Nombor kuasa dua logaritma perpuluhan 7. Persamaan, kuasa dua relatif kepada logaritma dan helah bukan piawai lain

Sifat utama logaritma, graf logaritma, domain definisi, set nilai, formula asas, kenaikan dan penurunan diberikan. Mencari terbitan logaritma dipertimbangkan. Dan juga integral, pengembangan dalam siri kuasa dan perwakilan melalui nombor kompleks.

Definisi logaritma

Logaritma dengan asas a ialah fungsi y (x) = log x, songsang kepada fungsi eksponen dengan asas a: x (y) = a y.

Logaritma perpuluhan ialah logaritma kepada asas nombor 10 : log x ≡ log 10 x.

logaritma semula jadi ialah logaritma kepada asas e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Graf logaritma diperoleh daripada graf fungsi eksponen pantulan cermin relatif kepada garis lurus y = x . Di sebelah kiri ialah graf bagi fungsi y (x) = log x untuk empat nilai asas logaritma:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 dan a = 1/8 . Graf menunjukkan bahawa untuk a > 1 logaritma meningkat secara monoton. Apabila x meningkat, pertumbuhan menjadi perlahan dengan ketara. Pada 0 < a < 1 logaritma menurun secara monotoni.

Sifat logaritma

Domain, set nilai, menaik, menurun

Logaritma ialah fungsi monotonik, jadi ia tidak mempunyai extremum. Sifat asas logaritma dibentangkan dalam jadual.

Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Julat nilai	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	meningkat secara monoton	berkurangan secara monoton
Sifar, y= 0	x= 1	x= 1
Titik persilangan dengan paksi-y, x = 0	Tidak	Tidak
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Nilai peribadi

Logaritma asas 10 dipanggil logaritma perpuluhan dan ditandakan seperti ini:

logaritma asas e dipanggil logaritma semula jadi:

Rumus logaritma asas

Sifat logaritma berikut daripada takrifan fungsi songsang:

Sifat utama logaritma dan akibatnya

Formula penggantian asas

Logaritma- ini adalah operasi matematik mengambil logaritma. Apabila mengambil logaritma, hasil darab faktor ditukar kepada jumlah sebutan.

Potensi ialah operasi matematik songsang kepada logaritma. Apabila mempotensiasi, asas yang diberikan dinaikkan kepada kuasa ungkapan di mana potensiasi dilakukan. Dalam kes ini, jumlah istilah ditukar kepada hasil darab faktor.

Bukti formula asas untuk logaritma

Formula yang berkaitan dengan logaritma mengikuti daripada formula untuk fungsi eksponen dan daripada takrifan fungsi songsang.

Pertimbangkan sifat fungsi eksponen
.
Kemudian
.
Gunakan sifat fungsi eksponen
:
.

Mari kita buktikan formula perubahan asas.
;
.
Menetapkan c = b , kita ada:

Fungsi songsang

Salingan bagi asas logaritma ialah fungsi eksponen dengan eksponen a.

Jika , maka

Jika , maka

Terbitan logaritma

Terbitan logaritma modulo x :
.
Terbitan urutan ke-n:
.
Terbitan formula > > >

Untuk mencari terbitan logaritma, ia mesti dikurangkan kepada asas e.
;
.

kamiran

Kamiran logaritma dikira dengan menyepadukan mengikut bahagian : .
Jadi,

Ungkapan dari segi nombor kompleks

Pertimbangkan fungsi nombor kompleks z:
.
Ekspres nombor kompleks z melalui modul r dan hujah φ :
.
Kemudian, menggunakan sifat logaritma, kita mempunyai:
.
Ataupun

Namun, hujahnya φ tidak ditakrifkan dengan jelas. Jika kita meletakkan
, dengan n ialah integer,
maka ia akan menjadi nombor yang sama untuk berbeza n.

Oleh itu, logaritma, sebagai fungsi pembolehubah kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Pengembangan siri kuasa

Untuk , pengembangan berlaku:

Rujukan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan Matematik untuk Jurutera dan Pelajar Institusi Pendidikan Tinggi, Lan, 2009.

Arahan

Tuliskan yang diberikan ungkapan logaritma. Jika ungkapan menggunakan logaritma 10, maka tatatandanya dipendekkan dan kelihatan seperti ini: lg b ialah logaritma perpuluhan. Jika logaritma mempunyai nombor e sebagai asas, maka ungkapan ditulis: ln b - logaritma semula jadi. Difahamkan bahawa hasil sebarang adalah kuasa yang mana nombor asas mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor b.

Apabila mencari jumlah dua fungsi, anda hanya perlu membezakannya satu demi satu, dan menambah keputusan: (u+v)" = u"+v";

Apabila mencari terbitan hasil darab dua fungsi, adalah perlu untuk mendarabkan terbitan fungsi pertama dengan yang kedua dan menambah terbitan bagi fungsi kedua, didarab dengan fungsi pertama: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Untuk mencari terbitan hasil bagi dua fungsi, adalah perlu, daripada hasil darab dividen yang didarab dengan fungsi pembahagi, untuk menolak hasil darab pembahagi didarab dengan fungsi pembahagi, dan bahagikan. semua ini dengan fungsi pembahagi kuasa dua. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika diberi fungsi kompleks, maka adalah perlu untuk mendarabkan terbitan fungsi dalam dan terbitan luar. Biarkan y=u(v(x)), kemudian y"(x)=y"(u)*v"(x).

Menggunakan yang diperoleh di atas, anda boleh membezakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Terdapat juga tugas untuk mengira derivatif pada satu titik. Biarkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, anda perlu mencari nilai fungsi pada titik x=1.
1) Cari terbitan bagi fungsi: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Kira nilai fungsi dalam titik yang diberikan y"(1)=8*e^0=8

Video-video yang berkaitan

Nasihat yang berguna

Ketahui jadual terbitan asas. Ini akan menjimatkan banyak masa.

Sumber:

• terbitan malar

Jadi, apa bezanya persamaan rasional dari rasional? Jika pembolehubah yang tidak diketahui berada di bawah tanda punca kuasa dua, maka persamaan itu dianggap tidak rasional.

Arahan

Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut ialah kaedah menaikkan kedua-dua belah persamaan ke dalam segi empat sama. Namun begitu. ini adalah semula jadi, langkah pertama adalah untuk menyingkirkan tanda itu. Secara teknikal, kaedah ini tidak sukar, tetapi kadangkala ia boleh membawa kepada masalah. Contohnya, persamaan v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua-dua belah, anda mendapat 2x-5=4x-7. Persamaan sedemikian tidak sukar untuk diselesaikan; x=1. Tetapi nombor 1 tidak akan diberikan persamaan. kenapa? Gantikan unit dalam persamaan dan bukannya nilai x. Dan bahagian kanan dan kiri akan mengandungi ungkapan yang tidak masuk akal, iaitu. Nilai sedemikian tidak sah untuk punca kuasa dua. Oleh itu 1 ialah akar luar, dan oleh itu persamaan yang diberikan tidak mempunyai akar.

Jadi, persamaan tidak rasional diselesaikan menggunakan kaedah kuasa dua bahagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan, adalah perlu untuk memotong akar luar. Untuk melakukan ini, gantikan punca yang ditemui ke dalam persamaan asal.

Pertimbangkan satu lagi.
2x+vx-3=0
Sudah tentu, persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan persamaan yang sama seperti yang sebelumnya. Pemindahan Sebatian persamaan, yang tidak mempunyai punca kuasa dua, sebelah kanan dan kemudian gunakan kaedah kuasa dua. selesaikan persamaan dan punca rasional yang terhasil. Tetapi satu lagi, lebih elegan. Masukkan pembolehubah baharu; vx=y. Oleh itu, anda akan mendapat persamaan seperti 2y2+y-3=0. Iaitu, yang biasa persamaan kuadratik. Cari akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Seterusnya, selesaikan dua persamaan vx=1; vx \u003d -3/2. Persamaan kedua tidak mempunyai punca, dari yang pertama kita dapati bahawa x=1. Jangan lupa tentang keperluan untuk memeriksa akar.

Menyelesaikan identiti agak mudah. Ini memerlukan melakukan transformasi yang sama sehingga sasaran tercapai. Oleh itu, dengan bantuan mudah operasi aritmetik tugas akan diselesaikan.

Anda perlu

• - kertas;
• - Pen.

Arahan

Penjelmaan yang paling mudah ialah pendaraban singkatan algebra (seperti kuasa dua jumlah (perbezaan), perbezaan kuasa dua, hasil tambah (perbezaan), kubus hasil tambah (perbezaan)). Di samping itu, terdapat banyak rumus trigonometri, yang pada asasnya adalah identiti yang sama.

Sesungguhnya, kuasa dua hasil tambah dua sebutan adalah sama dengan kuasa dua tambah pertama produk berganda yang pertama kepada yang kedua dan ditambah dengan petak kedua, iaitu (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab +b^2 .

Permudahkan Kedua-duanya

Prinsip umum penyelesaian

Ulang buku teks analisis matematik atau matematik yang lebih tinggi, yang merupakan kamiran pasti. Seperti yang anda tahu, penyelesaiannya kamiran pasti terdapat fungsi yang terbitannya akan memberikan integrand. Fungsi ini dipanggil primitif. Mengikut prinsip ini, kamiran asas dibina.
Tentukan dengan bentuk kamiran dan kamiran jadual yang manakah sesuai kes ini. Ia tidak selalu mungkin untuk menentukan ini dengan segera. Selalunya, bentuk jadual menjadi ketara hanya selepas beberapa transformasi untuk memudahkan integrand.

Kaedah penggantian boleh ubah

Jika integrand ialah fungsi trigonometri, yang hujahnya adalah beberapa polinomial, kemudian cuba gunakan kaedah penggantian pembolehubah. Untuk melakukan ini, gantikan polinomial dalam hujah integrand dengan beberapa pembolehubah baharu. Berdasarkan nisbah antara pembolehubah baharu dan lama, tentukan had pengamiran baharu. Dengan membezakan ungkapan ini, cari pembezaan baharu dalam . Dengan itu anda akan menerima jenis baru kamiran bekas, hampir atau sepadan dengan mana-mana jadual.

Penyelesaian kamiran jenis kedua

Jika kamiran ialah kamiran jenis kedua, bentuk vektor kamiran, maka anda perlu menggunakan peraturan untuk beralih daripada kamiran ini kepada kamiran berskala. Satu peraturan sedemikian ialah nisbah Ostrogradsky-Gauss. Undang-undang ini membolehkan anda pergi dari aliran pemutar ke beberapa fungsi vektor kepada kamiran rangkap tiga ke atas pencapahan medan vektor yang diberikan.

Penggantian had penyepaduan

Selepas mencari antiterbitan, adalah perlu untuk menggantikan had penyepaduan. Palamkan nilai dahulu had atas ke dalam ungkapan untuk antiterbitan. Anda akan menerima beberapa nombor. Seterusnya, tolak daripada nombor yang terhasil nombor lain, had bawah yang terhasil kepada antiterbitan. Jika salah satu had penyepaduan ialah infiniti, kemudian gantikannya ke fungsi antiderivatif adalah perlu untuk pergi ke had dan mencari apa yang cenderung kepada ungkapan itu.
Jika kamiran ialah dua dimensi atau tiga dimensi, maka anda perlu mewakili had geometri pengamiran untuk memahami cara mengira kamiran. Sesungguhnya, dalam kes, katakan, kamiran tiga dimensi, had penyepaduan boleh menjadi keseluruhan satah yang mengehadkan isipadu untuk disepadukan.

log a r b r = log a b atau log a b= log a r b r

Nilai logaritma tidak berubah jika asas logaritma dan nombor di bawah tanda logaritma dinaikkan kepada kuasa yang sama.

Di bawah tanda logaritma hanya boleh nombor positif, dan asas logaritma tidak sama dengan satu.

Contoh.

1) Bandingkan log 3 9 dan log 9 81.

log 3 9=2 kerana 3 2 =9;

log 9 81=2 kerana 9 2 =81.

Jadi log 3 9=log 9 81.

Perhatikan bahawa asas logaritma kedua adalah sama dengan kuasa dua tapak logaritma pertama: 9=3 2 , dan nombor di bawah tanda logaritma kedua adalah sama dengan kuasa dua nombor di bawah tanda pertama. logaritma: 81=9 2 . Ternyata kedua-dua nombor dan pangkalan logaritma pertama log 3 9 dinaikkan kepada kuasa kedua, dan nilai logaritma tidak berubah daripada ini:

Selanjutnya, sejak mengekstrak akar n ijazah ke- dari kalangan a ialah pembinaan nombor a ke tahap ( 1/n), maka log 3 9 boleh diperoleh daripada log 9 81 dengan mengambil punca kuasa dua nombor dan pangkal logaritma:

2) Semak kesamaan: log 4 25=log 0.5 0.2.

Pertimbangkan logaritma pertama. Ekstrak Punca kuasa dua dari pangkalan 4 dan dari kalangan 25 ; kita dapat: log 4 25=log 2 5.

Pertimbangkan logaritma kedua. Asas logaritma: 0.5= 1/2. Nombor di bawah tanda logaritma ini: 0.2= 1/5. Mari kita tingkatkan setiap nombor ini kepada kuasa tolak pertama:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Jadi log 0.5 0.2=log 2 5. Kesimpulan: persamaan ini adalah benar.

Selesaikan persamaan:

log 4 x 4 + log 16 81=log 2 (5x+2). Kami membawa logaritma dari kiri ke pangkalan 2 .

log 2 x 2 + log 2 3=log 2 (5x+2). Kami mengambil punca kuasa dua nombor dan dari pangkal logaritma pertama. Kami mengambil punca keempat nombor dan asas logaritma kedua.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Tukarkan hasil tambah logaritma kepada logaritma hasil darab.

3x2=5x+2. Diterima selepas potentiation.

3x2-5x-2=0. Kami menyelesaikan persamaan kuadratik dengan formula am untuk persamaan kuadratik penuh:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 akar sebenar.

Peperiksaan.

x=2.

log 4 2 4 + log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 + log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ log a b

Logaritma sesuatu nombor b dengan alasan a n adalah sama dengan produk pecahan 1/ n kepada logaritma sesuatu nombor b dengan alasan a.

Cari:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 jika diketahui bahawa log 2 3=b,log 5 2=c.

Penyelesaian.

Selesaikan Persamaan:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5.25.

Penyelesaian.

Kami membawa logaritma ini ke asas 2. Gunakan formula: log a n b=(1/ n)∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5.25;

log2x+0.5log2x+0.25log2x=5.25. Berikut adalah istilah yang serupa:

(1+0.5+0.25) log 2 x=5.25;

1.75 log 2 x=5.25 |:1.75

log 2x=3. Mengikut takrifan logaritma:

2) 0.5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0.25.

Penyelesaian. Ambil logaritma asas 16 kepada asas 4.

0.5log 4 (x-2)+0.5log 4 (x-3)=0.25 |:0.5

log4(x-2)+log4(x-3)=0.5. Tukarkan hasil tambah logaritma kepada logaritma hasil darab.

log 4 ((x-2)(x-3))=0.5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0.5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0.5. Mengikut takrifan logaritma:

x 2 -5x+4=0. Menurut teorem Vieta:

x 1 =1; x2=4. Nilai pertama x tidak akan berfungsi, kerana untuk x \u003d 1 logaritma kesamaan ini tidak wujud, kerana hanya nombor positif boleh berada di bawah tanda logaritma.

Mari kita semak persamaan ini untuk x=4.

Peperiksaan.

0.5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0.25

0.5log 4 2+log 16 1=0.25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritma sesuatu nombor b dengan alasan a adalah sama dengan logaritma nombor b atas dasar baru Dengan dibahagikan dengan logaritma asas lama a atas dasar baru Dengan.

Contoh:

1) log 2 3=log3/log2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Kira:

1) log 5 7 jika diketahui bahawa lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / log c a.

log 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090.

Jawapan: log 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) log 5 7 jika diketahui bahawa ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Penyelesaian. Gunakan formula: log a b = log c b / log c a.

log 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

Jawapan: log 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Cari x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Kami menggunakan formula: log c b / log c a = log a b . Kita mendapatkan:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Kami menggunakan formula: log c b / log c a = log a b . Kita mendapatkan:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=log143-log(11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Muka surat 1 daripada 1 1

Apakah logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Apakah logaritma? Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma? Soalan-soalan ini mengelirukan ramai graduan. Secara tradisinya, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat difahami dan menakutkan. Terutamanya - persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sudah tentu! tak percaya? Baik. Sekarang, selama kira-kira 10 - 20 minit anda:

1. Faham apa itu logaritma.

2. Belajar menyelesaikan keseluruhan kelas persamaan eksponen. Walaupun anda tidak pernah mendengar tentang mereka.

3. Belajar mengira logaritma mudah.

Selain itu, untuk ini anda hanya perlu mengetahui jadual pendaraban, dan bagaimana nombor dinaikkan kepada kuasa ...

Saya rasa anda ragu-ragu ... Nah, jaga masa! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan berikut dalam fikiran anda:

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Ramai pelajar terjebak pada persamaan seperti ini. Pada masa yang sama, tugas itu sendiri tidak bermakna rumit - cukup hanya untuk melakukan penggantian pembolehubah yang kompeten, yang mana anda harus belajar cara mengasingkan ekspresi stabil.

Sebagai tambahan kepada pelajaran ini, anda akan menemui kerja bebas yang agak besar, yang terdiri daripada dua pilihan dengan 6 tugas setiap satu.

Kaedah pengelompokan

Hari ini kita akan menganalisis dua persamaan logaritma, salah satunya tidak dapat diselesaikan "sepanjang" dan memerlukan transformasi khas, dan yang kedua ... bagaimanapun, saya tidak akan memberitahu semuanya sekaligus. Tonton video, muat turun kerja bebas - dan pelajari cara menyelesaikan masalah yang rumit.

Jadi, kumpulkan dan ambil faktor sepunya daripada kurungan. Di samping itu, saya akan memberitahu anda apakah perangkap yang dibawa oleh domain definisi logaritma, dan bagaimana kenyataan kecil mengenai domain definisi boleh mengubah kedua-dua akar dan keseluruhan penyelesaian dengan ketara.

Mari kita mulakan dengan kumpulan. Kita perlu menyelesaikan persamaan logaritma berikut:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Pertama sekali, kita ambil perhatian bahawa x 2 − 3x boleh difaktorkan:

log 2 x (x − 3)

Kemudian kita ingat formula yang indah:

log a fg = log a f + log a g

Hanya nota ringkas: formula yang diberikan berfungsi dengan baik apabila a, f dan g ialah nombor biasa. Tetapi apabila terdapat fungsi sebagai gantinya, ungkapan ini tidak lagi mempunyai hak yang sama. Bayangkan situasi hipotesis ini:

f< 0; g < 0

Dalam kes ini, produk fg akan menjadi positif, oleh itu, log a ( fg ) akan wujud, tetapi log a f dan log a g tidak akan wujud secara berasingan, dan kami tidak boleh melakukan transformasi sedemikian.

mengabaikan fakta ini akan membawa kepada penyempitan domain definisi dan, akibatnya, kehilangan akar. Oleh itu, sebelum melakukan transformasi sedemikian, adalah perlu untuk memastikan terlebih dahulu bahawa fungsi f dan g adalah positif.

Dalam kes kami, semuanya mudah. Oleh kerana terdapat log fungsi 2 x dalam persamaan asal, maka x > 0 (lagipun, pembolehubah x berada dalam hujah). Terdapat juga log 2 (x − 3), jadi x − 3 > 0.

Oleh itu, dalam fungsi log 2 x (x − 3), setiap faktor akan menjadi Di atas sifar. Oleh itu, kita boleh menguraikan produk dengan selamat kepada jumlah:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

Pada pandangan pertama, nampaknya ia tidak menjadi lebih mudah. Sebaliknya: bilangan syarat hanya meningkat! Untuk memahami cara meneruskan lagi, kami memperkenalkan pembolehubah baharu:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

a b + 1 − a − b = 0

Dan sekarang kita kumpulkan penggal ketiga dengan yang pertama:

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Ambil perhatian bahawa kedua-dua kurungan pertama dan kedua mengandungi b − 1 (dalam kes kedua, anda perlu mengeluarkan "tolak" daripada kurungan). Mari kita faktorkan pembinaan kita:

a (1 b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(a 1 − 1) = 0

Dan sekarang kita ingat peraturan indah kita: produk adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Mari kita ingat apa itu b dan a. Kami mendapat dua persamaan logaritma mudah di mana yang tinggal hanyalah untuk menyingkirkan tanda-tanda log dan menyamakan hujah:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Kami mendapat dua punca, tetapi ini bukan penyelesaian kepada persamaan logaritma asal, tetapi hanya calon untuk jawapannya. Sekarang mari kita semak domain. Untuk hujah pertama:

x > 0

Kedua-dua akar memenuhi keperluan pertama. Mari kita beralih kepada hujah kedua:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Tetapi di sini sudah x = 2 tidak memuaskan hati kami, tetapi x = 5 sesuai dengan kami dengan baik. Oleh itu, satu-satunya jawapan ialah x = 5.

Kami meneruskan ke persamaan logaritma kedua. Pada pandangan pertama, ia lebih mudah. Walau bagaimanapun, dalam proses menyelesaikannya, kami akan mempertimbangkan perkara halus yang berkaitan dengan domain definisi, kejahilan yang sangat merumitkan kehidupan pelajar baru.

log 0.7 (x 2 - 6x + 2) = log 0.7 (7 - 2x)

Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma. Anda tidak perlu menukar apa-apa - walaupun asasnya adalah sama. Oleh itu, kami hanya menyamakan hujah:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Sebelum kita adalah persamaan kuadratik yang diberikan, ia mudah diselesaikan menggunakan formula Vieta:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Tetapi akar-akar ini bukanlah jawapan yang pasti lagi. Ia adalah perlu untuk mencari domain definisi, kerana terdapat dua logaritma dalam persamaan asal, i.e. adalah amat perlu untuk mengambil kira domain definisi.

Jadi, mari kita tulis domain definisi. Di satu pihak, hujah logaritma pertama mestilah lebih besar daripada sifar:

x 2 − 6x + 2 > 0

Sebaliknya, hujah kedua juga mestilah lebih besar daripada sifar:

7 − 2x > 0

Keperluan ini mesti dipenuhi pada masa yang sama. Dan di sini yang paling menarik bermula. Sudah tentu, kita boleh menyelesaikan setiap ketaksamaan ini, kemudian memotongnya dan mencari domain bagi keseluruhan persamaan. Tetapi mengapa membuat hidup begitu sukar untuk diri sendiri?

Mari kita perhatikan satu kehalusan. Menghilangkan tanda log, kami menyamakan hujah. Ini menunjukkan bahawa keperluan x 2 − 6x + 2 > 0 dan 7 − 2x > 0 adalah setara. Akibatnya, salah satu daripada dua ketaksamaan boleh dipalang. Mari kita memotong yang paling sukar, dan meninggalkan ketaksamaan linear biasa untuk diri kita sendiri:

-2x > -7

x< 3,5

Oleh kerana kami membahagikan kedua-dua bahagian nombor negatif, tanda ketidaksamaan telah berubah.

Jadi kami menemui ODZ tanpa sebarang ketaksamaan kuasa dua, diskriminasi dan persimpangan. Kini ia tetap hanya untuk memilih akar yang terletak pada selang ini. Jelas sekali, hanya x = −1 akan sesuai dengan kita, kerana x = 5 > 3.5.

Anda boleh menulis jawapan: x = 1 ialah satu-satunya penyelesaian kepada persamaan logaritma asal.

Kesimpulan daripada persamaan logaritma ini adalah seperti berikut:

1. Jangan takut untuk memfaktorkan logaritma, dan kemudian memfaktorkan hasil tambah logaritma. Walau bagaimanapun, ingat bahawa dengan memecahkan produk kepada jumlah dua logaritma, anda dengan itu menyempitkan domain definisi. Oleh itu, sebelum melakukan penukaran sedemikian, pastikan anda menyemak apakah keperluan skop. Selalunya, tiada masalah timbul, tetapi tidak ada salahnya untuk bermain selamat sekali lagi.
2. Menghilangkan bentuk kanonik cuba mengoptimumkan pengiraan. Khususnya, jika kita dikehendaki bahawa f > 0 dan g > 0, tetapi dalam persamaan itu sendiri f = g , maka kita dengan berani memotong salah satu ketaksamaan, hanya meninggalkan yang paling mudah untuk diri kita sendiri. Dalam kes ini, domain definisi dan jawapan tidak akan terjejas dalam apa jua cara, tetapi jumlah pengiraan akan dikurangkan dengan ketara.

Sebenarnya, itu sahaja yang saya ingin ceritakan tentang kumpulan itu. :)

Kesilapan biasa dalam menyelesaikan

Hari ini kita akan menganalisis dua persamaan logaritma tipikal yang ramai pelajar tersandung. Pada contoh persamaan ini, kita akan melihat apakah kesilapan yang paling kerap dilakukan dalam proses menyelesaikan dan mengubah ungkapan asal.

Persamaan pecahan-rasional dengan logaritma

Perlu diperhatikan dengan segera bahawa ini adalah jenis persamaan yang agak berbahaya, di mana pecahan dengan logaritma di suatu tempat dalam penyebut tidak selalu hadir dengan serta-merta. Walau bagaimanapun, dalam proses transformasi, pecahan sedemikian semestinya akan timbul.

Pada masa yang sama, berhati-hati: dalam proses transformasi, domain awal takrifan logaritma boleh berubah dengan ketara!

Kita beralih kepada persamaan logaritma yang lebih tegar yang mengandungi pecahan dan asas pembolehubah. Untuk melakukan lebih banyak dalam satu pelajaran pendek, saya tidak akan memberitahu teori asas. Mari kita terus ke tugasan:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Melihat persamaan ini, seseorang akan bertanya: “Apa kaitannya persamaan rasional pecahan? Di manakah pecahan dalam persamaan ini? Jangan tergesa-gesa dan melihat dengan lebih dekat setiap penggal.

Sebutan pertama: 4 log 25 (x − 1). Asas logaritma ialah nombor, tetapi hujahnya ialah fungsi x . Kami belum boleh berbuat apa-apa tentang perkara ini. Teruskan.

Sebutan seterusnya ialah log 3 27. Ingat bahawa 27 = 3 3 . Oleh itu, kita boleh menulis semula keseluruhan logaritma seperti berikut:

log 3 27 = 3 3 = 3

Jadi penggal kedua hanya tiga. Sebutan ketiga: 2 log x − 1 5. Tidak semuanya mudah di sini sama ada: asas ialah fungsi, hujah ialah nombor biasa. Saya mencadangkan untuk membalikkan keseluruhan logaritma mengikut formula berikut:

log a b = 1/log b a

Penjelmaan sedemikian hanya boleh dilakukan jika b ≠ 1. Jika tidak, logaritma yang akan diperolehi dalam penyebut pecahan kedua tidak akan wujud. Dalam kes kami, b = 5, jadi semuanya baik-baik saja:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Mari kita tulis semula persamaan asal dengan mengambil kira penjelmaan yang diperoleh:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

Kami mempunyai log 5 (x − 1) dalam penyebut pecahan, dan log 25 (x − 1) dalam sebutan pertama. Tetapi 25 \u003d 5 2, jadi kami mengeluarkan persegi dari pangkal logaritma mengikut peraturan:

Dengan kata lain, eksponen di pangkal logaritma menjadi pecahan di hadapan. Dan ungkapan itu akan ditulis semula seperti ini:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Kami mempunyai persamaan yang panjang dengan sekumpulan logaritma yang sama. Mari perkenalkan pembolehubah baharu:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

Tetapi ini sudah menjadi persamaan pecahan-rasional, yang diselesaikan dengan cara algebra gred 8-9. Pertama, mari kita pecahkan kepada dua:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

Petak tepat adalah dalam kurungan. Mari kita gulungkannya:

(t − 1) 2 /t = 0

Pecahan adalah sifar apabila pengangkanya adalah sifar dan penyebutnya adalah bukan sifar. Jangan lupa fakta ini:

(t − 1) 2 = 0

t=1

t ≠ 0

Mari kita ingat apa itu t:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Kami menyingkirkan tanda log, menyamakan hujah mereka, dan kami mendapat:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Semua. Masalah selesai. Tetapi mari kita kembali kepada persamaan asal dan ingat bahawa terdapat dua logaritma dengan pembolehubah x sekaligus. Oleh itu, anda perlu menulis domain definisi. Memandangkan x − 1 berada dalam hujah logaritma, ungkapan ini mestilah lebih besar daripada sifar:

x − 1 > 0

Sebaliknya, x − 1 yang sama juga terdapat dalam pangkalan, jadi ia mesti berbeza daripada satu:

x − 1 ≠ 1

Oleh itu kami membuat kesimpulan:

x > 1; x ≠ 2

Keperluan ini mesti dipenuhi pada masa yang sama. Nilai x = 6 memenuhi kedua-dua keperluan, begitu juga x = 6 keputusan terakhir persamaan logaritma.

Mari kita beralih kepada tugas kedua:

Sekali lagi, jangan tergesa-gesa melihat setiap istilah:

log 4 (x + 1) - terdapat empat di pangkalan. Nombor biasa, dan anda tidak boleh menyentuhnya. Tetapi dalam kali terakhir kami tersandung pada segi empat tepat di pangkalan, yang perlu dikeluarkan dari bawah tanda logaritma. Mari kita lakukan perkara yang sama sekarang:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Caranya ialah kita sudah mempunyai logaritma dengan pembolehubah x , walaupun dalam asas - ia adalah songsang logaritma yang baru kita temui:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Sebutan seterusnya ialah log 2 8. Ini adalah pemalar, kerana kedua-dua hujah dan asas ialah nombor biasa. Mari cari nilai:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Kita boleh melakukan perkara yang sama dengan logaritma terakhir:

Sekarang mari kita tulis semula persamaan asal:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Mari kita bawa segala-galanya kepada penyebut yang sama:

Di hadapan kita sekali lagi persamaan pecahan-rasional. Mari perkenalkan pembolehubah baharu:

t = log 2 (x + 1)

Mari kita tulis semula persamaan dengan mengambil kira pembolehubah baharu:

Berhati-hati: pada langkah ini, saya menukar syarat. Pengangka pecahan ialah kuasa dua selisih:

Seperti kali terakhir, pecahan adalah sifar apabila pengangkanya adalah sifar dan penyebutnya adalah bukan sifar:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Kami mendapat satu punca yang memenuhi semua keperluan, jadi kami kembali ke pembolehubah x:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

Itu sahaja, kami telah menyelesaikan persamaan. Tetapi oleh kerana terdapat beberapa logaritma dalam persamaan asal, adalah perlu untuk menulis domain definisi.

Jadi, ungkapan x + 1 adalah dalam hujah logaritma. Oleh itu, x + 1 > 0. Sebaliknya, x + 1 juga terdapat dalam tapak, i.e. x + 1 ≠ 1. Jumlah:

0 ≠ x > −1

Adakah akar yang ditemui memenuhi keperluan ini? Tidak dinafikan. Oleh itu, x = 15 ialah penyelesaian kepada persamaan logaritma asal.

Akhir sekali, saya ingin mengatakan perkara berikut: jika anda melihat persamaan dan memahami bahawa anda perlu menyelesaikan sesuatu yang kompleks dan tidak standard, cuba serlahkan struktur yang stabil, yang kemudiannya akan dilambangkan dengan pembolehubah lain. Jika sesetengah istilah tidak mengandungi pembolehubah x sama sekali, ia selalunya boleh dikira dengan mudah.

Itu sahaja yang saya ingin bincangkan hari ini. Saya harap pelajaran ini akan membantu anda dalam menyelesaikan kompleks persamaan logaritma. Tonton tutorial video lain, muat turun dan selesaikan kerja bebas dan jumpa lagi dalam video seterusnya!