Apakah hipotenus. Bagaimana untuk mencari hipotenus, mengetahui kaki dan sudut

Seperti yang anda tahu, geometri adalah sains yang sukar yang memerlukan ketepatan dan ketepatan khusus dalam menyelesaikan masalah. Banyak ungkapan dan formula yang kemudiannya kita gunakan dalam pengiraan yang lebih kompleks dinyatakan dalam buku teks matematik untuk gred 6-7. Untuk menjadikan proses pembelajaran fungsi trigonometri lebih mudah dan menyeronokkan, dalam artikel ini kita akan melihat beberapa cara ringkas untuk mengira hipotenus. segi tiga tepat.

Bagaimana untuk mencari hipotenus pada kaki?

Mari kita ingat sedikit teori: segi tiga tepat dipanggil angka rata, yang mempunyai tiga penjuru. Salah satu daripadanya mempunyai nilai 90º, dan sisi dipanggil kaki dan hipotenus. Sebelah yang bertentangan sudut tepat, dan terdapat hipotenus, dan dua lagi ialah kaki bersebelahan. Permainan utama pihak dimanifestasikan dalam teorem Pythagoras, mengikut mana hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat sama kaki. Walau bagaimanapun, ini hanya kelihatan mengelirukan, kerana sebenarnya semuanya lebih mudah.

Sifat bagi rajah geometri

Sebelum anda mencari hipotenus segi tiga, anda perlu memikirkan ciri-ciri yang ada pada rajah ini. Mari kita pertimbangkan yang utama:

Dalam segi tiga tepat, kedua-dua sudut lancip menambah sehingga 90º.
Kaki yang terletak bertentangan dengan sudut 30º akan sama dengan ½ hipotenus.
Jika kaki adalah sama dengan ½ daripada nilai hipotenus, maka sudut kedua akan mempunyai nilai yang sama - 30º.

Terdapat beberapa cara untuk mencari hipotenus dalam segi tiga tegak. paling banyak penyelesaian mudah ialah pengiraan melalui kaki. Katakan anda tahu nilai-nilai kaki sisi A dan B. Kemudian teorem Pythagoras datang untuk menyelamatkan, memberitahu kita bahawa jika kita kuasa duakan setiap nilai kaki dan jumlah data yang diperoleh, kita akan mengetahui apakah hipotenus ialah. Oleh itu, kita hanya perlu mengekstrak nilai punca kuasa dua:

Sebagai contoh, jika kaki A = 3 cm dan kaki B = 4 cm, maka pengiraannya ialah pandangan seterusnya:

Bagaimana untuk mencari hipotenus melalui sudut?

Satu lagi cara untuk membantu mengetahui apakah hipotenus dalam segi tiga tepat adalah sama dengan mengira melalui sudut tertentu. Untuk melakukan ini, kita perlu memperoleh nilai melalui formula sinus. Katakan kita tahu nilai kaki (A) dan nilai sudut bertentangan (α). Kemudian keseluruhan penyelesaian adalah dalam satu formula: С=А/sin(α).

Sebagai contoh, jika panjang kaki ialah 40 cm dan sudut ialah 45°, maka panjang hipotenus boleh diterbitkan seperti berikut:

40/sin(45°) = 40/0.71 = 56.33.

Anda juga boleh menentukan nilai yang dikehendaki melalui kosinus sudut yang diberi. Katakan kita tahu nilai satu kaki (B) dan sudut termasuk akut (α). Kemudian satu formula diperlukan untuk menyelesaikan masalah: С=В/ cos(α).

Sebagai contoh, jika panjang kaki ialah 50 cm dan sudut ialah 45°, maka hipotenus boleh dikira seperti berikut:

50/cos(45°) = 50/0.71 = 80.42.

Oleh itu, kami mengkaji cara utama untuk mengetahui hipotenus dalam segitiga. Semasa menyelesaikan tugas, adalah penting untuk memberi tumpuan kepada data yang tersedia, kemudian mencari nilai yang tidak diketahui akan menjadi agak mudah. Anda perlu tahu hanya beberapa formula dan proses menyelesaikan masalah akan menjadi mudah dan menyeronokkan.

Terdapat tiga pilihan untuk menyelesaikan masalah ini. Yang pertama adalah jika ia diberikan dalam keadaan masalah bahawa kaki adalah sama (sebenarnya, kita mempunyai segi empat tepat segi tiga sama kaki). Yang kedua - jika beberapa sudut lain diberikan (kecuali untuk sudut 45%, maka kita mempunyai segi tiga sama kaki yang sama dan kembali ke pilihan pertama). Dan yang ketiga - apabila salah satu kaki diketahui. Mari pertimbangkan pilihan ini dengan lebih terperinci.

Bagaimana untuk mencari kaki yang sama, dengan hipotenus yang diketahui

kaki pertama (mari kita nyatakan dengan huruf "a") adalah sama dengan kaki kedua ((mari kita nyatakan dengan huruf "b"): a=b;

saiz kaki;

Dalam versi ini, penyelesaian masalah adalah berdasarkan penggunaan teorem Pythagoras. Ia digunakan pada segi tiga tepat dan versi asasnya berbunyi seperti: "Segi empat sama hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat sama kaki". Oleh kerana kaki kita adalah sama, kita boleh menetapkan kedua-dua kaki dengan watak yang sama: a = b, yang bermaksud - a = a.

Gantikan kami konvensyen ke dalam teorem (dengan mengambil kira perkara di atas):
c^2=a^2+a^2,
Seterusnya, kami permudahkan formula sebanyak mungkin:
с^2=2*(a^2) - kumpulan,
c \u003d √ 2 * a - kami membawa kedua-dua bahagian persamaan ke punca kuasa dua,
a=c/√2 - keluarkan yang dikehendaki.
Pengganti nilai yang diberi hipotenus dan kami mendapat penyelesaiannya:
a=x/√2

Bagaimana untuk mencari kaki, dengan hipotenus dan sudut yang diketahui

hipotenus (ditandakan dengan huruf "c") adalah sama dengan x cm: c=x;
sudut β sama dengan q: β=q;

saiz kaki;

Untuk menyelesaikan masalah ini, perlu menggunakan fungsi trigonometri. Dua yang paling popular ialah:

fungsi sinus - sinus sudut yang dikehendaki adalah sama dengan nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus;
fungsi kosinus - kosinus sudut yang dikehendaki adalah sama dengan nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus;

Anda boleh menggunakan mana-mana. Saya akan memberikan contoh menggunakan yang pertama. Biarkan kaki dilambangkan dengan simbol "a" (bersebelahan dengan sudut) dan "b" (bertentangan dengan sudut). Oleh itu, sudut kami terletak di antara kaki "a" dan hipotenus.

Kami menggantikan simbol yang dipilih dalam formula:
sinβ = b/c
Kami memperoleh katet:
b=c*sinβ
Kami menggantikan data kami dan mempunyai satu kaki.
b=c*sinq

Kaki kedua boleh didapati menggunakan fungsi trigonometri kedua, atau pergi ke pilihan ketiga.

Bagaimana untuk mencari satu kaki jika hipotenus dan kaki yang lain diketahui

hipotenus (ditandakan dengan huruf "c") adalah sama dengan x cm: c=x;
kaki (mari kita nyatakan dengan huruf "b") adalah sama dengan y cm: b=y;

saiz kaki yang lain (mari kita nyatakan dengan huruf "a");

Dalam varian ini, penyelesaian masalah, seperti dalam yang pertama, adalah penggunaan teorem Pythagoras.

Menggantikan konvensyen kami ke dalam teorem:
c^2=a^2+b^2,
Kami mengeluarkan kaki yang diperlukan:
a^2=c^2-b^2
Kami membawa kedua-dua belah persamaan ke punca kuasa dua:
a=√(c^2-b^2)
Kami menggantikan nilai-nilai ini dan kami mempunyai penyelesaiannya:
a=√(x^2-y^2)

Geometri bukanlah sains yang mudah. Dia menuntut perhatian istimewa dan pengetahuan tentang formula yang tepat. Matematik seperti ini datang kepada kami Yunani purba dan walaupun selepas beberapa ribu tahun, ia tidak kehilangan kaitannya. Jangan beranggapan ini adalah mata pelajaran sia-sia yang mengisi kepala pelajar dan warga sekolah. Malah, geometri boleh digunakan dalam banyak bidang kehidupan. Tanpa pengetahuannya tentang geometri, tidak ada satu pun yang dibina. struktur seni bina, kereta tidak dicipta, kapal angkasa dan kapal terbang. Kompleks dan tidak terlalu persimpangan jalan dan trek - semua ini memerlukan pengiraan geometri. Ya, walaupun kadangkala anda tidak boleh membuat pembaikan di dalam bilik anda tanpa mengetahui formula asas. Oleh itu, jangan memandang rendah kepentingan subjek ini. Kami mengkaji formula paling kerap yang perlu kami gunakan dalam banyak keputusan di sekolah. Salah satunya ialah mencari hipotenus dalam segi tiga tegak. Untuk memahami ini, baca di bawah.

Sebelum kita bermula, mari kita mulakan dengan asas dan tentukan apakah hipotenus dalam segi tiga tepat.

Hipotenus ialah salah satu sisi dalam segi tiga tepat yang bertentangan dengan sudut 90 darjah (sudut tepat) dan sentiasa terpanjang.

Terdapat beberapa cara untuk mencari panjang hipotenus yang dikehendaki dalam segi tiga tepat tertentu.

Dalam kes apabila kaki sudah diketahui oleh kita, kita menggunakan teorem Pythagoras, di mana kita menambah jumlah kuasa dua dua kaki, yang akan sama dengan kuasa dua hipotenus.

a dan b ialah kaki, c ialah hipotenus.

Dalam kes kami, untuk segi tiga tegak, masing-masing, formulanya adalah seperti berikut:

Jika kita menggantikan nombor yang diketahui kaki a dan b, biarkan ia menjadi a=3 dan b=4, kemudian c=√32+42, maka kita dapat c=√25, c=5

Apabila kita tahu panjang hanya satu kaki, maka formula boleh diubah untuk mencari panjang kedua. Ia kelihatan seperti ini:

Dalam kes apabila, mengikut keadaan masalah, kita tahu kaki A dan hipotenus C, maka kita boleh mengira sudut tepat segitiga, mari kita panggil α.

Untuk melakukan ini, kami menggunakan formula:

Biarkan sudut kedua yang perlu kita hitung ialah β. Memandangkan kita mengetahui jumlah sudut bagi segi tiga, iaitu 180°, maka: β= 180°-90°-α

Dalam kes apabila kita mengetahui nilai kaki, kita boleh menggunakan formula untuk mencari nilai sudut akut segitiga:

Bergantung pada nilai konvensional yang diketahui, sisi segi empat tepat boleh didapati daripada set formula yang berbeza. Berikut adalah sebahagian daripada mereka:

Apabila menyelesaikan masalah dengan mencari yang tidak diketahui dalam segi tiga bersudut tepat, adalah sangat penting untuk memberi tumpuan kepada nilai yang anda sudah tahu dan, berdasarkan ini, menggantikannya ke dalam formula yang dikehendaki. Sukar untuk mengingatinya dengan segera, jadi kami menasihati anda untuk membuat pembayang tulisan tangan kecil dan tampalkannya ke dalam buku nota anda.

Seperti yang anda lihat, jika anda menyelidiki semua kehalusan formula ini, anda boleh memikirkannya dengan mudah. Kami mengesyorkan cuba menyelesaikan beberapa masalah berdasarkan formula ini. Selepas anda melihat keputusan anda, ia akan menjadi jelas kepada anda sama ada anda memahami topik ini atau tidak. Cuba untuk tidak menghafal, tetapi untuk menyelidiki bahan, ia akan menjadi lebih berguna. Bahan bergerigi dilupakan selepas kawalan pertama, dan anda akan bertemu formula ini agak kerap, jadi fahami dahulu, dan kemudian hafalkannya. Jika cadangan ini tidak memberikan kesan positif, maka masuk akal untuk kelas tambahan topik ini. Dan ingat: belajar itu terang, bukan belajar itu kegelapan!

Dalam kehidupan, kita sering perlu berurusan masalah matematik: di sekolah, di universiti, dan kemudian membantu anak anda kerja rumah. Orang dari profesion tertentu akan menghadapi matematik setiap hari. Oleh itu, adalah berguna untuk mengingati atau mengingat kembali peraturan matematik. Dalam artikel ini, kami akan menganalisis salah satu daripadanya: mencari kaki segi tiga tepat.

Apakah segi tiga tepat

Pertama, mari kita ingat apa itu segi tiga tepat. Segitiga tepat ialah angka geometri daripada tiga segmen yang menghubungkan titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, dan salah satu sudut rajah ini ialah 90 darjah. Sisi yang membentuk sudut tegak dipanggil kaki, dan sisi yang terletak bertentangan dengan sudut tegak dipanggil hipotenus.

Mencari kaki segi tiga tepat

Terdapat beberapa cara untuk mengetahui panjang kaki. Saya ingin mempertimbangkan mereka dengan lebih terperinci.

Teorem Pythagoras untuk mencari kaki segi tiga tepat

Jika kita mengetahui hipotenus dan kaki, maka kita boleh mencari panjang kaki yang tidak diketahui menggunakan teorem Pythagoras. Bunyinya seperti ini: "Kuasa dua sisi miring adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki." Formula: c²=a²+b², dengan c ialah hipotenus, a dan b ialah kaki. Kami mengubah formula dan mendapat: a²=c²-b².

Contoh. Hipotenus ialah 5 cm, dan kaki ialah 3 cm. Kami mengubah formula: c²=a²+b² → a²=c²-b². Seterusnya, kami memutuskan: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Hubungan trigonometri untuk mencari kaki segi tiga tepat

Ia juga mungkin untuk mencari kaki yang tidak diketahui jika ada sisi lain dan mana-mana sudut tajam segi tiga tepat. Terdapat empat pilihan untuk mencari kaki menggunakan fungsi trigonometri: dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen. Untuk menyelesaikan masalah, jadual di bawah akan membantu kami. Mari kita pertimbangkan pilihan ini.

Cari kaki segi tiga tepat menggunakan sinus

Sinus sudut (sin) ialah nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus. Formula: sin \u003d a / c, dengan a ialah kaki bertentangan dengan sudut yang diberikan, dan c ialah hipotenus. Seterusnya, kita mengubah formula dan mendapat: a=sin*c.

Contoh. Hipotenus ialah 10 cm dan sudut A ialah 30 darjah. Menurut jadual, kami mengira sinus sudut A, ia sama dengan 1/2. Kemudian, menggunakan formula yang diubah, kita selesaikan: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Cari kaki segi tiga tepat menggunakan kosinus

Kosinus sudut (cos) ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus. Formula: cos \u003d b / c, dengan b ialah kaki bersebelahan dengan sudut yang diberikan, dan c ialah hipotenus. Mari kita ubah formula dan dapatkan: b=cos*c.

Contoh. Sudut A ialah 60 darjah, hipotenus ialah 10 cm. Menurut jadual, kita mengira kosinus sudut A, ia bersamaan dengan 1/2. Seterusnya, kita selesaikan: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Cari kaki segi tiga tepat menggunakan tangen

Tangen bagi sudut (tg) ialah nisbah kaki bertentangan dengan yang bersebelahan. Formula: tg \u003d a / b, dengan a ialah kaki bertentangan dengan sudut, dan b bersebelahan. Mari kita ubah formula dan dapatkan: a=tg*b.

Contoh. Sudut A ialah 45 darjah, hipotenus ialah 10 cm Menurut jadual, kita mengira tangen sudut A, ia adalah sama dengan Selesaikan: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Cari kaki segi tiga tepat menggunakan kotangen

Kotangen bagi sudut (ctg) ialah nisbah kaki bersebelahan dengan kaki bertentangan. Formula: ctg \u003d b / a, dengan b ialah kaki bersebelahan dengan sudut, dan bertentangan. Dalam erti kata lain, kotangen ialah "tangen terbalik". Kami dapat: b=ctg*a.

Contoh. Sudut A ialah 30 darjah, kaki bertentangan ialah 5 cm.Menurut jadual, tangen bagi sudut A ialah √3. Kira: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Jadi, sekarang anda tahu bagaimana untuk mencari kaki dalam segi tiga tepat. Seperti yang anda lihat, ia tidak begitu sukar, perkara utama adalah untuk mengingati formula.

Kaki dipanggil dua sisi segi tiga tepat, membentuk sudut tepat. Sisi terpanjang bagi segitiga bertentangan dengan sudut tegak dipanggil hipotenus. Untuk mencari hipotenus, anda perlu mengetahui panjang kaki.

Arahan

1. Panjang kaki dan hipotenus dikaitkan dengan nisbah yang diterangkan oleh teorem Pythagoras. Rumusan algebra: "Dalam segi tiga tepat, kuasa dua panjang hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua panjang kaki." Formula Pythagoras kelihatan seperti ini: c2 = a2 + b2, dengan c ialah panjang hipotenus, a dan b ialah panjang kaki.

2. Mengetahui panjang kaki, mengikut teorem Pythagoras, adalah mungkin untuk mencari hipotenus segi tiga tepat: c \u003d ? (a2 + b2).

3. Contoh. Panjang salah satu kaki ialah 3 cm, panjang kaki yang lain ialah 4 cm. Jumlah segi empat samanya ialah 25 cm?: 9 cm? + 16 cm? \u003d 25 cm?. Panjang hipotenus dalam kes kami adalah sama dengan punca kuasa dua 25 cm? - 5 cm Oleh itu, panjang hipotenus ialah 5 cm.

Hipotenus ialah sisi dalam segi tiga tepat yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Untuk mengira panjangnya, cukup untuk mengetahui panjang salah satu kaki dan nilai salah satu sudut akut segitiga.

Arahan

1. Dengan kaki yang terkenal dan sudut akut segi tiga tepat, maka saiz hipotenus boleh sama dengan nisbah kaki kepada kosinus / sinus sudut ini, jika sudut ini bertentangan / bersebelahan dengannya: h \u003d C1 (atau C2) / sin ?; h \u003d C1 (atau C2 )/cos?. Contoh: Biarkan segi empat tepat segi tiga ABC dengan hipotenus AB dan sudut tegak C. Biarkan sudut B ialah 60 darjah dan sudut A 30 darjah Panjang kaki BC ialah 8 cm Anda perlu mencari panjang hipotenus AB. Untuk melakukan ini, anda boleh menggunakan mana-mana kaedah yang dicadangkan di atas: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenus ialah sisi terpanjang bagi segi empat tepat segi tiga. Ia terletak bertentangan dengan sudut kanan. Kaedah untuk mencari hipotenus segi empat tepat segi tiga bergantung pada data awal yang anda miliki.

Arahan

1. Jika kita tahu kaki segi empat tepat segi tiga, maka panjang hipotenus segi empat tepat itu segi tiga boleh didapati dengan bantuan teorem Pythagoras - kuasa dua panjang hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua panjang kaki: c2 = a2 + b2, di mana a dan b ialah panjang kaki. daripada segi empat tepat segi tiga .

2. Jika kita memimpin salah satu kaki dan sudut akut, maka formula untuk mencari hipotenus akan bergantung pada sudut yang diberikan berkenaan dengan kaki yang dipandu bersebelahan (terletak berhampiran kaki) atau bertentangan (terletak bertentangan dengannya. Dalam kes sudut yang disertakan, hipotenus adalah sama dengan nisbah kaki dengan kosinus sudut ini: c = a/cos?; E ialah sudut bertentangan, hipotenus adalah sama dengan nisbah kaki kepada sinus sudut : c = a/dosa?

Video-video yang berkaitan

Hipotenus ialah sisi segi tiga tegak yang terletak bertentangan dengan sudut tegak. Ia adalah sisi terpanjang bagi segi tiga tepat. Ia boleh dikira menggunakan teorem Pythagoras atau dengan sokongan formula fungsi trigonometri.

Arahan

1. Kaki dipanggil sisi segi tiga tepat bersebelahan dengan sudut tegak. Dalam rajah, kaki ditetapkan sebagai AB dan BC. Biarkan panjang kedua-dua belah kaki diberi. Mari kita nyatakan mereka sebagai |AB| dan |BC|. Untuk mencari panjang hipotenus |AC|, kita menggunakan teorem Pythagoras. Menurut teorem ini, hasil tambah kuasa dua kaki adalah sama dengan kuasa dua hipotenus, i.e. dalam tatatanda lukisan kami |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Daripada formula kita mendapat bahawa panjang hipotenus AC didapati sebagai |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Mari kita lihat satu contoh. Biarkan panjang kaki |AB| = 13, |SM| = 21. Dengan teorem Pythagoras, kita mendapat bahawa |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Untuk mendapatkan panjang hipotenus, anda perlu mengekstrak Punca kuasa dua daripada jumlah segi empat sama kaki, i.e. daripada nombor 610: |AC| = ?610. Dengan menggunakan jadual kuasa dua integer, kita dapati bahawa nombor 610 bukanlah kuasa dua sempurna bagi sebarang integer. Untuk mendapatkan nilai akhir panjang hipotenus, mari cuba pindahkan persegi penuh dari bawah tanda akar. Untuk melakukan ini, kami menguraikan nombor 610 kepada faktor. 610 = 2 * 5 * 61. Menurut jadual nombor primitif, kita melihat bahawa 61 ialah nombor primitif. Akibatnya, pengurangan nombor seterusnya 610 adalah tidak realistik. Kita mendapatkan keputusan akhir|AC| = 610. Jika kuasa dua hipotenus ialah, sebagai contoh, 675, maka ?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Sekiranya pelakon yang serupa adalah sah, lakukan semakan terbalik - kuasa duakan jumlah dan bandingkan dengan nilai awal.

3. Beritahu kami salah satu kaki dan sudut yang bersebelahan dengannya. Untuk kepastian, biarkan ia menjadi kaki |AB| dan sudut? Kemudian kita boleh menggunakan formula untuk fungsi trigonometri kosinus - kosinus sudut adalah sama dengan nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus. Itu. dalam notasi cos kami? = |AB| / |AC|. Dari sini kita mendapat panjang hipotenus |AC| = |AB| / cos ?. Jika kita tahu kaki |BC| dan sudut?, maka kita menggunakan formula untuk mengira sinus sudut - sinus sudut adalah sama dengan nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus: sin? = |SM| / |AC|. Kami mendapat bahawa panjang hipotenus didapati sebagai |AC| = |SM| /cos?.

4. Untuk kejelasan, mari kita lihat contoh. Biarkan panjang kaki |AB| = 15. Dan sudut? = 60°. Kami mendapat |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30. Mari lihat bagaimana anda boleh menyemak keputusan anda menggunakan teorem Pythagoras. Untuk melakukan ini, kita perlu mengira panjang kaki kedua |BC|. Menggunakan formula untuk tangen sudut tg ? = |SM| / |AC|, kami memperoleh |BC| = |AB| * tg ? \u003d 15 * tg 60 ° \u003d 15 *? 3. Kemudian kita gunakan teorem Pythagoras, kita dapat 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Semakan selesai.

Nasihat yang berguna
Selepas mengira hipotenus, semak sama ada nilai yang terhasil memenuhi teorem Pythagoras.