Mari kita pertimbangkan topik mengubah ekspresi dengan kuasa, tetapi mula-mula mari kita memikirkan beberapa transformasi yang boleh dilakukan dengan mana-mana ungkapan, termasuk yang berkuasa. Kami akan belajar membuka kurungan, membawa istilah yang serupa, bekerja dengan asas dan eksponen, gunakan sifat darjah.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Apakah ungkapan kuasa?

DALAM kursus sekolah Beberapa orang menggunakan frasa "ungkapan yang berkuasa", tetapi istilah ini sentiasa ditemui dalam koleksi untuk persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu. Dalam kebanyakan kes, frasa menunjukkan ungkapan yang mengandungi darjah dalam entrinya. Inilah yang akan kita cerminkan dalam definisi kita.

Definisi 1

Ekspresi kuasa ialah ungkapan yang mengandungi darjah.

Mari kita berikan beberapa contoh ungkapan kuasa, bermula dengan kuasa dengan penunjuk semula jadi dan diakhiri dengan ijazah dengan penunjuk sebenar.

Ungkapan kuasa termudah boleh dianggap kuasa nombor dengan eksponen semula jadi: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Dan juga kuasa dengan eksponen sifar: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Dan darjah dengan integer kuasa negatif: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Adalah lebih sukar untuk bekerja dengan ijazah yang mempunyai eksponen rasional dan tidak rasional: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Penunjuk boleh menjadi pembolehubah 3 x - 54 - 7 3 x - 58 atau logaritma x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Kami telah menangani persoalan apakah itu ungkapan kuasa. Sekarang mari kita mula menukarnya.

Jenis asas transformasi ungkapan kuasa

Pertama sekali, kita akan melihat transformasi identiti asas ekspresi yang boleh dilakukan dengan ekspresi kuasa.

Contoh 1

Kira nilai ungkapan kuasa 2 3 (4 2 − 12).

Penyelesaian

Kami akan melaksanakan semua transformasi dengan mematuhi perintah tindakan. DALAM dalam kes ini Kami akan mulakan dengan melakukan tindakan dalam kurungan: kami akan menggantikan darjah dengan nilai digital dan mengira perbezaan dua nombor. Kami ada 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Apa yang perlu kita lakukan ialah menggantikan ijazah 2 3 maksudnya 8 dan mengira produk 8 4 = 32. Inilah jawapan kami.

Jawapan: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Contoh 2

Permudahkan ungkapan dengan kuasa 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Penyelesaian

Ungkapan yang diberikan kepada kami dalam pernyataan masalah mengandungi istilah serupa yang boleh kami berikan: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Jawapan: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Contoh 3

Ungkapkan ungkapan dengan kuasa 9 - b 3 · π - 1 2 sebagai hasil darab.

Penyelesaian

Mari kita bayangkan nombor 9 sebagai satu kuasa 3 2 dan gunakan formula pendaraban yang disingkatkan:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Jawapan: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Sekarang mari kita beralih kepada analisis transformasi identiti, yang boleh digunakan secara khusus pada ungkapan kuasa.

Bekerja dengan asas dan eksponen

Darjah dalam asas atau eksponen boleh mempunyai nombor, pembolehubah dan beberapa ungkapan. Sebagai contoh, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Dan . Bekerja dengan rekod sedemikian adalah sukar. Adalah lebih mudah untuk menggantikan ungkapan dalam asas darjah atau ungkapan dalam eksponen adalah sama ungkapan yang sama.

Transformasi darjah dan eksponen dijalankan mengikut peraturan yang kita ketahui secara berasingan antara satu sama lain. Perkara yang paling penting ialah transformasi menghasilkan ungkapan yang sama dengan yang asal.

Tujuan transformasi adalah untuk memudahkan ungkapan asal atau mendapatkan penyelesaian kepada masalah tersebut. Sebagai contoh, dalam contoh yang kami berikan di atas, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 anda boleh mengikuti langkah-langkah untuk bergerak ke tahap 4 , 1 1 , 3 . Dengan membuka kurungan, kita boleh mengemukakan istilah yang serupa dengan asas kuasa (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) dan dapatkan lebih banyak ekspresi kuasa jenis mudah a 2 (x + 1).

Menggunakan Degree Properties

Sifat kuasa, yang ditulis dalam bentuk persamaan, adalah salah satu alat utama untuk mengubah ungkapan dengan kuasa. Kami membentangkan di sini yang utama, dengan mengambil kira itu a Dan b ialah sebarang nombor positif, dan r Dan s- nombor nyata arbitrari:

Definisi 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Dalam kes di mana kita berhadapan dengan eksponen semula jadi, integer, positif, sekatan pada nombor a dan b boleh menjadi kurang ketat. Jadi, sebagai contoh, jika kita mempertimbangkan kesaksamaan a m · a n = a m + n, Di mana m Dan n adalah nombor asli, maka ia akan menjadi benar untuk sebarang nilai a, kedua-dua positif dan negatif, serta untuk a = 0.

Anda boleh menggunakan sifat kuasa tanpa sekatan dalam kes di mana asas kuasa adalah positif atau mengandungi pembolehubah, kawasan nilai yang boleh diterima yang mana asas di atasnya menerima sahaja nilai-nilai positif. Malah, dalam kurikulum sekolah Dalam matematik, tugas pelajar ialah memilih sifat yang sesuai dan mengaplikasikannya dengan betul.

Apabila bersiap untuk memasuki universiti, anda mungkin menghadapi masalah di mana penggunaan hartanah yang tidak tepat akan menyebabkan penyempitan DL dan kesukaran lain untuk diselesaikan. DALAM bahagian ini Kami akan meneliti hanya dua kes sedemikian. Maklumat lanjut mengenai subjek boleh didapati dalam topik "Menukar ungkapan menggunakan sifat kuasa".

Contoh 4

Bayangkan ungkapannya a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 dalam bentuk kuasa dengan asas a.

Penyelesaian

Pertama, kita menggunakan sifat eksponen dan mengubah faktor kedua menggunakannya (a 2) − 3. Kemudian kita menggunakan sifat pendaraban dan pembahagian kuasa dengan asas yang sama:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 3 , 5 − 5) = a 2 .

Jawapan: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Transformasi ungkapan kuasa mengikut sifat kuasa boleh dilakukan dari kiri ke kanan dan dalam arah yang bertentangan.

Contoh 5

Cari nilai ungkapan kuasa 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Penyelesaian

Jika kita menerapkan kesamarataan (a · b) r = a r · b r, dari kanan ke kiri, kita mendapat hasil darab bentuk 3 · 7 1 3 · 21 2 3 dan kemudian 21 1 3 · 21 2 3 . Mari tambahkan eksponen apabila mendarab kuasa dengan atas alasan yang sama: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Terdapat cara lain untuk melakukan transformasi:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Jawapan: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Contoh 6

Diberi ungkapan kuasa a 1, 5 − a 0, 5 − 6, masukkan pembolehubah baharu t = a 0.5.

Penyelesaian

Cuba kita bayangkan ijazah a 1, 5 Bagaimana a 0.5 3. Menggunakan sifat darjah kepada darjah (a r) s = a r · s dari kanan ke kiri dan kita dapat (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Anda boleh dengan mudah memperkenalkan pembolehubah baharu ke dalam ungkapan yang terhasil t = a 0.5: kita dapat t 3 − t − 6.

Jawapan: t 3 − t − 6 .

Menukar pecahan yang mengandungi kuasa

Kami biasanya berurusan dengan dua versi ungkapan kuasa dengan pecahan: ungkapan itu mewakili pecahan dengan kuasa atau mengandungi pecahan sedemikian. Semua penjelmaan asas pecahan boleh digunakan untuk ungkapan tersebut tanpa sekatan. Mereka boleh dikurangkan, dibawa ke penyebut baru, atau dikerjakan secara berasingan dengan pengangka dan penyebut. Mari kita gambarkan ini dengan contoh.

Contoh 7

Permudahkan ungkapan kuasa 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Penyelesaian

Kami berurusan dengan pecahan, jadi kami akan melakukan transformasi dalam kedua-dua pengangka dan penyebut:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Letakkan tanda tolak di hadapan pecahan untuk menukar tanda penyebut: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Jawapan: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Pecahan yang mengandungi kuasa dikurangkan kepada penyebut baru dengan cara yang sama seperti pecahan rasional. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari faktor tambahan dan mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengannya. Ia adalah perlu untuk memilih faktor tambahan sedemikian rupa sehingga ia tidak pergi ke sifar untuk sebarang nilai pembolehubah daripada pembolehubah ODZ untuk ungkapan asal.

Contoh 8

Kurangkan pecahan kepada penyebut baru: a) a + 1 a 0, 7 kepada penyebut a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 kepada penyebut x + 8 · y 1 2 .

Penyelesaian

a) Mari kita pilih faktor yang membolehkan kita mengurangkan kepada penyebut baru. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, oleh itu, sebagai faktor tambahan kami akan ambil a 0, 3. Julat nilai yang dibenarkan pembolehubah a termasuk set semua positif nombor nyata. Ijazah dalam bidang ini a 0, 3 tidak pergi ke sifar.

Mari kita darabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Mari kita perhatikan penyebutnya:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Mari kita darabkan ungkapan ini dengan x 1 3 + 2 · y 1 6, kita mendapat hasil tambah kubus x 1 3 dan 2 · y 1 6, iaitu. x + 8 · y 1 2 . Ini adalah penyebut baharu kami yang mana kami perlu mengurangkan pecahan asal.

Beginilah kami mendapati faktor tambahan x 1 3 + 2 · y 1 6 . Mengenai julat nilai pembolehubah yang dibenarkan x Dan y ungkapan x 1 3 + 2 y 1 6 tidak lenyap, oleh itu, kita boleh mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengannya:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Jawapan: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Contoh 9

Kurangkan pecahan: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Penyelesaian

a) Kami menggunakan penyebut sepunya terbesar (GCD), yang mana kami boleh mengurangkan pengangka dan penyebut. Untuk nombor 30 dan 45 ialah 15. Kita juga boleh membuat pengurangan sebanyak x0.5+1 dan pada x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Kami mendapat:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Berikut adalah kehadirannya pengganda yang sama tidak jelas. Anda perlu melakukan beberapa transformasi untuk mendapatkan faktor yang sama dalam pengangka dan penyebut. Untuk melakukan ini, kami mengembangkan penyebut menggunakan formula perbezaan kuasa dua:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Jawapan: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Operasi asas dengan pecahan termasuk menukar pecahan kepada penyebut baharu dan mengurangkan pecahan. Kedua-dua tindakan dilakukan dengan mematuhi beberapa peraturan. Apabila menambah dan menolak pecahan, pecahan dikurangkan dahulu kepada penyebut biasa, selepas itu operasi (penambahan atau penolakan) dijalankan dengan pengangka. Penyebutnya tetap sama. Hasil daripada tindakan kita ialah pecahan baru, pengangkanya adalah hasil darab dari pengangka, dan penyebutnya ialah hasil darab penyebut.

Contoh 10

Lakukan langkah x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Penyelesaian

Mari kita mulakan dengan menolak pecahan yang ada dalam kurungan. Mari kita bawa mereka kepada penyebut biasa:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Mari kita tolak pembilang:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Sekarang kita darabkan pecahan:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Mari kita kurangkan dengan kuasa x 1 2, kita dapat 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Selain itu, anda boleh memudahkan ungkapan kuasa dalam penyebut menggunakan formula perbezaan kuasa dua: kuasa dua: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Jawapan: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Contoh 11

Permudahkan ungkapan undang-undang kuasa x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Penyelesaian

Kita boleh mengurangkan pecahan dengan (x 2 , 7 + 1) 2. Kami mendapat pecahan x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Mari teruskan mengubah kuasa x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Kini anda boleh menggunakan sifat pembahagian kuasa dengan asas yang sama: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Kami bergerak dari kerja terakhir kepada pecahan x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Jawapan: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Pengganda dengan penunjuk negatif Dalam kebanyakan kes, adalah lebih mudah untuk memindahkan darjah dari pengangka ke penyebut dan belakang, menukar tanda eksponen. Tindakan ini membolehkan anda memudahkan keputusan selanjutnya. Mari kita berikan contoh: ungkapan kuasa (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 boleh digantikan dengan x 3 · (x + 1) 0, 2.

Menukar ungkapan dengan akar dan kuasa

Dalam masalah terdapat ungkapan kuasa yang mengandungi bukan sahaja kuasa dengan penunjuk pecahan, tetapi juga akar. Adalah dinasihatkan untuk mengurangkan ungkapan tersebut hanya kepada akar atau hanya kepada kuasa. Pergi untuk ijazah adalah lebih baik kerana mereka lebih mudah untuk bekerja. Peralihan ini lebih disukai apabila ODZ pembolehubah untuk ungkapan asal membolehkan anda menggantikan akar dengan kuasa tanpa perlu mengakses modulus atau membahagikan ODZ kepada beberapa selang.

Contoh 12

Nyatakan ungkapan x 1 9 · x · x 3 6 sebagai kuasa.

Penyelesaian

Julat nilai pembolehubah yang dibenarkan x ditakrifkan oleh dua ketaksamaan x ≥ 0 dan x x 3 ≥ 0, yang mentakrifkan set [ 0 , + ∞) .

Pada set ini kita mempunyai hak untuk beralih dari akar kepada kuasa:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Menggunakan sifat kuasa, kami memudahkan ekspresi kuasa yang terhasil.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Jawapan: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Menukar kuasa dengan pembolehubah dalam eksponen

Transformasi ini agak mudah dibuat jika anda menggunakan sifat-sifat ijazah dengan betul. Sebagai contoh, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Kita boleh menggantikan dengan hasil darab kuasa, eksponennya ialah hasil tambah beberapa pembolehubah dan nombor. Di sebelah kiri, ini boleh dilakukan dengan istilah pertama dan terakhir di sebelah kiri ungkapan:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Sekarang mari kita bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan 7 2 x. Ungkapan ini untuk pembolehubah x hanya mengambil nilai positif:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Mari kita kurangkan pecahan dengan kuasa, kita dapat: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Akhir sekali, nisbah kuasa dengan eksponen yang sama digantikan dengan kuasa nisbah, menghasilkan persamaan 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, yang bersamaan dengan 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Mari kita perkenalkan pembolehubah baru t = 5 7 x , yang mengurangkan penyelesaian kepada yang asal persamaan eksponen kepada sesuatu keputusan persamaan kuadratik 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Menukar Ungkapan dengan Kuasa dan Logaritma

Ungkapan yang mengandungi kuasa dan logaritma juga terdapat dalam masalah. Contoh ungkapan tersebut ialah: 1 4 1 - 5 · log 2 3 atau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformasi ungkapan tersebut dilakukan menggunakan pendekatan dan sifat logaritma yang dibincangkan di atas, yang kami bincangkan secara terperinci dalam topik "Transformasi ungkapan logaritma".

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

saya. Kerja n faktor, setiap satunya adalah sama A dipanggil n-kuasa ke- nombor A dan ditetapkan An.

Contoh. Tulis produk sebagai ijazah.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Penyelesaian.

1) mmmm=m 4, memandangkan, mengikut takrif ijazah, hasil darab empat faktor, setiap satunya adalah sama m, akan kuasa keempat m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II. Tindakan di mana hasil darab beberapa faktor yang sama ditemui dipanggil eksponen. Nombor yang dinaikkan kepada kuasa dipanggil asas kuasa. Nombor yang menunjukkan berapa kuasa asas dinaikkan dipanggil eksponen. Jadi, An- ijazah, A- asas ijazah, n– eksponen. Contohnya:

2 3 — ia adalah ijazah. Nombor 2 ialah asas darjah, eksponen adalah sama dengan 3 . Nilai darjah 2 3 sama 8, kerana 2 3 =2·2·2=8.

Contoh. tulis ungkapan berikut tanpa eksponen.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) a 3 -b 3 ; 8) 2a 4 +3b 2 .

Penyelesaian.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. dan 0 =1 Sebarang nombor (kecuali sifar) kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu. Contohnya, 25 0 =1.
IV. a 1 =aSebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri.

V. a m∙ a n= a m + n Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, asas dibiarkan sama, dan eksponen dilipat

Contoh. Permudahkan:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Penyelesaian.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. a m: a n= a m - nApabila membahagikan kuasa dengan asas yang sama, asas dibiarkan sama, dan eksponen pembahagi ditolak daripada eksponen dividen.

Contoh. Permudahkan:

12) a 8:a 3 ; 13) m 11:m 4 ; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=a 8-3 =a 5 ; 13)m 11:m 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (a m) n= seorang mn Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, asas dibiarkan sama, dan eksponen didarab.

Contoh. Permudahkan:

15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.

Sila ambil perhatian, yang, kerana produk tidak berubah daripada penyusunan semula faktor, Itu:

15) (a 3) 4 = (a 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

Vsaya II. (a∙b) n =a n ∙b n

Apabila menaikkan produk kepada kuasa, setiap faktor dinaikkan kepada kuasa itu.

Ungkapan, penukaran ungkapan Ungkapan kuasa

(ungkapan dengan kuasa) dan transformasinya

Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang menukar ungkapan dengan kuasa. Pertama, kami akan menumpukan pada transformasi yang dilakukan dengan apa-apa jenis ungkapan, termasuk ungkapan kuasa, seperti membuka kurungan dan membawa istilah yang serupa. Dan kemudian kita akan menganalisis transformasi yang wujud secara khusus dalam ungkapan dengan darjah: bekerja dengan asas dan eksponen, menggunakan sifat darjah, dsb.

Navigasi halaman.

Apakah ungkapan kuasa?

Istilah "ungkapan kuasa" secara praktikal tidak muncul dalam buku teks matematik sekolah, tetapi ia sering muncul dalam koleksi masalah, terutamanya yang dimaksudkan untuk persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersatu dan Peperiksaan Negeri Bersatu, contohnya. Selepas menganalisis tugas-tugas yang memerlukan untuk melakukan sebarang tindakan dengan ungkapan kuasa, jelaslah bahawa ungkapan kuasa difahami sebagai ungkapan yang mengandungi kuasa dalam entri mereka. Oleh itu, anda boleh menerima sendiri definisi berikut:

Definisi. Ungkapan kuasa

adalah ungkapan yang mengandungi kuasa. contoh ungkapan kuasa. Lebih-lebih lagi, kami akan membentangkannya mengikut bagaimana perkembangan pandangan tentang daripada ijazah dengan eksponen semula jadi kepada darjah dengan eksponen sebenar berlaku.

Seperti yang diketahui, orang pertama berkenalan dengan kuasa nombor dengan eksponen semula jadi pada peringkat ini, ungkapan kuasa termudah pertama jenis 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 kelihatan −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dsb.

Tidak lama kemudian, kuasa nombor dengan eksponen integer dikaji, yang membawa kepada kemunculan ungkapan kuasa dengan kuasa integer negatif, seperti berikut: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Di sekolah menengah mereka kembali ke ijazah. Di sana ijazah diperkenalkan penunjuk rasional, yang memerlukan penampilan ungkapan kuasa yang sepadan: , , dll. Akhir sekali, darjah dengan eksponen tidak rasional dan ungkapan yang mengandunginya dianggap: , .

Perkara ini tidak terhad kepada ungkapan kuasa yang disenaraikan: seterusnya pembolehubah menembusi eksponen, dan, sebagai contoh, ungkapan berikut timbul: 2 x 2 +1 atau . Dan selepas berkenalan dengan , ungkapan dengan kuasa dan logaritma mula muncul, contohnya, x 2·lgx −5·x lgx.

Jadi, kita telah menangani persoalan tentang apa yang diwakili oleh ungkapan kuasa. Seterusnya kita akan belajar mengubahnya.

Jenis asas transformasi ungkapan kuasa

Dengan ekspresi kuasa, anda boleh melakukan mana-mana transformasi identiti asas ekspresi. Sebagai contoh, anda boleh mengembangkan kurungan, ganti ungkapan angka nilai mereka, memberikan istilah yang serupa, dsb. Sememangnya, dalam kes ini, perlu mengikuti prosedur yang diterima untuk melakukan tindakan. Mari beri contoh.

Contoh.

Hitung nilai ungkapan kuasa 2 3 ·(4 2 −12) .

Penyelesaian.

Mengikut susunan pelaksanaan tindakan, mula-mula lakukan tindakan dalam kurungan. Di sana, pertama, kita menggantikan kuasa 4 2 dengan nilainya 16 (jika perlu, lihat), dan kedua, kita mengira perbezaan 16−12=4. Kami ada 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Dalam ungkapan yang terhasil, kita menggantikan kuasa 2 3 dengan nilainya 8, selepas itu kita mengira hasil 8·4=32. Ini adalah nilai yang dikehendaki.

Jadi, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Jawapan:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Contoh.

Permudahkan ungkapan dengan kuasa 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Penyelesaian.

Jelas sekali, ungkapan ini mengandungi istilah yang serupa 3·a 4 ·b −7 dan 2·a 4 ·b −7 , dan kita boleh mengemukakannya: .

Jawapan:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Contoh.

Menyatakan ungkapan dengan kuasa sebagai produk.

Penyelesaian.

Anda boleh mengatasi tugas dengan mewakili nombor 9 sebagai kuasa 3 2 dan kemudian menggunakan formula untuk pendaraban singkatan - perbezaan kuasa dua:

Jawapan:

Terdapat juga beberapa transformasi yang serupa yang wujud secara khusus dalam ungkapan kuasa. Kami akan menganalisisnya dengan lebih lanjut.

Bekerja dengan asas dan eksponen

Terdapat kuasa yang asas dan/atau eksponennya bukan sekadar nombor atau pembolehubah, tetapi beberapa ungkapan. Sebagai contoh, kami memberikan entri (2+0.3·7) 5−3.7 dan (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Apabila bekerja dengan ungkapan sedemikian, anda boleh menggantikan kedua-dua ungkapan dalam asas darjah dan ungkapan dalam eksponen dengan ungkapan yang sama dalam ODZ pembolehubahnya. Dalam erti kata lain, mengikut peraturan yang kita ketahui, kita boleh mengubah asas darjah dan secara berasingan eksponen. Adalah jelas bahawa hasil daripada transformasi ini, satu ungkapan akan diperolehi yang sama dengan yang asal.

Transformasi sedemikian membolehkan kita memudahkan ungkapan dengan kuasa atau mencapai matlamat lain yang kita perlukan. Sebagai contoh, dalam ungkapan kuasa yang dinyatakan di atas (2+0.3 7) 5−3.7, anda boleh melakukan operasi dengan nombor dalam asas dan eksponen, yang akan membolehkan anda beralih ke kuasa 4.1 1.3. Dan selepas membuka kurungan dan membawa istilah serupa ke pangkal darjah (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) kita memperoleh ungkapan kuasa bentuk yang lebih ringkas a 2·(x+1 ).

Menggunakan Degree Properties

Salah satu alat utama untuk mengubah ungkapan dengan kuasa ialah kesamaan yang mencerminkan . Mari kita ingat yang utama. Untuk mana-mana nombor positif a dan b dan nombor nyata arbitrari r dan s adalah sah sifat berikut darjah:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Ambil perhatian bahawa untuk eksponen semula jadi, integer dan positif, sekatan pada nombor a dan b mungkin tidak begitu ketat. Sebagai contoh, untuk nombor asli m dan n kesamaan a m ·a n =a m+n adalah benar bukan sahaja untuk a positif, tetapi juga untuk a negatif, dan untuk a=0.

Di sekolah, apabila mengubah ekspresi kuasa, tumpuan utama adalah pada keupayaan untuk memilih sifat yang sesuai dan menerapkannya dengan betul. Dalam kes ini, asas darjah biasanya positif, yang membolehkan sifat darjah digunakan tanpa sekatan. Perkara yang sama berlaku untuk transformasi ungkapan yang mengandungi pembolehubah dalam asas kuasa - julat nilai pembolehubah yang dibenarkan biasanya sedemikian rupa sehingga asas hanya mengambil nilai positif padanya, yang membolehkan anda menggunakan sifat kuasa secara bebas . Secara umum, anda perlu sentiasa bertanya kepada diri sendiri sama ada boleh menggunakan mana-mana harta ijazah dalam kes ini, kerana penggunaan hartanah yang tidak tepat boleh menyebabkan penyempitan nilai pendidikan dan masalah lain. Perkara-perkara ini dibincangkan secara terperinci dan dengan contoh dalam artikel transformasi ungkapan menggunakan sifat darjah. Di sini kita akan mengehadkan diri kita untuk mempertimbangkan beberapa contoh mudah.

Contoh.

Ungkapkan ungkapan a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 sebagai kuasa dengan asas a.

Penyelesaian.

Pertama, kita mengubah faktor kedua (a 2) −3 menggunakan sifat menaikkan kuasa kepada kuasa: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Ungkapan kuasa asal akan mengambil bentuk a 2.5 ·a −6:a −5.5. Jelas sekali, ia tetap menggunakan sifat pendaraban dan pembahagian kuasa dengan asas yang sama, yang kita ada
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Jawapan:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

Sifat kuasa apabila mengubah ungkapan kuasa digunakan dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri.

Contoh.

Cari nilai ungkapan kuasa.

Penyelesaian.

Kesamaan (a·b) r =a r ·b r, digunakan dari kanan ke kiri, membolehkan kita beralih daripada ungkapan asal kepada hasil darab bentuk dan seterusnya. Dan apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen menambah: .

Ia adalah mungkin untuk mengubah ungkapan asal dengan cara lain:

Jawapan:

.

Contoh.

Diberi ungkapan kuasa a 1.5 −a 0.5 −6, perkenalkan pembolehubah baru t=a 0.5.

Penyelesaian.

Darjah a 1.5 boleh diwakili sebagai 0.5 3 dan kemudian, berdasarkan sifat darjah kepada darjah (a r) s =a r s, digunakan dari kanan ke kiri, mengubahnya kepada bentuk (a 0.5) 3. Oleh itu, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Kini mudah untuk memperkenalkan pembolehubah baru t=a 0.5, kita dapat t 3 −t−6.

Jawapan:

t 3 −t−6 .

Menukar pecahan yang mengandungi kuasa

Ungkapan kuasa boleh mengandungi atau mewakili pecahan dengan kuasa. Mana-mana transformasi asas pecahan yang wujud dalam apa-apa jenis pecahan adalah terpakai sepenuhnya untuk pecahan tersebut. Iaitu, pecahan yang mengandungi kuasa boleh dikurangkan, dikurangkan kepada penyebut baru, dikerjakan secara berasingan dengan pengangkanya dan secara berasingan dengan penyebutnya, dsb. Untuk menggambarkan perkataan ini, pertimbangkan penyelesaian kepada beberapa contoh.

Contoh.

Permudahkan ungkapan kuasa .

Penyelesaian.

Ungkapan kuasa ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pengangka dan penyebutnya. Dalam pengangka kita membuka kurungan dan memudahkan ungkapan yang terhasil menggunakan sifat kuasa, dan dalam penyebut kita mengemukakan istilah yang serupa:

Dan mari kita tukar juga tanda penyebut dengan meletakkan tolak di hadapan pecahan: .

Jawapan:

.

Pengurangan pecahan yang mengandungi kuasa kepada penyebut baru dijalankan dengan cara yang sama seperti pengurangan kepada penyebut baru pecahan rasional. Dalam kes ini, faktor tambahan juga ditemui dan pengangka dan penyebut pecahan didarab dengannya. Apabila melakukan tindakan ini, perlu diingat bahawa pengurangan kepada penyebut baharu boleh membawa kepada penyempitan VA. Untuk mengelakkan ini daripada berlaku, faktor tambahan perlu tidak pergi ke sifar untuk sebarang nilai pembolehubah daripada pembolehubah ODZ untuk ungkapan asal.

Contoh.

Kurangkan pecahan kepada penyebut baru: a) kepada penyebut a, b) kepada penyebut.

Penyelesaian.

a) Dalam kes ini, agak mudah untuk mengetahui pengganda tambahan yang membantu untuk mencapai hasil yang diinginkan. Ini ialah pendaraban 0.3, kerana a 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. Ambil perhatian bahawa dalam julat nilai yang dibenarkan pembolehubah a (ini adalah set semua nombor nyata positif), kuasa 0.3 tidak hilang, oleh itu, kita mempunyai hak untuk mendarabkan pengangka dan penyebut bagi sesuatu yang diberikan. pecahan dengan faktor tambahan ini:

b) Melihat lebih dekat pada penyebut, anda akan mendapati bahawa

dan mendarab ungkapan ini dengan akan memberikan hasil tambah kubus dan , iaitu, . Dan ini adalah penyebut baru yang kita perlukan untuk mengurangkan pecahan asal.

Beginilah kami menemui faktor tambahan. Dalam julat nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah x dan y, ungkapan itu tidak hilang, oleh itu, kita boleh mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengannya:

Jawapan:

A) , b) .

Juga tiada perkara baru dalam mengurangkan pecahan yang mengandungi kuasa: pengangka dan penyebut diwakili sebagai beberapa faktor, dan faktor pengangka dan penyebut yang sama dikurangkan.

Contoh.

Kurangkan pecahan: a) , b).

Penyelesaian.

a) Pertama, pengangka dan penyebut boleh dikurangkan dengan nombor 30 dan 45, yang sama dengan 15. Ia juga jelas mungkin untuk melakukan pengurangan sebanyak x 0.5 +1 dan oleh . Inilah yang kami ada:

b) Dalam kes ini, faktor yang sama dalam pengangka dan penyebut tidak serta-merta kelihatan. Untuk mendapatkannya, anda perlu melakukan transformasi awal. Dalam kes ini, ia terdiri daripada pemfaktoran penyebut menggunakan formula perbezaan kuasa dua:

Jawapan:

A)

b) .

Menukar pecahan kepada penyebut baru dan pecahan pengurangan digunakan terutamanya untuk melakukan sesuatu dengan pecahan. Tindakan dilakukan mengikut peraturan yang diketahui. Apabila menambah (menolak) pecahan, ia dikurangkan kepada penyebut biasa, selepas itu pengangka ditambah (ditolak), tetapi penyebutnya tetap sama. Hasilnya ialah pecahan yang pengangkanya adalah hasil darab dari pengangka, dan penyebutnya adalah hasil darab dari penyebutnya. Pembahagian dengan pecahan ialah pendaraban dengan songsangannya.

Contoh.

Ikut langkah .

Penyelesaian.

Pertama, kita tolak pecahan dalam kurungan. Untuk melakukan ini, kami membawanya kepada penyebut yang sama, iaitu , selepas itu kita tolak pembilang:

Sekarang kita darabkan pecahan:

Jelas sekali, adalah mungkin untuk mengurangkan dengan kuasa x 1/2, selepas itu kita ada .

Anda juga boleh memudahkan ungkapan kuasa dalam penyebut dengan menggunakan formula perbezaan kuasa dua: .

Jawapan:

Contoh.

Permudahkan Ungkapan Kuasa .

Penyelesaian.

Jelas sekali, pecahan yang diberi boleh dikurangkan dengan (x 2.7 +1) 2, ini memberikan pecahan . Adalah jelas bahawa sesuatu yang lain perlu dilakukan dengan kuasa X. Untuk melakukan ini, kami menukar pecahan yang terhasil kepada produk. Ini memberi kita peluang untuk mengambil kesempatan daripada harta pembahagian kuasa dengan asas yang sama: . Dan pada akhir proses, kita beralih dari produk terakhir ke pecahan.

Jawapan:

.

Dan marilah kita juga menambah bahawa adalah mungkin, dan dalam banyak kes wajar, untuk memindahkan faktor dengan eksponen negatif dari pengangka ke penyebut atau dari penyebut kepada pengangka, menukar tanda eksponen. Transformasi sedemikian sering dipermudahkan tindakan selanjutnya. Sebagai contoh, ungkapan kuasa boleh digantikan dengan .

Menukar ungkapan dengan akar dan kuasa

Selalunya, dalam ungkapan yang memerlukan beberapa transformasi, akar dengan eksponen pecahan juga hadir bersama kuasa. Untuk menukar ungkapan sedemikian kepada jenis yang betul, dalam kebanyakan kes ia cukup untuk pergi hanya kepada akar atau hanya kepada kuasa. Tetapi kerana lebih mudah untuk bekerja dengan kuasa, mereka biasanya bergerak dari akar ke kuasa. Walau bagaimanapun, adalah dinasihatkan untuk melakukan peralihan sedemikian apabila ODZ pembolehubah untuk ungkapan asal membolehkan anda menggantikan akar dengan kuasa tanpa perlu merujuk kepada modul atau membahagikan ODZ kepada beberapa selang (kami membincangkannya secara terperinci dalam peralihan artikel dari akar kepada kuasa dan kembali Selepas berkenalan dengan ijazah dengan eksponen rasional ijazah dengan eksponen tidak rasional diperkenalkan, yang membolehkan kita bercakap tentang ijazah dengan eksponen sebenar sewenang-wenangnya Pada peringkat ini, sekolah mula belajar. fungsi eksponen , yang secara analitik diberikan oleh kuasa, asasnya ialah nombor, dan eksponen ialah pembolehubah. Oleh itu, kita berhadapan dengan ungkapan kuasa yang mengandungi nombor dalam asas kuasa, dan dalam eksponen - ungkapan dengan pembolehubah, dan secara semula jadi keperluan timbul untuk melakukan transformasi ungkapan tersebut.

Ia harus dikatakan bahawa mengubah ekspresi jenis yang ditentukan selalunya perlu dilakukan semasa menyelesaikan persamaan eksponen Dan ketaksamaan eksponen , dan penukaran ini agak mudah. Dalam kebanyakan kes, ia adalah berdasarkan sifat ijazah dan bertujuan, untuk sebahagian besar, untuk memperkenalkan pembolehubah baharu pada masa hadapan. Persamaan akan membolehkan kita menunjukkannya 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pertama, kuasa, dalam eksponennya ialah jumlah pembolehubah tertentu (atau ungkapan dengan pembolehubah) dan nombor, digantikan dengan produk. Ini terpakai pada istilah pertama dan terakhir ungkapan di sebelah kiri:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Seterusnya, kedua-dua belah kesamaan dibahagikan dengan ungkapan 7 2 x, yang hanya mengambil nilai positif pada ODZ pembolehubah x untuk persamaan asal (ini adalah teknik standard untuk menyelesaikan persamaan jenis ini, kita tidak bercakap mengenainya sekarang, jadi fokus pada transformasi ekspresi seterusnya dengan kuasa ):

Sekarang kita boleh membatalkan pecahan dengan kuasa, yang memberi .

Akhirnya, nisbah kuasa dengan eksponen yang sama digantikan dengan kuasa hubungan, menghasilkan persamaan , yang setara . Transformasi yang dibuat membolehkan kami memperkenalkan pembolehubah baharu, yang mengurangkan penyelesaian persamaan eksponen asal kepada penyelesaian persamaan kuadratik

I. V. Boykov, L. D. Romanova Pengumpulan tugas untuk persediaan menghadapi Peperiksaan Negeri Bersepadu. Bahagian 1. Penza 2003.