Malah pariti berfungsi seperti. Fungsi genap dan ganjil

Graf bagi fungsi genap dan ganjil mempunyai ciri-ciri berikut:

Jika fungsi genap, maka grafnya adalah simetri tentang ordinat. Jika fungsi adalah ganjil, maka grafnya adalah simetri tentang asalan.

Contoh. Bina graf bagi fungsi \(y=\left|x \right|\).

Penyelesaian. Pertimbangkan fungsi: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) dan gantikan sebaliknya \(-x \) dan bukannya \(x \). Hasil daripada transformasi mudah kita dapat: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Dalam lain perkataan, jika menggantikan hujah dengan tanda yang bertentangan, fungsi itu tidak akan berubah.

Ini bermakna fungsi ini adalah genap, dan grafnya akan simetri berkenaan dengan paksi ordinat (paksi menegak). Graf fungsi ini ditunjukkan dalam rajah di sebelah kiri. Ini bermakna apabila membina graf, anda hanya boleh melukis separuh, dan bahagian kedua (di sebelah kiri paksi menegak, lukis secara simetri ke bahagian kanan). Dengan menentukan simetri sesuatu fungsi sebelum mula memplot grafnya, anda boleh sangat memudahkan proses membina atau mengkaji fungsi tersebut. Jika sukar untuk melakukan pemeriksaan umum, anda boleh melakukannya dengan lebih mudah: gantikan nilai yang sama bagi tanda yang berbeza ke dalam persamaan. Contohnya -5 dan 5. Jika nilai fungsi ternyata sama, maka kita boleh berharap bahawa fungsi itu akan menjadi genap. Dari sudut pandangan matematik, pendekatan ini tidak sepenuhnya betul, tetapi dari sudut praktikal ia adalah mudah. Untuk meningkatkan kebolehpercayaan hasil, anda boleh menggantikan beberapa pasangan nilai bertentangan tersebut.

Contoh. Bina graf bagi fungsi \(y=x\left|x \right|\).

Penyelesaian. Mari kita semak sama seperti dalam contoh sebelumnya: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Ini bermakna fungsi asal adalah ganjil (tanda fungsi telah bertukar kepada sebaliknya).

Kesimpulan: fungsi adalah simetri tentang asal. Anda boleh membina hanya satu separuh, dan lukis yang kedua secara simetri. Simetri jenis ini lebih sukar untuk dilukis. Ini bermakna anda sedang melihat carta dari bahagian lain helaian, malah terbalik. Atau anda boleh melakukan ini: ambil bahagian yang dilukis dan putarkannya di sekeliling asal 180 darjah lawan jam.

Contoh. Bina graf bagi fungsi \(y=x^3+x^2\).

Penyelesaian. Mari kita lakukan pemeriksaan yang sama untuk perubahan tanda seperti dalam dua contoh sebelumnya. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Hasilnya, kita dapat bahawa: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Dan ini bermakna, fungsi itu bukan genap atau ganjil.

Kesimpulan: fungsi tidak simetri sama ada berkenaan dengan asalan atau pusat sistem koordinat. Ini berlaku kerana ia adalah hasil tambah dua fungsi: genap dan ganjil. Keadaan yang sama akan berlaku jika anda menolak dua fungsi yang berbeza. Tetapi pendaraban atau pembahagian akan membawa kepada hasil yang berbeza. Sebagai contoh, hasil darab bagi fungsi genap dan ganjil menghasilkan fungsi ganjil. Atau hasil bagi dua nombor ganjil membawa kepada fungsi genap.

Sembunyikan Rancangan

Kaedah untuk menentukan fungsi

Biarkan fungsi diberikan oleh formula: y=2x^(2)-3. Dengan memberikan sebarang nilai kepada pembolehubah bebas x, anda boleh mengira, menggunakan formula ini, nilai sepadan pembolehubah bersandar y. Sebagai contoh, jika x=-0.5, maka, dengan menggunakan formula, kita dapati nilai yang sepadan bagi y ialah y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5.

Mengambil sebarang nilai yang diambil oleh hujah x dalam formula y=2x^(2)-3, anda boleh mengira hanya satu nilai fungsi yang sepadan dengannya. Fungsi ini boleh diwakili sebagai jadual:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Menggunakan jadual ini, anda boleh melihat bahawa untuk nilai argumen −1 nilai fungsi −3 akan sepadan; dan nilai x=2 akan sepadan dengan y=0, dsb. Ia juga penting untuk mengetahui bahawa setiap nilai argumen dalam jadual sepadan dengan hanya satu nilai fungsi.

Lebih banyak fungsi boleh ditentukan menggunakan graf. Dengan menggunakan graf, ia ditentukan nilai fungsi mana yang berkorelasi dengan nilai x tertentu. Selalunya, ini akan menjadi nilai anggaran fungsi.

Fungsi genap dan ganjil

Fungsinya ialah malah berfungsi, apabila f(-x)=f(x) bagi sebarang x daripada domain takrifan. Fungsi sedemikian akan simetri tentang paksi Oy.

Fungsinya ialah fungsi ganjil, apabila f(-x)=-f(x) bagi sebarang x daripada domain takrifan. Fungsi sedemikian akan simetri tentang asal O (0;0) .

Fungsinya ialah tidak pun, tidak juga ganjil dan dipanggil fungsi umum, apabila ia tidak mempunyai simetri tentang paksi atau asal.

Mari kita periksa fungsi berikut untuk pariti:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) dengan domain simetri takrifan berbanding dengan asal. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Ini bermakna fungsi f(x)=3x^(3)-7x^(7) adalah ganjil.

Fungsi berkala

Fungsi y=f(x) , dalam domain yang kesamaan f(x+T)=f(x-T)=f(x) dipegang untuk sebarang x, dipanggil fungsi berkala dengan tempoh T \neq 0 .

Mengulang graf fungsi pada mana-mana segmen paksi-x yang mempunyai panjang T.

Selang di mana fungsi adalah positif, iaitu, f(x) > 0, adalah segmen paksi absis yang sepadan dengan titik graf fungsi yang terletak di atas paksi absis.

f(x) > 0 pada (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Selang di mana fungsi adalah negatif, iaitu, f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Fungsi terhad

Berbatasan dari bawah Adalah menjadi kebiasaan untuk memanggil fungsi y=f(x), x \dalam X apabila terdapat nombor A yang mana ketaksamaan f(x) \geq A berlaku untuk sebarang x \dalam X .

Contoh fungsi bersempadan dari bawah: y=\sqrt(1+x^(2)) sejak y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 untuk sebarang x .

Berbatasan dari atas fungsi y=f(x), x \dalam X dipanggil apabila terdapat nombor B yang mana ketaksamaan f(x) \neq B dipegang untuk sebarang x \dalam X .

Contoh fungsi bersempadan di bawah: y=\sqrt(1-x^(2)), x \dalam [-1;1] kerana y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 untuk sebarang x \in [-1;1] .

Terhad Ia adalah kebiasaan untuk memanggil fungsi y=f(x), x \dalam X apabila terdapat nombor K > 0 yang mana ketaksamaan \tinggalkan | f(x)\kanan | \neq K untuk sebarang x \dalam X .

Contoh fungsi terhad: y=\sin x dihadkan pada keseluruhan paksi nombor, kerana \kiri | \sin x \kanan | \neq 1.

Meningkatkan dan mengurangkan fungsi

Ia adalah kebiasaan untuk bercakap tentang fungsi yang meningkat pada selang yang dipertimbangkan sebagai meningkatkan fungsi maka, apabila nilai x yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar y=f(x) . Ia berikutan bahawa mengambil dua nilai arbitrari argumen x_(1) dan x_(2) daripada selang yang sedang dipertimbangkan, dengan x_(1) > x_(2) , hasilnya akan menjadi y(x_(1)) > y(x_(2)).

Fungsi yang berkurangan pada selang yang dipertimbangkan dipanggil menurun fungsi apabila nilai x yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih kecil y(x) . Ia berikutan bahawa, mengambil dua nilai arbitrari argumen x_(1) dan x_(2) daripada selang yang sedang dipertimbangkan, dengan x_(1) > x_(2) , hasilnya akan menjadi y(x_(1))< y(x_{2}) .

Akar Fungsi Adalah lazim untuk memanggil titik di mana fungsi F=y(x) bersilang dengan paksi absis (ia diperoleh dengan menyelesaikan persamaan y(x)=0).

a) Jika untuk x > 0 fungsi genap bertambah, maka ia berkurangan untuk x< 0

b) Apabila fungsi genap berkurangan untuk x > 0, maka ia meningkat untuk x< 0

c) Apabila fungsi ganjil bertambah pada x > 0, maka ia juga bertambah pada x< 0

d) Apabila fungsi ganjil berkurangan untuk x > 0, maka ia juga akan berkurangan untuk x< 0

Extrema fungsi

Titik minimum fungsi y=f(x) biasanya dipanggil titik x=x_(0) yang kejiranannya akan mempunyai titik lain (kecuali titik x=x_(0)), dan bagi mereka ketaksamaan f(x) > f kemudiannya akan berpuas hati (x_(0)) . y_(min) - penetapan fungsi pada titik min.

Titik maksimum fungsi y=f(x) biasanya dipanggil titik x=x_(0) yang kejiranannya akan mempunyai titik lain (kecuali titik x=x_(0)), dan bagi mereka ketaksamaan f(x) kemudiannya akan dipenuhi< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Prasyarat

Mengikut teorem Fermat: f"(x)=0 apabila fungsi f(x) yang boleh dibezakan pada titik x_(0) akan mempunyai ekstrem pada ketika ini.

Keadaan yang mencukupi

1. Apabila derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak, maka x_(0) akan menjadi titik minimum;
2. x_(0) - akan menjadi titik maksimum hanya apabila derivatif bertukar tanda daripada tolak kepada tambah apabila melalui titik pegun x_(0) .

Nilai terbesar dan terkecil bagi suatu fungsi pada selang waktu

Langkah pengiraan:

1. Terbitan f"(x) dicari;
2. Titik pegun dan kritikal fungsi ditemui dan yang tergolong dalam segmen dipilih;
3. Nilai fungsi f(x) ditemui pada titik pegun dan kritikal serta hujung segmen. Semakin kecil hasil yang diperolehi nilai terkecil bagi fungsi tersebut, dan banyak lagi - yang terbesar.

Belakang Hadapan

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili semua ciri pembentangan. Jika anda berminat dengan kerja ini, sila muat turun versi penuh.

Matlamat:

• merumuskan konsep fungsi genap dan ganjil, ajar kebolehan untuk menentukan dan menggunakan sifat ini semasa mengkaji fungsi dan membina graf;
• membangunkan aktiviti kreatif pelajar, pemikiran logik, keupayaan untuk membandingkan dan membuat generalisasi;
• memupuk kerja keras dan budaya matematik; mengembangkan kemahiran komunikasi .

peralatan: pemasangan multimedia, papan putih interaktif, kertas edaran.

Bentuk kerja: hadapan dan kumpulan dengan unsur aktiviti pencarian dan penyelidikan.

Sumber maklumat:

1. Algebra kelas 9 A.G. Mordkovich. Buku teks.
2. Algebra gred 9 A.G. Mordkovich. Buku masalah.
3. Algebra darjah 9. Tugas untuk pembelajaran dan perkembangan pelajar. Belenkova E.Yu. Lebedinteva E.A.

KEMAJUAN PELAJARAN

1. Detik organisasi

Menetapkan matlamat dan objektif pelajaran.

2. Menyemak kerja rumah

No. 10.17 (buku masalah gred 9. A.G. Mordkovich).

A) di = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 pada X ~ 0,4
4. f(X) >0 pada X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Fungsi bertambah dengan X € [– 2; + ∞)
6. Fungsi adalah terhad dari bawah.
7. di naim = – 3, di naib tidak wujud
8. Fungsi adalah berterusan.

(Adakah anda menggunakan algoritma penerokaan fungsi?) Slaid.

2. Mari semak jadual yang anda diminta daripada slaid.

Isi jadual
	Domain definisi	Fungsi sifar	Selang ketekalan tanda		Koordinat titik persilangan graf dengan Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Mengemas kini pengetahuan

- Fungsi diberikan.
– Tentukan skop definisi bagi setiap fungsi.
– Bandingkan nilai setiap fungsi untuk setiap pasangan nilai argumen: 1 dan – 1; 2 dan – 2.
– Untuk fungsi manakah dalam domain takrifan ini terdapat persamaan f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (masukkan data yang diperoleh ke dalam jadual) slaid

		f(1) dan f(– 1)	f(2) dan f(– 2)	graf	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		dan tidak ditakrifkan

4. Bahan baru

– Semasa melakukan kerja ini, kawan-kawan, kami mengenal pasti satu lagi sifat fungsi, yang anda tidak biasa, tetapi tidak kurang pentingnya daripada yang lain - ini ialah kesamarataan dan keganjilan fungsi tersebut. Tulis topik pelajaran: "Fungsi genap dan ganjil", tugas kami adalah untuk belajar menentukan kesamaan dan keganjilan fungsi, untuk mengetahui kepentingan sifat ini dalam kajian fungsi dan memplot graf.
Jadi, mari cari definisi dalam buku teks dan baca (ms 110) . slaid

Def. 1 Fungsi di = f (X), yang ditakrifkan pada set X dipanggil malah, jika untuk sebarang nilai XЄ X dilaksanakan kesamaan f(–x)= f(x). Beri contoh.

Def. 2 Fungsi y = f(x), ditakrifkan pada set X dipanggil ganjil, jika untuk sebarang nilai XЄ X kesamaan f(–х)= –f(х) dipegang. Beri contoh.

Di manakah kita bertemu dengan istilah "genap" dan "ganjil"?
Antara fungsi berikut, yang manakah akan menjadi genap, adakah anda fikir? kenapa? Mana yang ganjil? kenapa?
Untuk sebarang fungsi borang di= x n, Di mana n– integer, boleh dikatakan bahawa fungsi itu ganjil apabila n– ganjil dan fungsinya ialah genap apabila n– malah.
- Lihat fungsi di= dan di = 2X– 3 bukan genap mahupun ganjil, kerana persamaan tidak berpuas hati f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Kajian sama ada fungsi genap atau ganjil dipanggil kajian pariti fungsi. slaid

Dalam takrif 1 dan 2 kita bercakap tentang nilai fungsi pada x dan – x, dengan itu diandaikan bahawa fungsi itu juga ditakrifkan pada nilai X, dan pada – X.

Def 3. Jika set berangka, bersama setiap unsurnya x, juga mengandungi unsur bertentangan –x, maka set itu X dipanggil set simetri.

Contoh:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) ialah set simetri, dan , [–5;4] ialah tidak simetri.

– Adakah fungsi genap mempunyai domain definisi yang merupakan set simetri? Yang ganjil?
– Jika D( f) ialah set asimetri, maka apakah fungsinya?
– Oleh itu, jika fungsi di = f(X) – genap atau ganjil, maka domain definisinya ialah D( f) ialah set simetri. Adakah pernyataan sebaliknya benar: jika domain definisi fungsi ialah set simetri, maka adakah ia genap atau ganjil?
– Ini bermakna kehadiran set simetri domain definisi adalah syarat yang perlu, tetapi tidak mencukupi.
– Jadi bagaimana anda memeriksa fungsi untuk pariti? Mari cuba buat algoritma.

slaid

Algoritma untuk mengkaji fungsi untuk pariti

1. Tentukan sama ada domain takrifan fungsi adalah simetri. Jika tidak, maka fungsi itu bukan genap atau ganjil. Jika ya, pergi ke langkah 2 algoritma.

2. Tulis ungkapan untuk f(–X).

3. Bandingkan f(–X).Dan f(X):

• Jika f(–X).= f(X), maka fungsinya adalah genap;
• Jika f(–X).= – f(X), maka fungsinya adalah ganjil;
• Jika f(–X) ≠ f(X) Dan f(–X) ≠ –f(X), maka fungsi itu bukan genap atau ganjil.

Contoh:

Periksa fungsi a) untuk pariti di= x 5 +; b) di= ; V) di= .

Penyelesaian.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), set simetri.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => fungsi h(x)= x 5 + ganjil.

b) y =,

di = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), set asimetri, yang bermaksud fungsi itu bukan genap atau ganjil.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Pilihan 2

1. Adakah set yang diberi simetri: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Periksa fungsi untuk pariti:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Dalam Rajah. graf telah dibina di = f(X), untuk semua orang X, memenuhi syarat X? 0.
Graf Fungsi di = f(X), Jika di = f(X) ialah fungsi genap.

3. Dalam Rajah. graf telah dibina di = f(X), untuk semua x memuaskan syarat x? 0.
Graf Fungsi di = f(X), Jika di = f(X) ialah fungsi ganjil.

Semakan bersama dihidupkan slaid.

6. Kerja rumah: №11.11, 11.21,11.22;

Bukti makna geometri bagi sifat pariti.

***(Penugasan pilihan Peperiksaan Negeri Bersepadu).

1. Fungsi ganjil y = f(x) ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor. Untuk sebarang nilai bukan negatif pembolehubah x, nilai fungsi ini bertepatan dengan nilai fungsi g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Cari nilai fungsi h( X) = pada X = 3.

7. Merumuskan

Keseragaman dan keganjilan fungsi adalah salah satu sifat utamanya, dan pariti mengambil bahagian yang mengagumkan dalam kursus matematik sekolah. Ia sebahagian besarnya menentukan kelakuan fungsi dan sangat memudahkan pembinaan graf yang sepadan.

Mari tentukan pariti fungsi. Secara amnya, fungsi yang dikaji dianggap walaupun untuk nilai yang bertentangan dengan pembolehubah bebas (x) yang terletak dalam domain takrifnya, nilai y (fungsi) yang sepadan ternyata sama.

Mari kita berikan definisi yang lebih ketat. Pertimbangkan beberapa fungsi f (x), yang ditakrifkan dalam domain D. Ia akan menjadi walaupun untuk mana-mana titik x terletak dalam domain definisi:

• -x (titik bertentangan) juga terletak dalam skop ini,

• f(-x) = f(x).

Daripada definisi di atas mengikut syarat yang diperlukan untuk domain definisi fungsi sedemikian, iaitu, simetri berkenaan dengan titik O, yang merupakan asal koordinat, kerana jika beberapa titik b terkandung dalam domain definisi genap. fungsi, maka titik b yang sepadan juga terletak pada domain ini. Daripada perkara di atas, oleh itu, kesimpulan berikut: fungsi genap mempunyai bentuk simetri berkenaan dengan paksi ordinat (Oy).

Bagaimana untuk menentukan pariti fungsi dalam amalan?

Biarkan ia dinyatakan menggunakan formula h(x)=11^x+11^(-x). Mengikuti algoritma yang mengikuti terus daripada definisi, kami mula-mula memeriksa domain definisinya. Jelas sekali, ia ditakrifkan untuk semua nilai hujah, iaitu, syarat pertama dipenuhi.

Langkah seterusnya ialah menggantikan nilai berlawanan (-x) untuk hujah (x).
Kami mendapat:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Oleh kerana penambahan memenuhi undang-undang komutatif (komutatif), adalah jelas bahawa h(-x) = h(x) dan kebergantungan fungsi yang diberikan adalah genap.

Mari kita semak pariti fungsi h(x)=11^x-11^(-x). Mengikuti algoritma yang sama, kita mendapat bahawa h(-x) = 11^(-x) -11^x. Mengambil tolak, pada akhirnya kita ada
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Oleh itu, h(x) adalah ganjil.

Dengan cara ini, perlu diingat bahawa terdapat fungsi yang tidak boleh diklasifikasikan mengikut kriteria ini; ia dipanggil bukan genap atau ganjil.

Malah fungsi mempunyai beberapa sifat menarik:

• hasil daripada menambah fungsi yang serupa, mereka mendapat satu genap;
• hasil penolakan fungsi tersebut, satu genap diperoleh;
• genap, juga genap;
• hasil daripada mendarab dua fungsi sedemikian, satu genap diperoleh;
• hasil daripada mendarab fungsi ganjil dan genap, satu ganjil diperoleh;
• hasil daripada membahagikan fungsi ganjil dan genap, yang ganjil diperolehi;
• terbitan bagi fungsi sedemikian adalah ganjil;
• Jika anda kuasa dua fungsi ganjil, anda akan mendapat satu genap.

Pariti fungsi boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan.

Untuk menyelesaikan persamaan seperti g(x) = 0, di mana bahagian kiri persamaan adalah fungsi genap, ia akan menjadi cukup untuk mencari penyelesaiannya untuk nilai bukan negatif pembolehubah. Punca-punca yang terhasil bagi persamaan mesti digabungkan dengan nombor yang berlawanan. Salah satunya tertakluk kepada pengesahan.

Ini juga berjaya digunakan untuk menyelesaikan masalah bukan standard dengan parameter.

Sebagai contoh, adakah terdapat sebarang nilai parameter a yang mana persamaan 2x^6-x^4-ax^2=1 akan mempunyai tiga punca?

Jika kita mengambil kira bahawa pembolehubah memasuki persamaan dalam kuasa genap, maka adalah jelas bahawa menggantikan x dengan - x tidak akan mengubah persamaan yang diberikan. Ia berikutan bahawa jika nombor tertentu adalah puncanya, maka nombor yang bertentangan juga adalah punca. Kesimpulannya adalah jelas: punca-punca persamaan yang berbeza daripada sifar dimasukkan ke dalam set penyelesaiannya dalam "berpasangan".

Jelas bahawa nombor itu sendiri bukan 0, iaitu bilangan punca persamaan sedemikian hanya boleh genap dan, secara semula jadi, untuk sebarang nilai parameter ia tidak boleh mempunyai tiga punca.

Tetapi bilangan punca persamaan 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 boleh ganjil, dan untuk sebarang nilai parameter. Sesungguhnya, adalah mudah untuk memeriksa bahawa set punca persamaan yang diberikan mengandungi penyelesaian "berpasangan". Mari kita semak sama ada 0 ialah akar. Apabila kita menggantikannya ke dalam persamaan, kita mendapat 2=2. Oleh itu, sebagai tambahan kepada yang "berpasangan", 0 juga merupakan punca, yang membuktikan nombor ganjilnya.

Kajian fungsi.

1) D(y) – Domain takrifan: set semua nilai pembolehubah x. yang mana ungkapan algebra f(x) dan g(x) masuk akal.

Jika fungsi diberikan oleh formula, maka domain definisi terdiri daripada semua nilai pembolehubah bebas yang formula itu masuk akal.

2) Sifat fungsi: genap/ganjil, berkala:

ganjil Dan malah fungsi dipanggil yang grafnya simetri berkenaan dengan perubahan dalam tanda hujah.

Fungsi ganjil- fungsi yang menukar nilai kepada sebaliknya apabila tanda pembolehubah bebas berubah (simetri berbanding pusat koordinat).

Malah berfungsi- fungsi yang tidak mengubah nilainya apabila tanda pembolehubah bebas berubah (simetri tentang ordinat).

Fungsi genap mahupun ganjil (fungsi am)- fungsi yang tidak mempunyai simetri. Kategori ini termasuk fungsi yang tidak termasuk di bawah 2 kategori sebelumnya.

Fungsi yang tidak tergolong dalam mana-mana kategori di atas dipanggil tidak genap mahupun ganjil(atau fungsi umum).

Fungsi ganjil

Kuasa ganjil di mana adalah integer arbitrari.

Malah fungsi

Malah kuasa di mana adalah integer sewenang-wenangnya.

Fungsi berkala- fungsi yang mengulangi nilainya pada beberapa selang argumen tetap, iaitu, ia tidak mengubah nilainya apabila menambah beberapa nombor bukan sifar tetap pada hujah ( tempoh fungsi) ke atas keseluruhan domain definisi.

3) Sifar (akar) fungsi ialah titik di mana ia menjadi sifar.

Mencari titik persilangan graf dengan paksi Oy. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira nilainya f(0). Cari juga titik persilangan graf dengan paksi lembu, mengapa mencari punca persamaan f(x) = 0 (atau pastikan tiada punca).

Titik di mana graf bersilang dengan paksi dipanggil fungsi sifar. Untuk mencari sifar fungsi anda perlu menyelesaikan persamaan, iaitu, cari makna "x" itu, di mana fungsi menjadi sifar.

4) Selang ketekalan tanda, tanda di dalamnya.

Selang di mana fungsi f(x) mengekalkan tanda.

Selang ketekalan tanda ialah selang pada setiap titik yang fungsi itu positif atau negatif.

DI ATAS paksi-x.

DI BAWAH gandar.

5) Kesinambungan (titik ketakselanjaran, sifat ketakselanjaran, asimtot).

Fungsi berterusan- fungsi tanpa "melompat", iaitu, di mana perubahan kecil dalam hujah membawa kepada perubahan kecil dalam nilai fungsi.

Mata Pecah Boleh Alih

Jika had fungsi wujud, tetapi fungsi tidak ditakrifkan pada ketika ini, atau had tidak bertepatan dengan nilai fungsi pada ketika ini:

,

maka titik itu dipanggil titik pecah boleh tanggal fungsi (dalam analisis kompleks, titik tunggal boleh tanggal).

Jika kita "membetulkan" fungsi pada titik ketakselanjaran boleh tanggal dan meletakkan , maka kita mendapat fungsi yang berterusan pada titik tertentu. Operasi ini pada fungsi dipanggil memanjangkan fungsi kepada berterusan atau takrifan semula fungsi dengan kesinambungan, yang mewajarkan nama titik sebagai titik boleh tanggal pecah.

Titik ketidaksinambungan jenis pertama dan kedua

Jika fungsi mempunyai ketakselanjaran pada titik tertentu (iaitu had fungsi pada titik tertentu tidak hadir atau tidak bertepatan dengan nilai fungsi pada titik tertentu), maka untuk fungsi berangka terdapat dua pilihan yang mungkin. dikaitkan dengan kewujudan fungsi berangka had unilateral:

jika kedua-dua had satu sisi wujud dan terhingga, maka titik sedemikian dipanggil titik ketakselanjaran jenis pertama.

Titik ketakselanjaran boleh tanggal ialah titik ketakselanjaran jenis pertama; jika sekurang-kurangnya satu daripada had sebelah tidak wujud atau bukan nilai terhingga, maka titik sedemikian dipanggil.

titik ketakselanjaran jenis kedua - Asymptot, yang mempunyai sifat bahawa jarak dari titik pada lengkung ke ini langsung cenderung kepada sifar apabila titik bergerak jauh di sepanjang cawangan ke infiniti.

Menegak

Asimtot menegak - garisan had .

Sebagai peraturan, apabila menentukan asimtot menegak, mereka mencari bukan satu had, tetapi dua satu sisi (kiri dan kanan). Ini dilakukan untuk menentukan cara fungsi berfungsi apabila ia menghampiri asimtot menegak dari arah yang berbeza. Contohnya:

Mendatar

Asymptot mendatar - Asymptot spesies, tertakluk kepada kewujudan had

.

Cenderung

Asimtot serong - Asymptot spesies, tertakluk kepada kewujudan had

Nota: fungsi boleh mempunyai tidak lebih daripada dua asimtot serong (mendatar).

Nota: jika sekurang-kurangnya satu daripada dua had yang dinyatakan di atas tidak wujud (atau sama dengan ), maka asimtot serong pada (atau ) tidak wujud.

jika dalam item 2.), maka , dan had didapati menggunakan formula asimtot mendatar, .

6) Mencari selang monotoni. Cari selang kemonotonan sesuatu fungsi f(x)(iaitu, selang peningkatan dan penurunan). Ini dilakukan dengan memeriksa tanda terbitan f(x). Untuk melakukan ini, cari derivatif f(x) dan menyelesaikan ketaksamaan f(x)0. Pada selang di mana ketidaksamaan ini berlaku, fungsi f(x)meningkat. Di mana ketidaksamaan terbalik berlaku f(x)0, fungsi f(x) semakin berkurangan.

Mencari ekstrem tempatan. Setelah menemui selang monotonisitas, kita boleh segera menentukan titik ekstrem tempatan di mana peningkatan digantikan dengan penurunan, maksima tempatan terletak, dan di mana penurunan digantikan dengan peningkatan, minima tempatan terletak. Kira nilai fungsi pada titik ini. Jika fungsi mempunyai titik kritikal yang bukan titik ekstrem tempatan, maka adalah berguna untuk mengira nilai fungsi pada titik ini juga.

Mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi y = f(x) pada suatu segmen(sambungan)

1. Cari terbitan bagi fungsi: f(x). 2. Cari titik di mana terbitan adalah sifar: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Tentukan perkaitan mata X 1 ,X 2 , … segmen [ a; b]: biarlah x 1a;b, A x 2a;b .