Apakah penyelesaian grafik persamaan. Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan bercampur

>>Matematik: Penyelesaian grafik persamaan

Penyelesaian grafik persamaan

Mari kita ringkaskan pengetahuan kita tentang graf fungsi. Kami telah mempelajari cara membina graf bagi fungsi berikut:

y =b (garis lurus selari dengan paksi x);

y = kx (garisan yang melalui asal);

y - kx + m (garis lurus);

y = x 2 (parabola).

Pengetahuan tentang graf ini akan membolehkan kami, jika perlu, menggantikan analisis model geometri (grafik), sebagai contoh, bukannya model y = x 2 (yang mewakili kesamaan dengan dua pembolehubah x dan y), pertimbangkan parabola dalam satah koordinat. Khususnya, kadangkala berguna untuk menyelesaikan persamaan. Mari kita bincangkan bagaimana ini dilakukan menggunakan beberapa contoh.

A. V. Pogorelov, Geometri untuk gred 7-11, Buku Teks untuk institusi pendidikan

Isi pelajaran nota pelajaran menyokong kaedah pecutan pembentangan pelajaran bingkai teknologi interaktif berlatih tugasan dan latihan bengkel ujian kendiri, latihan, kes, pencarian soalan perbincangan kerja rumah soalan retorik daripada pelajar Ilustrasi audio, klip video dan multimedia gambar, gambar, grafik, jadual, rajah, jenaka, anekdot, jenaka, komik, perumpamaan, pepatah, silang kata, petikan Alat tambah abstrak artikel helah untuk buaian ingin tahu buku teks asas dan kamus tambahan istilah lain Menambah baik buku teks dan pelajaranmembetulkan kesilapan dalam buku teks mengemas kini serpihan dalam buku teks, elemen inovasi dalam pelajaran, menggantikan pengetahuan lapuk dengan yang baharu Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna pelan kalendar selama setahun cadangan metodologi program perbincangan Pelajaran Bersepadu

Semasa pelajaran, pelajar menunjukkan pengetahuan dan kemahiran program:

– mengenali jenis fungsi, membina graf mereka;
– mempraktikkan kemahiran dalam membina fungsi kuadratik;
- berjaya kaedah grafik menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah pengekstrakan persegi penuh.

Saya ingin memberi perhatian khusus menyelesaikan masalah dengan parameter, kerana Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik menawarkan banyak tugas jenis ini.

Peluang untuk menggunakan jenis kerja ini di dalam bilik darjah telah diberikan kepada saya oleh pelajar sendiri, kerana mereka mempunyai asas pengetahuan yang mencukupi yang boleh diperdalam dan diperluaskan.

Templat yang disediakan lebih awal oleh pelajar menjimatkan masa pelajaran. Semasa pengajaran, saya dapat melaksanakan tugasan yang ditetapkan pada awal pelajaran dan mendapat hasil yang diharapkan.

Penggunaan pelajaran pendidikan jasmani membantu mengelakkan kerja berlebihan pelajar dan mengekalkan motivasi produktif untuk memperoleh pengetahuan.

Secara umum, saya berpuas hati dengan hasil pelajaran, tetapi saya fikir masih ada peluang rizab: alat teknologi inovatif moden, yang kami, malangnya, tidak mempunyai peluang untuk menggunakannya.

Jenis pelajaran: penyatuan bahan yang dipelajari.

Objektif pelajaran:

Pendidikan am dan didaktik:
- membangunkan cara berfikir yang pelbagai dalam diri pelajar;
- membangunkan keupayaan untuk menyelesaikan masalah secara bebas;
- untuk memupuk budaya matematik pelajar;
- membangunkan intuisi dan keupayaan pelajar untuk menggunakan pengetahuan yang diperolehi.
Matlamat pembelajaran:
- meringkaskan maklumat yang telah dikaji sebelum ini mengenai topik "Penyelesaian grafik persamaan kuadratik";
- ulangi pembinaan graf bagi fungsi kuadratik;
- membangunkan kemahiran menggunakan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah grafik.
Pendidikan:
- menanam minat terhadap aktiviti pendidikan, kepada subjek matematik;
- pembentukan toleransi (toleransi), keupayaan untuk bekerja dalam satu pasukan.

KEMAJUAN PELAJARAN

saya. Detik organisasi

– Hari ini dalam pelajaran kita akan generalisasi dan menyatukan penyelesaian grafik persamaan kuadratik dalam pelbagai cara.
Pada masa akan datang, kita akan memerlukan kemahiran ini di sekolah menengah dalam pelajaran matematik apabila menyelesaikan persamaan trigonometri dan logaritma, mencari luas trapezoid lengkung, serta dalam pelajaran fizik.

II. Menyemak kerja rumah

Mari lihat nombor 23.5(d) di papan tulis.

Selesaikan persamaan ini menggunakan parabola dan garis.

Penyelesaian:

x 2 + x – 6 = 0
Mari kita ubah persamaan: x 2 = 6 – x
Mari perkenalkan fungsi:

y = x 2; fungsi kuadratik y = 6 – x linear,
jadual yavl. parabola, graf lurus,

Kami membina graf fungsi dalam satu sistem koordinat (menggunakan templat)

Kami mendapat dua titik persimpangan.

Dengan keputusan persamaan kuadratik Absis titik-titik ini ialah x 1 = – 3, x 2 = 2.

Jawapan: – 3; 2.

III. Tinjauan hadapan

Apakah itu graf fungsi kuadratik?
Beritahu saya algoritma untuk membina graf bagi fungsi kuadratik?
Apakah persamaan kuadratik?
Berikan contoh persamaan kuadratik?
Tuliskan contoh persamaan kuadratik anda di papan tulis.
Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan?
Berapa banyak cara yang anda tahu untuk menyelesaikan persamaan kuadratik secara grafik?
Apakah kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan kuadratik:

IV. Membetulkan bahan

Di papan tulis, pelajar menyelesaikan menggunakan kaedah pertama, kedua, ketiga.

Kelas memutuskan keempat

– x 2 + 6x – 5 = 0

Saya mengubah persamaan kuadratik dengan mengasingkan kuasa dua sempurna binomial:

– x 2 + 6x – 5 = – (x 2 – 6x + 5) = – (x 2 – 6x + 32 – 9 + 5) = – ((x – 3) 2 – 4) = – (x – 3) 2+4

Kami mendapat persamaan kuadratik:

– (x – 3) 2 + 4 = 0

Mari perkenalkan fungsi:

y = – (x 2 – 3) 2 + 4

Fungsi kuadratik bentuk y = a (x + L) 2 + m

Jadualnya ialah parabola, cawangan diarahkan ke bawah, anjakan parabola utama sepanjang paksi Lembu ke kanan sebanyak 3 unit, ke atas sepanjang paksi Oy sebanyak 4 unit, puncak (3; 4).

Kami membina mengikut templat.

Kami mendapati titik persilangan parabola dengan paksi Lembu. Abscissas mata ini ialah penyelesaian persamaan ini. x = 1, x = 5.

Mari lihat penyelesaian grafik lain di papan tulis. Komen kaedah anda untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

1 pelajar

Penyelesaian:

– x 2 + 6x – 5 = 0

Mari kita perkenalkan fungsi y = – x + 6x – 5, fungsi kuadratik, graf ialah parabola, cawangannya diarahkan ke bawah, bahagian atas

x 0 = – b/2a
x 0 = – 6/– 2 = 3
y 0 = – 3 2 + 18 = 9; titik (3; 9)
paksi simetri x = 3

Kami membina mengikut templat

Kami telah memperoleh titik persilangan dengan paksi Lembu, absis titik ini adalah penyelesaian kepada persamaan kuadratik. Dua punca x 1 = 1, x 2 = 5

2 pelajar

Penyelesaian:

– x 2 + 6x – 5 = 0

Mari kita ubah: – x 2 + 6x = 5

Mari perkenalkan fungsi: y1 = – x 2 + 6x, y2 = 5, fungsi linear, fungsi kuadratik, graf graf fenomena. garis lurus di || Oh yavl. parabola, cabang menunjuk ke bawah, atas x 0 = – b/2a
x 0 = – 6/– 2 = 3
y 0 = – 3 2 + 18 = 9;
(3; 9).
paksi simetri x = 3
Kami membina mengikut templat
Kami mendapat titik persimpangan
parabola dan garis lurus, absis mereka adalah penyelesaian kepada persamaan kuadratik. Dua punca x 1 = 1, x 2 = 5
Jadi, persamaan yang sama boleh diselesaikan dengan cara yang berbeza, tetapi jawapannya harus sama.

V. Minit pendidikan jasmani

VI. Menyelesaikan masalah dengan parameter

Pada nilai apa r persamaan x 2 + 6x + 8 = p:
- Tidak mempunyai akar?
– Adakah ia mempunyai satu akar?
– Mempunyai dua akar?
Bagaimanakah persamaan ini berbeza daripada yang sebelumnya?
Betul, dengan surat!
Dalam apa yang berikut kita akan memanggil surat ini parameter, P.
Setakat ini dia tidak memberitahu anda apa-apa. Tetapi pada masa akan datang kami akan menyelesaikan pelbagai masalah dengan parameter.
Hari ini kita akan menyelesaikan persamaan kuadratik dengan parameter kaedah grafik, menggunakan kaedah ketiga menggunakan parabola dan garis lurus selari dengan paksi-x.
Murid membantu guru menyelesaikan di papan hitam.
Di manakah kita harus mula membuat keputusan?

Mari kita tetapkan fungsi:

y 1 = x 2 + 6x + 8 y 2 = p fungsi linear,
fungsi kuadratik, graf ialah garis lurus
jadual yavl. parabola,
dahan menunjuk ke bawah, atas

x 0 = – b/2a,
x 0 = – 6/2 = – 3
y 0 = (– 3) 2 + 6(– 3) + 8 = – 1
(– 3; – 1)

Paksi simetri ialah x = 3, saya tidak akan membina jadual, tetapi saya akan mengambil templat y = x 2 dan menerapkannya pada bucu parabola.
Parabola telah dibina! Sekarang kita perlu melukis garis lurus y = p.
– Di manakah saya perlu melukis garis lurus? r untuk mendapatkan dua akar?
– Di manakah saya perlu melukis garis lurus? r untuk mendapatkan satu akar?
– Di manakah saya perlu melukis garis lurus? r sehingga tiada akar?
– Jadi, berapa banyak punca persamaan kita?
– Adakah anda menyukai tugas itu? Terima kasih atas bantuan anda! Penilaian 5.

VII. Kerja bebas mengikut pilihan (5 min.)

y = x 2 – 5x + 6 y = – x 2 + x – 6

Selesaikan persamaan kuadratik secara grafik, pilih kaedah yang mudah untuk anda. Jika orang lain menyelesaikan tugas lebih awal, semak penyelesaian anda dengan cara lain. Markah tambahan akan diberikan untuk ini.

VIII. Ringkasan pelajaran

- Apa yang anda pelajari dalam pelajaran hari ini?
– Hari ini dalam pelajaran kami menyelesaikan persamaan kuadratik secara grafik, menggunakan pelbagai kaedah penyelesaian, dan melihat kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan parameter!
- Mari kita beralih kepada kerja rumah.

IX. Kerja rumah

1. Buatan sendiri ujian pada halaman 147, dari buku masalah Mordkovich untuk pilihan I dan II.
2. Di bulatan, pada hari Rabu, kami akan menyelesaikan kaedah V-th (hiperbola dan garis lurus).

X. Sastera:

1. A.G. Mordkovich. Algebra-8. Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan. M.: Mnemosyne, 2008.
2. A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrova, T.N. Mishustina, E.E. Tulcinskaya. Algebra – 8. Bahagian 2. Buku masalah untuk pelajar institusi pendidikan. M.: Mnemosyne, 2008.
3. A.G. Mordkovich. Algebra 7-9. Manual metodologi untuk guru M.: Mnemosyne, 2004.
4. L.A. Alexandrova. Algebra-8. Kerja bebas untuk pelajar institusi pendidikan./Ed. A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2009.

Penyelesaian grafik persamaan

Hari kegemilangan, 2009

pengenalan

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik pada zaman dahulu adalah disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan plot tanah dan dengan kerja tanah yang bersifat ketenteraan, serta dengan perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Orang Babylon dapat menyelesaikan persamaan kuadratik sekitar 2000 SM. Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon sampai pada peraturan ini.

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di Eropah mula-mula dinyatakan dalam Book of Abacus, yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Bukunya menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain.

Tetapi peraturan am penyelesaian kepada persamaan kuadratik untuk semua kemungkinan kombinasi pekali b dan c telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Pada tahun 1591 Francois Viet memperkenalkan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

DALAM Babylon purba boleh menyelesaikan beberapa jenis persamaan kuadratik.

Diophantus dari Alexandria Dan Euclid , Al-Khawarizmi Dan Omar Khayyam menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah geometri dan grafik.

Dalam darjah 7 kami belajar fungsi y = C, y = kx , y = kx + m , y = x 2 ,y = – x 2 , dalam darjah 8 - y = √ x , y = |x |, y = kapak 2 + bx + c , y = k / x. Dalam buku teks algebra gred 9, saya melihat fungsi yang belum saya ketahui: y = x 3 , y = x 4 ,y = x 2n, y = x - 2n, y = 3 √x , ( x – a ) 2 + (y – b ) 2 = r 2 dan lain-lain. Terdapat peraturan untuk membina graf bagi fungsi ini. Saya tertanya-tanya jika ada fungsi lain yang mematuhi peraturan ini.

Tugas saya ialah mengkaji graf fungsi dan menyelesaikan persamaan secara grafik.

1. Apakah fungsinya?

Graf fungsi ialah set semua titik satah koordinat, abscissas yang sama dengan nilai argumen, dan ordinat adalah sama dengan nilai fungsi yang sepadan.

Fungsi linear diberikan oleh persamaan y = kx + b, Di mana k Dan b- beberapa nombor. Graf fungsi ini ialah garis lurus.

Fungsi perkadaran songsang y = k / x, dengan k¹ 0. Graf bagi fungsi ini dipanggil hiperbola.

Fungsi ( x – a ) 2 + (y – b ) 2 = r 2 , Di mana A , b Dan r- beberapa nombor. Graf fungsi ini ialah bulatan berjejari r dengan pusat di titik A ( A , b).

Fungsi kuadratik y = kapak 2 + bx + c di mana A, b , Dengan– beberapa nombor dan A¹ 0. Graf bagi fungsi ini ialah parabola.

Persamaan y 2 ( a – x ) = x 2 ( a + x ) . Graf persamaan ini akan menjadi lengkung yang dipanggil strofoid.

Persamaan ( x 2 + y 2 ) 2 = a ( x 2 – y 2 ) . Graf persamaan ini dipanggil lemniskat Bernoulli.

Persamaan. Graf persamaan ini dipanggil astroid.

Lengkung (x 2 y 2 – 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2). Lengkung ini dipanggil kardioid.

Fungsi: y = x 3 - parabola padu, y = x 4 , y = 1/ x 2 .

2. Konsep persamaan dan penyelesaian grafiknya

Persamaan– ungkapan yang mengandungi pembolehubah.

Selesaikan persamaan- ini bermakna mencari semua akarnya, atau membuktikan bahawa ia tidak wujud.

Punca persamaan ialah nombor yang, apabila digantikan ke dalam persamaan, menghasilkan kesamaan berangka yang betul.

Menyelesaikan persamaan secara grafik membolehkan anda mencari nilai tepat atau anggaran punca, membolehkan anda mencari bilangan punca persamaan.

Apabila membina graf dan menyelesaikan persamaan, sifat-sifat fungsi digunakan, itulah sebabnya kaedah itu sering dipanggil berfungsi-grafik.

Untuk menyelesaikan persamaan, kami "membahagikan" kepada dua bahagian, memperkenalkan dua fungsi, membina graf mereka, dan mencari koordinat titik persilangan graf. Absis titik-titik ini adalah punca-punca persamaan.

3. Algoritma untuk memplot graf fungsi

Mengetahui graf fungsi y = f ( x ) , anda boleh membina graf fungsi y = f ( x + m ) ,y = f ( x )+ l Dan y = f ( x + m )+ l. Kesemua graf ini diperoleh daripada graf fungsi tersebut y = f ( x ) menggunakan transformasi bawa selari: kepada │ m │ unit skala ke kanan atau kiri sepanjang paksi-x dan seterusnya │ l │ unit skala atas atau bawah sepanjang paksi y .

4. Penyelesaian grafik bagi persamaan kuadratik

Menggunakan fungsi kuadratik sebagai contoh, kami akan mempertimbangkan penyelesaian grafik bagi persamaan kuadratik. Graf bagi fungsi kuadratik ialah parabola.

Apakah yang diketahui oleh orang Yunani kuno tentang parabola?

Simbolisme matematik moden berasal dari abad ke-16.

Ahli matematik Yunani kuno tidak kaedah koordinat, tiada konsep fungsi. Namun begitu, sifat-sifat parabola telah dikaji secara terperinci oleh mereka. Kebijaksanaan ahli matematik purba sememangnya menakjubkan - lagipun, mereka hanya boleh menggunakan lukisan dan penerangan secara lisan tanggungan.

Kebanyakan meneroka parabola, hiperbola dan elips sepenuhnya Apollonius dari Perga, yang hidup pada abad ke-3 SM. Dia memberikan nama lengkung ini dan menunjukkan syarat apa yang dipenuhi oleh mata yang terletak pada lengkung ini atau itu (lagipun, tiada formula!).

Terdapat algoritma untuk membina parabola:

Cari koordinat bagi bucu parabola A (x 0; y 0): x 0 =- b /2 a ;

Y 0 = ax o 2 + dalam 0 + c;

Cari paksi simetri parabola (garis lurus x = x 0);

Kami menyusun jadual nilai untuk membina titik kawalan;

Kami membina titik yang terhasil dan membina titik yang simetri kepada mereka berbanding dengan paksi simetri.

1. Menggunakan algoritma, kita akan membina parabola y = x 2 – 2 x – 3 . Abscissas titik persilangan dengan paksi x dan terdapat punca-punca persamaan kuadratik x 2 – 2 x – 3 = 0.

Terdapat lima cara untuk menyelesaikan persamaan ini secara grafik.

2. Mari bahagikan persamaan kepada dua fungsi: y = x 2 Dan y = 2 x + 3

3. Mari bahagikan persamaan kepada dua fungsi: y = x 2 –3 Dan y =2 x. Punca-punca persamaan ialah absis bagi titik-titik persilangan parabola dan garis.

4. Ubah persamaan x 2 – 2 x – 3 = 0 dengan mengasingkan segi empat sama lengkap kepada fungsi: y = ( x –1) 2 Dan y =4. Punca-punca persamaan ialah absis bagi titik-titik persilangan parabola dan garis.

5. Bahagikan kedua-dua belah sebutan persamaan dengan sebutan x 2 – 2 x – 3 = 0 pada x, kita dapat x – 2 – 3/ x = 0 , mari bahagikan persamaan ini kepada dua fungsi: y = x – 2, y = 3/ x . Punca-punca persamaan ialah absis bagi titik-titik persilangan garis dan hiperbola.

5. Penyelesaian grafik bagi persamaan darjah n

Contoh 1. Selesaikan persamaan x 5 = 3 – 2 x .

y = x 5 , y = 3 – 2 x .

Jawapan: x = 1.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 3 √ x = 10 – x .

Punca-punca persamaan ini ialah absis titik persilangan graf dua fungsi: y = 3 √ x , y = 10 – x .

Jawapan: x = 8.

Kesimpulan

Setelah melihat graf fungsi: y = kapak 2 + bx + c , y = k / x , у = √ x , y = |x |, y = x 3 , y = x 4 ,y = 3 √x , Saya perhatikan bahawa semua graf ini dibina mengikut peraturan terjemahan selari berbanding dengan paksi x Dan y .

Dengan menggunakan contoh penyelesaian persamaan kuadratik, kita boleh membuat kesimpulan bahawa kaedah grafik juga boleh digunakan untuk persamaan darjah n.

Kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan adalah cantik dan boleh difahami, tetapi tidak memberikan jaminan 100% untuk menyelesaikan sebarang persamaan. Absis bagi titik persilangan graf boleh menjadi anggaran.

Di tingkatan 9 dan di sekolah menengah, saya akan terus berkenalan dengan fungsi lain. Saya berminat untuk mengetahui sama ada fungsi tersebut mematuhi peraturan pemindahan selari semasa membina grafnya.

hidup tahun depan Saya juga ingin mempertimbangkan isu penyelesaian grafik sistem persamaan dan ketaksamaan.

kesusasteraan

1. Algebra. darjah 7. Bahagian 1. Buku teks untuk institusi pendidikan / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. darjah 8. Bahagian 1. Buku teks untuk institusi pendidikan / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. darjah 9. Bahagian 1. Buku teks untuk institusi pendidikan / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Sejarah matematik di sekolah. gred VII–VIII. – M.: Pendidikan, 1982.

5. Jurnal Matematik Bil 5 2009; No 8 2007; No. 23 2008.

6. Penyelesaian grafik laman web persamaan di Internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; muka surat 3–6.htm.

Penyelesaian grafik persamaan

Hari kegemilangan, 2009

pengenalan

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik pada zaman dahulu adalah disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan tanah dan kerja penggalian tentera, serta perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Orang Babylon dapat menyelesaikan persamaan kuadratik sekitar 2000 SM. Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon sampai pada peraturan ini.

Tetapi peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, dengan semua kemungkinan kombinasi pekali b dan c, telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Pada tahun 1591 Francois Viet memperkenalkan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Di Babylon purba mereka boleh menyelesaikan beberapa jenis persamaan kuadratik.

Diophantus dari Alexandria Dan Euclid, Al-Khawarizmi Dan Omar Khayyam menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah geometri dan grafik.

Dalam darjah 7 kami belajar fungsi y = C, y =kx, y =kx+ m, y =x 2,y = –x 2, dalam darjah 8 - y = √x, y =|x|, y =kapak2 + bx+ c, y =k/ x. Dalam buku teks algebra gred 9, saya melihat fungsi yang belum saya ketahui: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– a) 2 + (y –b) 2 = r 2 dan lain-lain. Terdapat peraturan untuk membina graf bagi fungsi ini. Saya tertanya-tanya jika ada fungsi lain yang mematuhi peraturan ini.

Tugas saya ialah mengkaji graf fungsi dan menyelesaikan persamaan secara grafik.

1. Apakah fungsinya?

Graf fungsi ialah set semua titik satah koordinat, abscissas yang sama dengan nilai argumen, dan ordinat adalah sama dengan nilai fungsi yang sepadan.

Fungsi linear diberikan oleh persamaan y =kx+ b, Di mana k Dan b- beberapa nombor. Graf fungsi ini ialah garis lurus.

Fungsi berkadar songsang y =k/ x, di mana k ¹ 0. Graf fungsi ini dipanggil hiperbola.

Fungsi (x– a) 2 + (y –b) 2 = r2 , Di mana A, b Dan r- beberapa nombor. Graf fungsi ini ialah bulatan berjejari r dengan pusat di titik A ( A, b).

Fungsi kuadratik y= kapak2 + bx+ c di mana A,b, Dengan– beberapa nombor dan A¹ 0. Graf bagi fungsi ini ialah parabola.

Persamaan di2 (a– x) = x2 (a+ x) . Graf persamaan ini akan menjadi lengkung yang dipanggil strofoid.

/>Persamaan (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Graf persamaan ini dipanggil lemniskat Bernoulli.

Persamaan. Graf persamaan ini dipanggil astroid.

Lengkung (x2 y2 – 2 kapak)2 =4a2 (x2 + y2 ) . Lengkung ini dipanggil kardioid.

Fungsi: y =x 3 - parabola padu, y =x 4, y = 1/x 2.

2. Konsep persamaan dan penyelesaian grafiknya

Persamaan– ungkapan yang mengandungi pembolehubah.

Selesaikan persamaan- ini bermakna mencari semua akarnya, atau membuktikan bahawa ia tidak wujud.

Punca persamaan ialah nombor yang, apabila digantikan ke dalam persamaan, menghasilkan kesamaan berangka yang betul.

Menyelesaikan persamaan secara grafik membolehkan anda mencari nilai tepat atau anggaran punca, membolehkan anda mencari bilangan punca persamaan.

Apabila membina graf dan menyelesaikan persamaan, sifat-sifat fungsi digunakan, itulah sebabnya kaedah itu sering dipanggil berfungsi-grafik.

3. Algoritma untuk memplot graf fungsi

Mengetahui graf fungsi y =f(x) , anda boleh membina graf fungsi y =f(x+ m) ,y =f(x)+ l Dan y =f(x+ m)+ l. Kesemua graf ini diperoleh daripada graf fungsi tersebut y =f(x) menggunakan transformasi bawa selari: kepada │ m│ unit skala ke kanan atau kiri sepanjang paksi-x dan seterusnya │ l│ unit skala atas atau bawah sepanjang paksi y.

4. Penyelesaian grafik bagi persamaan kuadratik

Menggunakan fungsi kuadratik sebagai contoh, kami akan mempertimbangkan penyelesaian grafik bagi persamaan kuadratik. Graf bagi fungsi kuadratik ialah parabola.

Apakah yang diketahui oleh orang Yunani kuno tentang parabola?

Simbolisme matematik moden berasal dari abad ke-16.

Ahli matematik Yunani purba tidak mempunyai kaedah koordinat mahupun konsep fungsi. Namun begitu, sifat-sifat parabola telah dikaji secara terperinci oleh mereka. Kebijaksanaan ahli matematik purba sememangnya menakjubkan - lagipun, mereka hanya boleh menggunakan lukisan dan penerangan lisan tentang kebergantungan.

Terdapat algoritma untuk membina parabola:

Cari koordinat bagi bucu parabola A (x0; y0): X=- b/2 a;

y0=axo2+in0+s;

Cari paksi simetri parabola (garis lurus x=x0);

PAGE_BREAK--

Kami menyusun jadual nilai untuk membina titik kawalan;

Kami membina titik yang terhasil dan membina titik yang simetri kepada mereka berbanding dengan paksi simetri.

1. Menggunakan algoritma, kita akan membina parabola y= x2 – 2 x– 3 . Abscissas titik persilangan dengan paksi x dan terdapat punca-punca persamaan kuadratik x2 – 2 x– 3 = 0.

Terdapat lima cara untuk menyelesaikan persamaan ini secara grafik.

2. Mari bahagikan persamaan kepada dua fungsi: y= x2 Dan y= 2 x+ 3

3. Mari bahagikan persamaan kepada dua fungsi: y= x2 –3 Dan y=2 x. Punca-punca persamaan ialah absis bagi titik-titik persilangan parabola dan garis.

4. Ubah persamaan x2 – 2 x– 3 = 0 dengan mengasingkan segi empat sama lengkap kepada fungsi: y= (x–1) 2 Dan y=4. Punca-punca persamaan ialah absis bagi titik-titik persilangan parabola dan garis.

5. Bahagikan kedua-dua belah sebutan persamaan dengan sebutan x2 – 2 x– 3 = 0 pada x, kita dapat x– 2 – 3/ x= 0 , mari bahagikan persamaan ini kepada dua fungsi: y= x– 2, y= 3/ x. Punca-punca persamaan ialah absis bagi titik-titik persilangan garis dan hiperbola.

5. Penyelesaian grafik bagi persamaan darjahn

Contoh 1. Selesaikan persamaan x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Jawapan: x = 1.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 3 √ x= 10 – x.

Punca-punca persamaan ini ialah absis titik persilangan graf dua fungsi: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Jawapan: x = 8.

Kesimpulan

Setelah melihat graf fungsi: y =kapak2 + bx+ c, y =k/ x, у = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Saya perhatikan bahawa semua graf ini dibina mengikut peraturan terjemahan selari berbanding dengan paksi x Dan y.

Dengan menggunakan contoh penyelesaian persamaan kuadratik, kita boleh membuat kesimpulan bahawa kaedah grafik juga boleh digunakan untuk persamaan darjah n.

Tahun depan saya juga ingin mempertimbangkan isu penyelesaian grafik sistem persamaan dan ketaksamaan.

kesusasteraan

1. Algebra. darjah 7. Bahagian 1. Buku teks untuk institusi pendidikan / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. darjah 8. Bahagian 1. Buku teks untuk institusi pendidikan / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. darjah 9. Bahagian 1. Buku teks untuk institusi pendidikan / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Sejarah matematik di sekolah. gred VII–VIII. – M.: Pendidikan, 1982.

5. Jurnal Matematik Bil 5 2009; No 8 2007; No. 23 2008.

6. Penyelesaian grafik laman web persamaan di Internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; muka surat 3–6.htm.

Anda telah pun menemui persamaan kuadratik dalam kursus algebra gred 7. Ingat bahawa persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c ialah sebarang nombor (pekali), dan a . Dengan menggunakan pengetahuan kami tentang beberapa fungsi dan grafnya, kami kini boleh, tanpa menunggu kajian sistematik topik "Persamaan Kuadratik," untuk menyelesaikan beberapa persamaan kuadratik, dan dengan cara yang berbeza; Kami akan mempertimbangkan kaedah ini menggunakan contoh satu persamaan kuadratik.

Contoh. Selesaikan persamaan x 2 - 2x - 3 = 0.
Penyelesaian.
Kaedah I . Mari bina graf bagi fungsi y = x 2 - 2x - 3, menggunakan algoritma daripada § 13:

1) Kami ada: a = 1, b = -2, x 0 = = 1, y 0 = f(1) = 1 2 - 2 - 3 = -4. Ini bermakna bahawa puncak parabola ialah titik (1; -4), dan paksi parabola ialah garis lurus x = 1.

2) Ambil dua titik pada paksi-x yang simetri terhadap paksi parabola, contohnya titik x = -1 dan x = 3.

Kita ada f(-1) = f(3) = 0. Mari bina titik (-1; 0) dan (3; 0) pada satah koordinat.

3) Melalui titik (-1; 0), (1; -4), (3; 0) kita melukis parabola (Rajah 68).

Punca-punca persamaan x 2 - 2x - 3 = 0 ialah absis bagi titik persilangan parabola dengan paksi x; Ini bermakna punca-punca persamaan ialah: x 1 = - 1, x 2 - 3.

II kaedah. Mari tukarkan persamaan kepada bentuk x 2 = 2x + 3. Mari bina graf bagi fungsi y - x 2 dan y = 2x + 3 dalam satu sistem koordinat (Rajah 69). Mereka bersilang pada dua titik A(- 1; 1) dan B(3; 9). Punca-punca persamaan ialah absis titik A dan B, yang bermaksud x 1 = - 1, x 2 - 3.

III kaedah . Mari tukarkan persamaan kepada bentuk x 2 - 3 = 2x. Mari kita bina graf bagi fungsi y = x 2 - 3 dan y = 2x dalam satu sistem koordinat (Rajah 70). Mereka bersilang pada dua titik A (-1; - 2) dan B (3; 6). Punca-punca persamaan ialah absis titik A dan B, jadi x 1 = - 1, x 2 = 3.

Kaedah IV. Mari tukarkan persamaan kepada bentuk x 2 -2x 4-1-4 = 0
dan seterusnya
x 2 - 2x + 1 = 4, iaitu (x - IJ = 4.
Mari kita bina parabola y = (x - 1) 2 dan garis lurus y = 4 dalam satu sistem koordinat (Rajah 71). Mereka bersilang pada dua titik A(-1; 4) dan B(3; 4). Punca-punca persamaan ialah absis titik A dan B, jadi x 1 = -1, x 2 = 3.

kaedah V. Membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan sebutan x dengan sebutan, kita dapat

Mari kita bina hiperbola dan garis lurus y = x - 2 dalam satu sistem koordinat (Rajah 72).

Mereka bersilang pada dua titik A (-1; -3) dan B (3; 1). Punca-punca persamaan ialah absis titik A dan B, oleh itu, x 1 = - 1, x 2 = 3.

Jadi, kami menyelesaikan persamaan kuadratik x 2 - 2x - 3 = 0 secara grafik dalam lima cara. Mari analisa intipati kaedah ini.

Kaedah I Bina graf fungsi pada titik persilangannya dengan paksi-x.

II kaedah. Ubah persamaan kepada bentuk ax 2 = -bx - c, bina parabola y = ax 2 dan garis lurus y = -bx - c, cari titik persilangannya (punca-punca persamaan ialah absis bagi titik persilangan , jika, sudah tentu, ada).

III kaedah. Ubah persamaan kepada bentuk ax 2 + c = - bx, bina parabola y - ax 2 + c dan garis lurus y = -bx (ia melalui asalan); cari titik persilangan mereka.

Kaedah IV. Menggunakan kaedah mengasingkan segi empat sama lengkap, tukarkan persamaan kepada bentuk

Bina parabola y = a (x + I) 2 dan garis lurus y = - m, selari dengan paksi x; cari titik persilangan parabola dan garis lurus.

kaedah V. Tukarkan persamaan kepada bentuk

Bina hiperbola (ini adalah hiperbola dengan syarat) dan garis lurus y = - ax - b; cari titik persilangan mereka.

Ambil perhatian bahawa empat kaedah pertama boleh digunakan untuk mana-mana persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, dan yang kelima - hanya untuk mereka yang mempunyai c. Dalam amalan, anda boleh memilih kaedah yang kelihatan paling sesuai untuk anda. persamaan ini atau yang mana satu anda lebih suka (atau lebih mudah difahami).

Komen . Walaupun terdapat banyak cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik secara grafik, kami yakin bahawa kami boleh menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik
Kita boleh menyelesaikannya secara grafik, tidak. Biarkan, sebagai contoh, anda perlu menyelesaikan persamaan x 2 - x - 3 = 0 (mari kita ambil secara khusus persamaan yang serupa dengan apa yang terdapat dalam
dijadikan contoh). Mari kita cuba menyelesaikannya, sebagai contoh, dengan cara kedua: tukarkan persamaan kepada bentuk x 2 = x + 3, bina parabola y = x 2 dan
garis lurus y = x + 3, mereka bersilang pada titik A dan B (Rajah 73), yang bermaksud persamaan mempunyai dua punca. Tetapi apakah akar ini sama dengan, kita, dengan bantuan lukisan,
Kami tidak boleh mengatakan - titik A dan B tidak mempunyai koordinat "baik" seperti dalam contoh di atas. Sekarang pertimbangkan persamaan
x 2 - 16x - 95 = 0. Mari cuba selesaikan, katakan, dengan cara ketiga. Mari tukarkan persamaan kepada bentuk x 2 - 95 = 16x. Di sini kita perlu membina parabola
y = x 2 - 95 dan garis lurus y = 16x. Tetapi saiz terhad helaian buku nota tidak membenarkan ini, kerana parabola y = x 2 mesti diturunkan 95 sel ke bawah.

Jadi, kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan kuadratik adalah cantik dan menyenangkan, tetapi ia tidak memberikan jaminan seratus peratus untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik. Kami akan mengambil kira perkara ini pada masa akan datang.