Apakah ralat mutlak nilai yang diukur. Kesilapan mutlak dan relatif

Ralat pengukuran dikelaskan mengikut jenis berikut:

mutlak dan relatif.

Positif dan negatif.

tetap dan berkadar.

Kasar, rawak dan sistematik.

Ralat mutlak hasil pengukuran tunggal (A y) ditakrifkan sebagai perbezaan antara kuantiti berikut:

A y = y saya- y ist. » y saya-` y.

Ralat relatif hasil pengukuran tunggal (B y) dikira sebagai nisbah kuantiti berikut:

Ia mengikuti daripada formula ini bahawa magnitud ralat relatif bergantung bukan sahaja pada magnitud ralat mutlak, tetapi juga pada nilai kuantiti yang diukur. Apabila nilai yang diukur kekal tidak berubah ( y) ralat pengukuran relatif hanya boleh dikurangkan dengan mengurangkan ralat mutlak (A y). Apabila ralat pengukuran mutlak adalah malar, untuk mengurangkan ralat pengukuran relatif, anda boleh menggunakan kaedah meningkatkan nilai kuantiti yang diukur.

Contoh. Mari kita andaikan bahawa skala perdagangan di kedai mempunyai ralat pengukuran jisim mutlak mutlak: A m = 10 g. Jika anda menimbang 100 g gula-gula (m 1) pada skala sedemikian, maka ralat relatif dalam mengukur jisim gula-gula adalah :

Apabila menimbang 500 g gula-gula (m 2) pada skala yang sama, ralat relatif akan menjadi lima kali kurang:

Oleh itu, jika anda menimbang 100 g gula-gula lima kali, maka disebabkan ralat pengukuran jisim, anda tidak akan menerima sejumlah 50 g produk daripada 500 g. Dengan satu penimbang jisim yang lebih besar (500 g), anda akan kehilangan hanya 10 g gula-gula, i.e. lima kali kurang.

Memandangkan perkara di atas, boleh diperhatikan bahawa, pertama sekali, adalah perlu untuk berusaha untuk mengurangkan ralat pengukuran relatif. Ralat mutlak dan relatif hanya boleh dikira selepas menentukan min nilai aritmetik hasil pengukuran.

Tanda ralat (positif atau negatif) ditentukan oleh perbezaan antara hasil pengukuran tunggal dan sebenar:

y saya-` y > 0 (ralat adalah positif);

y saya-` y < 0 (ralat adalah negatif).

Jika ralat pengukuran mutlak tidak bergantung pada nilai kuantiti yang diukur, maka ralat tersebut dipanggil tetap. Jika tidak, ralat akan berlaku berkadar. Sifat ralat pengukuran (malar atau berkadar) ditentukan selepas kajian khas.

Kesilapan besar pengukuran (miss) ialah hasil pengukuran yang jauh berbeza daripada yang lain, yang biasanya berlaku apabila prosedur pengukuran dilanggar. Kehadiran ralat pengukuran kasar dalam sampel ditentukan hanya dengan kaedah statistik matematik(untuk n>2). Biasakan diri anda dengan kaedah untuk mengesan kesilapan besar.

Pembahagian ralat kepada rawak dan sistematik agak bersyarat.

Kepada ralat rawak termasuk ralat yang tidak ada nilai tetap dan tandatangan. Kesilapan tersebut disebabkan oleh faktor berikut: tidak diketahui oleh penyelidik; diketahui tetapi tidak dikawal; sentiasa berubah.

Ralat rawak hanya boleh dianggarkan selepas pengukuran telah diambil.

Anggaran kuantitatif modulus magnitud ralat pengukuran rawak boleh parameter berikut: dan lain-lain

Ralat pengukuran rawak tidak boleh dikecualikan, ia hanya boleh dikurangkan. Salah satu cara utama untuk mengurangkan magnitud ralat pengukuran rawak adalah dengan menambah bilangan ukuran tunggal (peningkatan nilai n). Ini dijelaskan oleh fakta bahawa magnitud ralat rawak adalah berkadar songsang dengan nilai n, sebagai contoh:

Kesilapan sistematik adalah ralat dengan magnitud dan tanda yang tetap atau berubah-ubah mengikut undang-undang yang diketahui. Kesilapan ini disebabkan oleh faktor yang berterusan. Ralat sistematik boleh diukur, dikurangkan, dan bahkan dihapuskan.

Ralat sistematik dikelaskan kepada ralat jenis I, II dan III.

Kepada sistematik kesilapan jenis I rujuk kesilapan asal usul yang diketahui, yang boleh dianggarkan sebelum pengukuran dengan pengiraan. Kesilapan ini boleh dihapuskan dengan memasukkannya ke dalam hasil pengukuran dalam bentuk pembetulan. Contoh ralat jenis ini ialah ralat dalam penentuan titrimetrik kepekatan isipadu larutan jika titran disediakan pada satu suhu, dan kepekatan diukur pada suhu yang lain. Mengetahui pergantungan ketumpatan titran pada suhu, adalah mungkin untuk mengira perubahan dalam kepekatan isipadu titran yang berkaitan dengan perubahan suhu sebelum pengukuran, dan mengambil kira perbezaan ini sebagai pembetulan hasil daripada ukuran.

Bersistematik ralat jenis II- ini adalah ralat asal yang diketahui, yang hanya boleh dinilai semasa percubaan atau hasil daripada kajian khas. Ralat jenis ini termasuk ralat instrumental (instrumental), reaktif, rujukan, dan ralat lain. Kenali sendiri ciri-ciri kesilapan tersebut.

Mana-mana peranti, apabila digunakan dalam prosedur pengukuran, memperkenalkan ralat instrumentalnya ke dalam hasil pengukuran. Pada masa yang sama, beberapa ralat ini adalah rawak, dan sebahagian lagi adalah sistematik. Ralat instrumen rawak tidak dinilai secara berasingan, ia dinilai bersama-sama dengan semua ralat pengukuran rawak yang lain.

Setiap contoh mana-mana instrumen mempunyai ralat sistematik peribadinya sendiri. Untuk menilai kesilapan ini, adalah perlu untuk menjalankan kajian khas.

Cara yang paling boleh dipercayai untuk menilai ralat sistematik instrumental jenis II ialah menyemak operasi instrumen terhadap piawaian. Untuk mengukur peralatan (pipet, buret, silinder, dll.), prosedur khas dijalankan - penentukuran.

Dalam amalan, selalunya ia diperlukan untuk tidak menganggarkan, tetapi untuk mengurangkan atau menghapuskan ralat sistematik jenis II. Kaedah yang paling biasa untuk mengurangkan ralat sistematik ialah kaedah relativisasi dan rawak.Semak sendiri kaedah ini di .

Kepada kesilapan jenis III termasuk ralat yang tidak diketahui asalnya. Ralat ini hanya dapat dikesan selepas semua ralat sistematik jenis I dan II telah dihapuskan.

Kepada kesilapan lain kami akan mengaitkan semua jenis ralat lain yang tidak dipertimbangkan di atas (dibenarkan, mungkin ralat marginal dan lain-lain). Konsep kemungkinan ralat marginal digunakan dalam kes penggunaan alat pengukur dan menganggap ralat pengukuran instrumental maksimum yang mungkin (nilai sebenar ralat mungkin kurang daripada nilai ralat marginal yang mungkin).

Apabila menggunakan alat pengukur, adalah mungkin untuk mengira had mutlak yang mungkin (P` y, dsb.) atau relatif (E` y, dsb.) ralat pengukuran. Jadi, sebagai contoh, kemungkinan ralat pengukuran mutlak mengehadkan didapati sebagai jumlah kemungkinan mengehadkan rawak (x ` y, rawak, dsb.) dan sistematik tidak dikecualikan (d` y, dsb.) ralat:

P` y, cth. = x ` y, rawak, pr. + d` y, dan lain-lain.

Untuk sampel kecil (n £ 20), yang tidak diketahui penduduk, patuh undang-undang biasa pengedaran, ralat ukuran marginal rawak yang mungkin boleh dianggarkan seperti berikut:

x` y, rawak, pr. = D` y=S' y½t P, n ½,
di mana t P,n ialah kuantiti taburan (ujian) Pelajar untuk kebarangkalian P dan saiz sampel n. Ralat pengukuran pengehadan mutlak yang mungkin dalam kes ini adalah sama dengan:

P` y,cth.= S ` y½t P, n ½+ d` y, dan lain-lain.

Jika keputusan pengukuran tidak mematuhi hukum taburan normal, maka ralat dianggarkan menggunakan formula lain.

Menentukan nilai d ` y,dan lain-lain. bergantung kepada sama ada alat pengukur mempunyai kelas ketepatan. Jika alat pengukur tidak mempunyai kelas ketepatan, maka untuk nilai d ` y,dan lain-lain. boleh diterima nilai minimum pembahagian skala mengukur . Untuk alat pengukur dengan kelas ketepatan yang diketahui untuk nilai d ` y, contohnya, seseorang boleh menerima ralat sistematik mutlak yang dibenarkan bagi alat pengukur (d y, Tambah.):

d` y,dan lain-lain." .

nilai d y, Tambah. dikira berdasarkan formula yang diberikan dalam Jadual 5.

Bagi kebanyakan alat pengukur, kelas ketepatan ditunjukkan dalam bentuk nombor a × 10 n, di mana a adalah sama dengan 1; 1.5; 2; 2.5; empat; 5; 6 dan n ialah 1; 0; -satu; -2, dsb., yang menunjukkan nilai kemungkinan ralat sistematik maksimum yang dibenarkan (E y, tambah.) dan tanda khas yang menunjukkan jenisnya (relatif, berkurang, malar, berkadar).

Jadual 5

Contoh penetapan kelas ketepatan alat pengukur

Ralat pengukuran mutlak dipanggil nilai yang ditentukan oleh perbezaan antara hasil pengukuran x dan nilai sebenar kuantiti yang diukur x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

Nilai δ, sama dengan nisbah ralat pengukuran mutlak kepada hasil pengukuran, dipanggil ralat relatif:

Contoh 2.1. Nilai anggaran nombor π ialah 3.14. Maka ralatnya ialah 0.00159. Ralat mutlak boleh dianggap sama dengan 0.0016, dan ralat relatif sama dengan 0.0016/3.14 = 0.00051 = 0.051%.

Nombor penting. Jika ralat mutlak nilai a tidak melebihi satu unit digit terakhir nombor a, maka mereka mengatakan bahawa nombor itu mempunyai semua tanda yang betul. Anggaran nombor hendaklah ditulis, disimpan sahaja tanda-tanda yang benar. Jika, sebagai contoh, ralat mutlak nombor 52400 adalah sama dengan 100, maka nombor ini harus ditulis, sebagai contoh, sebagai 524·10 2 atau 0.524·10 5 . Anda boleh menganggarkan ralat nombor anggaran dengan menunjukkan bilangan digit bererti sebenar yang terkandung di dalamnya. Apabila mengira digit bererti, sifar di sebelah kiri nombor tidak dikira.

Sebagai contoh, nombor 0.0283 mempunyai tiga digit bererti yang sah, dan 2.5400 mempunyai lima digit bererti yang sah.

Peraturan Pembundaran Nombor. Jika nombor anggaran mengandungi aksara tambahan (atau salah), maka ia harus dibundarkan. Apabila pembundaran, ralat tambahan berlaku, tidak melebihi separuh unit digit bererti terakhir ( d) nombor bulat. Apabila membulatkan, hanya tanda yang betul dikekalkan; aksara tambahan dibuang, dan jika digit pertama yang dibuang lebih besar daripada atau sama dengan d/2, maka digit terakhir yang disimpan ditambah satu.

Digit tambahan dalam integer digantikan dengan sifar, dan dalam pecahan perpuluhan ia dibuang (serta sifar tambahan). Sebagai contoh, jika ralat pengukuran ialah 0.001 mm, maka keputusan 1.07005 dibundarkan kepada 1.070. Jika angka pertama sifar yang diubah suai dan dibuang adalah kurang daripada 5, baki digit tidak diubah. Sebagai contoh, nombor 148935 dengan ketepatan ukuran 50 mempunyai pembundaran 148900. Jika digit pertama yang akan digantikan dengan sifar atau dibuang ialah 5, dan ia diikuti dengan tiada digit atau sifar, maka pembundaran dilakukan kepada genap yang terdekat. nombor. Sebagai contoh, nombor 123.50 dibundarkan kepada 124. Jika digit pertama digantikan dengan sifar atau dibuang adalah lebih besar daripada 5 atau sama dengan 5, tetapi diikuti dengan digit bererti, maka digit terakhir yang tinggal ditambah satu. Sebagai contoh, nombor 6783.6 dibundarkan kepada 6784.

Contoh 2.2. Apabila membundarkan nombor 1284 hingga 1300, ralat mutlak ialah 1300 - 1284 = 16, dan apabila membundarkan kepada 1280, ralat mutlak ialah 1280 - 1284 = 4.

Contoh 2.3. Apabila membundarkan nombor 197 hingga 200, ralat mutlak ialah 200 - 197 = 3. Ralat relatif ialah 3/197 ≈ 0.01523 atau lebih kurang 3/200 ≈ 1.5%.

Contoh 2.4. Penjual menimbang tembikai pada penimbang. Dalam set pemberat, yang terkecil ialah 50 g. Penimbangan memberi 3600 g. Nombor ini adalah anggaran. Berat sebenar tembikai tidak diketahui. Tetapi ralat mutlak tidak melebihi 50 g. Ralat relatif tidak melebihi 50/3600 = 1.4%.

Kesilapan dalam menyelesaikan masalah pada PC

Tiga jenis ralat biasanya dianggap sebagai punca utama ralat. Ini adalah apa yang dipanggil ralat pemotongan, ralat pembundaran, dan ralat penyebaran. Sebagai contoh, apabila menggunakan kaedah berulang mencari akar persamaan tak linear keputusan adalah anggaran berbeza dengan kaedah langsung, yang memberikan penyelesaian yang tepat.

Ralat pemangkasan

Ralat jenis ini dikaitkan dengan ralat yang wujud dalam masalah itu sendiri. Ia mungkin disebabkan oleh ketidaktepatan dalam definisi data awal. Sebagai contoh, jika mana-mana dimensi dinyatakan dalam keadaan masalah, maka dalam amalan untuk objek sebenar, dimensi ini sentiasa diketahui dengan sedikit ketepatan. Begitu juga dengan yang lain parameter fizikal. Ini juga termasuk ketidaktepatan formula pengiraan dan pekali berangka mereka.

Ralat penyebaran

Ralat jenis ini dikaitkan dengan penggunaan satu atau kaedah lain untuk menyelesaikan masalah. Semasa pengiraan, pengumpulan atau, dengan kata lain, penyebaran ralat tidak dapat dielakkan berlaku. Sebagai tambahan kepada fakta bahawa data asal itu sendiri tidak tepat, ralat baru timbul apabila ia didarab, ditambah, dll. Pengumpulan ralat bergantung pada sifat dan bilangan operasi aritmetik yang digunakan dalam pengiraan.

Ralat pembulatan

Ralat jenis ini disebabkan oleh fakta bahawa nilai sebenar nombor tidak selalu disimpan dengan tepat oleh komputer. Apabila nombor nyata disimpan dalam ingatan komputer, ia ditulis sebagai mantissa dan eksponen dengan cara yang sama seperti nombor dipaparkan pada kalkulator.

Dalam fizik dan sains lain, selalunya perlu mengukur pelbagai kuantiti (contohnya, panjang, jisim, masa, suhu, rintangan elektrik dan lain-lain.).

Pengukuran- proses mencari nilai kuantiti fizik menggunakan khas cara teknikal- alat pengukur.

Alat pengukur dipanggil peranti yang digunakan untuk membandingkan kuantiti yang diukur dengan kuantiti fizik yang sama jenis, diambil sebagai unit ukuran.

Terdapat kaedah pengukuran langsung dan tidak langsung.

Kaedah pengukuran langsung - kaedah di mana nilai kuantiti yang ditentukan didapati dengan perbandingan langsung objek yang diukur dengan unit ukuran (standard). Sebagai contoh, panjang badan yang diukur oleh pembaris dibandingkan dengan unit panjang - satu meter, jisim badan yang diukur dengan skala dibandingkan dengan unit jisim - kilogram, dsb. Oleh itu, sebagai hasilnya pengukuran langsung nilai yang ditentukan diperolehi serta merta, serta merta.

Kaedah pengukuran tidak langsung- kaedah di mana nilai kuantiti yang ditentukan dikira daripada hasil pengukuran langsung kuantiti lain yang dikaitkan dengan pergantungan fungsi yang diketahui. Contohnya, menentukan lilitan bulatan berdasarkan hasil pengukuran diameter atau menentukan isipadu jasad berdasarkan hasil pengukuran dimensi linearnya.

Oleh kerana ketidaksempurnaan alat pengukur, deria kita, mempengaruhi pengaruh luar pada peralatan pengukur dan objek pengukuran, serta faktor lain, semua pengukuran boleh dibuat hanya dengan sehingga satu tahap ketepatan; oleh itu, keputusan pengukuran tidak memberikan nilai sebenar kuantiti yang diukur, tetapi hanya anggaran satu. Jika, sebagai contoh, berat badan ditentukan dengan ketepatan 0.1 mg, maka ini bermakna berat yang ditemui berbeza daripada berat badan sebenar dengan kurang daripada 0.1 mg.

Ketepatan ukuran - ciri kualiti ukuran, mencerminkan kehampiran hasil pengukuran dengan nilai sebenar kuantiti yang diukur.

Semakin kecil ralat pengukuran, semakin tinggi ketepatan pengukuran. Ketepatan pengukuran bergantung pada instrumen yang digunakan dalam pengukuran dan seterusnya kaedah biasa ukuran. Ia sama sekali tidak berguna untuk cuba melampaui had ketepatan ini apabila membuat pengukuran dalam keadaan tertentu. Adalah mungkin untuk meminimumkan kesan sebab-sebab yang mengurangkan ketepatan pengukuran, tetapi adalah mustahil untuk menyingkirkannya sepenuhnya, iaitu, kesilapan (ralat) yang lebih atau kurang ketara selalu dibuat semasa pengukuran. Untuk meningkatkan ketepatan keputusan akhir mana-mana dimensi fizikal adalah perlu untuk tidak melakukan satu, tetapi beberapa kali di bawah keadaan eksperimen yang sama.

Hasil daripada ukuran ke-i (i ialah nombor ukuran) bagi nilai "X", anggaran nombor X i diperoleh, yang berbeza daripada nilai sebenar Hist dengan beberapa nilai ∆Х i = |Х i – Х|, yang merupakan kesilapan atau, dengan kata lain, ralat. Ralat sebenar tidak diketahui oleh kami, kerana kami tidak tahu nilai sebenar nilai yang diukur. Nilai sebenar kuantiti fizik yang diukur terletak pada selang

Х i – ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

di mana X i ialah nilai nilai X yang diperoleh semasa pengukuran (iaitu, nilai yang diukur); ∆X ialah ralat mutlak dalam menentukan nilai X.

Ralat mutlak (ralat) pengukuran ∆X ialah nilai mutlak perbezaan antara nilai sebenar kuantiti diukur Xist dan hasil pengukuran X i: ∆X = |X ist - X i |.

Ralat relatif (ralat) pengukuran δ (mencirikan ketepatan pengukuran) secara berangka sama dengan nisbah ralat pengukuran mutlak ∆X kepada nilai sebenar nilai diukur X sist (sering dinyatakan sebagai peratusan): δ \u003d (∆X / X sist) 100% .

Ralat atau ralat pengukuran boleh dibahagikan kepada tiga kelas: sistematik, rawak dan kasar (miss).

Bersistematik mereka memanggil ralat sedemikian yang kekal malar atau secara semula jadi (mengikut beberapa pergantungan fungsi) berubah dengan pengukuran berulang kuantiti yang sama. Kesilapan tersebut terhasil daripada ciri reka bentuk alat pengukur, kelemahan kaedah pengukuran yang diterima, sebarang peninggalan penguji, pengaruh keadaan luaran atau kecacatan pada objek pengukuran itu sendiri.

Dalam mana-mana peranti pengukur, satu atau satu lagi ralat sistematik adalah wujud, yang tidak boleh dihapuskan, tetapi susunannya boleh diambil kira. Ralat sistematik sama ada meningkatkan atau mengurangkan hasil pengukuran, iaitu ralat ini dicirikan oleh tanda yang berterusan. Sebagai contoh, jika semasa menimbang salah satu pemberat mempunyai jisim 0.01 g lebih daripada yang ditunjukkan di atasnya, maka nilai didapati berat badan akan dianggarkan terlalu tinggi oleh jumlah ini, tidak kira berapa banyak ukuran yang dibuat. Kadangkala ralat sistematik boleh diambil kira atau dihapuskan, kadangkala ini tidak boleh dilakukan. Sebagai contoh, ralat maut termasuk ralat instrumen, yang hanya boleh kita katakan bahawa ia tidak melebihi nilai tertentu.

Kesilapan rawak dipanggil ralat yang mengubah magnitudnya dan menandatangani dengan cara yang tidak dapat diramalkan daripada pengalaman kepada pengalaman. Kemunculan ralat rawak adalah disebabkan oleh tindakan banyak sebab yang pelbagai dan tidak terkawal.

Sebagai contoh, apabila menimbang dengan neraca, sebab-sebab ini boleh menjadi getaran udara, zarah habuk terpendam, geseran berbeza dalam ampaian kiri dan kanan cawan, dsb. Ralat rawak menampakkan diri dalam fakta bahawa, setelah mengukur nilai X yang sama di bawah keadaan eksperimen yang sama, kita berbeza nilai: X1, X2, X3,…, X i ,…, X n , di mana X i ialah hasil ukuran ke-i. Ia tidak mungkin untuk mewujudkan sebarang keteraturan antara keputusan, oleh itu hasil pengukuran ke-i X dipertimbangkan pembolehubah rawak. Ralat rawak boleh pengaruh tertentu kepada satu ukuran, tetapi dengan beberapa ukuran mereka patuh undang-undang statistik dan pengaruhnya terhadap keputusan pengukuran boleh diambil kira atau dikurangkan dengan ketara.

Rindu dan kesilapan- secara berlebihan kesilapan besar, dengan jelas memesongkan hasil pengukuran. Kelas ralat ini paling kerap disebabkan oleh tindakan penguji yang salah (contohnya, disebabkan oleh ketidakpedulian, bukannya membaca peranti "212", nombor yang sama sekali berbeza ditulis - "221"). Ukuran yang mengandungi ralat dan ralat kasar hendaklah dibuang.

Pengukuran boleh dibuat dari segi ketepatannya dengan kaedah teknikal dan makmal.

Apabila menggunakan kaedah teknikal, pengukuran dijalankan sekali. Dalam kes ini, mereka berpuas hati dengan ketepatan sedemikian di mana ralat tidak melebihi beberapa yang telah ditetapkan tetapkan nilai ditentukan oleh ralat peralatan pengukur yang digunakan.

Pada kaedah makmal pengukuran, ia dikehendaki menunjukkan nilai kuantiti yang diukur dengan lebih tepat daripada ukuran tunggal yang dibenarkan kaedah teknikal. Dalam kes ini, beberapa ukuran dibuat dan min aritmetik bagi nilai yang diperolehi dikira, yang diambil sebagai nilai yang paling boleh dipercayai (benar) bagi nilai yang diukur. Kemudian, ketepatan hasil pengukuran dinilai (perakaunan untuk ralat rawak).

Daripada kemungkinan menjalankan pengukuran dengan dua kaedah, kewujudan dua kaedah untuk menilai ketepatan pengukuran berikut: teknikal dan makmal.

Salah satu yang paling isu penting dalam analisis berangka adalah persoalan bagaimana ralat yang berlaku di tempat tertentu semasa pengiraan merambat lebih jauh, iaitu sama ada pengaruhnya menjadi lebih besar atau lebih kecil apabila operasi berikutnya dilakukan. Kes yang melampau ialah penolakan dua hampir nombor yang sama: walaupun dengan ralat yang sangat kecil bagi kedua-dua nombor ini, ralat relatif perbezaan boleh menjadi sangat besar. Ralat relatif sedemikian akan merambat lebih jauh dalam semua operasi aritmetik berikutnya.

Salah satu punca ralat pengiraan (ralat) ialah perwakilan anggaran nombor nyata dalam komputer, disebabkan oleh keterbatasan grid bit. Walaupun data awal dibentangkan dalam komputer dengan ketepatan yang tinggi, pengumpulan ralat pembundaran dalam proses pengiraan boleh membawa kepada ralat yang terhasil yang ketara, dan beberapa algoritma mungkin ternyata tidak sesuai sepenuhnya untuk pengkomputeran sebenar pada komputer. Anda boleh mengetahui lebih lanjut tentang perwakilan nombor nyata dalam komputer.

Penyebaran pepijat

Sebagai langkah pertama dalam menangani masalah seperti perambatan ralat, adalah perlu untuk mencari ungkapan untuk ralat mutlak dan relatif hasil bagi setiap empat operasi aritmetik sebagai fungsi kuantiti yang terlibat dalam operasi dan ralatnya.

Ralat mutlak

Penambahan

Terdapat dua anggaran dan kepada dua kuantiti dan , serta ralat mutlak yang sepadan dan . Kemudian, sebagai hasil penambahan, kita ada

Ralat jumlah, yang kami nyatakan dengan , akan sama dengan

Penolakan

Dengan cara yang sama kita dapat

Pendaraban

Apabila berganda kita ada

Oleh kerana ralat biasanya jauh lebih kecil daripada nilai itu sendiri, kami mengabaikan hasil ralat:

Ralat produk akan menjadi

Pembahagian

Kami mengubah ungkapan ini kepada bentuk

Faktor dalam kurungan boleh dikembangkan menjadi satu siri

Mendarab dan mengabaikan semua istilah yang mengandungi hasil ralat atau darjah ralat yang lebih tinggi daripada yang pertama, kami mempunyai

Akibatnya,

Ia mesti difahami dengan jelas bahawa tanda kesilapan hanya diketahui dalam kes yang sangat jarang berlaku. Ia bukan fakta, sebagai contoh, bahawa ralat bertambah dengan penambahan dan berkurangan dengan penolakan kerana terdapat tambah dalam formula untuk penambahan, dan tolak untuk penolakan. Jika, sebagai contoh, ralat dua nombor mempunyai tanda yang bertentangan, maka keadaan akan menjadi sebaliknya, iaitu ralat akan berkurangan apabila menambah dan bertambah apabila menolak nombor ini.

Ralat relatif

Sebaik sahaja kita telah memperoleh formula untuk perambatan ralat mutlak dalam empat operasi aritmetik, agak mudah untuk mendapatkan formula yang sepadan untuk ralat relatif. Untuk penambahan dan penolakan, formula telah diubah suai untuk memasukkan ralat relatif setiap nombor asal secara eksplisit.

Penambahan

Penolakan

Pendaraban

Pembahagian

Kami memulakan operasi aritmetik dengan dua nilai anggaran dan dengan ralat yang sepadan dan . Ralat ini boleh berasal dari mana-mana asal. Nilai dan boleh menjadi hasil eksperimen yang mengandungi ralat; ia mungkin hasil prakiraan mengikut beberapa proses tak terhingga dan mungkin mengandungi ralat kekangan; ia mungkin hasil daripada operasi aritmetik sebelumnya dan mungkin mengandungi ralat pembundaran. Sememangnya, mereka juga boleh mengandungi ketiga-tiga jenis ralat dalam pelbagai kombinasi.

Formula di atas memberikan ungkapan untuk ralat hasil setiap empat operasi aritmetik sebagai fungsi ; ralat pembundaran dalam hal ini operasi aritmetik di mana tidak diambil kira. Jika pada masa hadapan adalah perlu untuk mengira bagaimana ralat hasil ini merambat dalam operasi aritmetik berikutnya, maka adalah perlu untuk mengira ralat hasil yang dikira oleh salah satu daripada empat formula tambah ralat pembundaran secara berasingan.

Graf proses pengiraan

Sekarang mari kita pertimbangkan cara mudah untuk mengira perambatan ralat dalam beberapa pengiraan aritmetik. Untuk tujuan ini, kami akan menggambarkan urutan operasi dalam pengiraan menggunakan mengira dan kami akan menulis pekali berhampiran anak panah graf, yang akan membolehkan kami dengan mudah menentukan jumlah ralat hasil akhir. Kaedah ini juga mudah kerana ia memudahkan untuk menentukan sumbangan sebarang ralat yang timbul semasa pengiraan kepada jumlah ralat.

Rajah 1. Graf proses pengkomputeran

Pada Rajah 1 graf proses pengiraan digambarkan. Graf hendaklah dibaca dari bawah ke atas, mengikut anak panah. Pertama, operasi yang terletak pada beberapa tahap mendatar dilakukan, selepas itu, operasi yang terletak di lebih tahap tinggi, dsb. Daripada Rajah 1, sebagai contoh, adalah jelas bahawa x dan y mula-mula ditambah dan kemudian didarab dengan z. Graf yang ditunjukkan dalam Rajah 1, hanyalah imej proses pengiraan itu sendiri. Untuk mengira jumlah ralat hasil, adalah perlu untuk menambah graf ini dengan pekali yang ditulis berhampiran anak panah mengikut peraturan berikut.

Penambahan

Biarkan dua anak panah yang memasuki bulatan tambahan keluar dari dua bulatan dengan nilai dan . Nilai ini boleh menjadi awal dan hasil. pengiraan sebelumnya. Kemudian anak panah menuju ke tanda + dalam bulatan mendapat pekali , manakala anak panah menuju dari tanda + dalam bulatan mendapat pekali .

Penolakan

Jika operasi dilakukan, maka anak panah yang sepadan menerima pekali dan .

Pendaraban

Kedua-dua anak panah yang disertakan dalam bulatan pendaraban menerima faktor +1.

Pembahagian

Jika pembahagian dilakukan, maka anak panah dari ke garis miring yang dibulatkan mendapat faktor +1, dan anak panah dari ke garis miring yang dibulatkan mendapat faktor −1.

Maksud semua pekali ini adalah seperti berikut: ralat relatif hasil daripada sebarang operasi (bulatan) disertakan dalam hasil operasi seterusnya, didarab dengan pekali anak panah yang menghubungkan kedua-dua operasi ini.

Contoh

Rajah.2. Graf proses pengiraan untuk penambahan , dan

Sekarang marilah kita menggunakan teknik graf untuk contoh dan menggambarkan maksud penyebaran ralat dalam pengiraan praktikal.

Contoh 1

Pertimbangkan masalah menambah empat nombor positif:

, .

Graf proses ini ditunjukkan dalam rajah.2. Mari kita anggap bahawa semua nilai awal diberikan dengan tepat dan tidak mempunyai ralat, dan biarkan , dan menjadi ralat pembundaran relatif selepas setiap operasi penambahan berikutnya. Penggunaan peraturan berturut-turut untuk mengira jumlah ralat hasil akhir membawa kepada formula

Mengurangkan hasil tambah dalam sebutan pertama dan mendarabkan keseluruhan ungkapan dengan , kita perolehi

Memandangkan ralat pembundaran ialah (dalam kes ini diandaikan bahawa nombor sebenar dalam komputer diwakili dalam bentuk pecahan perpuluhan Dengan t angka bererti), akhirnya kami mempunyai

Pengukuran kuantiti ialah operasi, akibatnya kita mengetahui berapa kali nilai yang diukur lebih besar (atau kurang) daripada nilai yang sepadan, diambil sebagai piawai (unit ukuran). Semua ukuran boleh dibahagikan kepada dua jenis: langsung dan tidak langsung.

LANGSUNG ini adalah ukuran yang menarik secara langsung kuantiti fizikal(jisim, panjang, selang masa, perubahan suhu, dll.).

TIDAK LANGSUNG - ini adalah ukuran di mana kuantiti kepentingan kepada kami ditentukan (dikira) daripada hasil pengukuran langsung kuantiti lain yang dikaitkan dengannya oleh pergantungan fungsi tertentu. Contohnya, menentukan kelajuan gerakan seragam dengan pengukuran jarak yang dilalui dalam tempoh masa, pengukuran ketumpatan badan dengan ukuran jisim dan isipadu badan, dsb.

Ciri umum pengukuran adalah kemustahilan untuk mendapatkan nilai sebenar kuantiti yang diukur, hasil pengukuran sentiasa mengandungi beberapa jenis ralat (ralat). Ini dijelaskan oleh ketepatan pengukuran yang pada asasnya terhad dan oleh sifat objek yang diukur itu sendiri. Oleh itu, untuk menunjukkan betapa hampir keputusan yang diperolehi dengan nilai sebenar, ralat pengukuran ditunjukkan bersama dengan keputusan yang diperolehi.

Sebagai contoh, kami mengukur panjang fokus kanta f dan menulisnya

f = (256 ± 2) mm (1)

Ini bermakna jarak fokus adalah antara 254 dan 258 mm. Tetapi sebenarnya persamaan (1) ini mempunyai maksud kebarangkalian. Kami tidak boleh mengatakan dengan pasti bahawa nilai itu terletak dalam had yang ditentukan, hanya terdapat kebarangkalian tertentu ini, oleh itu kesamaan (1) mesti ditambah dengan petunjuk kebarangkalian nisbah ini masuk akal (di bawah kami akan merumuskan ini. pernyataan dengan lebih tepat).

Penilaian kesilapan adalah perlu, kerana tanpa mengetahui apa itu, adalah mustahil untuk membuat kesimpulan yang pasti dari eksperimen.

Biasanya mengira ralat mutlak dan relatif. Ralat mutlak Δx ialah perbezaan antara nilai sebenar kuantiti yang diukur μ dan hasil pengukuran x, i.e. Δx = μ - x

Nisbah ralat mutlak kepada nilai sebenar nilai terukur ε = (μ - x)/μ dipanggil ralat relatif.

Ralat mutlak mencirikan ralat kaedah yang telah dipilih untuk pengukuran.

Ralat relatif mencirikan kualiti pengukuran. Ketepatan pengukuran adalah timbal balik ralat relatif, i.e. 1/ε.

§ 2. Pengelasan ralat

Semua ralat pengukuran dibahagikan kepada tiga kelas: ralat (ralat kasar), ralat sistematik dan rawak.

KEHILANGAN disebabkan oleh pelanggaran mendadak keadaan pengukuran dalam pemerhatian individu. Ini ialah ralat yang dikaitkan dengan kejutan atau kerosakan peranti, salah pengiraan kasar penguji, gangguan yang tidak dijangka, dsb. ralat kasar biasanya muncul dalam tidak lebih daripada satu atau dua dimensi dan berbeza secara mendadak dalam magnitud daripada ralat lain. Kehadiran miss boleh sangat memesongkan keputusan yang mengandungi miss. Cara paling mudah adalah untuk menentukan punca slip dan menghapuskannya semasa proses pengukuran. Jika slip tidak dikecualikan semasa proses pengukuran, maka ini perlu dilakukan semasa memproses keputusan pengukuran, menggunakan kriteria khas yang membolehkan seseorang membezakan secara objektif dalam setiap siri pemerhatian. kesilapan jika ia wujud.

Ralat sistematik ialah komponen ralat pengukuran yang kekal malar dan sentiasa berubah semasa pengukuran berulang dengan nilai yang sama. Kesilapan sistematik timbul jika seseorang tidak mengambil kira, contohnya, pengembangan haba apabila mengukur isipadu cecair atau gas yang dihasilkan pada suhu yang berubah perlahan; jika, semasa mengukur jisim, kesan daya keapungan udara pada badan yang ditimbang dan pada pemberat tidak diambil kira, dsb.

Ralat sistematik diperhatikan jika skala pembaris digunakan secara tidak tepat (tidak sekata); kapilari termometer di bahagian yang berbeza mempunyai keratan rentas yang berbeza; dengan ketiadaan arus elektrik melalui ammeter, anak panah peranti tidak berada pada sifar, dsb.

Seperti yang dapat dilihat daripada contoh, ralat sistematik disebabkan oleh sebab-sebab tertentu, nilainya kekal malar (sifar mengimbangi skala instrumen, skala tidak sekata), atau berubah mengikut undang-undang tertentu (kadang-kadang agak kompleks) (ketidakseragaman skala, keratan rentas tidak sekata kapilari termometer, dsb.).

Kita boleh mengatakan bahawa ralat sistematik ialah ungkapan lembut yang menggantikan perkataan "ralat penguji".

Ralat ini berlaku kerana:

alat pengukur yang tidak tepat;
pemasangan sebenar agak berbeza daripada yang ideal;
teori fenomena tidak sepenuhnya betul, i.e. tiada kesan diambil kira.

Kami tahu apa yang perlu dilakukan dalam kes pertama, penentukuran atau pengijazahan diperlukan. Dalam dua kes lain resepi siap tidak wujud. Lebih baik anda mengetahui fizik, lebih banyak pengalaman yang anda miliki, lebih besar kemungkinan anda mengesan kesan tersebut, dan oleh itu menghapuskannya. Peraturan umum, tiada resipi untuk mengenal pasti dan menghapuskan ralat sistematik, tetapi beberapa pengelasan boleh dibuat. Kami membezakan empat jenis ralat sistematik.

Ralat sistematik, yang sifatnya diketahui oleh anda, dan nilainya boleh didapati, oleh itu, dikecualikan dengan pengenalan pindaan. Contoh. Menimbang pada timbangan yang tidak sama rata. Biarkan beza panjang lengan 0.001 mm. Dengan panjang rocker 70 mm dan ditimbang berat badan 200 G ralat sistematik ialah 2.86 mg. Ralat sistematik pengukuran ini boleh dihapuskan dengan menggunakan kaedah khas penimbangan (kaedah Gauss, kaedah Mendeleev, dsb.).
Ralat sistematik, yang diketahui kurang daripada yang pasti nilai tertentu. Dalam kes ini, apabila merekodkan respons, ia boleh ditunjukkan nilai maksimum. Contoh. Pasport yang dilampirkan pada mikrometer berkata: “Ralat yang dibenarkan ialah ± 0.004 mm. Suhu +20 ± 4 ° C. Ini bermakna dengan mengukur dimensi badan dengan mikrometer ini pada suhu yang ditunjukkan dalam pasport, kita akan mempunyai kesilapan mutlak, tidak melebihi ± 0.004 mm untuk sebarang hasil pengukuran.
Selalunya, ralat mutlak maksimum yang diberikan oleh instrumen tertentu ditunjukkan oleh kelas ketepatan instrumen, yang digambarkan pada skala instrumen dengan nombor yang sepadan, paling kerap diambil dalam bulatan.

Nombor yang menunjukkan kelas ketepatan menunjukkan ralat mutlak maksimum instrumen, dinyatakan sebagai peratusan nilai yang paling besar nilai diukur pada had atas penimbang.

Biarkan voltmeter digunakan dalam pengukuran, mempunyai skala dari 0 hingga 250 AT, kelas ketepatannya ialah 1. Ini bermakna ralat mutlak maksimum yang boleh dibuat apabila mengukur dengan voltmeter ini tidak akan melebihi 1% daripada nilai voltan tertinggi yang boleh diukur pada skala instrumen ini, dengan kata lain:

δ = ±0.01 250 AT= ±2.5 AT.

Kelas ketepatan alat pengukur elektrik menentukan ralat maksimum, yang nilainya tidak berubah apabila bergerak dari awal hingga akhir skala. Dalam kes ini, ralat relatif berubah secara mendadak, kerana instrumen memberikan ketepatan yang baik apabila anak panah menyimpang hampir ke seluruh skala dan tidak memberikannya apabila mengukur pada permulaan skala. Oleh itu cadangan: pilih instrumen (atau skala instrumen berbilang julat) supaya anak panah instrumen semasa pengukuran melepasi tengah skala.

Jika kelas ketepatan peranti tidak dinyatakan dan tiada data pasport, maka separuh harga bahagian skala terkecil peranti diambil sebagai ralat maksimum peranti.

Sedikit perkataan tentang ketepatan penguasa. Pembaris logam sangat tepat: pembahagian milimeter digunakan dengan ralat tidak lebih daripada ±0.05 mm, dan sentimeter tidak lebih buruk daripada dengan ketepatan 0.1 mm. Kesilapan pengukuran yang dibuat dengan ketepatan pembaris tersebut boleh dikatakan sama dengan ralat bacaan mengikut mata (≤0.5 mm). Adalah lebih baik untuk tidak menggunakan pembaris kayu dan plastik, kesilapan mereka boleh berubah menjadi besar secara tidak dijangka.

Mikrometer berfungsi memberikan ketepatan 0.01 mm, dan ralat pengukuran dengan angkup ditentukan oleh ketepatan bacaan boleh dibuat, i.e. ketepatan vernier (biasanya 0.1 mm atau 0.05 mm).
Ralat sistematik disebabkan oleh sifat objek yang diukur. Ralat ini selalunya boleh dikurangkan kepada ralat rawak. Contoh.. Kekonduksian elektrik beberapa bahan ditentukan. Jika untuk pengukuran sedemikian diambil sekeping wayar yang mempunyai beberapa jenis kecacatan (penebalan, retak, ketidakhomogenan), maka ralat akan dibuat dalam menentukan kekonduksian elektrik. Pengukuran berulang memberikan nilai yang sama, i.e. terdapat beberapa ralat sistematik. Mari kita ukur rintangan beberapa segmen wayar tersebut dan cari nilai purata kekonduksian elektrik bahan ini, yang mungkin lebih besar atau kurang daripada kekonduksian elektrik pengukuran individu, oleh itu, ralat yang dibuat dalam pengukuran ini boleh dikaitkan kepada apa yang dipanggil ralat rawak.
Kesilapan sistematik yang tidak diketahui kewujudannya. Contoh.. Tentukan ketumpatan mana-mana logam. Pertama, cari isipadu dan jisim sampel. Di dalam sampel terdapat kekosongan yang kita tidak tahu apa-apa. Ralat akan dibuat dalam menentukan ketumpatan, yang akan diulang untuk sebarang bilangan ukuran. Contoh yang diberikan adalah mudah, punca ralat dan magnitudnya boleh ditentukan tanpa banyak kesukaran. Ralat jenis ini boleh dikesan dengan bantuan kajian tambahan, dengan menjalankan pengukuran dengan kaedah yang sama sekali berbeza dan dalam keadaan yang berbeza.

RANDOM ialah komponen ralat pengukuran yang berubah secara rawak dengan pengukuran berulang dengan nilai yang sama.

Apabila pengukuran berulang pada pemalar yang sama, kuantiti tidak berubah dilakukan dengan penjagaan yang sama dan di bawah keadaan yang sama, kita mendapat hasil pengukuran sebahagian daripadanya berbeza antara satu sama lain, dan sebahagian daripadanya bertepatan. Percanggahan sedemikian dalam keputusan pengukuran menunjukkan kehadiran komponen ralat rawak di dalamnya.

Ralat rawak timbul daripada tindakan serentak banyak sumber, setiap satunya mempunyai kesan yang tidak dapat dilihat pada hasil pengukuran, tetapi kesan keseluruhan semua sumber boleh menjadi agak kuat.

Ralat rawak boleh mengambil nilai mutlak yang berbeza, yang tidak boleh diramalkan untuk tindakan pengukuran tertentu. Ralat ini boleh sama-sama positif dan negatif. Ralat rawak sentiasa ada dalam eksperimen. Dengan ketiadaan ralat sistematik, ia menyebabkan pengukuran berulang untuk berselerak tentang nilai sebenar ( rajah.14).

Jika, sebagai tambahan, terdapat ralat sistematik, maka hasil pengukuran akan berselerak berkenaan dengan bukan nilai yang benar, tetapi nilai berat sebelah ( rajah.15).

nasi. 14 Rajah. lima belas

Mari kita anggap bahawa dengan bantuan jam randik kita mengukur tempoh ayunan bandul, dan pengukuran diulang berkali-kali. Kesilapan dalam memulakan dan menghentikan jam randik, ralat dalam nilai rujukan, pergerakan kecil bandul yang tidak sekata semua ini menyebabkan serakan dalam hasil pengukuran berulang dan oleh itu boleh diklasifikasikan sebagai ralat rawak.

Jika tiada ralat lain, maka beberapa keputusan akan agak terlalu tinggi, manakala yang lain akan dipandang remeh sedikit. Tetapi jika, sebagai tambahan kepada ini, jam juga di belakang, maka semua keputusan akan dipandang remeh. Ini sudah menjadi ralat sistematik.

Beberapa faktor boleh menyebabkan ralat sistematik dan rawak pada masa yang sama. Jadi, dengan menghidupkan dan mematikan jam randik, kita boleh mencipta hamparan kecil yang tidak teratur pada saat memulakan dan menghentikan jam berbanding pergerakan bandul dan dengan itu memperkenalkan ralat rawak. Tetapi jika, sebagai tambahan, setiap kali kita tergesa-gesa untuk menghidupkan jam randik dan agak lewat mematikannya, maka ini akan membawa kepada ralat sistematik.

Ralat rawak disebabkan oleh ralat paralaks semasa membaca bahagian skala instrumen, gegaran asas bangunan, pengaruh pergerakan udara yang sedikit, dsb.

Walaupun adalah mustahil untuk mengecualikan ralat rawak pengukuran individu, teori matematik fenomena rawak membolehkan kita mengurangkan pengaruh ralat ini pada hasil pengukuran akhir. Ia akan ditunjukkan di bawah bahawa untuk ini adalah perlu untuk membuat bukan satu, tetapi beberapa ukuran, dan semakin kecil nilai ralat yang ingin kita peroleh, lebih banyak dimensi perlu dijalankan.

Perlu diingat bahawa jika ralat rawak yang diperoleh daripada data pengukuran ternyata kurang ketara daripada ralat yang ditentukan oleh ketepatan instrumen, maka, jelas sekali, tidak ada gunanya cuba mengurangkan lagi magnitud ralat rawak bagaimanapun, hasil pengukuran tidak akan menjadi lebih tepat daripada ini.

Sebaliknya, jika ralat rawak lebih besar daripada ralat instrumental (sistematik), maka pengukuran hendaklah dijalankan beberapa kali untuk mengurangkan nilai ralat bagi siri pengukuran tertentu dan menjadikan ralat ini kurang daripada atau satu susunan magnitud dengan ralat instrumen.