Tindakan dengan nombor tidak rasional adalah contoh. Nombor: asli, integer, rasional, nyata

Bahan artikel ini adalah maklumat awal tentang nombor tidak rasional. Pertama, kami akan memberikan definisi nombor tak rasional dan menerangkannya. Berikut adalah beberapa contoh nombor tak rasional. Akhir sekali, mari kita lihat beberapa pendekatan untuk mengetahui sama ada nombor yang diberikan adalah tidak rasional atau tidak.

Navigasi halaman.

Definisi dan contoh nombor tak rasional

Dalam kajian pecahan perpuluhan, kami secara berasingan menganggap pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga. Pecahan sedemikian timbul dalam ukuran perpuluhan bagi panjang segmen yang tidak boleh dibandingkan dengan satu segmen. Kami juga menyatakan bahawa pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga tidak boleh ditukar kepada pecahan biasa (lihat penukaran pecahan biasa kepada perpuluhan dan sebaliknya), oleh itu, nombor ini bukan nombor rasional, ia mewakili apa yang dipanggil nombor tidak rasional.

Jadi kami datang ke definisi nombor tak rasional.

Definisi.

Nombor yang dalam tatatanda perpuluhan mewakili pecahan perpuluhan tak terhingga tidak berulang dipanggil nombor tidak rasional.

Definisi yang dibunyikan membolehkan untuk membawa contoh nombor tak rasional. Contohnya, pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga 4.10110011100011110000… (bilangan satu dan sifar bertambah satu setiap kali) ialah nombor tidak rasional. Mari kita berikan satu lagi contoh nombor tak rasional: −22.353335333335 ... (bilangan tiga kali ganda yang memisahkan lapan bertambah dua setiap kali).

Perlu diingat bahawa nombor tak rasional agak jarang dalam bentuk pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga. Biasanya mereka ditemui dalam bentuk, dsb., serta dalam bentuk surat yang diperkenalkan khas. Contoh nombor tak rasional yang paling terkenal dalam tatatanda sedemikian ialah punca kuasa dua aritmetik dua, nombor "pi" π=3.141592..., nombor e=2.718281... dan nombor emas.

Nombor tak rasional juga boleh ditakrifkan dari segi nombor nyata, yang menggabungkan nombor rasional dan tidak rasional.

Definisi.

Nombor tidak rasional ialah nombor nyata yang tidak rasional.

Adakah nombor ini tidak rasional?

Apabila nombor diberikan bukan sebagai pecahan perpuluhan, tetapi sebagai punca tertentu, logaritma, dsb., maka dalam banyak kes agak sukar untuk menjawab soalan sama ada ia tidak rasional.

Tidak dinafikan, dalam menjawab soalan yang dikemukakan, adalah sangat berguna untuk mengetahui nombor mana yang tidak rasional. Ia berikutan daripada definisi nombor tak rasional bahawa nombor rasional bukanlah nombor tak rasional. Oleh itu, nombor tak rasional BUKAN:

• pecahan perpuluhan berkala terhingga dan tak terhingga.

Juga, sebarang komposisi nombor rasional yang disambungkan dengan tanda operasi aritmetik (+, −, ·, :) bukan nombor tak rasional. Ini kerana hasil tambah, beza, hasil darab dan hasil bagi dua nombor rasional ialah nombor rasional. Sebagai contoh, nilai ungkapan dan adalah nombor rasional. Di sini kita perhatikan bahawa jika dalam ungkapan sedemikian antara nombor rasional terdapat satu nombor tak rasional tunggal, maka nilai keseluruhan ungkapan itu akan menjadi nombor tak rasional. Sebagai contoh, dalam ungkapan, nombor itu tidak rasional, dan nombor selebihnya adalah rasional, oleh itu, nombor tidak rasional. Jika ia adalah nombor rasional, maka rasionaliti nombor itu akan mengikuti daripada ini, tetapi ia tidak rasional.

Jika ungkapan yang diberi nombor itu mengandungi beberapa nombor tidak rasional, tanda punca, logaritma, fungsi trigonometri, nombor π, e, dsb., maka ia diperlukan untuk membuktikan ketidakrasionalan atau rasional nombor yang diberikan dalam setiap kes tertentu. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa keputusan yang telah diperolehi yang boleh digunakan. Mari kita senaraikan yang utama.

Dibuktikan bahawa punca ke-k bagi integer ialah nombor rasional hanya jika nombor di bawah punca ialah kuasa ke-k bagi integer lain, dalam kes lain punca seperti itu mentakrifkan nombor tidak rasional. Sebagai contoh, nombor dan tidak rasional, kerana tiada integer yang kuasa duanya ialah 7, dan tiada integer yang dinaikkan kepada kuasa kelima memberikan nombor 15. Dan nombor dan bukan tidak rasional, sejak dan .

Bagi logaritma, kadangkala adalah mungkin untuk membuktikan ketidakrasionalannya dengan percanggahan. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahawa log 2 3 ialah nombor tidak rasional.

Katakan log 2 3 ialah nombor rasional, bukan tak rasional, iaitu, ia boleh diwakili sebagai pecahan biasa m/n . dan benarkan kami menulis rantaian persamaan berikut: . Persamaan terakhir adalah mustahil, kerana di sebelah kirinya nombor ganjil, dan juga di sebelah kanan. Jadi kami sampai kepada percanggahan, yang bermaksud bahawa andaian kami ternyata salah, dan ini membuktikan bahawa log 2 3 adalah nombor tidak rasional.

Ambil perhatian bahawa lna untuk sebarang rasional positif dan bukan unit a ialah nombor tak rasional. Sebagai contoh, dan adalah nombor tak rasional.

Ia juga dibuktikan bahawa nombor e a adalah tidak rasional untuk mana-mana bukan sifar rasional a, dan bahawa nombor π z adalah tidak rasional untuk mana-mana bukan sifar integer z. Sebagai contoh, nombor adalah tidak rasional.

Nombor tak rasional juga merupakan fungsi trigonometri sin , cos , tg dan ctg untuk sebarang nilai rasional dan bukan sifar hujah. Contohnya, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , ialah nombor tak rasional.

Terdapat keputusan lain yang terbukti, tetapi kami akan mengehadkan diri kami kepada yang telah disenaraikan. Perlu juga dikatakan bahawa dalam membuktikan keputusan di atas, teori yang dikaitkan dengan nombor algebra dan nombor transenden.

Sebagai kesimpulan, kami perhatikan bahawa seseorang tidak boleh membuat kesimpulan tergesa-gesa tentang ketidakrasionalan nombor yang diberikan. Sebagai contoh, nampaknya jelas bahawa nombor tidak rasional kepada tahap tidak rasional adalah nombor tidak rasional. Walau bagaimanapun, ini tidak selalu berlaku. Sebagai pengesahan fakta yang disuarakan, kami menyampaikan ijazah. Adalah diketahui bahawa - nombor tidak rasional, dan juga membuktikan bahawa - nombor tidak rasional, tetapi - nombor rasional. Anda juga boleh memberikan contoh nombor tak rasional, hasil tambah, beza, hasil darab dan hasil bahagi yang merupakan nombor rasional. Selain itu, rasional atau tidak rasional nombor π+e , π−e , π e , π π , π e dan banyak lagi masih belum dibuktikan.

Bibliografi.

• Matematik. Darjah 6: buku teks. untuk pendidikan am institusi / [N. Ya. Vilenkin dan lain-lain]. - ed. ke-22, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: buku teks untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.

Apakah nombor tidak rasional? Mengapa mereka dipanggil begitu? Di manakah ia digunakan dan apakah ia? Hanya sedikit yang boleh menjawab soalan-soalan ini tanpa teragak-agak. Tetapi sebenarnya, jawapan kepada mereka agak mudah, walaupun tidak semua orang memerlukannya dan dalam situasi yang sangat jarang berlaku.

Intipati dan sebutan

Nombor tak rasional adalah tak terhingga bukan berkala Keperluan untuk memperkenalkan konsep ini adalah disebabkan oleh fakta bahawa untuk menyelesaikan masalah baru yang muncul, konsep sedia ada sebelum ini bagi nombor nyata atau nyata, integer, asli dan rasional tidak lagi mencukupi. Sebagai contoh, untuk mengira kuasa dua bagi 2, anda perlu menggunakan perpuluhan tak terhingga tidak berulang. Selain itu, banyak persamaan termudah juga tidak mempunyai penyelesaian tanpa memperkenalkan konsep nombor tak rasional.

Set ini dilambangkan sebagai I. Dan, seperti yang telah jelas, nilai-nilai ini tidak boleh diwakili sebagai pecahan mudah, dalam pengangka yang akan ada integer, dan dalam penyebut -

Buat pertama kalinya, dengan satu cara atau yang lain, ahli matematik India menemui fenomena ini pada abad ke-7, apabila didapati bahawa punca kuasa dua beberapa kuantiti tidak boleh ditunjukkan secara jelas. Dan bukti pertama kewujudan nombor tersebut dikaitkan dengan Pythagorean Hippasus, yang melakukan ini dalam proses mengkaji segi tiga sama kaki. Sumbangan serius kepada kajian set ini telah dibuat oleh beberapa saintis lain yang hidup sebelum era kita. Pengenalan konsep nombor tak rasional memerlukan semakan semula sistem matematik sedia ada, itulah sebabnya ia sangat penting.

asal nama

Jika nisbah dalam bahasa Latin ialah "pecahan", "nisbah", maka awalan "ir"
memberikan perkataan makna yang berlawanan. Oleh itu, nama set nombor ini menunjukkan bahawa mereka tidak boleh dikaitkan dengan integer atau pecahan, mereka mempunyai tempat yang berasingan. Ini mengikuti sifat mereka.

Letakkan dalam klasifikasi umum

Nombor tak rasional, bersama dengan nombor rasional, tergolong dalam kumpulan nombor nyata atau nyata, yang seterusnya kompleks. Tiada subset, bagaimanapun, terdapat varieti algebra dan transendental, yang akan dibincangkan di bawah.

Hartanah

Oleh kerana nombor tidak rasional adalah sebahagian daripada set nombor nyata, semua sifatnya yang dikaji dalam aritmetik boleh digunakan untuknya (ia juga dipanggil undang-undang algebra asas).

a + b = b + a (komutatif);

(a + b) + c = a + (b + c) (persekutuan);

a + (-a) = 0 (kewujudan nombor berlawanan);

ab = ba (undang-undang anjakan);

(ab)c = a(bc) (keagihan);

a(b+c) = ab + ac (hukum pengedaran);

a x 1/a = 1 (kewujudan nombor songsang);

Perbandingan juga dilakukan mengikut undang-undang dan prinsip am:

Jika a > b dan b > c, maka a > c (transitiviti hubungan) dan. dan lain-lain.

Sudah tentu, semua nombor tidak rasional boleh ditukar menggunakan aritmetik asas. Tiada peraturan khas untuk ini.

Di samping itu, tindakan aksiom Archimedes meluas kepada nombor tidak rasional. Ia mengatakan bahawa untuk mana-mana dua kuantiti a dan b, pernyataan adalah benar bahawa dengan mengambil a sebagai sebutan yang cukup kali, adalah mungkin untuk mengatasi b.

Penggunaan

Walaupun fakta bahawa dalam kehidupan biasa anda tidak perlu berurusan dengan mereka, nombor tidak rasional tidak boleh dikira. Terdapat banyak daripada mereka, tetapi mereka hampir tidak kelihatan. Kita dikelilingi oleh nombor tidak rasional di mana-mana. Contoh yang biasa kepada semua orang ialah nombor pi, bersamaan dengan 3.1415926..., atau e, yang pada asasnya ialah asas logaritma asli, 2.718281828... Dalam algebra, trigonometri dan geometri, ia perlu digunakan sepanjang masa. Dengan cara ini, makna terkenal "bahagian emas", iaitu nisbah kedua-dua bahagian yang lebih besar kepada yang lebih kecil, dan sebaliknya, juga

tergolong dalam set ini. Kurang dikenali "perak" - juga.

Pada garis nombor, mereka terletak sangat padat, supaya antara mana-mana dua kuantiti yang berkaitan dengan set yang rasional, yang tidak rasional semestinya berlaku.

Masih banyak masalah yang belum selesai berkaitan set ini. Terdapat kriteria seperti ukuran ketidakrasionalan dan kenormalan nombor. Ahli matematik terus meneliti contoh yang paling penting untuk kepunyaan mereka dalam satu kumpulan atau yang lain. Sebagai contoh, ia dianggap bahawa e ialah nombor biasa, iaitu kebarangkalian digit yang berbeza muncul dalam entrinya adalah sama. Bagi pi, kajian masih dijalankan berkaitannya. Ukuran tidak rasional ialah nilai yang menunjukkan sejauh mana nombor tertentu boleh dianggarkan dengan nombor rasional.

Algebra dan transendental

Seperti yang telah disebutkan, nombor tidak rasional dibahagikan secara bersyarat kepada algebra dan transendental. Secara bersyarat, kerana, secara tegasnya, klasifikasi ini digunakan untuk membahagikan set C.

Di bawah penetapan ini, nombor kompleks disembunyikan, termasuk nombor nyata atau nyata.

Jadi, nilai algebra ialah nilai yang merupakan punca polinomial yang tidak sama dengan sifar. Sebagai contoh, punca kuasa dua bagi 2 akan berada dalam kategori ini kerana ia adalah penyelesaian kepada persamaan x 2 - 2 = 0.

Semua nombor nyata lain yang tidak memenuhi syarat ini dipanggil transendental. Pelbagai ini juga termasuk contoh yang paling terkenal dan telah disebutkan - nombor pi dan asas logaritma asli e.

Menariknya, tidak satu pun atau yang kedua pada asalnya disimpulkan oleh ahli matematik dalam kapasiti ini, ketidakrasionalan dan transendensi mereka telah terbukti bertahun-tahun selepas penemuan mereka. Untuk pi, bukti diberikan pada tahun 1882 dan dipermudahkan pada tahun 1894, yang menamatkan kontroversi selama 2,500 tahun mengenai masalah kuasa dua bulatan. Ia masih belum difahami sepenuhnya, jadi ahli matematik moden mempunyai sesuatu untuk diusahakan. By the way, pengiraan pertama yang cukup tepat bagi nilai ini telah dijalankan oleh Archimedes. Sebelum dia, semua pengiraan terlalu anggaran.

Untuk e (nombor Euler atau Napier), bukti transendensinya ditemui pada tahun 1873. Ia digunakan dalam menyelesaikan persamaan logaritma.

Contoh lain termasuk nilai sinus, kosinus dan tangen untuk sebarang nilai bukan sifar algebra.

Set semua nombor asli dilambangkan dengan huruf N. Nombor asli ialah nombor yang kita gunakan untuk mengira objek: 1,2,3,4, ... Dalam sesetengah sumber, nombor 0 juga dirujuk sebagai nombor asli .

Set semua integer dilambangkan dengan huruf Z. Integer ialah semua nombor asli, sifar dan nombor negatif:

1,-2,-3, -4, …

Sekarang mari kita tambahkan pada set semua integer set semua pecahan biasa: 2/3, 18/17, -4/5, dan seterusnya. Kemudian kita mendapat set semua nombor rasional.

Set nombor rasional

Set semua nombor rasional dilambangkan dengan huruf Q. Set semua nombor rasional (Q) ialah set yang terdiri daripada nombor dalam bentuk m/n, -m/n dan nombor 0. Mana-mana nombor asli boleh digunakan sebagai n,m. Perlu diingat bahawa semua nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan perpuluhan BERKALA terhingga atau tak terhingga. Sebaliknya juga benar, bahawa mana-mana pecahan perpuluhan berkala terhingga atau tak terhingga boleh ditulis sebagai nombor rasional.

Tetapi bagaimana pula, sebagai contoh, nombor 2.0100100010…? Ia ialah perpuluhan BUKAN BERKALA yang tak terhingga. Dan ia tidak terpakai kepada nombor rasional.

Dalam kursus algebra sekolah, hanya nombor nyata (atau nyata) dipelajari. Set semua nombor nyata dilambangkan dengan huruf R. Set R terdiri daripada semua nombor rasional dan semua nombor tak rasional.

Konsep nombor tak rasional

Nombor tak rasional ialah semua pecahan perpuluhan tak berkala. Nombor tak rasional tidak mempunyai tatatanda khas.

Sebagai contoh, semua nombor yang diperoleh dengan mengekstrak punca kuasa dua nombor asli yang bukan kuasa dua nombor asli akan menjadi tidak rasional. (√2, √3, √5, √6, dsb.).

Tetapi jangan fikir bahawa nombor tidak rasional diperolehi hanya dengan mengekstrak punca kuasa dua. Sebagai contoh, nombor "pi" juga tidak rasional, dan ia diperoleh melalui pembahagian. Dan tidak kira seberapa keras anda mencuba, anda tidak boleh mendapatkannya dengan mengambil punca kuasa dua sebarang nombor asli.

Memahami nombor, terutamanya nombor asli, adalah salah satu "kemahiran" matematik tertua. Banyak tamadun, malah yang moden, mengaitkan beberapa sifat mistik kepada nombor kerana kepentingannya yang besar dalam menggambarkan alam semula jadi. Walaupun sains dan matematik moden tidak mengesahkan sifat "ajaib" ini, kepentingan teori nombor tidak dapat dinafikan.

Dari segi sejarah, banyak nombor asli mula-mula muncul, kemudian tidak lama kemudian pecahan dan nombor tak rasional positif telah ditambah kepada mereka. Nombor sifar dan negatif telah diperkenalkan selepas subset set nombor nyata ini. Set terakhir, set nombor kompleks, muncul hanya dengan perkembangan sains moden.

Dalam matematik moden, nombor diperkenalkan bukan mengikut susunan sejarah, walaupun agak hampir dengannya.

Nombor asli $\mathbb(N)$

Set nombor asli selalunya dilambangkan sebagai $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, dan selalunya berlapik dengan sifar untuk menandakan $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ mentakrifkan operasi tambah (+) dan darab ($\cdot$) dengan sifat berikut untuk mana-mana $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ set $\mathbb(N)$ ditutup di bawah penambahan dan pendaraban
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutatif
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ pergaulan
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ pengagihan
5. $a\cdot 1=a$ ialah unsur neutral untuk pendaraban

Memandangkan set $\mathbb(N)$ mengandungi unsur neutral untuk pendaraban tetapi bukan untuk penambahan, menambah sifar pada set ini memastikan ia termasuk unsur neutral untuk penambahan.

Sebagai tambahan kepada dua operasi ini, pada set $\mathbb(N)$ hubungan "kurang daripada" ($

1. $a b$ trikotomi
2. jika $a\leq b$ dan $b\leq a$, maka $a=b$ ialah antisimetri
3. jika $a\leq b$ dan $b\leq c$, maka $a\leq c$ adalah transitif
4. jika $a\leq b$, maka $a+c\leq b+c$
5. jika $a\leq b$, maka $a\cdot c\leq b\cdot c$

Integer $\mathbb(Z)$

Contoh integer:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Penyelesaian persamaan $a+x=b$, di mana $a$ dan $b$ dikenali sebagai nombor asli, dan $x$ ialah nombor asli yang tidak diketahui, memerlukan pengenalan operasi baharu - penolakan(-). Jika terdapat nombor asli $x$ yang memenuhi persamaan ini, maka $x=b-a$. Walau bagaimanapun, persamaan khusus ini tidak semestinya mempunyai penyelesaian pada set $\mathbb(N)$, jadi pertimbangan praktikal memerlukan melanjutkan set nombor asli sedemikian rupa untuk memasukkan penyelesaian kepada persamaan sedemikian. Ini membawa kepada pengenalan set integer: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Oleh kerana $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, adalah logik untuk mengandaikan bahawa operasi yang diperkenalkan sebelum ini $+$ dan $\cdot$ dan hubungan $ 1. $0+a=a+0=a$ terdapat unsur neutral untuk penambahan
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ terdapat nombor berlawanan $-a$ untuk $a$

5. Harta:
5. jika $0\leq a$ dan $0\leq b$, maka $0\leq a\cdot b$

Set $\mathbb(Z) $ juga ditutup di bawah penolakan, iaitu, $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Nombor rasional $\mathbb(Q)$

Contoh nombor rasional:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Sekarang pertimbangkan persamaan bentuk $a\cdot x=b$, di mana $a$ dan $b$ diketahui integer dan $x$ tidak diketahui. Untuk membolehkan penyelesaian, adalah perlu untuk memperkenalkan operasi bahagi ($:$), dan penyelesaiannya menjadi $x=b:a$, iaitu, $x=\frac(b)(a)$. Sekali lagi, masalah timbul bahawa $x$ tidak selalunya tergolong dalam $\mathbb(Z)$, jadi set integer mesti dilanjutkan. Oleh itu, kami memperkenalkan set nombor rasional $\mathbb(Q)$ dengan unsur $\frac(p)(q)$, di mana $p\in \mathbb(Z)$ dan $q\in \mathbb(N) $. Set $\mathbb(Z)$ ialah subset di mana setiap elemen $q=1$, maka $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ dan operasi penambahan dan pendaraban juga digunakan untuk set ini mengikut kepada peraturan berikut, yang mengekalkan semua sifat di atas juga pada set $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Bahagian dimasukkan seperti ini:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Pada set $\mathbb(Q)$, persamaan $a\cdot x=b$ mempunyai penyelesaian unik untuk setiap $a\neq 0$ (tiada pembahagian dengan sifar ditakrifkan). Ini bermakna terdapat unsur songsang $\frac(1)(a)$ atau $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\wujud \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Susunan set $\mathbb(Q)$ boleh dilanjutkan dengan cara ini:
$\frac(p_1)(q_1)

Set $\mathbb(Q)$ mempunyai satu sifat penting: antara mana-mana dua nombor rasional terdapat banyak nombor rasional lain yang tidak terhingga, oleh itu, tiada dua nombor rasional berjiran, berbeza dengan set nombor asli dan integer.

Nombor tak rasional $\mathbb(I)$

Contoh nombor tak rasional:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \lebih kurang 1.41422135...$
$\pi \lebih kurang 3.1415926535...$

Oleh kerana terdapat banyak nombor rasional lain yang tidak terhingga antara mana-mana dua nombor rasional, adalah mudah untuk tersilap membuat kesimpulan bahawa set nombor rasional adalah sangat padat sehingga tidak perlu mengembangkannya lagi. Malah Pythagoras pernah melakukan kesilapan sedemikian. Walau bagaimanapun, rakan seangkatannya telah pun menyangkal kesimpulan ini apabila mengkaji penyelesaian persamaan $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) pada set nombor rasional. Untuk menyelesaikan persamaan sedemikian, adalah perlu untuk memperkenalkan konsep punca kuasa dua, dan kemudian penyelesaian kepada persamaan ini mempunyai bentuk $x=\sqrt(2)$. Persamaan jenis $x^2=a$, di mana $a$ ialah nombor rasional yang diketahui dan $x$ ialah nombor yang tidak diketahui, tidak selalunya mempunyai penyelesaian pada set nombor rasional, dan sekali lagi terdapat keperluan. untuk mengembangkan set. Satu set nombor tak rasional timbul, dan nombor seperti $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... tergolong dalam set ini.

Nombor nyata $\mathbb(R)$

Penyatuan set nombor rasional dan tak rasional ialah set nombor nyata. Oleh kerana $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, sekali lagi logik untuk menganggap bahawa operasi dan hubungan aritmetik yang diperkenalkan mengekalkan sifatnya pada set baharu. Bukti formal tentang ini adalah sangat sukar, jadi sifat-sifat operasi dan hubungan aritmetik yang disebutkan di atas pada set nombor nyata diperkenalkan sebagai aksiom. Dalam algebra, objek sedemikian dipanggil medan, jadi set nombor nyata dikatakan medan tertib.

Agar takrifan set nombor nyata lengkap, adalah perlu untuk memperkenalkan aksiom tambahan yang membezakan set $\mathbb(Q)$ dan $\mathbb(R)$. Andaikan bahawa $S$ ialah subset bukan kosong bagi set nombor nyata. Unsur $b\in \mathbb(R)$ dipanggil sempadan atas $S$ jika $\forall x\in S$ memenuhi $x\leq b$. Kemudian set $S$ dikatakan terikat dari atas. Sempadan atas terkecil bagi set $S$ dipanggil tertinggi dan dilambangkan dengan $\sup S$. Pengertian sempadan bawah, set bersempadan di bawah, dan infinum $\inf S$ diperkenalkan dengan cara yang sama. Sekarang aksiom yang hilang dirumuskan seperti berikut:

Mana-mana bukan kosong dan bersempadan dari subset atas set nombor nyata mempunyai supremum.
Ia juga boleh dibuktikan bahawa medan nombor nyata yang ditakrifkan di atas adalah unik.

Nombor kompleks$\mathbb(C)$

Contoh nombor kompleks:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ di mana $i = \sqrt(-1)$ atau $i^2 = -1$

Set nombor kompleks ialah semua pasangan tertib nombor nyata, iaitu $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, di mana operasi penambahan dan pendaraban ditakrifkan seperti berikut:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Terdapat beberapa cara untuk menulis nombor kompleks, yang paling biasa ialah $z=a+ib$, dengan $(a,b)$ ialah sepasang nombor nyata dan nombor $i=(0,1)$ dipanggil unit khayalan.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa $i^2=-1$. Lanjutan set $\mathbb(R)$ kepada set $\mathbb(C)$ membolehkan seseorang menentukan punca kuasa dua nombor negatif, yang merupakan sebab untuk memperkenalkan set nombor kompleks. Ia juga mudah untuk menunjukkan bahawa subset set $\mathbb(C)$ diberikan sebagai $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ memenuhi semua aksiom untuk nombor nyata, maka $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, atau $R\subset\mathbb(C)$.

Struktur algebra bagi set $\mathbb(C)$ berkenaan dengan operasi tambah dan darab mempunyai sifat berikut:
1. komutatif penambahan dan pendaraban
2. perkaitan penambahan dan pendaraban
3. $0+i0$ - unsur neutral untuk penambahan
4. $1+i0$ - unsur neutral untuk pendaraban
5. pendaraban adalah pengagihan berkenaan dengan penambahan
6. Terdapat satu unsur songsang untuk kedua-dua penambahan dan pendaraban.

Tidak semua operasi yang dipertimbangkan dalam algebra boleh dilaksanakan dalam bidang nombor rasional. Contohnya ialah operasi punca kuasa dua. Jadi, jika kesamaan berlaku untuk nilai, maka kesamaan tidak berlaku untuk sebarang nilai rasional Mari kita buktikan. Pertama, kita perhatikan bahawa integer tidak boleh mempunyai kuasa dua sama dengan 2: kerana kita ada dan untuk sudah tentu lebih besar daripada 2. Sekarang mari kita anggap bahawa pecahan: (pecahan itu dianggap tidak boleh dikurangkan) dan

Oleh itu, kita mesti mempunyai nombor genap (jika tidak, kuasa dua tidak akan genap). biarlah .

Kini ternyata itu dan genap, yang bercanggah dengan andaian bahawa pecahan itu tidak boleh dikurangkan

Ini menunjukkan bahawa dalam alam nombor rasional, punca kuasa dua nombor 2 tidak boleh diekstrak, simbol itu tidak masuk akal dalam alam nombor rasional. Sementara itu, tugas: "untuk mencari sisi segi empat sama, mengetahui bahawa luasnya adalah sama dengan S" - adalah seperti semula jadi untuk dan juga untuk. Jalan keluar daripada ini dan kesukaran lain yang serupa adalah untuk mengembangkan lagi konsep nombor, untuk memperkenalkan jenis nombor baharu - nombor tidak rasional.

Kami akan menunjukkan bagaimana nombor tidak rasional diperkenalkan menggunakan contoh masalah mengekstrak punca kuasa dua nombor 2; Untuk kesederhanaan, kami mengehadkan diri kami kepada nilai positif akar.

Bagi setiap nombor rasional positif, satu daripada ketaksamaan atau akan berlaku. Jelas sekali, . Kami kemudian mempertimbangkan nombor dan mencari dua yang berjiran di antara mereka dengan sifat bahawa yang pertama mempunyai petak kurang daripada dua, dan yang kedua mempunyai petak lebih besar daripada dua. Iaitu, Begitu juga, meneruskan proses ini, kami memperoleh satu siri ketaksamaan (untuk mendapatkan pecahan perpuluhan yang ditulis di sini, anda juga boleh menggunakan algoritma yang terkenal untuk pengekstrakan anggaran punca kuasa dua, item 13):

Membandingkan bahagian integer dahulu, dan kemudian digit pertama, kedua, ketiga, dsb. selepas titik perpuluhan nombor rasional antara petak yang terletak 2, kita boleh menulis tempat perpuluhan ini berturut-turut:

Proses mencari pasangan nombor rasional (dinyatakan dalam pecahan perpuluhan terhingga) yang berbeza antara satu sama lain dengan meningkatkan m boleh diteruskan tanpa had. Oleh itu, kita boleh menganggap pecahan (6.1) sebagai pecahan perpuluhan tak terhingga (tidak berkala, kerana dalam kes berkala ia akan mewakili nombor rasional).

Pecahan tak berkala tak terhingga ini, yang mana kita boleh menulis sebarang bilangan tempat perpuluhan, tetapi yang mustahil untuk merekodkan semua tanda pada masa yang sama, diambil sebagai nombor yang sama dengan (iaitu, nombor yang kuasa duanya ialah 2).

Kami akan mewakili nilai negatif punca kuasa dua dua dalam bentuk

atau, menggunakan bentuk tiruan penulisan nombor, dalam bentuk

Kami kini memperkenalkan definisi berikut: nombor tak rasional ialah sebarang pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga

di mana a - menjadikan sebahagian daripada nombor (ia boleh menjadi positif, sama dengan sifar atau negatif), a - tempat perpuluhan (nombor) bahagian pecahannya.

Nombor tak rasional yang diberikan oleh pecahan tak berkala tak terhingga mentakrifkan dua jujukan pecahan perpuluhan terhingga, dipanggil penghampiran perpuluhan a mengikut kekurangan dan lebihan:

Sebagai contoh, untuk kita menulis

dll. Di sini, sebagai contoh, 1.41 ialah anggaran perpuluhan dengan ketepatan 0.01 dari segi kekurangan, dan 1.42 adalah lebihan.

Rekod ketaksamaan antara nombor tak rasional dan penghampiran perpuluhannya termasuk dalam definisi konsep nombor tak rasional dan boleh digunakan sebagai asas untuk menentukan nisbah "lebih besar" dan "kurang" untuk nombor tak rasional.

Kemungkinan untuk mewakili nombor tidak rasional dengan penghampiran perpuluhan yang lebih dan lebih tepat juga mendasari takrif operasi aritmetik pada nombor tak rasional, yang sebenarnya dilakukan pada penghampiran tidak rasionalnya dengan kekurangan atau lebihan.

Banyak tindakan membawa kepada nombor tidak rasional, seperti, sebagai contoh, tindakan mengekstrak punca darjah daripada nombor rasional (jika ia bukan kuasa nombor rasional lain), mengambil logaritma, dsb. Nombor tak rasional adalah sama dengan nisbah lilitan bulatan kepada diameternya (ms 229).

Semua nombor rasional dan tidak rasional bersama-sama membentuk satu set nombor nyata (atau nyata). Oleh itu, sebarang pecahan perpuluhan, terhingga atau tak terhingga (berkala atau tidak berkala), sentiasa mentakrifkan nombor nyata.

Setiap nombor nyata bukan sifar adalah sama ada positif atau negatif.

Dalam hubungan ini, kita ingat definisi berikut. Nilai mutlak atau modulus nombor nyata a ialah nombor yang ditakrifkan oleh kesamaan a, jika

Oleh itu, modulus nombor bukan negatif adalah sama dengan nombor itu sendiri (garisan atas kesamaan); nilai mutlak nombor negatif adalah sama dengan nombor ini, diambil dengan tanda bertentangan (garis bawah). Sebagai contoh,

Ia berikutan daripada takrifan modulus bahawa modulus mana-mana nombor ialah nombor bukan negatif; jika modulus nombor adalah sifar, maka nombor itu sendiri adalah sifar, jika tidak modulus adalah positif.

Nombor nyata membentuk medan nombor - medan nombor nyata: hasil operasi rasional pada nombor nyata sekali lagi dinyatakan dengan nombor nyata. Ambil perhatian bahawa diambil secara berasingan, nombor tak rasional tidak membentuk sama ada medan atau gelang: contohnya, hasil tambah dua nombor tak rasional adalah sama dengan nombor rasional 3.

Garis besar ringkas kami tentang pembangunan konsep nombor, dibina mengikut skema

kita membuat kesimpulan dengan menunjukkan sifat terpenting bagi set nombor nyata.

1. Nombor nyata membentuk medan.

2. Tindakan pada nombor nyata tertakluk kepada undang-undang biasa (contohnya, penambahan dan pendaraban - undang-undang komutatif, persekutuan, pengagihan, item 1).

3. Untuk mana-mana dua nombor nyata a dan b, satu dan hanya satu daripada tiga hubungan yang dipegang: a lebih besar daripada b (a > b), a kurang daripada , dan sama dengan . Oleh itu, set nombor nyata dikatakan tertib.

4. Akhir sekali, adalah kebiasaan untuk mengatakan bahawa set nombor nyata mempunyai sifat kesinambungan. Makna yang diberikan kepada ungkapan ini dijelaskan dalam Bahagian 8. Sifat inilah yang secara asasnya membezakan medan nombor nyata daripada medan nombor rasional.