 0) && (hlm<= 1)); if (m < 0) return 0; else if (m == 0) return pow(1-p, n); else if (m >= n) pulangan 1; jika tidak kembalikan BetaDF(n-m, m+1).nilai(1-p); )/* binomialDF */ ENTRY double rev_binomialDF(double n, double m, double y) /* * Biarkan kebarangkalian y sekurang-kurangnya m kejayaan * diketahui dalam n percubaan skema Bernoulli. Fungsi mencari kebarangkalian p * kejayaan dalam satu percubaan. * * Hubungan berikut digunakan dalam pengiraan * * 1 - p = rev_Beta(y|n-m,m+1). */ ( tegaskan((n > 0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0) && (y<= 1)); return 1-BetaDF(n-m, m+1).inv(y); }/*rev_binomialDF*/ ENTRY double binom_leftCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется левая граница двухстороннего доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0.5) && (y< 1)); return BetaDF(m, n-m+1).inv((1-y)/2); }/*binom_leftCI*/ ENTRY double binom_rightCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется правая граница доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0.5) && (y< 1)); return BetaDF(m+1, n-m).inv((1+y)/2); }/*binom_rightCI*/

Taburan kebarangkalian pembolehubah rawak diskret. Taburan binomial. Pengagihan Poisson. Taburan geometri. fungsi penjanaan.

6. Taburan kebarangkalian pembolehubah rawak diskret

6.1. Taburan binomial

Biar terhasil n percubaan bebas, dalam setiap satu peristiwa A mungkin muncul atau tidak. Kebarangkalian hlm berlakunya sesuatu peristiwa A dalam semua ujian adalah malar dan tidak berubah dari ujian ke ujian. Pertimbangkan sebagai pembolehubah rawak X bilangan kejadian peristiwa itu A dalam ujian ini. Formula untuk mencari kebarangkalian sesuatu kejadian berlaku A licin k sekali a n ujian, seperti yang diketahui, diterangkan Formula Bernoulli

Taburan kebarangkalian yang ditakrifkan oleh formula Bernoulli dipanggil binomial .

Undang-undang ini dipanggil "binomial" kerana bahagian kanan boleh dianggap sebagai istilah biasa dalam pengembangan binomial Newton.

Kami menulis hukum binomial dalam bentuk jadual

	hlm n	np n –1 q				q n

Mari kita cari ciri berangka bagi taburan ini.

Dengan takrif jangkaan matematik untuk DSW, kita ada

.

Mari kita tuliskan kesamaan, iaitu tong Newton

.

dan membezakannya berkenaan dengan p. Hasilnya, kita dapat

.

Darabkan kiri dan sebelah kanan pada hlm:

.

Memandangkan itu hlm+ q=1, kita ada

(6.2)

Jadi, jangkaan matematik bilangan kejadian peristiwa dalamnpercubaan bebas adalah sama dengan produk bilangan percubaannatas kebarangkalianhlmberlakunya peristiwa dalam setiap percubaan.

Kami mengira penyebaran dengan formula

.

Untuk ini kita dapati

.

Pertama, kita membezakan formula binomial Newton dua kali berkenaan dengan hlm:

dan darab kedua-dua belah persamaan dengan hlm 2:

Akibatnya,

Jadi varians taburan binomial ialah

. (6.3)

Keputusan ini juga boleh didapati daripada penaakulan kualitatif semata-mata. Jumlah kejadian X kejadian A dalam semua percubaan ditambah kepada bilangan kejadian peristiwa dalam percubaan individu. Oleh itu, jika X 1 ialah bilangan kejadian dalam percubaan pertama, X 2 dalam percubaan kedua, dsb., maka jumlah nombor kejadian peristiwa A dalam semua percubaan adalah sama dengan X=X 1 +X 2 +…+X n. Mengikut sifat jangkaan matematik:

Setiap istilah di sebelah kanan kesamaan ialah jangkaan matematik bilangan peristiwa dalam satu ujian, yang sama dengan kebarangkalian peristiwa itu. Dengan cara ini,

Mengikut sifat penyebaran:

Sejak , dan jangkaan matematik pembolehubah rawak , yang boleh mengambil hanya dua nilai, iaitu 1 2 dengan kebarangkalian hlm dan 0 2 dengan kebarangkalian q, kemudian
. Dengan cara ini,
Hasilnya, kita dapat

Menggunakan konsep momen awal dan pusat, seseorang boleh mendapatkan formula untuk kecondongan dan kurtosis:

. (6.4)

nasi. 6.1

Poligon taburan binomial mempunyai bentuk berikut (lihat Rajah 6.1). Kebarangkalian P n (k) mula-mula meningkat dengan peningkatan k, mencapai nilai yang paling besar dan kemudian mula berkurangan. Taburan binomial adalah condong kecuali untuk kes itu hlm=0.5. Perhatikan bahawa apabila bilangan yang besar ujian n taburan binomial adalah sangat hampir dengan normal. (Kewajaran untuk proposisi ini berkaitan dengan teorem Moivre-Laplace tempatan.)

Nomborm 0 berlakunya sesuatu peristiwa dipanggilkemungkinan besar , jika kebarangkalian kejadian berlaku beberapa kali dalam siri percubaan ini adalah yang terbesar (maksimum dalam poligon taburan). Untuk taburan binomial

Komen. Ketaksamaan ini boleh dibuktikan menggunakan formula berulang untuk kebarangkalian binomial:

(6.6)

Contoh 6.1. Bahagian produk premium di perusahaan ini ialah 31%. Apakah min dan varians, juga bilangan item premium yang paling berkemungkinan dalam kumpulan 75 item yang dipilih secara rawak?

Penyelesaian. Kerana ia hlm=0,31, q=0,69, n=75, maka

M[ X] = np= 750.31 = 23.25; D[ X] = npq = 750,310,69 = 16,04.

Untuk mencari nombor yang paling mungkin m 0 , kami menyusun ketaksamaan berganda

Oleh itu ia mengikutinya m 0 = 23.