penggunaan masa tenaga elektrik. Untuk mendapatkan gambaran kasar tentang beban yang dijangkakan, bayangkan pada bila-bila masa setiap pekerja dengan kebarangkalian yang sama p mungkin memerlukan satu unit tenaga. Jika mereka bekerja secara bebas, maka kebarangkalian tenaga yang diperlukan oleh pekerja serentak adalah sama dengan b (k ;n ,p ). Di sini "ujian" menyemak fakta penggunaan tenaga dalam pada masa ini pekerja ke-j (j = 1,2,...,n), dan "kejayaan" ialah keputusan ujian yang positif. Oleh itu, jika seorang pekerja menggunakan tenaga secara purata 12 minit sejam40, seseorang itu harus menetapkan p = 1260 = 0.2. Dalam kes ini, kebarangkalian ialah sekurang-kurangnya 7 daripada 10 pekerja

Dalam erti kata lain, jika bekalan direka untuk 6 unit tenaga, maka kebarangkalian lebihan beban ialah 0.000864. Ini bermakna bahawa satu beban berlebihan berlaku secara purata setiap 10.000864≈ 1157 minit, i.e. lebih kurang 12 jam waktu bekerja. Oleh itu, jika lebihan beban diperhatikan lebih kerap, ini sepatutnya menjadi isyarat untuk meningkatkan kawalan ke atas kitaran pengeluaran.

Contoh seterusnya agak berbeza. Apabila membaling dua dadu yang adil, kebarangkalian mendapat 12 mata ialah,

jelas sekali, 1 6 2 ≈ 0.0278, iaitu. purata satu penampilan setiap 36 balingan. Jika dalam

kasino di meja perjudian semasa permainan perkadaran ini dilanggar dengan ketara, ini bermakna sama ada fakta bahawa dadu rosak dan perlu diganti, atau permainan itu tidak adil. Walau apa pun, ada sebab untuk pemantauan yang lebih teliti terhadap permainan di atas meja perjudian ini.

6.2. Skim Bernoulli umum

Mari kita andaikan, seperti di atas, satu siri n bebas

40 Nilai ini boleh ditentukan, contohnya, oleh kitaran pengeluaran atau teknologi pengeluaran.

ujian sesama mereka. Walau bagaimanapun, tidak seperti yang sebelumnya, kita akan menganggap bahawa keputusan setiap percubaan boleh menjadi satu dan hanya satu daripada k peristiwa tidak serasi berpasangan A 1 , A 2 , ..., A k , dan kebarangkalian kejadian setiap satu daripada ini. peristiwa dalam setiap percubaan individu adalah tetap dan sama

p 1 ,p 2 , ...,p k ;p j > 0;p 1 + p 2 + ...+ p k = 1.

Mari kita cari kebarangkalian bahawa hasil daripada n percubaan peristiwa A 1 akan muncul

m 1 +m 2 +... +m k =n.

Pertama sekali, kami perhatikan bahawa alasan perenggan sebelumnya membawa kami kepada kesimpulan bahawa kebarangkalian setiap kombinasi yang dibenarkan adalah

		petang 1	petang 2	P m k . Sebaliknya, bilangan gabungan yang sah adalah sama dengan
		cara di mana n unsur boleh dibahagikan					kumpulan k
m 1 ,m 2 ,...,m k				elemen masing-masing. Nombor ini mengikut			Teorem 5.5,
		m! m!... m!
				Oleh itu, kebarangkalian yang dikehendaki bahawa			hasil

ujian bebas, peristiwa A 1 akan muncul tepat 1 kali, peristiwa A 2 – tepat 2 kali, dsb., peristiwa A k akan muncul tepat k kali, akan sama

Pn (m1 , m2

p j> 0;

m j≥ 0;

	M )=				petang 1	petang 2	P m k ;
		m! m!... m!
	p 1 +p 2 +... +p k

m 1 +m 2 +... +m k =n.

p 1 = 0.4, p 2 = 0.35, p 3 = 0.25. Apakah kebarangkalian bahawa dalam perlawanan 12 perlawanan pemain catur ini akan mendapat 5 kemenangan, 4 kekalahan dan 3 seri?

Penyelesaian. Kami betul-betul berada dalam situasi skema Bernoulli umum dengan n = 12. Menggantikan nilai daripada data masalah kepada formula (6.2),

kita dapat: P 12 (5, 4, 3) = 5!4!3! 12! (0.4)5 (0.35)4 (0.25)3 ≈ 0.067 .

6.3. Beberapa akibat

Mari kita kembali ke skema Bernoulli klasik, Bahagian. 6.1 dan menimbulkan masalah berikut. Biarkan integer a ,b sedemikian rupa sehingga 0≤ a< b ≤ n . Чему равна вероятность того, что в результатеn независимых испытаний Бернулли число «успехов» будет заключено между числамиa иb ? Ответ на этот вопрос дается легко, поскольку допустимые комбинации для nombor yang berbeza"kejayaan" tidak serasi. Kebarangkalian yang sepadan jelas sama dengan

P n (a , b ) = ∑ C n kp kq n− k=

C n ap aq n− a+ C n a+ 1 p a+ 1 q n− a− 1 + C n a+ 2 p a+ 2 q n− a− 2 + ... + C n bp bq n− b.

Nota. Pelbagai tatatanda digunakan untuk menunjukkan kebarangkalian bilangan kejayaan dalam n percubaan Bernoulli, bergantung pada konteks masalah yang sedang dipertimbangkan. Oleh itu, melalui P n (k< m ) часто обозначается вероятность того,чтоврезультатеn испытанийчислоk успеховбудетменьше ,чемm ;черезP n (m 1 ≤ k < m 2 ) обозначается вероятность того, в результатеn испытаний числоk успехов будетlebih besar daripada atau sama dengan m 1, tetapi kurang daripada m 2; bukannya sebutan P n (a,b), sebutan P n (a ≤ k ≤ b), dsb. boleh digunakan. Sebagai peraturan, tidak ada masalah dengan pemahaman yang tidak jelas tentang makna sebutan tersebut dalam konteks tugas tertentu.

Kemungkinan besar bilangan kejayaan. Mari kita hitung nilai nombor itu m= m0 , di mana fungsi b(m; n, hlm ) mencapainya nilai tertinggi. Dalam kes ini nombor m0 dipanggil nombor paling berkemungkinan

kejayaan (dalam n percubaan).

Ingat bahawa fungsi b(m;n,p) ditakrifkan sebagai kebarangkalian "berjaya" dalam n percubaan Bernoulli dengan kebarangkalian "berjaya" p, dan dikira

mengikut formula (6.1).
Mari kita pertimbangkan kuantiti
	b (m ;n ,p )		(n− m+ 1) hlm		(n+ 1) p− m
	b (m − 1;n ,p )

di mana ia diambil kira bahawa q = 1− p. Ini menunjukkan bahawa fungsi b (m ;n ,p ) meningkat dengan m sebagai m< (n + 1)p и убывает приm >(n + 1)p . Mengingat bahawa m 0 mestilah integer bukan negatif, kami memperoleh bahawa bilangan "kejayaan" yang paling berkemungkinan m 0 ialah integer bukan negatif (unik) yang memenuhi ketaksamaan

(n + 1)p − 1< m 0 ≤ (n + 1)p .

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh.

1. Masalah De Mere. Berapa kali anda perlu membaling sepasang dadu untuk mempunyai kebarangkalian lebih daripada ½ bahawa anda akan mendapat markah 12 sekurang-kurangnya sekali?

Penyelesaian. Kebarangkalian p “berjaya”, iaitu, mendapat 12 mata, adalah sama untuk setiap balingan dan bersamaan dengan p = 1 36. Biarkan n ialah bilangan balingan yang diperlukan, k ialah bilangan "kejayaan". Kemudian P n (k ≥ 1)= 1− P n (k = 0) . Tetapi

P n (k = 0)= C n 0 p 0 (1− p )n = (35 36 ) n ≈ (0.972)n .

Oleh itu, nilai n yang diperlukan didapati daripada ketaksamaan

(0.972)n ≤ 0.5.

Menyelesaikan ketaksamaan ini, kita dapat: n ≥ 25.

2. Tiga penembak, apabila menembak pada sasaran, memukulnya dengan satu pukulan dengan kebarangkalian 0.2, 0.3 dan 0.4, masing-masing. Manakah antara tiga pucuk pada sasaran ditentukan oleh enam lambungan syiling,

Lebih-lebih lagi, jika terdapat lebih banyak jata daripada kepala, maka penembak pertama menembak, jika terdapat lebih sedikit jata daripada ekor, maka penembak kedua menembak, jika tidak, penembak ketiga menembak. Penembak melepaskan 3 das tembakan. Tentukan kebarangkalian bahawa dua peluru akan mengenai sasaran.

Penyelesaian. Biarkan A menjadi peristiwa bahawa dua peluru mengenai sasaran. Mari kita nyatakan dengan B 1 , B 2 , B 3 peristiwa yang terdiri daripada fakta bahawa penembak pertama, kedua dan ketiga menembak, masing-masing. Oleh kerana peristiwa B 1 , B 2 , B 3 membentuk kumpulan peristiwa yang lengkap, maka mengikut formula kebarangkalian penuh(2.6) kita ada:

P (A )= P (A /B 1 )P (B 1 )+ P (A /B 2 )P (B 2 )+ P (A /B 3 )P (B 3 ) .

Mari kita hitung secara berasingan kebarangkalian yang termasuk dalam formula (6.5). Mari kita mulakan dengan kebarangkalian P (B j ) . Memandangkan pemberian hak untuk menembak kepada penembak tertentu bergantung pada keputusan urutan ujian bebas - enam lambungan syiling, kebarangkalian yang sepadan mesti dikira mengikut skema Bernoulli. Tepatnya, biarkan "kejayaan" adalah kejatuhan dari jata; maka, sesuai dengan syarat masalah:

P (B 1 )= P 6 (k ≥ 4)= C 6 4 (0.5)6 + C 6 5 (0.5)6 + C 6 6 (0.5)6 = 11 32 ;P (B 2 )= P 6 ( k ≤ 2)= C 6 0 (0.5)6 + C 6 1 (0.5)6 + C 6 2 (0.5)6 = 11 32 ;P (B 3 )= P 6 (k = 3)= C 6 3 ( 0.5)6 = 5 16 .

P (A /B )= b (2; 3, 0.2)		(0,2)2 0,8= 0,096;
P (A /B )= b (2; 3, 0.3)		(0,3)2 0,7= 0,189 ;
P (A /B )= b (2; 3, 0.4)= C 2		(0,4)2 0,6= 0,288.
Dengan menggunakan jumlah formula kebarangkalian (6.5), kami akhirnya memperoleh
P(A)= 0.188.
3. Setiap n = 50		jemputan datang ke mesyuarat dengan

(sekali lagi mengikut Teorem 5.5) 48!(12!)4 cara. Oleh itu, kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan

24 48!(13!) 4 = 2448!13 4 = 0,105... .

(12!)4 52! 52!

Agak hairan bahawa apabila bermain "si bodoh," kebarangkalian ini ternyata berkurangan dengan ketara. Sesungguhnya, mari kita cari kebarangkalian bahawa apabila empat pemain diedarkan 6 kad daripada dek 36 kad, setiap pemain akan menerima tepat satu ace. Memandangkan 24 kad daripada 36 diuruskan, mula-mula kita perlu mengetahui bilangan cara 24 kad boleh dipilih daripada 36. Nombor ini bersamaan dengan C 36 24 = 36!(24!12!).

Selanjutnya, bilangan cara di mana 24 kad boleh dibahagikan kepada 4 kumpulan 6 kad mengikut Teorem 5.5 ialah 24! (6!)4. Oleh itu, jumlah cara di mana 6 kad dari dek boleh diserahkan kepada empat pemain ialah 36

kad sama dengan C 36 24 (6!) 24! 4. Empat ace boleh diedarkan di antara empat

pemain 4!= 24 cara. Bilangan cara di mana empat pemain boleh diuruskan 5 kad dengan baki 32 kad dikira dengan cara yang sama

yang sebelumnya, dan akan bersamaan dengan C 32 20 (5!) 20! 4. Oleh itu, kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan

24 C 20

32!12!64

(5!)4

≈ 0,022 .

(6!)4

§6. UJIAN BERNOULLI. FORMULA RACUN

6.1. Litar ujian Bernoulli bebas

Dalam amalan, situasi sering berlaku yang digambarkan dengan baik

contoh-contoh berikut.

Seseorang melempar syiling beberapa kali berturut-turut. Persoalannya, adakah mungkin untuk menganggarkan terlebih dahulu kebarangkalian bahawa akibat daripada n lambungan jata akan muncul tepat m kali? Atau: n kali tergesa-gesa dadu; anda perlu menganggarkan kebarangkalian bahawa 5 atau 6 mata akan digulung m kali.

Adalah jelas bahawa tanpa andaian tambahan mengenai keadaan eksperimen, adalah mustahil untuk menjawab soalan-soalan ini dengan jelas. Oleh itu, hasilnya pasti bergantung pada sama ada syiling (atau die) adalah adil, i.e. homogen dan simetri. Sebaliknya, adakah mungkin untuk menjawab soalan: berapa kali syiling (atau dadu) mesti dilambung untuk dapat mengatakan dengan tahap kepastian yang mencukupi bahawa syiling (atau dadu) yang diberikan tidak betul? Keupayaan untuk menjawab soalan sedemikian adalah sangat penting, contohnya, untuk pertubuhan perjudian.

Adalah wajar untuk menganggap bahawa jika syiling itu betul, maka kebarangkalian jata itu muncul pada setiap lambungan ialah ½. Begitu juga, dengan dadu yang adil, kebarangkalian mendapat 5 atau 6 mata pada setiap gulungan ialah ⅓. Dalam erti kata lain, jika terdapat banyak ujian, maka apabila melemparkan syiling, jata akan muncul dalam kira-kira separuh daripada hasil, dan 5 atau 6 mata pada dadu - dalam satu pertiga daripada kes.

Walau bagaimanapun, semua hujah ini adalah berdasarkan intuisi. Kami akan cuba dalam perenggan ini untuk menerangkan model teori, yang akan membolehkan kami menjawab dengan agak munasabah semua soalan yang dirumuskan di atas. Model tentang yang kita akan bercakap di bawah, pertama kali dicadangkan oleh ahli matematik Switzerland Jacob Bernoulli (1654 1705), dan menerima namanya37.

Reka bentuk ujian bebas Bernoulli. Kami akan menjalankan ujian berurutan, keputusan setiap satunya mungkin

37 Keputusan utama J. Bernoulli mengenai teori kebarangkalian diterbitkan hanya selepas kematiannya pada tahun 1713. Abang J. Bernoulli Johann (1667-1748) dan anak lelaki Daniel (1700-1782) adalah ahli St. Petersburg Akademi Diraja Sains, dan memberi sumbangan besar kepada pembangunan kalkulus variasi dan mekanik teori.

sama ada sesuatu peristiwa A berlaku atau tidak berlaku. Biarkan kebarangkalian berlakunya peristiwa A adalah sama untuk setiap percubaan individu dan tidak bergantung pada kejadian atau tidak berlakunya peristiwa ini semasa ujian lain; Mari kita nyatakan kebarangkalian ini dengan p. Lazimnya dikatakan bahawa p ialah kebarangkalian "berjaya"; oleh itu, nilai q = 1− p dipanggil kebarangkalian "kegagalan". Jelas bahawa istilah ini sangat bersyarat.

Model ini dipanggil Skim ujian Bernoulli (bebas).

Jom tanya diri kita soalan seterusnya: apakah kebarangkalian bahawa selepas n percubaan, "kejayaan" (iaitu berlakunya peristiwa A) akan diperhatikan dalam tepat m kes?38

Masalah ini diselesaikan seperti berikut. Mari kita bayangkan segala-galanya kombinasi yang mungkin daripada keputusan ujian kami yang konsisten. Jadi, sebagai contoh, dalam kes 3 ujian, lapan kombinasi sedemikian mungkin39, iaitu:

AAA; AAA; AAA; AAA;

AAA; AAA; AAA; AAA.

Mari kita serlahkan gabungan tersebut di mana peristiwa A berlaku tepat m kali (dan, oleh itu, tidak berlaku tepat n ─ m kali); Untuk ringkasnya, kami memanggil gabungan sedemikian boleh diterima. Mari kita tentukan kebarangkalian berlakunya setiap kombinasi yang dibenarkan. Untuk melakukan ini, ambil perhatian bahawa kejadian gabungan yang boleh diterima ialah hasil daripada n peristiwa, iaitu: m kejadian A semasa beberapa ujian dan n ─ m tidak berlaku semasa ujian lain. Kebarangkalian berlakunya peristiwa A bagi setiap percubaan individu mengikut keadaan adalah sama dengan p; maka kebarangkalian tidak berlakunya adalah sama dengan q = 1− p. Mengikut keadaan kejadian atau tidak berlakunya peristiwa A di bawah pelbagai ujian, ia mewakili acara bebas; oleh itu, kebarangkalian produk mereka adalah sama dengan

38 Di sini adalah wajar untuk menganggapnya m = 0, 1, 2, …,n.

39 Di sini A bermaksud peristiwa yang bertentangan dengan peristiwa A, i.e. "kegagalan"

hasil darab kebarangkalian mereka, iaitu sama dengan p m q n − m = p m (1− p )n − m . Perhatikan sekarang bahawa peristiwa yang terdiri daripada kejadian peristiwa A adalah tepat

dalam m percubaan, adalah bersamaan dengan penampilan sekurang-kurangnya satu daripada kombinasi yang boleh diterima. Oleh kerana pelbagai kombinasi yang sah mewakili peristiwa yang tidak serasi, kebarangkalian yang dikehendaki berlakunya peristiwa A dalam tepat m percubaan adalah sama dengan jumlah kebarangkalian berlakunya kombinasi yang boleh diterima. Oleh kerana kebarangkalian berlakunya kombinasi yang boleh diterima adalah sama, kebarangkalian jumlahnya adalah sama dengan nilai Kp m q n − m, di mana K ialah bilangan semua kombinasi yang boleh diterima. Nombor ini jelas sama dengan nombor itu dalam pelbagai cara, yang boleh digunakan untuk memilih m tempat daripada jumlah bilangan n tempat, lain-lain

	perkataan sama		bilangan gabungan n unsur oleh m, i.e. sama
	C n m= C n n− m=
		m!(n− m)!

Oleh itu, kebarangkalian tepat m "kejayaan" berlaku dalam urutan n percubaan Bernoulli bebas ialah

Pengagihan Bernoulli, ditentukan oleh formula (6.1) dan memberikan nilai kebarangkalian m "kejayaan" dalam n ujian Bernoulli dengan kebarangkalian "berjaya" p. Untuk n dan p tetap, ia adalah fungsi bagi integer argumen bukan negatif m.

Ujian Bernoulli ialah skema teori, dan hanya amalan boleh menunjukkan sama ada skema itu sesuai untuk menerangkan sesuatu pengalaman fizikal. Walau bagaimanapun, keadaan sedemikian, seperti yang kita lihat sebelum ini, adalah wajar apabila membina model kebarangkalian. Dengan semua ini, dalam banyak situasi praktikal penggunaan skim Bernoulli ternyata benar-benar wajar.

Mari kita berikan contoh pengajaran berikut. Saintis Amerika Weldon menjalankan 26,306 siri ujian 12 lontaran yang sama

dadu dalam setiap siri, mengira kekerapan kejadian ("kejayaan") yang terdiri daripada 5 atau 6 mata jatuh pada dadu. Keputusan eksperimennya diberikan dalam jadual. 6.1.

Jika dadu dianggap betul, maka kebarangkalian "berjaya" hendaklah sama dengan ⅓. Nilai teori yang sepadan bagi fungsi b (k ;12,13) ​​​​diberikan dalam lajur kedua. Eksperimen menunjukkan, bagaimanapun, perbezaan yang agak ketara daripada nilai teori untuk p =⅓, tetapi persetujuan yang baik dengan nilai teori fungsi b (k;12, 0.3377) untuk p = 0.3377. Adalah wajar untuk mentafsir keputusan ini dalam erti kata bahawa dadu digunakan dalam eksperimen tidak betul.

Kenyataan ini mempunyai aplikasi praktikal yang sangat penting dalam perkara yang berkaitan dengan pemantauan pelaksanaan piawaian tertentu (contohnya, dalam pengeluaran). Dalam hal ini, pertimbangkan contoh berikut.

Jadual 6.1

		Eksperimen

Masalah bekalan tenaga. Mari kita andaikan bahawa n pekerja dari

Jangan memikirkan perkara yang tinggi untuk masa yang lama - mari kita mulakan segera dengan definisi.

Skim Bernoulli ialah apabila n eksperimen bebas daripada jenis yang sama dilakukan, dalam setiap satu peristiwa yang menarik minat kita mungkin muncul A, dan kebarangkalian peristiwa ini P (A) = p diketahui. Kita perlu menentukan kebarangkalian bahawa, selepas n percubaan, peristiwa A akan berlaku tepat k kali.

Masalah yang boleh diselesaikan menggunakan skema Bernoulli sangat pelbagai: daripada yang mudah (seperti "cari kebarangkalian bahawa penembak akan memukul 1 kali dalam 10") kepada yang sangat teruk (contohnya, masalah yang melibatkan peratusan atau bermain kad). Pada hakikatnya, skim ini sering digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pemantauan kualiti produk dan kebolehpercayaan pelbagai mekanisme, semua ciri yang mesti diketahui sebelum memulakan kerja.

Mari kita kembali kepada definisi. Kerana kita bercakap tentang tentang percubaan bebas, dan dalam setiap percubaan kebarangkalian kejadian A adalah sama, hanya dua hasil yang mungkin:

1. A ialah kejadian peristiwa A dengan kebarangkalian p;
2. “bukan A” - peristiwa A tidak muncul, yang berlaku dengan kebarangkalian q = 1 − p.

Keadaan yang paling penting, tanpa skema Bernoulli kehilangan maknanya, adalah keteguhan. Tidak kira berapa banyak eksperimen yang kita jalankan, kita berminat dengan peristiwa A yang sama, yang berlaku dengan kebarangkalian p yang sama.

Dengan cara ini, tidak semua masalah dalam teori kebarangkalian dikurangkan kepada keadaan malar. Mana-mana tutor yang cekap akan memberitahu anda tentang perkara ini. matematik yang lebih tinggi. Malah sesuatu yang mudah seperti mengeluarkan bola berwarna-warni daripada kotak bukanlah pengalaman dengan keadaan yang berterusan. Mereka mengeluarkan bola lain - nisbah warna dalam kotak berubah. Akibatnya, kebarangkalian juga telah berubah.

Jika keadaan adalah malar, kita boleh menentukan dengan tepat kebarangkalian peristiwa A akan berlaku tepat k kali daripada n yang mungkin. Mari kita rumuskan fakta ini dalam bentuk teorem:

Teorem Bernoulli. Biarkan kebarangkalian kejadian A dalam setiap eksperimen adalah malar dan sama dengan p. Maka kebarangkalian bahawa dalam n percubaan bebas peristiwa A akan muncul tepat k kali dikira dengan formula:

dengan C n k ialah bilangan gabungan, q = 1 − p.

Formula ini dipanggil formula Bernoulli. Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa masalah yang diberikan di bawah boleh diselesaikan sepenuhnya tanpa menggunakan formula ini. Sebagai contoh, anda boleh menggunakan formula untuk menambah kebarangkalian. Walau bagaimanapun, jumlah pengiraan akan menjadi tidak realistik.

Tugasan. Kebarangkalian untuk menghasilkan produk yang rosak pada mesin ialah 0.2. Tentukan kebarangkalian bahawa dalam kumpulan sepuluh bahagian yang dihasilkan pada mesin ini betul-betul k bahagian akan tanpa kecacatan. Selesaikan masalah untuk k = 0, 1, 10.

Mengikut syarat, kami berminat dengan peristiwa A mengeluarkan produk tanpa kecacatan, yang berlaku setiap kali dengan kebarangkalian p = 1 − 0.2 = 0.8. Kita perlu menentukan kebarangkalian bahawa peristiwa ini akan berlaku k kali. Peristiwa A dibezakan dengan peristiwa "bukan A", i.e. pelepasan produk yang rosak.

Oleh itu, kita mempunyai: n = 10; p = 0.8; q = 0.2.

Jadi, kita dapati kebarangkalian bahawa semua bahagian dalam satu kelompok rosak (k = 0), bahawa hanya satu bahagian sahaja yang tiada kecacatan (k = 1), dan tiada bahagian yang rosak sama sekali (k = 10):

Tugasan. Syiling dilambung 6 kali. Mendarat jata dan kepala berkemungkinan sama. Cari kebarangkalian bahawa:

1. jata akan muncul tiga kali;
2. jata akan muncul sekali;
3. jata akan muncul sekurang-kurangnya dua kali.

Jadi, kami tertarik dengan acara A, apabila jata itu jatuh. Kebarangkalian kejadian ini ialah p = 0.5. Peristiwa A dibezakan dengan peristiwa "bukan A", apabila hasilnya adalah kepala, yang berlaku dengan kebarangkalian q = 1 − 0.5 = 0.5. Kita perlu menentukan kebarangkalian jata itu akan muncul k kali.

Oleh itu, kita mempunyai: n = 6; p = 0.5; q = 0.5.

Mari kita tentukan kebarangkalian jata itu dilukis tiga kali, i.e. k = 3:

Sekarang mari kita tentukan kebarangkalian bahawa jata itu muncul sekali sahaja, i.e. k = 1:

Ia masih untuk menentukan dengan kebarangkalian jata itu akan muncul sekurang-kurangnya dua kali. Tangkapan utama adalah dalam frasa "tidak kurang." Ternyata kita akan berpuas hati dengan mana-mana k kecuali 0 dan 1, i.e. kita perlu mencari nilai hasil tambah X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Ambil perhatian bahawa jumlah ini juga sama dengan (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), i.e. cukup semua pilihan yang mungkin"memotong" mereka apabila jata terjatuh 1 kali (k = 1) atau tidak jatuh sama sekali (k = 0). Oleh kerana kita sudah mengetahui P 6 (1), ia masih perlu mencari P 6 (0):

Tugasan. Kebarangkalian bahawa TV mempunyai kecacatan tersembunyi ialah 0.2. 20 TV tiba di gudang. Acara manakah yang lebih berkemungkinan: dalam kumpulan ini terdapat dua set TV dengan kecacatan tersembunyi atau tiga?

Peristiwa kepentingan A ialah kehadiran kecacatan terpendam. Terdapat n = 20 TV secara keseluruhan, kebarangkalian kecacatan tersembunyi ialah p = 0.2. Sehubungan itu, kebarangkalian untuk menerima TV tanpa kecacatan tersembunyi ialah q = 1 − 0.2 = 0.8.

Kami memperoleh syarat permulaan untuk skema Bernoulli: n = 20; p = 0.2; q = 0.8.

Mari cari kebarangkalian mendapat dua TV "cacat" (k = 2) dan tiga (k = 3):

\[\mulakan(tatasusunan)(l)(P_(20))\kiri(2 \kanan) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Jelas sekali, P 20 (3) > P 20 (2), i.e. kebarangkalian untuk menerima tiga televisyen dengan kecacatan tersembunyi adalah lebih besar daripada kebarangkalian untuk menerima hanya dua televisyen tersebut. Lebih-lebih lagi, perbezaannya tidak lemah.

Nota ringkas tentang faktorial. Ramai orang mengalami rasa tidak selesa yang samar-samar apabila mereka melihat entri "0!" (baca "faktorial sifar"). Jadi, 0! = 1 mengikut takrifan.

P. S. Dan kebarangkalian terbesar dalam tugas terakhir adalah untuk mendapatkan empat TV dengan kecacatan tersembunyi. Kira sendiri dan lihat sendiri.

Teori ringkas

Teori kebarangkalian memperkatakan eksperimen yang boleh diulang (sekurang-kurangnya secara teori) bilangan kali yang tidak terhad. Biarkan beberapa percubaan diulang sekali, dan keputusan setiap ulangan tidak bergantung pada keputusan ulangan sebelumnya. Siri pengulangan sedemikian dipanggil percubaan bebas. Satu kes khas ujian tersebut ialah ujian Bernoulli bebas, yang dicirikan oleh dua keadaan:

1) keputusan setiap ujian ialah satu daripada dua kemungkinan hasil, masing-masing dipanggil "kejayaan" atau "kegagalan".

2) kebarangkalian "kejayaan" dalam setiap ujian berikutnya tidak bergantung pada keputusan ujian sebelumnya dan kekal malar.

Teorem Bernoulli

Jika satu siri percubaan Bernoulli bebas dilakukan, di mana setiap satu "kejayaan" muncul dengan kebarangkalian , maka kebarangkalian bahawa "kejayaan" muncul tepat sekali dalam percubaan dinyatakan oleh formula:

di manakah kebarangkalian "kegagalan".

– bilangan gabungan unsur oleh (lihat formula kombinatorik asas)

Formula ini dipanggil Formula Bernoulli.

Formula Bernoulli membolehkan anda menyingkirkan sejumlah besar pengiraan - penambahan dan pendaraban kebarangkalian - dengan mencukupi kuantiti yang banyak ujian.

Skim ujian Bernoulli juga dipanggil skema binomial, dan kebarangkalian yang sepadan dipanggil binomial, yang dikaitkan dengan penggunaan pekali binomial.

Pengagihan mengikut skim Bernoulli membolehkan, khususnya,.

Jika bilangan ujian n adalah besar, kemudian gunakan:

Contoh penyelesaian masalah

Keadaan masalah

Kadar percambahan sesetengah biji tumbuhan ialah 70%. Apakah kebarangkalian bahawa daripada 10 biji benih yang disemai: 8, sekurang-kurangnya 8; sekurang-kurangnya 8?

Penyelesaian masalah

Mari kita gunakan formula Bernoulli:

Dalam kes kita

Biarlah daripada 10 biji 8 bercambah:

Biarkan acara sekurang-kurangnya 8 (bermakna 8, 9 atau 10)

Biarkan acara meningkat sekurang-kurangnya 8 (ini bermakna 8,9 atau 10)

Jawab

Purata kos penyelesaian kerja ujian 700 - 1200 rubel (tetapi tidak kurang daripada 300 rubel untuk keseluruhan pesanan). Harga sangat dipengaruhi oleh mendesak keputusan (dari sehari hingga beberapa jam). Kos bantuan dalam talian untuk peperiksaan/ujian adalah daripada 1000 rubel. untuk menyelesaikan tiket.

Anda boleh meninggalkan permintaan terus dalam sembang, setelah menghantar syarat tugasan sebelum ini dan memaklumkan anda tentang jangka masa untuk penyelesaian yang anda perlukan. Masa tindak balas adalah beberapa minit.

AGENSI PERSEKUTUAN UNTUK PENDIDIKAN

Institusi pendidikan negeri

pendidikan profesional yang lebih tinggi

"MATI" - UNIVERSITI TEKNOLOGI NEGERI RUSIA DENGAN NAMA K.E. TSIOLKOVSKY

Jabatan "Pemodelan Sistem dan Teknologi Maklumat"

Pengulangan ujian. Litar Bernoulli

Garis panduan untuk latihan amali

dalam disiplin "Matematik Tinggi"

Disusun oleh: Egorova Yu.B.

Mamonov I.M.

Pengenalan Moscow 2006

Garis panduan ini bertujuan untuk sepenuh masa dan jabatan petang Fakulti No. 14 kepakaran 150601, 160301, 230102. Arahan menyerlahkan konsep asas topik dan menentukan urutan mempelajari bahan. Sebilangan besar contoh dibincangkan membantu dalam pembangunan praktikal topik. Garis panduan berfungsi sebagai asas metodologi untuk kelas amali dan menyelesaikan tugas individu.

SKIM BERNOULLI. BERNOULLI FORMULA

Skim Bernoulli- skim ujian bebas berulang di mana beberapa peristiwa A boleh diulang berkali-kali dengan kebarangkalian tetap R (A)= r .

Contoh ujian yang dijalankan menggunakan skema Bernoulli: lambungan syiling atau dadu berulang kali, menghasilkan sekumpulan bahagian, menembak pada sasaran, dsb.

Teorem. Jika kebarangkalian sesuatu kejadian berlaku A dalam setiap ujian adalah malar dan sama r, maka kebarangkalian bahawa peristiwa itu A akan datang m sekali setiap n ujian (tidak kira dalam urutan apa), boleh ditentukan dengan formula Bernoulli:

di mana q = 1 – hlm.

CONTOH 1. Kebarangkalian penggunaan elektrik dalam satu hari tidak melebihi norma yang ditetapkan adalah sama dengan p= 0,75. Cari kebarangkalian bahawa dalam 6 hari akan datang, penggunaan elektrik selama 4 hari tidak akan melebihi norma.

PENYELESAIAN. Kebarangkalian penggunaan tenaga biasa untuk setiap 6 hari adalah malar dan sama dengan r= 0.75. Akibatnya, kebarangkalian penggunaan tenaga yang berlebihan setiap hari juga tetap dan sama dengan q = 1r = 1  0,75 = 0,25.

Kebarangkalian yang diperlukan mengikut formula Bernoulli adalah sama dengan:

CONTOH 2. Penembak melepaskan tiga tembakan ke arah sasaran. Kebarangkalian mengenai sasaran dengan setiap pukulan adalah sama dengan p= 0,3. Cari kebarangkalian bahawa: a) satu sasaran dipukul; b) ketiga-tiga sasaran; c) bukan satu sasaran; d) sekurang-kurangnya satu sasaran; e) kurang daripada dua sasaran.

PENYELESAIAN. Kebarangkalian untuk terkena sasaran dengan setiap pukulan adalah malar dan sama dengan r=0.75. Oleh itu, kebarangkalian kesilapan adalah sama dengan q = 1 r = 1  0,3= 0,7. Jumlah bilangan eksperimen yang dijalankan n=3.

a) Kebarangkalian mengenai satu sasaran dengan tiga pukulan adalah sama dengan:

b) Kebarangkalian untuk memukul ketiga-tiga sasaran dengan tiga pukulan adalah sama dengan:

c) Kebarangkalian tiga tersasar dengan tiga pukulan adalah sama dengan:

d) Kebarangkalian untuk memukul sekurang-kurangnya satu sasaran dengan tiga pukulan adalah sama dengan:

e) Kebarangkalian untuk mencapai kurang daripada dua sasaran, iaitu, sama ada satu sasaran atau tiada:

1. Teorem tempatan dan integral bagi Moivre-Laplace

Jika sejumlah besar ujian dilakukan, maka mengira kebarangkalian menggunakan formula Bernoulli menjadi sukar secara teknikal, kerana formula memerlukan operasi pada nombor yang besar. Oleh itu, terdapat formula anggaran yang lebih mudah untuk mengira kebarangkalian pada umumnya n. Formula ini dipanggil asimptotik dan ditentukan oleh teorem Poisson, teorem tempatan dan kamiran Laplace.

Teorem tempatan Moivre-Laplace. A A akan berlaku m sekali setiap n n (n →∞ ), adalah lebih kurang sama dengan:

di mana fungsinya
dan hujahnya

Lebih banyak n, mereka pengiraan yang lebih tepat kebarangkalian. Oleh itu, adalah dinasihatkan untuk menggunakan teorem Moivre-Laplace apabila npq  20.

f ( x ) jadual khas telah disusun (lihat Lampiran 1). Apabila menggunakan meja anda perlu ingat sifat fungsi f(x) :

Fungsi f(x) adalah genap f(  x)=f(x) .

Pada X ∞ fungsi f(x) 0. Dalam amalan, kita boleh mengandaikan bahawa sudah di X>4 fungsi f(x) ≈0.

CONTOH 3. Cari kebarangkalian bahawa peristiwa itu A akan berlaku 80 kali dalam 400 percubaan jika kebarangkalian kejadian itu berlaku A dalam setiap percubaan adalah sama p= 0,2.

PENYELESAIAN. Dengan syarat n=400, m=80, hlm=0,2, q=0.8. Oleh itu:

Menggunakan jadual, kami menentukan nilai fungsi f (0)=0,3989.

Teorem kamiran Moivre-Laplace. Jika kebarangkalian sesuatu kejadian berlaku A dalam setiap percubaan adalah malar dan berbeza daripada 0 dan 1, maka kebarangkalian bahawa peristiwa itu A berasal dari m 1 kepada m 2 sekali setiap n ujian dengan mencukupi bilangan yang besar n (n →∞ ), adalah lebih kurang sama dengan:

di mana
 fungsi integral atau Laplace,

Untuk mencari nilai sesuatu fungsi F( x ) Jadual khas telah disusun (contohnya, lihat Lampiran 2). Apabila menggunakan meja anda perlu ingat sifat fungsi Laplace Ф(x) :

Fungsi Ф(x) adalah ganjil F(  x)=  Ф(x) .

Pada X ∞ fungsi Ф(x) 0.5. X Dalam amalan, kita boleh menganggap bahawa sudah di Ф(x) ≈0,5.

>5 fungsi (0)=0.

F CONTOH 4.

PENYELESAIAN. Dengan syarat n=400, m 1 =70, m 2 =100, hlm=0,2, q=0.8. Oleh itu:

Kebarangkalian bahagian tersebut tidak melepasi pemeriksaan kawalan kualiti ialah 0.2. Cari kebarangkalian bahawa antara 400 bahagian akan ada daripada 70 hingga 100 bahagian yang belum diuji.

Menggunakan jadual yang menunjukkan nilai fungsi Laplace, kami menentukan: 1 ) = F(  1,25 )=  F( 1,25 )=  0,3944; Menggunakan jadual yang menunjukkan nilai fungsi Laplace, kami menentukan: 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.