Nombor Fibonacci dalam alam semula jadi dan kehidupan manusia. Nisbah emas Fibonacci

Pernahkah anda mendengar bahawa matematik dipanggil "ratu segala sains"? Adakah anda bersetuju dengan kenyataan ini? Selagi matematik kekal sebagai teka-teki buku teks yang membosankan untuk anda, anda hampir tidak dapat merasakan keindahan, serba boleh dan juga humor sains ini.

Tetapi terdapat topik dalam matematik yang membantu membuat pemerhatian ingin tahu tentang perkara dan fenomena yang biasa kepada kita. Dan juga cuba menembusi tabir misteri penciptaan alam semesta kita. Terdapat corak ingin tahu di dunia yang boleh diterangkan dengan bantuan matematik.

Memperkenalkan Nombor Fibonacci

Nombor Fibonacci namakan unsur-unsur tersebut urutan nombor. Di dalamnya, setiap nombor seterusnya dalam siri itu diperoleh dengan menjumlahkan dua nombor sebelumnya.

Urutan sampel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Anda boleh menulisnya seperti ini:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Anda boleh memulakan satu siri nombor Fibonacci dengan nilai negatif n. Selain itu, urutan dalam kes ini adalah dua belah (iaitu meliputi negatif dan nombor positif) dan cenderung kepada infiniti dalam kedua-dua arah.

Contoh urutan sedemikian: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Formula dalam kes ini kelihatan seperti ini:

F n = F n+1 - F n+2 atau sebaliknya anda boleh melakukannya seperti ini: F-n = (-1) n+1 Fn.

Apa yang kini kita kenali sebagai "nombor Fibonacci" diketahui oleh ahli matematik India kuno lama sebelum ia digunakan di Eropah. Dan dengan nama ini, secara umum, satu pepejal anekdot sejarah. Mari kita mulakan dengan fakta bahawa Fibonacci sendiri tidak pernah memanggil dirinya Fibonacci semasa hayatnya - nama ini mula digunakan untuk Leonardo dari Pisa hanya beberapa abad selepas kematiannya. Tetapi mari kita bercakap tentang segala-galanya dengan teratur.

Leonardo dari Pisa aka Fibonacci

Anak kepada seorang saudagar yang menjadi ahli matematik, dan seterusnya menerima pengiktirafan keturunannya sebagai ahli matematik utama pertama di Eropah semasa Zaman Pertengahan. Tidak masuk giliran terakhir terima kasih kepada nombor Fibonacci (yang kemudiannya, kami ingat, belum dipanggil seperti itu). yang dia ada awal XIII abad yang diterangkan dalam karyanya "Liber abaci" ("The Book of the Abacus", 1202).

Mengembara bersama bapanya ke Timur, Leonardo belajar matematik dengan guru Arab (dan pada masa itu mereka berada dalam perniagaan ini, dan dalam banyak sains lain, salah satu daripada pakar terbaik). Karya ahli matematik Kuno dan india purba dia membaca dalam terjemahan bahasa Arab.

Setelah memahami dengan betul semua yang dibacanya dan menghubungkan fikirannya yang ingin tahu, Fibonacci menulis beberapa risalah saintifik mengenai matematik, termasuk "Book of the Abacus" yang telah disebutkan di atas. Sebagai tambahan kepadanya, dia mencipta:

"Practica geometriae" ("Amalan Geometri", 1220);
"Flos" ("Bunga", 1225 - kajian tentang persamaan padu);
"Liber quadratorum" ("The Book of Squares", 1225 - masalah pada persamaan kuadratik tak tentu).

Beliau adalah seorang pencinta kejohanan matematik, jadi dalam risalahnya dia banyak memberi perhatian kepada analisis pelbagai masalah matematik.

Sedikit yang diketahui tentang kehidupan Leonardo. maklumat biografi. Bagi nama Fibonacci, di mana dia memasuki sejarah matematik, ia ditetapkan kepadanya hanya pada abad ke-19.

Fibonacci dan masalahnya

Selepas Fibonacci pergi nombor besar masalah yang sangat popular di kalangan ahli matematik pada abad-abad berikutnya. Kami akan mempertimbangkan masalah arnab, dalam penyelesaian yang mana nombor Fibonacci digunakan.

Arnab bukan sahaja bulu yang berharga

Fibonacci menetapkan syarat berikut: terdapat sepasang arnab yang baru lahir (jantan dan betina) daripada baka yang begitu menarik sehingga mereka kerap (bermula dari bulan kedua) menghasilkan anak - sentiasa satu sepasang baru arnab. Juga, seperti yang anda fikirkan, lelaki dan perempuan.

Arnab bersyarat ini diletakkan dalam ruang tertutup dan membiak dengan penuh semangat. Ia juga ditetapkan bahawa tiada arnab mati akibat beberapa penyakit arnab misteri.

Kita perlu mengira berapa banyak arnab yang kita akan dapat dalam setahun.

Pada awal 1 bulan kami mempunyai 1 pasang arnab. Pada akhir bulan mereka mengawan.
Bulan kedua - kami sudah mempunyai 2 pasang arnab (sepasang mempunyai ibu bapa + 1 pasang - anak mereka).
Bulan ketiga: Pasangan pertama melahirkan pasangan baru, pasangan kedua berpasangan. Jumlah - 3 pasang arnab.
Bulan keempat: Pasangan pertama melahirkan pasangan baru, pasangan kedua tidak kehilangan masa dan juga melahirkan pasangan baru, pasangan ketiga baru mengawan. Jumlah - 5 pasang arnab.

Bilangan arnab dalam n-bulan ke = bilangan pasang arnab dari bulan sebelumnya + bilangan pasangan baru lahir (ada bilangan pasangan arnab yang sama 2 bulan sebelum sekarang). Dan semua ini diterangkan oleh formula yang telah kami berikan di atas: F n \u003d F n-1 + F n-2.

Oleh itu, kami memperoleh berulang (penjelasan tentang rekursi- di bawah) urutan berangka. Di mana setiap nombor seterusnya adalah sama dengan jumlah dua sebelumnya:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Anda boleh meneruskan urutan untuk masa yang lama: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Tetapi kerana kami telah menetapkan tempoh tertentu - setahun, kami berminat dengan keputusan yang diperoleh pada "langkah" ke-12. Itu. Ahli urutan ke-13: 377.

Jawapannya ada dalam masalah: 377 ekor arnab akan diperolehi sekiranya semua syarat yang dinyatakan dipenuhi.

Salah satu sifat jujukan Fibonacci adalah sangat ingin tahu. Jika kita mengambil dua pasangan berturut-turut dari satu baris dan membahagi lebih kepada kurang, hasilnya akan beransur-ansur menghampiri nisbah emas(Anda boleh membaca lebih lanjut mengenainya kemudian dalam artikel).

Dalam bahasa matematik, "had perhubungan a n+1 kepada a n sama dengan nisbah emas.

Lebih banyak masalah dalam teori nombor

Cari nombor yang boleh dibahagikan dengan 7. Selain itu, jika anda membahagikannya dengan 2, 3, 4, 5, 6, bakinya akan menjadi satu.
Cari nombor kuasa dua. Adalah diketahui tentang dia bahawa jika anda menambah 5 kepadanya atau menolak 5, anda sekali lagi mendapat nombor segi empat sama.

Kami menjemput anda untuk mencari jawapan kepada soalan ini sendiri. Anda boleh meninggalkan kami pilihan anda dalam ulasan artikel ini. Dan kemudian kami akan memberitahu anda jika pengiraan anda betul.

Penjelasan tentang rekursi

rekursi- definisi, penerangan, imej objek atau proses, yang mengandungi objek atau proses ini sendiri. Iaitu, sebenarnya, objek atau proses adalah sebahagian daripada dirinya sendiri.

Rekursi mendapat aplikasi luas dalam matematik dan sains komputer, malah dalam seni dan budaya popular.

Nombor Fibonacci ditakrifkan menggunakan hubungan berulang. Untuk nombor n>2 n- nombor e ialah (n - 1) + (n - 2).

Penjelasan nisbah emas

nisbah emas - pembahagian keseluruhan (contohnya, segmen) kepada bahagian-bahagian tersebut yang berkorelasi mengikut mengikut prinsip: kebanyakan daripada merujuk kepada yang lebih kecil dengan cara yang sama seperti keseluruhan nilai (contohnya, jumlah dua segmen) kepada bahagian yang lebih besar.

Sebutan pertama nisbah emas boleh didapati dalam risalah Euclid "Permulaan" (kira-kira 300 SM). Dalam konteks membina segi empat tepat.

Istilah yang biasa kita kenali pada tahun 1835 telah diperkenalkan oleh ahli matematik Jerman Martin Ohm.

Jika anda menerangkan nisbah emas lebih kurang, ia adalah pembahagian berkadar kepada dua bahagian yang tidak sama: kira-kira 62% dan 38%. AT dalam istilah berangka nisbah emas ialah nombor 1,6180339887 .

Nisbah emas mendapati kegunaan praktikal dalam seni yang bagus(lukisan oleh Leonardo da Vinci dan pelukis Renaissance lain), seni bina, pawagam (The Battleship Potemkin oleh S. Ezenstein) dan kawasan lain. Untuk masa yang lama dipercayai bahawa nisbah emas adalah bahagian yang paling estetik. Pandangan ini masih popular sehingga kini. Walaupun, menurut hasil penyelidikan, secara visual, kebanyakan orang tidak menganggap perkadaran sedemikian sebagai pilihan yang paling berjaya dan menganggapnya terlalu memanjang (tidak seimbang).

Potong panjang Dengan = 1, a = 0,618, b = 0,382.
Sikap Dengan kepada a = 1, 618.
Sikap Dengan kepada b = 2,618

Sekarang kembali kepada nombor Fibonacci. Ambil dua sebutan berturut-turut daripada jujukannya. Bahagikan nombor yang lebih besar dengan yang lebih kecil dan dapatkan lebih kurang 1.618. Dan sekarang mari kita gunakan nombor yang lebih besar yang sama dan ahli siri seterusnya (iaitu, nombor yang lebih besar) - nisbah mereka adalah awal 0.618.

Berikut ialah contoh: 144, 233, 377.

233/144 = 1.618 dan 233/377 = 0.618

Ngomong-ngomong, jika anda cuba melakukan eksperimen yang sama dengan nombor dari permulaan urutan (contohnya, 2, 3, 5), tiada apa yang akan berfungsi. Hampir. Peraturan nisbah emas hampir tidak dihormati untuk permulaan jujukan. Tetapi sebaliknya, apabila anda bergerak di sepanjang baris dan bilangan bertambah, ia berfungsi dengan baik.

Dan untuk mengira keseluruhan siri nombor Fibonacci, cukup untuk mengetahui tiga ahli urutan, mengikut satu sama lain. Anda boleh lihat sendiri!

Segiempat Emas dan Lingkaran Fibonacci

Satu lagi persamaan yang ingin tahu antara nombor Fibonacci dan nisbah emas membolehkan kita melukis apa yang dipanggil "segi empat tepat emas": sisinya berkaitan dalam perkadaran 1.618 hingga 1. Tetapi kita sudah tahu apa itu nombor 1.618, bukan?

Sebagai contoh, mari kita ambil dua sebutan berturut-turut bagi siri Fibonacci - 8 dan 13 - dan bina segi empat tepat dengan parameter berikut: lebar = 8, panjang = 13.

Dan kemudian kita pecahkan segi empat tepat yang besar kepada yang lebih kecil. Syarat wajib: panjang sisi segi empat tepat mesti sepadan dengan nombor Fibonacci. Itu. panjang sisi segi empat tepat yang lebih besar hendaklah sama dengan jumlah sisi dua segi empat tepat yang lebih kecil.

Cara ia dilakukan dalam angka ini (untuk kemudahan, angka ditandatangani dalam huruf Latin).

Dengan cara ini, anda boleh membina segi empat tepat susunan terbalik. Itu. mula membina dari segi empat sama dengan sisi 1. Di mana, berpandukan prinsip yang disuarakan di atas, angka dengan sisi diselesaikan, nombor yang sama Fibonacci. Secara teorinya, ini boleh diteruskan selama-lamanya - lagipun, siri Fibonacci secara rasmi tidak terhingga.

Jika kita menyambungkan sudut segi empat tepat yang diperolehi dalam rajah dengan garis licin, kita mendapat lingkaran logaritma. Sebaliknya, dia kes istimewa- Lingkaran Fibonacci. Ia dicirikan, khususnya, oleh fakta bahawa ia tidak mempunyai sempadan dan tidak berubah bentuk.

Lingkaran sedemikian sering dijumpai di alam semula jadi. Cengkerang moluska adalah salah satu yang paling banyak contoh yang jelas. Selain itu, beberapa galaksi yang boleh dilihat dari Bumi mempunyai bentuk lingkaran. Jika anda memberi perhatian kepada ramalan cuaca di TV, anda mungkin perasan bahawa siklon mempunyai bentuk lingkaran yang serupa apabila merakamnya dari satelit.

Adalah aneh bahawa heliks DNA juga mematuhi peraturan bahagian emas - corak yang sepadan boleh dilihat dalam selang selekohnya.

"Kebetulan" yang luar biasa itu tidak boleh tidak merangsang minda dan menimbulkan untuk bercakap tentang algoritma tunggal tertentu yang dipatuhi semua fenomena dalam kehidupan Alam Semesta. Sekarang adakah anda faham mengapa artikel ini dipanggil sedemikian? Dan pintu apa dunia yang menakjubkan bolehkah matematik terbuka untuk anda?

Nombor Fibonacci dalam alam semula jadi

Hubungan antara nombor Fibonacci dan nisbah emas menunjukkan corak yang ingin tahu. Sangat ingin tahu sehingga tergoda untuk cuba mencari jujukan yang serupa dengan nombor Fibonacci dalam alam semula jadi dan juga dalam perjalanan peristiwa bersejarah. Dan alam semulajadi memang menimbulkan andaian sedemikian. Tetapi bolehkah segala-galanya dalam hidup kita dijelaskan dan diterangkan dengan bantuan matematik?

Contoh hidupan liar yang boleh diterangkan menggunakan jujukan Fibonacci:

susunan susunan daun (dan dahan) dalam tumbuhan - jarak antara mereka dikaitkan dengan nombor Fibonacci (phyllotaxis);

lokasi biji bunga matahari (benih disusun dalam dua baris lingkaran dipintal ke arah yang berbeza: satu baris mengikut arah jam, yang lain adalah lawan jam);

lokasi sisik kon pain;
kelopak bunga;
sel nanas;
nisbah panjang falang jari pada tangan manusia (kira-kira), dsb.

Masalah dalam kombinatorik

Nombor Fibonacci digunakan secara meluas dalam menyelesaikan masalah dalam kombinatorik.

Kombinatorik- ini adalah cabang matematik yang berkaitan dengan kajian pemilihan bilangan elemen tertentu daripada set, penghitungan, dsb.

Mari lihat contoh masalah kombinatorik yang dikira untuk tahap sekolah Menengah(sumber - http://www.problems.ru/).

Tugasan #1:

Lesha menaiki tangga 10 anak tangga. Dia melompat sama ada satu langkah atau dua langkah pada satu masa. Dalam berapa banyak cara Lesha boleh menaiki tangga?

Bilangan cara Lesha boleh menaiki tangga n langkah, menandakan dan n. Oleh itu ia mengikutinya a 1 = 1, a 2= 2 (lagipun, Lesha melompat sama ada satu atau dua langkah).

Ia juga dipersetujui bahawa Lesha melompat menaiki tangga dari n > 2 langkah-langkah. Katakan dia melompat dua langkah pada kali pertama. Jadi, mengikut keadaan masalah, dia perlu melompat yang lain n - 2 langkah-langkah. Kemudian bilangan cara untuk menyelesaikan pendakian diterangkan sebagai a n-2. Dan jika kita menganggap bahawa buat kali pertama Lesha melompat hanya satu langkah, maka kita akan menerangkan bilangan cara untuk menamatkan pendakian sebagai a n-1.

Dari sini kita mendapat persamaan berikut: a n = a n–1 + a n–2(nampak familiar kan?).

Memandangkan kita tahu a 1 dan a 2 dan ingat ada 10 langkah mengikut keadaan masalah, kira mengikut urutan semua a n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Jawapan: 89 cara.

Tugasan #2:

Ia dikehendaki mencari bilangan perkataan dengan panjang 10 huruf, yang hanya terdiri daripada huruf "a" dan "b" dan tidak boleh mengandungi dua huruf "b" berturut-turut.

Nyatakan dengan a n bilangan perkataan panjang n huruf yang hanya terdiri daripada huruf "a" dan "b" dan tidak mengandungi dua huruf "b" sebaris. Bermaksud, a 1= 2, a 2= 3.

Dalam urutan a 1, a 2, <…>, a n kami akan menyatakan setiap penggal seterusnya dari segi yang sebelumnya. Oleh itu, bilangan perkataan panjang n huruf yang juga tidak mengandungi huruf dua kali ganda "b" dan bermula dengan huruf "a", ini a n-1. Dan jika perkataan itu panjang n huruf bermula dengan huruf "b", adalah logik bahawa huruf seterusnya dalam perkataan sedemikian ialah "a" (lagipun, tidak boleh ada dua "b" mengikut keadaan masalah). Oleh itu, bilangan perkataan panjang n huruf dalam kes ini, ditandakan sebagai a n-2. Dalam kedua-dua kes pertama dan kedua, sebarang perkataan (panjang n - 1 dan n - 2 huruf masing-masing) tanpa dua kali ganda "b".

Kami dapat menjelaskan sebabnya a n = a n–1 + a n–2.

Jom kira sekarang a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8= 144. Dan kita mendapat jujukan Fibonacci yang biasa.

Jawapan: 144.

Tugasan #3:

Bayangkan bahawa terdapat pita yang dibahagikan kepada sel. Ia pergi ke kanan dan kekal selama-lamanya. Letakkan belalang pada sel pertama reben. Pada mana-mana sel pita dia, dia hanya boleh bergerak ke kanan: sama ada satu sel, atau dua. Berapa banyak cara yang ada untuk seekor belalang melompat dari awal reben ke n sel ke?

Mari kita nyatakan bilangan cara belalang bergerak di sepanjang pita sehingga n sel ke- sebagai a n. Dalam kes ini a 1 = a 2= 1. Juga dalam n + 1-sel ke- yang belalang boleh dapatkan sama ada daripada n sel ke, atau dengan melompat ke atasnya. Dari sini n + 1 = a n – 1 + a n. di mana a n = F n – 1.

Jawapan: F n – 1.

Anda boleh membuat sendiri masalah yang sama dan cuba menyelesaikannya dalam pelajaran matematik dengan rakan sekelas anda.

Nombor Fibonacci dalam budaya popular

Sudah tentu, seperti itu fenomena luar biasa, seperti nombor Fibonacci, tidak boleh tidak menarik perhatian. Masih terdapat sesuatu yang menarik dan malah misteri dalam corak yang disahkan dengan ketat ini. Tidak menghairankan bahawa urutan Fibonacci entah bagaimana "menyala" dalam banyak karya moden. budaya massa pelbagai jenis genre.

Kami akan memberitahu anda tentang sebahagian daripada mereka. Dan anda cuba mencari diri anda lebih banyak. Jika anda menjumpainya, kongsi dengan kami dalam komen - kami juga ingin tahu!

Nombor Fibonacci disebut dalam buku terlaris Dan Brown The Da Vinci Code: urutan Fibonacci berfungsi sebagai kod yang digunakan oleh watak utama buku itu membuka peti besi.
AT Filem Amerika 2009 "Mr. Nobody" dalam salah satu episod, alamat rumah adalah sebahagian daripada urutan Fibonacci - 12358. Di samping itu, dalam episod lain watak utama patut menelefon nombor telefon, yang pada asasnya adalah sama, tetapi sedikit herot (nombor tambahan selepas nombor 5) turutan: 123-581-1321.
Dalam siri TV 2012 The Connection, watak utama, seorang budak autisme, dapat membezakan corak dalam peristiwa yang berlaku di dunia. Termasuk melalui nombor Fibonacci. Dan uruskan acara ini juga melalui nombor.
Pembangun permainan Java untuk telefon bimbit Doom RPG meletakkan pintu rahsia pada salah satu peringkat. Kod yang membukanya ialah jujukan Fibonacci.
Pada tahun 2012, kumpulan rock Rusia Splin mengeluarkan album konsep bernama Illusion. Trek kelapan dipanggil "Fibonacci". Dalam ayat-ayat ketua kumpulan Alexander Vasiliev, urutan nombor Fibonacci dipukul. Untuk setiap sembilan ahli berturut-turut, terdapat bilangan baris yang sepadan (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Bertolak di jalan raya

1 Diklik satu sendi

1 Satu lengan baju menggeletar

2 Semuanya, dapatkan kakitangan

Semuanya, dapatkan kakitangan

3 Minta air masak

Kereta api pergi ke sungai

Kereta api pergi ke taiga<…>.

limerick ( puisi pendek bentuk tertentu- biasanya lima baris, dengan skema berima tertentu, komik dalam kandungan, di mana baris pertama dan terakhir diulang atau sebahagiannya menduplikasi antara satu sama lain) James Lyndon juga menggunakan rujukan kepada urutan Fibonacci sebagai motif lucu:

Makanan padat isteri Fibonacci

Ia hanya untuk kepentingan mereka, bukan sebaliknya.

Para isteri menimbang, menurut khabar angin,

Masing-masing seperti dua sebelumnya.

Menjumlahkan

Kami berharap kami dapat memberitahu anda banyak perkara yang menarik dan berguna hari ini. Sebagai contoh, anda kini boleh mencari lingkaran Fibonacci dalam alam semula jadi di sekeliling anda. Tiba-tiba, andalah yang akan dapat membongkar "rahsia kehidupan, alam semesta dan secara umum."

Gunakan formula untuk nombor Fibonacci apabila menyelesaikan masalah dalam kombinatorik. Anda boleh membina contoh yang diterangkan dalam artikel ini.

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Nombor Fibonacci dan nisbah emas membentuk asas untuk membongkar dunia sekeliling, membina bentuk dan optimum persepsi visual seseorang dengan bantuan yang mana dia dapat merasakan keindahan dan keharmonian.

Prinsip menentukan saiz bahagian emas mendasari kesempurnaan seluruh dunia dan bahagian-bahagiannya dalam struktur dan fungsinya, manifestasinya dapat dilihat dalam alam semula jadi, seni dan teknologi. Doktrin nisbah emas diasaskan hasil penyelidikan saintis kuno tentang sifat nombor.

Bukti penggunaan nisbah emas oleh pemikir kuno diberikan dalam buku "Permulaan" Euclid, yang ditulis pada abad ke-3. BC, yang menggunakan peraturan ini untuk membina 5-gon biasa. Di kalangan Pythagorean, angka ini dianggap suci, kerana ia adalah simetri dan tidak simetri. Pentagram melambangkan kehidupan dan kesihatan.

Nombor Fibonacci

Buku terkenal Liber abaci oleh ahli matematik Itali Leonardo dari Pisa, yang kemudiannya dikenali sebagai Fibonacci, diterbitkan pada tahun 1202. Di dalamnya, saintis buat kali pertama memberikan corak nombor, dalam satu siri yang setiap nombor adalah jumlah daripada 2 digit sebelumnya. Urutan nombor Fibonacci adalah seperti berikut:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, dsb.

Ahli sains juga memetik beberapa corak:

Sebarang nombor daripada siri, dibahagikan dengan seterusnya, akan sama dengan nilai yang cenderung kepada 0.618. Lebih-lebih lagi, nombor Fibonacci pertama tidak memberikan nombor sedemikian, tetapi apabila anda bergerak dari permulaan urutan, nisbah ini akan menjadi lebih dan lebih tepat.

Jika anda membahagikan nombor daripada siri dengan yang sebelumnya, maka hasilnya akan cenderung kepada 1.618.

Satu nombor dibahagikan dengan nombor seterusnya akan menunjukkan nilai cenderung kepada 0.382.

Aplikasi sambungan dan corak bahagian emas, nombor Fibonacci (0.618) boleh didapati bukan sahaja dalam matematik, tetapi juga dalam alam semula jadi, dalam sejarah, dalam seni bina dan pembinaan, dan dalam banyak sains lain.

Untuk tujuan praktikal, ia dihadkan kepada nilai anggaran Φ = 1.618 atau Φ = 1.62. Dalam peratusan bulat, nisbah emas ialah pembahagian sebarang nilai berhubung dengan 62% dan 38%.

Dari segi sejarah, pembahagian segmen AB dengan titik C kepada dua bahagian (segmen AC yang lebih kecil dan segmen BC yang lebih besar) pada asalnya dipanggil bahagian emas, supaya AC / BC = BC / AB adalah benar untuk panjang segmen. bercakap secara ringkas, segmen dibahagikan oleh bahagian emas kepada dua bahagian yang tidak sama supaya bahagian yang lebih kecil berkaitan dengan yang lebih besar, kerana yang lebih besar adalah kepada keseluruhan segmen. Kemudian konsep ini diperluaskan kepada kuantiti sewenang-wenangnya.

Nombor Φ juga dipanggil nombor emas.

Nisbah emas mempunyai banyak sifat yang indah, tetapi sebagai tambahan, banyak sifat fiksyen dikaitkan dengannya.

Sekarang butirannya:

Takrifan ZS ialah pembahagian segmen kepada dua bahagian dalam nisbah sedemikian sehingga bahagian yang lebih besar berkaitan dengan yang lebih kecil, kerana jumlahnya (keseluruhan segmen) adalah kepada yang lebih besar.

Iaitu, jika kita mengambil keseluruhan segmen c sebagai 1, maka segmen a akan bersamaan dengan 0.618, segmen b - 0.382. Oleh itu, jika kita mengambil bangunan, sebagai contoh, sebuah kuil yang dibina mengikut prinsip GS, maka dengan ketinggiannya, katakan, 10 meter, ketinggian dram dengan kubah akan menjadi 3.82 cm, dan ketinggian pangkalannya. daripada bangunan itu ialah 6.18 cm. (Jelas bahawa nombor yang diambil sama untuk kejelasan)

Dan apakah hubungan antara nombor GL dan Fibonacci?

Nombor jujukan Fibonacci ialah:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Corak nombor ialah setiap nombor berikutnya adalah sama dengan jumlah dua nombor sebelumnya.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 dsb.

dan nisbah nombor bersebelahan menghampiri nisbah 3S.
Jadi, 21:34 = 0.617, dan 34:55 = 0.618.

Iaitu, di tengah-tengah ZS adalah nombor jujukan Fibonacci.

Adalah dipercayai bahawa istilah "Nisbah Emas" diperkenalkan oleh Leonardo Da Vinci, yang berkata, "jangan biarkan sesiapa, bukan ahli matematik, berani membaca karya saya" dan menunjukkan perkadaran badan manusia dalam lukisan terkenalnya "Vitruvian Man". “Jika kita mengikat figura manusia – ciptaan Alam Semesta yang paling sempurna – dengan tali pinggang dan kemudian mengukur jarak dari tali pinggang ke kaki, maka nilai ini akan merujuk kepada jarak dari tali pinggang yang sama ke bahagian atas kepala, sebagai keseluruhan ketinggian seseorang hingga panjang dari tali pinggang hingga ke kaki."

Satu siri nombor Fibonacci dimodelkan secara visual (diwujudkan) dalam bentuk lingkaran.

Dan secara semula jadi, lingkaran 3S kelihatan seperti ini:

Pada masa yang sama, lingkaran diperhatikan di mana-mana (dalam alam semula jadi dan bukan sahaja):

Benih dalam kebanyakan tumbuhan disusun dalam lingkaran
- Labah-labah menganyam sarang dalam lingkaran
- Taufan berputar
- Sekumpulan rusa yang ketakutan bertaburan dalam lingkaran.
- Molekul DNA dipintal dalam heliks berganda. Molekul DNA terdiri daripada dua heliks berjalin menegak 34 angstrom panjang dan 21 angstrom lebar. Nombor 21 dan 34 mengikut satu sama lain dalam urutan Fibonacci.
- Embrio berkembang dalam bentuk lingkaran
- Lingkaran "koklea di telinga dalam"
- Air mengalir ke longkang secara berpilin
- Dinamik lingkaran menunjukkan perkembangan keperibadian seseorang dan nilainya dalam lingkaran.
- Dan sudah tentu, Galaxy itu sendiri mempunyai bentuk lingkaran

Oleh itu, boleh dikatakan bahawa alam semula jadi itu sendiri dibina berdasarkan prinsip Bahagian Emas, itulah sebabnya perkadaran ini lebih harmoni dilihat oleh mata manusia. Ia tidak memerlukan "memperbaiki" atau menambah gambaran dunia yang terhasil.

Filem. nombor Tuhan. Bukti Tuhan yang tidak dapat disangkal; Bilangan Tuhan. Bukti Tuhan yang tidak dapat disangkal.

Perkadaran emas dalam struktur molekul DNA

Semua maklumat tentang ciri fisiologi makhluk hidup disimpan dalam molekul DNA mikroskopik, strukturnya juga mengandungi hukum nisbah emas. Molekul DNA terdiri daripada dua heliks yang terjalin secara menegak. Setiap satu daripada lingkaran ini adalah 34 angstrom panjang dan 21 angstrom lebar. (1 angstrom ialah seratus juta satu sentimeter).

21 dan 34 ialah nombor mengikut satu demi satu dalam urutan nombor Fibonacci, iaitu nisbah panjang dan lebar heliks logaritma molekul DNA membawa formula bahagian emas 1: 1.618

Bahagian emas dalam struktur dunia mikro

Bentuk geometri tidak terhad kepada segi tiga, segi empat sama, lima atau heksagon sahaja. Jika kita menghubungkan angka-angka ini dalam pelbagai cara antara satu sama lain, maka kita akan mendapat tiga dimensi baharu angka geometri. Contohnya adalah angka seperti kubus atau piramid. Namun, selain mereka, terdapat juga figura tiga dimensi lain yang tidak perlu kami temui Kehidupan seharian, dan nama siapa yang kita dengar, mungkin buat kali pertama. Antara rajah tiga dimensi sedemikian, seseorang boleh menamakan tetrahedron (angka empat sisi biasa), oktahedron, dodekahedron, icosahedron, dsb. Dodecahedron terdiri daripada 13 pentagon, icosahedron daripada 20 segi tiga. Ahli matematik ambil perhatian bahawa angka-angka ini secara matematik sangat mudah untuk diubah, dan transformasinya berlaku mengikut formula lingkaran logaritma bahagian emas.

Dalam mikrokosmos, bentuk logaritma tiga dimensi yang dibina mengikut perkadaran emas ada di mana-mana. Sebagai contoh, banyak virus mempunyai tiga dimensi bentuk geometri icosahedron. Mungkin yang paling terkenal daripada virus ini ialah virus Adeno. Cangkang protein virus Adeno terbentuk daripada 252 unit sel protein yang disusun dalam urutan tertentu. Di setiap sudut ikosahedron terdapat 12 unit sel protein dalam bentuk prisma pentagonal, dan struktur seperti spike memanjang dari sudut ini.

Nisbah emas dalam struktur virus pertama kali ditemui pada tahun 1950-an. saintis dari Kolej Birkbeck London A.Klug dan D.Kaspar. 13 Virus Polyo adalah yang pertama menunjukkan bentuk logaritma. Bentuk virus ini didapati serupa dengan virus Rhino 14.

Timbul persoalan, bagaimanakah virus membentuk bentuk tiga dimensi yang begitu kompleks, yang strukturnya mengandungi bahagian emas, yang agak sukar untuk dibina walaupun dengan fikiran manusia kita? Penemu bentuk virus ini, ahli virologi A. Klug membuat ulasan berikut:

“Dr. Kaspar dan saya telah menunjukkan bahawa untuk cangkang sfera virus, bentuk yang paling optimum ialah simetri seperti bentuk ikosahedron. Pesanan ini meminimumkan bilangan elemen penghubung ... Kebanyakan kiub hemisfera geodesik Buckminster Fuller dibina dengan cara yang sama prinsip geometri. 14 Pemasangan kiub tersebut memerlukan skema penjelasan yang sangat tepat dan terperinci. Sedangkan virus tidak sedarkan diri sendiri membina cangkang kompleks unit sel protein yang elastik dan fleksibel.

Nombor Fibonacci... dalam alam semula jadi dan kehidupan

Leonardo Fibonacci adalah salah satu daripada ahli matematik terhebat Pertengahan umur. Dalam salah satu karyanya, The Book of Calculations, Fibonacci menerangkan kalkulus Indo-Arab dan kelebihan menggunakannya berbanding kalkulus Rom.

Definisi
Nombor Fibonacci atau Jujukan Fibonacci ialah jujukan berangka yang mempunyai beberapa sifat. Sebagai contoh, jumlah dua nombor jiran dalam jujukan memberikan nilai yang seterusnya (contohnya, 1+1=2; 2+3=5, dsb.), yang mengesahkan kewujudan apa yang dipanggil pekali Fibonacci , iaitu nisbah malar.

Urutan Fibonacci bermula seperti ini: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Definisi lengkap nombor Fibonacci

3.

Sifat Jujukan Fibonacci

1. Nisbah setiap nombor kepada nombor seterusnya semakin banyak cenderung kepada 0.618 apabila ia meningkat nombor siri. Nisbah setiap nombor kepada yang sebelumnya cenderung kepada 1.618 (terbalik kepada 0.618). Nombor 0.618 dipanggil (FI).

2. Apabila membahagikan setiap nombor dengan yang seterusnya, nombor 0.382 diperoleh melalui satu; sebaliknya - masing-masing 2.618.

3. Memilih nisbah dengan cara ini, kita memperoleh set utama pekali Fibonacci: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.

Hubungan antara jujukan Fibonacci dan "bahagian emas"

Urutan Fibonacci secara asimptotik (mendekati lebih dan lebih perlahan) cenderung kepada beberapa nisbah tetap. Walau bagaimanapun, nisbah ini adalah tidak rasional, iaitu, ia adalah nombor dengan urutan digit perpuluhan yang tidak terhingga dan tidak dapat diramalkan dalam bahagian pecahan. Ia tidak dapat diungkapkan dengan tepat.

Jika mana-mana ahli jujukan Fibonacci dibahagikan dengan yang mendahuluinya (contohnya, 13:8), hasilnya akan menjadi nilai yang turun naik di sekitar nilai tidak rasional 1.61803398875 ... dan selepas satu masa sama ada melebihinya atau tidak mencapainya ia. Tetapi walaupun telah menghabiskan Eternity padanya, adalah mustahil untuk mengetahui nisbah dengan tepat, kepada digit perpuluhan terakhir. Untuk kepentingan ringkas, kami akan memberikannya dalam bentuk 1.618. Nama khas untuk nisbah ini mula diberikan walaupun sebelum Luca Pacioli (ahli matematik zaman pertengahan) memanggilnya Perkadaran Ilahi. Antara nama modennya adalah seperti Nisbah Emas, Min Emas dan nisbah petak berputar. Kepler memanggil hubungan ini sebagai salah satu "khazanah geometri". Dalam algebra, ia biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani phi

Mari kita bayangkan bahagian emas pada contoh segmen.

Pertimbangkan segmen dengan hujung A dan B. Biarkan titik C membahagi segmen AB supaya,

AC/CB = CB/AB atau

AB/CB = CB/AC.

Anda boleh bayangkan ia seperti ini: A-–C--–B

Bahagian emas ialah pembahagian berkadar segmen kepada bahagian yang tidak sama rata, di mana keseluruhan segmen berkaitan dengan bahagian yang lebih besar dengan cara yang sama seperti bahagian yang lebih besar itu sendiri berkaitan dengan yang lebih kecil; atau dengan kata lain, bahagian yang lebih kecil adalah berkaitan dengan yang lebih besar kerana yang lebih besar adalah untuk segala-galanya.

Segmen nisbah emas dinyatakan sebagai pecahan tak rasional tak terhingga 0.618 ..., jika AB diambil sebagai satu, AC = 0.382 .. Seperti yang kita sedia maklum, nombor 0.618 dan 0.382 adalah pekali bagi jujukan Fibonacci.

Perkadaran Fibonacci dan nisbah emas dalam alam semula jadi dan sejarah

10.

Adalah penting untuk diperhatikan bahawa Fibonacci, seolah-olah, mengingatkan manusia tentang urutannya. Ia diketahui oleh orang Yunani dan Mesir kuno. Sesungguhnya, sejak itu, corak yang diterangkan oleh pekali Fibonacci telah ditemui dalam alam semula jadi, seni bina, seni halus, matematik, fizik, astronomi, biologi dan banyak lagi bidang lain. Sungguh menakjubkan berapa banyak pemalar boleh dikira menggunakan jujukan Fibonacci, dan cara istilahnya muncul dalam sejumlah besar kombinasi. Walau bagaimanapun, tidaklah keterlaluan untuk mengatakan bahawa ini bukan sekadar permainan nombor, tetapi ungkapan matematik yang paling penting. fenomena semulajadi daripada semua yang pernah ditemui.

11.

Contoh di bawah menunjukkan beberapa aplikasi menarik bagi urutan matematik ini.

12.

1. Cangkerang dipintal dalam lingkaran. Jika anda membukanya, anda mendapat panjang sedikit lebih rendah daripada panjang ular. Cengkerang kecil sepuluh sentimeter mempunyai lingkaran sepanjang 35 cm.Bentuk cangkerang bergulung berlingkar menarik perhatian Archimedes. Hakikatnya ialah nisbah ukuran volut cengkerang adalah malar dan sama dengan 1.618. Archimedes mengkaji lingkaran cengkerang dan memperoleh persamaan bagi lingkaran. Lingkaran yang dilukis oleh persamaan ini dipanggil dengan namanya. Peningkatan langkahnya sentiasa seragam. Pada masa ini, lingkaran Archimedes digunakan secara meluas dalam kejuruteraan.

2. Tumbuhan dan haiwan. Malah Goethe menekankan kecenderungan alam semula jadi kepada spiraliti. Susunan lingkaran dan lingkaran daun pada dahan pokok telah diperhatikan sejak dahulu lagi. Lingkaran itu dilihat dalam susunan biji bunga matahari, dalam kon pain, nanas, kaktus, dll. Kerjasama ahli botani dan ahli matematik memberi penerangan tentang fenomena semula jadi yang menakjubkan ini. Ternyata dalam susunan daun pada cawangan biji bunga matahari, kon pain, siri Fibonacci menampakkan diri, dan oleh itu, undang-undang bahagian emas menampakkan diri. Labah-labah memutar sarangnya dalam corak lingkaran. Taufan sedang berpusing. Sekumpulan rusa yang ketakutan bertaburan dalam lingkaran. Molekul DNA dipintal menjadi heliks berganda. Goethe memanggil lingkaran "lengkung kehidupan."

Di antara rumput tepi jalan, tumbuh tumbuhan yang tidak biasa - chicory. Mari kita lihat lebih dekat. Sebatang dahan telah terbentuk daripada batang utama. Inilah daun pertama. Proses itu membuat lonjakan kuat ke angkasa, berhenti, melepaskan daun, tetapi sudah lebih pendek daripada yang pertama, sekali lagi membuat lontar ke angkasa, tetapi kurang daya, melepaskan daun dengan saiz yang lebih kecil dan lontar lagi. Jika outlier pertama diambil sebagai 100 unit, maka yang kedua adalah sama dengan 62 unit, yang ketiga ialah 38, yang keempat ialah 24, dan seterusnya. Panjang kelopak juga tertakluk kepada nisbah emas. Dalam pertumbuhan, penaklukan ruang, tumbuhan itu mengekalkan perkadaran tertentu. Impuls pertumbuhannya menurun secara beransur-ansur mengikut nisbah emas.

Cicak itu vivipar. Pada cicak, pada pandangan pertama, perkadaran yang menyenangkan mata kita ditangkap - panjang ekornya berkaitan dengan panjang seluruh badan sebagai 62 hingga 38.

Kedua-dua dalam dunia tumbuhan dan haiwan, kecenderungan membentuk alam semula jadi secara berterusan menembusi - simetri berkenaan dengan arah pertumbuhan dan pergerakan. Di sini nisbah emas muncul dalam perkadaran bahagian yang berserenjang dengan arah pertumbuhan. Alam telah menjalankan pembahagian kepada bahagian simetri dan perkadaran emas. Dalam bahagian, pengulangan struktur keseluruhan ditunjukkan.

Pierre Curie pada awal abad kita merumuskan beberapa idea simetri yang mendalam. Beliau berhujah bahawa seseorang tidak boleh mempertimbangkan simetri mana-mana badan tanpa mengambil kira simetri persekitaran. Corak simetri keemasan ditunjukkan dalam peralihan tenaga zarah asas, dalam struktur beberapa sebatian kimia, dalam sistem planet dan angkasa, dalam struktur gen organisma hidup. Corak ini, seperti yang ditunjukkan di atas, berada dalam struktur organ manusia individu dan badan secara keseluruhan, dan juga ditunjukkan dalam bioritma dan fungsi otak dan persepsi visual.

3. Ruang. Dari sejarah astronomi diketahui bahawa I. Titius, seorang ahli astronomi Jerman abad ke-18, menggunakan siri ini (Fibonacci) mendapati keteraturan dan ketertiban dalam jarak antara planet-planet sistem suria

Walau bagaimanapun, satu kes yang nampaknya bertentangan dengan undang-undang: tidak ada planet di antara Marikh dan Musytari. Pemerhatian terfokus pada kawasan langit ini membawa kepada penemuan tali pinggang asteroid. Ini berlaku selepas kematian Titius di awal XIX dalam.

Siri Fibonacci digunakan secara meluas: ia digunakan untuk mewakili arkitektonik dan makhluk hidup, dan struktur buatan manusia, dan struktur galaksi. Fakta ini adalah bukti kemerdekaan siri nombor pada syarat manifestasinya, yang merupakan salah satu tanda kesejagatannya.

4. Piramid. Ramai yang cuba membongkar rahsia piramid Giza. Tidak seperti piramid Mesir yang lain, ini bukan makam, sebaliknya teka-teki kombinasi berangka yang tidak dapat diselesaikan. Kebijaksanaan yang luar biasa, kemahiran, masa dan tenaga kerja arkitek piramid, yang mereka gunakan dalam pembinaan simbol abadi, menunjukkan betapa pentingnya mesej yang ingin mereka sampaikan kepada generasi akan datang. Zaman mereka adalah pra-celik huruf, pra-hieroglyphic, dan simbol adalah satu-satunya cara untuk merekodkan penemuan. Kunci kepada rahsia geometri-matematik piramid Giza, yang selama ini menjadi misteri kepada umat manusia, sebenarnya telah diberikan kepada Herodotus oleh pendeta kuil, yang memaklumkan kepadanya bahawa piramid itu dibina supaya luas setiap muka adalah sama dengan segi empat sama tingginya.

Kawasan segi tiga

356 x 440 / 2 = 78320

kawasan persegi

280 x 280 = 78400

Panjang pinggir pangkal piramid di Giza ialah 783.3 kaki (238.7 m), ketinggian piramid ialah 484.4 kaki (147.6 m). Panjang tepi tapak, dibahagikan dengan ketinggian, membawa kepada nisbah Ф=1.618. Ketinggian 484.4 kaki sepadan dengan 5813 inci (5-8-13) - ini adalah nombor daripada jujukan Fibonacci. Pemerhatian menarik ini mencadangkan bahawa pembinaan piramid adalah berdasarkan perkadaran Ф=1.618. Sesetengah sarjana moden cenderung untuk menafsirkan bahawa orang Mesir purba membinanya untuk tujuan semata-mata untuk menyampaikan pengetahuan yang ingin mereka pelihara untuk generasi akan datang. Kajian intensif piramid di Giza menunjukkan betapa luasnya pengetahuan dalam matematik dan astrologi pada masa itu. Dalam semua bahagian dalaman dan luaran piramid, nombor 1.618 memainkan peranan penting.

Piramid di Mexico. Bukan sahaja piramid Mesir dibina mengikut perkadaran sempurna nisbah emas, fenomena yang sama ditemui di piramid Mexico. Timbul idea bahawa kedua-dua piramid Mesir dan Mexico telah didirikan pada masa yang lebih kurang sama oleh orang-orang yang mempunyai asal usul yang sama.

Terdapat banyak lagi di alam semesta misteri yang belum terungkai, sebahagian daripada saintis telah dapat mengenal pasti dan menghuraikan. Nombor Fibonacci dan nisbah emas membentuk asas untuk membongkar dunia di sekeliling kita, membina bentuknya dan persepsi visual yang optimum oleh seseorang, dengan bantuannya dia dapat merasakan keindahan dan keharmonian.

nisbah emas

Ia berdasarkan teori perkadaran dan nisbah bahagian segmen, yang dibuat oleh ahli falsafah purba dan ahli matematik Pythagoras. Dia membuktikan bahawa apabila membahagikan segmen kepada dua bahagian: X (lebih kecil) dan Y (lebih besar), nisbah yang lebih besar kepada yang lebih kecil akan sama dengan nisbah jumlahnya (dari keseluruhan segmen):

Hasilnya ialah persamaan: x 2 - x - 1=0, yang diselesaikan sebagai x=(1±√5)/2.

Jika kita menganggap nisbah 1/x, maka ia adalah sama dengan 1,618…

Nombor Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, dsb.

Ahli sains juga memetik beberapa corak:

Sebarang nombor daripada siri, dibahagikan dengan seterusnya, akan sama dengan nilai yang cenderung kepada 0.618. Lebih-lebih lagi, nombor Fibonacci pertama tidak memberikan nombor sedemikian, tetapi apabila anda bergerak dari permulaan urutan, nisbah ini akan menjadi lebih dan lebih tepat.
Jika anda membahagikan nombor daripada siri dengan yang sebelumnya, maka hasilnya akan cenderung kepada 1.618.
Satu nombor dibahagikan dengan nombor seterusnya akan menunjukkan nilai cenderung kepada 0.382.

Lingkaran Archimedes dan segi empat tepat emas

Lingkaran, sangat biasa dalam alam semula jadi, telah diterokai oleh Archimedes, yang malah memperoleh persamaannya. Bentuk lingkaran adalah berdasarkan hukum nisbah emas. Apabila ia tidak berpusing, panjang diperoleh di mana perkadaran dan nombor Fibonacci boleh digunakan, peningkatan langkah berlaku sama rata.

Persamaan antara nombor Fibonacci dan nisbah emas juga boleh dilihat dengan membina "segi empat tepat emas" yang sisinya berkadar dengan 1.618:1. Ia dibina dengan bergerak dari segi empat tepat yang lebih besar kepada yang lebih kecil supaya panjang sisi akan sama dengan nombor dari baris. Pembinaannya boleh dilakukan dalam susunan terbalik, bermula dengan petak "1". Apabila menyambungkan sudut segi empat tepat ini dengan garisan di tengah persimpangan mereka, Fibonacci atau lingkaran logaritma diperolehi.

Sejarah penggunaan perkadaran emas

Banyak monumen seni bina purba Mesir dibina menggunakan bahagian emas: piramid terkenal Cheops dan lain-lain. Yunani purba mereka digunakan secara meluas dalam pembinaan objek seni bina seperti kuil, amfiteater, stadium. Sebagai contoh, perkadaran sedemikian digunakan dalam pembinaan kuil Parthenon purba (Athens) dan objek lain yang menjadi karya seni bina purba, menunjukkan keharmonian berdasarkan keteraturan matematik.

Pada abad-abad kemudian, minat dalam nisbah emas berkurangan, dan coraknya dilupakan, tetapi sekali lagi disambung semula dalam Renaissance, bersama-sama dengan buku sami Franciscan L. Pacioli di Borgo "Perkadaran Ilahi" (1509). Ia termasuk ilustrasi oleh Leonardo da Vinci, yang menetapkan nama baharu "bahagian emas". Juga, 12 sifat nisbah emas telah terbukti secara saintifik, dan penulis bercakap tentang bagaimana ia menampakkan diri dalam alam semula jadi, dalam seni dan memanggilnya "prinsip membina dunia dan alam semula jadi."

Lelaki Vitruvian Leonardo

Lukisan yang Leonardo da Vinci menggambarkan buku Vitruvius pada tahun 1492 menggambarkan sosok seorang lelaki dalam 2 kedudukan dengan tangan dihulurkan ke sisi. Angka itu ditulis dalam bulatan dan segi empat sama. Lukisan ini dianggap sebagai perkadaran kanonik tubuh manusia (lelaki), yang diterangkan oleh Leonardo berdasarkan kajian mereka dalam risalah arkitek Rom Vitruvius.

Pusat badan sebagai titik yang sama jarak dari hujung lengan dan kaki ialah pusat, panjang lengan sama dengan ketinggian seseorang, lebar maksimum bahu = 1/8 daripada ketinggian, jarak dari atas dada ke rambut = 1/7, dari atas dada ke atas kepala = 1/6 dll.

Sejak itu, lukisan itu digunakan sebagai simbol yang menunjukkan simetri dalaman tubuh manusia.

Istilah "Nisbah Emas" digunakan oleh Leonardo untuk menunjukkan hubungan berkadar dalam figura manusia. Sebagai contoh, jarak dari pinggang ke kaki adalah berkaitan dengan jarak yang sama dari pusat ke bahagian atas kepala dengan cara yang sama seperti ketinggian ke panjang pertama (dari pinggang ke bawah). Pengiraan ini dilakukan sama dengan nisbah segmen apabila mengira nisbah emas dan cenderung kepada 1.618.

Semua perkadaran harmoni ini sering digunakan oleh artis untuk mencipta karya yang indah dan mengagumkan.

Kajian nisbah emas pada abad ke-16-19

Menggunakan nisbah emas dan nombor Fibonacci, kerja penyelidikan mengenai isu perkadaran telah berlaku selama lebih daripada satu abad. Selari dengan Leonardo da Vinci, artis Jerman Albrecht Dürer juga sedang membangunkan teori perkadaran badan manusia yang betul. Untuk ini, dia juga mencipta kompas khas.

Pada abad ke-16 persoalan kaitan antara nombor Fibonacci dan bahagian emas ditumpukan kepada kerja ahli astronomi I. Kepler, yang pertama kali menggunakan peraturan ini untuk botani.

"Penemuan" baharu menanti nisbah emas pada abad ke-19. dengan penerbitan "Penyelidikan Estetik" oleh saintis Jerman Profesor Zeisig. Dia menaikkan perkadaran ini kepada mutlak dan mengumumkan bahawa ia adalah universal untuk semua fenomena semula jadi. Mereka telah membuat kajian jumlah yang besar orang, atau lebih tepatnya perkadaran badan mereka (kira-kira 2 ribu), akibatnya kesimpulan dibuat mengenai corak yang disahkan secara statistik dalam nisbah pelbagai bahagian badan: panjang bahu, lengan bawah, tangan, jari, dll.

Objek seni (pasu, struktur seni bina), nada muzik, saiz ketika menulis puisi - Zeisig memaparkan semua ini melalui kepanjangan segmen dan nombor, dia juga memperkenalkan istilah "estetika matematik". Selepas menerima keputusan, ternyata siri Fibonacci diperolehi.

Nombor Fibonacci dan nisbah emas dalam alam semula jadi

Dalam dunia tumbuhan dan haiwan, terdapat kecenderungan untuk terbentuk dalam bentuk simetri, yang diperhatikan dalam arah pertumbuhan dan pergerakan. Pembahagian kepada bahagian simetri di mana perkadaran emas diperhatikan adalah corak yang wujud dalam banyak tumbuhan dan haiwan.

Sifat di sekeliling kita boleh digambarkan menggunakan nombor Fibonacci, contohnya:

susunan daun atau dahan mana-mana tumbuhan, serta jarak, adalah berkaitan dengan siri nombor 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 dan seterusnya;
biji bunga matahari (sisik pada kon, sel nanas), disusun dalam dua baris dalam lingkaran berpintal dalam arah yang berbeza;
nisbah panjang ekor dan seluruh badan cicak;
bentuk telur, jika anda melukis garisan secara bersyarat melalui bahagian lebarnya;
nisbah saiz jari pada tangan manusia.

Dan sudah tentu yang paling bentuk yang menarik mewakili cengkerang siput berpusing, corak pada web, pergerakan angin di dalam taufan, heliks ganda dua dalam DNA dan struktur galaksi - semuanya termasuk urutan nombor Fibonacci.

Penggunaan nisbah emas dalam seni

Penyelidik mencari contoh penggunaan bahagian emas dalam seni meneliti secara terperinci pelbagai objek seni bina dan lukisan. Karya arca terkenal diketahui, penciptanya berpegang pada perkadaran emas - patung Olympian Zeus, Apollo Belvedere dan

Salah satu ciptaan Leonardo da Vinci - "Potret Mona Lisa" - telah menjadi subjek penyelidikan oleh saintis selama bertahun-tahun. Mereka mendapati bahawa komposisi karya itu sepenuhnya terdiri daripada "segitiga emas", disatukan bersama menjadi bintang pentagon biasa. Semua karya da Vinci adalah bukti betapa mendalamnya pengetahuannya tentang struktur dan perkadaran tubuh manusia, berkat itu dia dapat menangkap senyuman Mona Lisa yang sangat misteri.

Nisbah emas dalam seni bina

Sebagai contoh, saintis mengkaji karya seni bina yang dicipta mengikut peraturan "bahagian emas": Piramid Mesir, Pantheon, Parthenon, Katedral Notre Dame de Paris, Katedral St. Basil, dsb.

Parthenon - salah satu bangunan paling indah di Yunani Purba (abad ke-5 SM) - mempunyai 8 tiang dan 17 sisi yang berbeza, nisbah ketinggiannya kepada panjang sisi ialah 0.618. Tonjolan pada fasadnya dibuat mengikut "bahagian emas" (gambar di bawah).

Salah seorang saintis yang mencipta dan berjaya menggunakan penambahbaikan sistem perkadaran modular untuk objek seni bina (yang dipanggil "modulor") ialah arkitek Perancis Le Corbusier. Modulor adalah berdasarkan sistem pengukuran yang dikaitkan dengan pembahagian bersyarat kepada bahagian badan manusia.

Arkitek Rusia M. Kazakov, yang membina beberapa bangunan kediaman di Moscow, serta bangunan Senat di Kremlin dan Hospital Golitsyn (kini Klinikal pertama dinamakan sempena N.I. Pirogov), adalah salah seorang arkitek yang menggunakan undang-undang dalam reka bentuk dan pembinaan tentang nisbah emas.

Mengaplikasikan perkadaran dalam reka bentuk

Dalam reka bentuk fesyen, semua pereka fesyen membuat imej dan model baru, dengan mengambil kira perkadaran tubuh manusia dan peraturan nisbah emas, walaupun secara semula jadi tidak semua orang mempunyai perkadaran yang ideal.

Apabila merancang reka bentuk landskap dan mencipta komposisi taman yang besar dengan bantuan tumbuhan (pokok dan pokok renek), air pancut dan objek seni bina kecil, undang-undang " perkadaran ilahi". Lagipun, komposisi taman itu harus difokuskan untuk mencipta kesan pada pelawat, yang akan dapat menavigasi dengan bebas di dalamnya dan mencari pusat komposisi.

Semua elemen taman berada dalam perkadaran sedemikian rupa sehingga, dengan bantuan struktur geometri, susunan bersama, pencahayaan dan cahaya, mereka memberikan kesan keharmonian dan kesempurnaan pada seseorang.

Aplikasi bahagian emas dalam sibernetik dan teknologi

Undang-undang bahagian emas dan nombor Fibonacci juga ditunjukkan dalam peralihan tenaga, dalam proses yang berlaku dengan zarah asas, membentuk sebatian kimia, dalam sistem angkasa, dalam struktur gen DNA.

Proses yang sama berlaku di dalam tubuh manusia, menampakkan dirinya dalam bioritma hidupnya, dalam tindakan organ, contohnya, otak atau penglihatan.

Algoritma dan corak perkadaran emas digunakan secara meluas dalam sibernetik dan informatika moden. Salah satu tugas mudah yang diberikan oleh pengaturcara pemula untuk menyelesaikannya ialah menulis formula dan menentukan jumlah nombor Fibonacci hingga nombor tertentu menggunakan bahasa pengaturcaraan.

Penyelidikan moden mengenai teori nisbah emas

Sejak pertengahan abad ke-20, minat dalam masalah dan pengaruh undang-undang perkadaran emas pada kehidupan manusia telah meningkat secara dramatik, dan daripada banyak saintis pelbagai profesion: ahli matematik, penyelidik etnos, ahli biologi, ahli falsafah, pekerja perubatan, ahli ekonomi, pemuzik, dsb.

Sejak 1970-an, The Fibonacci Quarterly telah diterbitkan di Amerika Syarikat, di mana karya mengenai topik ini diterbitkan. Karya muncul dalam akhbar di mana peraturan umum bahagian emas dan siri Fibonacci digunakan dalam pelbagai cabang pengetahuan. Contohnya, untuk mengekod maklumat, penyelidikan kimia, biologi, dsb.

Semua ini mengesahkan kesimpulan saintis kuno dan moden bahawa nisbah emas berkait pelbagai hala dengan isu asas sains dan menampakkan diri dalam simetri banyak ciptaan dan fenomena dunia di sekeliling kita.

Mengenai nombor dan formula yang terdapat dalam alam semula jadi. Nah, beberapa perkataan tentang nombor dan formula yang sama ini.

Nombor dan formula dalam alam semula jadi adalah batu penghalang antara mereka yang percaya kepada penciptaan alam semesta oleh seseorang dan mereka yang percaya kepada penciptaan alam semesta dengan sendirinya. Untuk soalan: "Sekiranya alam semesta timbul dengan sendirinya, maka bukankah secara praktikal semua objek hidup dan bukan hidup akan dibina mengikut skema yang sama, mengikut formula yang sama?"

Nah, untuk ini soalan falsafah kami tidak akan menjawab di sini (format laman web tidak sama 🙂), tetapi kami akan mengumumkan formula. Dan mari kita mulakan dengan nombor Fibonacci dan Lingkaran Emas.

Jadi, nombor Fibonacci ialah unsur-unsur urutan berangka di mana setiap nombor berikutnya adalah sama dengan jumlah dua nombor sebelumnya. Iaitu, 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 dan seterusnya.

Secara keseluruhan, satu siri diperoleh: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

Satu lagi contoh siri Fibonacci: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 dan seterusnya. Anda boleh mencuba sendiri 🙂

Bagaimanakah nombor Fibonacci muncul dalam alam semula jadi? Sangat ringkas:

Susunan daun dalam tumbuhan diterangkan oleh jujukan Fibonacci. Biji bunga matahari, kon pain, kelopak bunga, sel nanas juga disusun mengikut urutan Fibonacci.
Panjang falang jari manusia adalah lebih kurang sama dengan nombor Fibonacci.
Molekul DNA terdiri daripada dua heliks berjalin menegak 34 angstrom panjang dan 21 angstrom lebar. Nombor 21 dan 34 mengikut satu sama lain dalam urutan Fibonacci.

Dengan bantuan nombor Fibonacci, anda boleh membina Lingkaran Emas. Jadi, mari kita lukis petak kecil dengan sisi, katakan, 1. Seterusnya, ingat sekolah. Berapakah 1 2 ? Ini akan menjadi 1. Jadi, mari kita lukis petak lain di sebelah yang pertama, tutup. Seterusnya, nombor Fibonacci seterusnya ialah 2 (1+1). Apakah 2 2 ? Ini akan menjadi 4. Mari kita lukis petak lain dekat dengan dua petak pertama, tetapi kini dengan sisi 2 dan luas 4. Nombor seterusnya ialah nombor 3 (1+2). Kuasa dua nombor 3 ialah 9. Lukiskan segi empat sama dengan sisi 3 dan luas 9 di sebelah yang telah dilukis. Seterusnya kita mempunyai segi empat sama dengan sisi 5 dan luas 25, segi empat sama dengan sisi 8 dan luas 64, dan seterusnya, ad infinitum.

Sudah tiba masanya untuk lingkaran emas. Mari kita sambungkan titik sempadan antara petak dengan garis melengkung yang licin. Dan kita akan mendapat lingkaran emas yang sama, atas dasar yang banyak objek hidup dan bukan hidup di alam semula jadi dibina.

Dan sebelum beralih kepada nisbah emas, mari kita fikirkan. Di sini kami telah membina lingkaran berdasarkan petak jujukan Fibonacci (jujukan 1, 1, 2, 3, 5, 8 dan petak 1, 1, 4, 9, 25, 64). Tetapi apa yang berlaku jika kita tidak menggunakan kuasa dua nombor, tetapi kiubnya? Kiub akan kelihatan seperti ini dari tengah:

Dan di sisi seperti ini:

Nah, apabila membina lingkaran, ternyata lingkaran emas yang besar:

Beginilah rupa lingkaran emas yang besar ini dari sisi:

Tetapi bagaimana jika kita tidak mengambil kiub nombor Fibonacci, tetapi pergi ke dimensi keempat?.. Ini teka-teki, bukan?

Walau bagaimanapun, saya tidak tahu bagaimana nisbah emas isipadu menampakkan dirinya dalam alam semula jadi berdasarkan kiub nombor Fibonacci, dan lebih-lebih lagi nombor hingga darjah keempat. Oleh itu, kami kembali ke bahagian emas di pesawat. Jadi, mari kita lihat semula petak kita. Secara matematik, ia kelihatan seperti ini:

Iaitu, kita mendapat nisbah emas - di mana satu bahagian dibahagikan kepada dua bahagian dalam nisbah sedemikian sehingga bahagian yang lebih kecil berkaitan dengan yang lebih besar, kerana yang lebih besar adalah kepada keseluruhan nilai.

Iaitu, a: b = b: c atau c: b = b: a.

Berdasarkan nisbah magnitud sedemikian, antara lain, pentagon biasa dan pentagram dibina:

Untuk rujukan: untuk membina pentagram, anda perlu membina pentagon biasa. Kaedah pembinaannya telah dibangunkan oleh pelukis Jerman dan artis grafik Albrecht Dürer (1471…1528). Biarkan O ialah pusat bulatan, A titik pada bulatan, dan E titik tengah segmen OA. Serenjang dengan jejari OA, dinaikkan pada titik O, bersilang dengan bulatan di titik D. Dengan menggunakan kompas, tandakan segmen CE = ED pada diameter. Panjang sisi pentagon sekata yang tertulis dalam bulatan ialah DC. Kami mengetepikan segmen DC pada bulatan dan mendapatkan lima mata untuk melukis pentagon biasa. Kami menyambungkan sudut pentagon melalui satu pepenjuru dan mendapatkan pentagram. Semua pepenjuru pentagon membahagikan satu sama lain kepada segmen yang disambungkan dengan nisbah emas.

Secara umum, ini adalah corak. Selain itu, terdapat lebih banyak corak yang pelbagai daripada yang telah diterangkan. Dan sekarang, selepas semua nombor yang membosankan ini - klip video yang dijanjikan, di mana semuanya mudah dan jelas:

Seperti yang anda lihat, matematik sememangnya wujud dalam alam semula jadi. Dan bukan sahaja dalam objek yang disenaraikan dalam video, tetapi juga dalam banyak kawasan lain. Contohnya, apabila ombak melanda pantai dan berpusing, ia berpusing di sepanjang Lingkaran Emas. Nah, dan seterusnya 🙂