Kesilapan Bernoulli Seperti yang difahami dengan baik oleh Fechner, dia bukanlah orang pertama yang cuba mencari fungsi yang mengaitkan intensiti psikologi dengan kekuatan fizikal sesuatu rangsangan. Pada tahun 1738, saintis Switzerland Daniel Bernoulli menjangkakan penjelasan Fechner dan menerapkannya pada hubungan antara

25. Persamaan Bernoulli

25. Persamaan Bernoulli Persamaan Gromeka sesuai untuk menerangkan gerakan bendalir jika komponen fungsi gerakan mengandungi beberapa kuantiti pusaran. Sebagai contoh, kuantiti pusaran ini terkandung dalam komponen?x,?y,?z halaju sudut w. Syarat bahawa gerakan

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Persamaan Bernoulli (kamiran Bernoulli)

Persamaan Bernoulli(Bernoulli integral) dalam hidroaeromekanik [[bagi pihak saintis Switzerland D. Bernoulli], salah satu persamaan asas hidromekanik, yang, dengan gerakan mantap bendalir ideal tak boleh mampat dalam medan graviti seragam, mempunyai bentuk:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
di mana v ialah halaju cecair, ρ ialah ketumpatannya, p ialah tekanan di dalamnya, h ialah ketinggian zarah cecair di atas satah mengufuk tertentu, g ialah pecutan jatuh bebas, C ialah nilai malar pada setiap garisan. , tetapi dalam kes umum menukar nilainya apabila bergerak dari satu garisan ke garisan lain.

Jumlah dua sebutan pertama di sebelah kiri persamaan (1) adalah sama dengan jumlah potensi, dan sebutan ketiga adalah sama dengan tenaga kinetik, dirujuk kepada unit. jisim cecair; oleh itu, keseluruhan persamaan menyatakan untuk bendalir yang bergerak hukum pemuliharaan tenaga mekanikal dan mewujudkan hubungan penting antara v, p dan h. Sebagai contoh, jika pada h malar halaju aliran sepanjang garis arus meningkat, maka tekanan berkurangan, dan sebaliknya. Undang-undang ini digunakan apabila mengukur kelajuan menggunakan tiub pengukur dan dalam ukuran aerodinamik yang lain.

Persamaan Bernoulli juga dibentangkan dalam bentuk
h + p/γ + v 2 /2g = C atau
γh + p + ρv 2/2 = C (2)
(di mana γ =ρg ialah graviti tentu cecair). Dalam kesamaan pertama, semua istilah mempunyai dimensi panjang dan dipanggil ketinggian geometri (meratakan), piezometrik dan halaju yang sepadan, dan dalam kesamaan ke-2 mereka mempunyai dimensi tekanan dan masing-masing dipanggil berat, tekanan statik dan dinamik.

Dalam kes umum, apabila cecair boleh mampat (gas), tetapi barotropik, iaitu, p di dalamnya hanya bergantung pada ρ, dan apabila pergerakannya berlaku dalam mana-mana tetapi medan potensi daya isipadu (jisim) (lihat medan Daya), Persamaan Bernoulli diperolehi sebagai akibat daripada persamaan Euler hidromekanik dan mempunyai bentuk:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
di mana P ialah tenaga keupayaan (potensi) medan daya badan, dirujuk kepada unit. jisim cecair. Dengan aliran gas, nilai P berubah sedikit di sepanjang garis arus, dan ia boleh dimasukkan ke dalam pemalar dengan mengemukakan (3) dalam bentuk:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

Dalam aplikasi teknikal, untuk aliran purata ke atas keratan rentas saluran, yang dipanggil. persamaan Bernoulli umum: mengekalkan bentuk persamaan (1) dan (3), bahagian kiri termasuk kerja daya geseran dan mengatasi rintangan hidraulik, serta kerja mekanikal cecair atau gas (kerja pemampat atau turbin ) dengan tanda yang sepadan. Persamaan umum Bernoulli digunakan secara meluas dalam hidraulik apabila mengira aliran cecair dan gas dalam saluran paip dan dalam kejuruteraan mekanikal apabila mengira pemampat, turbin, pam dan mesin hidraulik dan gas lain.

Kandungan artikel

HIDROAEROMEKANIK Sains pergerakan dan keseimbangan cecair dan gas. Apabila merancang atau menjalankan eksperimen fizikal, adalah perlu untuk mencipta model teori yang sama ada meramalkan kemungkinan keputusan eksperimen ini atau menjelaskan yang telah diperolehi. Hanya dalam interaksi rapat teori dan eksperimen seseorang boleh memahami apa yang berlaku dalam dunia fizikal di sekeliling kita. Untuk mencipta satu atau satu lagi model kuantitatif atau kualitatif fenomena fizikal, asas matematik diperlukan, berdasarkan model tersebut dibina. Dalam kes ini, asas matematik bermaksud persamaan pembezaan dan sempadan serta keadaan awal yang boleh digunakan untuk menggambarkan fenomena fizikal yang sedang dipertimbangkan. Hidromekanik dan menawarkan model dan radas untuk mengkaji fenomena yang berlaku dalam cecair dan gas.

Mengenai hipotesis kesinambungan sederhana.

Hidroaeromekanik mengkaji pergerakan cecair dan gas dalam anggaran apabila ia boleh dianggap sebagai media berterusan, i.e. media yang mengisi ruang aliran yang sedang dipertimbangkan secara berterusan. Untuk menyelesaikan masalah matematik yang berkaitan dengan pengiraan pergerakan pelbagai objek (pesawat, peluru berpandu, kapal, dll.) Di udara atau air, dengan kajian proses gelombang dalam cecair dan gas, dengan alirannya melalui paip dan saluran, dsb. , radas matematik yang menerangkan fenomena ini. Radas ini ialah persamaan hidroaeromekanik, yang berdasarkan hipotesis kesinambungan medium, i.e. atas hipotesis bahawa zarah cecair atau gas secara berterusan memenuhi bahagian ruang fizikal yang mereka duduki.

Persoalan semula jadi timbul: di bawah andaian apakah hipotesis ini sah? Jika untuk cecair (air, logam cecair, dsb.) hipotesis ini lebih kurang jelas, maka untuk gas yang cukup jarang (contohnya, menduduki angkasa lepas, termasuk atmosfera bintang, planet dan Matahari), yang terdiri daripada atom individu atau molekul, serta objek fizikal lain yang digunakan oleh radas hidroaeromekanik, ia memerlukan justifikasinya. Jadi, sebagai contoh, apabila mengira nyahpecutan satelit buatan Bumi, penggunaan radas matematik hidroaeromekanik tidak mungkin, manakala radas inilah yang digunakan untuk mengira nyahpecutan objek angkasa yang memasuki lapisan atmosfera yang padat. Bumi dan planet (contohnya, meteorit atau kapal angkasa yang kembali ke Bumi dsb.). Soalan ini mudah dijawab apabila menghasilkan persamaan. Walau bagaimanapun, ia berikutan daripada kesimpulan ini bahawa hipotesis kesinambungan sederhana adalah sah, khususnya, dalam kes apabila saiz ciri badan yang diperkemas. L(contohnya, jejari satelit sfera) jauh lebih besar daripada laluan bebas purata atom atau molekul gas l, i.e. panjang antara perlanggaran berturut-turut.

Sistem tertutup persamaan hidroaeromekanik.

Persamaan hidroaeromekanik dalam bentuk mudahnya ialah sistem kompleks persamaan pembezaan tak linear untuk ketumpatan jisim r (jisim cecair atau gas per unit isipadu), vektor halaju V dan tekanan hlm, yang, seterusnya, adalah fungsi koordinat ruang (contohnya, x, y dan z dalam koordinat Cartesan) dan masa t. Tanpa pergi ke perincian matematik terbitan persamaan ini, kita boleh mempertimbangkan idea utama terbitan ini, terutamanya kerana persamaan ini adalah undang-undang pemuliharaan jisim, momentum dan tenaga yang diketahui walaupun dari buku teks sekolah. Untuk ini, isipadu fizikal tertentu dipertimbangkan, yang secara berterusan diisi dengan cecair atau gas. Pada rajah. 1 menunjukkan cecair (atau gas) yang bergerak yang memenuhi beberapa bahagian ruang fizikal secara berterusan. Mari kita ambil sedikit kelantangan daripadanya. U(terhad oleh permukaan S), yang sepanjang masa pergerakan terdiri daripada zarah bendalir yang sama (isipadu ini berlorek).

Jelas sekali, semasa pergerakannya, jisim bendalir yang terkandung dalam isipadu U, kekal malar (melainkan, sudah tentu, terdapat sebarang sumber tambahan jisim ini), walaupun isipadu itu sendiri boleh berubah bentuk dengan kuat, kerana zarah-zarah tidak disatukan secara tegar, seperti dalam pepejal. Jika kita memilih daripada isipadu yang dianggap unsur yang sangat kecil D U, maka jelaslah bahawa dalam unsur ini jisim cecair atau gas akan sama dengan rD U. Kemudian hukum pemuliharaan jisim yang terkandung dalam isipadu yang diperuntukkan U, boleh ditulis sebagai

mereka. jisim cecair atau gas yang terkandung dalam isipadu tertentu U, tidak berubah mengikut masa. Di sini kamiran diambil alih jumlah yang diperuntukkan U, yang berubah mengikut masa t. Jika kita menggunakan formula untuk terbitan masa kamiran berkenaan dengan isipadu bergerak, kita boleh mendapatkan persamaan

Persamaan dalam hidroaeromekanik ini biasanya dipanggil persamaan kesinambungan.

Begitu juga, kita kini boleh menulis undang-undang pemuliharaan momentum. Momentum unit isipadu cecair adalah sama dengan r V , dalam rD isipadu asas U, dan dalam jumlah yang diperuntukkan U –

di mana p n ialah vektor daya permukaan yang bertindak pada unsur permukaan S dengan vektor normal unit n. Salah satu masalah utama hidroaeromekanik, akhirnya diselesaikan pada pertengahan abad ke-19, adalah penentuan eksplisit daya permukaan. Dalam rangka pendekatan fenomenologi yang digunakan di sini untuk mendapatkan persamaan hidroaeromekanik, daya permukaan ditentukan secara empirik. Membezakan berkenaan dengan masa kamiran di sebelah kiri dalam persamaan momentum, seperti yang dilakukan apabila memperoleh persamaan kesinambungan, dan lulus dari kamiran permukaan di sebelah kanan kepada kamiran isipadu, seseorang boleh menulis persamaan pembezaan gerakan untuk fungsi berterusan dalam borang

dan kuantiti u, v dan w, dan juga merupakan unjuran vektor halaju V dan kecerunan tekanan pada paksi lembu, Oy dan Oz masing-masing.

Persamaan ini, dipanggil persamaan Navier-Stokes, ditulis dalam bentuk termudah untuk bendalir tak boleh mampat, di mana daya permukaan dikurangkan kepada tekanan normal R, dan sebutan terakhir di sebelah kanan mewakili daya "likat" (m ialah pekali kelikatan) di bawah andaian bahawa r = const.

Persamaan gerakan pertama kali diterbitkan pada pertengahan abad ke-18. L. Euler ketika dia bekerja di Akademi Sains St. Petersburg. Oleh kerana kesan kelikatan dalam cecair belum diketahui pada masa itu, Euler memperoleh persamaan ini pada m = 0. Sebagai penghormatan kepadanya, persamaan ini dipanggil persamaan Euler. Hanya pada tahun 1822, jurutera Perancis Navier memperkenalkan daya ke dalam persamaan Euler yang dikaitkan dengan kelikatan, ditentukan oleh pekali m. Dalam bentuk umum, sah untuk gas boleh mampat, persamaan itu diperolehi oleh Stokes dan dipanggil persamaan Navier-Stokes.

Untuk bendalir tak boleh mampat, persamaan pembezaan kesinambungan dan momentum (satu skalar dan satu vektor) ialah sistem persamaan tertutup untuk menentukan vektor halaju. V dan tekanan skalar R(r = const). Jika r № const, maka persamaan tambahan diperlukan. Persamaan ini diperoleh daripada undang-undang pemuliharaan tenaga.

Generalisasi undang-undang pemuliharaan tenaga kepada kes gerakan cecair dan gas diperolehi sama seperti generalisasi hukum kedua Newton, namun, disebabkan kehadiran gerakan terma dalam cecair dan gas, tenaga per unit isipadu terdiri daripada tenaga kinetik rV 2/2 dan tenaga dalaman semula dikaitkan dengan gerakan haba zarah gas atau cecair. Jumlah tenaga dalam unsur isipadu D U adalah sama dengan r(V 2 /2 + e)D U.

Perubahan dalam jumlah tenaga dalam isipadu yang diperuntukkan U adalah sama dengan kemasukan haba melalui permukaan S disebabkan oleh kekonduksian terma, serta kerja jisim dan daya permukaan, i.e. bukannya hukum pemuliharaan momentum, kita mendapat persamaan

di mana n ialah unit vektor normal ke permukaan S.

Untuk gas sempurna e = CV T, di mana dengan v ialah muatan haba pada isipadu tetap, T ialah suhu, dan hukum Fourier empirikal biasanya diterima pakai untuk vektor fluks haba q= – l T(l ialah pekali kekonduksian terma). Selepas pembezaan yang sesuai berkenaan dengan masa sebelah kiri persamaan tenaga, peralihan daripada kamiran permukaan kepada kamiran isipadu, dan menggunakan persamaan kesinambungan dan persamaan gerakan, seseorang boleh mendapatkan apa yang dipanggil persamaan perolehan haba untuk fungsi berterusan.

Semua persamaan ini, bersama-sama dengan persamaan keadaan bagi gas sempurna

p= r R T,

di mana R = (dengan p - dengan v) ialah pemalar gas, dan dengan p ialah muatan haba pada tekanan malar, dan hukum Fourier

Bentuk sistem tertutup persamaan hidroaeromekanik untuk menentukan vektor halaju V, tekanan hlm, ketumpatan r dan suhu T.

Jika mana-mana fenomena fizikal bergantung sedikit pada proses dissipative (kelikatan dan kekonduksian terma), maka persamaan ini dikurangkan kepada persamaan hidroaeromekanik cecair ideal. Dalam kes ini, sistem tertutup persamaan untuk menentukan R, r V dan T ialah sistem

Persamaan terakhir ialah undang-undang adiabatik, yang mudah dikurangkan kepada undang-undang pemuliharaan entropi. Di sini g = dengan p/c v ialah indeks adiabatik, i.e. nisbah muatan haba pada tekanan malar kepada kapasiti haba pada isipadu malar.

Hidrostatik

ialah kes khas hidroaeromekanik, yang mengkaji keseimbangan cecair dan gas, i.e. keadaan mereka dalam ketiadaan halaju hidrodinamik ( V= 0). Keputusan dan kaedah hidrostatik adalah sangat penting untuk banyak masalah yang penting dari sudut praktikal dan umum saintifik. Dalam hidrostatik, masalah dianggap berkaitan dengan keseimbangan air dalam besen air, udara di atmosfera bumi, masalah mengira daya yang bertindak ke atas jasad yang direndam dalam cecair atau gas diselesaikan, taburan tekanan, ketumpatan, suhu dalam atmosfera planet, bintang, Matahari dan set tugas lain.

Persamaan hidrostatik diperoleh daripada persamaan hidroaeromekanik untuk V=0. Khususnya, persamaan pemuliharaan momentum memberi

Di mana, khususnya, mengikuti undang-undang Pascal yang diketahui dari buku teks sekolah, yang menurutnya, jika tiada kuasa massa luar ( F= 0) tekanan adalah malar di mana-mana (p = const).

Keseimbangan gas sempurna dalam medan graviti.

Biarkan ada gas di medan graviti pusat. Persamaan keseimbangan dalam sistem koordinat sfera dalam kes ini akan ditulis sebagai:

Di sini r, q dan c- masing-masing, jarak ke pusat tarikan jisim M, diletakkan pada asal, sudut yang diukur dari paksi kutub Oz, dan sudut dalam satah Oxy, G- pemalar graviti, sama dengan 6.67×10 -8 dyn cm 2 g -2.

Dari persamaan ini dapat dilihat bahawa dalam medan graviti simetri pusat, tekanan hanya bergantung pada jarak ke pusat ini (mudah untuk menunjukkan bahawa tekanan tidak bergantung pada masa sama ada). Ia juga mudah untuk menunjukkan bahawa ketumpatan dan suhu juga bergantung hanya pada koordinat r. Penyepaduan yang pertama daripada persamaan ini membawa kepada apa yang dipanggil formula barometrik, jika di bawah M memahami jisim Bumi, planet, bintang, Matahari, dll. Apabila menggunakan persamaan keadaan, formula barometrik mempunyai bentuk

di mana p0- tekanan pada jarak tertentu r = r0 dari pusat tarikan (untuk Bumi, sebagai contoh, ini mungkin tekanan di paras laut). Formula ini menentukan taburan tekanan dalam atmosfera bintang, Bumi, planet, Matahari, dsb., jika taburan suhu diketahui T(r), walau bagaimanapun, suhu ini selalunya tidak dapat ditentukan daripada persamaan perolehan haba yang ditulis sebelum ini, kerana ia hanya mengambil kira keuntungan haba akibat kekonduksian terma, manakala bagi atmosfera yang disenaraikan terdapat sumber haba lain yang tidak diambil kira dalam persamaan di atas. Sebagai contoh, atmosfera Matahari dipanaskan oleh pelbagai jenis proses gelombang, dan atmosfera Bumi memproses tenaga sinaran suria, dsb. Oleh itu, untuk menentukan taburan tekanan dalam atmosfera benda angkasa menggunakan formula barometrik , pergantungan empirikal sering digunakan T(r).

Adalah mungkin, sebagai contoh, untuk mengira taburan tekanan dalam atmosfera Bumi sehingga jarak 11 km dari permukaannya. Jika kita memilih sistem koordinat Cartesian dengan asalan di permukaan Bumi dan mengarahkan paksi Oz menegak ke atas, kemudian dalam formula barometrik, bukannya koordinat r, anda perlu mengambil koordinat z = r – R E, di mana R E ialah jejari Bumi. Oleh kerana jejari ini jauh lebih besar daripada ketebalan atmosfera ( z R E), maka formula barometrik untuk suasana rata boleh ditulis semula sebagai

Di sini tatatanda untuk pecutan graviti bumi diperkenalkan

di mana T 0 ialah suhu mutlak di permukaan laut ( z= 0), D ialah nilai empirikal, secara fizikal bermaksud penurunan suhu apabila naik 100m. Untuk suasana sebenar, D = 0.65 selalunya diambil, T 0= 288K.

Jika kita menerima taburan suhu sedemikian, maka tekanan ditulis dalam bentuk

Ini menunjukkan bahawa pergantungan linear empirikal yang diterima T(z) tidak boleh diterima untuk seluruh atmosfera Bumi, kerana pada ketinggian lebih daripada 44 km, tekanan menjadi negatif. Walau bagaimanapun, ia boleh diterima untuk ketinggian yang sangat penting. Daripada eksperimen yang dijalankan dengan satelit, roket altitud tinggi, dsb., ternyata pada altitud tinggi, suhu adalah fungsi altitud yang sangat kompleks dan tidak monoton. Ketidakmonotonan ini disebabkan oleh proses kompleks pemprosesan tenaga suria oleh lapisan atas atmosfera Bumi, yang tidak diambil kira oleh persamaan kemasukan haba.

Keseimbangan cecair tak boleh mampat.

Jika kita mempertimbangkan contoh mudah keseimbangan bendalir tak boleh mampat dalam medan graviti Bumi, maka dari keadaan keseimbangan pada r = const ternyata bahawa

hlm = p0– r gz atau R = p0+r gh,

di mana h ialah kedalaman cecair di bawah permukaannya, p 0 ialah tekanan pada permukaan (Rajah 2). Formula ini, yang diketahui dari buku teks sekolah, menunjukkan bagaimana tekanan dalam cecair meningkat dengan kedalamannya. Menggunakan formula ini, mudah untuk mengira tekanan di bahagian bawah bekas yang dipenuhi dengan cecair. Menariknya, tekanan ini bergantung pada kedalaman, tetapi tidak bergantung pada bentuk kapal. Khususnya, dalam rajah. 3, tekanan pada bahagian bawah kapal 1 dan 2 kawasan bawah yang sama S akan sama, atau daya yang bertindak pada bahagian bawah kapal ini disebabkan oleh tekanan cecair akan sama.

Banyak aplikasi penting adalah berdasarkan penyelesaian persamaan hidrostatik (hukum Archimedes, kestabilan keseimbangan atmosfera bintang dan planet, dsb.).

BEBERAPA PENTING DALAM APLIKASI HASIL PENYELESAIAN PERSAMAAN HIDROAEROMEKANIK.

1. Model bendalir tak boleh mampat.

Persamaan hidroaeromekanik untuk cecair atau gas likat dan pengalir haba dalam kebanyakan masalah yang sangat penting untuk amalan boleh diselesaikan hanya dengan kaedah berangka. Walau bagaimanapun, persamaan ini dipermudahkan dengan ketara di bawah andaian bahawa aliran yang dipertimbangkan adalah tidak boleh mampat (r = const). Walaupun cecair atau gas yang tidak boleh mampat secara ketat tidak wujud dalam alam semula jadi, namun, dalam banyak kes, sebagai contoh, gas boleh mampat boleh dianggap sebagai cecair tidak boleh mampat, kerana perubahan ketumpatan dalam banyak aliran boleh diabaikan. Dalam kes ini, persamaan kesinambungan bagi bendalir tak boleh mampat mengambil bentuk div=0.

Bersama-sama dengan persamaan pemuliharaan momentum, ia membentuk sistem persamaan tertutup untuk menentukan tekanan. R dan kelajuan v. Dua kriteria menentukan kemungkinan menggunakan model cecair tak boleh mampat untuk, secara umumnya, gas boleh mampat.

di mana M ialah nombor Mach yang dipanggil, a ialah kelajuan perambatan bunyi dalam gas, V* - halaju aliran ciri (contohnya, kelajuan pergerakan udara berbanding dengan pesawat terbang), t* ialah masa ciri pergerakan tidak pegun (contohnya, masa ciri denyutan parameter udara di hadapan pesawat terbang), L ialah saiz ciri masalah (contohnya, saiz badan yang diperkemas). Untuk aliran mantap, hanya kriteria pertama yang mencukupi. Kriteria ini mempunyai makna fizikal yang jelas. Contohnya, apabila pesawat terbang pada kelajuan subsonik yang tinggi, model bendalir tidak boleh mampat boleh digunakan untuk mengira ciri aliran pesawat tersebut (seret, angkat, dsb.). Sekiranya pesawat terbang pada kelajuan supersonik, maka gelombang kejutan yang dipanggil terbentuk di hadapannya, ciri ciri yang lompat tajam dalam tekanan, kelajuan, ketumpatan dan suhu di dalamnya. Pembentukan gelombang kejutan adalah tanda tipikal perubahan ketara dalam ketumpatan, i.e. tanda tipikal kebolehmampatan aliran.

Aliran cecair likat dalam paip silinder (aliran Hagen-Poiseuille).

Masalah penting ialah pertimbangan aliran bendalir tak boleh mampat likat dalam paip silinder dengan keratan rentas bulat jejari. R(Rajah 4) disebabkan oleh perbezaan tekanan pada hujung paip ini P = (hlm 2 – hlm 1)/L, di mana L- panjang paip. Dengan mengandaikan bahawa panjang paip adalah begitu panjang bahawa salur masuk di mana tekanan hlm 2 , dan keluar di mana tekanan hlm 1 (hlm 2 > hlm 1) tidak menjejaskan aliran dalam kebanyakan paip ini, maka mudah untuk mendapatkan penyelesaian analisis yang tepat bagi persamaan Navier-Stokes dalam bentuk

di mana u ialah halaju bendalir sepanjang paksi X, bertepatan dengan paksi simetri paip, dan r ialah jarak dari paksi ini. Dari sini dapat dilihat bahawa profil halaju dalam paip adalah parabola. Pada dinding paip, halaju lenyap kerana melekat cecair akibat kesan kelikatan. Kursus sedemikian telah dipelajari pada pertengahan abad ke-19. Poiseuille dan Hagen pada contoh aliran cecair dalam kapilari dan dipanggil aliran Hagen-Poiseuille.

Jelas sekali, dengan aliran berterusan (bebas daripada r) cecair di pintu masuk ke paip dan pada bahagian awalnya, profil halaju tidak akan bertepatan dengan penyelesaian di atas. Profil parabola ditetapkan hanya pada jarak yang cukup besar dari bahagian masuk, itulah sebabnya untuk mendapatkan penyelesaian adalah perlu untuk menganggap bahawa paip itu cukup panjang, manakala untuk paip sedemikian penyelesaian tepat ini sesuai dengan data eksperimen. .

Penyelesaian yang terhasil menggambarkan aliran pegun, berlapis licin, yang biasanya dipanggil lamina. Walau bagaimanapun, diketahui dari amalan bahawa kadang-kadang aliran dalam paip tidak stabil, dengan denyutan halaju, dengan percampuran antara lapisan, aliran ini biasanya dipanggil turbulen. Eksperimen Reynolds pada tahun 1883 menunjukkan bahawa untuk nilai yang cukup besar bagi nombor r U L/m, di mana U adalah purata halaju bendalir ke atas bahagian paip, profil parabola menjadi tidak stabil berkenaan dengan gangguan kecil, dan dengan peningkatan selanjutnya dalam bilangan ini, aliran dalam paip menjadi bergelora. Nombor ini dipanggil nombor Reynolds (Re), yang memainkan peranan yang sangat penting dalam pelbagai masalah hidroaeromekanik. Khususnya, ia mencirikan nisbah daya inersia (sebelah kiri persamaan) kepada daya likat, manakala selalunya daya likat boleh diabaikan dan persamaan hidroaeromekanik cecair ideal boleh digunakan hanya untuk Re >> 1.

Aliran cecair dan gas yang ideal.

Masalah penting dalam aplikasi sering dipertimbangkan berdasarkan persamaan hidroaeromekanik cecair ideal, dan bukan berdasarkan persamaan lengkap. Ini disebabkan oleh fakta bahawa secara matematik persamaan hidroaeromekanik ideal adalah lebih mudah. Sekiranya perlu untuk menentukan daya angkat sayap pesawat pada kelajuan subsonik yang rendah, maka daya likat boleh diabaikan dan tidak perlu menggunakan persamaan Navier-Stokes. Walau bagaimanapun, untuk menentukan rintangan sayap sedemikian apabila ia bergerak di udara, daya likat ternyata menjadi penentu dan perlu menggunakan radas matematik yang lebih kompleks yang dikaitkan dengan persamaan Navier-Stokes.

Bernoulli integral.

Di bawah andaian tertentu, persamaan hidromekanik cecair ideal boleh disepadukan sekali, mereka mempunyai penyelesaian, salah satunya ialah kamiran Bernoulli untuk aliran pegun (dinamakan sempena ahli matematik kontemporari Euler, Bernoulli, yang pertama kali memperoleh kamiran ini)

di mana P (hlm) = t dp/r(hlm) ialah fungsi tekanan, U adalah potensi daya jisim luaran, DARI ialah pemalar sepanjang garis arus l (garis arus bertepatan dengan vektor halaju aliran V Jadi, sebagai contoh, untuk bendalir tak boleh mampat dalam medan graviti, persamaan ini mempunyai bentuk

Untuk aliran adiabatik, kamiran Bernoulli jika tiada daya badan luar mempunyai bentuk

Sebagai contoh penggunaan kamiran Bernoulli, seseorang boleh menentukan kadar aliran keluar bendalir tak boleh mampat dari sebuah kapal (Rajah 5). Apabila cecair mengalir keluar dari bekas ini, paras cecair berkurangan, i.e. halaju permukaan cecair, secara amnya, berbeza daripada sifar. Walau bagaimanapun, untuk kapal yang cukup lebar dengan saluran keluar yang sempit, boleh diandaikan bahawa Vz 1 – z 2). Untuk mandi dengan ketinggian air yang dituangkan kira-kira 0.5 m, halaju aliran keluar ialah V 2 » 3.1 m/s.

Persamaan gerakan bendalir ideal mempunyai satu lagi kamiran untuk aliran tak mantap, yang dipanggil kamiran Cauchy-Lagrange. Ia sah untuk aliran yang tidak terdapat vorteks. Ia sering digunakan, sebagai contoh, apabila mempertimbangkan gerakan gelombang cecair atau gas.

Gelombang kejutan sebagai salah satu manifestasi penting kebolehmampatan gas.

Secara matematik, persamaan hidroaeromekanik ideal mengakui penyelesaian tak selanjar, i.e. penyelesaian yang mempunyai lonjakan dalam parameter gas (ketumpatan, tekanan, halaju dan suhu). Salah satu manifestasi dalam alam semula jadi ialah pembentukan gelombang kejutan berhampiran jasad yang terbang pada kelajuan supersonik di lapisan padat atmosfera Bumi. Contohnya, pembentukan gelombang kejutan berhampiran pesawat supersonik terbang atau gelombang kejutan berhampiran meteorit yang menyerang lapisan padat atmosfera Bumi pada kelajuan supersonik yang tinggi. Di angkasa lepas, gelombang kejutan antara planet terkenal, yang paling kerap adalah hasil daripada proses aktif di Matahari (contohnya, suar).

Adalah diketahui bahawa berhampiran pesawat penumpang, terbang terutamanya dengan gelombang subsonik yang besar, tiada gelombang kejutan terbentuk. Biarkan ada badan sfera jejari R(Rajah 6), yang terbang di udara pada kelajuan supersonik. Kemudian gelombang kejutan terbentuk di hadapan badan sedemikian AT, yang merupakan sempadan antara kawasan 1 dan 2, yang berbeza dalam nilai parameter gas. Dalam sistem koordinat yang berkaitan dengan badan terbang. aliran gas mengalir ke dalam badan dalam keadaan rehat. Biarkan paksi lembu diarahkan sepanjang halaju aliran, dan V 1 , hlm 1, r1 dan T 1 – halaju, tekanan, ketumpatan dan suhu, masing-masing, dalam aliran gas yang tidak terganggu oleh badan (sebelum gelombang kejutan). Gangguan dari badan tidak jatuh ke rantau 1, kerana badan bergerak pada kelajuan supersonik. Oleh kerana halaju gas pada titik hadapan badan TAPI lenyap, kemudian dari titik TAPI to the point DARI pada gelombang kejutan terdapat kawasan halaju gas subsonik, yang dicapai oleh gangguan udara dari badan terbang. Makna fizikal pembentukan gelombang kejutan terletak pada pemisahan aliran gas yang tidak terganggu dan terganggu. Jika melalui V

Ini bermakna halaju di belakang gelombang kejutan berkurangan, manakala tekanan, ketumpatan, dan suhu meningkat. Peningkatan suhu yang kuat di sebalik gelombang kejutan menerangkan pencairan kapal angkasa yang kembali ke Bumi dan meteorit yang menyerang atmosfera pada kelajuan supersonik yang tinggi. Gelombang kejutan sedemikian dipanggil gelombang kejutan mampatan (ketumpatan gas meningkat). Menariknya, gelombang kejutan rarefaction di mana ketumpatannya menurun tidak pernah diperhatikan dalam alam semula jadi. Secara matematik, pembentukan gelombang kejutan rarefaction dilarang oleh teorem Zemplen yang terkenal dalam hidroaeromekanik

Hubungan antara parameter dengan indeks "1" dan "2" boleh diperoleh daripada undang-undang kamiran pemuliharaan jisim, momentum dan tenaga, kerana ia juga sah untuk fungsi tak selanjar. Hubungan sedemikian dipanggil hubungan Hugoniot dan mempunyai bentuk (dalam sistem koordinat yang dikaitkan dengan gelombang kejutan)

r1 V n 1 = r2 V n 2; r1 V n 1V 1 + hlm 1 n=r2 V n 2V 2 + hlm 2 n ;

V n 1 = V n 2.

Bersama-sama dengan persamaan keadaan, hubungan ini memungkinkan untuk menentukan nilai parameter gas di belakang gelombang kejutan (indeks "2") daripada nilai parameter aliran gas yang tidak terganggu oleh gelombang kejutan ( indeks "1").

Radas matematik hidroaeromekanik yang diterangkan digunakan dalam banyak bidang sains semula jadi, dan untuk penggunaan yang betul bagi radas ini, hanya pemenuhan kriteria kesinambungan sederhana diperlukan, i.e. untuk gas, sebagai contoh, laluan bebas zarah min mestilah lebih kecil daripada dimensi ciri objek aliran yang sedang dipertimbangkan. Khususnya, dalam keadaan angkasa, medium selalunya sangat jarang. Dalam media sedemikian, sudah tentu, laluan bebas purata zarah adalah sangat besar, tetapi saiz objek kajian itu sendiri dalam banyak kes ternyata lebih besar, i.e. kaedah hidroaeromekanik juga boleh digunakan untuk objek tersebut.

Dalam biomekanik, menggunakan kaedah hidromekanik, ciri-ciri menarik aliran cecair biologi melalui kapal dikaji, dan dalam hidrogeologi, sebagai contoh, masalah dinamik lapisan dalam Bumi dikaji. Semua ini membuktikan kepentingan sains yang dipanggil "hydroaeromechanics".

Vladimir Baranov

Persamaan Bernoulli salah satu persamaan asas hidromekanik, yang, di bawah gerakan mantap bendalir ideal yang tidak boleh mampat dalam medan graviti seragam, mempunyai bentuk:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
di mana v ialah halaju cecair, ρ ialah ketumpatannya, p ialah tekanan di dalamnya, h ialah ketinggian zarah cecair di atas satah mengufuk tertentu, g ialah pecutan jatuh bebas, C ialah nilai yang tetap pada setiap penyelarasan, tetapi dalam kes umum mengubah nilainya apabila bergerak dari satu garisan ke satu lagi.

Jumlah dua sebutan pertama di sebelah kiri persamaan (1) adalah sama dengan jumlah potensi, dan sebutan ketiga adalah sama dengan tenaga kinetik, dirujuk kepada unit. jisim cecair; oleh itu, keseluruhan persamaan menyatakan untuk bendalir yang bergerak hukum pemuliharaan tenaga mekanikal dan mewujudkan hubungan penting antara v, p dan h. Sebagai contoh, jika pada h malar halaju aliran sepanjang garis arus meningkat, maka tekanan berkurangan, dan sebaliknya. Undang-undang ini digunakan apabila mengukur kelajuan menggunakan tiub pengukur dan dalam ukuran aerodinamik yang lain.

Persamaan Bernoulli juga dibentangkan dalam bentuk
h + p/γ + v 2 /2g = C atau
γh + p + ρv 2/2 = C (2)
(di mana γ =ρg ialah graviti tentu cecair). Dalam kesamaan pertama, semua istilah mempunyai dimensi panjang dan dipanggil ketinggian geometri (meratakan), piezometrik dan halaju yang sepadan, dan dalam ke-2 - dimensi tekanan dan masing-masing dipanggil berat, tekanan statik dan dinamik.

Dalam kes umum, apabila cecair boleh mampat (gas), tetapi barotropik, iaitu, p di dalamnya hanya bergantung pada ρ, dan apabila pergerakannya berlaku dalam mana-mana tetapi medan potensi daya isipadu (jisim) (lihat medan Daya), Persamaan Bernoulli diperolehi sebagai akibat daripada persamaan Euler hidromekanik dan mempunyai bentuk:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
di mana P ialah tenaga keupayaan (potensi) medan daya badan, dirujuk kepada unit. jisim cecair. Dengan aliran gas, nilai P berubah sedikit di sepanjang garis arus, dan ia boleh dimasukkan ke dalam pemalar dengan mengemukakan (3) dalam bentuk:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

Dalam aplikasi teknikal, untuk aliran purata ke atas keratan rentas saluran, yang dipanggil. persamaan Bernoulli umum: mengekalkan bentuk persamaan (1) dan (3), bahagian kiri termasuk kerja daya geseran dan mengatasi rintangan hidraulik, serta kerja mekanikal cecair atau gas (kerja pemampat atau turbin ) dengan tanda yang sepadan. Persamaan umum Bernoulli digunakan secara meluas dalam hidraulik apabila mengira aliran cecair dan gas dalam saluran paip dan dalam kejuruteraan mekanikal apabila mengira pemampat, turbin, pam dan mesin hidraulik dan gas lain.