Penyelesaian khusus bagi persamaan pembezaan tertib ketiga. Persamaan pembezaan tertib tinggi

Dalam beberapa masalah fizik, tidak mungkin untuk mewujudkan hubungan langsung antara kuantiti yang menerangkan proses. Tetapi adalah mungkin untuk mendapatkan kesamaan yang mengandungi derivatif fungsi yang dikaji. Ini adalah bagaimana persamaan pembezaan timbul dan keperluan untuk menyelesaikannya untuk mencari fungsi yang tidak diketahui.

Artikel ini bertujuan untuk mereka yang berhadapan dengan masalah menyelesaikan persamaan pembezaan di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi satu pembolehubah. Teori ini distrukturkan sedemikian rupa sehingga dengan pengetahuan sifar tentang persamaan pembezaan, anda boleh mengatasi tugas anda.

Setiap jenis persamaan pembezaan kaedah penyelesaian diletakkan mengikut penjelasan terperinci dan penyelesaian kepada contoh dan masalah biasa. Apa yang anda perlu lakukan ialah menentukan jenis persamaan pembezaan masalah anda, cari contoh yang dianalisis yang serupa dan lakukan tindakan yang serupa.

Untuk penyelesaian yang berjaya persamaan pembezaan, anda juga memerlukan keupayaan untuk mencari set antiderivatif ( kamiran tak tentu) pelbagai fungsi. Jika perlu, kami mengesyorkan anda merujuk kepada bahagian tersebut.

Pertama, kita akan mempertimbangkan jenis persamaan pembezaan biasa tertib pertama yang boleh diselesaikan berkenaan dengan terbitan, kemudian kita akan beralih kepada ODE tertib kedua, kemudian kita akan memikirkan persamaan peringkat tinggi dan berakhir dengan sistem persamaan pembezaan.

Ingat bahawa jika y ialah fungsi hujah x.

Persamaan pembezaan tertib pertama.

Persamaan pembezaan tertib pertama yang paling mudah bagi bentuk.

Mari tuliskan beberapa contoh alat kawalan jauh tersebut .

Persamaan pembezaan boleh diselesaikan berkenaan dengan terbitan dengan membahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan f(x) . Dalam kes ini, kita sampai pada persamaan yang akan bersamaan dengan persamaan asal untuk f(x) ≠ 0. Contoh ODE tersebut ialah .

Jika terdapat nilai hujah x di mana fungsi f(x) dan g(x) hilang serentak, maka penyelesaian tambahan muncul. Penyelesaian tambahan kepada persamaan diberi x ialah sebarang fungsi yang ditakrifkan untuk nilai hujah ini. Contoh persamaan pembezaan tersebut termasuk:

Persamaan pembezaan tertib kedua.

Persamaan pembezaan homogen linear tertib kedua dengan pekali malar.

LDE dengan pekali malar adalah jenis persamaan pembezaan yang sangat biasa. Penyelesaian mereka tidak begitu sukar. Mula-mula akar dijumpai persamaan ciri . Untuk p dan q yang berbeza, tiga kes mungkin: punca persamaan ciri boleh nyata dan berbeza, nyata dan bertepatan atau konjugat kompleks. Bergantung pada nilai akar persamaan ciri, ia ditulis penyelesaian umum persamaan pembezaan sebagai , atau , atau masing-masing.

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar. Punca-punca persamaan cirinya ialah k 1 = -3 dan k 2 = 0. Akar adalah nyata dan berbeza, oleh itu, penyelesaian umum LODE dengan pekali malar mempunyai bentuk


Persamaan pembezaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar.

Penyelesaian umum LDDE tertib kedua dengan pekali malar y dicari dalam bentuk jumlah penyelesaian umum LDDE yang sepadan. dan penyelesaian tertentu kepada yang asal tidak persamaan homogen, iaitu, . Perenggan sebelumnya dikhaskan untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan homogen dengan pekali malar. Dan penyelesaian tertentu ditentukan sama ada dengan kaedah pekali tak tentu dengan bentuk tertentu fungsi f(x) di sebelah kanan persamaan asal, atau dengan kaedah mengubah pemalar arbitrari.

Sebagai contoh LDDE tertib kedua dengan pekali malar, kami berikan


Fahami teori dan biasakan diri penyelesaian terperinci Kami menawarkan anda contoh pada halaman persamaan pembezaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar.

Persamaan pembezaan homogen linear (LODE) dan persamaan pembezaan tak homogen linear (LNDE) tertib kedua.

Satu kes khas persamaan pembezaan jenis ini ialah LODE dan LDDE dengan pekali malar.

Penyelesaian am LODE pada segmen tertentu diwakili oleh gabungan linear dua penyelesaian separa bebas linear y 1 dan y 2 persamaan ini, iaitu, .

Kesukaran utama terletak tepat dalam mencari penyelesaian separa bebas linear kepada persamaan pembezaan jenis ini. Biasanya, penyelesaian tertentu dipilih daripada sistem berikut fungsi bebas linear:


Walau bagaimanapun, penyelesaian tertentu tidak selalu dibentangkan dalam borang ini.

Contoh LOD ialah .

Penyelesaian umum LDDE dicari dalam bentuk , di mana ialah penyelesaian umum LDDE yang sepadan, dan merupakan penyelesaian khusus bagi persamaan pembezaan asal. Kami baru sahaja bercakap tentang mencarinya, tetapi ia boleh ditentukan menggunakan kaedah mengubah pemalar sewenang-wenangnya.

Contoh LNDU boleh diberikan .

Persamaan pembezaan tertib yang lebih tinggi.

Persamaan pembezaan yang membenarkan pengurangan tertib.

Susunan persamaan pembezaan , yang tidak mengandungi fungsi yang diingini dan terbitannya sehingga tertib k-1, boleh dikurangkan kepada n-k dengan menggantikan .

Dalam kes ini, persamaan pembezaan asal akan dikurangkan kepada . Selepas mencari penyelesaiannya p(x), ia kekal untuk kembali kepada penggantian dan menentukan fungsi y yang tidak diketahui.

Sebagai contoh, persamaan pembezaan selepas penggantian, ia akan menjadi persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan, dan susunannya akan dikurangkan daripada ketiga kepada pertama.

Persamaan bentuk: dipanggil persamaan pembezaan linear susunan yang lebih tinggi, dengan a 0 , a 1 ,…a n ialah fungsi pembolehubah x atau pemalar, dan a 0 , a 1 ,…a n dan f(x) dianggap selanjar.

Jika a 0 =1(jika
maka anda boleh membahagikannya ke dalamnya)
persamaan akan mengambil bentuk:

Jika
persamaan tidak homogen.

persamaan adalah homogen.

Persamaan pembezaan homogen linear tertib n

Persamaan bentuk: dipanggil persamaan pembezaan homogen linear tertib n.

Teorem berikut adalah sah untuk persamaan ini:

Teorem 1: Jika
- penyelesaian , kemudian jumlahnya
- juga penyelesaian

Bukti: mari kita gantikan jumlah dalam

Memandangkan terbitan bagi sebarang susunan jumlah adalah sama dengan jumlah terbitan, anda boleh menyusun semula dengan membuka kurungan:

kerana y 1 dan y 2 ialah penyelesaiannya.

0=0(betul)
jumlah itu juga adalah keputusan.

teorem terbukti.

Teorem 2: Jika y 0 ialah penyelesaian , Itu
- juga penyelesaian .

Bukti: Mari kita ganti
ke dalam persamaan

oleh kerana C dikeluarkan daripada tanda terbitan, maka

kerana penyelesaian, 0=0(betul)
Сy 0 juga merupakan penyelesaian.

teorem terbukti.

Akibat daripada T1 dan T2: Jika
- penyelesaian (*)
Gabungan linear juga merupakan penyelesaian (*).

Sistem fungsi bebas linear dan bergantung linear. Penentu Wronski dan sifatnya

Definisi: Sistem fungsi
- dipanggil bebas linear jika gabungan linear pekali
.

Definisi: Sistem fungsi
- dipanggil bersandar linear jika terdapat pekali
.

Mari kita ambil sistem dua fungsi bersandar linear
kerana
atau
- syarat kemerdekaan linear dua fungsi.

1)
bebas linear

2)
bergantung secara linear

3) bergantung secara linear

Definisi: Sistem fungsi diberikan
- fungsi pembolehubah x.

Penentu
-Wronski penentu untuk sistem fungsi
.

Untuk sistem dua fungsi, penentu Wronski kelihatan seperti ini:

Sifat penentu Wronsky:

Teorem: Mengenai penyelesaian umum persamaan pembezaan homogen linear tertib ke-2.

Jika y 1 dan y 2 ialah penyelesaian bebas linear bagi persamaan pembezaan homogen linear tertib ke-2, maka

penyelesaian umum ialah:

Bukti:
- keputusan berdasarkan akibat T1 dan T2.

Jika syarat awal diberikan maka Dan mesti ditemui dengan jelas.

- syarat awal.

Mari buat sistem untuk mencari Dan . Untuk melakukan ini, kami menggantikan syarat awal ke dalam penyelesaian umum.

penentu sistem ini:
- Penentu Wronski dikira pada titik x 0

kerana Dan bebas linear
(2 0 setiap satu)

oleh kerana penentu sistem tidak sama dengan 0, maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik dan Dan ditemui secara unik daripada sistem.

Penyelesaian am bagi persamaan pembezaan homogen linear tertib n

Ia boleh ditunjukkan bahawa persamaan mempunyai n penyelesaian bebas linear

Definisi: n penyelesaian bebas linear
persamaan pembezaan homogen linear tertib n dipanggil sistem penyelesaian asas.

Penyelesaian am bagi persamaan pembezaan homogen linear tertib n, iaitu (*) ialah gabungan linear sistem asas penyelesaian:

di mana
- sistem penyelesaian asas.

Persamaan pembezaan homogen linear tertib ke-2 dengan pekali malar

Ini adalah persamaan bentuk:
, di manap dan g ialah nombor(*)

Definisi: Persamaan
- dipanggil persamaan ciri persamaan pembezaan (*) – persamaan kuadratik biasa, penyelesaiannya bergantung pada D, kes berikut mungkin:

1)D>0
- dua penyelesaian berbeza yang sah.

2)D=0
- satu punca sebenar bagi gandaan 2.

3)D<0
- dua akar konjugat kompleks.

Bagi setiap kes ini, kami menunjukkan sistem asas penyelesaian yang terdiri daripada 2 fungsi Dan .

Kami akan menunjukkan bahawa:

1) Dan - LNZ

2) Dan - penyelesaian (*)

Mari kita pertimbangkan 1 kes D>0
- 2 akar sebenar berbeza.

X
persamaan ciri:

Mari kita ambil sebagai FSR:

a) tunjukkan LNZ

b) kami akan tunjukkan itu - penyelesaian (*), gantikan

+hlm
+g
=0

persamaan sebenar

penyelesaian (*)

ditunjukkan sama untuk y 2 .

Kesimpulan:
- FSR (*)
penyelesaian umum

Mari kita pertimbangkan kes 2: D=0
- 1 punca sebenar bagi gandaan 2.

Mari kita ambil sebagai FSR:

LNZ:
Terdapat LNZ.

-penyelesaian persamaan (lihat kes 1). Mari kita tunjukkan itu
- penyelesaian.

letakkan dalam alat kawalan jauh

-penyelesaian.

Kesimpulan: FSR

Contoh:

Kes 3: D<0
- 2 akar konjugat kompleks.

mari kita ganti
dalam watak persamaan

Nombor kompleks ialah 0 apabila bahagian nyata dan khayalan ialah 0.

- kami akan menggunakannya.

Mari kita tunjukkan itu
- membentuk FSR.

A) LNZ:

B)
- penyelesaian kawalan jauh

persamaan sebenar
- keputusan sistem kawalan.

Begitu juga ditunjukkan bahawa juga penyelesaian.

Kesimpulan: FSR:

Penyelesaian umum:

Jika dinyatakan no.

- kemudian cari penyelesaian umum dahulu
, terbitannya:
, dan kemudian mereka menggantikan n.u ke dalam sistem ini dan mencari Dan .

Nah:

Selalunya hanya sebutan persamaan pembezaan menyebabkan pelajar berasa tidak selesa. Mengapa ini berlaku? Selalunya, kerana apabila mempelajari asas-asas bahan, jurang dalam pengetahuan timbul, yang mana kajian lanjut tentang difur menjadi penyeksaan semata-mata. Tidak jelas apa yang perlu dilakukan, bagaimana untuk membuat keputusan, di mana untuk bermula?

Walau bagaimanapun, kami akan cuba menunjukkan kepada anda bahawa difur tidaklah sesukar yang kelihatan.

Konsep asas teori persamaan pembezaan

Dari sekolah kita tahu persamaan paling mudah di mana kita perlu mencari x yang tidak diketahui. Pada asasnya persamaan pembezaan hanya berbeza sedikit daripada mereka - bukannya pembolehubah X anda perlu mencari fungsi di dalamnya y(x) , yang akan menjadikan persamaan menjadi identiti.

D persamaan pembezaan mempunyai kepentingan praktikal yang besar. Ini bukan matematik abstrak yang tiada kaitan dengan dunia sekeliling kita. Banyak proses semula jadi sebenar diterangkan menggunakan persamaan pembezaan. Contohnya, getaran tali, pergerakan pengayun harmonik, menggunakan persamaan pembezaan dalam masalah mekanik, mencari kelajuan dan pecutan jasad. Juga DU digunakan secara meluas dalam biologi, kimia, ekonomi dan banyak lagi sains lain.

Persamaan pembezaan (DU) ialah persamaan yang mengandungi derivatif bagi fungsi y(x), fungsi itu sendiri, pembolehubah bebas dan parameter lain dalam pelbagai kombinasi.

Terdapat banyak jenis persamaan pembezaan: persamaan pembezaan biasa, linear dan tak linear, homogen dan tidak homogen, persamaan pembezaan tertib pertama dan lebih tinggi, persamaan pembezaan separa, dan sebagainya.

Penyelesaian kepada persamaan pembezaan ialah fungsi yang mengubahnya menjadi identiti. Terdapat penyelesaian umum dan khusus alat kawalan jauh.

Penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan ialah set umum penyelesaian yang mengubah persamaan menjadi identiti. Penyelesaian separa bagi persamaan pembezaan ialah penyelesaian yang memenuhi syarat tambahan yang dinyatakan pada mulanya.

Susunan persamaan pembezaan ditentukan oleh susunan tertinggi terbitannya.

Persamaan pembezaan biasa

Persamaan pembezaan biasa adalah persamaan yang mengandungi satu pembolehubah bebas.

Mari kita pertimbangkan persamaan pembezaan biasa termudah bagi susunan pertama. Ia kelihatan seperti:

Persamaan ini boleh diselesaikan dengan hanya menyepadukan sebelah kanannya.

Contoh persamaan tersebut:

Persamaan boleh dipisahkan

Secara umum, persamaan jenis ini kelihatan seperti ini:

Berikut ialah contoh:

Apabila menyelesaikan persamaan sedemikian, anda perlu memisahkan pembolehubah, membawanya ke bentuk:

Selepas ini, ia kekal untuk mengintegrasikan kedua-dua bahagian dan mendapatkan penyelesaian.

Persamaan pembezaan linear bagi urutan pertama

Persamaan sedemikian kelihatan seperti:

Di sini p(x) dan q(x) ialah beberapa fungsi pembolehubah bebas, dan y=y(x) ialah fungsi yang diingini. Berikut adalah contoh persamaan sedemikian:

Apabila menyelesaikan persamaan sedemikian, selalunya mereka menggunakan kaedah mengubah pemalar arbitrari atau mewakili fungsi yang diingini sebagai hasil darab dua fungsi lain y(x)=u(x)v(x).

Untuk menyelesaikan persamaan sedemikian, penyediaan tertentu diperlukan dan agak sukar untuk mengambilnya "sepintas lalu".

Contoh penyelesaian persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan

Jadi kami melihat jenis alat kawalan jauh yang paling mudah. Sekarang mari kita lihat penyelesaian kepada salah satu daripada mereka. Biarkan ini menjadi persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan.

Mula-mula, mari kita tulis semula derivatif dalam bentuk yang lebih biasa:

Kemudian kami membahagikan pembolehubah, iaitu, dalam satu bahagian persamaan kami mengumpul semua "Saya", dan yang lain - "X":

Kini ia kekal untuk mengintegrasikan kedua-dua bahagian:

Kami menyepadukan dan mendapatkan penyelesaian umum untuk persamaan ini:

Sudah tentu, menyelesaikan persamaan pembezaan adalah sejenis seni. Anda perlu dapat memahami jenis persamaan itu, dan juga belajar untuk melihat transformasi yang perlu dibuat dengannya untuk membawa kepada satu bentuk atau yang lain, apatah lagi hanya keupayaan untuk membezakan dan menyepadukan. Dan untuk berjaya menyelesaikan DE, anda memerlukan latihan (seperti dalam segala-galanya). Dan jika pada masa ini anda tidak mempunyai masa untuk memahami cara persamaan pembezaan diselesaikan atau masalah Cauchy telah tersekat seperti tulang di kerongkong anda, atau anda tidak tahu, hubungi pengarang kami. Dalam masa yang singkat, kami akan memberikan anda penyelesaian siap pakai dan terperinci, butiran yang anda boleh fahami pada bila-bila masa yang sesuai untuk anda. Sementara itu, kami mencadangkan menonton video mengenai topik "Cara menyelesaikan persamaan pembezaan":

Persamaan diselesaikan dengan penyepaduan langsung

Pertimbangkan persamaan pembezaan berikut:
.
Kami menyepadukan n kali.
;
;
dan seterusnya. Anda juga boleh menggunakan formula:
.
Lihat Persamaan pembezaan yang boleh diselesaikan secara langsung integrasi > > >

Persamaan yang tidak mengandungi pembolehubah bersandar y secara eksplisit

Penggantian menurunkan susunan persamaan dengan satu. Berikut ialah fungsi daripada .
Lihat Persamaan pembezaan tertib lebih tinggi yang tidak mengandungi fungsi secara eksplisit > > >

Persamaan yang tidak termasuk pembolehubah bebas x secara eksplisit

.
Kami menganggap itu adalah fungsi .
.
Begitu juga untuk derivatif lain. Akibatnya, susunan persamaan dikurangkan dengan satu.
Lihat Persamaan pembezaan tertib lebih tinggi yang tidak mengandungi pembolehubah eksplisit > > >

Persamaan homogen berkenaan dengan y, y′, y′′, ...

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita membuat penggantian
,
di manakah fungsi .
.
Kemudian
Kami juga mengubah derivatif, dsb. Akibatnya, susunan persamaan dikurangkan dengan satu.

Lihat persamaan pembezaan tertib tinggi yang homogen berkenaan dengan fungsi dan terbitannya > > >

Persamaan pembezaan linear bagi susunan yang lebih tinggi Mari kita pertimbangkan:
(1) ,
persamaan pembezaan homogen linear tertib ke-n
(2) ,
di manakah fungsi pembolehubah bebas. Biarkan terdapat n penyelesaian bebas linear untuk persamaan ini. Kemudian penyelesaian umum kepada persamaan (1) mempunyai bentuk: di mana pemalar sewenang-wenangnya. Fungsi itu sendiri terbentuk
sistem asas keputusan.

Persamaan pembezaan linear bagi susunan yang lebih tinggi Sistem penyelesaian asas:
.
daripada persamaan homogen linear tertib ke-n ialah n penyelesaian bebas linear bagi persamaan ini.
,
persamaan pembezaan tak homogen linear bagi tertib ke-n

Biarkan ada penyelesaian tertentu (mana-mana) untuk persamaan ini. Kemudian penyelesaian umum mempunyai bentuk:

di mana ialah penyelesaian am bagi persamaan homogen (1).

Persamaan pembezaan linear dengan pekali malar dan boleh dikurangkan kepada mereka
(3) .
Persamaan homogen linear dengan pekali malar Ini adalah persamaan bentuk: di sini -
(2) .

nombor nyata . Untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan ini, kita perlu mencari n penyelesaian bebas linear yang membentuk sistem asas penyelesaian. Kemudian penyelesaian umum ditentukan oleh formula (2)::
(4) .

Kami sedang mencari penyelesaian dalam bentuk . Kami dapat persamaan ciri
.

Jika persamaan ini mempunyai pelbagai akar
,
, maka sistem asas penyelesaian mempunyai bentuk: Jika ada akar kompleks

maka wujud juga akar konjugat kompleks. Kedua-dua punca ini sepadan dengan penyelesaian dan , yang sebaliknya kami sertakan dalam sistem asas

penyelesaian bersepadu Dan .
.

Berbilang akar

Persamaan pembezaan linear bagi susunan yang lebih tinggi pendaraban sepadan dengan penyelesaian bebas linear: .
,
Berbilang akar kompleks 1 pendaraban dan nilai konjugat kompleksnya sepadan dengan penyelesaian bebas linear: 2 Persamaan tak homogen linear dengan bahagian tak homogen khas

persamaan bentuk di manakah polinomial darjah s dan s
,
;
;
;
- kekal. 1 pendaraban dan nilai konjugat kompleksnya sepadan dengan penyelesaian bebas linear: 2 .

Mula-mula kita mencari penyelesaian umum kepada persamaan homogen (3). Jika persamaan ciri (4) tidak mengandungi akar multiplicity, maka kita mencari penyelesaian tertentu dalam bentuk:
.

Selepas ini kita mendapat penyelesaian umum:
.

Persamaan tak homogen linear dengan pekali malar

Terdapat tiga penyelesaian yang mungkin di sini.

1) kaedah Bernoulli.
Pertama, kita mencari sebarang penyelesaian bukan sifar kepada persamaan homogen
.
Kemudian kita buat penggantian
,
di mana ialah fungsi pembolehubah x. - 1 Kami memperoleh persamaan pembezaan untuk u, yang mengandungi hanya terbitan u berkenaan dengan x.

2) Menjalankan penggantian, kita memperoleh persamaan n - pesanan ke. .
Kaedah
,
penggantian linear Mari buat penggantian di mana ialah salah satu punca persamaan ciri (4). Akibatnya, kami memperoleh linear

3) persamaan tak homogen.
dengan pekali tertib yang tetap.
(2) .
Menggunakan penggantian ini secara konsisten, kami mengurangkan persamaan asal kepada persamaan tertib pertama.
,
Kaedah variasi pemalar Lagrange

Dalam kaedah ini, kita terlebih dahulu menyelesaikan persamaan homogen (3). Penyelesaiannya kelihatan seperti:

Kami selanjutnya menganggap bahawa pemalar adalah fungsi pembolehubah x. Kemudian penyelesaian kepada persamaan asal mempunyai bentuk: di mana terdapat fungsi yang tidak diketahui. Menggantikan ke dalam persamaan asal dan mengenakan beberapa sekatan, kita memperoleh persamaan dari mana kita boleh mencari jenis fungsi.
.
Persamaan Euler
.
Ia datang ke

persamaan linear
dengan pekali penggantian tetap:
Walau bagaimanapun, untuk menyelesaikan persamaan Euler, tidak perlu membuat penggantian sedemikian. Anda boleh segera mencari penyelesaian kepada persamaan homogen dalam bentuk Hasilnya, kami memperoleh peraturan yang sama seperti persamaan dengan pekali malar, yang bukannya pembolehubah anda perlu menggantikan . Sastera terpakai:

V.V. Stepanov, Kursus persamaan pembezaan, "LKI", 2015.

N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksi masalah pada

matematik yang lebih tinggi , "Lan", 2003. >1 (2)

Persamaan pembezaan tertib tinggi , "Lan", 2003. Terminologi asas persamaan pembezaan peringkat tinggi (DEHE).

Persamaan bentuk , di mana , "Lan", 2003. n

dipanggil persamaan pembezaan tertib tinggi, i.e.

-perintah ke-.

kawasan definisi DU,
tertib ada rantau .

Dalam kursus ini, jenis sistem kawalan berikut akan dipertimbangkan:
:

1)
Masalah cauchy DU VP:
;

Biarkan alat kawalan jauh diberikan,

dan syarat awal n/a: nombor . (Anda perlu mencari fungsi boleh beza berterusan dan n kali 0 , ialah penyelesaian kepada DE yang diberikan pada , i.e. 0 ) 2) memenuhi syarat awal yang diberikan: . Untuk DE tertib kedua, tafsiran geometri bagi penyelesaian masalah adalah seperti berikut: lengkung kamiran yang melalui titik dicari x = ialah penyelesaian kepada DE yang diberikan pada , i.e. 0 ́ .

y(penyelesaian kepada masalah Cauchy untuk DE (2)):

jika 1)
berterusan (secara keseluruhan (, "Lan", 2003.+1) hujah) di kawasan itu
; 2)
berterusan (di atas keseluruhan hujah
) dalam , kemudian ! penyelesaian masalah Cauchy untuk DE, memenuhi syarat awal yang diberikan n/a: .

Rantau ini dipanggil wilayah keunikan DE.

Penyelesaian am VP alat kawalan jauh (2) – , "Lan", 2003. -parametrik fungsi,
, Di mana
– pemalar sewenang-wenangnya, memenuhi keperluan berikut:

1)

– penyelesaian DE (2) pada ;

2) n/a dari bidang keunikan!
:
memenuhi syarat awal yang diberikan.

Komen.

Lihat perhubungan
, yang secara tersirat menentukan penyelesaian am DE (2) dipanggil kamiran am DU.

Penyelesaian peribadi DE (2) diperoleh daripada penyelesaian amnya untuk nilai tertentu .

Integrasi alat kawalan jauh VP.

Persamaan pembezaan tertib tinggi, sebagai peraturan, tidak boleh diselesaikan dengan kaedah analisis yang tepat.

Marilah kita mengenal pasti jenis DUVP tertentu yang membenarkan pengurangan mengikut tertib dan boleh dikurangkan kepada kuadratur. Mari kita jadualkan jenis persamaan dan kaedah ini untuk mengurangkan susunannya.

VP DEs membenarkan pengurangan mengikut urutan

		Kaedah pengurangan pesanan
	Sistem kawalan tidak lengkap, ia tidak mengandungi . Sebagai contoh,	dll. Selepas , "Lan", 2003. Penyepaduan berbilang menghasilkan penyelesaian umum kepada DE.
	Persamaan tidak lengkap; ia jelas tidak mengandungi fungsi yang diperlukan dan dia derivatif pertama. Sebagai contoh,	Penggantian menurunkan susunan persamaan dengan x unit.
	Persamaan tidak lengkap; ia jelas tidak mengandungi hujah fungsi yang dikehendaki. Sebagai contoh,	Penggantian tertib persamaan dikurangkan dengan satu.
	Persamaan adalah dalam derivatif tepat; ia boleh lengkap atau tidak lengkap. Persamaan sedemikian boleh ditukar kepada bentuk (*) ́= (*)́, di mana bahagian kanan dan kiri persamaan adalah terbitan tepat bagi beberapa fungsi.	Mengintegrasikan sisi kanan dan kiri persamaan di atas argumen menurunkan susunan persamaan dengan satu.
		Penggantian menurunkan susunan persamaan dengan satu.

Definisi fungsi homogen:

Fungsi
dipanggil homogen dalam pembolehubah
, Jika


pada mana-mana titik dalam domain definisi fungsi
;

– susunan kehomogenan.

Sebagai contoh, ialah fungsi homogen tertib ke-2 berkenaan dengan
, iaitu .

Contoh 1:

Cari penyelesaian umum alat kawalan jauh
.

DE tertib ke-3, tidak lengkap, tidak mengandungi secara eksplisit
. Kami menyepadukan persamaan secara berurutan tiga kali.

,

– penyelesaian am alat kawalan jauh.

Contoh 2:

Selesaikan masalah Cauchy untuk alat kawalan jauh
di

.

DE tertib kedua, tidak lengkap, tidak mengandungi secara eksplisit .

Penggantian
dan terbitannya
akan menurunkan susunan alat kawalan jauh sebanyak satu.

. Kami memperoleh perintah pertama DE - persamaan Bernoulli. Untuk menyelesaikan persamaan ini kita menggunakan penggantian Bernoulli:

,

dan masukkannya ke dalam persamaan.

Pada peringkat ini kita menyelesaikan masalah Cauchy untuk persamaan
:
.

– persamaan tertib pertama dengan pembolehubah boleh dipisahkan.

Kami menggantikan syarat awal ke dalam kesamaan terakhir:

Jawapan:
adalah penyelesaian kepada masalah Cauchy yang memenuhi syarat awal.

Contoh 3:

Selesaikan DE.

– DE tertib ke-2, tidak lengkap, tidak mengandungi pembolehubah secara eksplisit, dan oleh itu membenarkan tertib dikurangkan dengan satu menggunakan penggantian atau
.

Kami mendapat persamaan
(biar
).

– DE tertib pertama dengan pembolehubah pemisah. Mari kita pisahkan mereka.

– kamiran am DE.

Contoh 4:

Selesaikan DE.

Persamaan
terdapat persamaan dalam derivatif tepat. sungguh,
.

Mari kita integrasikan bahagian kiri dan kanan berkenaan dengan , i.e.
atau . Kami memperoleh perintah pertama DE dengan pembolehubah boleh dipisahkan, i.e.
– kamiran am DE.

Contoh5:

Selesaikan masalah Cauchy untuk
di .

DE daripada tertib ke-4, tidak lengkap, tidak mengandungi secara eksplisit
. Menyedari bahawa persamaan ini adalah dalam derivatif tepat, kita dapat
atau
,
. Mari kita gantikan syarat awal ke dalam persamaan ini:
. Jom dapatkan alat kawalan jauh
Urutan ke-3 jenis pertama (lihat jadual). Mari kita integrasikan tiga kali, dan selepas setiap penyepaduan kita akan menggantikan keadaan awal ke dalam persamaan:

Jawapan:
- penyelesaian masalah Cauchy DE asal.

Contoh 6:

Selesaikan persamaan.

– DE tertib ke-2, lengkap, mengandungi kehomogenan berkenaan dengan
. Penggantian
akan menurunkan susunan persamaan. Untuk melakukan ini, mari kita kurangkan persamaan kepada bentuk
, membahagikan kedua-dua belah persamaan asal dengan . Dan bezakan fungsi hlm:

.

Mari kita ganti
Dan
dalam alat kawalan jauh:
. Ini ialah persamaan tertib pertama dengan pembolehubah boleh dipisahkan.

Memandangkan itu
, kami mendapat alat kawalan jauh atau
– penyelesaian am DE asal.

Teori persamaan pembezaan linear tertib lebih tinggi.

Istilah asas.

– NLDU -perintah ke-, di mana - fungsi berterusan pada selang waktu tertentu.

Ia dipanggil selang kesinambungan alat kawalan jauh (3).

Mari kita perkenalkan pengendali pembezaan (bersyarat) bagi pesanan ke

Apabila ia bertindak pada fungsi, kita dapat

Iaitu, sebelah kiri persamaan pembezaan linear bagi tertib ke.

Akibatnya, LDE boleh ditulis

Sifat linear pengendali
:

1) – sifat aditiviti

2)
– nombor – sifat kehomogenan

Sifat-sifat ini mudah untuk diperiksa, kerana derivatif fungsi ini mempunyai sifat yang serupa ( jumlah akhir derivatif adalah sama dengan jumlah nombor terhingga derivatif; faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan).

Itu.
– operator linear.

Mari kita pertimbangkan persoalan kewujudan dan keunikan penyelesaian kepada masalah Cauchy untuk LDE
.

Mari kita selesaikan LDE berkenaan dengan
: ,
, – selang kesinambungan.

Fungsi berterusan dalam domain, derivatif
berterusan di kawasan tersebut

Akibatnya, kawasan keunikan di mana masalah Cauchy LDE (3) mempunyai penyelesaian yang unik dan hanya bergantung pada pilihan titik.
, semua nilai hujah lain
fungsi
boleh diambil sewenang-wenangnya.

Teori umum OLDE.

– selang kesinambungan.

Sifat utama penyelesaian OLDE:

1. Sifat tambahan

(
– penyelesaian OLDE (4) pada )
(
– penyelesaian OLDE (4) pada ).

Bukti:

– penyelesaian OLDE (4) pada

– penyelesaian OLDE (4) pada

Kemudian

2. Sifat homogeniti

( – penyelesaian OLDE (4) pada ) (
(– medan angka))

– penyelesaian kepada OLDE (4) pada .

Buktinya serupa.

Sifat aditiviti dan kehomogenan dipanggil sifat linear OLDU (4).

Akibat:

(
– penyelesaian kepada OLDE (4) pada )(

– penyelesaian OLDE (4) pada ).

3. ( – penyelesaian bernilai kompleks OLDE (4) pada )(
ialah penyelesaian bernilai sebenar OLDE (4) pada ).

Bukti:

Jika ialah penyelesaian kepada OLDE (4) pada , maka apabila digantikan ke dalam persamaan ia mengubahnya menjadi identiti, i.e.
.

Oleh kerana kelinearan pengendali, bahagian kiri kesamaan terakhir boleh ditulis seperti berikut:
.

Ini bermakna bahawa , iaitu, ialah penyelesaian bernilai sebenar bagi OLDE (4) pada .

Sifat seterusnya bagi penyelesaian kepada OLDE adalah berkaitan dengan konsep “ pergantungan linear”.

Definisi pergantungan linear sistem fungsi terhingga

Sistem fungsi dikatakan bergantung secara linear jika ada bukan remeh set nombor
supaya gabungan linear
fungsi
dengan nombor ini adalah sama dengan sifar pada , i.e.
.n yang tidak betul. Teorem dibuktikan persamaanlebih tinggisusunan magnitud(4 jam...