Tentukan persamaan trigonometri termudah. Kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri

Nisbah antara fungsi trigonometri utama - sinus, kosinus, tangen dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan kerana terdapat banyak hubungan antara fungsi trigonometri, ini juga menerangkan banyaknya formula trigonometri. Sesetengah formula menyambungkan fungsi trigonometri sudut yang sama, yang lain - fungsi sudut berganda, yang lain - membolehkan anda menurunkan darjah, yang keempat - untuk menyatakan semua fungsi melalui tangen sudut separuh, dsb.

Dalam artikel ini, kami menyenaraikan mengikut susunan semua formula trigonometri asas, yang cukup untuk menyelesaikan sebahagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan hafalan dan penggunaan, kami akan mengumpulkannya mengikut tujuannya, dan memasukkannya ke dalam jadual.

Navigasi halaman.

Identiti asas trigonometri

Identiti asas trigonometri tetapkan hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi satu sudut. Mereka mengikuti dari definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, serta konsep bulatan unit. Mereka membenarkan anda untuk menyatakan satu fungsi trigonometri melalui mana-mana yang lain.

Untuk penerangan terperinci tentang formula trigonometri ini, terbitan dan contoh aplikasinya, lihat artikel.

Formula cast

Formula cast ikut dari sifat sinus, kosinus, tangen dan kotangen, iaitu, ia mencerminkan sifat berkala fungsi trigonometri, sifat simetri, dan juga sifat anjakan oleh sudut tertentu. Formula trigonometri ini membolehkan anda beralih daripada bekerja dengan sudut sewenang-wenang kepada bekerja dengan sudut antara sifar hingga 90 darjah.

Rasional untuk formula ini, peraturan mnemonik untuk menghafalnya, dan contoh aplikasinya boleh dikaji dalam artikel.

Formula Penambahan

Formula penambahan trigonometri tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri hasil tambah atau beza dua sudut dinyatakan dalam sebutan fungsi trigonometri bagi sudut ini. Rumus ini berfungsi sebagai asas untuk terbitan formula trigonometri berikut.

Formula untuk double, triple, dsb. sudut

Formula untuk double, triple, dsb. sudut (ia juga dipanggil rumus sudut berbilang) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri bagi dua, tiga, dsb. sudut () dinyatakan dalam sebutan fungsi trigonometri bagi satu sudut. Derivasi mereka adalah berdasarkan formula penambahan.

Maklumat yang lebih terperinci dikumpulkan dalam formula artikel untuk double, triple, dsb. sudut .

Formula Separuh Sudut

Formula Separuh Sudut tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri separuh sudut dinyatakan dalam sebutan kosinus sudut integer. Rumus trigonometri ini mengikut daripada rumus sudut berganda.

Kesimpulan dan contoh aplikasi mereka boleh didapati dalam artikel.

Formula Pengurangan

Formula trigonometri untuk penurunan darjah direka untuk memudahkan peralihan daripada kuasa semula jadi fungsi trigonometri kepada sinus dan kosinus dalam darjah pertama, tetapi berbilang sudut. Dalam erti kata lain, mereka membenarkan seseorang untuk mengurangkan kuasa fungsi trigonometri kepada yang pertama.

Formula untuk jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri

destinasi utama formula jumlah dan perbezaan untuk fungsi trigonometri terdiri daripada peralihan kepada hasil darab fungsi, yang sangat berguna apabila memudahkan ungkapan trigonometri. Formula ini juga digunakan secara meluas dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, kerana ia membenarkan pemfaktoran jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus.

Formula untuk hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus

Peralihan daripada hasil darab fungsi trigonometri kepada jumlah atau perbezaan dilakukan melalui formula hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus.

Penggantian trigonometri sejagat

Kami melengkapkan kajian semula formula asas trigonometri dengan formula yang menyatakan fungsi trigonometri dari segi tangen separuh sudut. Penggantian ini dipanggil penggantian trigonometri sejagat. Kemudahannya terletak pada fakta bahawa semua fungsi trigonometri dinyatakan dalam sebutan tangen setengah sudut secara rasional tanpa akar.

Bibliografi.

• Algebra: Proc. untuk 9 sel. purata sekolah / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky.- M.: Pencerahan, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk 10-11 sel. purata sekolah - ed ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lain-lain; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.

Hak cipta oleh pelajar yang pandai

Hak cipta terpelihara.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tiada bahagian tapak, termasuk bahan dalaman dan reka bentuk luaran, boleh diterbitkan semula dalam sebarang bentuk atau digunakan tanpa kebenaran bertulis terlebih dahulu daripada pemegang hak cipta.

Persamaan trigonometri bukanlah topik yang paling mudah. Yang menyedihkan mereka adalah pelbagai.) Contohnya, ini:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Dan lain-lain...

Tetapi raksasa trigonometri ini (dan semua yang lain) mempunyai dua ciri biasa dan wajib. Pertama - anda tidak akan percaya - terdapat fungsi trigonometri dalam persamaan.) Kedua: semua ungkapan dengan x adalah dalam fungsi yang sama ini. Dan hanya di sana! Jika x muncul di suatu tempat di luar, sebagai contoh, sin2x + 3x = 3, ini akan menjadi persamaan jenis campuran. Persamaan sedemikian memerlukan pendekatan individu. Di sini kita tidak akan menganggap mereka.

Kami tidak akan menyelesaikan persamaan jahat dalam pelajaran ini sama ada.) Di sini kita akan berurusan dengan persamaan trigonometri termudah. kenapa? Ya, kerana keputusan mana-mana persamaan trigonometri terdiri daripada dua peringkat. Pada peringkat pertama, persamaan jahat dikurangkan kepada yang mudah dengan pelbagai transformasi. Pada yang kedua - persamaan paling mudah ini diselesaikan. Tiada jalan lain.

Jadi, jika anda menghadapi masalah di peringkat kedua, peringkat pertama tidak masuk akal.)

Apakah rupa persamaan trigonometri asas?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Di sini a bermaksud sebarang nombor. mana-mana.

Ngomong-ngomong, di dalam fungsi mungkin tidak terdapat x tulen, tetapi beberapa jenis ungkapan, seperti:

cos(3x+π /3) = 1/2

dan lain-lain. Ini merumitkan kehidupan, tetapi tidak menjejaskan kaedah menyelesaikan persamaan trigonometri.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri?

Persamaan trigonometri boleh diselesaikan dengan dua cara. Cara pertama: menggunakan logik dan bulatan trigonometri. Kami akan meneroka laluan ini di sini. Cara kedua - menggunakan ingatan dan formula - akan dipertimbangkan dalam pelajaran seterusnya.

Cara pertama adalah jelas, boleh dipercayai dan sukar untuk dilupakan.) Ia bagus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, ketaksamaan dan semua jenis contoh rumit bukan piawai. Logik lebih kuat daripada ingatan!

Kami menyelesaikan persamaan menggunakan bulatan trigonometri.

Kami memasukkan logik asas dan keupayaan untuk menggunakan bulatan trigonometri. boleh tak!? Walau bagaimanapun... Ia akan menjadi sukar untuk anda dalam trigonometri...) Tetapi tidak mengapa. Lihatlah pelajaran "Bulatan trigonometri ...... Apakah itu?" dan "Mengira sudut pada bulatan trigonometri." Semuanya mudah di sana. Tidak seperti buku teks...)

Ah, anda tahu!? Dan juga menguasai "Kerja amali dengan bulatan trigonometri"!? Terima ucapan tahniah. Topik ini akan menjadi dekat dan boleh difahami oleh anda.) Apa yang menggembirakan adalah bahawa bulatan trigonometri tidak mengambil kira persamaan yang anda selesaikan. Sinus, kosinus, tangen, kotangen - semuanya sama untuknya. Prinsip penyelesaian adalah sama.

Jadi kita ambil sebarang persamaan trigonometri asas. Sekurang-kurangnya ini:

cosx = 0.5

Saya perlu mencari X. Bercakap dalam bahasa manusia, anda perlu cari sudut (x) yang kosinusnya ialah 0.5.

Bagaimanakah kita menggunakan bulatan sebelum ini? Kami melukis sudut di atasnya. Dalam darjah atau radian. Dan serta merta dilihat fungsi trigonometri sudut ini. Sekarang mari kita lakukan sebaliknya. Lukiskan kosinus bersamaan dengan 0.5 pada bulatan dan segera kita akan lihat sudut. Ia kekal hanya untuk menulis jawapan.) Ya, ya!

Kami melukis bulatan dan menandakan kosinus sama dengan 0.5. Pada paksi kosinus, sudah tentu. seperti ini:

Sekarang mari kita lukis sudut yang diberikan oleh kosinus ini kepada kita. Tuding tetikus anda pada gambar (atau sentuh gambar pada tablet), dan lihat sudut yang sama ini X.

Sudut yang manakah mempunyai kosinus 0.5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Sesetengah orang akan merengus ragu-ragu, ya... Mereka berkata, adakah berbaloi untuk memagar bulatan, apabila semuanya jelas pula... Anda boleh, tentu saja, mendengus...) Tetapi hakikatnya ini adalah satu kesilapan jawab. Atau sebaliknya, tidak mencukupi. Ahli bulatan memahami bahawa masih terdapat sekumpulan sudut yang juga memberikan kosinus sama dengan 0.5.

Jika anda memusingkan bahagian boleh alih OA untuk pusingan penuh, titik A akan kembali ke kedudukan asalnya. Dengan kosinus yang sama bersamaan dengan 0.5. Itu. sudut akan berubah 360° atau 2π radian, dan kosinus tidak. Sudut baharu 60° + 360° = 420° juga akan menjadi penyelesaian kepada persamaan kita, kerana

Terdapat bilangan putaran penuh yang tidak terhingga... Dan semua sudut baharu ini akan menjadi penyelesaian kepada persamaan trigonometri kami. Dan mereka semua perlu ditulis entah bagaimana. Semua. Jika tidak, keputusan itu tidak dipertimbangkan, ya ...)

Matematik boleh melakukan ini dengan mudah dan elegan. Dalam satu jawapan ringkas, tulis set tak terhingga penyelesaian. Inilah yang kelihatan seperti persamaan kami:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

saya akan tafsirkan. Masih menulis secara bermakna lebih bagus daripada melukis beberapa huruf misteri secara bodoh, bukan?)

π /3 adalah sudut yang sama dengan kita melihat pada bulatan dan ditentukan mengikut jadual kosinus.

2π ialah satu pusingan penuh dalam radian.

n - ini ialah bilangan yang lengkap, i.e. keseluruhan revolusi. Ia adalah jelas bahawa n boleh jadi 0, ±1, ±2, ±3.... dan seterusnya. Seperti yang ditunjukkan oleh entri pendek:

n ∈ Z

n milik ( ∈ ) kepada set integer ( Z ). By the way, bukannya surat n huruf boleh digunakan k, m, t dan lain-lain.

Notasi ini bermakna anda boleh mengambil sebarang integer n . Sekurang-kurangnya -3, sekurang-kurangnya 0, sekurang-kurangnya +55. Apa yang kamu mahu. Jika anda memasukkan nombor itu ke dalam jawapan anda, anda mendapat sudut tertentu, yang pastinya menjadi penyelesaian kepada persamaan kasar kami.)

Atau, dengan kata lain, x \u003d π / 3 ialah satu-satunya punca bagi himpunan tak terhingga. Untuk mendapatkan semua punca lain, cukup untuk menambah sebarang bilangan pusingan penuh kepada π / 3 ( n ) dalam radian. Itu. 2πn radian.

Semuanya? Tidak. Saya secara khusus meregangkan keseronokan. Untuk mengingati dengan lebih baik.) Kami menerima hanya sebahagian daripada jawapan kepada persamaan kami. Saya akan menulis bahagian pertama penyelesaian ini seperti berikut:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - bukan satu akar, ia adalah keseluruhan siri akar, ditulis dalam bentuk pendek.

Tetapi terdapat sudut lain yang juga memberikan kosinus sama dengan 0.5!

Mari kembali ke gambar kami, mengikut mana kami menulis jawapannya. Di sana dia:

Gerakkan tetikus ke atas imej dan lihat sudut lain itu juga memberikan kosinus 0.5. Apa yang anda fikir ia sama? Segi tiga adalah sama... Ya! Ia sama dengan sudut X , hanya diplot ke arah negatif. Ini adalah sudut -X. Tetapi kami telah mengira x. π /3 atau 60°. Oleh itu, kita boleh menulis dengan selamat:

x 2 \u003d - π / 3

Dan, sudah tentu, kami menambah semua sudut yang diperoleh melalui pusingan penuh:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Itu sahaja sekarang.) Dalam bulatan trigonometri, kita melihat(yang faham, sudah tentu)) semua sudut yang memberikan kosinus sama dengan 0.5. Dan mereka menulis sudut-sudut ini dalam bentuk matematik yang pendek. Jawapannya ialah dua siri akar tak terhingga:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ini adalah jawapan yang betul.

Harapan, prinsip am untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan bantuan bulatan boleh difahami. Kami menandakan kosinus (sinus, tangen, kotangen) daripada persamaan yang diberikan pada bulatan, lukis sudut yang sepadan dan tuliskan jawapannya. Sudah tentu, anda perlu memikirkan jenis sudut kami melihat pada bulatan. Kadang-kadang ia tidak begitu jelas. Nah, seperti yang saya katakan, logik diperlukan di sini.)

Sebagai contoh, mari analisa persamaan trigonometri yang lain:

Sila ambil perhatian bahawa nombor 0.5 bukanlah satu-satunya nombor yang mungkin dalam persamaan!) Ia hanya lebih mudah bagi saya untuk menulisnya daripada punca dan pecahan.

Kami bekerja mengikut prinsip umum. Kami melukis bulatan, tandakan (pada paksi sinus, sudah tentu!) 0.5. Kami melukis sekaligus semua sudut yang sepadan dengan sinus ini. Kami mendapat gambar ini:

Mari kita berurusan dengan sudut dahulu. X pada suku pertama. Kami mengingat semula jadual sinus dan menentukan nilai sudut ini. Perkara itu mudah:

x \u003d π / 6

Kami mengingati pusingan penuh dan, dengan hati nurani yang bersih, tuliskan siri jawapan pertama:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Separuh kerja sudah selesai. Sekarang kita perlu menentukan sudut kedua... Ini lebih rumit daripada kosinus, ya ... Tetapi logik akan menyelamatkan kita! Bagaimana untuk menentukan sudut kedua melalui x? Ya Mudah! Segi tiga dalam gambar adalah sama, dan sudut merah X sama dengan sudut X . Hanya ia dikira dari sudut π dalam arah negatif. Itulah sebabnya ia merah.) Dan untuk jawapannya, kita memerlukan sudut yang diukur dengan betul daripada OX semiaxis positif, i.e. dari sudut 0 darjah.

Tuding kursor pada gambar dan lihat semuanya. Saya mengeluarkan sudut pertama supaya tidak merumitkan gambar. Sudut minat kami (dilukis dengan warna hijau) akan sama dengan:

π - x

x kita tahu π /6 . Jadi sudut kedua ialah:

π - π /6 = 5π /6

Sekali lagi, kami ingat penambahan revolusi penuh dan tuliskan siri kedua jawapan:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Itu sahaja. Jawapan lengkap terdiri daripada dua siri akar:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Persamaan dengan tangen dan kotangen boleh diselesaikan dengan mudah menggunakan prinsip umum yang sama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Melainkan, sudah tentu, anda tahu cara melukis tangen dan kotangen pada bulatan trigonometri.

Dalam contoh di atas, saya menggunakan nilai jadual sinus dan kosinus: 0.5. Itu. salah satu makna yang diketahui oleh pelajar mesti. Sekarang mari kita kembangkan keupayaan kita untuk semua nilai lain. Tentukan, jadi putuskan!)

Jadi, katakan kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri berikut:

Tiada nilai kosinus sedemikian dalam jadual pendek. Kami dengan tenang mengabaikan fakta yang mengerikan ini. Kami melukis bulatan, tandakan 2/3 pada paksi kosinus dan lukis sudut yang sepadan. Kami mendapat gambar ini.

Kami faham, sebagai permulaan, dengan sudut pada suku pertama. Untuk mengetahui apa yang sama dengan x, mereka akan segera menulis jawapannya! Kami tidak tahu... Kegagalan!? Tenang! Matematik tidak meninggalkan masalahnya sendiri! Dia mencipta kosinus arka untuk kes ini. Tak tahu? Sia-sia. Ketahui. Ia jauh lebih mudah daripada yang anda fikirkan. Menurut pautan ini, tidak ada satu mantera rumit tentang "fungsi trigonometri songsang" ... Ia tidak diperlukan dalam topik ini.

Jika anda tahu, cuma katakan pada diri sendiri, "X ialah sudut yang kosinusnya ialah 2/3." Dan dengan serta-merta, semata-mata mengikut definisi arccosine, kita boleh menulis:

Kami ingat tentang revolusi tambahan dan dengan tenang menulis siri pertama punca persamaan trigonometri kami:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Siri kedua akar juga ditulis hampir secara automatik, untuk sudut kedua. Semuanya adalah sama, hanya x (arccos 2/3) akan mempunyai tolak:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Dan semua perkara! Ini adalah jawapan yang betul. Malah lebih mudah daripada dengan nilai jadual. Anda tidak perlu mengingati apa-apa.) By the way, yang paling prihatin akan melihat bahawa gambar ini dengan penyelesaian melalui kosinus arka pada asasnya tidak berbeza daripada gambar untuk persamaan cosx = 0.5.

Tepat sekali! Prinsip umum mengenai itu dan umum! Saya secara khusus melukis dua gambar yang hampir sama. Bulatan menunjukkan kepada kita sudut X oleh kosinusnya. Ia adalah kosinus jadual, atau tidak - bulatan tidak tahu. Apakah jenis sudut ini, π / 3, atau apakah jenis kosinus lengkok terpulang kepada kita untuk memutuskan.

Dengan sinus lagu yang sama. Sebagai contoh:

Sekali lagi kita melukis bulatan, tandakan sinus sama dengan 1/3, lukis sudut. Ternyata gambar ini:

Dan sekali lagi gambarnya hampir sama dengan persamaan sinx = 0.5. Sekali lagi kita bermula dari sudut pada suku pertama. Apakah x sama dengan jika sinusnya ialah 1/3? Tiada masalah!

Jadi pek pertama akar sudah siap:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Mari kita lihat sudut kedua. Dalam contoh dengan nilai jadual 0.5, ia adalah sama dengan:

π - x

Jadi di sini ia akan menjadi betul-betul sama! Hanya x berbeza, arcsin 1/3. Jadi apa!? Anda boleh menulis pek kedua akar dengan selamat:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ini adalah jawapan yang betul sepenuhnya. Walaupun nampak tak familiar sangat. Tetapi ia boleh difahami, saya harap.)

Beginilah cara persamaan trigonometri diselesaikan menggunakan bulatan. Jalan ini jelas dan boleh difahami. Dialah yang menyimpan dalam persamaan trigonometri dengan pemilihan akar pada selang tertentu, dalam ketaksamaan trigonometri - mereka biasanya diselesaikan hampir selalu dalam bulatan. Pendek kata, dalam mana-mana tugas yang sedikit lebih rumit daripada yang standard.

Mempraktikkan ilmu?

Selesaikan persamaan trigonometri:

Pada mulanya ia lebih mudah, secara langsung pada pelajaran ini.

Sekarang ia lebih sukar.

Petunjuk: di sini anda perlu memikirkan tentang bulatan. Secara peribadi.)

Dan sekarang secara lahiriah bersahaja ... Mereka juga dipanggil kes khas.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Petunjuk: di sini anda perlu memikirkan dalam bulatan di mana terdapat dua siri jawapan, dan di mana terdapat satu ... Dan bagaimana untuk menulis satu daripada dua siri jawapan. Ya, supaya tiada satu pun punca daripada nombor tak terhingga hilang!)

Nah, agak mudah):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Petunjuk: di sini anda perlu tahu apa itu arcsine, arccosine? Apakah tangen arka, tangen arka? Definisi yang paling mudah. Tetapi anda tidak perlu mengingati sebarang nilai jadual!)

Jawapannya, sudah tentu, bercelaru):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Tidak semuanya berjaya? Ia berlaku. Baca pelajaran sekali lagi. Sahaja termenung(ada perkataan usang...) Dan ikuti pautan. Pautan utama adalah mengenai bulatan. Tanpa ia dalam trigonometri - bagaimana untuk menyeberang jalan dengan mata tertutup. Kadang-kadang ia berfungsi.)

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Persamaan trigonometri yang paling mudah ialah persamaan

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

Persamaan cos(x) = a

Penjelasan dan rasional

1. Punca-punca persamaan cosx = a. Apabila | a | > 1 persamaan tidak mempunyai punca kerana | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 atau pada a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Biarkan | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Pada selang, fungsi y = cos x berkurangan daripada 1 kepada -1. Tetapi fungsi menurun mengambil setiap nilainya hanya pada satu titik domain definisinya, oleh itu persamaan cos x \u003d a hanya mempunyai satu punca pada selang ini, yang, mengikut takrifan kosinus arka, ialah: x 1 \u003d arccos a (dan untuk punca ini cos x \u003d a).

Kosinus ialah fungsi genap, jadi pada selang [-p; 0] persamaan cos x = dan juga mempunyai hanya satu punca - nombor yang bertentangan dengan x 1, iaitu

x 2 = -arccos a.

Oleh itu, pada selang [-n; n] (panjang 2n) persamaan cos x = a untuk | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Fungsi y = cos x adalah berkala dengan tempoh 2n, jadi semua punca lain berbeza daripada yang ditemui oleh 2np (n € Z). Kami mendapat formula berikut untuk punca-punca persamaan cos x = a apabila

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. Kes-kes tertentu untuk menyelesaikan persamaan cosx = a.

Adalah berguna untuk mengingati tatatanda khas bagi punca-punca persamaan cos x = a apabila

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, yang boleh diperolehi dengan mudah menggunakan bulatan unit sebagai panduan.

Oleh kerana kosinus adalah sama dengan absis titik yang sepadan pada bulatan unit, kita mendapat cos x = 0 jika dan hanya jika titik yang sepadan pada bulatan unit ialah titik A atau titik B.

Begitu juga, cos x = 1 jika dan hanya jika titik sepadan bagi bulatan unit ialah titik C, oleh itu,

x = 2πp, k € Z.

Juga cos x \u003d -1 jika dan hanya jika titik yang sepadan bagi bulatan unit ialah titik D, oleh itu x \u003d n + 2n,

Persamaan sin(x) = a

Penjelasan dan rasional

1. Punca-punca persamaan sinx = a. Apabila | a | > 1 persamaan tidak mempunyai punca kerana | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 atau pada a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri ialah: mengurangkan persamaan kepada yang paling mudah (menggunakan formula trigonometri), memperkenalkan pembolehubah baru, pemfaktoran. Mari kita pertimbangkan permohonan mereka dengan contoh. Beri perhatian kepada pendaftaran penyelesaian persamaan trigonometri.

Syarat yang diperlukan untuk penyelesaian persamaan trigonometri yang berjaya ialah pengetahuan tentang formula trigonometri (topik 13 kerja 6).

Contoh.

1. Persamaan Mengurangkan kepada Paling Mudah.

1) Selesaikan persamaan

Penyelesaian:

Jawapan:

2) Cari punca-punca persamaan

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx kepunyaan segmen .

Penyelesaian:

Jawapan:

2. Persamaan Mengurangkan kepada Persamaan Kuadratik.

1) Selesaikan persamaan 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.

Penyelesaian: Menggunakan formula sin 2 x \u003d 1 - cos 2 x, kita dapat

Jawapan:

2) Selesaikan persamaan cos 2x = 1 + 4 cosx.

Penyelesaian: Menggunakan formula cos 2x = 2 cos 2 x - 1, kita dapat

Jawapan:

3) Selesaikan persamaan tgx - 2ctgx + 1 = 0

Penyelesaian:

Jawapan:

3. Persamaan homogen

1) Selesaikan persamaan 2sinx - 3cosx = 0

Penyelesaian: Biarkan cosx = 0, kemudian 2sinx = 0 dan sinx = 0 - satu percanggahan dengan fakta bahawa sin 2 x + cos 2 x = 1. Jadi cosx ≠ 0 dan anda boleh membahagikan persamaan dengan cosx. Dapatkan

Jawapan:

2) Selesaikan persamaan 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Penyelesaian:

Menggunakan formula 1 = sin 2 x + cos 2 x dan sin 2x = 2 sinxcosx, kita dapat

sin2x + cos2x + 7cos2x = 6sinxcosx
sin2x - 6sinxcosx+ 8cos2x = 0

Biarkan cosx = 0, kemudian sin 2 x = 0 dan sinx = 0 - satu percanggahan dengan fakta bahawa sin 2 x + cos 2 x = 1.
Jadi cosx ≠ 0 dan kita boleh membahagikan persamaan dengan cos 2 x . Dapatkan

tg 2x – 6 tgx + 8 = 0
Nyatakan tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2=2
a) tanx = 4, x= arctg4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k, k .

Jawapan: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Persamaan bentuk a sinx + b cosx = dengan, dengan≠ 0.

1) Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Jawapan:

5. Persamaan Diselesaikan dengan Pemfaktoran.

1) Selesaikan persamaan sin2x - sinx = 0.

Punca persamaan f (X) = φ ( X) hanya boleh berfungsi sebagai nombor 0. Mari semak ini:

cos 0 = 0 + 1 - kesamaan adalah benar.

Nombor 0 adalah satu-satunya punca persamaan ini.

Jawapan: 0.

Persamaan trigonometri .

Persamaan trigonometri yang paling mudah .

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

Persamaan trigonometri. Persamaan yang mengandungi bawah yang tidak diketahui tanda fungsi trigonometri dipanggil trigonometri.

Persamaan trigonometri yang paling mudah.

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Penyelesaian persamaan trigonometri terdiri daripada dua peringkat: transformasi persamaan untuk mendapatkannya dengan mudah taip (lihat di atas) dan penyelesaiandiperoleh paling mudah persamaan trigonometri. Terdapat tujuh kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

1. Kaedah algebra. Kaedah ini terkenal kepada kami dari algebra

(kaedah penggantian dan penggantian pembolehubah).

2. Pemfaktoran. Mari kita lihat kaedah ini dengan contoh.

CONTOH 1. Selesaikan persamaan: dosa x+ cos x = 1 .

Penyelesaian. Gerakkan semua sebutan persamaan ke kiri:

Dosa x+ cos x – 1 = 0 ,

Marilah kita mengubah dan memfaktorkan ungkapan itu dalam

Bahagian kiri persamaan:

Contoh 2. Selesaikan persamaan: cos 2 x+ dosa x cos x = 1.

PENYELESAIAN cos 2 x+ dosa x cos x– dosa 2 x– cos 2 x = 0 ,

Dosa x cos x– dosa 2 x = 0 ,

Dosa x(cos x– dosa x ) = 0 ,

Contoh 3. Selesaikan persamaan: cos 2 x– cos 8 x+ cos 6 x = 1.

PENYELESAIAN cos 2 x+ cos 6 x= 1 + kos8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x– cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x 2 dosa 3 x dosa x = 0 ,

satu). cos 4 x= 0 , 2). dosa 3 x= 0 , 3). dosa x = 0 ,

3.

Menghantar ke persamaan seragam. Persamaan dipanggil homogen daripada secara relatifnya dosa dan cos , jika semua itu segi darjah yang sama berkenaan dengan dosa dan cos sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, anda perlu: a) gerakkan semua anggotanya ke sebelah kiri; b) letakkan semua faktor sepunya daripada kurungan; dalam) samakan semua faktor dan kurungan kepada sifar; G) kurungan ditetapkan kepada sifar memberi persamaan homogen darjah yang lebih rendah, yang harus dibahagikan dengan cos(atau dosa) dalam ijazah senior; d) selesaikan persamaan algebra yang terhasil berkenaan denganTan . CONTOH Selesaikan Persamaan: 3 dosa 2 x+ 4 dosa x cos x+ 5 cos 2 x = 2. Penyelesaian: 3sin 2 x+ 4 dosa x cos x+ 5 cos 2 x= 2 dosa 2 x+ 2 cos 2 x , Dosa 2 x+ 4 dosa x cos x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4tan x + 3 = 0 , dari sini y 2 + 4y +3 = 0 , Punca-punca persamaan ini ialah:y 1 = - 1, y 2 = - 3, oleh itu 1) sawo matang x= –1, 2) tan x = –3,

4. Peralihan ke separuh penjuru. Mari kita lihat kaedah ini dengan contoh:

CONTOH Selesaikan Persamaan: 3 dosa x– 5 cos x = 7.

Penyelesaian: 6 dosa ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 dosa² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 dosa² ( x/ 2) – 6 dosa ( x/ 2) cos( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan² ( x/ 2) – 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Pengenalan sudut bantu. Pertimbangkan persamaan bentuk:

a dosa x + b cos x = c ,

di mana a, b, c– pekali;x- tidak diketahui.

Kini pekali persamaan mempunyai sifat sinus dan kosinus, iaitu: modul (nilai mutlak) setiap satu