Apakah sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear

Persamaan garis yang melalui titik tertentu dalam arah tertentu. Persamaan garis yang melalui dua titik tertentu. Sudut antara dua garis lurus. Keadaan keselarian dan keserenjangan dua garis lurus. Menentukan titik persilangan dua garis

Contoh masalah dengan penyelesaian

Cari persamaan garis yang melalui dua titik: (-1, 2) dan (2, 1).

Penyelesaian.

Menurut Pers.

mempercayainya x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 = 1 (tidak kira mata mana yang dianggap pertama dan mata mana yang dianggap kedua), kita dapat

selepas dipermudahkan kita memperoleh persamaan akhir yang diperlukan dalam bentuk

x + 3y - 5 = 0.

Sisi segitiga diberikan oleh persamaan: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (A.C. ) x - y + 2 = 0, (B.C. ) 3 x + 4 y -12 = 0. Cari koordinat bucu segitiga itu.

Penyelesaian.

Koordinat puncak A kita dapati dengan menyelesaikan sistem yang terdiri daripada persamaan sisi AB Dan A.C.:

Kami menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui menggunakan kaedah yang diketahui daripada algebra asas, dan kami memperoleh

Puncak A mempunyai koordinat

Koordinat puncak B kita akan dapati dengan menyelesaikan sistem persamaan sisi AB Dan B.C.:

kita terima.

Koordinat puncak C kita perolehi dengan menyelesaikan sistem persamaan sisi B.C. Dan A.C.:

Puncak C mempunyai koordinat.

A (2, 5) selari dengan baris 3x - 4 y + 15 = 0.

Penyelesaian.

Mari kita buktikan bahawa jika dua garis adalah selari, maka persamaannya sentiasa boleh diwakili sedemikian rupa sehingga ia hanya berbeza dalam sebutan bebasnya. Sesungguhnya, daripada keadaan selari dua baris ia mengikutinya.

Mari kita nyatakan dengan t nilai keseluruhan perhubungan ini. Kemudian

dan daripada ini ia mengikuti itu

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Jika dua baris

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

adalah selari, keadaan (1) dipenuhi, dan, menggantikan dalam persamaan pertama ini A 1 dan B 1 mengikut formula (1), kita akan ada

A 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

atau, membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan , kita dapat

Membandingkan persamaan yang terhasil dengan persamaan garis lurus kedua A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, kami perhatikan bahawa persamaan ini hanya berbeza dalam sebutan bebas; Oleh itu kami telah membuktikan apa yang diperlukan. Sekarang mari kita mula menyelesaikan masalah. Kami akan menulis persamaan garis yang dikehendaki sedemikian rupa sehingga ia akan berbeza daripada persamaan garis yang diberikan hanya dengan sebutan bebas: kami akan mengambil dua sebutan pertama dalam persamaan yang dikehendaki daripada persamaan ini, dan kami akan menandakannya tempoh percuma oleh C. Kemudian persamaan yang diperlukan akan ditulis dalam bentuk

3x - 4y + C = 0, (3)

dan akan ditentukan C.

Memberi dalam persamaan (3) nilai C semua nilai sebenar yang mungkin, kita memperoleh satu set garis selari dengan yang diberikan. Oleh itu, persamaan (3) ialah persamaan bukan satu garis, tetapi bagi seluruh keluarga garis yang selari dengan garis 3 tertentu. x - 4y+ 15 = 0. Daripada keluarga garisan ini, kita harus memilih satu yang melalui titik itu A(2, 5).

Jika garis melalui satu titik, maka koordinat titik ini mesti memenuhi persamaan garis itu. Dan oleh itu kita akan tentukan C, jika dalam (3) kita gantikan bukannya koordinat semasa x Dan y koordinat titik A, iaitu x = 2, y= 5. Kita dapat dan C = 14.

Nilai yang ditemui C gantikan kepada (3), dan persamaan yang diperlukan akan ditulis seperti berikut:

3x - 4y + 14 = 0.

Masalah yang sama boleh diselesaikan dengan cara lain. Oleh kerana pekali sudut garis selari adalah sama antara satu sama lain, dan untuk garis tertentu 3 x - 4y+ 15 = 0 kecerunan, maka kecerunan garis lurus yang dikehendaki juga sama.

Sekarang kita menggunakan persamaan y - y 1 = k(x - x 1) sekumpulan garis lurus. titik A(2, 5) yang melaluinya garis lurus diketahui oleh kita, dan oleh itu, menggantikan ke dalam persamaan pensel garis lurus y - y 1 = k(x - x 1) nilai, kita dapat

atau selepas dipermudahkan 3 x - 4y+ 14 = 0, iaitu sama seperti sebelumnya.

Cari persamaan garis yang melalui suatu titikA (3, 4) pada sudut 60 darjah kepada garis lurus 2x + 3 y + 6 = 0.

Penyelesaian.

Untuk menyelesaikan masalah, kita perlu menentukan pekali sudut garis I dan II (lihat rajah). Mari kita nyatakan pekali ini masing-masing dengan k 1 dan k 2, dan pekali sudut garis ini adalah melalui k. Ia adalah jelas bahawa.

Berdasarkan definisi sudut antara dua garis lurus, apabila menentukan sudut antara garis tertentu dan garis lurus, saya mengikut dalam pengangka pecahan dalam rumus

tolak kecerunan garis ini, kerana ia perlu diputar mengikut arah lawan jam di sekeliling titik C sehingga ia bertepatan dengan garis lurus I.

Memandangkan itu, kita dapat

Apabila menentukan sudut antara garis II dan garis tertentu, seseorang harus menolak pekali sudut garis II dalam pengangka bagi pecahan yang sama, i.e. k 2, kerana garisan II harus diputar mengikut lawan jam di sekeliling titik B sehingga ia bertepatan dengan baris ini:

Cari persamaan garis yang melalui suatu titikA (5, -1) berserenjang dengan garis 3x - 7 y + 14 = 0.

Penyelesaian.

Jika dua baris

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

adalah serenjang, maka kesamaan

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

atau, apa yang sama,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

dan daripada ini ia mengikuti itu

Kami menyatakan maksud umum ungkapan ini dengan t.

Kemudian ia mengikuti itu

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Menggantikan nilai-nilai ini A 2 dan B 2 dan persamaan baris kedua, kita dapat

B 1 tx - A 1 ty + C 2 = 0.

atau, membahagi dengan t kedua-dua belah kesamarataan, kita akan ada

Membandingkan persamaan yang terhasil dengan persamaan baris pertama

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

kita perhatikan bahawa pekali mereka pada x Dan y telah bertukar tempat, dan tanda antara sebutan pertama dan kedua telah bertukar kepada sebaliknya, tetapi syarat percuma adalah berbeza.

Sekarang mari kita mula menyelesaikan masalah. Ingin menulis persamaan garis yang berserenjang dengan garis 3 x - 7y+ 14 = 0, berdasarkan kesimpulan yang dibuat di atas, kami akan meneruskan seperti berikut: kami akan menukar pekali untuk x Dan y, dan gantikan tanda tolak di antara mereka dengan tanda tambah, dan nyatakan istilah bebas dengan huruf C. Kami mendapat 7 x + 3y + C= 0. Persamaan ini ialah persamaan keluarga garis yang berserenjang dengan garis 3 x - 7y+ 14 = 0. Takrifkan C daripada keadaan bahawa garis yang dikehendaki melalui titik itu A(5, -1). Adalah diketahui bahawa jika garis melalui titik, maka koordinat titik ini mesti memenuhi persamaan garis. Menggantikan 5 ke dalam persamaan terakhir dan bukannya x dan -1 sebaliknya y, kita dapat

Inilah maksudnya C Gantikan ke dalam persamaan terakhir dan dapatkan

7x + 3y - 32 = 0.

Mari kita selesaikan masalah yang sama dengan cara yang berbeza, menggunakan untuk ini persamaan pensel garis lurus

y - y 1 = k(x - x 1).

Kecerunan garisan ini ialah 3 x - 7y + 14 = 0

maka pekali sudut garis yang berserenjang dengannya,

Menggantikan ke dalam persamaan pensel garis lurus , dan sebaliknya x 1 dan y 1 koordinat titik ini A(5, -1), cari , atau 3 y + 3 = -7x+ 35, dan akhirnya 7 x + 3y- 32 = 0, iaitu sama seperti sebelumnya.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear (SLAE) sudah pasti topik yang paling penting dalam kursus algebra linear. Sebilangan besar masalah daripada semua cabang matematik turun kepada penyelesaian sistem persamaan linear. Faktor-faktor ini menerangkan sebab artikel ini. Bahan artikel dipilih dan disusun supaya dengan bantuannya anda boleh

• pilih kaedah optimum untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear anda,
• mengkaji teori kaedah yang dipilih,
• selesaikan sistem persamaan linear anda dengan mempertimbangkan penyelesaian terperinci kepada contoh dan masalah biasa.

Penerangan ringkas tentang bahan artikel.

Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep dan memperkenalkan notasi yang diperlukan.

Seterusnya, kita akan mempertimbangkan kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan yang mempunyai penyelesaian yang unik. Pertama, kami akan memberi tumpuan kepada kaedah Cramer, kedua, kami akan menunjukkan kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, dan ketiga, kami akan menganalisis kaedah Gauss (kaedah penghapusan berurutan bagi pembolehubah yang tidak diketahui). Untuk menyatukan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan cara yang berbeza.

Selepas ini, kita akan beralih kepada menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am, di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui atau matriks utama sistem adalah tunggal. Mari kita rumuskan teorem Kronecker-Capelli, yang membolehkan kita mewujudkan keserasian SLAE. Marilah kita menganalisis penyelesaian sistem (jika ia serasi) menggunakan konsep asas minor bagi matriks. Kami juga akan mempertimbangkan kaedah Gauss dan menerangkan secara terperinci penyelesaian kepada contoh.

Kami pasti akan memikirkan struktur penyelesaian umum sistem homogen dan tidak homogen bagi persamaan algebra linear. Mari kita berikan konsep sistem asas penyelesaian dan tunjukkan bagaimana penyelesaian umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem asas penyelesaian. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.

Kesimpulannya, kami akan mempertimbangkan sistem persamaan yang boleh dikurangkan kepada yang linear, serta pelbagai masalah dalam penyelesaian yang mana SLAE timbul.

Navigasi halaman.

Definisi, konsep, sebutan.

Kami akan mempertimbangkan sistem persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui (p boleh sama dengan n) dalam bentuk

Pembolehubah tidak diketahui, - pekali (beberapa nombor nyata atau kompleks), - sebutan bebas (juga nombor nyata atau kompleks).

Bentuk rakaman SLAE ini dipanggil menyelaras.

DALAM bentuk matriks menulis sistem persamaan ini mempunyai bentuk,
di mana - matriks utama sistem, - matriks lajur pembolehubah yang tidak diketahui, - matriks lajur sebutan bebas.

Jika kita menambah lajur matriks sebutan bebas kepada matriks A sebagai lajur (n+1), kita mendapat apa yang dipanggil matriks lanjutan sistem persamaan linear. Biasanya, matriks lanjutan dilambangkan dengan huruf T, dan lajur istilah bebas dipisahkan oleh garis menegak dari lajur yang tinggal, iaitu,

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dipanggil satu set nilai pembolehubah yang tidak diketahui yang menjadikan semua persamaan sistem menjadi identiti. Persamaan matriks untuk nilai tertentu bagi pembolehubah yang tidak diketahui juga menjadi identiti.

Jika sistem persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia dipanggil sendi.

Jika sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian, maka ia dipanggil bukan sendi.

Jika SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, maka ia dipanggil pasti; jika terdapat lebih daripada satu penyelesaian, maka – tidak pasti.

Jika sebutan bebas semua persamaan sistem adalah sama dengan sifar , maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.

Menyelesaikan sistem asas persamaan algebra linear.

Jika bilangan persamaan sistem adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utamanya tidak sama dengan sifar, maka SLAE tersebut akan dipanggil rendah. Sistem persamaan sedemikian mempunyai penyelesaian yang unik, dan dalam kes sistem homogen, semua pembolehubah yang tidak diketahui adalah sama dengan sifar.

Kami mula mempelajari SLAE sedemikian di sekolah menengah. Apabila menyelesaikannya, kami mengambil satu persamaan, menyatakan satu pembolehubah yang tidak diketahui dari segi yang lain dan menggantikannya ke dalam persamaan yang tinggal, kemudian mengambil persamaan seterusnya, menyatakan pembolehubah yang tidak diketahui seterusnya dan menggantikannya ke dalam persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan kaedah penambahan, iaitu, mereka menambah dua atau lebih persamaan untuk menghapuskan beberapa pembolehubah yang tidak diketahui. Kami tidak akan membincangkan kaedah ini secara terperinci, kerana ia pada dasarnya adalah pengubahsuaian kaedah Gauss.

Kaedah utama untuk menyelesaikan sistem asas persamaan linear ialah kaedah Cramer, kaedah matriks dan kaedah Gauss. Mari kita selesaikan mereka.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer.

Katakan kita perlu menyelesaikan sistem persamaan algebra linear

di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem adalah berbeza daripada sifar, iaitu, .

Biarkan menjadi penentu matriks utama sistem, dan - penentu matriks yang diperoleh daripada A dengan penggantian 1, 2, …, nth lajur masing-masing ke lajur ahli percuma:

Dengan tatatanda ini, pembolehubah yang tidak diketahui dikira menggunakan formula kaedah Cramer sebagai . Beginilah cara penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear ditemui menggunakan kaedah Cramer.

Contoh.

kaedah Cramer .

Penyelesaian.

Matriks utama sistem mempunyai bentuk . Mari kita hitung penentunya (jika perlu, lihat artikel):

Oleh kerana penentu matriks utama sistem adalah bukan sifar, sistem mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati dengan kaedah Cramer.

Mari kita karang dan mengira penentu yang diperlukan (kami memperolehi penentu dengan menggantikan lajur pertama dalam matriks A dengan lajur sebutan bebas, penentu dengan menggantikan lajur kedua dengan lajur sebutan bebas, dan dengan menggantikan lajur ketiga matriks A dengan lajur sebutan bebas) :

Mencari pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan formula :

Jawapan:

Kelemahan utama kaedah Cramer (jika ia boleh dipanggil kelemahan) ialah kerumitan pengiraan penentu apabila bilangan persamaan dalam sistem adalah lebih daripada tiga.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks (menggunakan matriks songsang).

Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan dalam bentuk matriks, di mana matriks A mempunyai dimensi n dengan n dan penentunya ialah bukan sifar.

Oleh kerana , maka matriks A boleh terbalik, iaitu, terdapat matriks songsang. Jika kita mendarab kedua-dua belah kesamaan dengan sebelah kiri, kita mendapat formula untuk mencari lajur matriks pembolehubah yang tidak diketahui. Ini adalah bagaimana kami memperoleh penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks.

Contoh.

Menyelesaikan sistem persamaan linear kaedah matriks.

Penyelesaian.

Mari kita tulis semula sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Kerana

maka SLAE boleh diselesaikan menggunakan kaedah matriks. Menggunakan matriks songsang, penyelesaian kepada sistem ini boleh didapati sebagai .

Mari bina matriks songsang menggunakan matriks daripada pelengkap algebra bagi unsur matriks A (jika perlu, lihat artikel):

Ia kekal untuk mengira matriks pembolehubah yang tidak diketahui dengan mendarab matriks songsang ke lajur matriks ahli percuma (jika perlu, lihat artikel):

Jawapan:

atau dalam tatatanda lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Masalah utama apabila mencari penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks ialah kerumitan mencari matriks songsang, terutamanya untuk matriks kuasa dua tertib lebih tinggi daripada ketiga.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss.

Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada sistem n persamaan linear dengan n pembolehubah yang tidak diketahui
penentu matriks utama yang berbeza daripada sifar.

Intipati kaedah Gauss terdiri daripada menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui secara berurutan: pertama x 1 dikecualikan daripada semua persamaan sistem, bermula dari kedua, kemudian x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari ketiga, dan seterusnya, sehingga hanya pembolehubah tidak diketahui x n kekal dalam persamaan terakhir. Proses mengubah persamaan sistem untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui secara berurutan dipanggil kaedah Gaussian langsung. Selepas melengkapkan lejang ke hadapan kaedah Gaussian, x n didapati daripada persamaan terakhir, menggunakan nilai ini daripada persamaan kedua terakhir, x n-1 dikira, dan seterusnya, x 1 ditemui daripada persamaan pertama. Proses pengiraan pembolehubah yang tidak diketahui apabila berpindah dari persamaan terakhir sistem kepada yang pertama dipanggil songsang kaedah Gaussian.

Mari kita terangkan secara ringkas algoritma untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui.

Kita akan menganggap bahawa , kerana kita sentiasa boleh mencapai ini dengan menyusun semula persamaan sistem. Mari kita hapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dengan yang kedua. Untuk melakukan ini, kepada persamaan kedua sistem kita menambah yang pertama, didarab dengan , kepada persamaan ketiga kita menambah yang pertama, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah yang pertama, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana dan .

Kami akan mencapai keputusan yang sama jika kami telah menyatakan x 1 dari segi pembolehubah lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam semua persamaan lain. Oleh itu, pembolehubah x 1 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang kedua.

Seterusnya, kami meneruskan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan sebahagian daripada sistem yang dihasilkan, yang ditandakan dalam rajah

Untuk melakukan ini, kepada persamaan ketiga sistem kita menambah kedua, didarab dengan , kepada persamaan keempat kita menambah kedua, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah kedua, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana dan . Oleh itu, pembolehubah x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang ketiga.

Seterusnya, kami meneruskan untuk menghapuskan x 3 yang tidak diketahui, sementara kami bertindak sama dengan bahagian sistem yang ditandakan dalam rajah

Jadi kami meneruskan perkembangan langsung kaedah Gaussian sehingga sistem mengambil bentuk

Dari saat ini kita mulakan kebalikan kaedah Gaussian: kita mengira x n daripada persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperolehi x n kita dapati x n-1 daripada persamaan kedua, dan seterusnya, kita dapati x 1 daripada persamaan pertama .

Contoh.

Menyelesaikan sistem persamaan linear Kaedah Gauss.

Penyelesaian.

Mari kita mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, kepada kedua-dua belah persamaan kedua dan ketiga kita menambah bahagian yang sepadan bagi persamaan pertama, masing-masing didarab dengan dan dengan:

Sekarang kita hapuskan x 2 daripada persamaan ketiga dengan menambah pada sisi kiri dan kanannya sisi kiri dan kanan persamaan kedua, didarab dengan:

Ini melengkapkan lejang ke hadapan kaedah Gauss kita memulakan lejang terbalik.

Daripada persamaan terakhir sistem persamaan yang terhasil kita dapati x 3:

Daripada persamaan kedua kita dapat .

Daripada persamaan pertama kita dapati pembolehubah tidak diketahui yang tinggal dan dengan itu melengkapkan kebalikan kaedah Gauss.

Jawapan:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Secara umum, bilangan persamaan sistem p tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui n:

SLAE sedemikian mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Pernyataan ini juga digunakan untuk sistem persamaan yang matriks utamanya adalah segi empat sama dan tunggal.

Teorem Kronecker–Capelli.

Sebelum mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear, adalah perlu untuk mewujudkan keserasiannya. Jawapan kepada soalan apabila SLAE serasi dan apabila ia tidak konsisten diberikan oleh Teorem Kronecker–Capelli:
Agar sistem persamaan p dengan n tidak diketahui (p boleh sama dengan n) menjadi konsisten, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks utama sistem itu sama dengan pangkat matriks lanjutan, iaitu , Pangkat(A)=Pangkat(T).

Mari kita pertimbangkan, sebagai contoh, aplikasi teorem Kronecker–Capelli untuk menentukan keserasian sistem persamaan linear.

Contoh.

Ketahui sama ada sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian.

Penyelesaian.

. Jom gunakan kaedah sempadan bawah umur. Kecil daripada perintah kedua berbeza dengan sifar. Mari lihat kanak-kanak bawah umur peringkat ketiga yang bersempadan dengannya:

Memandangkan semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan bagi urutan ketiga adalah sama dengan sifar, pangkat matriks utama adalah sama dengan dua.

Sebaliknya, pangkat matriks lanjutan adalah sama dengan tiga, kerana yang di bawah umur adalah dari urutan ketiga

berbeza dengan sifar.

Oleh itu, Rang(A), oleh itu, dengan menggunakan teorem Kronecker–Capelli, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sistem asal persamaan linear adalah tidak konsisten.

Jawapan:

Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian.

Jadi, kita telah belajar untuk mewujudkan ketidakkonsistenan sistem menggunakan teorem Kronecker–Capelli.

Tetapi bagaimana untuk mencari penyelesaian kepada SLAE jika keserasiannya diwujudkan?

Untuk melakukan ini, kita memerlukan konsep minor asas matriks dan teorem tentang pangkat matriks.

Kecil bagi susunan tertinggi matriks A, berbeza daripada sifar, dipanggil asas.

Daripada takrifan asas minor ia mengikuti bahawa susunannya adalah sama dengan pangkat matriks. Untuk matriks bukan sifar A boleh terdapat beberapa asas minor;

Sebagai contoh, pertimbangkan matriks .

Semua minor peringkat ketiga matriks ini adalah sama dengan sifar, kerana unsur-unsur baris ketiga matriks ini ialah hasil tambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama dan kedua.

Kanak-kanak bawah umur peringkat kedua berikut adalah asas, kerana mereka bukan sifar

bawah umur bukan asas, kerana ia sama dengan sifar.

Teorem pangkat matriks.

Jika pangkat matriks tertib p dengan n adalah sama dengan r, maka semua elemen baris (dan lajur) matriks yang tidak membentuk asas minor yang dipilih dinyatakan secara linear dalam sebutan elemen baris (dan lajur) yang sepadan yang membentuk. asas minor.

Apakah yang diberitahu oleh teorem kedudukan matriks kepada kita?

Jika, menurut teorem Kronecker–Capelli, kita telah menetapkan keserasian sistem, maka kita memilih mana-mana asas minor bagi matriks utama sistem (tertibnya bersamaan dengan r), dan mengecualikan daripada sistem semua persamaan yang melakukan tidak membentuk asas terpilih minor. SLAE yang diperolehi dengan cara ini akan bersamaan dengan yang asal, kerana persamaan yang dibuang masih berlebihan (mengikut teorem kedudukan matriks, ia adalah gabungan linear bagi persamaan yang tinggal).

Akibatnya, selepas membuang persamaan sistem yang tidak perlu, dua kes adalah mungkin.

Jika bilangan persamaan r dalam sistem yang terhasil adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka ia akan menjadi pasti dan satu-satunya penyelesaian boleh didapati dengan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Contoh.

.

Penyelesaian.

Kedudukan matriks utama sistem adalah sama dengan dua, kerana yang kecil adalah dari urutan kedua berbeza dengan sifar. Kedudukan Matriks Lanjutan juga sama dengan dua, kerana satu-satunya tertib ketiga adalah sifar

dan minor urutan kedua yang dipertimbangkan di atas adalah berbeza daripada sifar. Berdasarkan teorem Kronecker–Capelli, kita boleh menegaskan keserasian sistem asal persamaan linear, kerana Rank(A)=Rank(T)=2.

Sebagai asas minor kita ambil . Ia dibentuk oleh pekali persamaan pertama dan kedua:


Persamaan ketiga sistem tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor, jadi kami mengecualikannya daripada sistem berdasarkan teorem pada pangkat matriks:


Beginilah cara kami memperoleh sistem asas persamaan algebra linear. Mari kita selesaikan menggunakan kaedah Cramer:


Jawapan:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jika bilangan persamaan r dalam SLAE yang terhasil adalah kurang daripada bilangan pembolehubah yang tidak diketahui n, maka di sebelah kiri persamaan kita meninggalkan sebutan yang membentuk asas kecil, dan kita memindahkan sebutan yang tinggal ke bahagian kanan persamaan sistem dengan tanda berlawanan.

Pembolehubah yang tidak diketahui (r daripadanya) yang tinggal di sebelah kiri persamaan dipanggil utama.

Pembolehubah tidak diketahui (terdapat n - r keping) yang berada di sebelah kanan dipanggil percuma.

Kini kami percaya bahawa pembolehubah tidak diketahui bebas boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya, manakala pembolehubah utama r tidak diketahui akan dinyatakan melalui pembolehubah tidak diketahui bebas dengan cara yang unik. Ungkapan mereka boleh didapati dengan menyelesaikan SLAE yang terhasil menggunakan kaedah Cramer, kaedah matriks, atau kaedah Gauss.

Mari kita lihat dengan contoh.

Contoh.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear .

Penyelesaian.

Mari cari pangkat matriks utama sistem dengan kaedah bersempadan dengan kanak-kanak bawah umur. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama. Mari mulakan mencari anak bawah umur bukan sifar bagi susunan kedua yang bersempadan dengan anak bawah umur ini:


Beginilah cara kami menemui minor bukan sifar bagi urutan kedua. Mari kita mula mencari minor sempadan bukan sifar bagi urutan ketiga:


Oleh itu, pangkat matriks utama adalah tiga. Kedudukan matriks lanjutan juga sama dengan tiga, iaitu, sistem adalah konsisten.

Kami mengambil bukan sifar minor yang ditemui pada urutan ketiga sebagai asas satu.

Untuk kejelasan, kami menunjukkan unsur-unsur yang membentuk asas kecil:


Kami meninggalkan istilah yang terlibat dalam asas kecil di sebelah kiri persamaan sistem, dan memindahkan yang lain dengan tanda yang bertentangan ke bahagian kanan:


Mari kita berikan pembolehubah tidak diketahui percuma x 2 dan x 5 nilai arbitrari, iaitu, kita terima , di mana nombor arbitrari. Dalam kes ini, SLAE akan mengambil borang


Mari kita selesaikan sistem asas persamaan algebra linear yang terhasil menggunakan kaedah Cramer:


Oleh itu, .

Dalam jawapan anda, jangan lupa untuk menunjukkan pembolehubah bebas yang tidak diketahui.

Jawapan:

Di mana nombor sewenang-wenangnya.

Mari kita ringkaskan.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear am, kita mula-mula menentukan keserasiannya menggunakan teorem Kronecker–Capelli. Jika pangkat matriks utama tidak sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami membuat kesimpulan bahawa sistem itu tidak serasi.

Jika pangkat matriks utama adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami memilih asas minor dan membuang persamaan sistem yang tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor terpilih.

Jika susunan asas minor adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai penyelesaian unik, yang boleh didapati dengan mana-mana kaedah yang kami ketahui.

Jika susunan asas minor kurang daripada bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka di sebelah kiri persamaan sistem kita tinggalkan istilah dengan pembolehubah utama yang tidak diketahui, pindahkan sebutan yang tinggal ke bahagian kanan dan berikan nilai arbitrari kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui. Daripada sistem persamaan linear yang terhasil, kita dapati pembolehubah utama yang tidak diketahui menggunakan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Kaedah Gauss boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dalam apa jua bentuk tanpa mengujinya terlebih dahulu untuk keserasian. Proses penghapusan berurutan pembolehubah yang tidak diketahui memungkinkan untuk membuat kesimpulan tentang kedua-dua keserasian dan ketidakserasian SLAE, dan jika penyelesaian wujud, ia memungkinkan untuk mencarinya.

Dari sudut pengiraan, kaedah Gaussian adalah lebih baik.

Lihat penerangan terperinci dan contoh yang dianalisis dalam artikel kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Menulis penyelesaian umum kepada sistem algebra linear homogen dan tidak homogen menggunakan vektor sistem asas penyelesaian.

Dalam bahagian ini kita akan bercakap tentang sistem homogen dan tak homogen serentak bagi persamaan algebra linear yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Mari kita mula-mula berurusan dengan sistem homogen.

Sistem penyelesaian asas sistem homogen persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui ialah himpunan (n – r) penyelesaian bebas linear bagi sistem ini, dengan r ialah susunan minor asas bagi matriks utama sistem.

Jika kita menyatakan penyelesaian bebas linear bagi SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ialah kolumnar matriks dimensi n dengan 1), maka penyelesaian umum sistem homogen ini diwakili sebagai gabungan linear vektor sistem asas penyelesaian dengan pekali malar arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), bahawa ialah, .

Apakah yang dimaksudkan dengan istilah penyelesaian am bagi sistem homogen persamaan algebra linear (oroslau)?

Maksudnya mudah: formula menentukan semua penyelesaian yang mungkin bagi SLAE asal, dengan kata lain, mengambil sebarang set nilai pemalar sewenang-wenang C 1, C 2, ..., C (n-r), menggunakan formula yang kita akan dapatkan salah satu daripada penyelesaian SLAE homogen asal.

Oleh itu, jika kita menemui sistem asas penyelesaian, maka kita boleh mentakrifkan semua penyelesaian SLAE homogen ini sebagai .

Mari kita tunjukkan proses membina sistem asas penyelesaian kepada SLAE homogen.

Kami memilih asas minor bagi sistem asal persamaan linear, mengecualikan semua persamaan lain daripada sistem, dan memindahkan semua istilah yang mengandungi pembolehubah bebas tidak diketahui ke sebelah kanan persamaan sistem dengan tanda yang bertentangan. Mari kita berikan pembolehubah bebas yang tidak diketahui nilai 1,0,0,...,0 dan hitungkan yang tidak diketahui utama dengan menyelesaikan sistem asas persamaan linear yang terhasil dalam apa jua cara, contohnya, menggunakan kaedah Cramer. Ini akan menghasilkan X (1) - penyelesaian pertama sistem asas. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui percuma 0,1,0,0,…,0 dan mengira yang tidak diketahui utama, kita mendapat X (2) . Dan seterusnya. Jika kita memberikan nilai 0.0,...,0.1 kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui dan mengira yang tidak diketahui utama, kita memperoleh X (n-r) . Dengan cara ini, sistem asas penyelesaian kepada SLAE homogen akan dibina dan penyelesaian amnya boleh ditulis dalam bentuk .

Untuk sistem tak homogen bagi persamaan algebra linear, penyelesaian am diwakili dalam bentuk , di mana ialah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan, dan merupakan penyelesaian khusus bagi SLAE tak homogen asal, yang kita perolehi dengan memberikan nilai bebas yang tidak diketahui ​​0,0,…,0 dan mengira nilai yang tidak diketahui utama.

Mari lihat contoh.

Contoh.

Cari sistem asas penyelesaian dan penyelesaian umum sistem homogen persamaan algebra linear .

Penyelesaian.

Kedudukan matriks utama sistem homogen persamaan linear sentiasa sama dengan pangkat matriks lanjutan. Mari cari pangkat matriks utama menggunakan kaedah sempadan bawah umur. Sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama, kita mengambil elemen a 1 1 = 9 daripada matriks utama sistem. Mari kita cari sempadan bukan sifar minor bagi susunan kedua:

Seorang bawahan daripada perintah kedua, berbeza daripada sifar, telah ditemui. Mari kita lihat peringkat bawah bawah umur ketiga yang bersempadan dengannya untuk mencari yang bukan sifar:

Semua bawah umur bersempadan urutan ketiga adalah sama dengan sifar, oleh itu, pangkat matriks utama dan lanjutan adalah sama dengan dua. Jom ambil. Untuk kejelasan, mari kita perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya:

Persamaan ketiga SLAE asal tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor, oleh itu, ia boleh dikecualikan:

Kami meninggalkan istilah yang mengandungi tidak diketahui utama di sebelah kanan persamaan, dan memindahkan istilah dengan tidak diketahui percuma ke bahagian kanan:

Mari kita bina satu sistem asas penyelesaian kepada sistem homogen asal persamaan linear. Sistem asas penyelesaian SLAE ini terdiri daripada dua penyelesaian, kerana SLAE asal mengandungi empat pembolehubah yang tidak diketahui, dan susunan minor asasnya adalah sama dengan dua. Untuk mencari X (1), kami memberikan pembolehubah tidak diketahui bebas nilai x 2 = 1, x 4 = 0, kemudian kami mencari yang tidak diketahui utama daripada sistem persamaan
.

Sistem persamaan linear ialah gabungan n persamaan linear, setiap satu mengandungi k pembolehubah. Ia ditulis seperti ini:

Ramai, apabila menemui algebra yang lebih tinggi untuk kali pertama, tersilap percaya bahawa bilangan persamaan mestilah bertepatan dengan bilangan pembolehubah. Dalam algebra sekolah ini biasanya berlaku, tetapi untuk algebra yang lebih tinggi ini biasanya tidak benar.

Penyelesaian kepada sistem persamaan ialah urutan nombor (k 1, k 2, ..., k n), yang merupakan penyelesaian kepada setiap persamaan sistem, i.e. apabila menggantikan ke dalam persamaan ini dan bukannya pembolehubah x 1, x 2, ..., x n memberikan kesamaan berangka yang betul.

Sehubungan itu, menyelesaikan sistem persamaan bermakna mencari set semua penyelesaiannya atau membuktikan bahawa set ini kosong. Oleh kerana bilangan persamaan dan bilangan yang tidak diketahui mungkin tidak bertepatan, tiga kes adalah mungkin:

1. Sistem ini tidak konsisten, i.e. set semua penyelesaian adalah kosong. Kes yang agak jarang berlaku yang mudah dikesan tidak kira apa kaedah yang digunakan untuk menyelesaikan sistem.
2. Sistem ini konsisten dan ditentukan, i.e. mempunyai tepat satu penyelesaian. Versi klasik, terkenal sejak sekolah lagi.
3. Sistem ini konsisten dan tidak ditentukan, i.e. mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Ini adalah pilihan yang paling sukar. Tidak cukup untuk menunjukkan bahawa "sistem mempunyai set penyelesaian yang tidak terhingga" - adalah perlu untuk menerangkan bagaimana set ini distrukturkan.

Pembolehubah x i dipanggil dibenarkan jika ia dimasukkan hanya dalam satu persamaan sistem, dan dengan pekali 1. Dalam erti kata lain, dalam persamaan lain pekali pembolehubah x i mestilah sama dengan sifar.

Jika kita memilih satu pembolehubah yang dibenarkan dalam setiap persamaan, kita memperoleh satu set pembolehubah yang dibenarkan untuk keseluruhan sistem persamaan. Sistem itu sendiri, yang ditulis dalam bentuk ini, juga akan dipanggil diselesaikan. Secara umumnya, satu dan sistem asal yang sama boleh dikurangkan kepada yang dibenarkan yang berbeza, tetapi buat masa ini kami tidak mengambil berat tentang perkara ini. Berikut adalah contoh sistem yang dibenarkan:

Kedua-dua sistem diselesaikan berkenaan dengan pembolehubah x 1 , x 3 dan x 4 . Walau bagaimanapun, dengan kejayaan yang sama boleh dikatakan bahawa sistem kedua diselesaikan berkenaan dengan x 1, x 3 dan x 5. Ia cukup untuk menulis semula persamaan terakhir dalam bentuk x 5 = x 4.

Sekarang mari kita pertimbangkan kes yang lebih umum. Marilah kita mempunyai k pembolehubah dalam jumlah, yang mana r dibenarkan. Kemudian dua kes mungkin:

1. Bilangan pembolehubah yang dibenarkan r adalah sama dengan jumlah bilangan pembolehubah k: r = k. Kami memperoleh sistem persamaan k di mana r = k membenarkan pembolehubah. Sistem sedemikian adalah bersama dan pasti, kerana x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. Bilangan pembolehubah yang dibenarkan r adalah kurang daripada jumlah bilangan pembolehubah k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Jadi, dalam sistem di atas, pembolehubah x 2, x 5, x 6 (untuk sistem pertama) dan x 2, x 5 (untuk kedua) adalah percuma. Kes apabila terdapat pembolehubah bebas lebih baik dirumuskan sebagai teorem:

Sila ambil perhatian: ini adalah perkara yang sangat penting! Bergantung pada cara anda menulis sistem yang terhasil, pembolehubah yang sama boleh dibenarkan atau percuma. Kebanyakan tutor matematik yang lebih tinggi mengesyorkan menulis pembolehubah dalam susunan leksikografi, i.e. indeks menaik. Walau bagaimanapun, anda tidak bertanggungjawab untuk mengikuti nasihat ini.

Teorem. Jika dalam sistem n persamaan pembolehubah x 1, x 2, ..., x r dibenarkan, dan x r + 1, x r + 2, ..., x k adalah bebas, maka:

1. Jika kita menetapkan nilai pembolehubah bebas (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), dan kemudian cari nilai x 1, x 2, ..., x r, kita mendapat satu daripada keputusan.
2. Jika dalam dua penyelesaian nilai pembolehubah bebas bertepatan, maka nilai pembolehubah yang dibenarkan juga bertepatan, i.e. penyelesaian adalah sama.

Apakah maksud teorem ini? Untuk mendapatkan semua penyelesaian kepada sistem persamaan yang diselesaikan, adalah cukup untuk mengasingkan pembolehubah bebas. Kemudian, memberikan nilai yang berbeza kepada pembolehubah bebas, kami akan memperoleh penyelesaian siap sedia. Itu sahaja - dengan cara ini anda boleh mendapatkan semua penyelesaian sistem. Tiada penyelesaian lain.

Kesimpulan: sistem persamaan yang diselesaikan sentiasa konsisten. Jika bilangan persamaan dalam sistem yang diselesaikan adalah sama dengan bilangan pembolehubah, sistem akan pasti jika kurang, ia akan menjadi tidak tentu.

Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi persoalannya timbul: bagaimana untuk mendapatkan penyelesaian dari sistem persamaan asal? Untuk ini ada

DENGAN n tidak diketahui ialah sistem dalam bentuk:

di mana a ij Dan b i (i=1,…,m; b=1,…,n)- beberapa nombor yang diketahui, dan x 1 ,…,x n- nombor yang tidak diketahui. Dalam penetapan pekali a ij indeks i menentukan bilangan persamaan, dan yang kedua j- bilangan yang tidak diketahui di mana pekali ini terletak.

Sistem homogen - apabila semua sebutan bebas sistem adalah sama dengan sifar ( b 1 = b 2 = … = b m = 0), keadaan sebaliknya ialah sistem heterogen.

Sistem segi empat sama - apabila nombor m persamaan sama dengan nombor n tidak diketahui.

Penyelesaian sistem- totaliti n nombor c 1, c 2, …, c n, supaya penggantian semua c i bukannya x i ke dalam sistem mengubah semua persamaannya menjadi identiti.

Sistem sendi - apabila sistem mempunyai sekurang-kurangnya 1 penyelesaian, dan sistem bukan koperasi apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian.

Sistem gabungan jenis ini (seperti yang diberikan di atas, biarlah (1)) boleh mempunyai satu atau lebih penyelesaian.

Penyelesaian c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) Dan c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) sistem sendi jenis (1) akan pelbagai, apabila 1 daripada kesamaan tidak dipenuhi:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Sistem sendi jenis (1) akan pasti apabila dia hanya mempunyai satu penyelesaian; apabila sistem mempunyai sekurang-kurangnya 2 penyelesaian yang berbeza, ia menjadi kurang ditentukan. Apabila terdapat lebih banyak persamaan daripada yang tidak diketahui, sistemnya adalah ditakrifkan semula.

Pekali untuk yang tidak diketahui ditulis sebagai matriks:

Ia dipanggil matriks sistem.

Nombor yang muncul di sebelah kanan persamaan ialah b 1 ,…,b m adalah ahli percuma.

Keseluruhan n nombor c 1 ,…,c n adalah penyelesaian kepada sistem ini apabila semua persamaan sistem menjadi sama selepas menggantikan nombor di dalamnya c 1 ,…,c n bukannya yang tidak diketahui yang sepadan x 1 ,…,x n.

Apabila menyelesaikan sistem persamaan linear, 3 pilihan mungkin timbul:

1. Sistem ini hanya mempunyai satu penyelesaian.

2. Sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Contohnya, . Penyelesaian kepada sistem ini ialah semua pasangan nombor yang berbeza dalam tanda.

3. Sistem tidak mempunyai penyelesaian. Contohnya. jika ada penyelesaian, maka x 1 + x 2 akan sama dengan 0 dan 1 pada masa yang sama.

Kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Kaedah langsung berikan algoritma yang mana penyelesaian tepat ditemui SLAU(sistem persamaan algebra linear). Dan jika ketepatannya adalah mutlak, mereka akan menemuinya. Komputer elektrik sebenar, sudah tentu, beroperasi dengan ralat, jadi penyelesaiannya akan menjadi anggaran.

Isi pelajaran

Persamaan linear dalam dua pembolehubah

Seorang pelajar sekolah mempunyai 200 rubel untuk makan tengah hari di sekolah. Kek berharga 25 rubel, dan secawan kopi berharga 10 rubel. Berapa banyak kek dan cawan kopi yang boleh anda beli untuk 200 rubel?

Mari kita nyatakan bilangan kek dengan x, dan bilangan cawan kopi melalui y. Kemudian kos kek itu akan dilambangkan dengan ungkapan 25 x, dan kos secawan kopi dalam 10 y .

25x— harga x kuih muih
10y - harga y cawan kopi

Jumlah keseluruhan hendaklah 200 rubel. Kemudian kita mendapat persamaan dengan dua pembolehubah x Dan y

25x+ 10y= 200

Berapakah bilangan punca persamaan ini?

Semuanya bergantung kepada selera pelajar. Jika dia membeli 6 kek dan 5 cawan kopi, maka punca persamaan itu ialah nombor 6 dan 5.

Pasangan nilai 6 dan 5 dikatakan sebagai punca persamaan 25 x+ 10y= 200 . Ditulis sebagai (6; 5), dengan nombor pertama ialah nilai pembolehubah x, dan yang kedua - nilai pembolehubah y .

6 dan 5 bukan satu-satunya punca yang membalikkan persamaan 25 x+ 10y= 200 kepada identiti. Jika dikehendaki, untuk 200 rubel yang sama seorang pelajar boleh membeli 4 kek dan 10 cawan kopi:

Dalam kes ini, punca-punca persamaan 25 x+ 10y= 200 ialah sepasang nilai (4; 10).

Lebih-lebih lagi, seorang pelajar sekolah mungkin tidak membeli kopi sama sekali, tetapi membeli kek untuk keseluruhan 200 rubel. Kemudian punca-punca persamaan 25 x+ 10y= 200 akan menjadi nilai 8 dan 0

Atau sebaliknya, jangan beli kek, tetapi beli kopi untuk keseluruhan 200 rubel. Kemudian punca-punca persamaan 25 x+ 10y= 200 nilai akan menjadi 0 dan 20

Mari cuba senaraikan semua kemungkinan punca persamaan 25 x+ 10y= 200 . Marilah kita bersetuju bahawa nilai x Dan y tergolong dalam set integer. Dan biarkan nilai ini lebih besar daripada atau sama dengan sifar:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Ini akan memudahkan pelajar itu sendiri. Adalah lebih mudah untuk membeli kek keseluruhan daripada, sebagai contoh, beberapa kek keseluruhan dan separuh kek. Ia juga lebih mudah untuk mengambil kopi dalam cawan keseluruhan daripada, sebagai contoh, beberapa cawan keseluruhan dan setengah cawan.

Perhatikan bahawa untuk ganjil x adalah mustahil untuk mencapai kesaksamaan dalam apa jua keadaan y. Kemudian nilai x nombor berikut akan menjadi 0, 2, 4, 6, 8. Dan mengetahui x boleh ditentukan dengan mudah y

Oleh itu, kami menerima pasangan nilai berikut (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Pasangan ini adalah penyelesaian atau punca Persamaan 25 x+ 10y= 200. Mereka menjadikan persamaan ini sebagai identiti.

Persamaan bentuk ax + by = c dipanggil persamaan linear dengan dua pembolehubah. Penyelesaian atau punca persamaan ini ialah sepasang nilai ( x; y), yang mengubahnya menjadi identiti.

Perhatikan juga bahawa jika persamaan linear dengan dua pembolehubah ditulis dalam bentuk ax + b y = c , kemudian mereka mengatakan bahawa ia telah tertulis dalam berkanun bentuk (biasa).

Beberapa persamaan linear dalam dua pembolehubah boleh dikurangkan kepada bentuk kanonik.

Sebagai contoh, persamaan 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) boleh diingatkan ax + by = c. Mari kita buka kurungan pada kedua-dua belah persamaan ini dan dapatkan 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Kami mengumpulkan istilah yang mengandungi tidak diketahui di sebelah kiri persamaan, dan istilah bebas daripada tidak diketahui - di sebelah kanan. Kemudian kita dapat 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Kami membentangkan istilah yang sama dalam kedua-dua belah pihak, kami mendapat persamaan 16 x+ 8y= 32. Persamaan ini diturunkan kepada bentuk ax + by = c dan bersifat kanonik.

Persamaan 25 yang dibincangkan sebelum ini x+ 10y= 200 juga merupakan persamaan linear dengan dua pembolehubah dalam bentuk kanonik. Dalam persamaan ini parameter a , b Dan c adalah sama dengan nilai 25, 10 dan 200, masing-masing.

Sebenarnya persamaan ax + by = c mempunyai penyelesaian yang tidak terkira banyaknya. Menyelesaikan persamaan 25x+ 10y= 200, kami mencari puncanya hanya pada set integer. Akibatnya, kami memperoleh beberapa pasangan nilai yang menjadikan persamaan ini sebagai identiti. Tetapi pada set nombor rasional, persamaan 25 x+ 10y= 200 akan mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

Untuk mendapatkan pasangan nilai baharu, anda perlu mengambil nilai arbitrari untuk x, kemudian nyatakan y. Sebagai contoh, mari kita ambil untuk pembolehubah x nilai 7. Kemudian kita mendapat persamaan dengan satu pembolehubah 25×7 + 10y= 200 di mana seseorang boleh meluahkan y

biarlah x= 15. Kemudian persamaan 25x+ 10y= 200 menjadi 25 × 15 + 10y= 200. Dari sini kita dapati itu y = −17,5

biarlah x= −3 . Kemudian persamaan 25x+ 10y= 200 menjadi 25 × (−3) + 10y= 200. Dari sini kita dapati itu y = −27,5

Sistem dua persamaan linear dengan dua pembolehubah

Untuk persamaan ax + by = c anda boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya untuk seberapa banyak kali yang anda suka x dan cari nilai untuk y. Diambil secara berasingan, persamaan sedemikian akan mempunyai banyak penyelesaian.

Tetapi ia juga berlaku bahawa pembolehubah x Dan y dihubungkan bukan oleh satu, tetapi oleh dua persamaan. Dalam kes ini mereka membentuk apa yang dipanggil sistem persamaan linear dalam dua pembolehubah. Sistem persamaan sedemikian boleh mempunyai sepasang nilai (atau dengan kata lain: "satu penyelesaian").

Ia juga mungkin berlaku bahawa sistem tidak mempunyai penyelesaian sama sekali. Sistem persamaan linear boleh mempunyai banyak penyelesaian dalam kes yang jarang berlaku dan luar biasa.

Dua persamaan linear membentuk sistem apabila nilai x Dan y masukkan ke dalam setiap persamaan ini.

Mari kita kembali kepada persamaan pertama 25 x+ 10y= 200 . Salah satu pasangan nilai untuk persamaan ini ialah pasangan (6; 5). Ini adalah kes apabila untuk 200 rubel anda boleh membeli 6 kek dan 5 cawan kopi.

Mari kita rumuskan masalah supaya pasangan (6; 5) menjadi satu-satunya penyelesaian untuk persamaan 25 x+ 10y= 200 . Untuk melakukan ini, mari buat persamaan lain yang akan menghubungkan perkara yang sama x kek dan y cawan kopi.

Mari kita nyatakan teks masalah seperti berikut:

“Pelajar itu membeli beberapa kek dan beberapa cawan kopi dengan harga 200 rubel. Kek berharga 25 rubel, dan secawan kopi berharga 10 rubel. Berapakah bilangan kek dan cawan kopi yang dibeli oleh pelajar itu jika diketahui bilangan kek adalah satu unit lebih daripada bilangan cawan kopi?

Kami sudah mempunyai persamaan pertama. Ini adalah persamaan 25 x+ 10y= 200 . Sekarang mari kita buat persamaan untuk keadaan "bilangan kek adalah satu unit lebih besar daripada bilangan cawan kopi" .

Bilangan kek ialah x, dan bilangan cawan kopi ialah y. Anda boleh menulis frasa ini menggunakan persamaan x−y= 1. Persamaan ini bermakna perbezaan antara kek dan kopi ialah 1.

x = y+ 1 . Persamaan ini bermakna bilangan kek adalah lebih satu daripada bilangan cawan kopi. Oleh itu, untuk mendapatkan kesaksamaan, satu ditambah kepada bilangan cawan kopi. Ini boleh difahami dengan mudah jika kita menggunakan model skala yang kita pertimbangkan semasa mengkaji masalah paling mudah:

Kami mendapat dua persamaan: 25 x+ 10y= 200 dan x = y+ 1. Oleh kerana nilai x Dan y, iaitu 6 dan 5 dimasukkan dalam setiap persamaan ini, kemudian bersama-sama membentuk satu sistem. Mari kita catatkan sistem ini. Jika persamaan membentuk sistem, maka ia dirangka oleh tanda sistem. Simbol sistem ialah pendakap kerinting:

Jom selesaikan sistem ini. Ini akan membolehkan kita melihat bagaimana kita mencapai nilai 6 dan 5. Terdapat banyak kaedah untuk menyelesaikan sistem sedemikian. Mari lihat yang paling popular di antara mereka.

Kaedah penggantian

Nama kaedah ini bercakap untuk dirinya sendiri. Intipatinya adalah untuk menggantikan satu persamaan ke persamaan yang lain, setelah sebelumnya menyatakan salah satu pembolehubah.

Dalam sistem kami, tiada apa yang perlu dinyatakan. Dalam persamaan kedua x = y+ 1 pembolehubah x sudah diluahkan. Pembolehubah ini sama dengan ungkapan y+ 1 . Kemudian anda boleh menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan pertama dan bukannya pembolehubah x

Selepas menggantikan ungkapan y+ 1 ke dalam persamaan pertama sebaliknya x, kita mendapat persamaan 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ini adalah persamaan linear dengan satu pembolehubah. Persamaan ini agak mudah untuk diselesaikan:

Kami mendapati nilai pembolehubah y. Sekarang mari kita gantikan nilai ini ke dalam salah satu persamaan dan cari nilainya x. Untuk ini adalah mudah untuk menggunakan persamaan kedua x = y+ 1 . Mari kita gantikan nilai ke dalamnya y

Ini bermakna pasangan (6; 5) ialah penyelesaian kepada sistem persamaan, seperti yang kita maksudkan. Kami menyemak dan memastikan pasangan (6; 5) memenuhi sistem:

Contoh 2

Mari kita gantikan persamaan pertama x= 2 + y ke dalam persamaan kedua 3 x− 2y= 9. Dalam persamaan pertama pembolehubah x sama dengan ungkapan 2 + y. Mari kita gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan kedua dan bukannya x

Sekarang mari kita cari nilainya x. Untuk melakukan ini, mari kita gantikan nilainya y ke dalam persamaan pertama x= 2 + y

Ini bermakna penyelesaian kepada sistem ialah nilai pasangan (5; 3)

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah penggantian:

Di sini, tidak seperti contoh sebelumnya, salah satu pembolehubah tidak dinyatakan secara eksplisit.

Untuk menggantikan satu persamaan ke persamaan lain, anda perlu .

Adalah dinasihatkan untuk menyatakan pembolehubah yang mempunyai pekali satu. Pembolehubah mempunyai pekali satu x, yang terkandung dalam persamaan pertama x+ 2y= 11. Mari kita nyatakan pembolehubah ini.

Selepas ungkapan berubah-ubah x, sistem kami akan mengambil bentuk berikut:

Sekarang mari kita gantikan persamaan pertama ke dalam kedua dan cari nilainya y

Mari kita ganti y x

Ini bermakna bahawa penyelesaian kepada sistem adalah sepasang nilai (3; 4)

Sudah tentu, anda juga boleh menyatakan pembolehubah y. Akar tidak akan berubah. Tetapi jika anda meluahkan y, Hasilnya bukanlah persamaan yang sangat mudah, yang akan mengambil lebih banyak masa untuk diselesaikan. Ia akan kelihatan seperti ini:

Kami melihat bahawa dalam contoh ini kami nyatakan x lebih mudah daripada meluahkan y .

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah penggantian:

Mari kita nyatakan dalam persamaan pertama x. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

y

Mari kita ganti y ke dalam persamaan pertama dan cari x. Anda boleh menggunakan persamaan asal 7 x+ 9y= 8, atau gunakan persamaan di mana pembolehubah dinyatakan x. Kami akan menggunakan persamaan ini kerana ia mudah:

Ini bermakna bahawa penyelesaian kepada sistem ialah sepasang nilai (5; -3)

Kaedah penambahan

Kaedah penambahan terdiri daripada menambah persamaan yang termasuk dalam istilah sistem dengan sebutan. Penambahan ini menghasilkan persamaan baru dengan satu pembolehubah. Dan menyelesaikan persamaan sedemikian agak mudah.

Mari kita selesaikan sistem persamaan berikut:

Mari tambahkan sebelah kiri persamaan pertama dengan sebelah kiri persamaan kedua. Dan sebelah kanan persamaan pertama dengan sebelah kanan persamaan kedua. Kami mendapat persamaan berikut:

Mari kita lihat istilah yang serupa:

Hasilnya, kami mendapat persamaan termudah 3 x= 27 yang puncanya ialah 9. Mengetahui nilai x anda boleh mencari nilainya y. Mari kita gantikan nilainya x ke dalam persamaan kedua x−y= 3 . Kami mendapat 9 − y= 3 . Dari sini y= 6 .

Ini bermakna bahawa penyelesaian kepada sistem adalah sepasang nilai (9; 6)

Contoh 2

Mari tambahkan sebelah kiri persamaan pertama dengan sebelah kiri persamaan kedua. Dan sebelah kanan persamaan pertama dengan sebelah kanan persamaan kedua. Dalam kesamarataan yang terhasil, kami mengemukakan istilah yang serupa:

Hasilnya, kami mendapat persamaan termudah 5 x= 20, yang puncanya ialah 4. Mengetahui nilai x anda boleh mencari nilainya y. Mari kita gantikan nilainya x ke dalam persamaan pertama 2 x+y= 11. Jom dapatkan 8+ y= 11. Dari sini y= 3 .

Ini bermakna bahawa penyelesaian kepada sistem adalah sepasang nilai (4;3)

Proses penambahan tidak diterangkan secara terperinci. Ia mesti dilakukan secara mental. Apabila menambah, kedua-dua persamaan mesti dikurangkan kepada bentuk kanonik. Maksudnya ac + oleh = c .

Daripada contoh yang dipertimbangkan, jelas bahawa tujuan utama penambahan persamaan adalah untuk menyingkirkan salah satu pembolehubah. Tetapi tidak selalu mungkin untuk segera menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah penambahan. Selalunya, sistem mula-mula dibawa ke bentuk di mana persamaan yang termasuk dalam sistem ini boleh ditambah.

Sebagai contoh, sistem boleh diselesaikan segera dengan penambahan. Apabila menambah kedua-dua persamaan, istilah y Dan −y akan hilang kerana jumlahnya adalah sifar. Akibatnya, persamaan termudah 11 terbentuk x= 22, yang puncanya ialah 2. Ia kemudian akan dapat ditentukan y sama dengan 5.

Dan sistem persamaan Kaedah penambahan tidak dapat diselesaikan dengan segera, kerana ini tidak akan membawa kepada kehilangan salah satu pembolehubah. Penambahan akan menghasilkan persamaan 8 x+ y= 28, yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Jika kedua-dua belah persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor yang sama, tidak sama dengan sifar, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan. Peraturan ini juga benar untuk sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah. Satu daripada persamaan (atau kedua-dua persamaan) boleh didarab dengan sebarang nombor. Hasilnya akan menjadi sistem yang setara, yang akarnya akan bertepatan dengan yang sebelumnya.

Mari kita kembali kepada sistem pertama, yang menerangkan berapa banyak kek dan cawan kopi yang dibeli oleh seorang pelajar sekolah. Penyelesaian kepada sistem ini ialah sepasang nilai (6; 5).

Mari kita darabkan kedua-dua persamaan yang termasuk dalam sistem ini dengan beberapa nombor. Katakan kita darabkan persamaan pertama dengan 2, dan yang kedua dengan 3

Hasilnya, kami mendapat sistem
Penyelesaian kepada sistem ini masih merupakan pasangan nilai (6; 5)

Ini bermakna persamaan yang termasuk dalam sistem boleh dikurangkan kepada bentuk yang sesuai untuk menggunakan kaedah penambahan.

Mari kita kembali kepada sistem , yang tidak dapat kami selesaikan menggunakan kaedah penambahan.

Darabkan persamaan pertama dengan 6, dan yang kedua dengan −2

Kemudian kami mendapat sistem berikut:

Mari kita tambahkan persamaan yang termasuk dalam sistem ini. Menambah komponen 12 x dan −12 x akan menghasilkan 0, penambahan 18 y dan 4 y akan memberi 22 y, dan menambah 108 dan −20 memberikan 88. Kemudian kita mendapat persamaan 22 y= 88, dari sini y = 4 .

Jika pada mulanya sukar untuk menambah persamaan di kepala anda, maka anda boleh menulis bagaimana bahagian kiri persamaan pertama ditambah dengan bahagian kiri persamaan kedua, dan bahagian kanan persamaan pertama dengan bahagian kanan persamaan kedua:

Mengetahui bahawa nilai pembolehubah y sama dengan 4, anda boleh mencari nilainya x. Mari kita ganti y ke dalam salah satu persamaan, contohnya ke dalam persamaan pertama 2 x+ 3y= 18. Kemudian kita mendapat persamaan dengan satu pembolehubah 2 x+ 12 = 18. Mari kita gerakkan 12 ke sebelah kanan, tukar tanda, kita dapat 2 x= 6, dari sini x = 3 .

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Mari kita darabkan persamaan kedua dengan −1. Kemudian sistem akan mengambil bentuk berikut:

Mari tambah kedua-dua persamaan. Menambah komponen x Dan −x akan menghasilkan 0, penambahan 5 y dan 3 y akan memberi 8 y, dan menambah 7 dan 1 memberikan 8. Hasilnya ialah persamaan 8 y= 8 yang puncanya ialah 1. Mengetahui bahawa nilai y sama dengan 1, anda boleh mencari nilainya x .

Mari kita ganti y ke dalam persamaan pertama, kita dapat x+ 5 = 7, oleh itu x= 2

Contoh 5. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Adalah wajar bahawa istilah yang mengandungi pembolehubah yang sama diletakkan satu di bawah yang lain. Oleh itu, dalam persamaan kedua istilah 5 y dan −2 x Jom tukar tempat. Akibatnya, sistem akan mengambil bentuk:

Mari kita darabkan persamaan kedua dengan 3. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari tambah kedua-dua persamaan. Hasil daripada penambahan kita memperoleh persamaan 8 y= 16, yang puncanya ialah 2.

Mari kita ganti y ke dalam persamaan pertama, kita mendapat 6 x− 14 = 40. Mari kita alihkan istilah −14 ke sebelah kanan, tukar tanda, dan dapatkan 6 x= 54 . Dari sini x= 9.

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Mari kita hapuskan pecahan. Darabkan persamaan pertama dengan 36, dan kedua dengan 12

Dalam sistem yang terhasil persamaan pertama boleh didarab dengan −5, dan yang kedua dengan 8

Mari kita tambahkan persamaan dalam sistem yang terhasil. Kemudian kita mendapat persamaan termudah −13 y= −156 . Dari sini y= 12. Mari kita ganti y ke dalam persamaan pertama dan cari x

Contoh 7. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Mari kita bawa kedua-dua persamaan kepada bentuk normal. Di sini adalah mudah untuk menggunakan peraturan perkadaran dalam kedua-dua persamaan. Jika dalam persamaan pertama bahagian kanan diwakili sebagai , dan bahagian kanan persamaan kedua sebagai , maka sistem akan mengambil bentuk:

Kami mempunyai perkadaran. Mari kita gandakan istilah ekstrem dan pertengahannya. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Mari kita darabkan persamaan pertama dengan −3, dan buka kurungan dalam kedua:

Sekarang mari tambah kedua-dua persamaan. Hasil daripada menambah persamaan ini, kita mendapat kesamaan dengan sifar pada kedua-dua belah:

Ternyata sistem itu mempunyai banyak penyelesaian.

Tetapi kita tidak boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya dari langit x Dan y. Kami boleh menentukan salah satu nilai, dan satu lagi akan ditentukan bergantung pada nilai yang kami tentukan. Sebagai contoh, biarkan x= 2 . Mari kita gantikan nilai ini ke dalam sistem:

Hasil daripada menyelesaikan salah satu persamaan, nilai untuk y, yang akan memenuhi kedua-dua persamaan:

Pasangan nilai (2; −2) yang terhasil akan memenuhi sistem:

Mari cari pasangan nilai yang lain. biarlah x= 4. Mari kita gantikan nilai ini ke dalam sistem:

Anda boleh memberitahu dengan mata bahawa nilai y sama dengan sifar. Kemudian kami mendapat sepasang nilai (4; 0) yang memenuhi sistem kami:

Contoh 8. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Darabkan persamaan pertama dengan 6, dan yang kedua dengan 12

Mari kita tulis semula apa yang tinggal:

Mari kita darabkan persamaan pertama dengan −1. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari tambah kedua-dua persamaan. Hasil daripada penambahan, persamaan 6 terbentuk b= 48, yang puncanya ialah 8. Gantikan b ke dalam persamaan pertama dan cari a

Sistem persamaan linear dengan tiga pembolehubah

Persamaan linear dengan tiga pembolehubah termasuk tiga pembolehubah dengan pekali, serta istilah pintasan. Dalam bentuk kanonik ia boleh ditulis seperti berikut:

ax + by + cz = d

Persamaan ini mempunyai banyak penyelesaian. Dengan memberikan dua pembolehubah nilai yang berbeza, nilai ketiga boleh didapati. Penyelesaian dalam kes ini ialah tiga kali ganda nilai ( x; y; z) yang menukarkan persamaan menjadi identiti.

Jika pembolehubah x, y, z disambungkan oleh tiga persamaan, maka sistem tiga persamaan linear dengan tiga pembolehubah dibentuk. Untuk menyelesaikan sistem sedemikian, anda boleh menggunakan kaedah yang sama yang digunakan untuk persamaan linear dengan dua pembolehubah: kaedah penggantian dan kaedah penambahan.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah penggantian:

Mari kita nyatakan dalam persamaan ketiga x. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari kita lakukan penggantian. Pembolehubah x adalah sama dengan ungkapan 3 − 2y − 2z . Mari kita gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan pertama dan kedua:

Mari kita buka kurungan dalam kedua-dua persamaan dan kemukakan istilah yang serupa:

Kami telah sampai pada sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah. Dalam kes ini, adalah mudah untuk menggunakan kaedah penambahan. Akibatnya, pembolehubah y akan hilang dan kita boleh mencari nilai pembolehubah z

Sekarang mari kita cari nilainya y. Untuk melakukan ini, adalah mudah untuk menggunakan persamaan − y+ z= 4. Gantikan nilai ke dalamnya z

Sekarang mari kita cari nilainya x. Untuk melakukan ini, adalah mudah untuk menggunakan persamaan x= 3 − 2y − 2z . Mari kita gantikan nilai ke dalamnya y Dan z

Oleh itu, tiga kali ganda nilai (3; -2; 2) ialah penyelesaian kepada sistem kami. Dengan menyemak kami memastikan bahawa nilai ini memenuhi sistem:

Contoh 2. Selesaikan sistem menggunakan kaedah tambah

Mari tambahkan persamaan pertama dengan kedua, didarab dengan -2.

Jika persamaan kedua didarab dengan −2, ia mengambil bentuk −6x+ 6y − 4z = −4 . Sekarang mari kita tambahkannya pada persamaan pertama:

Kami melihat bahawa sebagai hasil daripada transformasi asas, nilai pembolehubah ditentukan x. Ia sama dengan satu.

Mari kembali ke sistem utama. Mari tambahkan persamaan kedua dengan yang ketiga, didarab dengan -1. Jika persamaan ketiga didarab dengan −1, ia mengambil bentuk −4x + 5y − 2z = −1 . Sekarang mari kita tambahkannya pada persamaan kedua:

Kami mendapat persamaan x− 2y= −1 . Mari kita gantikan nilai ke dalamnya x yang kami temui sebelum ini. Kemudian kita boleh menentukan nilainya y

Sekarang kita tahu maksudnya x Dan y. Ini membolehkan anda menentukan nilai z. Mari kita gunakan salah satu persamaan yang termasuk dalam sistem:

Oleh itu, tiga kali ganda nilai (1; 1; 1) ialah penyelesaian kepada sistem kami. Dengan menyemak kami memastikan bahawa nilai ini memenuhi sistem:

Masalah untuk menyusun sistem persamaan linear

Tugas menyusun sistem persamaan diselesaikan dengan memasukkan beberapa pembolehubah. Seterusnya, persamaan disusun berdasarkan keadaan masalah. Daripada persamaan yang disusun mereka membentuk sistem dan menyelesaikannya. Setelah menyelesaikan sistem, adalah perlu untuk memeriksa sama ada penyelesaiannya memenuhi syarat masalah.

Masalah 1. Sebuah kereta Volga memandu keluar dari bandar ke ladang kolektif. Dia kembali semula melalui jalan lain, yang 5 km lebih pendek daripada yang pertama. Secara keseluruhan, kereta itu menempuh perjalanan sejauh 35 km pergi dan balik. Berapa kilometer panjang setiap jalan?

Penyelesaian

biarlah x— panjang jalan pertama, y- panjang kedua. Jika kereta itu bergerak sejauh 35 km pergi dan balik, maka persamaan pertama boleh ditulis sebagai x+ y= 35. Persamaan ini menerangkan jumlah panjang kedua-dua jalan.

Dikatakan bahawa kereta itu kembali di sepanjang jalan yang 5 km lebih pendek daripada yang pertama. Kemudian persamaan kedua boleh ditulis sebagai x− y= 5. Persamaan ini menunjukkan perbezaan antara panjang jalan ialah 5 km.

Atau persamaan kedua boleh ditulis sebagai x= y+ 5. Kami akan menggunakan persamaan ini.

Kerana pembolehubah x Dan y dalam kedua-dua persamaan menunjukkan nombor yang sama, maka kita boleh membentuk sistem daripadanya:

Mari kita selesaikan sistem ini menggunakan beberapa kaedah yang telah dikaji sebelum ini. Dalam kes ini, adalah mudah untuk menggunakan kaedah penggantian, kerana dalam persamaan kedua pembolehubah x sudah diluahkan.

Gantikan persamaan kedua ke dalam yang pertama dan cari y

Mari kita gantikan nilai yang ditemui y dalam persamaan kedua x= y+ 5 dan kami akan dapati x

Panjang jalan pertama telah ditetapkan melalui pembolehubah x. Sekarang kita telah menemui maknanya. Pembolehubah x adalah sama dengan 20. Ini bermakna panjang jalan pertama ialah 20 km.

Dan panjang jalan kedua ditunjukkan oleh y. Nilai pembolehubah ini ialah 15. Ini bermakna panjang jalan kedua ialah 15 km.

Jom semak. Pertama, mari kita pastikan bahawa sistem diselesaikan dengan betul:

Sekarang mari kita semak sama ada penyelesaian (20; 15) memenuhi syarat masalah.

Dikatakan kereta itu menempuh perjalanan sejauh 35 km pergi dan balik. Kami menambah panjang kedua-dua jalan dan memastikan bahawa penyelesaian (20; 15) memenuhi syarat ini: 20 km + 15 km = 35 km

Syarat berikut: kereta itu kembali semula di sepanjang jalan lain, yang 5 km lebih pendek daripada yang pertama . Kami melihat bahawa penyelesaian (20; 15) juga memenuhi syarat ini, kerana 15 km adalah lebih pendek daripada 20 km dengan 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Semasa mengarang sistem, pembolehubah mewakili nombor yang sama dalam semua persamaan yang disertakan dalam sistem ini.

Jadi sistem kami mengandungi dua persamaan. Persamaan ini pula mengandungi pembolehubah x Dan y, yang mewakili nombor yang sama dalam kedua-dua persamaan, iaitu panjang jalan 20 km dan 15 km.

Masalah 2. Tempat tidur kayu oak dan pain telah dimuatkan ke atas pelantar, 300 tempat tidur semuanya. Adalah diketahui bahawa semua tidur oak mempunyai berat 1 tan kurang daripada semua tidur pain. Tentukan berapa banyak tempat tidur oak dan pain secara berasingan, jika setiap tidur oak mempunyai berat 46 kg, dan setiap tidur pain 28 kg.

Penyelesaian

biarlah x oak dan y tempat tidur pain telah dimuatkan ke platform. Sekiranya terdapat 300 orang tidur secara keseluruhan, maka persamaan pertama boleh ditulis sebagai x+y = 300 .

Semua tidur kayu oak mempunyai berat 46 x kg, dan pokok pain mempunyai berat 28 y kg. Oleh kerana alat tidur kayu oak mempunyai berat 1 tan kurang daripada tidur kayu pain, persamaan kedua boleh ditulis sebagai 28y − 46x= 1000 . Persamaan ini menunjukkan bahawa perbezaan jisim antara tidur oak dan pain ialah 1000 kg.

Tan telah ditukar kepada kilogram kerana jisim tidur kayu oak dan pain diukur dalam kilogram.

Akibatnya, kita memperoleh dua persamaan yang membentuk sistem

Jom selesaikan sistem ini. Mari kita nyatakan dalam persamaan pertama x. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Gantikan persamaan pertama ke dalam kedua dan cari y

Mari kita ganti y ke dalam persamaan x= 300 − y dan ketahui apa itu x

Ini bermakna bahawa 100 oak dan 200 pain sleepers telah dimuatkan ke platform.

Mari kita semak sama ada penyelesaian (100; 200) memenuhi syarat masalah. Pertama, mari kita pastikan bahawa sistem diselesaikan dengan betul:

Dikatakan bahawa terdapat 300 orang tidur secara keseluruhan. Kami menjumlahkan bilangan tidur kayu oak dan pain dan memastikan bahawa penyelesaian (100; 200) memenuhi syarat ini: 100 + 200 = 300.

Syarat berikut: semua tidur kayu oak mempunyai berat 1 tan kurang daripada semua tidur pain . Kami melihat bahawa penyelesaian (100; 200) juga memenuhi syarat ini, kerana 46 × 100 kg tidur oak lebih ringan daripada 28 × 200 kg tidur pain: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Masalah 3. Kami mengambil tiga keping aloi tembaga-nikel dalam nisbah 2: 1, 3: 1 dan 5: 1 mengikut berat. Sekeping seberat 12 kg telah dicantumkan daripadanya dengan nisbah kandungan kuprum dan nikel 4: 1. Cari jisim setiap kepingan asal jika jisim yang pertama ialah dua kali ganda jisim kedua.