Apakah titik pegun bagi suatu fungsi. Titik kritikal fungsi

Titik pegun bagi sesuatu fungsi. Syarat yang perlu ekstrem tempatan fungsi

Pertama keadaan yang mencukupi ekstrem tempatan

Syarat kedua dan ketiga yang mencukupi untuk ekstrem tempatan

Nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen

Fungsi cembung dan titik infleksi

1. Titik pegun bagi sesuatu fungsi. Keadaan yang perlu untuk ekstrem tempatan sesuatu fungsi

Definisi 1 . Biarkan fungsi ditakrifkan pada
. titik dipanggil titik pegun bagi fungsi tersebut
, jika
dibezakan pada satu titik dan
.

Teorem 1 (syarat yang diperlukan untuk ekstrem tempatan sesuatu fungsi) . Biarkan fungsi
ditentukan pada
dan mempunyai pada titik
ekstrem tempatan. Kemudian salah satu syarat berikut dipenuhi:

Oleh itu, untuk mencari titik yang mencurigakan ekstrem, adalah perlu untuk mencari titik pegun bagi fungsi dan titik di mana terbitan fungsi itu tidak wujud, tetapi yang tergolong dalam domain fungsi itu.

Contoh . biarlah
. Cari mata untuknya yang mencurigakan untuk ekstrem. Untuk menyelesaikan masalah, pertama sekali, kami mencari domain fungsi:
. Kami kini mencari derivatif fungsi:

Titik di mana derivatif tidak wujud:
. Titik fungsi pegun:

Kerana dan
, dan
tergolong dalam domain definisi fungsi, maka kedua-duanya akan mencurigakan untuk ekstrem. Tetapi untuk membuat kesimpulan sama ada benar-benar akan berlaku extremum, adalah perlu untuk menggunakan syarat yang mencukupi untuk extremum.

2. Syarat pertama yang mencukupi untuk ekstrem tempatan

Teorem 1 (syarat pertama yang mencukupi untuk ekstrem tempatan) . Biarkan fungsi
ditentukan pada
dan dibezakan pada selang ini di mana-mana, kecuali mungkin pada titik
, tetapi pada ketika ini fungsi
adalah berterusan. Jika wujud separa kejiranan kanan dan kiri sesuatu titik , dalam setiap satunya
mengekalkan tanda tertentu, kemudian

1) fungsi
mempunyai ekstrem tempatan pada titik itu , jika
mengambil nilai tanda yang berbeza dalam separa kejiranan yang sepadan;

2) fungsi
tidak mempunyai ekstrem tempatan pada titik itu , jika ke kanan dan ke kiri titik
mempunyai tanda yang sama.

Bukti . 1) Andaikan bahawa dalam separa kejiranan
terbitan
, dan dalam

.

Oleh itu pada titik itu fungsi
mempunyai ekstrem tempatan, iaitu, maksimum tempatan, yang perlu dibuktikan.

2) Katakan bahawa ke kiri dan ke kanan titik terbitan mengekalkan tandanya, contohnya,
. Kemudian pada
dan
fungsi
meningkat secara monoton, iaitu:

Oleh itu ekstrem pada titik fungsi
tidak, yang harus dibuktikan.

Catatan 1 . Jika terbitan
apabila melalui sesuatu titik menukar tanda daripada "+" kepada "-", kemudian pada titik fungsi
mempunyai maksimum tempatan, dan jika tanda berubah daripada "-" kepada "+", maka minimum tempatan.

Catatan 2 . Syarat penting ialah kesinambungan fungsi
pada titik . Jika syarat ini tidak dipenuhi, maka Teorem 1 mungkin tidak dapat dipegang.

Contoh . Fungsi ini dipertimbangkan (Rajah 1):

Fungsi ini ditakrifkan pada dan berterusan di mana-mana kecuali titik
, di mana ia mempunyai ketakselanjaran boleh tanggal. Apabila melalui sesuatu titik

menukar tanda daripada "-" kepada "+", tetapi fungsi tidak mempunyai minimum tempatan pada ketika ini, tetapi mempunyai maksimum tempatan mengikut definisi. Sesungguhnya, dekat titik
adalah mungkin untuk membina kejiranan sedemikian sehingga untuk semua hujah dari kejiranan ini nilai fungsi akan kurang daripada nilai
. Teorem 1 tidak berfungsi kerana pada ketika itu
fungsi telah berehat.

Catatan 3 . Keadaan ekstrem tempatan yang mencukupi pertama tidak boleh digunakan apabila terbitan fungsi
menukar tandanya di setiap kiri dan setiap kejiranan separuh kanan titik itu .

Contoh . Fungsi yang dipertimbangkan ialah:

Kerana ia
, kemudian
, dan oleh itu
, tetapi
. Dengan cara ini:

,

mereka. pada titik
fungsi
Ia ada minimum tempatan mengikut takrifan. Mari lihat sama ada syarat pertama yang mencukupi untuk ekstrem tempatan berfungsi di sini.

Untuk
:

Untuk sebutan pertama di sebelah kanan formula yang terhasil, kita ada:

,

dan oleh itu dalam kejiranan kecil titik itu
tanda terbitan ditentukan oleh tanda sebutan kedua, iaitu:

,

yang bermaksud bahawa dalam mana-mana kejiranan titik

akan menerima kedua-dua positif dan nilai negatif. Sesungguhnya, pertimbangkan kejiranan yang sewenang-wenangnya
:
. Bila

,

kemudian

(Gamb. 2), dan menukar tandanya di sini secara tak terhingga berkali-kali. Oleh itu, syarat pertama yang mencukupi untuk ekstrem tempatan tidak boleh digunakan dalam contoh di atas.

Definisi:

melampau dipanggil maksimum nilai minimum berfungsi pada set tertentu.

titik melampau ialah titik di mana nilai maksimum atau minimum fungsi dicapai.

Titik maksimum ialah titik di mana nilai maksimum fungsi dicapai.

Titik rendah ialah titik di mana nilai minimum fungsi dicapai.

Penjelasan.

Dalam rajah, di sekitar titik x = 3, fungsi mencapai nilai maksimumnya (iaitu, di sekitar titik tertentu ini, tidak ada titik yang lebih tinggi). Dalam kejiranan x = 8, ia sekali lagi mempunyai nilai maksimum (sekali lagi, mari kita jelaskan: dalam kejiranan ini tidak ada titik di atas). Pada titik ini, peningkatan digantikan dengan penurunan. Mereka adalah mata maksimum:

xmaks = 3, xmaks = 8.

Di sekitar titik x = 5, nilai minimum fungsi dicapai (iaitu, di sekitar x = 5, tiada titik di bawah). Pada ketika ini, penurunan digantikan dengan peningkatan. Ia adalah titik minimum:

Mata maksimum dan minimum ialah titik ekstrem fungsi, dan nilai-nilai fungsi pada titik ini ialah melampau.

Titik kritikal dan pegun fungsi:

Syarat yang diperlukan untuk ekstrem:

Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem:

Pada segmen, fungsi y = f(x) boleh mencapai nilai minimum atau maksimumnya sama ada pada titik kritikal atau di hujung segmen.

Algoritma penyelidikan fungsi berterusan y = f(x) untuk monotonicity dan extrema:

Domain bagi suatu fungsi, hitung terbitannya, cari domain terbitan bagi suatu fungsi, cari mata penukaran derivatif kepada sifar, buktikan bahawa titik yang ditemui tergolong dalam domain takrifan fungsi asal.

Contoh 1 Kenal pasti Kritis mata fungsi y = (x - 3)² (x-2).

PenyelesaianCari skop fungsi, dalam kes ini tiada sekatan: x ∈ (-∞; +∞); Kira terbitan y’. Mengikut peraturan pembezaan hasil darab dua, terdapat: y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. Selepas ia ternyata persamaan kuadratik: y' = 3 x² - 16 x + 21.

Cari domain terbitan bagi fungsi: x ∈ (-∞; +∞). Selesaikan persamaan 3 x² - 16 x + 21 = 0 untuk mencari yang mana ia hilang: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Jadi, terbitan lenyap untuk nilai x sama dengan 3 dan 7/3.

Tentukan sama ada yang ditemui tergolong mata domain fungsi asal. Oleh kerana x (-∞; +∞), maka kedua-duanya mata adalah kritikal.

Contoh 2 Kenal pasti Kritis mata fungsi y = x² - 2/x.

Penyelesaian Domain bagi fungsi: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) kerana x berada dalam penyebut. Kira terbitan y’ = 2 x + 2/x².

Domain terbitan fungsi adalah sama dengan domain asal: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Selesaikan persamaan 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 /x² → x = -satu.

Jadi, terbitan lenyap pada x = -1. Keadaan kritikal yang perlu tetapi tidak mencukupi dipenuhi. Oleh kerana x=-1 jatuh ke dalam selang (-∞; 0) ∪ (0; +∞), titik ini adalah kritikal.

Sumber:

• Jumlah jualan kritikal, pcsThreshold

Ramai wanita mengalami sindrom pramenstruasi, yang ditunjukkan bukan sahaja oleh sensasi yang menyakitkan, tetapi juga oleh peningkatan selera makan. Akibatnya, hari kritikal boleh melambatkan proses penurunan berat badan dengan ketara.

Punca selera makan meningkat semasa hari kritikal

Sebab peningkatan selera makan semasa tempoh hari kritikal adalah perubahan dalam latar belakang hormon umum dalam badan wanita. Beberapa hari sebelum permulaan haid, tahap hormon progesteron meningkat, badan menyesuaikan diri dengan kemungkinan dan cuba membuat rizab tenaga tambahan dalam bentuk lemak badan, walaupun wanita itu sedang duduk. Oleh itu, perubahan berat badan pada hari kritikal adalah fenomena biasa.

Cara makan semasa haid

Cuba jangan makan gula-gula, gula-gula dan makanan berkalori tinggi yang lain yang mengandungi "cepat" hari ini. Lebihan mereka akan segera disimpan dalam lemak. Ramai wanita dalam tempoh ini benar-benar ingin makan coklat, dalam kes ini anda boleh membeli coklat gelap dan merawat diri anda dengan beberapa keping, tetapi tidak lebih. Jangan gunakan semasa haid minuman beralkohol, perapan, jeruk, daging salai, biji dan kacang. Acar dan daging asap secara amnya harus dihadkan dalam diet 6-8 hari sebelum permulaan haid, kerana produk tersebut meningkatkan rizab air dalam badan, dan tempoh ini dicirikan oleh peningkatan pengumpulan cecair. Untuk mengurangkan jumlah garam dalam diet anda, tambahkannya pada anda kuantiti minimum dalam makanan siap sedia.

Adalah disyorkan untuk menggunakan produk tenusu rendah lemak, makanan tumbuhan, bijirin. Kekacang, kentang rebus, nasi akan berguna - produk yang mengandungi karbohidrat "lambat". Makanan laut, hati, ikan, daging lembu, ayam, telur, kekacang, buah-buahan kering akan membantu menambah kehilangan zat besi. Dedak gandum akan berguna. tindak balas semula jadi semasa haid adalah bengkak. Herba diuretik ringan akan membantu membetulkan keadaan: selasih, dill, pasli, saderi. Mereka boleh digunakan sebagai perasa. Pada separuh kedua kitaran, disyorkan untuk mengambil produk protein (daging dan ikan tanpa lemak, produk tenusu), dan jumlah karbohidrat dalam diet harus dikurangkan sebanyak mungkin.

konsep ekonomi isipadu kritikal jualan sepadan dengan kedudukan perusahaan dalam pasaran, di mana hasil daripada penjualan barangan adalah minimum. Keadaan ini dipanggil titik pulang modal, apabila permintaan untuk produk jatuh dan keuntungan hampir tidak dapat menampung kos. Untuk menentukan isipadu kritikal jualan menggunakan beberapa kaedah.

Arahan

Kitaran kerja tidak terhad kepada aktivitinya - pengeluaran atau perkhidmatan. Ini adalah kerja kompleks struktur tertentu, termasuk kerja kakitangan utama, kakitangan pengurusan, pengurus, dll., serta ahli ekonomi, yang tugasnya adalah analisis kewangan perusahaan.

Tujuan analisis ini adalah untuk mengira beberapa kuantiti yang, pada satu darjah atau yang lain, mempengaruhi saiz keuntungan akhir. ia jenis lain volum pengeluaran dan jualan, penuh dan purata, penunjuk permintaan, dsb. Tugas utama adalah untuk mengenal pasti jumlah pengeluaran sedemikian di mana hubungan yang stabil antara kos dan keuntungan diwujudkan.

Isipadu Minimum jualan, di mana pendapatan menampung sepenuhnya kos, tetapi tidak meningkatkan modal ekuiti syarikat, dipanggil volum kritikal jualan. Terdapat tiga kaedah untuk mengira kaedah penunjuk ini: kaedah persamaan, pendapatan marginal dan grafik.

Untuk menentukan isipadu kritikal jualan mengikut kaedah pertama, buat persamaan bentuk: Vp - Zper - Zpos \u003d Pp \u003d 0, di mana: Vp - hasil daripada jualan dan ; Zper dan Zpos - kos berubah dan tetap; Pp - untung daripada jualan dan.

Mengikut kaedah lain, istilah pertama, hasil daripada jualan, mewakili sebagai hasil pendapatan marginal daripada seunit barang mengikut volum jualan Begitu juga dengan kos berubah. Kos tetap dikenakan pada keseluruhan kumpulan barangan, jadi biarkan komponen ini biasa: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Ungkapkan nilai N daripada persamaan ini, dan anda mendapat isipadu kritikal jualan:N = Zpos / (MD - Zper1), di mana Zper1 - kos berubah seunit barang.

Kaedah grafik melibatkan pembinaan. Mohon kepada satah koordinat dua baris: fungsi hasil daripada jualan tolak kedua-dua fungsi kos dan keuntungan. Pada paksi absis, plotkan isipadu pengeluaran, dan pada paksi ordinat, pendapatan daripada kuantiti barang yang sepadan, dinyatakan dalam unit kewangan. Titik persilangan garis-garis ini sepadan dengan isipadu kritikal jualan, kedudukan pulang modal.

Sumber:

• bagaimana untuk mengenal pasti kerja kritikal

Pemikiran kritikal ialah satu set pertimbangan berdasarkan kesimpulan tertentu yang dibentuk, dan penilaian terhadap objek kritikan dibuat. Ia adalah ciri khas penyelidik dan saintis semua cabang sains. Pemikiran kritis menduduki tahap yang lebih tinggi daripada pemikiran biasa.

Nilai pengalaman dalam pembentukan pemikiran kritis

Sukar untuk menganalisis dan membuat kesimpulan tentang perkara yang anda tidak faham dengan baik. Oleh itu, untuk belajar berfikir secara kritis, adalah perlu untuk mengkaji objek dalam semua kemungkinan hubungan dan hubungan dengan fenomena lain. Serta sangat penting dalam kes ini, dia mempunyai maklumat tentang objek tersebut, keupayaan untuk membina rantaian logik pertimbangan dan membuat kesimpulan yang munasabah.

Sebagai contoh, nilaikan nilai karya seni hanya mungkin dengan mengetahui cukup buah-buahan lain aktiviti sastera. Pada masa yang sama, tidak salah untuk menjadi penikmat sejarah perkembangan umat manusia, pembentukan sastera dan kritikan sastera. Jauh dari konteks sejarah karya itu mungkin kehilangan makna yang dimaksudkan. Agar penilaian karya seni menjadi cukup lengkap dan wajar, anda juga perlu menggunakan pengetahuan sastera anda, yang termasuk peraturan untuk membina teks artistik dalam genre individu, sistem yang pelbagai peranti sastera, klasifikasi dan analisis gaya sedia ada dan trend dalam kesusasteraan, dsb. Pada masa yang sama, penting juga untuk mengkaji logik dalaman plot, urutan tindakan, penempatan dan interaksi watak dalam karya seni.

Ciri-ciri pemikiran kritis

Ciri-ciri lain pemikiran kritis termasuk:
- pengetahuan tentang objek yang dikaji hanyalah titik permulaan untuk selanjutnya aktiviti otak dikaitkan dengan pembinaan rantai logik;
- dibina secara konsisten dan berasaskan akal penaakulan membawa kepada pengenalpastian maklumat yang benar dan salah tentang objek yang dikaji;
- pemikiran kritis sentiasa dikaitkan dengan penilaian maklumat yang ada tentang objek yang diberi dan kesimpulan yang sepadan, penilaian pula berkaitan dengan kemahiran yang sedia ada.

Tidak seperti pemikiran biasa, pemikiran kritis tidak tertakluk kepada kepercayaan buta. Pemikiran kritis membolehkan keseluruhan sistem penghakiman tentang objek kritikan untuk memahami intipatinya, untuk mendedahkan ilmu yang benar mengenainya dan membantah yang dusta. Ia berdasarkan logik, kedalaman dan kesempurnaan kajian, kebenaran, kecukupan dan ketekalan pertimbangan. Pada masa yang sama, kenyataan yang jelas dan terbukti diterima sebagai postulat dan tidak memerlukan pembuktian dan penilaian berulang.

Mata kritikal ialah titik di mana terbitan fungsi itu sama dengan sifar atau tidak wujud. Jika derivatif ialah 0 maka fungsi pada titik itu mengambil minimum atau maksimum tempatan. Pada graf pada titik tersebut, fungsi tersebut mempunyai asimtot mendatar, iaitu tangen adalah selari dengan paksi-x.

Titik sedemikian dipanggil pegun. Jika anda melihat "bonggol" atau "lubang" pada carta fungsi berterusan, ingat bahawa maksimum atau minimum dicapai pada titik kritikal. Pertimbangkan tugas berikut sebagai contoh.

Contoh 1 Cari titik genting bagi fungsi y=2x^3-3x^2+5 .
Penyelesaian. Algoritma untuk mencari titik kritikal adalah seperti berikut:

Jadi fungsi mempunyai dua titik kritikal.

Selanjutnya, jika anda perlu mengkaji fungsi, maka kami menentukan tanda terbitan di sebelah kiri dan kanan titik kritikal. Jika derivatif bertukar tanda daripada "-" kepada "+" apabila melalui titik kritikal, maka fungsi itu mengambil minimum tempatan. Jika daripada "+" kepada "-" sepatutnya maksimum tempatan.

Jenis mata kritikal kedua ini ialah sifar penyebut bagi fungsi pecahan dan tak rasional

Berfungsi dengan logaritma dan trigonometri yang tidak ditakrifkan pada titik ini


Jenis titik kritikal ketiga mempunyai fungsi dan modul berterusan piecewise.
Sebagai contoh, mana-mana modul-fungsi mempunyai minimum atau maksimum pada titik putus.

Contohnya modul y = | x -5 | pada titik x = 5 mempunyai minimum (titik kritikal).
Derivatif tidak wujud di dalamnya, tetapi di sebelah kanan dan di sebelah kiri ia mengambil nilai 1 dan -1, masing-masing.

Cuba kenal pasti titik kritikal fungsi

1)
2)
3)
4)
5)

Jika sebagai tindak balas anda mendapat nilai
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
maka anda sudah tahu bagaimana untuk mencari titik kritikal dan dapat menghadapi kawalan atau ujian mudah.

Pertimbangkan rajah berikut.

Ia menunjukkan graf bagi fungsi y = x^3 - 3*x^2. Pertimbangkan beberapa selang yang mengandungi titik x = 0, contohnya dari -1 hingga 1. Selang sedemikian juga dipanggil kejiranan titik x = 0. Seperti yang anda boleh lihat pada graf, dalam kejiranan ini fungsi y = x^ 3 - 3*x^2 mengambil nilai tertinggi tepat pada titik x = 0.

Maksimum dan minimum fungsi

Dalam kes ini, titik x = 0 dipanggil titik maksimum fungsi. Dengan analogi dengan ini, titik x = 2 dipanggil titik minimum bagi fungsi y = x^3 - 3*x^2. Kerana terdapat kejiranan pada titik ini di mana nilai pada ketika ini akan menjadi minimum di antara semua nilai lain dari kejiranan ini.

titik maksimum fungsi f(x) dipanggil titik x0, dengan syarat terdapat kejiranan bagi titik x0 supaya untuk semua x tidak sama dengan x0 dari kejiranan ini, ketaksamaan f(x)< f(x0).

titik minimum fungsi f(x) dipanggil titik x0, dengan syarat terdapat kejiranan bagi titik x0 supaya untuk semua x tidak sama dengan x0 dari kejiranan ini, ketaksamaan f(x) > f(x0) dipenuhi.

Pada titik maksimum dan minimum fungsi, nilai terbitan fungsi adalah sama dengan sifar. Tetapi ini bukan syarat yang mencukupi untuk kewujudan fungsi pada titik maksimum atau minimum.

Sebagai contoh, fungsi y = x^3 pada titik x = 0 mempunyai terbitan sama dengan sifar. Tetapi titik x = 0 bukanlah titik minimum atau maksimum fungsi. Seperti yang anda ketahui, fungsi y = x^3 bertambah pada keseluruhan paksi nyata.

Oleh itu, titik minimum dan maksimum akan sentiasa berada di antara punca persamaan f’(x) = 0. Tetapi tidak semua punca persamaan ini akan menjadi titik maksimum atau minimum.

Titik pegun dan kritikal

Titik di mana nilai terbitan fungsi bersamaan dengan sifar dipanggil titik pegun. Terdapat juga titik maksimum atau minimum pada titik di mana derivatif fungsi tidak wujud sama sekali. Contohnya, y = |x| pada titik x = 0 mempunyai minimum, tetapi terbitan tidak wujud pada ketika ini. Titik ini akan menjadi titik kritikal fungsi.

Titik kritikal fungsi ialah titik di mana terbitan adalah sama dengan sifar, atau derivatif tidak wujud pada ketika ini, iaitu, fungsi pada titik ini tidak boleh dibezakan. Untuk mencari maksimum atau minimum fungsi, syarat yang mencukupi mesti dipenuhi.

Biarkan f(x) ialah beberapa fungsi yang boleh dibezakan pada selang (a;b). Titik x0 tergolong dalam selang ini dan f'(x0) = 0. Kemudian:

1. jika, apabila melalui titik pegun x0, fungsi f (x) dan terbitannya bertukar tanda, daripada "tambah" kepada "tolak", maka titik x0 ialah titik maksimum fungsi itu.

2. jika, apabila melalui titik pegun x0, fungsi f (x) dan terbitannya bertukar tanda, daripada "tolak" kepada "tambah", maka titik x0 ialah titik minimum fungsi itu.