Apakah yang dimaksudkan untuk menunjukkan darjah polinomial. Makna perkataan polinomial

Mengikut definisi, polinomial ialah ungkapan algebra yang merupakan hasil tambah monomial.

Contohnya: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 ialah polinomial, dan ungkapan z/(x - x*y^2 + 4) bukan polinomial kerana ia bukan jumlah monomial. Polinomial juga kadangkala dipanggil polinomial, dan monomial yang merupakan sebahagian daripada polinomial ialah ahli polinomial atau monomial.

Konsep kompleks polinomial

Jika polinomial terdiri daripada dua sebutan, maka ia dipanggil binomial; jika ia terdiri daripada tiga, ia dipanggil trinomial. Nama fournomial, fivenomial dan lain-lain tidak digunakan, dan dalam kes sedemikian mereka hanya menyebut polinomial. Nama sedemikian, bergantung pada bilangan istilah, meletakkan segala-galanya di tempatnya.

Dan istilah monomial menjadi intuitif. Dari sudut pandangan matematik, monomial ialah kes khas polinomial. Monomial ialah polinomial yang terdiri daripada satu sebutan.

Sama seperti monomial, polinomial mempunyai sendiri pandangan standard. Bentuk piawai polinomial ialah tatatanda polinomial di mana semua monomial termasuk di dalamnya sebagai istilah ditulis dalam bentuk piawai dan istilah serupa diberikan.

Bentuk piawai polinomial

Prosedur untuk mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai adalah untuk mengurangkan setiap monomial kepada bentuk piawai, dan kemudian menambah semua monomial yang serupa bersama-sama. Penambahan sebutan serupa polinomial dipanggil pengurangan serupa.
Sebagai contoh, mari kita memberi istilah yang serupa dalam polinomial 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Istilah 4*a*b^2*c^3 dan 6*a*b^2*c^3 adalah serupa di sini. Jumlah sebutan ini ialah monomial 10*a*b^2*c^3. Oleh itu, polinomial asal 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b boleh ditulis semula sebagai 10*a*b^2*c^3 - a* b . Entri ini akan menjadi bentuk piawai polinomial.

Daripada fakta bahawa mana-mana monomial boleh dikurangkan kepada bentuk piawai, ia juga mengikuti bahawa mana-mana polinomial boleh dikurangkan kepada bentuk piawai.

Apabila polinomial dikurangkan kepada bentuk piawai, kita boleh bercakap tentang konsep seperti darjah polinomial. Darjah polinomial ialah darjah tertinggi monomial yang termasuk dalam polinomial tertentu.
Jadi, sebagai contoh, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 ialah polinomial darjah kelima, kerana darjah maksimum monomial termasuk dalam polinomial (5*x^3*y^ 2) adalah kelima.

Konsep polinomial

Takrif polinomial: Polinomial ialah hasil tambah monomial. Contoh polinomial:

di sini kita melihat jumlah dua monomial, dan ini adalah polinomial, i.e. jumlah monomial.

Istilah yang membentuk polinomial dipanggil istilah polinomial.

Adakah perbezaan monomial adalah polinomial? Ya, memang, kerana perbezaan itu mudah dikurangkan kepada jumlah, contoh: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Monomial juga dianggap polinomial. Tetapi monomial tidak mempunyai jumlah, maka mengapa ia dianggap polinomial? Dan anda boleh menambah sifar padanya dan mendapatkan jumlahnya dengan monomial sifar. Jadi monomialnya ialah kes istimewa polinomial, ia terdiri daripada satu ahli.

Nombor sifar ialah polinomial sifar.

Bentuk piawai polinomial

Apakah polinomial bentuk piawai? Polinomial ialah jumlah monomial, dan jika semua monomial yang membentuk polinomial ini ditulis dalam bentuk piawai, dan sepatutnya tidak ada yang serupa di antara mereka, maka polinomial itu ditulis dalam bentuk piawai.

Contoh polinomial dalam bentuk piawai:

di sini polinomial terdiri daripada 2 monomial, setiap satunya mempunyai bentuk piawai; antara monomial tidak ada yang serupa.

Sekarang contoh polinomial yang tidak mempunyai bentuk standard:

di sini dua monomial: 2a dan 4a adalah serupa. Anda perlu menambahnya, maka polinomial akan mengambil bentuk standard:

Contoh yang lain:

Adakah polinomial ini dikurangkan kepada bentuk piawai? Tidak, istilah kedua beliau tidak ditulis dalam bentuk standard. Menulisnya dalam bentuk piawai, kita memperoleh polinomial bentuk piawai:

Ijazah polinomial

Apakah darjah polinomial?

Definisi darjah polinomial:

Darjah polinomial ialah darjah tertinggi yang dimiliki oleh monomial yang membentuk polinomial bentuk piawai tertentu.

Contoh. Apakah darjah polinomial 5h? Darjah polinomial 5h adalah sama dengan satu, kerana polinomial ini mengandungi hanya satu monomial dan darjahnya adalah sama dengan satu.

Contoh yang lain. Apakah darjah polinomial 5a 2 h 3 s 4 +1? Darjah polinomial 5a 2 h 3 s 4 + 1 adalah sama dengan sembilan, kerana polinomial ini termasuk dua monomial, monomial pertama 5a 2 h 3 s 4 mempunyai darjah tertinggi, dan darjahnya ialah 9.

Contoh yang lain. Apakah darjah polinomial 5? Darjah polinomial 5 ialah sifar. Jadi, darjah polinomial yang hanya terdiri daripada nombor, i.e. tanpa huruf, sama dengan sifar.

Contoh terakhir. Apakah darjah polinomial sifar, i.e. sifar? Darjah polinomial sifar tidak ditentukan.

Selepas mempelajari monomial, kita beralih kepada polinomial. artikel ini akan memberitahu tentang semua orang maklumat yang diperlukan, perlu untuk melakukan tindakan ke atas mereka. Kami akan mentakrifkan polinomial dengan definisi yang disertakan istilah polinomial, iaitu bebas dan serupa, pertimbangkan polinomial bentuk piawai, perkenalkan ijazah dan pelajari cara mencarinya, gunakan pekalinya.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Polinomial dan istilahnya - definisi dan contoh

Takrif polinomial diperlukan kembali 7 kelas selepas mempelajari monomials. Mari kita lihat definisi penuhnya.

Definisi 1

Polinomial Jumlah monomial dikira, dan monomial itu sendiri ialah kes khas polinomial.

Daripada definisi itu, contoh polinomial boleh berbeza: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z dan seterusnya. Dari definisi kita mempunyai itu 1+x, a 2 + b 2 dan ungkapan x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x ialah polinomial.

Mari lihat beberapa definisi lagi.

Definisi 2

Ahli polinomial monomial konstituennya dipanggil.

Pertimbangkan contoh di mana kita mempunyai polinomial 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, yang terdiri daripada 4 sebutan: 3 x 4, − 2 x y, 3 dan − y 3. Monomial sedemikian boleh dianggap sebagai polinomial, yang terdiri daripada satu istilah.

Definisi 3

Polinomial yang mengandungi 2, 3 trinomial mempunyai nama yang sepadan - binomial Dan trinomial.

Ia berikutan bahawa ungkapan bentuk x+y– ialah binomial, dan ungkapan 2 x 3 q − q x x x + 7 b ialah trinomial.

Oleh kurikulum sekolah bekerja dengan binomial linear bentuk a · x + b, di mana a dan b ialah beberapa nombor, dan x ialah pembolehubah. Mari kita pertimbangkan contoh binomial linear dalam bentuk: x + 1, x 7, 2 − 4 dengan contoh trinomial segi empat sama x 2 + 3 x − 5 dan 2 5 x 2 - 3 x + 11 .

Untuk mengubah dan menyelesaikan, adalah perlu untuk mencari dan membawa istilah yang serupa. Contohnya, polinomial dalam bentuk 1 + 5 x − 3 + y + 2 x mempunyai sebutan 1 dan - 3, 5 x dan 2 x yang serupa. Mereka dibahagikan kepada kumpulan khas yang dipanggil ahli polinomial yang serupa.

Definisi 4

Sebutan yang sama bagi polinomial adalah istilah serupa yang terdapat dalam polinomial.

Dalam contoh di atas, kita mempunyai bahawa 1 dan - 3, 5 x dan 2 x adalah sebutan serupa bagi sebutan polinomial atau serupa. Untuk memudahkan ungkapan, cari dan kurangkan istilah yang serupa.

Polinomial bentuk piawai

Semua monomial dan polinomial mempunyai nama khusus mereka sendiri.

Definisi 5

Polinomial bentuk piawai ialah polinomial di mana setiap istilah yang termasuk di dalamnya mempunyai monomial bentuk piawai dan tidak mengandungi istilah yang serupa.

Daripada takrifan adalah jelas bahawa adalah mungkin untuk mengurangkan polinomial bentuk piawai, contohnya, 3 x 2 − x y + 1 dan __formula__, dan entri adalah dalam bentuk standard. Ungkapan 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z dan 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z bukanlah polinomial bentuk piawai, kerana yang pertama mempunyai sebutan yang serupa dalam tingkatan 3 · x 2 dan − x 2, dan yang kedua mengandungi monomial bentuk x · y 3 · x · z 2, yang berbeza daripada polinomial piawai.

Jika keadaan memerlukannya, kadangkala polinomial dikurangkan kepada bentuk standard. Konsep istilah bebas polinomial juga dianggap polinomial bentuk piawai.

Definisi 6

Istilah bebas polinomial ialah polinomial bentuk piawai yang tidak mempunyai bahagian tersurat.

Dengan kata lain, apabila polinomial dalam bentuk piawai mempunyai nombor, ia dipanggil ahli bebas. Maka nombor 5 ialah sebutan bebas bagi polinomial x 2 z + 5, dan polinomial 7 a + 4 a b + b 3 tidak mempunyai sebutan bebas.

Darjah polinomial - bagaimana untuk mencarinya?

Takrifan darjah polinomial itu sendiri adalah berdasarkan takrif polinomial bentuk piawai dan pada darjah monomial yang merupakan komponennya.

Definisi 7

Darjah polinomial bentuk piawai dipanggil darjah terbesar yang termasuk dalam tatatandanya.

Mari kita lihat satu contoh. Darjah polinomial 5 x 3 − 4 adalah sama dengan 3, kerana monomial yang termasuk dalam komposisinya mempunyai darjah 3 dan 0, dan yang lebih besar ialah 3, masing-masing. Takrif darjah daripada polinomial 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x adalah sama dengan nombor terbesar, iaitu 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 dan 1, yang bermaksud 5 .

Ia adalah perlu untuk mengetahui bagaimana ijazah itu sendiri ditemui.

Definisi 8

Darjah polinomial bagi nombor arbitrari ialah darjah polinomial yang sepadan dalam bentuk piawai.

Apabila polinomial tidak ditulis dalam bentuk standard, tetapi anda perlu mencari darjahnya, anda perlu mengurangkannya kepada bentuk standard, dan kemudian mencari darjah yang diperlukan.

Contoh 1

Cari darjah polinomial 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Penyelesaian

Pertama, mari kita kemukakan polinomial dalam bentuk piawai. Kami mendapat ungkapan bentuk:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Apabila mendapatkan polinomial bentuk piawai, kita dapati dua daripadanya menonjol dengan jelas - 2 · a 2 · b 2 · c 2 dan y 2 · z 2 . Untuk mencari darjah, kita mengira dan mendapati bahawa 2 + 2 + 2 = 6 dan 2 + 2 = 4. Dapat dilihat bahawa yang terbesar daripada mereka ialah 6. Daripada takrifan itu, 6 ialah darjah polinomial − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , dan oleh itu nilai asal.

Jawab: 6 .

Pekali sebutan polinomial

Definisi 9

Apabila semua istilah polinomial adalah monomial bentuk piawai, maka dalam kes ini ia mempunyai nama pekali istilah polinomial. Dalam erti kata lain, ia boleh dipanggil pekali polinomial.

Apabila mempertimbangkan contoh, adalah jelas bahawa polinomial dalam bentuk 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 mengandungi 4 polinomial: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x dan 7 dengan pekali sepadannya 2, − 0, 5, 3 dan 7. Ini bermakna 2, − 0, 5, 3 dan 7 dianggap sebagai pekali sebutan bagi polinomial tertentu dalam bentuk 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Apabila menukar, adalah penting untuk memberi perhatian kepada pekali di hadapan pembolehubah.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Atau, secara tegasnya, adalah jumlah formal terhingga bagi borang tersebut

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdot x_(n)^(i_(n))), Di mana

Khususnya, polinomial dalam satu pembolehubah ialah jumlah formal terhingga bagi bentuk

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x ​​​​m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\dots +c_(m)x^(m)), Di mana

Menggunakan polinomial, konsep "persamaan algebra" dan "fungsi algebra" diterbitkan.

Kajian dan aplikasi[ | ]

Kajian persamaan polinomial dan penyelesaiannya mungkin merupakan objek utama "algebra klasik."

Berkaitan dengan kajian polinomial keseluruhan baris transformasi dalam matematik: pengenalan kepada pertimbangan sifar, negatif, dan nombor kompleks, serta kemunculan teori kumpulan sebagai cabang matematik dan pengenalpastian kelas fungsi khas dalam analisis.

Kesederhanaan teknikal pengiraan yang dikaitkan dengan polinomial berbanding dengan kelas fungsi yang lebih kompleks, serta fakta bahawa set polinomial adalah padat dalam ruang fungsi berterusan pada subset padat ruang Euclidean (lihat teorem penghampiran Weierstrass), menyumbang kepada perkembangan kaedah pengembangan siri dan pengembangan polinomial.interpolasi dalam analisis matematik.

Polinomial juga memainkan peranan penting dalam geometri algebra, yang objeknya ditetapkan sebagai penyelesaian kepada sistem polinomial.

Ciri khas pekali ubah apabila mendarab polinomial digunakan dalam geometri algebra, algebra, teori simpulan dan cabang matematik lain untuk pengekodan atau menyatakan sifat pelbagai objek dengan polinomial.

Definisi yang berkaitan[ | ]

• Polinomial bentuk c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n))) dipanggil monomial atau monomial pelbagai indeks I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
• Monomial sepadan dengan berbilang indeks I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots ,\,0)) dipanggil ahli percuma.
• Ijazah penuh(bukan sifar) monomial c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n))) dipanggil integer | saya | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
• Banyak indeks berbilang saya, yang mana pekali c I (\displaystyle c_(I)) bukan sifar, dipanggil pembawa polinomial, dan badan cembungnya ialah polihedron Newton.
• Ijazah polinomial dipanggil maksimum kuasa monomialnya. Darjah sifar yang sama ditentukan lagi oleh nilai − ∞ (\displaystyle -\infty ).
• Polinomial yang merupakan hasil tambah dua monomial dipanggil binomial atau binomial,
• Polinomial yang merupakan hasil tambah tiga monomial dipanggil trinomial.
• Pekali polinomial biasanya diambil daripada cincin komutatif tertentu R (\displaystyle R)(paling kerap medan, contohnya, medan nombor nyata atau kompleks). Dalam kes ini, berkenaan dengan operasi penambahan dan pendaraban, polinomial membentuk cincin (selain itu, algebra bersekutu-komutatif di atas cincin itu. R (\displaystyle R) tanpa pembahagi sifar) yang dilambangkan R [ x 1 , x 2 , … , x n ] . (\displaystyle R.)
• Untuk polinomial p (x) (\gaya paparan p(x)) satu pembolehubah, menyelesaikan persamaan p (x) = 0 (\gaya paparan p(x)=0) dipanggil akarnya.

Fungsi polinomial[ | ]

biarlah A (\displaystyle A) terdapat algebra di atas cincin R (\displaystyle R). Polinomial sewenang-wenangnya p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\gaya paparan p(x)\dalam R) mentakrifkan fungsi polinomial

p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\to A).

Kes yang paling kerap dipertimbangkan ialah A = R (\displaystyle A=R).

Jika R (\displaystyle R) ialah medan nombor nyata atau kompleks (serta mana-mana medan lain dengan bilangan unsur yang tidak terhingga), fungsinya f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R) mentakrifkan sepenuhnya polinomial p. Walau bagaimanapun, dalam kes am ini tidak betul, contohnya: polinomial p 1 (x) ≡ x (\gaya paparan p_(1)(x)\equiv x) Dan p 2 (x) ≡ x 2 (\gaya paparan p_(2)(x)\equiv x^(2)) daripada Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z)_(2)[x]) ditentukan secara identik fungsi yang sama Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2)).

Fungsi polinomial bagi satu pembolehubah nyata dipanggil keseluruhan fungsi rasional.

Jenis polinomial[ | ]

Hartanah [ | ]

Kebolehbahagiaan [ | ]

Peranan polinomial tak boleh dikurangkan dalam cincin polinomial adalah serupa dengan peranan nombor perdana dalam cincin integer. Sebagai contoh, teorem adalah benar: jika hasil darab polinomial p q (\displaystyle pq) boleh dibahagikan dengan polinomial tak boleh dikurangkan, maka hlm atau q dibahagikan dengan λ (\displaystyle \lambda). Setiap polinomial, darjah lebih besar daripada sifar, terurai dalam medan tertentu menjadi produk faktor yang tidak boleh dikurangkan dengan cara yang unik (sehingga faktor sifar darjah).

Sebagai contoh, polinomial x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), tidak dapat dikurangkan dalam bidang nombor rasional, diuraikan kepada tiga faktor dalam bidang nombor nyata dan oleh empat faktor di lapangan nombor kompleks.

Secara umum, setiap polinomial dalam satu pembolehubah x (\displaystyle x) terurai dalam bidang nombor nyata kepada faktor darjah pertama dan kedua, dalam bidang nombor kompleks kepada faktor darjah pertama (teorem asas algebra).

Untuk dua dan lebih pembolehubah ini tidak boleh dinyatakan lagi. Di atas mana-mana bidang untuk sesiapa sahaja n > 2 (\displaystyle n>2) terdapat polinomial daripada n (\gaya paparan n) pembolehubah yang tidak boleh dikurangkan dalam mana-mana lanjutan medan ini. Polinomial sedemikian dipanggil mutlak tidak boleh dikurangkan.