Persamaan kuadratik - mudah untuk diselesaikan! *Selepas ini dirujuk sebagai “KU”. Kawan-kawan, nampaknya tidak ada yang lebih mudah dalam matematik daripada menyelesaikan persamaan sedemikian. Tetapi sesuatu memberitahu saya bahawa ramai orang mempunyai masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tera atas permintaan Yandex berikan setiap bulan. Inilah yang berlaku, lihat:

Apakah maksudnya? Ini bermakna kira-kira 70,000 orang setiap bulan sedang mencari maklumat ini, apakah kaitan musim panas ini dengannya, dan apa yang akan berlaku di kalangan tahun akademik— akan ada dua kali lebih banyak permintaan. Ini tidak menghairankan, kerana lelaki dan perempuan yang lulus dari sekolah lama dahulu dan sedang bersiap untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu sedang mencari maklumat ini, dan pelajar sekolah juga berusaha untuk menyegarkan ingatan mereka.

Walaupun terdapat banyak tapak yang memberitahu anda cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk turut menyumbang dan menerbitkan bahan tersebut. Pertama, saya mahu pelawat datang ke tapak saya berdasarkan permintaan ini; kedua, dalam artikel lain, apabila topik "KU" muncul, saya akan memberikan pautan kepada artikel ini; ketiga, saya akan memberitahu anda lebih sedikit tentang penyelesaiannya daripada yang biasanya dinyatakan di tapak lain. Mari mulakan! Kandungan artikel:

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:

di mana pekali a,bdan c ialah nombor arbitrari, dengan a≠0.

DALAM kursus sekolah bahan diberikan borang berikut– persamaan dibahagikan kepada tiga kelas:

1. Mereka mempunyai dua akar.

2. *Mempunyai satu punca sahaja.

3. Mereka tidak mempunyai akar. Perlu diperhatikan terutamanya di sini bahawa mereka tidak mempunyai akar sebenar

Bagaimanakah akar dikira? Cuma!

Kami mengira diskriminasi. Di bawah perkataan "mengerikan" ini terdapat formula yang sangat mudah:

Rumus akar adalah seperti berikut:

*Anda perlu mengetahui formula ini dengan hati.

Anda boleh segera menulis dan menyelesaikan:

Contoh:

1. Jika D > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

2. Jika D = 0, maka persamaan itu mempunyai satu punca.

3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Mari kita lihat persamaan:

Dalam hal ini, apabila diskriminasi adalah sama dengan sifar, kursus sekolah mengatakan bahawa satu akar diperolehi, di sini ia sama dengan sembilan. Semuanya betul, memang begitu, tetapi...

Idea ini agak tidak betul. Sebenarnya, terdapat dua akar. Ya, ya, jangan terkejut, ternyata dua akar yang sama, dan untuk menjadi tepat secara matematik, jawapannya harus mengandungi dua punca:

x 1 = 3 x 2 = 3

Tetapi ini begitu - penyimpangan kecil. Di sekolah anda boleh menulisnya dan mengatakan bahawa terdapat satu akar.

Sekarang contoh seterusnya:

Seperti yang kita ketahui, punca nombor negatif tidak diekstrak, jadi penyelesaian dalam dalam kes ini Tidak.

Itulah keseluruhan proses keputusan.

Fungsi kuadratik.

Ini menunjukkan rupa penyelesaian secara geometri. Ini amat penting untuk difahami (pada masa hadapan, dalam salah satu artikel kami akan menganalisis secara terperinci penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik).

Ini adalah fungsi borang:

di mana x dan y ialah pembolehubah

a, b, c – nombor yang diberi, dengan ≠ 0

Graf ialah parabola:

Iaitu, ternyata bahawa dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dengan "y" sama dengan sifar, kita dapati titik persilangan parabola dengan paksi x. Terdapat dua daripada perkara ini (diskriminan adalah positif), satu (diskriminan adalah sifar) dan tiada (diskriminasi adalah negatif). Butiran tentang fungsi kuadratik awak boleh tengok artikel oleh Inna Feldman.

Mari lihat contoh:

Contoh 1: Selesaikan 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Jawapan: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ia adalah mungkin untuk segera meninggalkan dan sebelah kanan bahagikan persamaan dengan 2, iaitu, permudahkan. Pengiraan akan lebih mudah.

Contoh 2: buat keputusan x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Kami mendapati bahawa x 1 = 11 dan x 2 = 11

Ia dibenarkan untuk menulis x = 11 dalam jawapan.

Jawapan: x = 11

Contoh 3: buat keputusan x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminasi adalah negatif, tiada penyelesaian dalam nombor nyata.

Jawapan: tiada penyelesaian

Diskriminasi adalah negatif. Ada penyelesaiannya!

Di sini kita akan bercakap tentang menyelesaikan persamaan dalam kes apabila diskriminasi negatif diperolehi. Adakah anda tahu apa-apa tentang nombor kompleks? Saya tidak akan menjelaskan secara terperinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apakah peranan dan keperluan khusus mereka dalam matematik ini adalah topik untuk artikel berasingan yang besar.

Konsep nombor kompleks.

Sedikit teori.

Nombor kompleks z ialah nombor bagi bentuk

z = a + bi

di mana a dan b berada nombor nyata, i ialah unit khayalan yang dipanggil.

a+bi – ini adalah NOMBOR TUNGGAL, bukan tambahan.

Unit khayalan adalah sama dengan punca tolak satu:

Sekarang pertimbangkan persamaan:

Kami mendapat dua akar konjugat.

Persamaan kuadratik tidak lengkap.

Mari kita pertimbangkan kes khas, ini adalah apabila pekali "b" atau "c" bersamaan dengan sifar (atau kedua-duanya sama dengan sifar). Mereka boleh diselesaikan dengan mudah tanpa sebarang diskriminasi.

Kes 1. Pekali b = 0.

Persamaan menjadi:

Mari kita ubah:

Contoh:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Kes 2. Pekali c = 0.

Persamaan menjadi:

Mari kita ubah dan pemfaktoran:

*Produk adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar.

Contoh:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kes 3. Pekali b = 0 dan c = 0.

Di sini adalah jelas bahawa penyelesaian kepada persamaan akan sentiasa x = 0.

Sifat berguna dan corak pekali.

Terdapat sifat yang membolehkan anda menyelesaikan persamaan dengan pekali yang besar.

Ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang

a + b+ c = 0, Itu

- jika bagi pekali persamaan Ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang

a+ c =b, Itu

Ciri-ciri ini membantu membuat keputusan jenis tertentu persamaan

Contoh 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Jumlah kemungkinan ialah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, yang bermaksud

Contoh 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Kesaksamaan dipegang a+ c =b, Bermakna

Keteraturan pekali.

1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali “c” adalah secara berangka sama dengan pekali"a", maka akarnya adalah sama

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jika dalam persamaan ax 2 – bx + c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali “c” secara berangka sama dengan pekali “a”, maka punca-puncanya adalah sama.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jika dalam Pers. ax 2 + bx – c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 – 1), dan pekali “c” secara berangka sama dengan pekali "a", maka akarnya adalah sama

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jika dalam persamaan ax 2 – bx – c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 – 1), dan pekali c secara berangka sama dengan pekali “a”, maka punca-puncanya adalah sama.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Teorem Vieta.

Teorem Vieta dinamakan sempena yang terkenal ahli matematik Perancis Francois Vieta. Menggunakan teorem Vieta, kita boleh menyatakan jumlah dan hasil darab punca KU sewenang-wenangnya dari segi pekalinya.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Secara keseluruhan, nombor 14 hanya memberikan 5 dan 9. Ini adalah puncanya. Dengan kemahiran tertentu, menggunakan teorem yang dibentangkan, anda boleh menyelesaikan banyak persamaan kuadratik secara lisan serta-merta.

Teorem Vieta, sebagai tambahan. Ia adalah mudah kerana selepas menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara biasa (melalui diskriminasi), punca yang terhasil boleh disemak. Saya mengesyorkan melakukan ini sentiasa.

KAEDAH PENGANGKUTAN

Dengan kaedah ini, pekali "a" didarab dengan istilah bebas, seolah-olah "dilemparkan" kepadanya, itulah sebabnya ia dipanggil kaedah "pemindahan". Kaedah ini digunakan apabila anda boleh mencari punca persamaan dengan mudah menggunakan teorem Vieta dan, yang paling penting, apabila diskriminasi ialah segi empat tepat.

Jika A± b+c≠ 0, maka teknik pemindahan digunakan, contohnya:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Menggunakan teorem Vieta dalam persamaan (2), adalah mudah untuk menentukan bahawa x 1 = 10 x 2 = 1

Akar-akar persamaan yang terhasil mesti dibahagikan dengan 2 (memandangkan kedua-duanya "dilemparkan" daripada x 2), kita dapat

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

Apakah rasionalnya? Lihat apa yang berlaku.

Diskriminasi persamaan (1) dan (2) adalah sama:

Jika anda melihat punca-punca persamaan, anda hanya mendapat penyebut yang berbeza, dan hasilnya bergantung tepat pada pekali x 2:

Yang kedua (diubah suai) mempunyai akar yang 2 kali lebih besar.

Oleh itu, kami membahagikan hasilnya dengan 2.

*Jika kita gulung tiga, kita akan bahagikan hasilnya dengan 3, dsb.

Jawapan: x 1 = 5 x 2 = 0.5

persegi ur-ie dan Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Saya akan memberitahu anda secara ringkas tentang kepentingannya - ANDA MESTI BOLEH MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berfikir, anda perlu mengetahui formula akar dan diskriminasi dengan hati. Banyak masalah yang termasuk dalam tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu bermuara kepada menyelesaikan persamaan kuadratik (termasuk yang geometri).

Sesuatu yang patut diberi perhatian!

1. Bentuk penulisan persamaan boleh "tersirat". Sebagai contoh, entri berikut mungkin:

15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.

Awak perlu bawa dia ke pandangan standard(supaya tidak keliru ketika membuat keputusan).

2. Ingat bahawa x ialah kuantiti yang tidak diketahui dan ia boleh dilambangkan dengan mana-mana huruf lain - t, q, p, h dan lain-lain.

Persamaan kuadratik tidak lengkap berbeza daripada persamaan klasik (lengkap) kerana faktor atau sebutan bebasnya adalah sama dengan sifar. Graf bagi fungsi tersebut ialah parabola. Bergantung pada penampilan umum mereka, mereka dibahagikan kepada 3 kumpulan. Prinsip penyelesaian untuk semua jenis persamaan adalah sama.

Tidak ada yang sukar dalam menentukan jenis polinomial yang tidak lengkap. Adalah lebih baik untuk mempertimbangkan perbezaan utama menggunakan contoh visual:

1. Jika b = 0, maka persamaannya ialah ax 2 + c = 0.
2. Jika c = 0, maka ungkapan ax 2 + bx = 0 harus diselesaikan.
3. Jika b = 0 dan c = 0, maka polinomial bertukar menjadi kesamaan seperti ax 2 = 0.

Kes terakhir adalah lebih kepada kemungkinan teori dan tidak pernah berlaku dalam tugas ujian pengetahuan, kerana satu-satunya nilai pembolehubah x yang betul dalam ungkapan ialah sifar. Pada masa hadapan, kaedah dan contoh penyelesaian masalah yang tidak lengkap akan dipertimbangkan. persamaan kuadratik 1) dan 2) jenis.

Algoritma umum untuk mencari pembolehubah dan contoh dengan penyelesaian

Tanpa mengira jenis persamaan, algoritma penyelesaian dikurangkan kepada langkah-langkah berikut:

1. Kurangkan ungkapan kepada bentuk yang sesuai untuk mencari punca.
2. Lakukan pengiraan.
3. Tulis jawapan.

Cara paling mudah untuk menyelesaikan persamaan yang tidak lengkap ialah memfaktorkan bahagian kiri dan meninggalkan sifar di sebelah kanan. Oleh itu, formula untuk persamaan kuadratik yang tidak lengkap untuk mencari punca dikurangkan untuk mengira nilai x bagi setiap faktor.

Anda hanya boleh belajar cara menyelesaikannya dalam amalan, jadi mari kita pertimbangkan contoh konkrit mencari punca persamaan tidak lengkap:

Seperti yang anda lihat, dalam kes ini b = 0. Mari kita memfaktorkan bahagian kiri dan dapatkan ungkapan:

4(x – 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0.

Jelas sekali, produk adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Nilai pembolehubah x1 = 0.5 dan (atau) x2 = -0.5 memenuhi keperluan yang sama.

Untuk dengan mudah dan cepat mengatasi masalah pemfaktoran trinomial kuadratik, anda harus ingat formula berikut:

Sekiranya tiada istilah bebas dalam ungkapan, masalahnya sangat dipermudahkan. Ia akan mencukupi hanya untuk mencari dan kurungan penyebut biasa. Untuk kejelasan, pertimbangkan contoh cara menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk ax2 + bx = 0.

Mari kita keluarkan pembolehubah x daripada kurungan dan dapatkan ungkapan berikut:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Berpandukan logik, kita sampai pada kesimpulan bahawa x1 = 0, dan x2 = -3.

Kaedah penyelesaian tradisional dan persamaan kuadratik tidak lengkap

Apakah yang berlaku jika anda menggunakan formula diskriminasi dan cuba mencari punca polinomial dengan pekali sama dengan sifar? Mari kita ambil contoh dari koleksi tugas biasa untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam Matematik 2017, kami akan menyelesaikannya menggunakan formula standard dan kaedah pemfaktoran.

7x 2 – 3x = 0.

Mari kita hitung nilai diskriminasi: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Ternyata polinomial mempunyai dua punca:

Sekarang, mari kita selesaikan persamaan dengan memfaktorkan dan membandingkan hasilnya.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Seperti yang anda lihat, kedua-dua kaedah memberikan hasil yang sama, tetapi menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah kedua adalah lebih mudah dan lebih cepat.

Teorem Vieta

Tetapi apa yang perlu dilakukan dengan teorem kegemaran Vieta? Adakah boleh digunakan kaedah ini dengan trinomial yang tidak lengkap? Mari kita cuba memahami aspek membawa persamaan tidak lengkap kepada bentuk klasik ax2 + bx + c = 0.

Malah, adalah mungkin untuk menggunakan teorem Vieta dalam kes ini. Ia hanya perlu untuk membawa ungkapan kepada bentuk umum, menggantikan istilah yang hilang dengan sifar.

Sebagai contoh, dengan b = 0 dan a = 1, untuk menghapuskan kemungkinan kekeliruan, tugas harus ditulis dalam bentuk: ax2 + 0 + c = 0. Kemudian nisbah jumlah dan hasil akar dan faktor polinomial boleh dinyatakan seperti berikut:

Pengiraan teori membantu untuk membiasakan diri dengan intipati isu, dan sentiasa memerlukan pembangunan kemahiran apabila menyelesaikan masalah tertentu. Mari kembali ke buku rujukan tugas standard untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dan cari contoh yang sesuai:

Mari kita tulis ungkapan dalam bentuk yang sesuai untuk menggunakan teorem Vieta:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Langkah seterusnya ialah mencipta sistem keadaan:

Jelas sekali, punca polinomial kuadratik ialah x 1 = 4 dan x 2 = -4.

Sekarang, mari kita berlatih membawa persamaan kepada bentuk amnya. Mari kita ambil contoh berikut: 1/4× x 2 – 1 = 0

Untuk menggunakan teorem Vieta kepada ungkapan, adalah perlu untuk menyingkirkan pecahan. Mari kita darabkan sisi kiri dan kanan dengan 4, dan lihat hasilnya: x2– 4 = 0. Kesamaan yang terhasil sedia untuk diselesaikan oleh teorem Vieta, tetapi lebih mudah dan cepat untuk mendapatkan jawapan dengan hanya menggerakkan c = 4 di sebelah kanan persamaan: x2 = 4.

Untuk meringkaskan, ia harus dikatakan begitu cara terbaik Menyelesaikan persamaan yang tidak lengkap dengan pemfaktoran adalah kaedah yang paling mudah dan terpantas. Sekiranya masalah timbul dalam proses mencari akar, anda boleh menghubungi kaedah tradisional mencari punca melalui diskriminasi.

Adalah diketahui bahawa ia adalah versi tertentu kesamaan ax 2 + bx + c = o, di mana a, b dan c adalah pekali nyata untuk x tidak diketahui, dan di mana a ≠ o, dan b dan c akan menjadi sifar - serentak atau secara berasingan. Contohnya, c = o, b ≠ o atau sebaliknya. Kami hampir teringat definisi persamaan kuadratik.

Trinomial darjah kedua ialah sifar. Pekali pertamanya a ≠ o, b dan c boleh mengambil sebarang nilai. Nilai pembolehubah x kemudiannya adalah apabila penggantian mengubahnya menjadi kesamaan berangka yang betul. Mari kita fokus pada punca sebenar, walaupun penyelesaian kepada persamaan juga boleh dipanggil persamaan yang lengkap di mana tiada satu pun pekali adalah sama dengan o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Mari kita selesaikan satu contoh. 2x 2 -9x-5 = oh, kita dapati
D = 81+40 = 121,
D adalah positif, yang bermaksud terdapat punca, x 1 = (9+√121):4 = 5, dan x 2 kedua = (9-√121):4 = -o.5. Menyemak akan membantu memastikan ia betul.

Berikut ialah penyelesaian langkah demi langkah kepada persamaan kuadratik

Menggunakan diskriminasi, anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan di sebelah kiri yang diketahui trinomial kuadratik untuk ≠ o. Dalam contoh kita. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Mari kita pertimbangkan apakah persamaan tidak lengkap darjah kedua

1. ax 2 +in = o. Sebutan bebas, pekali c pada x 0, adalah sama dengan sifar di sini, dalam ≠ o.
   Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap jenis ini? Mari kita ambil x keluar dari kurungan. Mari kita ingat apabila hasil darab dua faktor bersamaan dengan sifar.
   x(ax+b) = o, ini boleh jadi apabila x = o atau apabila ax+b = o.
   Setelah menyelesaikan ke-2 kita mempunyai x = -в/а.
   Akibatnya, kita mempunyai punca x 1 = 0, mengikut pengiraan x 2 = -b/a.
2. Sekarang pekali x adalah sama dengan o, dan c tidak sama (≠) o.
   x 2 +c = o. Mari kita gerakkan c ke sebelah kanan kesamaan, kita dapat x 2 = -с. Persamaan ini hanya mempunyai punca sebenar apabila -c nombor positif(dengan ‹ o),
   x 1 kemudiannya sama dengan √(-c), masing-masing, x 2 ialah -√(-c). Jika tidak, persamaan itu tidak mempunyai punca sama sekali.
3. Pilihan terakhir: b = c = o, iaitu, ax 2 = o. Sememangnya, persamaan mudah sedemikian mempunyai satu punca, x = o.

Kes khas

Kami melihat cara menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap, dan sekarang mari kita ambil sebarang jenis.

• Dalam persamaan kuadratik lengkap, pekali kedua bagi x ialah nombor genap.
  Biarkan k = o.5b. Kami mempunyai formula untuk mengira diskriminasi dan punca.
  D/4 = k 2 - ac, punca dikira sebagai x 1,2 = (-k±√(D/4))/a untuk D › o.
  x = -k/a pada D = o.
  Tiada akar untuk D ‹ o.
• Terdapat persamaan kuadratik, apabila pekali x kuasa dua ialah 1, ia biasanya ditulis x 2 + рх + q = o. Semua formula di atas digunakan untuk mereka, tetapi pengiraannya agak mudah.
  Contoh, x 2 -4x-9 = 0. Kira D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Di samping itu, ia adalah mudah untuk digunakan pada yang diberikan Ia mengatakan bahawa jumlah punca persamaan adalah sama dengan -p, pekali kedua dengan tolak (bermaksud tanda bertentangan), dan hasil darab punca yang sama ini akan. sama dengan q, sebutan bebas. Lihat betapa mudahnya untuk menentukan punca persamaan ini secara lisan. Untuk pekali tidak dikurangkan (untuk semua pekali tidak sama dengan sifar), teorem ini terpakai seperti berikut: jumlah x 1 + x 2 adalah sama dengan -b/a, hasil darab x 1 ·x 2 adalah sama dengan c/a.

Jumlah bagi sebutan bebas c dan pekali pertama a adalah sama dengan pekali b. Dalam keadaan ini, persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu punca (mudah dibuktikan), yang pertama semestinya sama dengan -1, dan yang kedua -c/a, jika wujud. Anda boleh menyemak sendiri cara menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Ia tidak boleh menjadi lebih mudah. Pekali mungkin berada dalam hubungan tertentu antara satu sama lain

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Jumlah semua pekali adalah sama dengan o.
  Punca-punca persamaan tersebut ialah 1 dan c/a. Contoh, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Terdapat beberapa cara lain untuk menyelesaikan pelbagai persamaan darjah kedua. Di sini, sebagai contoh, ialah kaedah untuk mengekstrak daripada polinomial tertentu persegi penuh. Kaedah grafik beberapa. Apabila anda sering berurusan dengan contoh sedemikian, anda akan belajar untuk "klik" mereka seperti benih, kerana semua kaedah datang ke fikiran secara automatik.

Nota penting!
1. Jika anda melihat gobbledygook dan bukannya formula, kosongkan cache anda. Bagaimana untuk melakukan ini dalam penyemak imbas anda ditulis di sini:
2. Sebelum anda mula membaca artikel itu, perhatikan pelayar kami sepenuhnya sumber yang berguna Untuk

Dalam istilah "persamaan kuadratik," kata kuncinya ialah "kuadrat." Ini bermakna bahawa persamaan mesti semestinya mengandungi pembolehubah (x yang sama) kuasa dua, dan tidak sepatutnya ada xes kepada kuasa ketiga (atau lebih besar).

Penyelesaian banyak persamaan datang kepada menyelesaikan persamaan kuadratik.

Mari belajar untuk menentukan bahawa ini adalah persamaan kuadratik dan bukan persamaan lain.

Contoh 1.

Mari kita hapuskan penyebut dan darab setiap sebutan persamaan dengan

Mari kita gerakkan segala-galanya ke sebelah kiri dan susun istilah dalam susunan menurun bagi kuasa X

Sekarang kita boleh mengatakan dengan yakin bahawa persamaan yang diberikan adalah persegi!

Contoh 2.

Darabkan sisi kiri dan kanan dengan:

Persamaan ini, walaupun pada asalnya terdapat di dalamnya, bukan kuadratik!

Contoh 3.

Mari kita darabkan semuanya dengan:

menakutkan? Darjah keempat dan kedua... Walau bagaimanapun, jika kita membuat penggantian, kita akan melihat bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik mudah:

Contoh 4.

Nampaknya ada, tetapi mari kita lihat lebih dekat. Mari kita alihkan semuanya ke sebelah kiri:

Lihat, ia dikurangkan - dan kini ia adalah persamaan linear yang mudah!

Sekarang cuba tentukan sendiri mana antara persamaan berikut adalah kuadratik dan yang mana bukan:

Contoh:

Jawapan:

1. segi empat sama;
2. segi empat sama;
3. bukan persegi;
4. bukan persegi;
5. bukan persegi;
6. segi empat sama;
7. bukan persegi;
8. segi empat sama.

Ahli matematik secara konvensional membahagikan semua persamaan kuadratik kepada jenis berikut:

• Lengkapkan persamaan kuadratik- persamaan di mana pekali dan, serta sebutan bebas c, tidak sama dengan sifar (seperti dalam contoh). Di samping itu, antara persamaan kuadratik lengkap terdapat diberi- ini adalah persamaan di mana pekali (persamaan dari contoh satu bukan sahaja lengkap, tetapi juga dikurangkan!)

• Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:

  Mereka tidak lengkap kerana mereka kehilangan beberapa elemen. Tetapi persamaan mesti sentiasa mengandungi x kuasa dua!!! Jika tidak, ia bukan lagi persamaan kuadratik, tetapi beberapa persamaan lain.

Mengapa mereka membuat pembahagian sedemikian? Nampaknya terdapat X kuasa dua, dan okay. Pembahagian ini ditentukan oleh kaedah penyelesaian. Mari kita lihat setiap daripada mereka dengan lebih terperinci.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Mula-mula, mari fokus pada menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah!

Terdapat jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:

1. , dalam persamaan ini pekali adalah sama.
2. , dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.
3. , dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.

1. i. Kerana kita tahu cara mengekstrak punca kuasa dua, maka mari kita ungkapkan daripada persamaan ini

Ungkapan boleh sama ada negatif atau positif. Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila mendarab dua negatif atau dua nombor positif, hasilnya akan sentiasa menjadi nombor positif, jadi: jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Dan jika, maka kita mendapat dua akar. Tidak perlu menghafal formula ini. Perkara utama ialah anda mesti tahu dan sentiasa ingat bahawa ia tidak boleh kurang.

Mari cuba selesaikan beberapa contoh.

Contoh 5:

Selesaikan persamaan

Sekarang yang tinggal hanyalah mengekstrak akar dari sisi kiri dan kanan. Lagipun, anda masih ingat bagaimana untuk mengekstrak akar?

Jawapan:

Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!!!

Contoh 6:

Selesaikan persamaan

Jawapan:

Contoh 7:

Selesaikan persamaan

Oh! Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu

tiada akar!

Untuk persamaan sedemikian yang tidak mempunyai akar, ahli matematik datang dengan ikon khas - (set kosong). Dan jawapannya boleh ditulis seperti ini:

Jawapan:

Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca. Tiada sekatan di sini, kerana kami tidak mengekstrak akarnya.
Contoh 8:

Selesaikan persamaan

Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

Oleh itu,

Persamaan ini mempunyai dua punca.

Jawapan:

Jenis persamaan kuadratik tidak lengkap yang paling mudah (walaupun semuanya mudah, bukan?). Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:

Kami akan lakukan tanpa contoh di sini.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap

Kami mengingatkan anda bahawa persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan persamaan bentuk di mana

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap adalah lebih sukar (sedikit sahaja) daripada ini.

Ingat Mana-mana persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.

Kaedah lain akan membantu anda melakukannya dengan lebih pantas, tetapi jika anda menghadapi masalah dengan persamaan kuadratik, mula-mula kuasai penyelesaian menggunakan diskriminasi.

1. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi.

Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah ini adalah sangat mudah; perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula.

Jika, maka persamaan itu mempunyai punca. perhatian khusus ambil langkah. Diskriminasi () memberitahu kita bilangan punca persamaan.

• Jika, maka formula dalam langkah akan dikurangkan kepada. Oleh itu, persamaan hanya akan mempunyai punca.
• Jika, maka kami tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi pada langkah itu. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.

Mari kita kembali kepada persamaan kita dan lihat beberapa contoh.

Contoh 9:

Selesaikan persamaan

Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna persamaan mempunyai dua punca.

Langkah 3.

Jawapan:

Contoh 10:

Selesaikan persamaan

Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna persamaan mempunyai satu punca.

Jawapan:

Contoh 11:

Selesaikan persamaan

Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna kita tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi. Tiada punca persamaan.

Sekarang kita tahu cara menulis jawapan sedemikian dengan betul.

Jawapan: tiada akar

2. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta.

Jika anda masih ingat, terdapat sejenis persamaan yang dipanggil berkurangan (apabila pekali a adalah sama dengan):

Persamaan sedemikian sangat mudah untuk diselesaikan menggunakan teorem Vieta:

Jumlah akar diberi persamaan kuadratik adalah sama, dan hasil darab akar-akarnya adalah sama.

Contoh 12:

Selesaikan persamaan

Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana .

Hasil tambah punca persamaan adalah sama, i.e. kita mendapat persamaan pertama:

Dan produk adalah sama dengan:

Mari kita karang dan selesaikan sistem:

• Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
• Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan penyelesaian kepada sistem:

Jawapan: ; .

Contoh 13:

Selesaikan persamaan

Jawapan:

Contoh 14:

Selesaikan persamaan

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Jawapan:

PERSAMAAN KUADRAT. PERINGKAT TENGAH

Apakah persamaan kuadratik?

Dalam erti kata lain, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - beberapa nombor, dan.

Nombor itu dipanggil tertinggi atau pekali pertama persamaan kuadratik, - pekali kedua, A - ahli percuma.

kenapa? Kerana jika persamaan segera menjadi linear, kerana akan hilang.

Dalam kes ini, dan boleh sama dengan sifar. Dalam persamaan kerusi ini dipanggil tidak lengkap. Jika semua istilah sudah ada, iaitu persamaannya sudah lengkap.

Penyelesaian kepada pelbagai jenis persamaan kuadratik

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap:

Mula-mula, mari kita lihat kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah.

Kita boleh membezakan jenis persamaan berikut:

I., dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.

II. , dalam persamaan ini pekali adalah sama.

III. , dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.

Sekarang mari kita lihat penyelesaian kepada setiap subjenis ini.

Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:

Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila anda mendarab dua nombor negatif atau dua positif, hasilnya akan sentiasa menjadi nombor positif. Itulah sebabnya:

jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian;

jika kita mempunyai dua akar

Tidak perlu menghafal formula ini. Perkara utama yang perlu diingat ialah ia tidak boleh kurang.

Contoh:

Penyelesaian:

Jawapan:

Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!

Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu

tiada akar.

Untuk menulis secara ringkas bahawa masalah tidak mempunyai penyelesaian, kami menggunakan ikon set kosong.

Jawapan:

Jadi, persamaan ini mempunyai dua punca: dan.

Jawapan:

Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Ini bermakna persamaan mempunyai penyelesaian apabila:

Jadi, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca: dan.

Contoh:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Mari kita faktorkan sisi kiri persamaan dan cari puncanya:

Jawapan:

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap:

1. Diskriminasi

Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara ini adalah mudah, perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula. Ingat, sebarang persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.

Adakah anda perasan akar daripada diskriminasi dalam formula untuk akar? Tetapi diskriminasi boleh menjadi negatif. Apa yang perlu dilakukan? Kita perlu memberi perhatian khusus kepada langkah 2. Diskriminasi memberitahu kita bilangan punca persamaan.

• Jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar:
• Jika, maka persamaan mempunyai punca yang sama, dan sebenarnya, satu punca:

  Akar sedemikian dipanggil akar berganda.

• Jika, maka akar diskriminasi tidak diekstrak. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.

Kenapa boleh kuantiti yang berbeza akar? Mari beralih kepada deria geometri persamaan kuadratik. Graf fungsi ialah parabola:

Dalam kes khas, iaitu persamaan kuadratik, . Ini bermakna punca-punca persamaan kuadratik ialah titik-titik persilangan dengan paksi absis (paksi). Parabola mungkin tidak memotong paksi sama sekali, atau mungkin bersilang pada satu (apabila puncak parabola terletak pada paksi) atau dua titik.

Di samping itu, pekali bertanggungjawab untuk arah cabang parabola. Jika, maka cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika, maka ke bawah.

Contoh:

Penyelesaian:

Jawapan:

Jawapan: .

Jawapan:

Ini bermakna tiada penyelesaian.

Jawapan: .

2. Teorem Vieta

Sangat mudah untuk menggunakan teorem Vieta: anda hanya perlu memilih sepasang nombor yang hasil darabnya sama dengan sebutan bebas persamaan, dan jumlahnya sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda bertentangan.

Adalah penting untuk diingat bahawa teorem Vieta hanya boleh digunakan dalam persamaan kuadratik terkurang ().

Mari lihat beberapa contoh:

Contoh #1:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana . Pekali lain: ; .

Jumlah punca-punca persamaan ialah:

Dan produk adalah sama dengan:

Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dan semak sama ada jumlahnya sama:

• Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
• Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan penyelesaian kepada sistem:

Oleh itu, dan merupakan punca persamaan kita.

Jawapan: ; .

Contoh #2:

Penyelesaian:

Mari pilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan kemudian semak sama ada jumlahnya sama:

dan: mereka memberi secara keseluruhan.

dan: mereka memberi secara keseluruhan. Untuk mendapatkannya, cukup untuk menukar tanda-tanda akar yang sepatutnya: dan, selepas semua, produk.

Jawapan:

Contoh #3:

Penyelesaian:

Sebutan bebas bagi persamaan adalah negatif, dan oleh itu hasil darab punca ialah nombor negatif. Ini hanya mungkin jika salah satu akarnya negatif dan satu lagi positif. Oleh itu jumlah akar-akar adalah sama dengan perbezaan modul mereka.

Marilah kita memilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan perbezaannya adalah sama dengan:

dan: perbezaan mereka adalah sama - tidak sesuai;

dan: - tidak sesuai;

dan: - tidak sesuai;

dan: - sesuai. Apa yang tinggal ialah ingat bahawa salah satu akarnya adalah negatif. Oleh kerana jumlahnya mestilah sama, punca dengan modulus yang lebih kecil mestilah negatif: . Kami menyemak:

Jawapan:

Contoh #4:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Istilah bebas adalah negatif, dan oleh itu hasil darab akar adalah negatif. Dan ini hanya mungkin apabila satu punca persamaan adalah negatif dan satu lagi positif.

Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama, dan kemudian tentukan punca mana yang sepatutnya mempunyai tanda negatif:

Jelas sekali, hanya akar dan sesuai untuk keadaan pertama:

Jawapan:

Contoh #5:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Jumlah akar adalah negatif, yang bermaksud bahawa sekurang-kurangnya satu daripada akar adalah negatif. Tetapi kerana produk mereka positif, ini bermakna kedua-dua akar mempunyai tanda tolak.

Mari kita pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dengan:

Jelas sekali, akarnya ialah nombor dan.

Jawapan:

Setuju, adalah sangat mudah untuk menghasilkan akar secara lisan, bukannya mengira diskriminasi jahat ini. Cuba gunakan teorem Vieta sekerap mungkin.

Tetapi teorem Vieta diperlukan untuk memudahkan dan mempercepatkan mencari punca. Untuk anda mendapat manfaat daripada menggunakannya, anda mesti membawa tindakan itu kepada automatik. Dan untuk ini, selesaikan lima lagi contoh. Tetapi jangan menipu: anda tidak boleh menggunakan diskriminasi! Hanya teorem Vieta:

Penyelesaian kepada tugasan untuk kerja bebas:

Tugasan 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Menurut teorem Vieta:

Seperti biasa, kami memulakan pemilihan dengan sekeping:

Tidak sesuai kerana jumlahnya;

: jumlah adalah apa yang anda perlukan.

Jawapan: ; .

Tugasan 2.

Dan sekali lagi teorem Vieta kegemaran kami: jumlah mesti sama, dan hasil darab mestilah sama.

Tetapi kerana ia mesti tidak, tetapi, kita menukar tanda-tanda akar: dan (secara keseluruhan).

Jawapan: ; .

Tugasan 3.

Hmm... Mana tu?

Anda perlu memindahkan semua istilah ke dalam satu bahagian:

Jumlah akar adalah sama dengan hasil darab.

Okay, berhenti! Persamaan tidak diberikan. Tetapi teorem Vieta hanya terpakai dalam persamaan yang diberikan. Jadi pertama anda perlu memberikan persamaan. Jika anda tidak boleh memimpin, tinggalkan idea ini dan selesaikan dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi). Izinkan saya mengingatkan anda bahawa untuk memberikan persamaan kuadratik bermakna menjadikan pekali pendahulu sama:

Hebat. Maka jumlah akar-akar adalah sama dengan dan hasil darab.

Di sini, semudah memerah pear untuk dipilih: lagipun, ia adalah nombor perdana (maaf untuk tautologi).

Jawapan: ; .

Tugasan 4.

Ahli percuma adalah negatif. Apa yang istimewa tentang ini? Dan hakikatnya ialah akar akan mempunyai tanda yang berbeza. Dan sekarang, semasa pemilihan, kami tidak menyemak jumlah akar, tetapi perbezaan dalam modul mereka: perbezaan ini sama, tetapi produk.

Jadi, akarnya adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. Teorem Vieta memberitahu kita bahawa jumlah akar adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, iaitu. Ini bermakna bahawa akar yang lebih kecil akan mempunyai tolak: dan, sejak.

Jawapan: ; .

Tugasan 5.

Apa yang perlu anda lakukan dahulu? Betul, berikan persamaan:

Sekali lagi: kami memilih faktor nombor, dan perbezaannya hendaklah sama dengan:

Akar adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. yang mana? Jumlah mereka harus sama, yang bermaksud bahawa tolak akan mempunyai akar yang lebih besar.

Jawapan: ; .

Biar saya ringkaskan:

1. Teorem Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadratik yang diberikan.
2. Menggunakan teorem Vieta, anda boleh mencari akar dengan pemilihan, secara lisan.
3. Jika persamaan tidak diberikan atau tiada pasangan faktor yang sesuai bagi istilah bebas ditemui, maka tiada punca keseluruhan, dan anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi).

3. Kaedah untuk memilih petak lengkap

Jika semua istilah yang mengandungi yang tidak diketahui diwakili dalam bentuk sebutan daripada rumus pendaraban yang disingkatkan - kuasa dua jumlah atau perbezaan - maka selepas menggantikan pembolehubah, persamaan boleh dibentangkan dalam bentuk persamaan kuadratik tidak lengkap jenis.

Contohnya:

Contoh 1:

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Jawapan:

Contoh 2:

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Jawapan:

DALAM pandangan umum transformasi akan kelihatan seperti ini:

Ia berikut: .

Tidak mengingatkan anda tentang apa-apa? Ini adalah perkara yang diskriminasi! Itulah cara kami mendapat formula diskriminasi.

PERSAMAAN KUADRAT. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Persamaan kuadratik- ini ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - pekali persamaan kuadratik, - sebutan bebas.

Persamaan kuadratik lengkap- persamaan di mana pekalinya tidak sama dengan sifar.

Persamaan kuadratik terkurang- persamaan di mana pekalinya, iaitu: .

Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:

• jika pekali, persamaannya kelihatan seperti: ,
• jika terdapat istilah bebas, persamaan mempunyai bentuk: ,
• jika dan, persamaannya kelihatan seperti: .

1. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

1.1. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana, :

1) Mari kita nyatakan yang tidak diketahui: ,

2) Semak tanda ungkapan:

• jika, maka persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian,
• jika, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

1.2. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana, :

1) Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan: ,

2) Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Oleh itu, persamaan mempunyai dua punca:

1.3. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana:

Persamaan ini sentiasa mempunyai satu punca sahaja: .

2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap bentuk di mana

2.1. Penyelesaian menggunakan diskriminasi

1) Mari kita bawa persamaan ke bentuk piawai: ,

2) Mari kita hitung diskriminasi menggunakan formula: , yang menunjukkan bilangan punca persamaan:

3) Cari punca-punca persamaan:

• jika, maka persamaan itu mempunyai punca-punca, yang didapati dengan formula:
• jika, maka persamaan mempunyai punca, yang ditemui oleh formula:
• jika, maka persamaan itu tidak mempunyai punca.

2.2. Penyelesaian menggunakan teorem Vieta

Jumlah punca persamaan kuadratik terkurang (persamaan bentuk di mana) adalah sama, dan hasil darab punca adalah sama, i.e. , A.

2.3. Penyelesaian dengan kaedah memilih segi empat sama lengkap

Jika persamaan kuadratik bentuk mempunyai punca, maka ia boleh ditulis dalam bentuk: .

Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, ini bermakna anda sangat keren.

Kerana hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% ini!

Sekarang perkara yang paling penting.

Anda telah memahami teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi...

Untuk apa?

Untuk berjaya disiapkan Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk kemasukan ke kolej mengikut bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini bukan perkara utama.

Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana banyak lagi yang terbuka di hadapan mereka lebih banyak kemungkinan dan hidup menjadi lebih cerah? tidak tahu...

Tapi fikir sendiri...

Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada yang lain pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dan akhirnya... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MENYELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.

Anda tidak akan diminta untuk teori semasa peperiksaan.

Anda akan perlukan menyelesaikan masalah melawan masa.

Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak mempunyai masa.

Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Cari koleksi di mana sahaja anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi dalam artikel ini -
2. Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.

Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk KESELURUHAN hayat tapak.

Dan kesimpulannya...

Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti pada teori.

"Difahamkan" dan "Saya boleh selesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!

Persamaan kuadratik. Diskriminasi. Penyelesaian, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Jenis-jenis persamaan kuadratik

Apakah persamaan kuadratik? Apakah rupanya? Dalam istilah persamaan kuadratik kata kuncinya ialah "persegi". Ini bermakna bahawa dalam persamaan Semestinya mesti ada x kuasa dua. Selain itu, persamaan mungkin (atau mungkin tidak!) mengandungi hanya X (kepada kuasa pertama) dan hanya nombor (ahli percuma). Dan tidak sepatutnya ada X kepada kuasa yang lebih besar daripada dua.

Bercakap bahasa matematik, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:

Di sini a, b dan c- beberapa nombor. b dan c- sama sekali, tetapi A– apa-apa selain sifar. Contohnya:

Di sini A =1; b = 3; c = -4

Di sini A =2; b = -0,5; c = 2,2

Di sini A =-3; b = 6; c = -18

Nah, anda faham...

Dalam persamaan kuadratik di sebelah kiri ini terdapat set lengkap ahli. X kuasa dua dengan pekali A, x kepada kuasa pertama dengan pekali b Dan ahli percuma s.

Persamaan kuadratik sedemikian dipanggil penuh.

Bagaimana jika b= 0, apa yang kita dapat? Kami ada X akan hilang kepada kuasa pertama. Ini berlaku apabila didarab dengan sifar.) Ternyata, sebagai contoh:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

dll. Dan jika kedua-dua pekali b Dan c adalah sama dengan sifar, maka ia lebih mudah:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

Persamaan sedemikian di mana ada sesuatu yang hilang dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Yang agak logik.) Sila ambil perhatian bahawa x kuasa dua hadir dalam semua persamaan.

By the way, kenapa A tidak boleh sama dengan sifar? Dan anda menggantikan sebaliknya A sifar.) Kuasa dua X kami akan hilang! Persamaan akan menjadi linear. Dan penyelesaiannya berbeza sama sekali...

Itu semua jenis utama persamaan kuadratik. Lengkap dan tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap.

Persamaan kuadratik mudah diselesaikan. Mengikut formula dan jelas peraturan mudah. Pada peringkat pertama adalah perlu persamaan yang diberikan membawa kepada bentuk standard, i.e. kepada borang:

Jika persamaan sudah diberikan kepada anda dalam bentuk ini, anda tidak perlu melakukan peringkat pertama.) Perkara utama ialah menentukan dengan betul semua pekali, A, b Dan c.

Formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik kelihatan seperti ini:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Tetapi lebih lanjut mengenai dia di bawah. Seperti yang anda lihat, untuk mencari X, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. pekali daripada persamaan kuadratik. Hanya dengan berhati-hati menggantikan nilai a, b dan c Kami mengira ke dalam formula ini. Mari kita ganti dengan tanda-tanda anda sendiri! Sebagai contoh, dalam persamaan:

A =1; b = 3; c= -4. Di sini kami menulisnya:

Contoh hampir diselesaikan:

Ini jawapannya.

Ia sangat mudah. Dan apa, anda fikir mustahil untuk membuat kesilapan? Nah, ya, bagaimana...

Kesilapan yang paling biasa ialah kekeliruan dengan nilai tanda a, b dan c. Atau sebaliknya, bukan dengan tanda-tanda mereka (di mana untuk keliru?), tetapi dengan penggantian nilai negatif ke dalam formula untuk mengira akar. Apa yang membantu di sini ialah rakaman terperinci formula dengan nombor tertentu. Sekiranya terdapat masalah dengan pengiraan, buat itu!

Katakan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di sini a = -6; b = -5; c = -1

Katakan anda tahu bahawa anda jarang mendapat jawapan pada kali pertama.

Nah, jangan malas. Ia akan mengambil masa kira-kira 30 saat untuk menulis baris tambahan Dan bilangan ralat akan berkurangan secara mendadak. Jadi kami menulis secara terperinci, dengan semua kurungan dan tanda:

Nampak sangat sukar untuk menulis dengan teliti. Tetapi nampaknya begitu sahaja. Cubalah. Baik, atau pilih. Apa yang lebih baik, cepat atau betul? Selain itu, saya akan membahagiakan awak. Selepas beberapa ketika, tidak perlu menulis segala-galanya dengan berhati-hati. Ia akan berjaya dengan sendirinya. Terutama jika anda menggunakan teknik praktikal

, yang diterangkan di bawah. Contoh jahat dengan sekumpulan tolak ini boleh diselesaikan dengan mudah dan tanpa ralat!

Tetapi, selalunya, persamaan kuadratik kelihatan sedikit berbeza. Sebagai contoh, seperti ini: Adakah anda mengenalinya?) Ya! ini.

persamaan kuadratik tidak lengkap

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap. a, b dan c.

Mereka juga boleh diselesaikan menggunakan formula umum. Anda hanya perlu memahami dengan betul apa yang mereka sama dengan di sini. Adakah anda telah memikirkannya? Dalam contoh pertama a = 1; b = -4; c A ? Ia tidak ada sama sekali! Ya, betul. Dalam matematik ini bermakna c = 0 ! Itu sahaja. Gantikan sifar ke dalam formula sebaliknya c, dan kita akan berjaya. Begitu juga dengan contoh kedua. Cuma kami tidak mempunyai sifar di sini Dengan b !

, A Tetapi persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh diselesaikan dengan lebih mudah. Tanpa sebarang formula. Mari kita pertimbangkan yang pertama. Apa yang boleh anda lakukan di sebelah kiri? Anda boleh mengeluarkan X daripada kurungan! Mari kita keluarkan.

Jadi bagaimana dengan ini? Dan hakikat bahawa produk itu sama dengan sifar jika dan hanya jika mana-mana faktor sama dengan sifar! Tidak percaya saya? Okey, kemudian buat dua nombor bukan sifar yang, apabila didarab, akan memberikan sifar!
tidak berkesan? itu sahaja...
Oleh itu, kami boleh menulis dengan yakin: x 1 = 0, x 2 = 4.

Semua. Ini akan menjadi punca persamaan kita. Kedua-duanya sesuai. Apabila menggantikan mana-mana daripadanya ke dalam persamaan asal, kita mendapat identiti yang betul 0 = 0. Seperti yang anda lihat, penyelesaiannya adalah lebih mudah daripada menggunakan formula am. Biar saya perhatikan, dengan cara itu, X yang mana akan menjadi yang pertama dan yang mana akan menjadi yang kedua - sama sekali tidak peduli. Ia mudah untuk menulis mengikut urutan, x 1- apa yang lebih kecil dan x 2- yang lebih besar.

Persamaan kedua juga boleh diselesaikan dengan mudah. Gerakkan 9 ke sebelah kanan. Kami mendapat:

Yang tinggal hanyalah mengekstrak akar daripada 9, dan itu sahaja. Ia akan menjadi:

Juga dua akar . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ini adalah bagaimana semua persamaan kuadratik yang tidak lengkap diselesaikan. Sama ada dengan meletakkan X daripada kurungan, atau dengan hanya menggerakkan nombor ke kanan dan kemudian mengekstrak akarnya.
Sangat sukar untuk mengelirukan teknik ini. Semata-mata kerana dalam kes pertama anda perlu mengekstrak akar X, yang entah bagaimana tidak dapat difahami, dan dalam kes kedua tiada apa-apa yang perlu diambil dari kurungan...

Diskriminasi. Formula diskriminasi.

Kata ajaib diskriminasi ! Jarang pelajar sekolah menengah tidak mendengar perkataan ini! Ungkapan "kami menyelesaikan melalui diskriminasi" menimbulkan keyakinan dan keyakinan. Kerana tidak perlu mengharapkan helah daripada diskriminasi! Ia mudah dan bebas masalah untuk digunakan.) Saya mengingatkan anda tentang perkara yang paling banyak formula am untuk menyelesaikan mana-mana persamaan kuadratik:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Biasanya diskriminasi dilambangkan dengan huruf D. Formula diskriminasi:

D = b 2 - 4ac

Dan apakah yang luar biasa tentang ungkapan ini? Mengapa ia layak mendapat nama istimewa? apa maksud diskriminasi? Lagipun -b, atau 2a dalam formula ini mereka tidak menyebutnya secara khusus apa-apa... Surat dan huruf.

Inilah perkaranya. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula ini, adalah mungkin hanya tiga kes.

1. Diskriminasi adalah positif. Ini bermakna akar boleh diekstrak daripadanya. Sama ada akar diekstrak dengan baik atau buruk adalah persoalan yang berbeza. Apa yang penting ialah apa yang diekstrak secara prinsip. Maka persamaan kuadratik anda mempunyai dua punca. Dua penyelesaian berbeza.

2. Diskriminasi adalah sifar. Kemudian anda akan mempunyai satu penyelesaian. Oleh kerana menambah atau menolak sifar dalam pengangka tidak mengubah apa-apa. Tegasnya, ini bukan satu akar, tetapi dua serupa. Tetapi, dalam versi yang dipermudahkan, adalah kebiasaan untuk dibincangkan satu penyelesaian.

3. Diskriminasi adalah negatif. Punca kuasa dua nombor negatif tidak boleh diambil. oh baiklah. Ini bermakna tiada penyelesaian.

Sejujurnya, bila penyelesaian mudah persamaan kuadratik, konsep diskriminasi tidak diperlukan. Kami menggantikan nilai pekali ke dalam formula dan mengira. Segala-galanya berlaku di sana dengan sendirinya, dua akar, satu, dan tidak ada. Walau bagaimanapun, apabila menyelesaikan lebih banyak tugas yang sukar, tanpa ilmu makna dan formula diskriminasi tidak boleh lewat. Terutama dalam persamaan dengan parameter. Persamaan tersebut adalah aerobatik untuk Peperiksaan Negeri dan Peperiksaan Negeri Bersepadu!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi yang anda ingat. Atau anda belajar, yang juga tidak buruk.) Anda tahu cara menentukan dengan betul a, b dan c. Adakah anda tahu bagaimana? dengan penuh perhatian menggantikannya ke dalam formula akar dan dengan penuh perhatian mengira hasilnya. Adakah anda faham itu kata kunci di sini - dengan penuh perhatian?

Sekarang perhatikan teknik praktikal yang secara mendadak mengurangkan bilangan ralat. Yang sama yang disebabkan oleh ketidakpedulian... Yang kemudiannya menjadi menyakitkan dan menyinggung perasaan...

Pelantikan pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadratik dan bawa ke bentuk piawai. Apakah maksud ini?
Katakan bahawa selepas semua transformasi anda mendapat persamaan berikut:

Jangan tergesa-gesa untuk menulis formula akar! Anda hampir pasti akan mendapat kemungkinan bercampur-campur a, b dan c. Bina contoh dengan betul. Pertama, X kuasa dua, kemudian tanpa kuasa dua, kemudian sebutan bebas. seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan tergesa-gesa! Tolak di hadapan X kuasa dua benar-benar boleh mengganggu anda. Mudah lupa... Buang tolak. Bagaimana? Ya, seperti yang diajar dalam topik sebelum ini! Kita perlu mendarabkan keseluruhan persamaan dengan -1. Kami mendapat:

Tetapi kini anda boleh menulis formula untuk akar dengan selamat, mengira diskriminasi dan menyelesaikan contoh. Tentukan sendiri.

Anda kini sepatutnya mempunyai akar 2 dan -1. Penerimaan kedua. Periksa akarnya! Mengikut teorem Vieta. Jangan takut, saya akan menerangkan semuanya! Menyemak terakhir persamaan. Itu. yang kami gunakan untuk menulis formula akar. Jika (seperti dalam contoh ini) pekali a = 1 , menyemak akar adalah mudah. Ia cukup untuk membiak mereka. Hasilnya mestilah ahli percuma, i.e. dalam kes kami -2. Sila ambil perhatian, bukan 2, tetapi -2! Ahli percuma dengan tanda anda

. Jika ia tidak berjaya, ini bermakna mereka sudah kacau di suatu tempat. Cari kesilapan. b Jika ia berfungsi, anda perlu menambah akar. Semakan terakhir dan terakhir. Pekali sepatutnya Dengan bertentangan b biasa. Dalam kes kami -1+2 = +1. Satu pekali
, yang berada di hadapan X, adalah sama dengan -1. Jadi, semuanya betul! Sayang sekali bahawa ini sangat mudah hanya untuk contoh di mana x kuasa dua adalah tulen, dengan pekali Tetapi sekurang-kurangnya semak persamaan sedemikian! Ralat akan semakin berkurangan.

Penerimaan ketiga . Jika persamaan anda mempunyai kemungkinan pecahan, - buang pecahan! Darabkan persamaan dengan penyebut sepunya seperti yang diterangkan dalam pelajaran "Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan? Transformasi identiti." Apabila bekerja dengan pecahan, ralat terus menjalar atas sebab tertentu...

Dengan cara ini, saya berjanji untuk memudahkan contoh jahat dengan banyak kelemahan. Tolonglah! Ini dia.

Untuk tidak keliru dengan tolak, kita darabkan persamaan dengan -1. Kami mendapat:

Itu sahaja! Menyelesaikan adalah keseronokan!

Jadi, mari kita ringkaskan topik tersebut.

Nasihat praktikal:

1. Sebelum menyelesaikan, kami membawa persamaan kuadratik kepada bentuk piawai dan membinanya Betul.

2. Jika terdapat pekali negatif di hadapan kuasa dua X, kita menghapuskannya dengan mendarab keseluruhan persamaan dengan -1.

3. Jika pekali adalah pecahan, kita menghapuskan pecahan dengan mendarabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sepadan.

4. Jika x kuasa dua adalah tulen, pekalinya sama dengan satu, penyelesaiannya boleh disahkan dengan mudah menggunakan teorem Vieta. buatlah!

Sekarang kita boleh membuat keputusan.)

Selesaikan persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Jawapan (bercelaru):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - sebarang nombor

x 1 = -3
x 2 = 3

tiada penyelesaian

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

Adakah semuanya sesuai? Hebat! Persamaan kuadratik bukan sakit kepala anda. Tiga yang pertama berjaya, tetapi yang lain tidak? Maka masalahnya bukan dengan persamaan kuadratik. Masalahnya ialah dalam transformasi persamaan yang sama. Cuba lihat pautan, ia berguna.

Tidak cukup berkesan? Atau tidak berjaya langsung? Kemudian Seksyen 555 akan membantu anda Semua contoh ini dipecahkan di sana. Ditunjukkan utama kesilapan dalam penyelesaian. Sudah tentu, ia juga bercakap tentang penggunaan transformasi identiti dalam keputusan tersebut persamaan yang berbeza. Sangat membantu!

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.