Berapakah jumlah dua vektor. Bagaimana untuk menolak dan menambah vektor

Vektor ialah objek matematik yang dicirikan oleh magnitud dan arah (cth pecutan, sesaran), yang berbeza daripada skalar yang tidak mempunyai arah (cth jarak, tenaga). Skalar boleh ditambah dengan menambah nilainya (contohnya, 5 kJ kerja ditambah 6 kJ kerja sama dengan 11 kJ kerja), tetapi menambah dan menolak vektor tidak begitu mudah.

Langkah-langkah

Penambahan dan penolakan vektor dengan komponen yang diketahui

Oleh kerana vektor mempunyai magnitud dan arah, ia boleh diuraikan kepada komponen berdasarkan dimensi x, y dan/atau z. Mereka biasanya dilambangkan dengan cara yang sama seperti titik dalam sistem koordinat (contohnya,<х,у,z>). Jika komponen diketahui, maka menambah/menolak vektor adalah semudah menambah/menolak koordinat x, y, z.

• Ambil perhatian bahawa vektor boleh menjadi satu dimensi, dua dimensi atau tiga dimensi. Oleh itu, vektor boleh mempunyai komponen "x", komponen "x" dan "y", atau komponen "x", "y", "z". Vektor 3D dibincangkan di bawah, tetapi prosesnya adalah serupa untuk vektor 1D dan 2D.
• Katakan anda diberi dua vektor tiga dimensi - vektor A dan vektor B. Tulis vektor ini dalam bentuk vektor: A = dan B= , dengan a1 dan a2 ialah komponen "x", b1 dan b2 ialah komponen "y", c1 dan c2 ialah komponen "z".

1. Untuk menambah dua vektor, tambah komponen masing-masing. Dengan kata lain, tambahkan komponen "x" bagi vektor pertama kepada komponen "x" bagi vektor kedua (dan seterusnya). Hasilnya, anda akan mendapat komponen x, y, z bagi vektor yang terhasil.

   • A+B = .
   • Tambah vektor A dan B. A =<5, 9, -10>dan B=<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, atau <22, 6, -12> .

2. Untuk menolak satu vektor daripada yang lain, anda mesti menolak komponen yang sepadan. Seperti yang akan ditunjukkan di bawah, penolakan boleh digantikan dengan penambahan satu vektor dan timbal balik yang lain. Jika komponen dua vektor diketahui, tolak komponen sepadan bagi satu vektor daripada komponen yang lain.

   • A-B =
   • Tolak vektor A dan B. A =<18, 5, 3>dan B=<-10, 9, -10>. A-B=<18--10, 5-9, 3--10>, atau <28, -4, 13> .

   Penambahan dan penolakan grafik

   1. Oleh kerana vektor mempunyai magnitud dan arah, ia mempunyai permulaan dan penghujung (titik permulaan dan titik akhir, jarak antaranya adalah sama dengan nilai vektor). Apabila vektor dipaparkan secara grafik, ia dilukis sebagai anak panah, di mana hujungnya ialah penghujung vektor, dan titik bertentangan ialah permulaan vektor.

      • Apabila merancang vektor, bina semua sudut dengan sangat tepat; jika tidak anda akan mendapat jawapan yang salah.

   2. Untuk menambah vektor, lukiskannya supaya penghujung setiap vektor sebelumnya bersambung ke permulaan vektor seterusnya. Jika anda hanya menambah dua vektor, maka itu sahaja yang anda perlu lakukan sebelum anda mencari vektor yang terhasil.

      • Perhatikan bahawa susunan di mana vektor disambungkan adalah tidak penting, iaitu vektor A + vektor B = vektor B + vektor A.

   3. Untuk menolak vektor, hanya tambahkan vektor songsang, iaitu, tukar arah vektor yang ditolak, dan kemudian sambungkan permulaannya ke penghujung vektor lain. Dalam erti kata lain, untuk menolak vektor, putarkannya 180o (di sekeliling asal) dan tambahkannya kepada vektor lain.

      Jika anda menambah atau menolak berapa banyak (lebih daripada dua) vektor, kemudian sambungkan hujung dan permulaannya secara berurutan. Susunan anda menyambungkan vektor tidak penting. Kaedah ini boleh digunakan untuk sebarang bilangan vektor.

   4. Lukiskan vektor baharu bermula dari permulaan vektor pertama dan berakhir pada penghujung vektor terakhir (tidak kira berapa banyak vektor yang anda tambah). Anda akan mendapat vektor yang terhasil sama dengan jumlah semua vektor yang ditambahkan. Ambil perhatian bahawa vektor ini adalah sama dengan vektor yang diperoleh dengan menambah komponen x, y, z semua vektor.

      • Jika anda telah melukis panjang vektor dan sudut di antara mereka dengan sangat tepat, maka anda boleh mencari nilai vektor yang terhasil dengan hanya mengukur panjangnya. Selain itu, anda boleh mengukur sudut (antara vektor hasil dan vektor lain yang ditentukan atau garisan mendatar/menegak) untuk mencari arah vektor hasil.
      • Jika anda telah melukis panjang vektor dan sudut di antaranya dengan sangat tepat, maka anda boleh mencari nilai vektor yang terhasil menggunakan trigonometri, iaitu teorem sinus atau teorem kosinus. Jika anda menambah berbilang vektor (lebih daripada dua), tambah dua vektor dahulu, kemudian tambahkan vektor yang terhasil dan vektor ketiga, dan seterusnya. Lihat bahagian seterusnya untuk maklumat lanjut.

   5. Mewakili vektor yang terhasil, menandakan nilai dan arahnya. Seperti yang dinyatakan di atas, jika anda melukis panjang vektor yang akan ditambah dan sudut di antaranya dengan sangat tepat, maka nilai vektor yang terhasil adalah sama dengan panjangnya, dan arahnya ialah sudut di antaranya dan garis menegak atau mendatar . Jangan lupa untuk memberikan kepada nilai vektor unit ukuran di mana vektor tambah/tolak diberikan.

      • Sebagai contoh, jika anda menambah vektor halaju yang diukur dalam m/s, kemudian tambah “m/s” pada nilai vektor yang terhasil, dan tunjukkan juga sudut vektor yang terhasil dalam format “o kepada garis mendatar”.

   Menambah dan menolak vektor dengan mencari nilai komponennya

   1. Untuk mencari nilai komponen vektor, anda perlu mengetahui nilai vektor itu sendiri dan arahnya (sudut relatif kepada garis mendatar atau menegak). Pertimbangkan vektor dua dimensi. Jadikan hipotenus segi tiga tepat, maka kaki (selari dengan paksi X dan Y) segi tiga ini akan menjadi komponen vektor. Komponen ini boleh dianggap sebagai dua vektor yang disambungkan, yang, apabila ditambah bersama, memberikan vektor asal.

      • Panjang (nilai) bagi dua komponen (komponen "x" dan "y") bagi vektor asal boleh dikira menggunakan trigonometri. Jika "x" ialah nilai (modulus) bagi vektor asal, maka komponen vektor yang bersebelahan dengan penjuru vektor asal ialah xcosθ, dan komponen vektor yang bertentangan dengan penjuru vektor asal ialah xsinθ.
      • Adalah penting untuk memperhatikan arah komponen. Jika komponen diarahkan bertentangan dengan arah salah satu paksi, maka nilainya akan menjadi negatif, sebagai contoh, jika komponen diarahkan ke kiri atau ke bawah pada satah koordinat dua dimensi.
      • Sebagai contoh, diberi vektor dengan modulus (nilai) 3 dan arah 135 o (berkenaan dengan mengufuk). Maka komponen x ialah 3cos 135 = -2.12 dan komponen y ialah 3sin135 = 2.12.

   2. Sebaik sahaja anda telah menemui komponen semua vektor yang anda tambahkan, hanya tambah nilainya dan anda akan menemui nilai komponen vektor yang terhasil. Pertama, tambahkan nilai semua komponen mendatar (iaitu komponen selari dengan paksi-x). Kemudian tambahkan nilai semua komponen menegak (iaitu komponen selari dengan paksi-y). Jika nilai komponen adalah negatif, maka ia ditolak, bukan ditambah.

      • Sebagai contoh, mari tambah vektor<-2,12, 2,12>dan vektor<5,78, -9>. Vektor yang terhasil akan menjadi seperti ini<-2,12 + 5,78, 2,12-9>atau<3,66, -6,88>.

   3. Kira panjang (nilai) vektor yang terhasil menggunakan teorem Pythagoras: c 2 \u003d a 2 + b 2 (kerana segitiga yang dibentuk oleh vektor asal dan komponennya adalah segi empat tepat). Dalam kes ini, kaki ialah komponen "x" dan "y" bagi vektor yang terhasil, dan hipotenus ialah vektor yang terhasil itu sendiri.

      • Sebagai contoh, jika dalam contoh kami anda menambah daya yang diukur dalam Newton, kemudian tulis jawapan seperti berikut: 7.79 N pada sudut -61.99 o (kepada paksi mengufuk).
   • Jangan mengelirukan vektor dengan modulnya (nilai).
   • Vektor yang mempunyai arah yang sama boleh ditambah atau ditolak dengan hanya menambah atau menolak nilainya. Jika dua vektor berarah bertentangan ditambah, maka nilainya ditolak, bukan ditambah.
   • Vektor yang diwakili sebagai x i+y j+z k boleh ditambah atau ditolak dengan hanya menambah atau menolak pekali yang sepadan. Tulis juga jawapan anda sebagai i,j,k.
   • Nilai vektor dalam ruang tiga dimensi boleh didapati menggunakan formula a 2 \u003d b 2 + c 2 + d 2, di mana a- nilai vektor, b, c, dan d adalah komponen vektor.
   • Vektor lajur boleh ditambah/ditolak dengan menambah/menolak nilai yang sepadan dalam setiap baris.

X dan y dipanggil vektor z seperti itu z+y=x.

Pilihan 1. Titik permulaan semua vektor bertepatan dengan asal.

Mari kita bina beza vektor dan .

Untuk memplot perbezaan vektor z=x-y, anda perlu menambah vektor x dengan bertentangan dengan y vektor y". Vektor Bertentangan y" dibina secara ringkas:

vektor y" adalah bertentangan dengan vektor y, kerana y+y"= 0, dengan 0 ialah vektor nol dengan saiz yang sesuai. Seterusnya, penambahan vektor dilakukan x dan y":

Daripada ungkapan (1) dapat dilihat bahawa untuk membina perbezaan vektor, sudah cukup untuk mengira perbezaan koordinat vektor yang sepadan. x dan y.

nasi. satu

Dalam Rajah. 1 dalam ruang dua dimensi mewakili perbezaan vektor x=(10,3) dan y=(2,4).

Pengiraan z=x-y=(10-3,3-4)=(7,-1). Mari kita bandingkan hasil yang diperoleh dengan tafsiran geometri. Sesungguhnya, selepas membina vektor y" dan pergerakan selari titik permulaan vektor y" ke titik akhir vektor x, kita mendapat vektor y"", dan selepas menambah vektor x dan y"", kita mendapat vektor z.

Pilihan 2. Titik permulaan vektor adalah sewenang-wenangnya.

nasi. 2

Dalam Rajah. 2 dalam ruang dua dimensi ialah perbezaan vektor x=AB dan y=CD, di mana A(1,0), B(11,3), C(1,2), D(3.6). Untuk mengira vektor z=x-y, dibina bertentangan dengan vektor y vektor y":

Seterusnya, anda perlu menambah vektor x dan y". vektor y" bergerak selari supaya titik C" bertepatan dengan perkara itu B. Untuk melakukan ini, perbezaan dalam koordinat titik dikira B dan DARI.

Biarkan $\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(b)$ ialah dua vektor (Rajah 1a).

Ambil titik O sembarangan dan bina vektor $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)$ . Kemudian dari titik A kita plotkan vektor $\overrightarrow(AB) = \overrightarrow(b)$. Vektor $\overrightarrow(OB)$ yang menghubungkan permulaan sebutan pertama vektor dengan penghujung yang kedua (Rajah 1, b) dipanggil jumlah vektor ini dan dilambangkan dengan $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$$ ( peraturan segi tiga).

Jumlah vektor yang sama boleh diperoleh dengan cara lain. Marilah kita menangguhkan vektor $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,u\, \overrightarrow(OC) = \overrightarrow(b) $ dari titik O (Rajah 1, c). Kami membina pada vektor ini seperti pada sisi selari ОABC. Vektor $\overrightarrow(OB)$ berfungsi sebagai pepenjuru bagi segi empat selari ini yang dilukis daripada bucu O adalah jelas hasil tambah bagi vektor $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ ( peraturan selari). daripada rajah 1, dalam ia serta-merta berikutan bahawa jumlah dua vektor mempunyai sifat komutatif: $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$

Sesungguhnya, setiap vektor $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) \,and\, = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$ adalah sama dengan vektor yang sama $\overrightarrow(OB)$ .

Contoh 1 Dalam segi tiga ABC, AB = 3, BC = 4, ∠ B = 90°. Cari: $a)\,\ \overrightarrow(|AB|) + \overrightarrow(|BC|);\,\,\ b)\,\ |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)|$ .

Penyelesaian

a) Kami mempunyai: $|\overrightarrow(AB)| = AB,\,\,\ |\overrightarrow(BC)| = BC$ dan oleh itu $|\overrightarrow(AB)| + |\overrightarrow(SM)| = 7$.

b) Oleh kerana $\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC) \,\,\,\, maka \,\, |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)| = |\overrightarrow(AC)| = AC$ .

Sekarang, menggunakan teorem Pythagoras, kita dapati $$ AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(9 + 16) = 5 \\ iaitu\, |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow( matahari )| = 5. $$

Konsep jumlah vektor boleh digeneralisasikan kepada kes sebarang bilangan terhingga jumlah vektor.

Mari, sebagai contoh, diberikan tiga vektor $\overrightarrow(a), \overrightarrow(b)\,and\, \overrightarrow(c)$ (Rajah 2).

Mula-mula membina jumlah vektor $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ , dan kemudian menambah vektor $\overrightarrow(c)$ kepada jumlah ini, kita mendapat vektor $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow (b)) + \overrightarrow(c)$ . Dalam Rajah 2 $$ \overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)\,; \overrightarrow(AB) = b\,; \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)\,; \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(c) \\ dan \\ \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BC) = (\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow (c) $$ Rajah 2 menunjukkan bahawa kita mendapat vektor yang sama $\overrightarrow(OC)$ jika kita menambah vektor $\overrightarrow(AB) = \ overrightarrow(b) + \overrightarrow(c)$ . Oleh itu $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) + (\overrightarrow(b) + \overrightarrow(c))$ , iaitu jumlah vektor mempunyai bersekutu harta benda. Oleh itu, jumlah tiga vektor $\overrightarrow(a)\,\,\overrightarrow(b)\,\,\overrightarrow(c)$ ditulis secara mudah $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) + \overrightarrow (c)$ .

beza daripada dua vektor $\overrightarrow(a) \,and\, \overrightarrow(b)$ dipanggil vektor ketiga $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$ , jumlahnya dengan vektor subtrahend $\overrightarrow (b)$ memberikan vektor $\overrightarrow(a)$. Jadi jika $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)\,\ maka\, \overrightarrow(c) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(a)$ .

Daripada takrifan jumlah dua vektor, peraturan untuk membina vektor beza berikut (Rajah 3).

Ketepikan vektor $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,u\, \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(b)$ daripada titik sepunya O. Vektor $\overrightarrow(BA)$ menghubungkan hujung vektor dikurangkan $ \overrightarrow(a)$ dan subtrahend vector $\overrightarrow(b)$ dan diarahkan daripada subtrahend ke minuend ialah perbezaan $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$ . Sesungguhnya, mengikut peraturan penambahan vektor $\overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BA) = \overrightarrow(OA) \text( , atau ) \overrightarrow(b) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a)$ .

Contoh 2 Sisi segitiga sama sisi ABC ialah a. Cari: $a) |\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC)|\,;\,\ b)\,\,\ |\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC)|$ .

Penyelesaian a) Sejak $\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(SA)\text( , a )|\overrightarrow(SA)| = a\text( , kemudian )|\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC)| = a$ .

b) Oleh kerana $\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC) = \overrightarrow(CB)\text( , a )|\overrightarrow(CB)| = a\text( , kemudian )|\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC)| = a$ .

Hasil darab vektor $\overrightarrow(a)$ (ditandakan $=\lambda\overrightarrow(a)$ atau $\overrightarrow(a)\lambda$) dan nombor nyata $\lambda$ ialah vektor $\overrightarrow( b)$, vektor kolinear $\overrightarrow(a)$ sama dengan $|\lambda||\overrightarrow(a)|$ dan arah yang sama dengan $\overrightarrow(a)$ jika $\lambda > 0$ , dan arah yang bertentangan dengan vektor $\overrightarrow(a)$ jika $\lambda< 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

Dalam kes apabila $\lambda = 0$ atau $\overrightarrow(a) = 0$ , produk $\lambda\overrightarrow(a)$ ialah vektor nol. Vektor bertentangan $-\overrightarrow(a)$ boleh dianggap sebagai hasil darab vektor $\overrightarrow(a)$ dengan $\lambda = -1$ (lihat Rajah 4): $$ -\overrightarrow(a ) = \ ( -1)\overrightarrow(a) $$ Jelas sekali $\overrightarrow(a) + (-\overrightarrow(a)) = \overrightarrow(0)$ .

Contoh 3 Buktikan bahawa jika O, A, B dan C ialah titik sembarangan, maka $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CO) = 0$ .

Penyelesaian. Jumlah vektor $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(CB) = \overrightarrow(OC)$ , vektor $\overrightarrow(CO)$ ialah bertentangan dengan vektor $\overrightarrow(OC )$ . Oleh itu $\overrightarrow(OS) + \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(0)$ .

Biarkan vektor $\overrightarrow(a)$ diberikan. Pertimbangkan vektor unit $\overrightarrow(a_0)$ , collinear dengan vektor $\overrightarrow(a)$ dan diarahkan ke arah yang sama dengannya. Ia mengikuti takrifan pendaraban vektor dengan nombor yang $$ \overrightarrow(a) = |\overrightarrow(a)|\,\ \overrightarrow(a_0) $$ , i.e. setiap vektor adalah sama dengan hasil darab modulusnya dan vektor unit arah yang sama. Selanjutnya, daripada takrifan yang sama ia mengikuti bahawa jika $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$ , di mana $\overrightarrow(a)$ ialah vektor bukan sifar, maka vektor $\overrightarrow(a) \, dan \, \overrightarrow(b)$ ialah kolinear. Jelas sekali, sebaliknya, daripada keselarasan vektor $\overrightarrow(a) \,and\, \overrightarrow(b)$ ia mengikuti bahawa $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$.

Contoh 4 Panjang vektor AB ialah 3, panjang vektor AC ialah 5. Kosinus sudut antara vektor ini ialah 1/15. Cari panjang vektor AB + AC.

Penyelesaian video.

Definisi

Penambahan vektor dan dijalankan mengikut peraturan segi tiga.

jumlah dua vektor dan vektor ketiga seperti itu dipanggil, permulaannya bertepatan dengan permulaan, dan penghujungnya dengan penghujung, dengan syarat penghujung vektor dan permulaan vektor bertepatan (Rajah 1).

Untuk tambahan vektor Peraturan segi empat selari juga terpakai.

Definisi

peraturan selari- jika dua vektor bukan kolinear u membawa kepada asal yang sama, maka vektor itu bertepatan dengan pepenjuru segi empat selari yang dibina pada vektor u (Rajah 2). Selain itu, permulaan vektor bertepatan dengan permulaan vektor yang diberikan.

Definisi

Vektor dipanggil vektor bertentangan kepada vektor jika ia kolinear vektor , sama dengan panjangnya, tetapi diarahkan ke arah yang bertentangan dengan vektor.

Operasi penambahan vektor mempunyai sifat berikut:

Definisi

beza vektor dan vektor dipanggil sedemikian supaya keadaan dipenuhi: (Rajah 3).

Darab vektor dengan nombor

Definisi

kerja vektor setiap nombor dipanggil vektor yang memenuhi syarat:

Sifat pendaraban vektor dengan nombor:

Di sini u ialah vektor arbitrari dan nombor arbitrari.

Ruang Euclidean(juga Ruang Euclidean) - dalam erti kata asal, ruang yang sifatnya diterangkan aksiom geometri euclidean. Dalam kes ini, diandaikan bahawa ruang mempunyai dimensi sama dengan 3.

Dalam erti kata moden, dalam erti kata yang lebih umum, ia boleh menunjukkan salah satu objek yang serupa dan berkait rapat: dimensi terhingga sebenar ruang vektor dengan pasti positif produk skalar, atau ruang metrik sepadan dengan ruang vektor sedemikian. Dalam artikel ini, definisi pertama akan diambil sebagai definisi awal.

Ruang Euclidean dimensi juga sering digunakan (jika jelas dari konteks bahawa ruang itu mempunyai struktur Euclidean).

Untuk menentukan ruang Euclidean, ia adalah yang paling mudah untuk diambil sebagai konsep utama produk titik. Ruang vektor Euclidean ditakrifkan sebagai dimensi terhingga ruang vektor di atas padang nombor nyata, pada vektor siapa fungsi bernilai sebenar dengan tiga sifat berikut:

ruang affine, sepadan dengan ruang vektor sedemikian, dipanggil ruang afin Euclidean, atau ringkasnya ruang Euclidean .

Contoh ruang Euclidean ialah ruang koordinat yang terdiri daripada semua yang mungkin n-ok nombor nyata hasil darab skalar yang ditentukan oleh formula

Koordinat asas dan vektor

Asas (Yunani lainβασις, asas) - set sedemikian vektor dalam ruang vektor bahawa mana-mana vektor ruang ini boleh diwakili secara unik sebagai gabungan linear vektor dari set ini - vektor asas.

Dalam kes apabila asasnya tidak terhingga, konsep "gabungan linear" perlu dijelaskan. Ini membawa kepada dua jenis definisi utama:

Asas Hamel, yang definisinya hanya menganggap gabungan linear terhingga. Asas Hamel digunakan terutamanya dalam algebra abstrak (khususnya, dalam algebra linear).

Dasar Schauder, yang definisinya juga mempertimbangkan kombinasi linear tak terhingga, iaitu, pengembangan dalam pangkat. Takrifan ini digunakan terutamanya dalam analisis fungsian, khususnya untuk ruang Hilbert,

Dalam ruang dimensi terhingga, kedua-dua jenis asas bertepatan.

Koordinat vektor adalah pekali satu-satunya yang mungkin gabungan linear asas vektor dalam yang dipilih sistem koordinat sama dengan vektor yang diberikan.

di manakah koordinat bagi vektor.

Produk skalar.

operasi pada dua vektor, yang terhasil ialah nombor[apabila vektor dipertimbangkan, nombor sering dipanggil skalar], yang tidak bergantung pada sistem koordinat dan mencirikan panjang vektor faktor dan sudut antara mereka. Operasi ini sepadan dengan pendaraban panjang vektor x pada unjuran vektor y setiap vektor x. Operasi ini biasanya dianggap sebagai komutatif dan linear bagi setiap faktor.

Produk skalar dua vektor adalah sama dengan hasil tambah koordinat masing-masing:

produk vektor

ini adalah pseudovector, berserenjang satah yang dibina oleh dua faktor, iaitu hasil daripada operasi binari"pendaraban vektor" berakhir vektor dalam 3D ruang euclidean. Produk vektor tidak mempunyai sifat komutatif dan pergaulan(ialah antikomutatif) dan, berbeza dengan hasil darab titik bagi vektor, ialah vektor. Digunakan secara meluas dalam banyak aplikasi teknikal dan fizikal. Sebagai contoh, momentum sudut dan Kuasa Lorentz ditulis secara matematik sebagai produk vektor. Hasil silang berguna untuk "mengukur" keserenjangan vektor - modulus hasil silang dua vektor adalah sama dengan hasil darab modulinya jika ia berserenjang, dan berkurangan kepada sifar jika vektor selari atau anti-selari.

produk vektor dua vektor boleh dikira menggunakan penentu matriks

produk campuran

Produk campuran vektor -produk skalar vektor pada produk vektor vektor dan:

Kadang-kadang ia dipanggil produk skalar tiga kali ganda vektor, nampaknya disebabkan oleh fakta bahawa hasilnya adalah skalar(lebih tepat - pseudoscalar).

deria geometri: Modulus hasil campuran adalah secara berangka sama dengan isipadu parallelepiped berpendidikan vektor .produk campuran tiga vektor boleh didapati melalui penentu

Pesawat di angkasa

kapal terbang - permukaan algebra pesanan pertama: dalam Sistem koordinat kartesian kapal terbang boleh ditetapkan persamaan ijazah pertama.

Beberapa sifat ciri satah

kapal terbang - permukaan, mengandungi setiap satu langsung, menghubungkan mana-mana mata;

Dua satah sama ada selari atau bersilang dalam garis lurus.

Garis itu sama ada selari dengan satah, atau bersilang pada satu titik, atau berada di atas satah.

Dua garis berserenjang dengan satah yang sama adalah selari antara satu sama lain.

Dua satah berserenjang dengan garis yang sama adalah selari antara satu sama lain.

Begitu juga segmen dan selang waktu, satah yang tidak termasuk titik ekstrem boleh dipanggil satah selang, atau satah terbuka.

Persamaan am (lengkap) satah

di mana dan adalah pemalar, dan pada masa yang sama ia tidak sama dengan sifar; dalam vektor borang:

di manakah vektor jejari titik, vektor berserenjang dengan satah (vektor normal). Pemandukosinus vektor :

Untuk paparan yang betul tentang undang-undang alam dalam fizik, alat matematik yang sesuai diperlukan.

Dalam geometri dan fizik, terdapat kuantiti yang dicirikan oleh kedua-dua nilai berangka dan arah.

Adalah dinasihatkan untuk mewakili mereka sebagai segmen diarahkan atau vektor.

Nilai sedemikian mempunyai permulaan (diwakili oleh titik) dan penghujung, ditunjukkan oleh anak panah. Panjang segmen dipanggil (panjang).

• kelajuan;
• pecutan;
• nadi;
• kekuatan;
• seketika;
• kekuatan;
• bergerak;
• kekuatan medan, dsb.

Koordinat satah

Mari kita tentukan segmen pada satah yang diarahkan dari titik A (x1, y1) ke titik B (x2, y2). Koordinatnya a (a1, a2) ialah nombor a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Modul dikira menggunakan teorem Pythagoras:

Vektor sifar mempunyai permulaan dan penghujung. Koordinat dan panjang ialah 0.

Jumlah vektor

wujud beberapa peraturan untuk mengira jumlah

• peraturan segi tiga;
• peraturan poligon;
• peraturan selari.

Peraturan penambahan vektor boleh dijelaskan menggunakan masalah daripada dinamik dan mekanik. Pertimbangkan penambahan vektor mengikut peraturan segitiga menggunakan contoh daya yang bertindak pada jasad titik dan sesaran jasad berturut-turut di angkasa.

Katakan badan bergerak dahulu dari titik A ke titik B, dan kemudian dari titik B ke titik C. Anjakan akhir ialah segmen yang diarahkan dari titik mula A ke titik akhir C.

Hasil daripada dua sesaran atau jumlahnya s = s1+ s2. Kaedah sedemikian dipanggil peraturan segi tiga.

Anak panah berbaris dalam rantai satu demi satu, jika perlu, menjalankan pemindahan selari. Jumlah segmen menutup jujukan. Permulaannya bertepatan dengan permulaan yang pertama, penghujung - dengan penghujung yang terakhir. Dalam buku teks asing, kaedah ini dipanggil "ekor ke kepala".

Koordinat keputusan c = a + b adalah sama dengan jumlah koordinat yang sepadan bagi sebutan c (a1+ b1, a2+ b2).

Jumlah vektor selari (kolinear) juga ditentukan oleh peraturan segi tiga.

Jika dua ruas awal berserenjang antara satu sama lain, maka hasil penambahannya ialah hipotenus bagi segi tiga tegak yang dibina di atasnya. Panjang hasil tambah dikira menggunakan teorem Pythagoras.

Contoh:

• Kelajuan jasad yang dilontar secara melintang berserenjang pecutan jatuh bebas.
• Dengan gerakan putaran seragam, halaju linear badan adalah berserenjang dengan pecutan sentripetal.

Menambah tiga atau lebih vektor menghasilkan mengikut peraturan poligon, "ekor ke kepala"

Mari kita andaikan bahawa daya F1 dan F2 dikenakan pada badan titik.

Pengalaman membuktikan bahawa kesan gabungan daya ini adalah bersamaan dengan tindakan satu daya yang diarahkan secara menyerong di sepanjang segi empat selari yang dibina di atasnya. Daya paduan ini sama dengan jumlah F \u003d F1 + F 2 mereka. Kaedah penambahan di atas dipanggil peraturan selari.

Panjang dalam kes ini dikira dengan formula

Di mana θ ialah sudut antara sisi.

Peraturan segi tiga dan segi empat selari boleh ditukar ganti. Dalam fizik, peraturan selari lebih kerap digunakan, kerana kuantiti diarahkan daya, halaju, dan pecutan biasanya digunakan pada satu badan titik. Dalam sistem koordinat 3D, peraturan kotak digunakan.

Unsur algebra

1. Penambahan ialah operasi binari: anda hanya boleh menambah pasangan pada satu masa.
2. komutatif: jumlah daripada pilih atur sebutan tidak berubah a + b = b + a. Ini jelas daripada peraturan selari: pepenjuru sentiasa sama.
3. pergaulan: jumlah bilangan vektor sembarangan tidak bergantung pada susunan penambahannya (a + b) + c = a + (b + c).
4. Menjumlahkan dengan vektor sifar tidak mengubah arah atau panjang: a +0= a .
5. Untuk setiap vektor ada bertentangan. Jumlahnya adalah sama dengan sifar a +(-a)=0, dan panjangnya adalah sama.

Menolak segmen terarah adalah sama dengan menambah sebaliknya. Koordinat adalah sama dengan perbezaan koordinat yang sepadan. Panjangnya ialah:

Untuk penolakan, anda boleh menggunakan peraturan segi tiga yang diubah suai.

Pendaraban dengan skalar

Hasil pendaraban dengan skalar ialah vektor.

Koordinat produk diperoleh dengan mendarab dengan skalar koordinat sumber yang sepadan.

Skalar ialah nilai berangka dengan tanda tambah atau tolak, lebih besar daripada atau kurang daripada satu.

Contoh skalar dalam fizik:

• berat;
• masa;
• caj;
• panjang;
• segi empat sama;
• isipadu;
• ketumpatan;
• suhu;
• tenaga.

Contoh:

• Anjakan jasad yang bergerak seragam adalah sama dengan hasil darab masa dan kelajuan s = vt.
• Momentum jasad ialah jisim yang didarab dengan kelajuan p = mv.
• Hukum kedua Newton. Hasil darab jisim badan dan pecutan ialah dilampirkan daya paduan ma=F.
• Daya yang bertindak ke atas zarah bercas dalam medan elektrik adalah berkadar dengan cas F = qE.

Hasil darab skalar bagi segmen terarah a dan b adalah sama dengan hasil darab modul dan kosinus sudut di antaranya. Hasil darab skalar bagi segmen yang saling berserenjang adalah sama dengan sifar.

Contoh:

Kerja ialah hasil skalar daya dan sesaran A = Fs .