Apakah maksud aritmetik. Bolehkah ia berlaku bahawa min aritmetik menjadi sama dengan min geometri? Min aritmetik dan sifatnya

Sifat yang paling penting bagi purata ialah ia mencerminkan perkara biasa yang wujud dalam semua unit populasi yang dikaji. Nilai atribut unit individu populasi berbeza-beza di bawah pengaruh banyak faktor, di antaranya boleh terdapat kedua-dua asas dan rawak. Intipati purata terletak pada fakta bahawa ia mengimbangi penyimpangan nilai atribut, yang disebabkan oleh tindakan faktor rawak, dan mengumpul (mengambil kira) perubahan yang disebabkan oleh tindakan utama. faktor. Ini membolehkan purata mencerminkan tahap tipikal atribut dan abstrak daripada ciri individu yang wujud dalam unit individu.

Agar purata benar-benar menaip, ia mesti dikira dengan mengambil kira prinsip tertentu.

Prinsip asas untuk penggunaan purata.

1. Purata harus ditentukan untuk populasi yang terdiri daripada unit homogen secara kualitatif.

2. Purata perlu dikira untuk populasi yang terdiri daripada bilangan unit yang cukup besar.

3. Purata perlu dikira untuk populasi dalam keadaan pegun (apabila faktor yang mempengaruhi tidak berubah atau tidak berubah dengan ketara).

4. Purata perlu dikira dengan mengambil kira kandungan ekonomi penunjuk yang dikaji.

Pengiraan kebanyakan penunjuk statistik khusus adalah berdasarkan penggunaan:

agregat purata;

kuasa purata (harmonik, geometri, aritmetik, kuadratik, kubik);

purata kronologi (lihat bahagian).

Semua purata, kecuali purata agregat, boleh dikira dalam dua versi - sebagai wajaran atau tidak berwajaran.

Agregat purata. Formula yang digunakan ialah:

di mana w i= x i* fi;

x i- varian ke-i bagi ciri purata;

fi, - berat i- pilihan ke.

Ijazah purata. Secara umum, formula untuk mengira:

mana ijazah k- sejenis kuasa purata.

Nilai purata yang dikira berdasarkan eksponen min untuk data awal yang sama adalah tidak sama. Dengan peningkatan dalam eksponen k, nilai purata yang sepadan juga meningkat:

Purata kronologi. Untuk siri dinamik seketika dengan selang yang sama antara tarikh, ia dikira dengan formula:

,

di mana x 1 dan Xn nilai penunjuk untuk tarikh mula dan tamat.

Formula untuk Mengira Purata Kuasa

Contoh. Mengikut Jadual. 2.1 adalah perlu untuk mengira purata gaji secara umum untuk tiga perusahaan.

Jadual 2.1

Gaji perusahaan AO

Syarikat	Bilangan perindustrian pengeluarankakitangan (PPP), per.	dana bulanan upah, gosok.	Sederhana gaji, gosok.
		564840	2092
		332750	2750
		517540	2260
Jumlah		1415130

Formula pengiraan khusus bergantung pada data dalam Jadual. 7 adalah asli. Sehubungan itu, pilihan berikut adalah mungkin: data lajur 1 (bilangan PPP) dan 2 (gaji bulanan); atau - 1 (bilangan PPP) dan 3 (purata RFP); atau 2 (gaji bulanan) dan 3 (gaji purata).

Jika terdapat hanya data untuk lajur 1 dan 2. Keputusan graf ini mengandungi nilai yang diperlukan untuk mengira purata yang dikehendaki. Formula agregat purata digunakan:

Sekiranya terdapat hanya data untuk lajur 1 dan 3, maka penyebut nisbah asal diketahui, tetapi pengangkanya tidak diketahui. Walau bagaimanapun, senarai gaji boleh diperolehi dengan mendarabkan purata gaji dengan bilangan SPP. Oleh itu, purata keseluruhan boleh dikira menggunakan formula aritmetik min wajaran:

Ia mesti diambil kira bahawa berat ( fi) dalam beberapa kes boleh menjadi hasil dua atau tiga nilai.

Di samping itu, purata juga digunakan dalam amalan statistik. aritmetik tidak berwajaran:

di mana n ialah isipadu populasi.

Purata ini digunakan apabila pemberat ( fi) tiada (setiap varian sifat berlaku sekali sahaja) atau sama antara satu sama lain.

Sekiranya terdapat hanya data untuk lajur 2 dan 3., iaitu, pengangka nisbah asal diketahui, tetapi penyebutnya tidak diketahui. Bilangan PPP setiap perusahaan boleh diperoleh dengan membahagikan senarai gaji dengan purata gaji. Kemudian pengiraan purata gaji bagi ketiga-tiga perusahaan secara keseluruhan dijalankan mengikut formula purata wajaran harmonik:

Jika beratnya sama ( fi) pengiraan penunjuk purata boleh dibuat mengikut purata harmonik tidak berwajaran:

Dalam contoh kami, kami menggunakan bentuk cara yang berbeza, tetapi mendapat jawapan yang sama. Ini disebabkan oleh fakta bahawa untuk data tertentu, nisbah awal purata yang sama telah dilaksanakan setiap kali.

Purata boleh dikira menggunakan siri variasi diskret dan selang. Dalam kes ini, pengiraan dibuat mengikut purata wajaran aritmetik. Untuk siri diskret, formula ini digunakan dengan cara yang sama seperti dalam contoh di atas. Dalam siri selang, titik tengah selang ditentukan untuk pengiraan.

Contoh. Mengikut Jadual. 2.2 menentukan nilai purata pendapatan tunai per kapita sebulan di wilayah bersyarat.

Jadual 2.2

Data awal (siri variasi)

Purata pendapatan tunai per kapita bulanan, х, gosok.	Penduduk, % daripada jumlah/
Sehingga 400	30,2
400 — 600	24,4
600 — 800	16,7
800 — 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 — 1600	6,7
1600 — 2000	2,7
2000 dan ke atas	2,3
Jumlah	100

Jenis purata yang paling biasa ialah purata aritmetik.

min aritmetik mudah

Purata aritmetik mudah ialah sebutan purata, dalam menentukan jumlah isipadu atribut tertentu dalam data diagihkan sama rata antara semua unit yang termasuk dalam populasi ini. Oleh itu, purata keluaran pengeluaran tahunan bagi setiap pekerja ialah nilai volum pengeluaran yang akan jatuh ke atas setiap pekerja jika keseluruhan volum keluaran diagihkan sama rata di kalangan semua pekerja organisasi. Nilai aritmetik min mudah dikira dengan formula:

min aritmetik mudah— Sama dengan nisbah jumlah nilai individu sesuatu ciri kepada bilangan ciri dalam agregat

Contoh 1 . Satu pasukan 6 pekerja menerima 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 ribu rubel sebulan.

Cari gaji purata
Penyelesaian: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 ribu rubel.

Purata wajaran aritmetik

Jika isipadu set data adalah besar dan mewakili siri taburan, maka min aritmetik berwajaran dikira. Beginilah cara harga purata wajaran seunit pengeluaran ditentukan: jumlah kos pengeluaran (jumlah produk kuantitinya dan harga seunit pengeluaran) dibahagikan dengan jumlah kuantiti pengeluaran.

Kami mewakili ini dalam bentuk formula berikut:

Min aritmetik berwajaran- adalah sama dengan nisbah (jumlah produk nilai atribut kepada kekerapan pengulangan atribut ini) kepada (jumlah frekuensi semua atribut). Ia digunakan apabila varian populasi yang dikaji berlaku tidak sama rata Beberapa kali.

Contoh 2 . Cari purata gaji pekerja kedai sebulan

Gaji purata boleh diperoleh dengan membahagikan jumlah gaji dengan jumlah pekerja:

Jawapan: 3.35 ribu rubel.

Min aritmetik untuk siri selang

Apabila mengira min aritmetik untuk siri variasi selang, purata bagi setiap selang pertama kali ditentukan sebagai jumlah separuh daripada had atas dan bawah, dan kemudian purata keseluruhan siri. Dalam kes selang terbuka, nilai selang bawah atau atas ditentukan oleh nilai selang yang bersebelahan dengannya.

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran.

Contoh 3. Tentukan purata umur pelajar di jabatan petang.

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran. Tahap penghampiran mereka bergantung pada sejauh mana taburan sebenar unit populasi dalam selang itu menghampiri seragam.

Apabila mengira purata, bukan sahaja nilai mutlak, tetapi juga nilai relatif (frekuensi) boleh digunakan sebagai pemberat:

Purata aritmetik mempunyai beberapa sifat yang lebih mendedahkan intipatinya dan memudahkan pengiraan:

1. Hasil darab purata dan hasil tambah frekuensi sentiasa sama dengan hasil tambah bagi varian dan frekuensi, i.e.

2. Purata aritmetik bagi hasil tambah nilai yang berbeza-beza adalah sama dengan hasil tambah cara aritmetik bagi nilai-nilai ini:

3. Jumlah algebra bagi sisihan nilai individu atribut daripada purata ialah sifar:

4. Jumlah sisihan kuasa dua pilihan daripada min adalah kurang daripada jumlah sisihan kuasa dua daripada sebarang nilai arbitrari lain, i.e.

Dalam pengiraan nilai purata hilang.

Purata maksudnya set nombor adalah sama dengan jumlah nombor S dibahagikan dengan nombor nombor ini. Iaitu, ternyata begitu purata maksudnya sama dengan: 19/4 = 4.75.

catatan

Jika anda perlu mencari min geometri untuk hanya dua nombor, maka anda tidak memerlukan kalkulator kejuruteraan: anda boleh mengekstrak punca darjah kedua (akar kuasa dua) sebarang nombor menggunakan kalkulator yang paling biasa.

Nasihat yang berguna

Tidak seperti min aritmetik, min geometri tidak begitu kuat dipengaruhi oleh sisihan besar dan turun naik antara nilai individu dalam set penunjuk yang dikaji.

Sumber:

• Kalkulator dalam talian yang mengira min geometri
• formula min geometri

Purata nilai ialah salah satu ciri set nombor. Mewakili nombor yang tidak boleh berada di luar julat yang ditakrifkan oleh nilai terbesar dan terkecil dalam set nombor ini. Purata nilai aritmetik - pelbagai purata yang paling biasa digunakan.

Arahan

Tambahkan semua nombor dalam set dan bahagikannya dengan bilangan sebutan untuk mendapatkan min aritmetik. Bergantung pada syarat khusus pengiraan, kadangkala lebih mudah untuk membahagikan setiap nombor dengan bilangan nilai dalam set dan menjumlahkan hasilnya.

Gunakan, sebagai contoh, termasuk dalam sistem pengendalian Windows, jika tidak mungkin untuk mengira min aritmetik dalam fikiran anda. Anda boleh membukanya menggunakan dialog pelancar program. Untuk melakukan ini, tekan "kekunci panas" WIN + R atau klik butang "Mula" dan pilih arahan "Jalankan" dari menu utama. Kemudian taip calc ke dalam medan input dan tekan Enter atau klik butang OK. Perkara yang sama boleh dilakukan melalui menu utama - bukanya, pergi ke bahagian "Semua Program" dan dalam bahagian "Standard" dan pilih baris "Kalkulator".

Masukkan semua nombor dalam set secara berturut-turut dengan menekan kekunci Tambah selepas setiap satu daripada mereka (kecuali yang terakhir) atau dengan mengklik butang yang sepadan dalam antara muka kalkulator. Anda juga boleh memasukkan nombor kedua-dua dari papan kekunci dan dengan mengklik butang antara muka yang sepadan.

Tekan kekunci slash atau klik ini dalam antara muka kalkulator selepas memasukkan nilai set terakhir dan mencetak bilangan nombor dalam urutan. Kemudian tekan tanda sama dan kalkulator akan mengira dan memaparkan min aritmetik.

Anda boleh menggunakan editor hamparan Microsoft Excel untuk tujuan yang sama. Dalam kes ini, mulakan editor dan masukkan semua nilai urutan nombor ke dalam sel bersebelahan. Jika selepas memasukkan setiap nombor anda menekan Enter atau kekunci anak panah ke bawah atau kanan, editor itu sendiri akan mengalihkan fokus input ke sel bersebelahan.

Klik sel di sebelah nombor terakhir yang anda masukkan, jika anda tidak mahu hanya melihat min aritmetik. Kembangkan sigma Yunani (Σ) lungsur turun bagi arahan Pengeditan pada tab Laman Utama. Pilih baris " Purata” dan editor akan memasukkan formula yang dikehendaki untuk mengira min aritmetik dalam sel yang dipilih. Tekan kekunci Enter dan nilai akan dikira.

Min aritmetik adalah salah satu ukuran kecenderungan memusat, digunakan secara meluas dalam pengiraan matematik dan statistik. Mencari purata aritmetik beberapa nilai adalah sangat mudah, tetapi setiap tugas mempunyai nuansa tersendiri, yang hanya perlu diketahui untuk melakukan pengiraan yang betul.

Apakah maksud aritmetik

Min aritmetik menentukan nilai purata untuk keseluruhan tatasusunan nombor asal. Dalam erti kata lain, daripada set nombor tertentu, nilai yang sama kepada semua elemen dipilih, perbandingan matematiknya dengan semua elemen adalah lebih kurang sama. Purata aritmetik digunakan terutamanya dalam penyediaan laporan kewangan dan statistik atau untuk mengira keputusan eksperimen yang serupa.

Bagaimana untuk mencari min aritmetik

Pencarian min aritmetik untuk tatasusunan nombor harus dimulakan dengan menentukan jumlah algebra bagi nilai-nilai ini. Sebagai contoh, jika tatasusunan mengandungi nombor 23, 43, 10, 74 dan 34, maka jumlah algebranya ialah 184. Apabila menulis, min aritmetik dilambangkan dengan huruf μ (mu) atau x (x dengan bar) . Seterusnya, jumlah algebra hendaklah dibahagikan dengan bilangan nombor dalam tatasusunan. Dalam contoh ini, terdapat lima nombor, jadi min aritmetik akan menjadi 184/5 dan akan menjadi 36.8.

Ciri bekerja dengan nombor negatif

Jika terdapat nombor negatif dalam tatasusunan, maka min aritmetik didapati menggunakan algoritma yang serupa. Terdapat perbezaan hanya apabila mengira dalam persekitaran pengaturcaraan, atau jika terdapat syarat tambahan dalam tugas. Dalam kes ini, mencari min aritmetik nombor dengan tanda yang berbeza datang kepada tiga langkah:

1. Mencari min aritmetik sepunya dengan kaedah piawai;
2. Mencari min aritmetik bagi nombor negatif.
3. Pengiraan min aritmetik bagi nombor positif.

Respons setiap tindakan ditulis dipisahkan dengan koma.

Pecahan semula jadi dan perpuluhan

Jika tatasusunan nombor diwakili oleh pecahan perpuluhan, penyelesaian berlaku mengikut kaedah pengiraan min aritmetik integer, tetapi hasilnya dikurangkan mengikut keperluan masalah untuk ketepatan jawapan.

Apabila bekerja dengan pecahan semula jadi, ia harus dikurangkan kepada penyebut biasa, yang didarab dengan bilangan nombor dalam tatasusunan. Pengangka jawapan akan menjadi jumlah pengangka yang diberikan bagi unsur pecahan asal.

• Kalkulator kejuruteraan.

Arahan

Perlu diingat bahawa dalam kes umum, min geometri nombor ditemui dengan mendarab nombor ini dan mengekstrak daripadanya punca darjah yang sepadan dengan bilangan nombor. Sebagai contoh, jika anda perlu mencari min geometri bagi lima nombor, maka anda perlu mengekstrak punca darjah daripada hasil darab.

Untuk mencari min geometri bagi dua nombor, gunakan peraturan asas. Cari hasil darabnya, dan kemudian ekstrak punca kuasa dua daripadanya, kerana nombornya ialah dua, yang sepadan dengan darjah punca. Contohnya, untuk mencari min geometri bagi nombor 16 dan 4, cari hasil darabnya 16 4=64. Daripada nombor yang terhasil, ekstrak punca kuasa dua √64=8. Ini akan menjadi nilai yang dikehendaki. Sila ambil perhatian bahawa min aritmetik kedua-dua nombor ini adalah lebih besar daripada dan sama dengan 10. Jika punca tidak diambil sepenuhnya, bulatkan hasilnya kepada susunan yang dikehendaki.

Untuk mencari min geometri bagi lebih daripada dua nombor, gunakan juga peraturan asas. Untuk melakukan ini, cari hasil darab semua nombor yang anda ingin cari min geometri. Daripada produk yang terhasil, ekstrak punca darjah yang sama dengan bilangan nombor. Contohnya, untuk mencari min geometri bagi nombor 2, 4, dan 64, cari hasil darabnya. 2 4 64=512. Oleh kerana anda perlu mencari hasil min geometri bagi tiga nombor, ekstrak punca darjah ketiga daripada hasil darab. Sukar untuk melakukan ini secara lisan, jadi gunakan kalkulator kejuruteraan. Untuk melakukan ini, ia mempunyai butang "x ^ y". Dail nombor 512, tekan butang "x^y", kemudian dail nombor 3 dan tekan butang "1/x", untuk mencari nilai 1/3, tekan butang "=". Kami mendapat hasil menaikkan 512 kepada kuasa 1/3, yang sepadan dengan akar darjah ketiga. Dapatkan 512^1/3=8. Ini ialah min geometri bagi nombor 2.4 dan 64.

Menggunakan kalkulator kejuruteraan, anda boleh mencari min geometri dengan cara lain. Cari butang log pada papan kekunci anda. Selepas itu, ambil logaritma bagi setiap nombor, cari jumlahnya dan bahagikannya dengan bilangan nombor. Daripada nombor yang terhasil, ambil antilogaritma. Ini akan menjadi min geometri nombor. Contohnya, untuk mencari min geometri bagi nombor 2, 4 dan 64 yang sama, buat satu set operasi pada kalkulator. Taip nombor 2, kemudian tekan butang log, tekan butang "+", taip nombor 4 dan tekan log dan "+" sekali lagi, taip 64, tekan log dan "=". Hasilnya ialah nombor yang sama dengan jumlah logaritma perpuluhan bagi nombor 2, 4 dan 64. Bahagikan nombor yang terhasil dengan 3, kerana ini ialah bilangan nombor yang mana min geometri dicari. Daripada hasilnya, ambil antilogaritma dengan menogol kekunci daftar dan gunakan kekunci log yang sama. Hasilnya ialah nombor 8, ini adalah min geometri yang dikehendaki.

Dalam matematik, min aritmetik nombor (atau ringkasnya purata) ialah jumlah semua nombor dalam set tertentu dibahagikan dengan nombor mereka. Ini adalah konsep nilai purata yang paling umum dan meluas. Seperti yang telah anda fahami, untuk mencari anda perlu merumuskan semua nombor yang diberikan kepada anda, dan membahagikan hasilnya dengan bilangan istilah.

Apakah maksud aritmetik?

Mari kita lihat satu contoh.

Contoh 1. Nombor diberikan: 6, 7, 11. Anda perlu mencari nilai puratanya.

Penyelesaian.

Pertama, mari kita cari jumlah semua nombor yang diberikan.

Sekarang kita membahagikan jumlah yang terhasil dengan bilangan istilah. Oleh kerana kita mempunyai tiga penggal, masing-masing, kita akan bahagikan dengan tiga.

Oleh itu, purata bagi 6, 7, dan 11 ialah 8. Mengapa 8? Ya, kerana jumlah 6, 7 dan 11 akan sama dengan tiga lapan. Ini jelas dilihat dalam ilustrasi.

Nilai purata agak mengingatkan "penjajaran" siri nombor. Seperti yang anda lihat, longgokan pensel telah menjadi satu tahap.

Pertimbangkan contoh lain untuk menyatukan pengetahuan yang diperoleh.

Contoh 2 Nombor diberikan: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Anda perlu mencari min aritmetiknya.

Penyelesaian.

Kami dapati jumlahnya.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Bahagikan dengan bilangan istilah (dalam kes ini, 15).

Oleh itu, nilai purata bagi siri nombor ini ialah 22.

Sekarang pertimbangkan nombor negatif. Mari kita ingat bagaimana untuk merumuskannya. Sebagai contoh, anda mempunyai dua nombor 1 dan -4. Mari cari jumlah mereka.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Mengetahui ini, pertimbangkan contoh lain.

Contoh 3 Cari nilai purata bagi satu siri nombor: 3, -7, 5, 13, -2.

Penyelesaian.

Mencari hasil tambah nombor.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Oleh kerana terdapat 5 sebutan, kita bahagikan jumlah yang terhasil dengan 5.

Oleh itu, min aritmetik bagi nombor 3, -7, 5, 13, -2 ialah 2.4.

Dalam masa kemajuan teknologi kita, adalah lebih mudah untuk menggunakan program komputer untuk mencari nilai purata. Microsoft Office Excel adalah salah satu daripadanya. Mencari purata dalam Excel adalah cepat dan mudah. Selain itu, program ini disertakan dalam pakej perisian dari Microsoft Office. Mari kita pertimbangkan arahan ringkas, nilai menggunakan program ini.

Untuk mengira nilai purata bagi satu siri nombor, anda mesti menggunakan fungsi AVERAGE. Sintaks untuk fungsi ini ialah:
=Purata(hujah1, hujah2, ... hujah255)
di mana argument1, argument2, ... argument255 ialah sama ada nombor atau rujukan sel (sel bermakna julat dan tatasusunan).

Untuk lebih jelas, mari kita uji ilmu yang diperoleh.

1. Masukkan nombor 11, 12, 13, 14, 15, 16 dalam sel C1 - C6.
2. Pilih sel C7 dengan mengklik padanya. Dalam sel ini, kami akan memaparkan nilai purata.
3. Klik pada tab "Formula".
4. Pilih Lagi Fungsi > Statistik untuk dibuka
5. Pilih PURATA. Selepas itu, kotak dialog akan dibuka.
6. Pilih dan seret sel C1-C6 ke sana untuk menetapkan julat dalam kotak dialog.
7. Sahkan tindakan anda dengan butang "OK".
8. Jika anda melakukan semuanya dengan betul, dalam sel C7 anda sepatutnya mempunyai jawapan - 13.7. Apabila anda mengklik pada sel C7, fungsi (=Purata(C1:C6)) akan dipaparkan dalam bar formula.

Ia amat berguna untuk menggunakan fungsi ini untuk perakaunan, invois atau apabila anda hanya perlu mencari purata julat nombor yang sangat panjang. Oleh itu, ia sering digunakan di pejabat dan syarikat besar. Ini membolehkan anda menyimpan rekod dengan teratur dan memungkinkan untuk mengira sesuatu dengan cepat (contohnya, purata pendapatan sebulan). Anda juga boleh menggunakan Excel untuk mencari min fungsi.