Apakah yang dimaksudkan dengan sistem persamaan linear? Definisi, konsep, sebutan

Persamaan linear dipanggil homogen jika pintasannya adalah sifar, dan tidak homogen sebaliknya. Sistem yang terdiri daripada persamaan homogen, dipanggil homogen dan mempunyai bentuk umum:

Jelas sekali, mana-mana sistem homogen adalah konsisten dan mempunyai penyelesaian sifar (remeh). Oleh itu, untuk sistem homogen persamaan linear seseorang sering perlu mencari jawapan kepada persoalan kewujudan penyelesaian bukan sifar. Jawapan kepada soalan ini boleh dirumuskan sebagai teorem berikut.

Teorem . Sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian bukan sifar jika dan hanya jika pangkatnya adalah kurang daripada bilangan tidak diketahui .

Bukti: Katakan sistem yang pangkatnya sama mempunyai penyelesaian bukan sifar. Jelas sekali, tidak melebihi . Dalam kes sistem mempunyai penyelesaian yang unik. Oleh kerana sistem persamaan linear homogen sentiasa mempunyai penyelesaian sifar, penyelesaian sifarlah yang akan menjadi penyelesaian unik ini. Oleh itu, penyelesaian bukan sifar hanya boleh dilakukan untuk .

Akibat 1 : Sistem persamaan homogen, di mana bilangan persamaan adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui, sentiasa mempunyai penyelesaian bukan sifar.

Bukti: Jika sistem persamaan mempunyai , maka pangkat sistem tidak melebihi bilangan persamaan, i.e. . Oleh itu, syaratnya dipenuhi dan, oleh itu, sistem mempunyai penyelesaian bukan sifar.

Akibat 2 : Sistem persamaan homogen dengan tidak diketahui mempunyai penyelesaian bukan sifar jika dan hanya jika penentunya adalah sifar.

Bukti: Katakan satu sistem persamaan homogen linear yang matriksnya dengan penentu mempunyai penyelesaian bukan sifar. Kemudian, menurut teorem terbukti, , yang bermaksud bahawa matriks adalah merosot, i.e. .

Teorem Kronecker-Capelli: SLE adalah konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem sama dengan pangkat matriks lanjutan sistem ini. Sistem ur-th dipanggil serasi jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian.

Sistem homogen linear persamaan algebra .

Sistem persamaan linear m dengan n pembolehubah dipanggil sistem persamaan homogen linear jika semua sebutan bebas adalah sama dengan 0. Sistem persamaan homogen linear sentiasa serasi, kerana ia sentiasa mempunyai sekurang-kurangnya penyelesaian sifar. Sistem persamaan homogen linear mempunyai penyelesaian bukan sifar jika dan hanya jika pangkat matriks pekalinya pada pembolehubah adalah kurang daripada bilangan pembolehubah, i.e. untuk pangkat A (n. Mana-mana kombinasi linear

penyelesaian sistem garisan. homogen ur-ii juga merupakan penyelesaian kepada sistem ini.

Sistem penyelesaian bebas linear e1, e2,…,ek dipanggil asas jika setiap penyelesaian sistem ialah gabungan penyelesaian linear. Teorem: jika pangkat r bagi matriks pekali pada pembolehubah sistem persamaan homogen linear adalah kurang daripada bilangan pembolehubah n, maka mana-mana sistem asas penyelesaian sistem terdiri daripada penyelesaian n-r. sebab tu keputusan bersama sistem lin. bujang ur-th mempunyai bentuk: c1e1+c2e2+…+ckek, dengan e1, e2,…, ek ialah sebarang sistem asas penyelesaian, c1, c2,…,ck ialah nombor arbitrari dan k=n-r. Penyelesaian umum sistem persamaan linear m dengan n pembolehubah adalah sama dengan hasil tambah

penyelesaian umum sistem yang sepadan dengannya adalah homogen. persamaan linear dan penyelesaian tertentu arbitrari sistem ini.

7. Ruang linear. Subruang. Asas, dimensi. Cangkang linear. Ruang linear dipanggil n-dimensi, jika ia mengandungi sistem linear vektor bebas, dan mana-mana sistem daripada lebih vektor adalah bergantung secara linear. Nombor dipanggil dimensi (bilangan dimensi) ruang linear dan dilambangkan dengan . Dalam erti kata lain, dimensi ruang ialah bilangan maksimum vektor bebas linear dalam ruang itu. Jika nombor sedemikian wujud, maka ruang itu dikatakan sebagai dimensi terhingga. Jika untuk apa-apa nombor asli n dalam ruang terdapat sistem yang terdiri daripada vektor bebas linear, maka ruang sedemikian dipanggil dimensi tak terhingga (tulis: ). Dalam perkara berikut, melainkan dinyatakan sebaliknya, ruang dimensi terhingga akan dipertimbangkan.

Asas ruang linear n-dimensi ialah set tertib bagi vektor bebas linear ( vektor asas).

Teorem 8.1 tentang pengembangan vektor dari segi asas. Jika ialah asas ruang linear n-dimensi, maka mana-mana vektor boleh diwakili sebagai gabungan linear vektor asas:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+ms
dan, lebih-lebih lagi, dengan cara yang unik, i.e. pekali ditentukan secara unik. Dalam erti kata lain, mana-mana vektor ruang boleh dikembangkan secara asas dan, lebih-lebih lagi, dengan cara yang unik.

Sesungguhnya, dimensi ruang adalah . Sistem vektor adalah bebas linear (ini adalah asas). Selepas bergabung dengan asas mana-mana vektor, kami memperoleh secara linear sistem bergantung(memandangkan sistem ini terdiri daripada vektor ruang n-dimensi). Dengan sifat 7 vektor bersandar linear dan bebas linear, kita memperoleh kesimpulan teorem.

Kaedah Gaussian mempunyai beberapa kelemahan: adalah mustahil untuk mengetahui sama ada sistem itu konsisten atau tidak sehingga semua transformasi yang diperlukan dalam kaedah Gaussian telah dijalankan; kaedah Gaussian tidak sesuai untuk sistem dengan pekali huruf.

Pertimbangkan kaedah lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Kaedah ini menggunakan konsep pangkat matriks dan mengurangkan penyelesaian mana-mana sistem sendi kepada penyelesaian sistem yang digunakan oleh peraturan Cramer.

Contoh 1 Cari penyelesaian umum sistem seterusnya persamaan linear menggunakan sistem asas penyelesaian sistem homogen terkurang dan penyelesaian tertentu sistem tak homogen.

1. Kami membuat matriks A dan matriks tambahan sistem (1)

2. Terokai sistem (1) untuk keserasian. Untuk melakukan ini, kami mencari pangkat matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jika ternyata , maka sistem (1) tidak serasi. Jika kita mendapat itu , maka sistem ini konsisten dan kami akan menyelesaikannya. (Kajian konsistensi adalah berdasarkan teorem Kronecker-Capelli).

a. Kita dapati rA.

Untuk mencari rA, kami akan mempertimbangkan berturut-turut bukan sifar urutan matriks pertama, kedua, dsb. A dan kanak-kanak bawah umur di sekeliling mereka.

M1=1≠0 (kami ambil 1 dari kiri sudut atas matriks A).

Bersempadan M1 baris kedua dan lajur kedua matriks ini. . Kami terus ke sempadan M1 baris kedua dan lajur ketiga..gif" width="37" height="20 src=">. Sekarang kita bersempadan dengan bukan sifar minor М2′ pesanan kedua.

Kami ada: (kerana dua lajur pertama adalah sama)

(kerana baris kedua dan ketiga adalah berkadar).

Kita nampak itu rA=2, A - bawah umur asas matriks A.

b. Kita dapati .

Cukup asas minor М2′ matriks A bersempadan dengan lajur ahli percuma dan semua baris (kami hanya mempunyai baris terakhir).

. Ia berikutan daripada ini bahawa М3′′ kekal sebagai asas minor matriks https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Kerana М2′- asas minor bagi matriks A sistem (2) , maka sistem ini adalah setara dengan sistem (3) , yang terdiri daripada dua persamaan pertama sistem (2) (untuk М2′ berada dalam dua baris pertama matriks A).

(3)

Memandangkan anak bawah umur asas ialah https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Dalam sistem ini, dua percuma yang tidak diketahui ( x2 Dan x4 ). sebab tu FSR sistem (4) terdiri daripada dua penyelesaian. Untuk mencari mereka, kami memperuntukkan orang yang tidak diketahui secara percuma (4) nilai dahulu x2=1 , x4=0 , dan kemudian - x2=0 , x4=1 .

Pada x2=1 , x4=0 kita mendapatkan:

.

Sistem ini sudah ada satu-satu nya penyelesaian (ia boleh didapati dengan peraturan Cramer atau dengan mana-mana kaedah lain). Menolak persamaan pertama daripada persamaan kedua, kita dapat:

Keputusan dia akan x1= -1 , x3=0 . Memandangkan nilai x2 Dan x4 , yang kami berikan, kami dapat yang pertama keputusan asas sistem (2) : .

Sekarang kita masukkan (4) x2=0 , x4=1 . Kita mendapatkan:

.

Kami menyelesaikan sistem ini menggunakan teorem Cramer:

.

Kami memperoleh penyelesaian asas kedua sistem (2) : .

Penyelesaian β1 , β2 dan mekap FSR sistem (2) . Maka penyelesaian amnya ialah

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Di sini C1 , C2 adalah pemalar arbitrari.

4. Cari satu persendirian penyelesaian sistem heterogen(1) . Seperti dalam perenggan 3 , bukannya sistem (1) pertimbangkan sistem yang setara (5) , yang terdiri daripada dua persamaan pertama sistem (1) .

(5)

Kami memindahkan yang tidak diketahui percuma ke sebelah kanan x2 Dan x4.

(6)

Mari beri percuma yang tidak diketahui x2 Dan x4 nilai sewenang-wenangnya, contohnya, x2=2 , x4=1 dan pasangkannya (6) . Jom dapatkan sistem

Sistem ini mempunyai penyelesaian yang unik (kerana penentunya М2′0). Menyelesaikannya (menggunakan teorem Cramer atau kaedah Gauss), kami memperoleh x1=3 , x3=3 . Memandangkan nilai yang tidak diketahui percuma x2 Dan x4 , kita mendapatkan penyelesaian khusus sistem tidak homogen(1)α1=(3,2,3,1).

5. Sekarang tinggal menulis penyelesaian am α sistem tidak homogen(1) : ia sama dengan jumlah keputusan peribadi sistem ini dan penyelesaian umum sistem homogen terkurangnya (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Ini bermaksud: (7)

6. Peperiksaan. Untuk menyemak sama ada anda telah menyelesaikan sistem dengan betul (1) , kami memerlukan penyelesaian umum (7) menggantikan dalam (1) . Jika setiap persamaan menjadi identiti ( C1 Dan C2 harus dimusnahkan), maka penyelesaiannya dijumpai dengan betul.

Kami akan menggantikan (7) contohnya, hanya dalam persamaan terakhir sistem (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Kami dapat: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Di mana -1=-1. Kami mendapat identiti. Kami melakukan ini dengan semua persamaan lain sistem (1) .

Komen. Pengesahan biasanya agak menyusahkan. Kami boleh mengesyorkan "pengesahan separa" berikut: dalam penyelesaian keseluruhan sistem (1) tetapkan beberapa nilai kepada pemalar arbitrari dan gantikan penyelesaian tertentu yang terhasil hanya ke dalam persamaan yang dibuang (iaitu, ke dalam persamaan dari (1) yang tidak termasuk dalam (5) ). Jika anda mendapat identiti, maka lebih berkemungkinan, penyelesaian sistem (1) ditemui dengan betul (tetapi semakan sedemikian tidak memberikan jaminan penuh ketepatan!). Contohnya, jika dalam (7) letak C2=- 1 , C1=1, maka kita dapat: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Menggantikan ke dalam persamaan terakhir sistem (1), kita mempunyai: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , iaitu –1=–1. Kami mendapat identiti.

Contoh 2 Cari penyelesaian umum kepada sistem persamaan linear (1) , menyatakan perkara yang tidak diketahui utama dari segi yang percuma.

Penyelesaian. Seperti dalam contoh 1, karang matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> matriks ini. Sekarang kita tinggalkan hanya persamaan sistem tersebut (1) , pekali yang termasuk dalam minor asas ini (iaitu, kita mempunyai dua persamaan pertama) dan pertimbangkan sistem yang terdiri daripadanya, yang bersamaan dengan sistem (1).

Mari kita pindahkan yang tidak diketahui bebas ke sebelah kanan persamaan ini.

sistem (9) kita selesaikan dengan kaedah Gaussian, mempertimbangkan bahagian yang betul sebagai ahli percuma.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Pilihan 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Pilihan 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Pilihan 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Pilihan 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Sistem persamaan linear di mana semua sebutan bebas adalah sama dengan sifar dipanggil homogen :

Mana-mana sistem homogen sentiasa konsisten, kerana ia sentiasa ada sifar (remeh ) penyelesaian. Persoalannya timbul dalam keadaan apa sistem homogen akan mempunyai penyelesaian yang tidak remeh.

Teorem 5.2.Sistem homogen mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika pangkat matriks asas adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.

Akibat. Sistem homogen persegi mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika penentu matriks utama sistem itu tidak sama dengan sifar.

Contoh 5.6. Tentukan nilai parameter l yang mana sistem mempunyai penyelesaian bukan remeh dan cari penyelesaian ini:

Penyelesaian. Sistem ini akan mempunyai penyelesaian bukan remeh apabila penentu matriks utama adalah sama dengan sifar:

Oleh itu, sistem ini bukan remeh apabila l=3 atau l=2. Untuk l=3, pangkat matriks utama sistem ialah 1. Kemudian, tinggalkan hanya satu persamaan dan andaikan bahawa y=a Dan z=b, kita mendapatkan x=b-a, iaitu

Untuk l=2, pangkat matriks utama sistem ialah 2. Kemudian, pilih sebagai minor asas:

kita mendapat sistem yang dipermudahkan

Dari sini kita dapati itu x=z/4, y=z/2. Andainya z=4a, kita mendapatkan

Set semua penyelesaian sistem homogen mempunyai yang sangat penting sifat linear : jika X lajur 1 dan X 2 - penyelesaian sistem homogen AX = 0, maka sebarang kombinasi linear daripadanya a X 1+b X 2 juga akan menjadi penyelesaian sistem ini. Memang sejak AX 1 = 0 Dan AX 2 = 0 , Itu A(a X 1+b X 2) = a AX 1+b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Disebabkan oleh sifat ini, jika sistem linear mempunyai lebih daripada satu penyelesaian, maka akan terdapat banyak penyelesaian ini secara tak terhingga.

Lajur Bebas Linear E 1 , E 2 , E k, yang merupakan penyelesaian sistem homogen, dipanggil sistem asas keputusan sistem persamaan linear homogen jika penyelesaian umum sistem ini boleh ditulis sebagai gabungan linear lajur ini:

Jika sistem homogen mempunyai n pembolehubah, dan pangkat matriks utama sistem adalah sama dengan r, Itu k = n-r.

Contoh 5.7. Cari sistem asas penyelesaian bagi sistem persamaan linear berikut:

Penyelesaian. Cari pangkat matriks utama sistem:

Oleh itu, set penyelesaian sistem persamaan ini membentuk subruang linear dimensi n - r= 5 - 2 = 3. Kami memilih sebagai minor asas

.

Kemudian, meninggalkan hanya persamaan asas (selebihnya akan menjadi gabungan linear persamaan ini) dan pembolehubah asas (kami memindahkan selebihnya, yang dipanggil pembolehubah bebas ke kanan), kami mendapat sistem persamaan yang dipermudahkan:

Andainya x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, kita dapati

, .

Andainya a= 1, b=c= 0, kita memperoleh penyelesaian asas pertama; mengandaikan b= 1, a = c= 0, kita memperoleh penyelesaian asas kedua; mengandaikan c= 1, a = b= 0, kita memperoleh penyelesaian asas ketiga. Akibatnya, sistem asas penyelesaian biasa terbentuk

Dengan menggunakan sistem asas, penyelesaian umum sistem homogen boleh ditulis sebagai

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . a

Mari kita perhatikan beberapa sifat penyelesaian sistem tak homogen bagi persamaan linear AX=B dan hubungannya dengan sistem persamaan homogen yang sepadan AX = 0.

Penyelesaian umum sistem tidak homogenadalah sama dengan jumlah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan AX = 0 dan penyelesaian tertentu arbitrari sistem tidak homogen. Sesungguhnya, biarkan Y 0 ialah penyelesaian tertentu arbitrari bagi sistem tidak homogen, i.e. AY 0 = B, Dan Y ialah penyelesaian umum bagi sistem tidak homogen, i.e. AY=B. Menolak satu kesamaan daripada yang lain, kita dapat
A(Y-Y 0) = 0, i.e. Y-Y 0 ialah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan AX=0. Oleh itu, Y-Y 0 = X, atau Y=Y 0 + X. Q.E.D.

biarlah sistem heterogen mempunyai bentuk AX = B 1 + B 2 . Kemudian penyelesaian umum sistem sedemikian boleh ditulis sebagai X = X 1 + X 2 , di mana AX 1 = B 1 dan AX 2 = B 2. Sifat ini menyatakan sifat universal bagi mana-mana sistem linear secara umum (algebra, pembezaan, berfungsi, dsb.). Dalam fizik, sifat ini dipanggil prinsip superposisi, dalam kejuruteraan elektrik dan radio - prinsip tindanan. Contohnya, dalam teori linear litar elektrik arus dalam mana-mana litar boleh diperolehi sebagai jumlah algebra arus yang disebabkan oleh setiap sumber tenaga secara berasingan.

Data matriks

Cari: 1) aA - bB,

Penyelesaian: 1) Kami mencari secara berurutan, menggunakan peraturan untuk mendarab matriks dengan nombor dan menambah matriks ..

2. Cari A*B jika

Penyelesaian: Gunakan Peraturan Pendaraban Matriks

Jawapan:

3. Untuk matriks yang diberikan cari M kecil 31 dan hitung penentunya.

Penyelesaian: Minor M 31 ialah penentu matriks yang diperoleh daripada A

selepas memadam baris 3 dan lajur 1. Cari

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Mari kita ubah matriks A tanpa mengubah penentunya (mari kita buat sifar dalam baris 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Sekarang kita mengira penentu matriks A dengan pengembangan sepanjang baris 1

Jawapan: M 31 = 0, detA = 0

Selesaikan menggunakan kaedah Gauss dan kaedah Cramer.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Penyelesaian: Jom semak

Anda boleh menggunakan kaedah Cramer

Penyelesaian sistem: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Kami menggunakan kaedah Gauss.

Kami mengurangkan matriks lanjutan sistem kepada bentuk segi tiga.

Untuk kemudahan pengiraan, kami menukar baris:

Darab baris ke-2 dengan (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) dan tambah pada yang ke-3:

	1 / 2		7 / 2

Darab baris pertama dengan (k = -2 / 2 = -1 ) dan tambah pada yang ke-2:

Sekarang sistem asal boleh ditulis sebagai:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Dari baris ke-2 kami nyatakan

Dari baris 1 kami nyatakan

Penyelesaiannya adalah sama.

Jawapan: (2; -5; 3)

Cari penyelesaian umum sistem dan FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Penyelesaian: Gunakan kaedah Gauss. Kami mengurangkan matriks lanjutan sistem kepada bentuk segi tiga.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x2	x 3	x4	x5

Darab baris pertama dengan (-11). Darab baris ke-2 dengan (13). Mari tambah baris ke-2 ke baris pertama:

	-2		-2	-3

Darab baris ke-2 dengan (-5). Darab baris ke-3 dengan (11). Mari tambah baris ke-3 ke baris ke-2:

Darab baris ke-3 dengan (-7). Darab baris ke-4 dengan (5). Mari tambah baris ke-4 kepada baris ke-3:

Persamaan kedua ialah gabungan linear yang lain

Cari pangkat matriks itu.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x2	x 3	x4	x5

Anak bawah umur yang terbilang telah perintah tertinggi(daripada kanak-kanak bawah umur yang mungkin) dan berbeza daripada sifar (ia adalah sama dengan produk elemen pada pepenjuru terbalik), jadi rang(A) = 2.

Bawah umur ini adalah asas. Ia termasuk pekali untuk x 1, x 2 yang tidak diketahui, yang bermaksud bahawa x 1, x 2 yang tidak diketahui adalah bergantung (asas), dan x 3, x 4, x 5 adalah percuma.

Sistem dengan pekali matriks ini adalah setara dengan sistem asal dan mempunyai bentuk:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Dengan kaedah penghapusan yang tidak diketahui, kami dapati keputusan bersama:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Kami mencari sistem penyelesaian asas (FSR), yang terdiri daripada penyelesaian (n-r). Dalam kes kami, n=5, r=2, oleh itu, sistem asas penyelesaian terdiri daripada 3 penyelesaian, dan penyelesaian ini mestilah bebas linear.

Untuk baris bebas linear, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks yang terdiri daripada elemen baris adalah sama dengan bilangan baris, iaitu 3.

Ia cukup untuk memberikan nilai x 3 ,x 4 ,x 5 percuma yang tidak diketahui daripada baris penentu susunan ke-3, berbeza daripada sifar, dan mengira x 1 ,x 2 .

Penentu bukan sifar yang paling mudah ialah matriks identiti.

Tetapi di sini lebih mudah untuk diambil

Kami dapati menggunakan penyelesaian umum:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I keputusan FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II Keputusan FSR: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III Keputusan FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Diberi: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Cari: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Penyelesaian: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Jawapan: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 - 0.3i

Sistem persamaan linear homogen di atas medan

DEFINISI. Sistem asas penyelesaian bagi sistem persamaan (1) ialah linear tidak kosong sistem bebas penyelesaiannya, yang rentang linearnya bertepatan dengan set semua penyelesaian sistem (1).

Perhatikan bahawa sistem persamaan linear homogen yang hanya mempunyai penyelesaian sifar tidak mempunyai sistem penyelesaian asas.

CADANGAN 3.11. Mana-mana dua sistem asas penyelesaian bagi sistem persamaan linear homogen terdiri daripada nombor yang sama penyelesaian.

Bukti. Sesungguhnya, mana-mana dua sistem asas penyelesaian bagi sistem persamaan homogen (1) adalah setara dan bebas linear. Oleh itu, mengikut Proposisi 1.12, pangkat mereka adalah sama. Oleh itu, bilangan penyelesaian yang termasuk dalam satu sistem asas adalah sama dengan bilangan penyelesaian yang termasuk dalam mana-mana sistem asas penyelesaian yang lain.

Jika matriks utama A bagi sistem persamaan homogen (1) ialah sifar, maka sebarang vektor daripada adalah penyelesaian kepada sistem (1); dalam kes ini, sebarang koleksi vektor bebas linear daripadanya ialah sistem penyelesaian asas. Jika kedudukan lajur matriks A ialah , maka sistem (1) hanya mempunyai satu penyelesaian - sifar; oleh itu, dalam kes ini, sistem persamaan (1) tidak mempunyai sistem penyelesaian asas.

TEOREM 3.12. Jika pangkat matriks utama sistem homogen persamaan linear (1) kurang daripada bilangan pembolehubah , maka sistem (1) mempunyai sistem asas penyelesaian yang terdiri daripada penyelesaian.

Bukti. Jika pangkat matriks utama A sistem homogen (1) adalah sama dengan sifar atau , maka ditunjukkan di atas bahawa teorem adalah benar. Oleh itu, diandaikan di bawah dengan Andaian , kita akan menganggap bahawa lajur pertama matriks A adalah bebas secara linear. Dalam kes ini, matriks A adalah bersamaan mengikut baris dengan terkurang matriks berlangkah, dan sistem (1) adalah bersamaan dengan sistem persamaan langkah demi langkah yang dikurangkan berikut:

Adalah mudah untuk memeriksa bahawa mana-mana sistem nilai pembolehubah bebas sistem (2) sepadan dengan satu dan hanya satu penyelesaian sistem (2) dan, oleh itu, sistem (1). Khususnya, hanya penyelesaian sifar sistem (2) dan sistem (1) sepadan dengan sistem nilai sifar.

Dalam sistem (2), kami akan menetapkan salah satu yang percuma nilai berubah, sama dengan 1, dan selebihnya pembolehubah - nilai nol. Akibatnya, kami memperoleh penyelesaian kepada sistem persamaan (2), yang kami tulis sebagai baris matriks C berikut:

Sistem baris matriks ini adalah bebas secara linear. Sesungguhnya, untuk sebarang skalar daripada kesamarataan

kesaksamaan menyusul

dan seterusnya kesaksamaan

Mari kita buktikan bahawa rentang linear sistem baris matriks C bertepatan dengan set semua penyelesaian sistem (1).

Penyelesaian sewenang-wenangnya sistem (1). Kemudian vektor

juga merupakan penyelesaian kepada sistem (1), dan