Apakah modul nombor 2. Modul nombor (nilai mutlak nombor), definisi, contoh, sifat

Modulus nombor ialah jarak dari nombor ini ke sifar pada garis koordinat.

Modul ini ditetapkan dengan simbol: | |.

Rekod |6| dibaca sebagai "modulus nombor 6", atau "modul enam".
Rekod |8| berbunyi "modul 8".

Modulus nombor positif adalah sama dengan nombor itu sendiri. Contohnya, |2| = 2. Modulus nombor negatif adalah sama dengan nombor bertentangan<=>|-3| = 3. Modulus sifar adalah sama dengan sifar, iaitu |0| = 0. Modul nombor berlawanan adalah sama, iaitu |-a| = |a|.

Untuk pemahaman yang lebih baik tentang topik: "modulus nombor", kami mencadangkan menggunakan kaedah perkaitan.

Mari kita bayangkan bahawa modulus nombor ialah mandi, dan tanda tolak ialah kotoran.

Berada di bawah tanda modul (iaitu, dalam "mandi"), nombor negatif "dibasuh", dan keluar tanpa tanda "tolak" - bersih.

Dalam mandi boleh "mencuci" (iaitu, berdiri di bawah tanda modul) dan negatif, dan nombor positif, dan nombor sifar. Walau bagaimanapun, sebagai "tulen" nombor positif , dan sifar tidak mengubah tandanya apabila meninggalkan "mandi" (iaitu, dari bawah tanda modul)!

Sejarah modulus nombor atau 6 fakta menarik tentang modulus nombor

1. Perkataan "modul" berasal daripada nama Latin modulus, yang bermaksud perkataan "ukuran" dalam terjemahan.
2. Istilah ini diperkenalkan oleh pelajar Isaac Newton, ahli matematik dan ahli falsafah Inggeris Roger Cotes (1682 - 1716).
3. Ahli fizik, pencipta, ahli matematik dan ahli falsafah Jerman yang hebat Gottfried Leibniz dalam karya dan tulisannya menggunakan fungsi modul, yang ditetapkannya mod x.
4. Penamaan modul telah diperkenalkan pada tahun 1841 oleh seorang ahli matematik Jerman
Karl Weierstrass (1815 - 1897).
5. Apabila menulis modul, ia dilambangkan dengan simbol: | |.
6. Satu lagi versi istilah "modul" diperkenalkan pada tahun 1806 oleh Perancis
seorang ahli matematik bernama Jean Robert Argan (1768-1822). Tetapi ia tidak begitu.
Ahli matematik awal abad kesembilan belas Jean Robert Argán (1768 - 1822)
dan Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) memperkenalkan konsep "modulus nombor kompleks",
yang dipelajari dalam kursus matematik yang lebih tinggi.

Menyelesaikan masalah mengenai topik "Modul nombor"

Tugas nombor 1. Susun ungkapan: -|12|, 0, 54, |-(-2)|, -17 dalam tertib menaik.

— | 12 | = — 12
| — (— 2) | = 2

17 < -12 < 0 < 2 < 54, что будет равносильно:
-17 < -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Jawapan: -17< -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Tugas nombor 2. Ia adalah perlu untuk menyusun ungkapan: -|-14|, -|30|, |-16|, -21, | -(-9) |
dalam susunan menurun.

Mula-mula, mari buka kurungan dan modul:

— | — 14| = — 14
— |30| = -30
|-16| = 16
| -(-9) | = 9

16 > 9 > -14 > - 21 > - 30 yang akan bersamaan dengan:
|-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|.

Jawapan: |-16| > | -(-9) | > - | — 14| > — 21 > — |30|

Dalam artikel ini, kami akan menganalisis secara terperinci nilai mutlak sesuatu nombor. Kami akan memberikan pelbagai definisi modulus nombor, memperkenalkan tatatanda dan memberikan ilustrasi grafik. Dalam kes ini, kami mempertimbangkan pelbagai contoh mencari modulus nombor mengikut takrifan. Selepas itu, kami menyenaraikan dan mewajarkan sifat utama modul. Pada akhir artikel, kita akan bercakap tentang bagaimana modulus nombor kompleks ditentukan dan dijumpai.

Navigasi halaman.

Modulus nombor - definisi, tatatanda dan contoh

Mula-mula kami perkenalkan penetapan modulus. Modul nombor a akan ditulis sebagai , iaitu, di sebelah kiri dan di sebelah kanan nombor kita akan meletakkan garis menegak yang membentuk tanda modul. Mari kita berikan beberapa contoh. Sebagai contoh, modulo -7 boleh ditulis sebagai ; modul 4,125 ditulis sebagai , dan modul ditulis sebagai .

Takrif modul berikut merujuk kepada, dan oleh itu, kepada, dan kepada integer, dan kepada nombor rasional dan tidak rasional, mengenai bahagian konstituen set nombor nyata. Kita akan bercakap tentang modulus nombor kompleks dalam.

Definisi.

Modulus a ialah sama ada nombor a itu sendiri, jika a ialah nombor positif, atau nombor −a, bertentangan dengan nombor a, jika a ialah nombor negatif, atau 0, jika a=0 .

Takrifan bersuara bagi modulus nombor selalunya ditulis dalam bentuk berikut , tatatanda ini bermakna jika a>0 , jika a=0 , dan jika a<0 .

Rekod boleh diwakili dalam bentuk yang lebih padat . Notasi ini bermakna jika (a lebih besar daripada atau sama dengan 0 ), dan jika a<0 .

Terdapat juga rekod . Di sini, kes apabila a=0 harus dijelaskan secara berasingan. Dalam kes ini, kita mempunyai , tetapi −0=0 , kerana sifar dianggap sebagai nombor yang bertentangan dengan dirinya sendiri.

Jom bawak contoh mencari modulus nombor dengan definisi yang diberikan. Sebagai contoh, mari cari modul nombor 15 dan . Mari kita mulakan dengan mencari. Oleh kerana nombor 15 adalah positif, modulusnya, mengikut definisi, sama dengan nombor ini sendiri, iaitu, . Apakah modulus suatu nombor? Oleh kerana ialah nombor negatif, maka modulusnya adalah sama dengan nombor yang bertentangan dengan nombor itu, iaitu nombor . Dengan cara ini, .

Sebagai kesimpulan perenggan ini, kami memberikan satu kesimpulan, yang sangat mudah untuk digunakan dalam amalan apabila mencari modulus nombor. Daripada takrifan modulus sesuatu nombor, ia mengikutinya modulus nombor adalah sama dengan nombor di bawah tanda modulus, tanpa mengira tandanya, dan daripada contoh yang dibincangkan di atas, ini dapat dilihat dengan jelas. Pernyataan bersuara menerangkan mengapa modulus nombor juga dipanggil nilai mutlak nombor itu. Jadi modulus nombor dan nilai mutlak nombor adalah satu dan sama.

Modulus nombor sebagai jarak

Secara geometri, modulus nombor boleh ditafsirkan sebagai jarak. Jom bawak penentuan modulus sesuatu nombor dari segi jarak.

Definisi.

Modulus a ialah jarak dari titik asal pada garis koordinat ke titik yang sepadan dengan nombor a.

Takrifan ini selaras dengan takrifan modulus nombor yang diberikan dalam perenggan pertama. Mari kita jelaskan perkara ini. Jarak dari asal ke titik yang sepadan dengan nombor positif adalah sama dengan nombor ini. Sifar sepadan dengan titik rujukan, oleh itu jarak dari titik rujukan ke titik dengan koordinat 0 adalah sama dengan sifar (tiada segmen tunggal dan tiada segmen yang membentuk mana-mana pecahan segmen tunggal diperlukan untuk pergi dari titik O ke titik dengan koordinat 0). Jarak dari titik asal ke titik dengan koordinat negatif adalah sama dengan nombor yang bertentangan dengan koordinat titik yang diberikan, kerana ia sama dengan jarak dari titik asal ke titik yang koordinatnya adalah nombor bertentangan.

Sebagai contoh, modulus nombor 9 ialah 9, kerana jarak dari asal ke titik dengan koordinat 9 ialah sembilan. Mari kita ambil contoh lain. Titik dengan koordinat −3.25 berada pada jarak 3.25 dari titik O, jadi .

Takrifan bunyi bagi modulus nombor ialah kes khas untuk mentakrifkan modulus perbezaan dua nombor.

Definisi.

Modulus beza dua nombor a dan b adalah sama dengan jarak antara titik-titik garis koordinat dengan koordinat a dan b .

Iaitu, jika titik pada garis koordinat A(a) dan B(b) diberi, maka jarak dari titik A ke titik B adalah sama dengan modulus perbezaan antara nombor a dan b. Jika kita mengambil titik O (titik rujukan) sebagai titik B, maka kita akan mendapat takrifan modulus nombor yang diberikan pada permulaan perenggan ini.

Menentukan modulus nombor melalui punca kuasa dua aritmetik

Kadang-kadang dijumpai penentuan modulus melalui punca kuasa dua aritmetik.

Sebagai contoh, mari kita hitung modul nombor −30 dan berdasarkan takrifan ini. Kami ada. Begitu juga, kami mengira modulus dua pertiga: .

Takrifan modulus nombor dari segi punca kuasa dua aritmetik juga konsisten dengan takrifan yang diberikan dalam perenggan pertama artikel ini. Jom tunjuk. Biarkan a menjadi nombor positif, dan biarkan −a menjadi negatif. Kemudian dan , jika a=0 , maka .

Sifat modul

Modul ini mempunyai beberapa hasil ciri - sifat modul. Sekarang kami akan memberikan yang utama dan paling biasa digunakan. Apabila menyokong sifat-sifat ini, kita akan bergantung pada definisi modulus nombor dari segi jarak.

Mari kita mulakan dengan sifat modul yang paling jelas − modulus nombor tidak boleh menjadi nombor negatif. Dalam bentuk literal, sifat ini mempunyai bentuk untuk sebarang nombor a . Sifat ini sangat mudah untuk dibenarkan: modulus nombor ialah jarak, dan jarak tidak boleh dinyatakan sebagai nombor negatif.

Mari kita beralih kepada sifat modul seterusnya. Modulus nombor adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika nombor ini adalah sifar. Modulus sifar ialah sifar mengikut takrifan. Sifar sepadan dengan asal, tiada titik lain pada garis koordinat sepadan dengan sifar, kerana setiap nombor nyata dikaitkan dengan satu titik pada garis koordinat. Atas sebab yang sama, sebarang nombor selain sifar sepadan dengan titik selain daripada asal. Dan jarak dari asal ke mana-mana titik selain daripada titik O adalah tidak sama dengan sifar, kerana jarak antara dua titik adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika titik-titik ini bertepatan. Penaakulan di atas membuktikan bahawa hanya modulus sifar adalah sama dengan sifar.

Teruskan. Nombor bertentangan mempunyai modul yang sama, iaitu, untuk sebarang nombor a . Sesungguhnya, dua titik pada garis koordinat, yang koordinatnya adalah nombor bertentangan, berada pada jarak yang sama dari asal, yang bermaksud bahawa modul nombor bertentangan adalah sama.

Sifat modul seterusnya ialah: modulus hasil darab dua nombor adalah sama dengan hasil darab modul nombor-nombor ini, itu dia, . Mengikut takrifan, modulus hasil darab nombor a dan b ialah sama ada a b jika , atau −(a b) jika . Ia mengikuti daripada peraturan pendaraban nombor nyata bahawa hasil darab moduli nombor a dan b adalah sama dengan a b , , atau −(a b) , jika , yang membuktikan sifat yang dipertimbangkan.

Modulus bagi bahagi a dengan b adalah sama dengan hasil bahagi bagi modulus a dengan modulus b, itu dia, . Marilah kita mewajarkan sifat modul ini. Oleh kerana hasil bahagi adalah sama dengan hasil darab, maka . Berdasarkan harta sebelumnya, kita ada . Ia kekal hanya untuk menggunakan kesamaan , yang sah disebabkan oleh takrifan modulus nombor itu.

Sifat modul berikut ditulis sebagai ketaksamaan: , a , b dan c ialah nombor nyata arbitrari. Ketaksamaan bertulis tidak lebih daripada ketaksamaan segi tiga. Untuk menjelaskannya, mari kita ambil titik A(a) , B(b) , C(c) pada garis koordinat, dan pertimbangkan segi tiga merosot ABC, yang bucunya terletak pada garis yang sama. Mengikut definisi, modulus perbezaan adalah sama dengan panjang segmen AB, - panjang segmen AC, dan - panjang segmen CB. Oleh kerana panjang mana-mana sisi segitiga tidak melebihi jumlah panjang dua sisi yang lain, ketaksamaan , oleh itu, ketidaksamaan juga berlaku.

Ketaksamaan yang baru dibuktikan adalah lebih biasa dalam bentuk . Ketaksamaan bertulis biasanya dianggap sebagai sifat berasingan modul dengan rumusan: “ Modulus hasil tambah dua nombor tidak melebihi jumlah moduli nombor ini". Tetapi ketaksamaan secara langsung mengikuti daripada ketaksamaan , jika kita meletakkan −b bukannya b di dalamnya, dan ambil c=0 .

Modulus nombor kompleks

Jom beri penentuan modulus nombor kompleks. Biarlah kita diberi nombor kompleks, ditulis dalam bentuk algebra , dengan x dan y ialah beberapa nombor nyata, masing-masing mewakili bahagian nyata dan khayalan bagi nombor kompleks z yang diberi, dan merupakan unit khayalan.

Nilai mutlak sesuatu nombor a ialah jarak dari asal ke titik TAPI(a).

Untuk memahami definisi ini, kami menggantikan pembolehubah a sebarang nombor, contohnya 3 dan cuba baca semula:

Nilai mutlak sesuatu nombor 3 ialah jarak dari asal ke titik TAPI(3 ).

Ia menjadi jelas bahawa modul tidak lebih daripada jarak biasa. Cuba kita lihat jarak dari asal ke titik A( 3 )

Jarak dari asal koordinat ke titik A( 3 ) adalah sama dengan 3 (tiga unit atau tiga langkah).

Modulus nombor ditunjukkan oleh dua garis menegak, sebagai contoh:

Modulus nombor 3 dilambangkan seperti berikut: |3|

Modulus nombor 4 dilambangkan seperti berikut: |4|

Modulus nombor 5 dilambangkan seperti berikut: |5|

Kami mencari modulus nombor 3 dan mendapati ia sama dengan 3. Jadi kami menulis:

Bacaan seperti: "Modulus tiga ialah tiga"

Sekarang mari kita cuba cari modulus nombor -3. Sekali lagi, kita kembali kepada definisi dan menggantikan nombor -3 ke dalamnya. Hanya bukannya titik A gunakan titik baru B. titik A kita telah pun menggunakan dalam contoh pertama.

Modulus nombor tersebut ialah 3 panggil jarak dari asal ke titik B(—3 ).

Jarak dari satu titik ke titik lain tidak boleh negatif. Oleh itu, modulus sebarang nombor negatif, sebagai jarak, juga tidak akan negatif. Modul nombor -3 akan menjadi nombor 3. Jarak dari asal ke titik B(-3) juga bersamaan dengan tiga unit:

Bacaan seperti: "Modulus nombor tolak tiga ialah tiga"

Modulus nombor 0 ialah 0, kerana titik dengan koordinat 0 bertepatan dengan asalan, i.e. jarak dari asal ke titik O(0) sama dengan sifar:

"Modulus sifar ialah sifar"

Kami membuat kesimpulan:

Modulus nombor tidak boleh negatif;
Untuk nombor positif dan sifar, modulus adalah sama dengan nombor itu sendiri, dan untuk nombor negatif, dengan nombor bertentangan;
Nombor bertentangan mempunyai modul yang sama.

Nombor bertentangan

Nombor yang berbeza hanya dalam tanda dipanggil bertentangan. Sebagai contoh, nombor −2 dan 2 adalah bertentangan. Mereka berbeza hanya dalam tanda. Nombor −2 mempunyai tanda tolak, dan 2 mempunyai tanda tambah, tetapi kami tidak melihatnya, kerana tambah, seperti yang kami katakan sebelum ini, secara tradisinya tidak ditulis.

Lebih banyak contoh nombor berlawanan:

Nombor bertentangan mempunyai modul yang sama. Sebagai contoh, mari cari modul untuk −2 dan 2

Rajah menunjukkan bahawa jarak dari asal ke titik A(−2) dan B(2) sama dengan dua langkah.

Adakah anda menyukai pelajaran itu?
Sertai kumpulan Vkontakte baharu kami dan mula menerima pemberitahuan tentang pelajaran baharu

Arahan

Jika modulus diwakili sebagai fungsi berterusan, maka nilai hujahnya boleh sama ada positif atau negatif: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Adalah mudah untuk melihat bahawa penambahan dan penolakan nombor kompleks mengikut peraturan yang sama seperti penambahan dan .

Hasil darab dua nombor kompleks ialah:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Oleh kerana i^2 = -1, hasil akhirnya ialah:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Operasi menaikkan kepada kuasa dan mengekstrak punca untuk nombor kompleks ditakrifkan dengan cara yang sama seperti nombor sebenar. Walau bagaimanapun, dalam domain kompleks, untuk sebarang nombor, terdapat betul-betul n nombor b sehingga b^n = a, iaitu, n punca darjah ke-n.

Khususnya, ini bermakna mana-mana persamaan algebra bagi darjah ke-n dalam satu pembolehubah mempunyai tepat n punca kompleks, sebahagian daripadanya mungkin dan .

Video-video yang berkaitan

Sumber:

Kuliah "Nombor Kompleks" pada tahun 2019

Akar ialah ikon yang menandakan operasi matematik mencari nombor sedemikian, yang menaikkannya kepada kuasa yang ditunjukkan sebelum tanda akar harus memberikan nombor yang ditunjukkan di bawah tanda ini. Selalunya, untuk menyelesaikan masalah di mana terdapat akar, tidak cukup hanya untuk mengira nilai. Kita perlu menjalankan operasi tambahan, salah satunya ialah pengenalan nombor, pembolehubah atau ungkapan di bawah tanda akar.

Arahan

Tentukan eksponen punca. Penunjuk ialah integer yang menunjukkan kuasa yang hasil pengiraan punca mesti dinaikkan untuk mendapatkan ungkapan akar (nombor dari mana punca ini diekstrak). Eksponen akar, dinyatakan sebagai superskrip sebelum ikon akar. Jika yang ini tidak dinyatakan, ia adalah punca kuasa dua yang kuasanya ialah dua. Contohnya, pangkat punca √3 ialah dua, eksponen ³√3 ialah tiga, eksponen punca ⁴√3 ialah empat, dan seterusnya.

Naikkan nombor yang anda ingin tambahkan di bawah tanda akar kepada kuasa yang sama dengan eksponen punca ini, yang anda tentukan dalam langkah sebelumnya. Contohnya, jika anda perlu memasukkan nombor 5 di bawah tanda punca ⁴√3, maka eksponen punca ialah empat dan anda memerlukan hasil menaikkan 5 kepada kuasa keempat 5⁴=625. Anda boleh melakukan ini dalam apa jua cara yang sesuai untuk anda - dalam fikiran anda, menggunakan kalkulator atau perkhidmatan yang sepadan yang disiarkan.

Masukkan nilai yang diperoleh dalam langkah sebelumnya di bawah tanda akar sebagai pengganda bagi ungkapan radikal. Untuk contoh yang digunakan dalam langkah sebelumnya dengan menambah di bawah akar ⁴√3 5 (5*⁴√3), tindakan ini boleh dilakukan seperti ini: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Permudahkan ungkapan radikal yang terhasil, jika boleh. Untuk contoh daripada langkah sebelumnya, ini ialah anda hanya perlu mendarab nombor di bawah tanda akar: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Ini melengkapkan operasi menambah nombor di bawah akar.

Sekiranya terdapat pembolehubah yang tidak diketahui dalam masalah, maka langkah-langkah yang diterangkan di atas boleh dilakukan secara umum. Sebagai contoh, jika anda ingin memperkenalkan pembolehubah yang tidak diketahui x di bawah punca darjah keempat, dan ungkapan akar ialah 5/x³, maka keseluruhan urutan tindakan boleh ditulis seperti berikut: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Sumber:

apakah tanda akar dipanggil

Nombor nyata tidak mencukupi untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik. Persamaan kuadratik termudah yang tidak mempunyai punca di antara nombor nyata ialah x^2+1=0. Apabila menyelesaikannya, ternyata x=±sqrt(-1), dan mengikut undang-undang algebra asas, ekstrak punca darjah genap daripada negatif nombor ia adalah dilarang.