Dalam video ini, kita akan melihat keseluruhan set. persamaan linear, yang diselesaikan oleh algoritma yang sama - itulah sebabnya ia dipanggil yang paling mudah.

Sebagai permulaan, mari kita tentukan: apakah persamaan linear dan yang mana antara mereka harus dipanggil paling mudah?

Persamaan linear ialah persamaan yang hanya terdapat satu pembolehubah, dan hanya pada darjah pertama.

Persamaan termudah bermaksud pembinaan:

Semua persamaan linear lain dikurangkan kepada yang paling mudah menggunakan algoritma:

1. kurungan terbuka, jika ada;
2. Pindahkan istilah yang mengandungi pembolehubah ke satu sisi tanda sama, dan istilah tanpa pembolehubah ke yang lain;
3. memimpin seperti istilah di sebelah kiri dan kanan tanda sama;
4. Bahagikan persamaan yang terhasil dengan pekali pembolehubah $x$ .

Sudah tentu, algoritma ini tidak selalu membantu. Hakikatnya kadangkala, selepas semua komplot ini, pekali pembolehubah $x$ ternyata sama dengan sifar. Dalam kes ini, dua pilihan adalah mungkin:

1. Persamaan tidak mempunyai penyelesaian sama sekali. Contohnya, apabila anda mendapat sesuatu seperti $0\cdot x=8$, i.e. di sebelah kiri ialah sifar, dan di sebelah kanan ialah nombor bukan sifar. Dalam video di bawah, kita akan melihat beberapa sebab mengapa keadaan ini mungkin.
2. Penyelesaiannya ialah semua nombor. Satu-satunya kes apabila ini mungkin adalah apabila persamaan telah dikurangkan kepada pembinaan $0\cdot x=0$. Adalah agak logik bahawa tidak kira apa yang $x$ kita gantikan, ia tetap akan menjadi "sifar bersamaan dengan sifar", i.e. kesamaan berangka yang betul.

Dan sekarang mari kita lihat bagaimana semuanya berfungsi pada contoh masalah sebenar.

Contoh penyelesaian persamaan

Hari ini kita berurusan dengan persamaan linear, dan hanya yang paling mudah. Secara umum, persamaan linear bermaksud sebarang kesamaan yang mengandungi tepat satu pembolehubah, dan ia hanya pergi ke tahap pertama.

Pembinaan sedemikian diselesaikan dengan cara yang hampir sama:

1. Pertama sekali, anda perlu membuka kurungan, jika ada (seperti dalam contoh terakhir);
2. Kemudian bawa yang serupa
3. Akhir sekali, asingkan pembolehubah, i.e. semua yang berkaitan dengan pembolehubah - syarat di mana ia terkandung - dipindahkan ke satu pihak, dan semua yang kekal tanpanya dipindahkan ke sisi lain.

Kemudian, sebagai peraturan, anda perlu membawa sama pada setiap sisi kesamaan yang terhasil, dan selepas itu ia kekal hanya untuk membahagikan dengan pekali pada "x", dan kami akan mendapat jawapan akhir.

Secara teori, ini kelihatan bagus dan mudah, tetapi dalam praktiknya, pelajar sekolah menengah yang berpengalaman pun boleh membuat kesilapan yang menyinggung perasaan dalam persamaan linear yang agak mudah. Biasanya, kesilapan dibuat sama ada semasa membuka kurungan, atau semasa mengira "tambah" dan "tolak".

Di samping itu, ia berlaku bahawa persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian sama sekali, atau supaya penyelesaiannya ialah keseluruhan garis nombor, i.e. sebarang nombor. Kami akan menganalisis kehalusan ini dalam pelajaran hari ini. Tetapi kami akan mulakan, seperti yang anda sudah faham, dengan yang paling banyak tugasan mudah.

Skema untuk menyelesaikan persamaan linear mudah

Sebagai permulaan, izinkan saya menulis sekali lagi keseluruhan skema untuk menyelesaikan persamaan linear yang paling mudah:

1. Kembangkan kurungan, jika ada.
2. Pembolehubah terpencil, i.e. semua yang mengandungi "x" dipindahkan ke satu pihak, dan tanpa "x" - ke yang lain.
3. Kami membentangkan istilah yang serupa.
4. Kami membahagikan semuanya dengan pekali pada "x".

Sudah tentu, skim ini tidak selalu berfungsi, ia mempunyai kehalusan dan helah tertentu, dan sekarang kita akan mengenali mereka.

Menyelesaikan contoh sebenar persamaan linear mudah

Tugasan #1

Pada langkah pertama, kita dikehendaki membuka kurungan. Tetapi mereka tiada dalam contoh ini, jadi kami melangkau langkah ini. Dalam langkah kedua, kita perlu mengasingkan pembolehubah. Catatan: kita bercakap hanya mengenai komponen individu. Mari menulis:

Kami memberikan istilah yang sama di sebelah kiri dan di sebelah kanan, tetapi ini telah dilakukan di sini. Oleh itu, kami meneruskan ke langkah keempat: bahagikan dengan faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Di sini kami mendapat jawapannya.

Tugasan #2

Dalam tugasan ini, kita boleh melihat kurungan, jadi mari kita kembangkannya:

Kedua-dua di sebelah kiri dan di sebelah kanan, kita melihat kira-kira pembinaan yang sama, tetapi mari kita bertindak mengikut algoritma, i.e. pemboleh ubah sequester:

Berikut adalah beberapa seperti:

Pada akar apakah ini berfungsi? Jawapan: untuk mana-mana. Oleh itu, kita boleh menulis bahawa $x$ ialah sebarang nombor.

Tugasan #3

Persamaan linear ketiga sudah lebih menarik:

\[\kiri(6-x \kanan)+\kiri(12+x \kanan)-\kiri(3-2x \kanan)=15\]

Terdapat beberapa kurungan di sini, tetapi mereka tidak didarab dengan apa-apa, mereka hanya berdiri di hadapan mereka pelbagai tanda. Mari pecahkan mereka:

Kami melakukan langkah kedua yang telah kami ketahui:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Mari kita kira:

Kami melakukan langkah terakhir - kami membahagikan semuanya dengan pekali pada "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Perkara yang Perlu Diingati Semasa Menyelesaikan Persamaan Linear

Jika kita mengabaikan tugas yang terlalu mudah, maka saya ingin mengatakan perkara berikut:

• Seperti yang saya katakan di atas, tidak setiap persamaan linear mempunyai penyelesaian - kadangkala tiada punca;
• Walaupun terdapat akar, sifar boleh masuk di antara mereka - tidak ada yang salah dengan itu.

Sifar adalah nombor yang sama dengan yang lain, anda tidak sepatutnya mendiskriminasikannya atau menganggap bahawa jika anda mendapat sifar, maka anda melakukan sesuatu yang salah.

Ciri lain adalah berkaitan dengan pengembangan kurungan. Sila ambil perhatian: apabila terdapat "tolak" di hadapannya, kami mengeluarkannya, tetapi dalam kurungan kami menukar tanda itu kepada bertentangan. Dan kemudian kita boleh membukanya mengikut algoritma standard: kita akan mendapat apa yang kita lihat dalam pengiraan di atas.

Memahami ini fakta mudah akan menghalang anda daripada membuat kesilapan bodoh dan menyakitkan di sekolah menengah apabila melakukan perkara sebegitu dianggap remeh.

Menyelesaikan persamaan linear kompleks

Mari kita beralih kepada lebih banyak lagi persamaan kompleks. Kini pembinaan akan menjadi lebih rumit dan fungsi kuadratik akan muncul apabila melakukan pelbagai transformasi. Walau bagaimanapun, anda tidak perlu takut tentang ini, kerana jika, mengikut niat pengarang, kami menyelesaikan persamaan linear, maka dalam proses transformasi semua monomial yang mengandungi fungsi kuadratik semestinya akan dikurangkan.

Contoh #1

Jelas sekali, langkah pertama ialah membuka kurungan. Mari lakukan ini dengan berhati-hati:

Sekarang mari ambil privasi:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Berikut adalah beberapa seperti:

Jelas sekali, persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi dalam jawapan kami menulis seperti berikut:

\[\pelbagai \]

atau tiada akar.

Contoh #2

Kami melakukan langkah yang sama. Langkah pertama:

Mari kita gerakkan segala-galanya dengan pembolehubah ke kiri, dan tanpanya - ke kanan:

Berikut adalah beberapa seperti:

Jelas sekali, persamaan linear ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi kami menulisnya seperti ini:

\[\varnothing\],

atau tiada akar.

Nuansa penyelesaian

Kedua-dua persamaan diselesaikan sepenuhnya. Pada contoh kedua-dua ungkapan ini, kami sekali lagi memastikan bahawa walaupun dalam persamaan linear yang paling mudah, semuanya boleh menjadi tidak begitu mudah: boleh ada sama ada satu, atau tiada, atau banyak tak terhingga. Dalam kes kami, kami mempertimbangkan dua persamaan, dalam kedua-duanya tiada punca.

Tetapi saya ingin menarik perhatian anda kepada fakta lain: cara bekerja dengan kurungan dan cara mengembangkannya jika terdapat tanda tolak di hadapannya. Pertimbangkan ungkapan ini:

Sebelum membuka, anda perlu mendarabkan semuanya dengan "x". Sila ambil perhatian: darab setiap istilah individu. Di dalamnya terdapat dua sebutan - masing-masing, dua sebutan dan didarab.

Dan hanya selepas transformasi yang kelihatan asas, tetapi sangat penting dan berbahaya ini telah selesai, kurungan boleh dibuka dari sudut pandangan bahawa terdapat tanda tolak selepasnya. Ya, ya: hanya sekarang, apabila transformasi dilakukan, kami ingat bahawa terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, yang bermaksud bahawa semua di bawah hanya menukar tanda. Pada masa yang sama, kurungan itu sendiri hilang dan, yang paling penting, "tolak" depan juga hilang.

Kami melakukan perkara yang sama dengan persamaan kedua:

Bukan kebetulan saya memberi perhatian kepada fakta-fakta kecil yang kelihatan tidak penting ini. Kerana menyelesaikan persamaan sentiasa urutan transformasi asas di mana ketidakupayaan untuk melaksanakan dengan jelas dan cekap langkah mudah membawa kepada fakta bahawa pelajar sekolah menengah datang kepada saya dan belajar menyelesaikan persamaan mudah itu semula.

Sudah tentu, harinya akan tiba apabila anda akan mengasah kemahiran ini kepada automatisme. Anda tidak lagi perlu melakukan begitu banyak transformasi setiap kali, anda akan menulis semuanya dalam satu baris. Tetapi semasa anda baru belajar, anda perlu menulis setiap tindakan secara berasingan.

Menyelesaikan persamaan linear yang lebih kompleks

Apa yang akan kita selesaikan sekarang hampir tidak boleh dipanggil tugas yang paling mudah, tetapi maknanya tetap sama.

Tugasan #1

\[\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]

Mari kita darabkan semua unsur dalam bahagian pertama:

Mari lakukan retret:

Berikut adalah beberapa seperti:

Mari lakukan langkah terakhir:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Inilah jawapan terakhir kami. Dan, walaupun fakta bahawa dalam proses penyelesaian kita mempunyai pekali dengan fungsi kuadratik, bagaimanapun, ia saling membatalkan, yang menjadikan persamaan itu betul-betul linear, bukan persegi.

Tugasan #2

\[\kiri(1-4x \kanan)\kiri(1-3x \kanan)=6x\kiri(2x-1 \kanan)\]

Mari lakukan langkah pertama dengan berhati-hati: darab setiap elemen dalam kurungan pertama dengan setiap elemen dalam kedua. Secara keseluruhan, empat istilah baharu perlu diperolehi selepas transformasi:

Dan kini berhati-hati melakukan pendaraban dalam setiap sebutan:

Mari alihkan istilah dengan "x" ke kiri, dan tanpa - ke kanan:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Berikut adalah istilah yang serupa:

Kami telah menerima jawapan yang pasti.

Nuansa penyelesaian

Kenyataan yang paling penting mengenai kedua-dua persamaan ini ialah ini: sebaik sahaja kita mula mendarab kurungan yang terdapat lebih daripada satu sebutan, maka ini dilakukan mengikut peraturan berikut: kita mengambil sebutan pertama daripada yang pertama dan mendarab dengan setiap elemen dari yang kedua; kemudian kita mengambil elemen kedua dari yang pertama dan sama darab dengan setiap elemen dari yang kedua. Hasilnya, kita mendapat empat penggal.

Pada jumlah algebra

Dalam contoh terakhir, saya ingin mengingatkan pelajar apa itu jumlah algebra. Dalam matematik klasik, dengan $1-7$ kita maksudkan pembinaan mudah: kita tolak tujuh daripada satu. Dalam algebra, kami maksudkan perkara berikut: kepada nombor "satu" kami menambah nombor lain, iaitu "tolak tujuh." Jumlah algebra ini berbeza daripada jumlah aritmetik biasa.

Sebaik sahaja semasa melakukan semua transformasi, setiap penambahan dan pendaraban, anda mula melihat pembinaan yang serupa dengan yang diterangkan di atas, anda tidak akan menghadapi sebarang masalah dalam algebra apabila bekerja dengan polinomial dan persamaan.

Sebagai kesimpulan, mari kita lihat beberapa lagi contoh yang akan menjadi lebih kompleks daripada yang baru kita lihat, dan untuk menyelesaikannya, kita perlu mengembangkan sedikit algoritma standard kami.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan

Untuk menyelesaikan tugasan tersebut, satu langkah lagi perlu ditambahkan pada algoritma kami. Tetapi pertama-tama, saya akan mengingatkan algoritma kami:

1. Buka kurungan.
2. Pembolehubah berasingan.
3. Bawa serupa.
4. Bahagikan dengan faktor.

Malangnya, algoritma yang hebat ini, untuk semua kecekapannya, tidak sepenuhnya sesuai apabila kita mempunyai pecahan di hadapan kita. Dan dalam apa yang akan kita lihat di bawah, kita mempunyai pecahan di sebelah kiri dan di sebelah kanan dalam kedua-dua persamaan.

Bagaimana untuk bekerja dalam kes ini? Ya, ia sangat mudah! Untuk melakukan ini, anda perlu menambah satu lagi langkah pada algoritma, yang boleh dilakukan sebelum tindakan pertama dan selepas itu, iaitu, untuk menyingkirkan pecahan. Oleh itu, algoritma adalah seperti berikut:

1. Buang pecahan.
2. Buka kurungan.
3. Pembolehubah berasingan.
4. Bawa serupa.
5. Bahagikan dengan faktor.

Apakah yang dimaksudkan dengan "menyingkirkan pecahan"? Dan mengapa mungkin untuk melakukan ini selepas dan sebelum langkah standard pertama? Malah, dalam kes kami, semua pecahan adalah berangka dari segi penyebutnya, i.e. di mana-mana penyebutnya hanyalah nombor. Oleh itu, jika kita mendarab kedua-dua bahagian persamaan dengan nombor ini, maka kita akan menyingkirkan pecahan.

Contoh #1

\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan))(4)=((x)^(2))-1\]

Mari kita hapuskan pecahan dalam persamaan ini:

\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)\cdot 4)(4)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot empat\]

Sila ambil perhatian: semuanya didarab dengan "empat" sekali, i.e. hanya kerana anda mempunyai dua kurungan tidak bermakna anda perlu mendarab setiap satunya dengan "empat". Mari menulis:

\[\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]

Sekarang mari buka:

Kami melakukan pengasingan pembolehubah:

Kami melaksanakan pengurangan syarat yang sama:

\[-4x=-1\kiri| :\kiri(-4 \kanan) \kanan.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Kami mendapat keputusan terakhir, kita pergi ke persamaan kedua.

Contoh #2

\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan))(5)+((x)^(2))=1\]

Di sini kami melakukan semua tindakan yang sama:

\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Masalah selesai.

Sebenarnya, itu sahaja yang saya ingin beritahu hari ini.

Perkara utama

Penemuan utama adalah seperti berikut:

• Mengetahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear.
• Keupayaan untuk membuka kurungan.
• Jangan risau jika anda ada di tempat lain fungsi kuadratik, kemungkinan besar, dalam proses transformasi selanjutnya, mereka akan dikurangkan.
• Punca-punca dalam persamaan linear, walaupun yang paling mudah, terdiri daripada tiga jenis: satu punca tunggal, keseluruhan garis nombor ialah punca, tidak ada punca sama sekali.

Saya harap pelajaran ini akan membantu anda menguasai topik yang mudah tetapi sangat penting untuk pemahaman lanjut tentang semua matematik. Jika ada yang tidak jelas, pergi ke tapak, selesaikan contoh yang dibentangkan di sana. Nantikan, banyak lagi perkara menarik menanti anda!

Dengan program matematik ini anda boleh menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua kaedah pembolehubah kaedah penggantian dan penambahan.

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga membawa penyelesaian terperinci dengan penjelasan langkah penyelesaian dalam dua cara: kaedah penggantian dan kaedah penambahan.

Program ini mungkin berguna untuk pelajar sekolah menengah sebagai persediaan untuk kerja kawalan dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum peperiksaan, ibu bapa untuk mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baru? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Oleh itu, anda boleh melaksanakan anda latihan sendiri dan/atau melatih mereka adik-beradik lelaki atau saudara perempuan, manakala tahap pendidikan dalam bidang tugas yang diselesaikan meningkat.

Peraturan untuk Memasukkan Persamaan

Mana-mana huruf Latin boleh bertindak sebagai pembolehubah.
Contohnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dsb.

Apabila memasukkan persamaan anda boleh menggunakan kurungan. Dalam kes ini, persamaan pertama kali dipermudahkan. Persamaan selepas penyederhanaan mestilah linear, i.e. dalam bentuk ax+by+c=0 dengan ketepatan susunan unsur.
Contohnya: 6x+1 = 5(x+y)+2

Dalam persamaan, anda boleh menggunakan bukan sahaja integer, tetapi juga nombor pecahan sebagai pecahan perpuluhan dan biasa.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Bahagian integer dan pecahan pecahan perpuluhan boleh dipisahkan sama ada dengan titik atau koma.
Contohnya: 2.1n + 3.5m = 55

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer bagi pecahan.
Penyebut tidak boleh negatif.
Apabila anda masuk pecahan berangka Pengangka dipisahkan dari penyebut dengan tanda bahagi: /
keseluruhan bahagian dipisahkan daripada pecahan dengan ampersand: &

Contoh.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Menyelesaikan sistem persamaan

Didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

Anda telah melumpuhkan JavaScript dalam penyemak imbas anda.
JavaScript mesti didayakan untuk penyelesaian muncul.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan anda beratur.
Selepas beberapa saat, penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, kemudian anda boleh menulis mengenainya dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Menyelesaikan sistem persamaan linear. Kaedah penggantian

Urutan tindakan apabila menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah penggantian:
1) nyatakan satu pembolehubah daripada beberapa persamaan sistem dalam sebutan yang lain;
2) gantikan ungkapan yang terhasil dalam persamaan lain sistem dan bukannya pembolehubah ini;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Mari kita ungkapkan daripada persamaan pertama y melalui x: y = 7-3x. Menggantikan ungkapan 7-3x dan bukannya y ke dalam persamaan kedua, kita mendapat sistem:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa sistem pertama dan kedua mempunyai penyelesaian yang sama. Dalam sistem kedua, persamaan kedua mengandungi hanya satu pembolehubah. Mari kita selesaikan persamaan ini:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Menggantikan nombor 1 dan bukannya x ke dalam persamaan y=7-3x, kita dapati nilai y yang sepadan:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pasangan (1;4) - penyelesaian sistem

Sistem persamaan dalam dua pembolehubah yang mempunyai penyelesaian yang sama dipanggil bersamaan. Sistem yang tidak mempunyai penyelesaian juga dianggap setara.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menambah

Pertimbangkan cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear - kaedah penambahan. Apabila menyelesaikan sistem dengan cara ini, serta apabila menyelesaikan dengan kaedah penggantian, kita beralih dari sistem yang diberikan kepada sistem lain yang setara dengannya, di mana salah satu persamaan mengandungi hanya satu pembolehubah.

Urutan tindakan apabila menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah penambahan:
1) darabkan persamaan istilah sistem dengan sebutan, memilih faktor supaya pekali untuk salah satu pembolehubah menjadi nombor berlawanan;
2) tambah sebutan demi sebutan bahagian kiri dan kanan persamaan sistem;
3) selesaikan persamaan yang terhasil dengan satu pembolehubah;
4) cari nilai yang sepadan bagi pembolehubah kedua.

Contoh. Mari kita selesaikan sistem persamaan:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Dalam persamaan sistem ini, pekali y ialah nombor berlawanan. Menambah sebutan dengan sebutan bahagian kiri dan kanan persamaan, kita memperoleh persamaan dengan satu pembolehubah 3x=33. Mari kita gantikan salah satu persamaan sistem, contohnya yang pertama, dengan persamaan 3x=33. Jom dapatkan sistem
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Daripada persamaan 3x=33 kita dapati bahawa x=11. Menggantikan nilai x ini ke dalam persamaan \(x-3y=38 \) kita mendapat persamaan dengan pembolehubah y: \(11-3y=38 \). Mari kita selesaikan persamaan ini:
\(-3y=27 \Anak panah kanan y=-9 \)

Oleh itu, kami menemui penyelesaian kepada sistem persamaan dengan menambah: \(x=11; y=-9 \) atau \((11; -9) \)

Mengambil kesempatan daripada fakta bahawa dalam persamaan sistem pekali y adalah nombor bertentangan, kami mengurangkan penyelesaiannya kepada penyelesaian sistem yang setara(dengan menjumlahkan kedua-dua bahagian setiap persamaan tema sim asal), di mana salah satu persamaan mengandungi hanya satu pembolehubah.

Buku (buku teks) Abstrak Peperiksaan Negeri Bersatu dan ujian OGE dalam talian Permainan, teka-teki Pembinaan graf fungsi Kamus Ejaan Bahasa Rusia Kamus slanga belia Direktori sekolah Rusia Katalog sekolah menengah di Rusia Katalog universiti Rusia Senarai tugas

Persamaan linear adalah topik yang agak tidak berbahaya dan boleh difahami. matematik sekolah. Tetapi, anehnya, bilangan ralat secara tiba-tiba apabila menyelesaikan persamaan linear hanya kurang sedikit berbanding topik lain - persamaan kuadratik, logaritma, trigonometri dan lain-lain. Punca kebanyakan ralat adalah transformasi persamaan yang serupa. Pertama sekali, ini adalah kekeliruan dalam tanda apabila memindahkan istilah dari satu bahagian persamaan ke yang lain, serta ralat apabila bekerja dengan pecahan dan kemungkinan pecahan. Ya Ya! Pecahan dalam persamaan linear juga berlaku! Di sekeliling. Sedikit lebih rendah, kami juga akan menganalisis persamaan jahat itu.)

Baiklah, jangan tarik ekor kucing dan mula memikirkannya, ya? Kemudian kita membaca dan memahami.)

Apakah persamaan linear? Contoh.

Biasanya, persamaan linear mempunyai bentuk berikut:

kapak + b = 0,

Di mana a dan b ialah sebarang nombor. Apa-apa sahaja: integer, pecahan, negatif, tidak rasional - semua orang boleh!

Sebagai contoh:

7x + 1 = 0 (di sini a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (di sini a = 1, b = -3)

x/2 - 1.1 = 0 (di sini a = 1/2, b = -1.1)

Secara umum, anda faham, saya harap.) Semuanya mudah, seperti dalam kisah dongeng. Buat masa ini ... Dan jika anda melihat dengan teliti rekod biasa ax + b = 0 lebih dekat, tetapi sedikit bertimbang rasa? Kerana a dan b sebarang nombor! Dan jika kita mempunyai, katakan, a = 0 dan b = 0 (sebarang nombor boleh diambil!), maka apakah yang akan kita dapat?

0 = 0

Tetapi itu bukan semua yang menyeronokkan! Dan jika, katakan, a = 0, b = -10? Kemudian ternyata agak karut:

0 = 10.

Yang sangat-sangat menjengkelkan dan melemahkan kepercayaan terhadap matematik yang dimenangi dengan keringat dan darah... Lebih-lebih lagi dalam ujian dan peperiksaan. Tetapi daripada persamaan yang tidak dapat difahami dan aneh ini, anda juga perlu mencari X! Yang tidak wujud sama sekali! Dan di sini, walaupun pelajar yang bersedia dengan baik, kadang-kadang, boleh jatuh, seperti yang mereka katakan, menjadi pingsan ... Tetapi jangan risau! AT pelajaran ini kami juga akan mempertimbangkan semua kejutan tersebut. Dan x daripada persamaan sedemikian juga pasti akan ditemui.) Lebih-lebih lagi, x ini dicari dengan sangat, sangat mudah. Ya Ya! Mengejutkan tetapi benar.)

Okay, itu boleh difahami. Tetapi bagaimana anda boleh tahu dengan penampilan tugas bahawa kita mempunyai persamaan linear, dan bukan persamaan yang lain? Malangnya, tidak mungkin untuk mengenali jenis persamaan hanya dengan rupa. Masalahnya ialah bukan sahaja persamaan bentuk ax + b = 0 dipanggil linear, tetapi juga sebarang persamaan lain yang, dengan transformasi yang sama, satu cara atau yang lain, dikurangkan kepada bentuk ini. Bagaimana anda tahu sama ada ia sesuai atau tidak? Sehingga anda hampir menyelesaikan contoh - hampir tiada apa-apa. Ia menjengkelkan. Tetapi untuk beberapa jenis persamaan, adalah mungkin, dengan sepintas lalu, untuk segera mengatakan dengan pasti sama ada ia adalah linear atau tidak.

Untuk melakukan ini, kita beralih lagi ke struktur keseluruhan sebarang persamaan linear:

kapak + b = 0

Perhatikan bahawa dalam persamaan linear sentiasa hanya ada pembolehubah x dalam ijazah pertama dan beberapa nombor! Dan itu sahaja! Tiada lagi. Pada masa yang sama, tiada x kuasa dua, kubus, di bawah akar, di bawah logaritma dan eksotik lain. Dan (paling penting!) tiada pecahan dengan x dalam penyebutnya! Tetapi pecahan dengan nombor dalam penyebut atau pembahagian setiap nombor- dengan mudah!

Sebagai contoh:

Ini adalah persamaan linear. Persamaan hanya mengandungi x kepada kuasa dan nombor pertama. Dan tiada X lagi darjat tinggi- dalam segi empat sama, dalam kubus dan sebagainya. Ya, terdapat pecahan di sini, tetapi pada masa yang sama mereka duduk dalam penyebut pecahan nombor sahaja. Iaitu, dua dan tiga. Dengan kata lain, tidak ada pembahagian dengan x.

Dan inilah persamaannya

Ia tidak lagi boleh dipanggil linear, walaupun di sini juga, terdapat hanya nombor dan x hingga darjah pertama. Kerana, antara lain, terdapat juga pecahan dengan x dalam penyebutnya. Dan selepas penyederhanaan dan transformasi, persamaan sedemikian boleh menjadi apa-apa: linear, dan persegi - sesiapa sahaja.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan linear? Contoh.

Jadi bagaimana anda menyelesaikan persamaan linear? Teruskan membaca dan terkejut.) Keseluruhan penyelesaian persamaan linear adalah berdasarkan hanya dua perkara utama. Mari senaraikan mereka.

1) Satu set tindakan asas dan peraturan matematik.

Ini ialah penggunaan kurungan, kurungan pembukaan, bekerja dengan pecahan, bekerja dengan nombor negatif, jadual pendaraban, dan sebagainya. Pengetahuan dan kemahiran ini diperlukan bukan sahaja untuk menyelesaikan persamaan linear, tetapi untuk semua matematik secara umum. Dan jika ini adalah masalah, ingat kelas junior. Jika tidak, anda akan mengalami masa yang sukar ...

2)

Hanya ada dua daripada mereka. Ya Ya! Lebih-lebih lagi, transformasi serupa yang sangat asas ini mendasari penyelesaian bukan sahaja linear, tetapi secara umum sebarang persamaan matematik! Dalam satu perkataan, penyelesaian sebarang persamaan lain - kuadratik, logaritma, trigonometri, tidak rasional, dsb. - sebagai peraturan, bermula dengan transformasi yang sangat asas ini. Tetapi penyelesaian persamaan linear yang tepat, sebenarnya, berakhir pada mereka (transformasi). Jawapan sedia ada.) Jadi jangan malas dan berjalan-jalan melalui pautan.) Selain itu, persamaan linear juga dianalisis secara terperinci di sana.

Nah, saya rasa sudah tiba masanya untuk memulakan analisis contoh.

Sebagai permulaan, sebagai pemanasan badan, pertimbangkan beberapa asas. Tanpa sebarang pecahan dan loceng dan wisel lain. Sebagai contoh, persamaan ini:

x - 2 \u003d 4 - 5x

Ini adalah persamaan linear klasik. Semua x adalah maksimum kepada kuasa pertama dan tiada pembahagian oleh x di mana-mana. Skim penyelesaian dalam persamaan sedemikian sentiasa sama dan mudah untuk menakutkan: semua sebutan dengan x mesti dikumpulkan di sebelah kiri, dan semua sebutan tanpa x (iaitu nombor) mesti dikumpulkan di sebelah kanan. Jadi mari kita mula mengumpul.

Untuk melakukan ini, kami melancarkan transformasi serupa yang pertama. Kita perlu bergerak -5x ke kiri dan -2 untuk bergerak ke kanan. Dengan perubahan tanda, sudah tentu.) Jadi kami memindahkan:

x + 5x = 4 + 2

Di sini anda pergi. Separuh pertempuran selesai: x dikumpulkan dalam longgokan, nombor juga. Sekarang kita berikan yang serupa di sebelah kiri, dan kita mengira di sebelah kanan. Kita mendapatkan:

6x = 6

Apa kekurangan kita sekarang? kebahagiaan yang lengkap? Ya, supaya X bersih kekal di sebelah kiri! Dan keenam-enam itu campur tangan. Bagaimana untuk menghilangkannya? Sekarang kita mulakan transformasi identik kedua - kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 6. Dan - voila! Jawapan sedia.)

x = 1

Sudah tentu, contoh itu agak primitif. Kepada idea umum tangkap. Baiklah, mari kita lakukan sesuatu yang lebih penting. Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan berikut:

Mari kita analisa secara terperinci.) Ini juga merupakan persamaan linear, walaupun nampaknya terdapat pecahan di sini. Tetapi dalam pecahan terdapat pembahagian dengan dua dan terdapat pembahagian dengan tiga, tetapi tidak ada pembahagian dengan ungkapan dengan x! Jadi kita buat keputusan. Menggunakan semua transformasi yang sama, ya.)

Apa yang akan kita lakukan dahulu? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Pada dasarnya, ia adalah mungkin dan sebagainya. Terbang ke Sochi melalui Vladivostok.) Atau anda boleh mengambil jalan terpendek, serta-merta menggunakan kaedah universal dan berkuasa. Jika anda tahu transformasi yang sama, sudah tentu.)

Untuk memulakan, saya bertanya soalan kunci: Apakah yang paling anda perhatikan dan tidak suka tentang persamaan ini? 99 daripada 100 orang berkata: pecahan! Dan mereka akan betul.) Jadi mari kita singkirkan mereka dahulu. Selamat untuk persamaan itu sendiri.) Jadi mari kita mulakan dengan segera transformasi identik kedua- daripada pendaraban. Dengan apakah bahagian kiri perlu didarabkan supaya penyebutnya dikurangkan dengan selamat? Betul, berganda. Dan sebelah kanan? Untuk tiga! Tetapi ... Matematik adalah seorang wanita yang berubah-ubah. Dia, anda tahu, memerlukan pendaraban kedua-dua bahagian sahaja untuk nombor yang sama! Darab setiap bahagian dengan nombornya sendiri - ia tidak berfungsi ... Apa yang akan kita lakukan? Sesuatu... Cari kompromi. Untuk memenuhi kehendak kita (buang pecahan) dan tidak menyinggung perasaan matematik.) Dan mari kita darab kedua-dua bahagian dengan enam!) Iaitu, dengan penyebut biasa semua pecahan dalam persamaan. Kemudian, dalam satu gerakan, dua akan dikurangkan, dan tiga!)

Di sini kita membiak. Seluruh bahagian kiri dan seluruh bahagian kanan sepenuhnya! Oleh itu, kami menggunakan kurungan. Inilah rupa prosedurnya:

Sekarang mari buka kurungan ini:

Sekarang, mewakili 6 sebagai 6/1, darab enam dengan setiap pecahan di kiri dan kanan. Ini adalah pendaraban biasa bagi pecahan, tetapi, jadi, saya akan menulis secara terperinci:

Dan di sini - perhatian! Saya mengambil pengangka (x-3) dalam kurungan! Ini semua kerana apabila mendarab pecahan, pengangka didarab secara keseluruhannya, sepenuhnya dan sepenuhnya! Dan dengan ungkapan x-3 adalah perlu untuk berfungsi seperti dengan satu pembinaan pepejal. Tetapi jika anda menulis pengangka seperti ini:

6x - 3,

Tetapi kami mempunyai segala-galanya dengan betul dan kami perlu menyelesaikannya. Apa yang perlu dilakukan seterusnya? Buka kurungan dalam pengangka di sebelah kiri? Walau apa pun! Anda dan saya mendarab kedua-dua bahagian dengan 6 untuk menyingkirkan pecahan, dan bukan untuk mandi wap dengan tanda kurung buka. Pada peringkat ini kita perlu kurangkan pecahan kita. Dengan perasaan kepuasan yang mendalam, kami mengurangkan semua penyebut dan mendapatkan persamaan tanpa sebarang pecahan, dalam pembaris:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

Dan kini kurungan yang tinggal boleh dibuka:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Persamaan terus menjadi lebih baik dan lebih baik! Sekarang kita ingat semula transformasi identik pertama. Dengan muka batu, kami mengulangi mantera dari gred rendah: dengan x - ke kiri, tanpa x - ke kanan. Dan gunakan transformasi ini:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Kami memberikan yang serupa di sebelah kiri dan mengira di sebelah kanan:

13x = 39

Ia kekal untuk membahagikan kedua-dua bahagian dengan 13. Iaitu, gunakan transformasi kedua sekali lagi. Kami bahagikan dan dapatkan jawapannya:

x = 3

Kerja sudah selesai. Seperti yang anda lihat, dalam persamaan yang diberikan kami terpaksa menggunakan transformasi pertama (terjemahan istilah) sekali dan yang kedua dua kali: pada permulaan penyelesaian kami menggunakan pendaraban (dengan 6) untuk menyingkirkan pecahan, dan pada akhir penyelesaian kami menggunakan pembahagian (dengan 13) untuk menyingkirkan pekali di hadapan x. Dan penyelesaian mana-mana (ya, mana-mana!) persamaan linear terdiri daripada gabungan penjelmaan yang sama ini dalam satu urutan atau yang lain. Di mana tepat untuk bermula bergantung pada persamaan tertentu. Di suatu tempat lebih menguntungkan untuk bermula dengan pemindahan, dan di suatu tempat (seperti dalam contoh ini) - dengan pendaraban (atau pembahagian).

Kami bekerja dari mudah kepada kompleks. Pertimbangkan sekarang frank tin. Dengan sekumpulan pecahan dan kurungan. Dan saya akan memberitahu anda bagaimana untuk tidak terlalu membebankan.)

Sebagai contoh, berikut ialah persamaan:

Kami melihat persamaan selama satu minit, kami ngeri, tetapi kami tetap bersatu! Masalah utama ialah di mana untuk bermula? Anda boleh menambah pecahan di sebelah kanan. Anda boleh menolak pecahan dalam kurungan. Anda boleh mendarab kedua-dua bahagian dengan sesuatu. Atau kongsi ... Jadi apa yang masih boleh? Jawapan: semuanya mungkin! Matematik tidak melarang mana-mana tindakan yang disenaraikan. Dan tidak kira apa urutan tindakan dan transformasi yang anda pilih, jawapannya akan sentiasa sama - yang betul. Melainkan, tentu saja, pada beberapa langkah anda tidak melanggar identiti transformasi anda dan, dengan itu, jangan membuat kesilapan ...

Dan, untuk tidak membuat kesilapan, dalam contoh mewah seperti ini, ia sentiasa paling berguna untuk menilainya penampilan dan fikirkan dalam fikiran anda: apa yang boleh dilakukan dalam contoh supaya maksimum permudahkan dalam satu langkah?

Di sini kita meneka. Di sebelah kiri ialah enam dalam penyebut. Secara peribadi, saya tidak menyukainya, tetapi ia sangat mudah untuk dialih keluar. Biar saya darab kedua-dua belah persamaan dengan 6! Kemudian enam di sebelah kiri akan selamat dikurangkan, pecahan dalam kurungan tidak akan pergi ke mana-mana lagi. Nah, bukan masalah besar. Kita akan berurusan dengan mereka sedikit kemudian.) Tetapi di sebelah kanan, penyebut 2 dan 3 akan berkurangan. Dengan tindakan ini (darab dengan 6) kita mencapai penyederhanaan maksimum dalam satu langkah!

Selepas pendaraban, keseluruhan persamaan jahat kita menjadi seperti ini:

Jika anda tidak memahami dengan tepat bagaimana persamaan ini berlaku, maka anda tidak memahami analisis contoh sebelumnya dengan baik. Dan saya cuba, dengan cara itu ...

Jadi mari kita buka:

Sekarang langkah yang paling logik ialah mengasingkan pecahan di sebelah kiri, dan menghantar 5x ke sebelah kanan. Pada masa yang sama, kami memberikan yang serupa di sebelah kanan. Kita mendapatkan:

Sudah jauh lebih baik. Sekarang bahagian kiri telah menyediakan dirinya untuk pendaraban. Apakah yang perlu didarab dengan bahagian kiri supaya kedua-dua lima dan empat itu segera dikurangkan? Pada 20! Tetapi kami juga mempunyai kelemahan pada kedua-dua belah persamaan. Oleh itu, adalah paling mudah untuk mendarab kedua-dua belah persamaan bukan dengan 20, tetapi dengan -20. Kemudian, dalam satu masa, tolak akan hilang, dan pecahan.

Di sini kita membiak:

Bagi mereka yang masih tidak memahami langkah ini, ini bermakna bahawa masalah tidak ada dalam persamaan. Masalah adalah teras! Kita ingat lagi Peraturan Emas pengembangan kurungan:

Jika nombor itu didarab dengan beberapa ungkapan dalam kurungan, maka nombor ini mesti didarab berturut-turut dengan setiap sebutan bagi ungkapan ini. Lebih-lebih lagi, jika nombornya positif, maka tanda-tanda ungkapan selepas pengembangan dikekalkan. Jika negatif, ia diterbalikkan:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Tolak hilang selepas mendarab kedua-dua bahagian dengan -20. Dan sekarang kita darabkan kurungan dengan pecahan di sebelah kiri dengan diri kita sendiri nombor positif 20. Oleh itu, apabila membuka kurungan ini, semua tanda yang ada di dalamnya dipelihara. Tetapi dari mana datangnya tanda kurung dalam pengangka pecahan, saya telah menjelaskan secara terperinci dalam contoh sebelumnya.

Dan kini anda boleh mengurangkan pecahan:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Kembangkan kurungan yang tinggal. Sekali lagi, kami buka dengan betul. Tanda kurung pertama didarab dengan nombor positif 4 dan, oleh itu, semua tanda dipelihara apabila ia dibuka. Tetapi kurungan kedua didarab dengan negatif nombornya ialah -5 dan, oleh itu, semua tanda diterbalikkan:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Ada ruang kosong yang tinggal. Dengan x ke kiri, tanpa x ke kanan:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

Itu sahaja. Di sebelah kiri, anda memerlukan X bersih, dan nombor -35 menghalangnya. Jadi kita bahagikan kedua-dua bahagian dengan (-35). Saya mengingatkan anda bahawa transformasi identiti kedua membolehkan kita mendarab dan membahagikan kedua-dua bahagian dengan apa-apa sahajalah nombor. Termasuk yang negatif.) Jika tidak kepada sifar! Jangan ragu untuk berkongsi dan dapatkan jawapannya:

X=2/35

Kali ini X ternyata pecahan. Tidak mengapa. Contoh sedemikian.)

Seperti yang kita dapat lihat, prinsip menyelesaikan persamaan linear (walaupun yang paling berpintal) adalah agak mudah: kita mengambil persamaan asal dan, dengan transformasi yang sama, kita secara berurutan memudahkannya sehingga jawapannya. Dengan asas, sudah tentu! Masalah utama di sini adalah tepat dalam ketidakpatuhan dengan asas-asas (katakan, terdapat tolak sebelum tanda kurung, dan mereka terlupa untuk menukar tanda semasa membuka), serta dalam aritmetik cetek. Jadi jangan abaikan perkara asas! Mereka adalah asas kepada semua matematik yang lain!

Beberapa helah dalam menyelesaikan persamaan linear. Atau majlis-majlis khas.

Segala-galanya akan menjadi apa-apa. Walau bagaimanapun ... Di antara persamaan linear, terdapat juga mutiara lucu yang, dalam proses menyelesaikannya, boleh memacunya ke dalam pingsan yang kuat. Malah seorang pelajar yang cemerlang.)

Sebagai contoh, berikut ialah persamaan yang kelihatan tidak berbahaya:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Menguap lebar dan sedikit bosan, kami mengumpulkan semua X di sebelah kiri, dan semua nombor di sebelah kanan:

7x-4x-3x = 5-2-3

Kami memberikan yang serupa, pertimbangkan dan dapatkan:

0 = 0

Itu sahaja! Fokus primerchik dikeluarkan! Dengan sendirinya, kesaksamaan ini tidak menimbulkan bantahan: sifar sememangnya sama dengan sifar. Tetapi X sudah tiada! Tanpa jejak! Dan kita mesti menulis dalam jawapan, apa sama dengan x . Jika tidak, keputusan itu tidak dipertimbangkan, ya.) Apa yang perlu dilakukan?

Jangan panik! Dalam kes bukan standard sedemikian, paling banyak konsep umum dan prinsip matematik. Apakah persamaan? Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan? Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan?

Menyelesaikan persamaan bermakna mencari semua nilai pembolehubah x, yang, apabila digantikan ke asal persamaan akan memberi kita kesamaan (identiti) yang betul!

Tetapi kita mempunyai persamaan yang betul sudah disiapkan! 0=0, atau lebih tepatnya tiada!) Masih perlu diteka di mana x kita mendapat kesamaan ini. Apakah jenis x yang boleh digantikan asal persamaan jika, apabila menggantikan, semuanya masih mengecil ke sifar? Adakah anda belum memikirkannya?

Ya sudah tentu! Xs boleh diganti mana-mana!!! sama sekali. Apa sahaja yang anda mahu, masukkannya. Sekurang-kurangnya 1, sekurang-kurangnya -23, sekurang-kurangnya 2.7 - apa sahaja! Mereka akan tetap berkurangan dan akibatnya kebenaran murni akan kekal. Cubalah, gantikan dan lihat sendiri.)

Inilah jawapan anda:

x ialah sebarang nombor.

Dalam notasi saintifik, kesamaan ini ditulis seperti ini:

Entri ini berbunyi begini: "X ialah sebarang nombor nyata."

Atau dalam bentuk lain, pada selang waktu:

Sesuka hati, susun. Ini adalah jawapan yang betul dan lengkap!

Dan sekarang saya akan menukar hanya satu nombor dalam persamaan asal kami. Mari selesaikan persamaan ini sekarang:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Kami sekali lagi memindahkan syarat, mengira dan mendapatkan:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

Dan bagaimana anda suka jenaka ini? Terdapat persamaan linear biasa, tetapi terdapat kesamaan yang tidak dapat difahami

0 = 1…

bercakap bahasa saintifik, kami mendapat kesamarataan yang salah. Tetapi dalam bahasa Rusia ia tidak benar. mengarut. Mengarut.) Untuk sifar tidak sama dengan satu!

Dan sekarang sekali lagi kita fikirkan jenis x yang akan diberikan kepada kita apabila menggantikan ke dalam persamaan asal persamaan yang betul? yang mana? Tetapi tiada! Apa sahaja X yang anda gantikan, semuanya akan tetap berkurangan dan akan ada omong kosong.)

Inilah jawapannya: tiada penyelesaian.

Dalam notasi matematik, jawapan sedemikian disediakan seperti ini:

Ia berbunyi: "X kepunyaan set kosong."

Jawapan sedemikian dalam matematik juga agak biasa: tidak selalu mana-mana persamaan mempunyai akar pada dasarnya. Sesetengah persamaan mungkin tidak mempunyai punca sama sekali. sama sekali.

Berikut adalah dua kejutan. Saya harap kini kehilangan Xs secara tiba-tiba dalam persamaan tidak akan mengelirukan anda selama-lamanya. Kes ini agak biasa.)

Dan kemudian saya mendengar soalan logik: adakah mereka akan berada dalam OGE atau USE? Pada peperiksaan, dengan sendirinya sebagai tugas - tidak. Terlalu ringkas. Tetapi dalam OGE atau dalam masalah teks - dengan mudah! Jadi sekarang - kami berlatih dan memutuskan:

Jawapan (berantakan): -2; -satu; sebarang nombor; 2; tiada penyelesaian; 7/13.

Semuanya berjaya? Cemerlang! Anda mempunyai peluang yang baik dalam peperiksaan.

Sesuatu yang tidak sesuai? Hm... Sedih, sudah tentu. Jadi terdapat jurang di suatu tempat. Sama ada dalam asas atau transformasi yang sama. Atau ia adalah masalah ketidakpedulian yang cetek. Baca semula pelajaran. Kerana ini bukan topik yang boleh dilakukan tanpa begitu mudah dalam matematik ...

Semoga berjaya! Dia pasti akan tersenyum kepada anda, percayalah!)

Persamaan linear ialah persamaan algebra, yang jumlah darjah polinomialnya adalah sama dengan satu. Menyelesaikan persamaan linear - bahagian kurikulum sekolah, dan bukan yang paling sukar. Walau bagaimanapun, masih ada yang mengalami kesukaran dalam petikan topik ini. Kami berharap untuk membaca bahan yang diberi, semua kesukaran untuk anda akan kekal di masa lalu. Jadi, mari kita fikirkan. cara menyelesaikan persamaan linear.

Borang am

Persamaan linear diwakili sebagai:

• ax + b = 0, dengan a dan b ialah sebarang nombor.

Walaupun a dan b boleh menjadi sebarang nombor, nilainya mempengaruhi bilangan penyelesaian kepada persamaan. Terdapat beberapa kes penyelesaian khas:

• Jika a=b=0, persamaan tersebut mempunyai set tak terhingga keputusan;
• Jika a=0, b≠0, persamaan tidak mempunyai penyelesaian;
• Jika a≠0, b=0, persamaan mempunyai penyelesaian: x = 0.

Sekiranya kedua-dua nombor mempunyai no nilai nol, persamaan perlu diselesaikan untuk mendapatkan ungkapan akhir bagi pembolehubah.

Bagaimana untuk membuat keputusan?

Menyelesaikan persamaan linear bermakna mencari pembolehubah yang sama dengannya. Bagaimana hendak melakukannya? Ya, ia sangat mudah - menggunakan operasi algebra mudah dan mengikut peraturan pemindahan. Jika persamaan muncul di hadapan anda dalam bentuk umum, anda bernasib baik, apa yang anda perlu lakukan ialah:

1. Gerakkan b ke sebelah kanan persamaan, jangan lupa untuk menukar tanda (peraturan pemindahan!), Oleh itu, daripada ungkapan bentuk ax + b = 0, ungkapan bentuk ax = -b harus diperolehi.
2. Gunakan peraturan: untuk mencari salah satu faktor (x - dalam kes kami), anda perlu membahagikan produk (-b dalam kes kami) dengan faktor lain (a - dalam kes kami). Oleh itu, ungkapan borang harus diperoleh: x \u003d -b / a.

Itu sahaja - penyelesaiannya ditemui!

Sekarang mari kita lihat contoh khusus:

1. 2x + 4 = 0 - pindahkan b sama dengan kes ini 4, sebelah kanan
2. 2x = -4 - bahagi b dengan a (jangan lupa tanda tolak)
3. x=-4/2=-2

Itu sahaja! Penyelesaian kami: x = -2.

Seperti yang anda lihat, mencari penyelesaian kepada persamaan linear dengan satu pembolehubah adalah agak mudah, tetapi semuanya begitu mudah jika kita bernasib baik untuk memenuhi persamaan dalam bentuk umum. Dalam kebanyakan kes, sebelum menyelesaikan persamaan dalam dua langkah yang diterangkan di atas, ia juga perlu untuk membawa ungkapan sedia ada kepada bentuk umum. Walau bagaimanapun, ini juga bukan tugas yang sukar. Mari kita lihat beberapa kes khas dengan contoh.

Menyelesaikan kes-kes khas

Mula-mula, mari kita lihat kes yang kami huraikan pada permulaan artikel dan terangkan maksudnya mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga dan tiada penyelesaian.

• Jika a=b=0, persamaan akan kelihatan seperti: 0x + 0 = 0. Melakukan langkah pertama, kita dapat: 0x = 0. Apakah maksud karut ini, anda berseru! Lagipun, tidak kira apa nombor yang anda darab dengan sifar, anda akan sentiasa mendapat sifar! Betul! Oleh itu, mereka mengatakan bahawa persamaan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga - apa sahaja nombor yang anda ambil, kesamaan akan menjadi benar, 0x \u003d 0 atau 0 \u003d 0.
• Jika a=0, b≠0, persamaan akan kelihatan seperti: 0x + 3 = 0. Kami melakukan langkah pertama, kami mendapat 0x = -3. Mengarut lagi! Jelas sekali bahawa persamaan ini tidak akan pernah benar! Itulah sebabnya mereka mengatakan bahawa persamaan tidak mempunyai penyelesaian.
• Jika a≠0, b=0, persamaan akan kelihatan seperti: 3x + 0 = 0. Mengambil langkah pertama, kita dapat: 3x = 0. Apakah penyelesaiannya? Mudah sahaja, x = 0.

Kesukaran dalam terjemahan

Kes-kes tertentu yang diterangkan bukanlah semua persamaan linear yang boleh mengejutkan kita. Kadang-kadang persamaan secara amnya sukar untuk dikenal pasti pada pandangan pertama. Mari kita ambil contoh:

• 12x - 14 = 2x + 6

Adakah ini persamaan linear? Tetapi bagaimana dengan sifar di sebelah kanan? Kami tidak akan tergesa-gesa membuat kesimpulan, kami akan bertindak - kami akan memindahkan semua komponen persamaan kami ke sebelah kiri. Kita mendapatkan:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Sekarang tolak suka dari suka, kita dapat:

• 10x - 20 = 0

Belajar? Persamaan paling linear yang pernah ada! Penyelesaian siapa: x = 20/10 = 2.

Bagaimana jika kita mempunyai contoh ini:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ya, ini juga persamaan linear, hanya lebih banyak transformasi perlu dilakukan. Mari kembangkan kurungan dahulu:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - sekarang lakukan pemindahan:
4. 25x - 4 = 0 - ia kekal untuk mencari penyelesaian mengikut skema yang telah diketahui:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0.16

Seperti yang anda lihat, segala-galanya telah diselesaikan, perkara utama bukanlah untuk bimbang, tetapi untuk bertindak. Ingat, jika persamaan anda mengandungi hanya pembolehubah darjah dan nombor pertama, ini ialah persamaan linear, yang, tidak kira bagaimana rupanya pada mulanya, boleh dikurangkan kepada bentuk umum dan diselesaikan. Kami harap semuanya berjaya untuk anda! Semoga berjaya!

Sistem persamaan digunakan secara meluas dalam industri ekonomi di pemodelan matematik pelbagai proses. Sebagai contoh, apabila menyelesaikan masalah pengurusan dan perancangan pengeluaran, laluan logistik ( tugas pengangkutan) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan bukan sahaja dalam bidang matematik, tetapi juga dalam fizik, kimia dan biologi, apabila menyelesaikan masalah mencari saiz populasi.

Sistem persamaan linear ialah istilah untuk dua atau lebih persamaan dengan beberapa pembolehubah yang mana ia perlu untuk mencari penyelesaian yang sama. Urutan nombor sedemikian yang mana semua persamaan menjadi kesamaan benar atau membuktikan bahawa urutan itu tidak wujud.

Persamaan Linear

Persamaan bentuk ax+by=c dipanggil linear. Penamaan x, y ialah yang tidak diketahui, yang nilainya mesti ditemui, b, a ialah pekali pembolehubah, c ialah sebutan bebas bagi persamaan.
Menyelesaikan persamaan dengan memplot grafnya akan kelihatan seperti garis lurus, semua titik adalah penyelesaian polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Yang paling mudah ialah contoh sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, dengan F1,2 ialah fungsi dan (x, y) ialah pembolehubah fungsi.

Menyelesaikan sistem persamaan - ia bermakna untuk mencari nilai-nilai sedemikian (x, y) yang mana sistem itu menjadi kesamaan sebenar, atau untuk menentukan bahawa tiada nilai yang sesuai bagi x dan y.

Sepasang nilai (x, y), ditulis sebagai koordinat titik, dipanggil penyelesaian kepada sistem persamaan linear.

Jika sistem mempunyai satu penyelesaian biasa atau tiada penyelesaian, ia dipanggil setara.

Sistem persamaan linear homogen ialah sistem bahagian kanan yang sama dengan sifar. Jika bahagian kanan selepas tanda "sama" mempunyai nilai atau dinyatakan oleh fungsi, sistem sedemikian tidak homogen.

Bilangan pembolehubah boleh lebih daripada dua, maka kita harus bercakap tentang contoh sistem persamaan linear dengan tiga pembolehubah atau lebih.

Menghadapi sistem, pelajar sekolah menganggap bahawa bilangan persamaan mestilah bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui, tetapi ini tidak begitu. Bilangan persamaan dalam sistem tidak bergantung pada pembolehubah, boleh ada bilangan yang besar secara sewenang-wenangnya.

Kaedah mudah dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tiada cara analitikal umum untuk menyelesaikannya sistem yang serupa, semua kaedah adalah berdasarkan penyelesaian berangka. AT kursus sekolah matematik, kaedah seperti pilih atur, penambahan algebra, penggantian, serta grafik dan kaedah matriks, penyelesaian dengan kaedah Gauss.

Tugas utama dalam pengajaran kaedah penyelesaian adalah untuk mengajar cara menganalisis sistem dengan betul dan mencari algoritma optimum penyelesaian bagi setiap contoh. Perkara utama bukanlah untuk menghafal sistem peraturan dan tindakan untuk setiap kaedah, tetapi untuk memahami prinsip menerapkan kaedah tertentu.

Menyelesaikan contoh sistem persamaan linear kelas ke-7 atur cara sekolah Menengah cukup ringkas dan dijelaskan dengan terperinci. Dalam mana-mana buku teks matematik, bahagian ini diberi perhatian yang cukup. Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan kaedah Gauss dan Cramer dikaji dengan lebih terperinci dalam kursus pertama institusi pendidikan tinggi.

Penyelesaian sistem dengan kaedah penggantian

Tindakan kaedah penggantian bertujuan untuk menyatakan nilai satu pembolehubah melalui kedua. Ungkapan digantikan ke dalam persamaan yang tinggal, kemudian ia dikurangkan kepada bentuk pembolehubah tunggal. Tindakan diulang bergantung pada bilangan yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita berikan contoh sistem persamaan linear kelas ke-7 dengan kaedah penggantian:

Seperti yang dapat dilihat daripada contoh, pembolehubah x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ungkapan yang terhasil, digantikan ke dalam persamaan ke-2 sistem sebagai ganti X, membantu memperoleh satu pembolehubah Y dalam persamaan ke-2 . Penyelesaian contoh ini tidak menyebabkan kesukaran dan membolehkan anda mendapatkan nilai Y. Langkah terakhir ialah menyemak nilai yang diterima.

Ia tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linear dengan penggantian. Persamaan boleh menjadi kompleks dan ungkapan pembolehubah dari segi yang tidak diketahui kedua akan menjadi terlalu rumit untuk pengiraan selanjutnya. Apabila terdapat lebih daripada 3 yang tidak diketahui dalam sistem, penyelesaian penggantian juga tidak praktikal.

Penyelesaian contoh sistem persamaan tak homogen linear:

Penyelesaian menggunakan penambahan algebra

Apabila mencari penyelesaian kepada sistem dengan kaedah penambahan, penambahan sebutan demi sebutan dan pendaraban persamaan dengan pelbagai nombor. Matlamat akhir operasi matematik ialah persamaan dengan satu pembolehubah.

Untuk permohonan kaedah ini ia memerlukan latihan dan pemerhatian. Bukan mudah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah penambahan dengan bilangan pembolehubah 3 atau lebih. Penambahan algebra berguna apabila persamaan mengandungi pecahan dan nombor perpuluhan.

Algoritma tindakan penyelesaian:

1. Darab kedua-dua belah persamaan dengan beberapa nombor. Akibatnya operasi aritmetik satu daripada pekali pembolehubah mestilah sama dengan 1.
2. Tambahkan istilah ungkapan yang terhasil mengikut istilah dan cari salah satu yang tidak diketahui.
3. Gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan ke-2 sistem untuk mencari pembolehubah yang tinggal.

Kaedah penyelesaian dengan memperkenalkan pembolehubah baru

Pembolehubah baru boleh diperkenalkan jika sistem perlu mencari penyelesaian untuk tidak lebih daripada dua persamaan, bilangan yang tidak diketahui juga harus tidak lebih daripada dua.

Kaedah ini digunakan untuk memudahkan salah satu persamaan dengan memperkenalkan pembolehubah baru. Persamaan baru diselesaikan berkenaan dengan yang tidak diketahui yang dimasukkan, dan nilai yang terhasil digunakan untuk menentukan pembolehubah asal.

Contoh menunjukkan bahawa dengan memperkenalkan pembolehubah baru t, adalah mungkin untuk mengurangkan persamaan pertama sistem kepada standard trinomial segi empat sama. Anda boleh menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminasi.

Ia adalah perlu untuk mencari nilai diskriminasi dengan formula yang terkenal: D = b2 - 4*a*c, dengan D ialah diskriminasi yang dikehendaki, b, a, c ialah pendarab polinomial. AT diberi contoh a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminasi Di atas sifar, maka terdapat dua penyelesaian: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminasi kurang daripada sifar, maka hanya terdapat satu penyelesaian: x= -b / 2*a.

Penyelesaian untuk sistem yang terhasil didapati dengan kaedah penambahan.

Kaedah visual untuk menyelesaikan sistem

Sesuai untuk sistem dengan 3 persamaan. Kaedahnya adalah untuk membina paksi koordinat graf bagi setiap persamaan yang disertakan dalam sistem. Koordinat titik persilangan lengkung dan akan penyelesaian biasa sistem.

Kaedah grafik mempunyai beberapa nuansa. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linear secara visual.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, dua titik telah dibina untuk setiap baris, nilai pembolehubah x dipilih secara sewenang-wenangnya: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, nilai untuk y didapati: 3 dan 0. Titik dengan koordinat (0, 3) dan (3, 0) ditanda pada graf dan disambungkan dengan garis.

Langkah-langkah mesti diulang untuk persamaan kedua. Titik persilangan garis ialah penyelesaian sistem.

Contoh berikut perlu dicari penyelesaian grafik sistem persamaan linear: 0.5x-y+2=0 dan 0.5x-y-1=0.

Seperti yang dapat dilihat daripada contoh, sistem tidak mempunyai penyelesaian, kerana graf adalah selari dan tidak bersilang sepanjang keseluruhannya.

Sistem daripada Contoh 2 dan 3 adalah serupa, tetapi apabila dibina, ia menjadi jelas bahawa penyelesaiannya berbeza. Harus diingat bahawa tidak selalu mungkin untuk mengatakan sama ada sistem mempunyai penyelesaian atau tidak, ia sentiasa perlu untuk membina graf.

Matriks dan jenisnya

Matriks digunakan untuk singkatan sistem persamaan linear. Jadual dipanggil matriks. jenis istimewa dipenuhi dengan nombor. n*m mempunyai n - baris dan m - lajur.

Matriks ialah segi empat sama apabila bilangan lajur dan baris adalah sama. Matriks - vektor ialah matriks satu lajur dengan tak terhingga nombor yang mungkin garisan. Matriks dengan unit di sepanjang salah satu pepenjuru dan unsur sifar lain dipanggil identiti.

Matriks songsang ialah matriks sedemikian, apabila didarab dengan mana matriks asal bertukar menjadi unit satu, matriks sedemikian wujud hanya untuk kuasa dua asal.

Peraturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Berkenaan dengan sistem persamaan, pekali dan ahli bebas persamaan ditulis sebagai nombor matriks, satu persamaan ialah satu baris matriks.

Baris matriks dipanggil bukan sifar jika sekurang-kurangnya satu elemen baris itu tidak sama dengan sifar. Oleh itu, jika dalam mana-mana persamaan bilangan pembolehubah berbeza, maka adalah perlu untuk memasukkan sifar sebagai ganti yang tidak diketahui yang hilang.

Lajur matriks mestilah sepadan dengan pembolehubah. Ini bermakna pekali pembolehubah x hanya boleh ditulis dalam satu lajur, contohnya yang pertama, pekali y yang tidak diketahui - hanya dalam yang kedua.

Apabila mendarab matriks, semua elemen matriks didarab berturut-turut dengan nombor.

Pilihan untuk mencari matriks songsang

Formula untuk mencari matriks songsang agak mudah: K -1 = 1 / |K|, di mana K -1 - matriks songsang, dan |K| - penentu matriks. |K| mestilah tidak sama dengan sifar, maka sistem mempunyai penyelesaian.

Penentu mudah dikira untuk matriks dua dengan dua, ia hanya perlu untuk mendarab unsur secara menyerong antara satu sama lain. Untuk pilihan "tiga dengan tiga", terdapat formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda boleh menggunakan formula, atau anda boleh ingat bahawa anda perlu mengambil satu elemen daripada setiap baris dan setiap lajur supaya lajur dan nombor baris elemen tidak berulang dalam produk.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan kaedah matriks

Kaedah matriks untuk mencari penyelesaian memungkinkan untuk mengurangkan tatatanda yang menyusahkan apabila menyelesaikan sistem dengan Kuantiti yang besar pembolehubah dan persamaan.

Dalam contoh, a nm ialah pekali persamaan, matriks ialah vektor x n ialah pembolehubah, dan b n ialah sebutan bebas.

Penyelesaian sistem dengan kaedah Gauss

AT matematik yang lebih tinggi kaedah Gauss dikaji bersama kaedah Cramer, dan proses mencari penyelesaian kepada sistem dipanggil kaedah penyelesaian Gauss-Cramer. Kaedah ini digunakan untuk mencari pembolehubah sistem dengan banyak persamaan linear.

Kaedah Gauss sangat serupa dengan penyelesaian menggunakan penggantian dan penambahan algebra tetapi lebih sistematik. Dalam kursus sekolah, penyelesaian Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan kaedah ini adalah untuk membawa sistem kepada bentuk trapezoid terbalik. Dengan penjelmaan dan penggantian algebra, nilai satu pembolehubah ditemui dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua ialah ungkapan dengan 2 tidak diketahui, dan 3 dan 4 - masing-masing dengan 3 dan 4 pembolehubah.

Selepas membawa sistem kepada bentuk yang diterangkan, penyelesaian selanjutnya dikurangkan kepada penggantian berurutan pembolehubah yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

Dalam buku teks sekolah untuk gred 7, contoh penyelesaian Gaussian diterangkan seperti berikut:

Seperti yang dapat dilihat daripada contoh, pada langkah (3) dua persamaan telah diperolehi 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Penyelesaian mana-mana persamaan akan membolehkan anda mengetahui salah satu pembolehubah x n.

Teorem 5, yang disebut dalam teks, menyatakan bahawa jika salah satu persamaan sistem digantikan dengan yang setara, maka sistem yang terhasil juga akan setara dengan yang asal.

Kaedah Gauss sukar difahami oleh pelajar sekolah Menengah, tetapi merupakan salah satu cara yang paling menarik untuk membangunkan kepintaran kanak-kanak yang mendaftar dalam program ini kajian yang mendalam dalam kelas matematik dan fizik.

Untuk memudahkan pengiraan rakaman, adalah kebiasaan untuk melakukan perkara berikut:

Pekali persamaan dan sebutan bebas ditulis dalam bentuk matriks, di mana setiap baris matriks sepadan dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan bahagian kiri persamaan dari bahagian kanan. Angka Rom menunjukkan bilangan persamaan dalam sistem.

Pertama, mereka menulis matriks untuk berfungsi, kemudian semua tindakan yang dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang terhasil ditulis selepas tanda "anak panah" dan terus melakukan operasi algebra yang diperlukan sehingga hasilnya dicapai.

Akibatnya, matriks harus diperoleh di mana salah satu pepenjuru adalah 1, dan semua pekali lain adalah sama dengan sifar, iaitu, matriks dikurangkan kepada satu bentuk. Kita tidak boleh lupa untuk membuat pengiraan dengan nombor kedua-dua belah persamaan.

Notasi ini kurang rumit dan membolehkan anda tidak terganggu dengan menyenaraikan banyak perkara yang tidak diketahui.

Aplikasi percuma mana-mana kaedah penyelesaian akan memerlukan penjagaan dan jumlah pengalaman tertentu. Tidak semua kaedah digunakan. Beberapa cara mencari penyelesaian lebih disukai dalam bidang tertentu aktiviti manusia, sementara yang lain wujud untuk tujuan pembelajaran.