Kalkulus pembezaan. Kalkulus pembezaan dan kamiran

Satu bulatan timbul, wakil yang paling menonjol adalah saudara Bernoulli (Jacob dan Johann) dan Lopital. Pada tahun , menggunakan syarahan I. Bernoulli, L'Hopital menulis buku teks pertama yang menggariskan kaedah baru seperti yang digunakan untuk teori lengkung satah. Dia memanggilnya Analisis infinitesimal, sekali gus memberikan salah satu nama kepada cabang baru matematik. Penyampaian adalah berdasarkan konsep pembolehubah, di antaranya terdapat beberapa sambungan, kerana perubahan dalam satu memerlukan perubahan pada yang lain. Dalam Lopital, sambungan ini diberikan dengan bantuan lengkung rata: jika M (\displaystyle M) ialah titik bergerak bagi lengkung satah, kemudian koordinat Cartesan x (\displaystyle x) dan y (\displaystyle y), dipanggil abscissa dan ordinat lengkung, adalah pembolehubah, dan perubahan x (\displaystyle x) memerlukan perubahan y (\displaystyle y). Konsep fungsi tiada: ingin mengatakan bahawa pergantungan pembolehubah diberikan, Lopital mengatakan bahawa "sifat lengkung diketahui." Konsep pembezaan diperkenalkan seperti berikut:

Bahagian infinitesimal, yang mana pembolehubah terus meningkat atau berkurangan, dipanggil pembezaannya ... Untuk menandakan pembezaan pembolehubah, yang dengan sendirinya dinyatakan oleh satu huruf, kita akan menggunakan tanda atau simbol d (\gaya paparan d). ... Bahagian infinitesimal, di mana pembezaan nilai pembolehubah secara berterusan bertambah atau berkurang, dipanggil ... pembezaan kedua.

Takrifan ini dijelaskan secara geometri, dengan Rajah. kenaikan yang sangat kecil digambarkan sebagai terhingga. Pertimbangan adalah berdasarkan dua keperluan (aksiom). Pertama:

Adalah dikehendaki bahawa dua kuantiti, yang berbeza antara satu sama lain hanya dengan jumlah yang sangat kecil, boleh diambil [apabila mempermudahkan ungkapan?] secara acuh tak acuh satu daripada yang lain.

Oleh itu ternyata x + d x = x (\displaystyle x+dx=x), Selanjutnya

D x y = (x + d x) (y + d y) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x) d y + y d x = x d y + y d x (\displaystyle dxy=(x+dx)(y+dy)- xy=xdy+ydx+dxdy=(x+dx)dy+ydx=xdy+ydx)

Keperluan kedua ialah:

Ia dikehendaki bahawa seseorang boleh menganggap garis melengkung sebagai koleksi set tak terhingga garis lurus tak terhingga kecil.

Kesinambungan setiap garis tersebut dipanggil tangen kepada lengkung. Meneroka tangen melalui titik M = (x , y) (\displaystyle M=(x,y)), L'Hopital sangat mementingkan kuantiti

y d x d y − x (\displaystyle y(\frac (dx)(dy))-x),

mencapai nilai ekstrem pada titik infleksi lengkung, manakala nisbah d y (\displaystyle dy) kepada d x (\displaystyle dx) tiada kepentingan khusus dilampirkan.

Mencari titik ekstrem perlu diberi perhatian. Jika dengan peningkatan berterusan dalam absis x (\displaystyle x) menyelaraskan y (\displaystyle y) mula-mula bertambah dan kemudian berkurang, kemudian pembezaan d y (\displaystyle dy) awalnya positif berbanding dengan d x (\displaystyle dx) dan kemudian negatif.

Tetapi mana-mana kuantiti yang terus meningkat atau berkurangan tidak boleh bertukar daripada positif kepada negatif tanpa melalui infiniti atau sifar ... Ini berikutan bahawa pembezaan magnitud terbesar dan terkecil mestilah sama dengan sifar atau infiniti.

Rumusan ini mungkin tidak sempurna, jika kita ingat keperluan pertama: katakan, y = x 2 (\displaystyle y=x^(2)), kemudian berdasarkan keperluan pertama

2 x d x + d x 2 = 2 x d x (\displaystyle 2xdx+dx^(2)=2xdx);

pada sifar, sebelah kanan adalah sifar, tetapi sebelah kiri tidak. Nampaknya ia sepatutnya dikatakan begitu d y (\displaystyle dy) boleh diubah mengikut keperluan pertama supaya pada titik maksimum d y = 0 (\displaystyle dy=0). . Dalam contoh, semuanya jelas, dan hanya dalam teori titik infleksi Lopital menulis bahawa d y (\displaystyle dy) sama dengan sifar pada titik maksimum, apabila dibahagikan dengan d x (\displaystyle dx) .

Selanjutnya, dengan bantuan pembezaan sahaja, syarat untuk ekstrem dirumuskan dan sejumlah besar masalah kompleks dipertimbangkan, terutamanya berkaitan dengan geometri pembezaan pada satah. Pada akhir buku, dalam ch. 10, apa yang kini dipanggil peraturan L'Hopital dinyatakan, walaupun dalam bentuk yang tidak biasa. Biarkan nilai ordinat y (\displaystyle y) lengkung dinyatakan sebagai pecahan yang pengangka dan penyebutnya hilang pada . Kemudian titik lengkung dengan x = a (\displaystyle x=a) mempunyai ordinat y (\displaystyle y), sama dengan nisbah pembezaan pengangka kepada pembezaan penyebut, diambil pada x = a (\displaystyle x=a).

Menurut idea L'Hopital, apa yang ditulisnya adalah bahagian pertama Analisis, manakala bahagian kedua sepatutnya mengandungi kalkulus kamiran, iaitu kaedah untuk mencari sambungan pembolehubah dengan sambungan yang diketahui bagi pembezaannya. Eksposisi pertamanya diberikan oleh Johann Bernoulli dalam karyanya Syarahan matematik kaedah kamiran. Di sini, kaedah diberikan untuk mengambil kebanyakan kamiran asas dan kaedah untuk menyelesaikan banyak persamaan pembezaan tertib pertama ditunjukkan.

Menunjuk kepada kegunaan praktikal dan kesederhanaan kaedah baru, Leibniz menulis:

Perkara yang boleh dicapai oleh seorang lelaki yang mahir dalam kalkulus ini dalam tiga baris, lelaki terpelajar lain terpaksa mencari, mengikuti lencongan yang kompleks.

Euler

Leonhard Euler

Perubahan-perubahan yang berlaku dalam setengah abad berikutnya dicerminkan dalam risalah Euler yang luas. Pembentangan analisis membuka "Pengenalan" dua jilid, yang mengandungi penyelidikan mengenai pelbagai perwakilan fungsi asas. Istilah "fungsi" pertama kali muncul hanya dalam Leibniz, tetapi Euler yang mengemukakannya kepada peranan pertama. Tafsiran asal konsep fungsi ialah fungsi ialah ungkapan untuk mengira (German Rechnungsausdrϋck) atau ungkapan analitik.

Fungsi kuantiti berubah-ubah ialah ungkapan analitik yang dibuat dalam beberapa cara kuantiti berubah ini dan nombor atau kuantiti tetap.

Menekankan bahawa "perbezaan utama antara fungsi terletak pada cara ia terdiri daripada pembolehubah dan pemalar," Euler menyenaraikan tindakan "yang mana kuantiti boleh digabungkan dan dicampur antara satu sama lain; tindakan ini ialah: penambahan dan penolakan, pendaraban dan pembahagian, eksponen dan pengekstrakan punca; penyelesaian persamaan [algebra] juga perlu disertakan di sini. Sebagai tambahan kepada operasi ini, yang dipanggil algebra, terdapat banyak lagi, transendental, seperti: eksponen, logaritma dan lain-lain yang tidak terhitung, disampaikan oleh kalkulus kamiran. Tafsiran sedemikian memungkinkan untuk berurusan dengan fungsi berbilang nilai dengan mudah dan tidak memerlukan penjelasan tentang bidang mana fungsi itu dipertimbangkan: ungkapan pengiraan ditakrifkan untuk nilai kompleks pembolehubah walaupun ini tidak diperlukan untuk masalah dalam pertimbangan.

Operasi dalam ungkapan dibenarkan hanya dalam bilangan terhingga, dan transenden menembusi dengan bantuan nombor yang sangat besar. ∞ (\displaystyle \infty ). Dalam ungkapan, nombor ini digunakan bersama dengan nombor asli. Sebagai contoh, ungkapan sedemikian untuk eksponen dianggap sah

e x = (1 + x ∞) ∞ (\displaystyle e^(x)=\kiri(1+(\frac (x)(\infty ))\kanan)^(\infty )),

di mana hanya pengarang kemudian melihat peralihan kepada had. Pelbagai transformasi dibuat dengan ungkapan analitik, yang membolehkan Euler mencari perwakilan untuk fungsi asas dalam bentuk siri, produk tak terhingga, dll. Euler mengubah ungkapan untuk mengira dengan cara yang sama seperti yang mereka lakukan dalam algebra, tidak memberi perhatian kepada kemungkinan mengira nilai fungsi pada satu titik untuk setiap daripada formula bertulis.

Berbeza dengan L'Hôpital, Euler mempertimbangkan fungsi transendental secara terperinci, dan khususnya dua kelas yang paling banyak dipelajari - eksponen dan trigonometri. Dia mendapati bahawa semua fungsi asas boleh dinyatakan menggunakan operasi aritmetik dan dua operasi - mengambil logaritma dan eksponen.

Kursus pembuktian dengan sempurna menunjukkan teknik menggunakan yang tidak terhingga besar. Setelah menentukan sinus dan kosinus menggunakan bulatan trigonometri, Euler menyimpulkan yang berikut daripada formula penambahan:

(cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) (cos ⁡ y + − 1 sin ⁡ y) = cos ⁡ (x + y) + − 1 sin ⁡ (x + y) , (\displaystyle (\cos x+(\ sqrt (-1))\sin x)(\cos y+(\sqrt (-1))\sin y)=\cos ((x+y))+(\sqrt (-1))\sin ((x +y)))) 2 cos ⁡ n x = (cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) n + (cos ⁡ x − − 1 sin ⁡ x) n (\displaystyle 2\cos nx=(\cos x+(\sqrt (-1))) \sin x)^(n)+(\cos x-(\sqrt (-1))\sin x)^(n))

Andainya n = ∞ (\displaystyle n=\infty ) dan z = n x (\displaystyle z=nx), dia terima

2 cos ⁡ z = (1 + − 1 z ∞) ∞ + (1 − − 1 z ∞) ∞ = e − 1 z + e − − 1 z (\displaystyle 2\cos z=\left(1+(\ frac ((\sqrt (-1))z)(\infty ))\right)^(\infty )+\left(1-(\frac ((\sqrt (-1))z)(\infty )) \kanan)^(\infty )=e^((\sqrt (-1))z)+e^(-(\sqrt (-1))z)),

membuang nilai tak terhingga tertib yang lebih tinggi. Menggunakan ini dan ungkapan yang serupa, Euler juga memperoleh formula terkenalnya

e − 1 x = cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x (\displaystyle e^((\sqrt (-1))x)=\cos (x)+(\sqrt (-1))\sin (x) ).

Setelah menunjukkan pelbagai ungkapan untuk fungsi yang kini dipanggil asas, Euler meneruskan untuk mempertimbangkan lengkung dalam satah, yang dilukis oleh pergerakan bebas tangan. Pada pendapatnya, tidak mungkin untuk mencari satu ungkapan analitik untuk setiap lengkung tersebut (lihat juga Kontroversi Rentetan). Pada abad ke-19, atas cadangan Casorati, pernyataan ini dianggap salah: menurut teorem Weierstrass, sebarang lengkung berterusan dalam erti kata moden boleh digambarkan secara lebih kurang oleh polinomial. Sebenarnya, Euler hampir tidak yakin dengan ini, kerana kita masih perlu menulis semula petikan ke had menggunakan simbol ∞ (\displaystyle \infty ).

Pembentangan kalkulus pembezaan Euler bermula dengan teori perbezaan terhingga, diikuti dalam bab ketiga dengan penjelasan falsafah bahawa "kuantiti yang sangat kecil adalah betul-betul sifar", yang kebanyakannya tidak sesuai dengan zaman Euler. Kemudian, pembezaan terbentuk daripada perbezaan terhingga dengan kenaikan tak terhingga, dan daripada formula interpolasi Newton, formula Taylor. Kaedah ini pada asasnya kembali kepada kerja Taylor (1715). Dalam kes ini, Euler mempunyai hubungan yang stabil d k y d x k (\displaystyle (\frac (d^(k)y)(dx^(k)))), yang, bagaimanapun, dianggap sebagai nisbah dua infinitesimal. Bab terakhir ditumpukan kepada pengiraan anggaran menggunakan siri.

Dalam kalkulus kamiran tiga jilid, Euler memperkenalkan konsep kamiran seperti berikut:

Fungsi yang pembezaan = X d x (\displaystyle =Xdx), dipanggil kamirannya dan dilambangkan dengan tanda S (\displaystyle S) diletakkan di hadapan.

Pada keseluruhannya, bahagian risalah Euler ini ditumpukan kepada masalah yang lebih umum iaitu mengintegrasikan persamaan pembezaan dari sudut pandangan moden. Dengan berbuat demikian, Euler menemui beberapa kamiran dan persamaan pembezaan yang membawa kepada fungsi baharu, contohnya, Γ (\displaystyle \Gamma )-fungsi, fungsi elips, dsb. Bukti yang ketat tentang ketak-elemenannya telah diberikan pada tahun 1830-an oleh Jacobi untuk fungsi elips dan oleh Liouville (lihat fungsi asas).

Lagrange

Kerja utama seterusnya, yang memainkan peranan penting dalam pembangunan konsep analisis, ialah Teori fungsi analitik Lagrange dan penceritaan semula karya Lagrange yang meluas, dilakukan oleh Lacroix dengan cara yang agak eklektik.

Berhasrat untuk menghapuskan yang sangat kecil sama sekali, Lagrange membalikkan hubungan antara terbitan dan siri Taylor. Dengan fungsi analitik, Lagrange memahami fungsi arbitrari yang disiasat oleh kaedah analisis. Dia menetapkan fungsi itu sendiri sebagai , memberikan cara grafik untuk menulis pergantungan - lebih awal, Euler menguruskan dengan hanya pembolehubah. Untuk menggunakan kaedah analisis, menurut Lagrange, fungsi itu perlu berkembang menjadi satu siri

f (x + h) = f (x) + p h + q h 2 + … (\gaya paparan f(x+h)=f(x)+ph+qh^(2)+\dots ),

yang pekalinya akan menjadi fungsi baharu x (\displaystyle x). Ia kekal untuk menamakan p (\gaya paparan p) derivatif (pekali pembezaan) dan menyatakannya sebagai f ′ (x) (\gaya paparan f"(x)). Oleh itu, konsep terbitan diperkenalkan pada halaman kedua risalah dan tanpa bantuan infinitesimal. Ia kekal untuk mengambil perhatian bahawa

f ' (x + h) = p + 2 q h + … (\gaya paparan f"(x+h)=p+2qh+\dots ),

jadi pekali q (\gaya paparan q) ialah terbitan berganda bagi terbitan f (x) (\gaya paparan f(x)), itu dia

q = 1 2 ! f ″ (x) (\displaystyle q=(\frac (1)(2}f""(x)} !} dan lain-lain.

Pendekatan kepada tafsiran konsep derivatif ini digunakan dalam algebra moden dan berfungsi sebagai asas untuk penciptaan teori fungsi analitik Weierstrass.

Lagrange mengendalikan siri sedemikian sebagai formal dan memperoleh beberapa teorem yang luar biasa. Khususnya, buat kali pertama dan agak ketat dia membuktikan kebolehlarutan masalah awal untuk persamaan pembezaan biasa dalam siri kuasa formal.

Persoalan menganggarkan ketepatan anggaran yang dibekalkan oleh jumlah separa siri Taylor pertama kali dikemukakan oleh Lagrange: pada akhir Teori fungsi analitik dia memperoleh apa yang kini dipanggil formula baki Taylor's Lagrange. Walau bagaimanapun, berbeza dengan pengarang moden, Lagrange tidak melihat keperluan untuk menggunakan hasil ini untuk mewajarkan penumpuan siri Taylor.

Persoalan sama ada fungsi yang digunakan dalam analisis benar-benar boleh dikembangkan dalam siri kuasa kemudiannya menjadi bahan perbincangan. Sudah tentu, Lagrange tahu bahawa pada beberapa titik fungsi asas mungkin tidak berkembang menjadi siri kuasa, tetapi pada titik ini ia tidak dapat dibezakan. Koshy dalam dia Analisis algebra memberikan fungsi sebagai contoh balas

f (x) = e − 1 / x 2 , (\displaystyle f(x)=e^(-1/x^(2)),)

dilanjutkan dengan sifar pada sifar. Fungsi ini lancar di mana-mana pada paksi sebenar dan mempunyai sifar siri Maclaurin pada sifar, yang, oleh itu, tidak menumpu kepada nilai f (x) (\gaya paparan f(x)). Terhadap contoh ini, Poisson membantah bahawa Lagrange mentakrifkan fungsi sebagai ungkapan analitik tunggal, manakala dalam contoh Cauchy fungsi diberikan secara berbeza pada sifar, dan apabila x ≠ 0 (\displaystyle x\not =0). Hanya pada penghujung abad ke-19 barulah Pringsheim membuktikan bahawa wujudnya fungsi tidak terhingga boleh dibezakan yang diberikan oleh satu ungkapan yang mana siri Maclaurin menyimpang. Contoh fungsi sedemikian ialah ungkapan

Ψ (x) = ∑ k = 0 ∞ cos ⁡ (3 k x) k ! (\displaystyle \Psi (x)=\jumlah \had _(k=0)^(\infty )(\frac (\cos ((3^(k)x)))(k}} !}.

Perkembangan selanjutnya

Kalkulus pembezaan

Kalkulus pembezaan mengkaji definisi, sifat, dan aplikasi fungsi terbitan. Proses mencari derivatif dipanggil pembezaan. Memandangkan fungsi dan titik dalam domainnya, terbitan pada titik itu ialah cara pengekodan kelakuan berskala halus bagi fungsi itu berhampiran titik itu. Dengan mencari derivatif fungsi pada setiap titik dalam domain, seseorang boleh mentakrifkan fungsi baharu yang dipanggil fungsi terbitan atau secara ringkas terbitan daripada fungsi asal. Dalam bahasa matematik, derivatif ialah pemetaan linear yang mempunyai satu fungsi sebagai input dan satu lagi sebagai output. Konsep ini lebih abstrak daripada kebanyakan proses yang dikaji dalam algebra asas, di mana fungsi biasanya mempunyai satu nombor sebagai input dan satu lagi sebagai output. Sebagai contoh, jika fungsi penggandaan diberi input tiga, output akan menjadi enam; jika input kepada fungsi kuadratik ialah tiga, outputnya ialah sembilan. Derivatif juga boleh mempunyai fungsi kuadratik sebagai input. Ini bermakna derivatif mengambil semua maklumat tentang fungsi kuasa dua, iaitu apabila dua adalah input, ia memberikan empat sebagai output, ia menukar tiga kepada sembilan, empat kepada enam belas, dan seterusnya, dan menggunakan maklumat ini untuk mendapatkan fungsi lain. . (Terbitan bagi fungsi kuadratik hanyalah fungsi penggandaan.)

Simbol yang paling biasa untuk menandakan terbitan ialah tanda seperti apostrof yang dipanggil perdana. Jadi terbitan bagi fungsi tersebut f terdapat f', disebut "f stroke". Sebagai contoh, jika f(x) = x 2 ialah fungsi kuasa dua, maka f'(x) = 2x ialah terbitannya, ini ialah fungsi penggandaan.

Jika input fungsi ialah masa, maka derivatif ialah perubahan berkenaan dengan masa. Sebagai contoh, jika f adalah fungsi yang bergantung pada masa, dan ia memberikan output kedudukan bola dalam masa, kemudian terbitan f menentukan perubahan kedudukan bola dari semasa ke semasa, iaitu kelajuan bola.

Kamiran tak tentu ialah primitif, iaitu, operasi songsang kepada terbitan. F ialah kamiran tak tentu bagi f dalam kes apabila f ialah terbitan daripada F. (Penggunaan huruf besar dan huruf kecil untuk fungsi dan kamiran tak tentu adalah perkara biasa dalam kalkulus.)

Kamiran pasti fungsi input dan nilai output ialah nombor yang sama dengan luas permukaan yang dibatasi oleh graf fungsi, paksi-x, dan dua segmen garis lurus daripada graf fungsi ke paksi-x pada titik-titik nilai keluaran. Dalam istilah teknikal, kamiran pasti ialah had hasil tambah luas segi empat tepat, dipanggil jumlah Riemann.

Contoh dari fizik ialah pengiraan jarak yang dilalui semasa berjalan pada bila-bila masa.

D i s t a n c e = S p e e d ⋅ T i m e (\displaystyle \mathrm (Jarak) =\mathrm (Kelajuan) \cdot \mathrm (Masa) )

Jika kelajuan adalah malar, operasi pendaraban adalah mencukupi, tetapi jika kelajuan berbeza, maka kita mesti menggunakan kaedah yang lebih berkuasa untuk mengira jarak. Salah satu kaedah ini ialah pengiraan anggaran dengan memecahkan masa kepada tempoh pendek yang berasingan. Kemudian mendarabkan masa dalam setiap selang dengan mana-mana satu daripada kelajuan dalam selang itu dan kemudian menjumlahkan semua jarak anggaran (Riemann sum) yang dilalui dalam setiap selang, kita mendapat jumlah jarak yang dilalui. Idea asasnya ialah jika anda menggunakan selang yang sangat pendek, maka kelajuan pada setiap satu daripadanya akan kekal lebih kurang tetap. Walau bagaimanapun, jumlah Riemann hanya memberikan jarak anggaran. Untuk mencari jarak yang tepat, kita mesti mencari had semua jumlah Riemann tersebut.

Sekiranya f(x) pada rajah di sebelah kiri mewakili perubahan kelajuan dari semasa ke semasa, kemudian jarak yang dilalui (antara momen a dan b) ialah kawasan kawasan berlorek s.

Untuk anggaran anggaran kawasan ini, kaedah intuitif adalah mungkin, yang terdiri daripada membahagikan jarak antara a dan b ke dalam bilangan segmen (segmen) yang sama panjang Δx. Untuk setiap segmen, kita boleh memilih satu nilai fungsi f(x). Mari kita panggil nilai ini h. Kemudian luas segi empat tepat dengan tapak Δx dan ketinggian h memberikan jarak (masa Δx didarab dengan kelajuan h) diluluskan dalam segmen ini. Setiap segmen dikaitkan dengan nilai purata fungsi padanya f(x)=h. Jumlah semua segi empat tepat tersebut memberikan anggaran luas di bawah lengkung, yang merupakan anggaran jumlah jarak yang dilalui. Kurangkan Δx akan memberikan lebih banyak segi empat tepat dan dalam kebanyakan kes menjadi anggaran yang lebih baik, tetapi untuk mendapatkan jawapan yang tepat kita mesti mengira had pada Δx cenderung kepada sifar.

Simbol integrasi ialah ∫ (\displaystyle \int ), surat yang dipanjangkan S(S bermaksud "jumlah"). Kamiran pasti ditulis sebagai:

∫ a b f (x) d x . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx.)

dan berbunyi: "integrasi bagi a sebelum ini b fungsi f daripada x pada x". Notasi yang dicadangkan oleh Leibniz dx bertujuan untuk membahagikan kawasan di bawah lengkung kepada bilangan segi empat tepat yang tidak terhingga supaya lebarnya Δx ialah kuantiti tak terhingga dx. Dalam rumusan kalkulus berdasarkan had, tatatanda

∫ a b … d x (\displaystyle \int _(a)^(b)\ldots \,dx)

harus difahami sebagai operator yang mengambil fungsi sebagai input dan mengeluarkan nombor yang sama dengan kawasan. dx bukan nombor dan tidak boleh didarab dengan f(x).

Kamiran tak tentu, atau antiterbitan, ditulis sebagai:

∫ f (x) d x . (\displaystyle \int f(x)\,dx.)

Fungsi yang berbeza dengan pemalar mempunyai terbitan yang sama, dan oleh itu antiterbitan bagi fungsi tertentu sebenarnya adalah keluarga fungsi yang berbeza hanya dengan pemalar. Sejak terbitan fungsi y = x² + C, di mana C- sebarang pemalar, sama dengan y' = 2x, maka antiterbitan yang terakhir ditentukan oleh formula:

∫ 2 x d x = x 2 + C . (\displaystyle \int 2x\,dx=x^(2)+C.)

Pemalar jenis tidak ditentukan C dalam antiterbitan dikenali sebagai pemalar kamiran.

Teorem Newton-Leibniz

Newton - Teorem Leibniz, yang juga dipanggil teorem utama analisis menyatakan bahawa pembezaan dan pengamiran adalah operasi songsang bersama. Lebih tepat lagi, ia melibatkan nilai antiderivatif untuk kamiran tertentu. Oleh kerana secara amnya lebih mudah untuk mengira antiterbitan daripada menggunakan formula kamiran pasti, teorem menyediakan cara praktikal untuk mengira kamiran pasti. Ia juga boleh ditafsirkan sebagai pernyataan yang tepat bahawa pembezaan adalah songsang bagi integrasi.

Teorem mengatakan: jika fungsi f berterusan pada segmen [ a, b] dan jika F terdapat fungsi yang terbitannya sama dengan f pada selang waktu ( a, b), maka:

∫ a b f (x) d x = F (b) − F (a) . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a).)

Di samping itu, untuk mana-mana x daripada selang ( a, b)

d d x ∫ a x f (t) d t = f (x) . (\gaya paparan (\frac (d)(dx))\int _(a)^(x)f(t)\,dt=f(x).)

Wawasan ini, dibuat oleh kedua-dua Newton dan Leibniz, yang berdasarkan keputusan mereka pada kerja awal Isaac Barrow, adalah kunci kepada penyebaran pantas hasil analisis selepas kerja mereka diketahui. Teorem asas memberikan kaedah algebra untuk mengira banyak kamiran pasti tanpa menghadkan proses, dengan mencari formula antiterbitan. Di samping itu, prototaip muncul untuk menyelesaikan persamaan pembezaan. Persamaan pembezaan menghubungkan fungsi yang tidak diketahui dengan derivatifnya, ia digunakan di mana-mana dalam banyak sains.

Aplikasi

Analisis matematik digunakan secara meluas dalam fizik, sains komputer, statistik, kejuruteraan, ekonomi, perniagaan, kewangan, perubatan, demografi dan bidang lain di mana model matematik boleh dibina untuk menyelesaikan masalah, dan adalah perlu untuk mencari penyelesaian optimumnya.

Khususnya, hampir semua konsep dalam mekanik klasik dan elektromagnetisme dikaitkan dengan satu sama lain dengan tepat melalui analisis matematik klasik. Contohnya, memandangkan taburan ketumpatan objek yang diketahui, jisimnya, momen inersia, serta jumlah tenaga dalam medan potensi boleh didapati menggunakan kalkulus pembezaan. Satu lagi contoh yang menarik tentang aplikasi analisis matematik dalam mekanik ialah undang-undang kedua Newton: dari segi sejarah, ia secara langsung menggunakan istilah "kadar perubahan" dalam rumusan "Daya \u003d jisim × pecutan", kerana pecutan ialah terbitan masa bagi kelajuan atau terbitan kedua masa daripada trajektori atau kedudukan spatial.

Analisis matematik juga digunakan untuk mencari penyelesaian anggaran kepada persamaan. Dalam amalan, ini ialah cara standard untuk menyelesaikan persamaan pembezaan dan mencari punca dalam kebanyakan aplikasi. Contohnya ialah kaedah Newton, kaedah lelaran mudah, dan kaedah penghampiran linear. Sebagai contoh, apabila mengira trajektori kapal angkasa, satu varian kaedah Euler digunakan untuk menganggarkan laluan gerakan melengkung tanpa kehadiran graviti.

Bibliografi

artikel ensiklopedia

// Leksikon Ensiklopedia: Dalam 17 jilid. - St Petersburg. : Jenis. A. Plushard, 1835-1841.
// Kamus Ensiklopedia Brockhaus dan Efron: dalam 86 jilid (82 jilid dan 4 tambahan). - St Petersburg. , 1890-1907.

Sastera pendidikan

Buku teks standard

Selama bertahun-tahun, buku teks berikut telah popular di Rusia:

Kurant, R. Kursus dalam kalkulus pembezaan dan kamiran (dalam dua jilid). Penemuan metodologi utama kursus: pertama, idea-idea utama hanya dinyatakan, dan kemudian mereka diberi bukti yang ketat. Ditulis oleh Courant semasa beliau menjadi profesor di Universiti Göttingen pada tahun 1920-an di bawah pengaruh idea Klein, kemudian dipindahkan ke tanah Amerika pada tahun 1930-an. Terjemahan Rusia pada tahun 1934 dan cetakan semulanya memberikan teks mengikut edisi Jerman, terjemahan tahun 1960-an (yang dipanggil edisi ke-4) adalah kompilasi daripada buku teks versi Jerman dan Amerika dan oleh itu sangat bertele-tele.
Fikhtengolts G. M. Kursus dalam kalkulus pembezaan dan kamiran (dalam tiga jilid) dan buku masalah.
Demidovich B.P. Pengumpulan masalah dan latihan dalam analisis matematik.
Lyashko I. I. dan lain-lain. Manual rujukan untuk matematik yang lebih tinggi, jilid 1-5.

Sesetengah universiti mempunyai garis panduan mereka sendiri untuk analisis:

Universiti Negeri Moscow, MehMat:

Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N. Kuliah Matematik. analisis.
Zorich V. A. Analisis matematik. Bahagian I. M.: Nauka, 1981. 544 hlm.
Zorich V. A. Analisis matematik. Bahagian II. M.: Nauka, 1984. 640 hlm.
Kamynin L.I. Kursus analisis matematik (dalam dua jilid). Moscow: Moscow University Press, 2001.

V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichiy, Bl. H. Sendov. Analisis Matematik / Ed.

Pelajar mesti:

tahu:

takrifan had fungsi pada satu titik;

sifat had fungsi pada satu titik;

Formula had yang luar biasa;

penentuan kesinambungan fungsi pada satu titik,

sifat fungsi berterusan;

takrif terbitan, makna geometri dan fizikalnya; derivatif jadual, peraturan pembezaan;

peraturan untuk mengira terbitan bagi fungsi kompleks; takrifan pembezaan fungsi, sifatnya; takrif derivatif dan pembezaan susunan yang lebih tinggi; penentuan fungsi ekstrem, fungsi cembung, titik infleksi, asimtot;

takrif kamiran tak tentu, sifatnya, kamiran jadual;

· formula untuk pengamiran melalui perubahan pembolehubah dan mengikut bahagian untuk kamiran tak tentu;

takrif kamiran pasti, sifatnya, formula asas kalkulus kamiran - formula Newton-Leibniz;

· formula untuk pengamiran melalui perubahan pembolehubah dan mengikut bahagian untuk kamiran pasti;

· makna geometri kamiran pasti, aplikasi kamiran pasti.

mampu untuk:

Kira had jujukan dan fungsi; mendedahkan ketidakpastian;

· mengira terbitan bagi fungsi kompleks, terbitan dan pembezaan tertib yang lebih tinggi;

cari extremum dan titik infleksi fungsi;

· menjalankan kajian fungsi dengan bantuan derivatif dan membina grafnya.

Kira kamiran tak tentu dan kamiran pasti dengan kaedah perubahan pembolehubah dan mengikut bahagian;

· menyepadukan rasional, tidak rasional dan beberapa fungsi trigonometri, gunakan penggantian universal; gunakan kamiran pasti untuk mencari luas rajah satah.

Had fungsi. Sifat had fungsi. Had unilateral. Had jumlah, hasil darab dan hasil bagi dua fungsi. Fungsi berterusan, sifatnya. Kesinambungan fungsi asas dan kompleks. Had yang luar biasa.

Takrif terbitan bagi fungsi. Terbitan bagi fungsi asas asas. Kebolehbezaan fungsi. Pembezaan fungsi. Terbitan fungsi kompleks. Peraturan pembezaan: terbitan hasil tambah, hasil dan hasil bagi. Derivatif dan pembezaan pesanan yang lebih tinggi. Pendedahan ketidakpastian. Meningkatkan dan mengurangkan fungsi, syarat untuk meningkat dan menurun. Extrema of functions, syarat yang diperlukan untuk kewujudan extremum. Mencari ekstrema menggunakan terbitan pertama. Fungsi cembung. Titik infleksi. Asimtot. Kajian fungsi penuh.

Kamiran tak tentu, sifatnya. Jadual kamiran asas. Perubahan kaedah pembolehubah. Integrasi mengikut bahagian. Integrasi fungsi rasional. Penyepaduan beberapa fungsi tidak rasional. Penggantian sejagat.

Kamiran pasti, sifat-sifatnya. Formula asas kalkulus kamiran. Kamiran melalui perubahan pembolehubah dan bahagian dalam kamiran pasti. Aplikasi kamiran pasti.

KALKULUS DIFFERENTIAL, cabang analisis matematik yang mengkaji derivatif, pembezaan dan aplikasinya dalam kajian fungsi. Kalkulus pembezaan berkembang sebagai disiplin bebas pada separuh ke-2 abad ke-17 di bawah pengaruh karya I. Newton dan G. W. Leibniz, di mana mereka merumuskan peruntukan utama kalkulus pembezaan dan mencatat sifat saling songsang antara pembezaan dan penyepaduan. Sejak masa itu, kalkulus pembezaan telah berkembang berhubung rapat dengan kalkulus kamiran, membentuk dengannya bahagian utama analisis matematik (atau analisis infinitesimal). Penciptaan kalkulus pembezaan dan kamiran membuka era baharu dalam perkembangan matematik, membawa kepada kemunculan beberapa disiplin matematik baharu (teori siri, teori persamaan pembezaan, geometri pembezaan, kalkulus variasi, analisis fungsi) dan meluaskan dengan ketara kemungkinan mengaplikasikan matematik kepada soalan sains semula jadi dan teknologi.

Kalkulus pembezaan adalah berdasarkan konsep asas seperti nombor nyata, fungsi, had, kesinambungan. Konsep-konsep ini mengambil bentuk moden dalam perjalanan pembangunan kalkulus pembezaan dan kamiran. Idea dan konsep utama kalkulus pembezaan dikaitkan dengan kajian fungsi dalam kecil, iaitu, dalam kejiranan kecil titik individu, yang memerlukan penciptaan radas matematik untuk mengkaji fungsi yang tingkah lakunya dalam kejiranan yang cukup kecil bagi setiap titik domain definisi mereka hampir dengan tingkah laku fungsi linear atau polinomial. Radas ini adalah berdasarkan konsep terbitan dan pembezaan. Konsep terbitan timbul berkaitan dengan sejumlah besar masalah yang berbeza dalam sains semula jadi dan matematik, yang membawa kepada pengiraan had jenis yang sama. Tugas yang paling penting ialah penentuan kelajuan pergerakan titik bahan sepanjang garis lurus dan pembinaan tangen kepada lengkung. Konsep pembezaan adalah berkaitan dengan kemungkinan menghampiri fungsi dalam kejiranan kecil titik yang dipertimbangkan oleh fungsi linear. Berbeza dengan konsep terbitan bagi fungsi pembolehubah sebenar, konsep pembezaan boleh dipindahkan dengan mudah kepada fungsi yang bersifat lebih umum, termasuk pemetaan dari satu ruang Euclidean ke ruang lain, pemetaan ruang Banach ke ruang Banach yang lain, dan berfungsi sebagai salah satu konsep asas analisis fungsian.

Derivatif. Biarkan titik bahan bergerak di sepanjang paksi Oy, dan x menandakan masa yang dikira dari beberapa saat awal. Perihalan pergerakan ini diberikan oleh fungsi y = f(x), yang memberikan kepada setiap saat masa x koordinat y bagi titik bergerak. Fungsi ini dalam mekanik dipanggil undang-undang gerakan. Ciri penting pergerakan (terutama jika ia tidak sekata) ialah kelajuan titik bergerak pada setiap saat masa x (kelajuan ini juga dipanggil kelajuan serta-merta). Jika titik bergerak di sepanjang paksi Oy mengikut hukum y \u003d f (x), maka pada masa sewenang-wenangnya x ia mempunyai koordinat f (x), dan pada masa x + Δx - koordinat f (x + Δx). ), dengan Δx ialah pertambahan masa . Nombor Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), dipanggil kenaikan fungsi, ialah laluan yang dilalui oleh titik bergerak dalam masa dari x ke x + Δx. Sikap

dipanggil nisbah perbezaan, ialah kelajuan purata titik dalam selang masa dari x ke x + Δx. Kelajuan serta-merta (atau ringkasnya kelajuan) bagi titik bergerak pada masa x ialah had di mana kelajuan purata (1) cenderung apabila selang masa Δx cenderung kepada sifar, iaitu had (2)

Konsep halaju serta-merta membawa kepada konsep terbitan. Terbitan bagi fungsi arbitrari y \u003d f (x) pada titik tetap x tertentu dipanggil had (2) (dengan syarat had ini wujud). Terbitan bagi fungsi y \u003d f (x) pada titik x tertentu dilambangkan dengan salah satu simbol f '(x), y ', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Operasi mencari terbitan (atau peralihan daripada fungsi kepada terbitannya) dipanggil pembezaan.

Masalah membina tangen kepada lengkung satah, yang ditakrifkan dalam sistem koordinat Cartesian Oxy oleh persamaan y \u003d f (x), pada satu titik M (x, y) (Rajah) juga membawa kepada had (2) . Setelah memberikan kenaikan Δx kepada hujah x dan mengambil titik M' dengan koordinat (x + Δx, f(x) + Δx) pada lengkung), tentukan tangen pada titik M sebagai kedudukan had bagi sekan MM' kerana titik M' cenderung kepada M (iaitu, kerana Δx cenderung kepada sifar). Oleh kerana titik M yang melalui tangen diberikan, pembinaan tangen dikurangkan untuk menentukan kecerunannya (iaitu, tangen sudut condongnya kepada paksi Lembu). Melukis garis lurus MR selari dengan paksi Lembu, diperoleh bahawa kecerunan MM' sekan adalah sama dengan nisbah

Dalam had pada Δx → 0, kecerunan sekan bertukar menjadi cerun tangen, yang ternyata sama dengan had (2), iaitu terbitan f’(x).

Beberapa masalah sains semula jadi lain juga membawa kepada konsep terbitan. Sebagai contoh, kekuatan arus dalam konduktor ditakrifkan sebagai had lim Δt→0 Δq/Δt, di mana Δq ialah cas elektrik positif yang dipindahkan melalui keratan rentas konduktor dalam masa Δt, kadar tindak balas kimia ditakrifkan sebagai lim Δt→0 ΔQ/Δt, dengan ΔQ ialah perubahan dalam amaun jirim pada masa Δt dan, secara amnya, terbitan bagi beberapa kuantiti fizik berkenaan dengan masa ialah kadar perubahan kuantiti ini.

Jika fungsi y \u003d f (x) ditakrifkan pada kedua-dua titik x itu sendiri dan dalam beberapa kejiranannya, dan mempunyai terbitan pada titik x, maka fungsi ini berterusan pada titik x. Contoh fungsi y \u003d |x|, yang ditakrifkan dalam mana-mana kejiranan titik x \u003d 0, berterusan pada titik ini, tetapi tidak mempunyai terbitan pada x \u003d 0, menunjukkan bahawa kewujudan fungsi pada titik ini , secara amnya, tidak mengikuti dari kesinambungan fungsi pada derivatif titik ini. Selain itu, terdapat fungsi yang berterusan pada setiap titik domain definisi mereka, tetapi tidak mempunyai derivatif pada mana-mana titik domain ini.

Dalam kes apabila fungsi y \u003d f (x) ditakrifkan hanya di sebelah kanan atau hanya di sebelah kiri titik x (contohnya, apabila x ialah titik sempadan segmen di mana fungsi ini diberikan), konsep terbitan kanan dan kiri bagi fungsi y \u003d f (x) diperkenalkan pada titik x. Terbitan kanan bagi fungsi y \u003d f (x) pada titik x ditakrifkan sebagai had (2) dengan syarat Δx cenderung kepada sifar, kekal positif, dan terbitan kiri ditakrifkan sebagai had (2) dengan syarat Δx cenderung kepada sifar, kekal negatif . Fungsi y \u003d f (x) mempunyai derivatif pada titik x jika dan hanya jika ia mempunyai derivatif kanan dan kiri yang sama antara satu sama lain pada titik ini. Fungsi di atas y = |x| mempunyai terbitan kanan sama dengan 1 pada titik x = 0 dan terbitan kiri sama dengan -1, dan kerana terbitan kanan dan kiri tidak sama antara satu sama lain, fungsi ini tidak mempunyai terbitan pada titik x = 0. Dalam kelas fungsi yang mempunyai terbitan, pembezaan operasi adalah linear, iaitu (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), dan (αf(x))' = αf '(x) untuk sebarang nombor a. Di samping itu, peraturan pembezaan berikut berlaku:

Derivatif beberapa fungsi asas ialah:

α - sebarang nombor, x > 0;

n = 0, ±1, ±2,

Terbitan mana-mana fungsi asas sekali lagi adalah fungsi asas.

Jika terbitan f'(x), pula, mempunyai terbitan pada titik x tertentu, maka terbitan bagi fungsi f'(x) dipanggil terbitan kedua bagi fungsi y = f(x) pada titik x dan dilambangkan dengan salah satu simbol f''(x ), y'', ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x).

Untuk titik material yang bergerak di sepanjang paksi Oy mengikut hukum y \u003d f (x), terbitan kedua ialah pecutan titik ini pada masa x. Terbitan bagi sebarang susunan integer n ditakrifkan secara serupa, dilambangkan dengan simbol f (n) (x), y (n) , d (n) f/dx (n) , d (n) y/dx (n) , D (n) f (x).

Berbeza. Fungsi y \u003d f (x), domain yang mengandungi beberapa kejiranan titik x, dipanggil boleh dibezakan pada titik x jika kenaikannya pada titik ini, sepadan dengan kenaikan argumen Δx, iaitu nilai Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) boleh diwakili dalam bentuk dan dilambangkan dengan simbol dy atau df(x). Secara geometri, untuk nilai tetap x dan kenaikan Δx yang berubah, pembezaan ialah kenaikan dalam ordinat tangen, iaitu segmen PM "(Rajah). Dy pembezaan ialah fungsi kedua-dua titik x dan titik kenaikan Δx. Pembezaan dipanggil bahagian linear utama bagi kenaikan fungsi, kerana apabila nilai tetap x magnitud dy ialah fungsi linear Δх, dan perbezaan Δу - dy adalah sangat kecil berkenaan dengan Δх sebagai Δх → 0. Untuk fungsi f(х) = x, mengikut takrifan, dx = Δх, iaitu pembezaan bagi pembolehubah bebas dx bertepatan dengan kenaikannya Δх. Ini membolehkan ungkapan untuk pembezaan ditulis semula sebagai dy=Adx.

Untuk fungsi satu pembolehubah, konsep pembezaan berkait rapat dengan konsep terbitan: agar fungsi y \u003d f (x) mempunyai pembezaan pada titik x, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia mempunyai terbitan terhingga f '(x) pada ketika ini, manakala kesamaan dy = f'(x)dx. Maksud visual pernyataan ini ialah tangen kepada lengkung y \u003d f (x) pada titik dengan absis x bukan sahaja kedudukan mengehadkan sekan, tetapi juga garis lurus, yang dalam kejiranan yang sangat kecil titik x bersebelahan dengan lengkung y \u003d f (x ) lebih dekat daripada garis lurus lain. Oleh itu, sentiasa A(x) = f'(x) dan tatatanda dy/dx boleh difahami bukan sahaja sebagai tatatanda untuk terbitan f'(x), tetapi juga sebagai nisbah pembezaan fungsi dan hujah. . Berdasarkan kesamaan dy = f'(x)dx, peraturan untuk mencari pembezaan mengikut terus daripada peraturan yang sepadan untuk derivatif. Perbezaan pesanan kedua dan lebih tinggi juga dipertimbangkan.

Aplikasi. Kalkulus pembezaan mewujudkan hubungan antara sifat-sifat fungsi f(x) dan terbitannya (atau pembezaannya), yang merupakan kandungan teorem utama kalkulus pembezaan. Teorem ini termasuk penegasan bahawa semua titik ekstrem bagi fungsi boleh beza f(x) yang terletak di dalam domain takrifnya adalah antara punca persamaan f'(x) = 0, dan formula kenaikan terhingga yang kerap digunakan (formula Lagrange) f (b ) - f(a) = f'(ξ)(b - a), di mana a<ξ0 memerlukan peningkatan yang ketat dalam fungsi, dan syarat f '' (x)\u003e 0 - kecembungannya yang ketat. Di samping itu, kalkulus pembezaan membolehkan seseorang mengira pelbagai jenis had fungsi, khususnya had nisbah dua fungsi, yang merupakan ketidakpastian dalam bentuk 0/0 atau dalam bentuk ∞/∞ (lihat Pendedahan ketidakpastian) . Kalkulus pembezaan amat sesuai untuk mengkaji fungsi asas yang terbitannya ditulis secara eksplisit.

Kalkulus pembezaan fungsi beberapa pembolehubah. Kaedah kalkulus pembezaan digunakan untuk mengkaji fungsi beberapa pembolehubah. Untuk fungsi dua pembolehubah u = f(x, y), terbitan separanya berkenaan dengan x pada titik M(x, y) ialah terbitan bagi fungsi ini berkenaan dengan x untuk y tetap, ditakrifkan sebagai

dan dilambangkan dengan salah satu simbol f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x atau ∂f(x,y)'/∂x. Terbitan separa bagi fungsi u = f(x,y) berkenaan dengan y ditakrifkan dan dilambangkan dengan cara yang serupa. Nilai Δu \u003d f (x + Δx, y + Δy) - f (x, y) dipanggil jumlah kenaikan fungsi dan pada titik M (x, y). Jika nilai ini boleh diwakili sebagai

di mana A dan B tidak bergantung pada Δх dan Δу, dan α cenderung kepada sifar pada

maka fungsi u = f(x, y) dipanggil boleh dibezakan pada titik M(x, y). Jumlah AΔx + BΔy dipanggil jumlah pembezaan bagi fungsi u = f(x, y) pada titik M(x, y) dan dilambangkan dengan simbol du. Oleh kerana A \u003d f’x (x, y), B \u003d f’y (x, y), dan kenaikan Δx dan Δy boleh diambil sama dengan perbezaannya dx dan dy, jumlah perbezaan du boleh ditulis sebagai

Secara geometri, kebolehbezaan fungsi dua pembolehubah u = f(x, y) pada titik tertentu M (x, y) bermakna grafnya wujud pada titik satah tangen ini, dan pembezaan fungsi ini ialah kenaikan. penggunaan titik satah tangen sepadan dengan kenaikan dx dan dy pembolehubah tidak bersandar. Untuk fungsi dua pembolehubah, konsep pembezaan adalah lebih penting dan semula jadi daripada konsep terbitan separa. Berbeza dengan fungsi satu pembolehubah, untuk fungsi dua pembolehubah u = f(x, y) boleh dibezakan pada titik tertentu M(x, y), adalah tidak memadai bahawa derivatif separa terhingga f'x( x, y) dan f' y(x, y). Keadaan yang perlu dan mencukupi untuk fungsi u = f(x, y) boleh dibezakan pada titik M(x, y) ialah kewujudan terbitan separa terhingga f'x(x, y) dan f'y(x, y) dan cenderung kepada sifar pada

kuantiti

Pengangka kuantiti ini diperoleh dengan terlebih dahulu mengambil kenaikan fungsi f(x, y), sepadan dengan kenaikan Δx hujah pertamanya, dan kemudian mengambil kenaikan perbezaan yang terhasil f(x + Δx, y) - f(x, y), sepadan dengan kenaikan Δy argumen kedua. Keadaan yang cukup mudah untuk kebolehbezaan fungsi u = f(x, y) pada titik M(x, y) ialah kewujudan terbitan separa berterusan f'x(x, y) dan f'y(x, y) ) pada ketika ini.

Terbitan separa bagi pesanan yang lebih tinggi ditakrifkan sama. Derivatif separa ∂ 2 f/∂х 2 dan ∂ 2 f/∂у 2 , di mana kedua-dua pembezaan dijalankan dalam satu pembolehubah, dipanggil tulen, dan terbitan separa ∂ 2 f/∂х∂у dan ∂ 2 f/∂ у∂х - bercampur. Pada setiap titik di mana kedua-dua terbitan separa campuran adalah selanjar, ia adalah sama antara satu sama lain. Takrifan dan tatatanda ini membawa kepada kes bilangan pembolehubah yang lebih besar.

Garis besar sejarah. Masalah berasingan untuk menentukan tangen kepada lengkung dan mencari nilai maksimum dan minimum pembolehubah telah diselesaikan oleh ahli matematik Yunani Purba. Sebagai contoh, cara ditemui untuk membina tangen kepada bahagian kon dan beberapa lengkung lain. Walau bagaimanapun, kaedah yang dibangunkan oleh ahli matematik purba adalah jauh daripada idea kalkulus pembezaan dan hanya boleh digunakan dalam kes yang sangat istimewa. Menjelang pertengahan abad ke-17, menjadi jelas bahawa banyak masalah yang disebutkan, bersama-sama dengan yang lain (contohnya, masalah menentukan kelajuan serta-merta) boleh diselesaikan menggunakan radas matematik yang sama, menggunakan derivatif dan pembezaan. Sekitar tahun 1666, I. Newton membangunkan kaedah fluks (lihat kalkulus fluks). Newton mempertimbangkan, khususnya, dua masalah mekanik: masalah menentukan kelajuan gerakan serta-merta daripada pergantungan laluan yang diketahui pada masa, dan masalah menentukan laluan yang dilalui dalam masa tertentu dari kelajuan serta-merta yang diketahui. Newton memanggil fungsi berterusan masa fasih, dan kadar perubahannya - turun naik. Oleh itu, konsep utama Newton ialah terbitan (fluksi) dan tak tentu integral(fasih). Dia cuba menyokong kaedah fluxions dengan bantuan teori had, yang pada masa itu kurang berkembang.

Pada pertengahan 1670-an, G. W. Leibniz membangunkan algoritma yang mudah untuk kalkulus pembezaan. Konsep asas Leibniz ialah pembezaan sebagai kenaikan tak terhingga bagi fungsi dan kamiran pasti sebagai hasil tambah bilangan pembezaan yang tidak terhingga besar. Beliau memperkenalkan tatatanda pembezaan dan kamiran, istilah "kalkulus pembezaan", menerima beberapa peraturan untuk pembezaan, dan mencadangkan simbolisme yang mudah. Perkembangan selanjutnya kalkulus pembezaan pada abad ke-17 diteruskan terutamanya di sepanjang laluan yang digariskan oleh Leibniz; karya J. dan I. Bernoulli, B. Taylor, dan lain-lain memainkan peranan penting pada peringkat ini.

Peringkat seterusnya dalam pembangunan kalkulus pembezaan dikaitkan dengan karya L. Euler dan J. Lagrange (abad ke-18). Euler mula-mula mula membentangkan kalkulus pembezaan sebagai disiplin analitikal, bebas daripada geometri dan mekanik. Beliau sekali lagi menggunakan derivatif sebagai konsep asas kalkulus pembezaan. Lagrange cuba membina kalkulus pembezaan secara algebra, menggunakan pengembangan fungsi ke dalam siri kuasa; beliau memperkenalkan istilah "derivatif" dan sebutan y' dan f'(x). Pada permulaan abad ke-19, masalah membuktikan kalkulus pembezaan berdasarkan teori had pada asasnya diselesaikan, terutamanya terima kasih kepada karya O. Cauchy, B. Bolzano dan C. Gauss. Dalam analisis konsep awal kalkulus pembezaan dikaitkan dengan perkembangan teori set dan teori fungsi pembolehubah nyata pada akhir abad ke-19 - awal abad ke-20.

Lit.: Sejarah matematik: Dalam 3 jilid M., 1970-1972; Rybnikov K. A. Sejarah matematik. ed ke-2. M., 1974; Nikolsky S. M. Kursus analisis matematik. ed ke-6. M., 2001: Zorich V. A. Analisis matematik: Dalam bahagian ke-2 edisi ke-4. M., 2002; Kudryavtsev L.D. Kursus analisis matematik: Dalam 3 jilid, ed ke-5. M., 2003-2006; Fikhtengol'ts G. M. Kursus kalkulus pembezaan dan kamiran: Dalam 3 jilid. 8th ed. M., 2003-2006; Ilyin V. A., Poznyak E. G. Asas Analisis Matematik. ed ke-7 M., 2004. Bahagian 1. 5th ed. M., 2004. Bahagian 2; Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov Bl. X. Analisis matematik. ed ke-3. M., 2004. Bahagian 1. 2nd ed. M., 2004. Bahagian 2; Ilyin V. A., Kurkina L. V. Matematik Tinggi. ed ke-2. M., 2005.

Kalkulus ialah cabang kalkulus yang mengkaji terbitan, pembezaan, dan penggunaannya dalam kajian sesuatu fungsi.

Sejarah penampilan

Kalkulus pembezaan muncul sebagai disiplin bebas pada separuh kedua abad ke-17, terima kasih kepada kerja Newton dan Leibniz, yang merumuskan peruntukan asas dalam kalkulus pembezaan dan melihat hubungan antara penyepaduan dan pembezaan. Sejak saat itu, disiplin telah berkembang bersama-sama dengan kalkulus kamiran, lantas membentuk asas analisis matematik. Kemunculan kalkulus ini membuka zaman moden baru dalam dunia matematik dan menyebabkan kemunculan disiplin baru dalam sains. Ia juga memperluaskan kemungkinan mengaplikasikan sains matematik dalam sains semula jadi dan teknologi.

Konsep asas

Kalkulus pembezaan adalah berdasarkan konsep asas matematik. Ia adalah: kesinambungan, fungsi dan had. Selepas beberapa ketika, mereka mengambil rupa moden, terima kasih kepada kalkulus integral dan pembezaan.

Proses penciptaan

Pembentukan kalkulus pembezaan dalam bentuk aplikasi, dan kemudian kaedah saintifik berlaku sebelum kemunculan teori falsafah, yang dicipta oleh Nicholas dari Cusa. Karya-karyanya dianggap sebagai perkembangan evolusi dari pertimbangan sains kuno. Walaupun hakikat bahawa ahli falsafah itu sendiri bukanlah seorang ahli matematik, sumbangannya kepada pembangunan sains matematik tidak dapat dinafikan. Kuzansky adalah salah seorang yang pertama meninggalkan pertimbangan aritmetik sebagai bidang sains yang paling tepat, meletakkan matematik pada masa itu dalam keraguan.

Bagi ahli matematik purba, unit itu adalah kriteria universal, manakala ahli falsafah mencadangkan infiniti sebagai ukuran baharu dan bukannya nombor tepat. Dalam hal ini, perwakilan ketepatan dalam sains matematik adalah songsang. Ilmu saintifik, menurut beliau, terbahagi kepada rasional dan intelek. Yang kedua adalah lebih tepat, menurut saintis, kerana yang pertama hanya memberikan hasil anggaran.

Idea

Idea dan konsep utama dalam kalkulus pembezaan adalah berkaitan dengan fungsi dalam kejiranan kecil titik tertentu. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mencipta alat matematik untuk mengkaji fungsi yang tingkah lakunya dalam kejiranan kecil titik yang ditetapkan adalah dekat dengan tingkah laku polinomial atau fungsi linear. Ini berdasarkan definisi derivatif dan pembezaan.

Penampilan itu disebabkan oleh sejumlah besar masalah dari sains semula jadi dan matematik, yang membawa kepada mencari nilai-nilai had jenis yang sama.

Salah satu tugas utama yang diberikan sebagai contoh, bermula dari sekolah menengah, adalah untuk menentukan kelajuan pergerakan titik sepanjang garis lurus dan membina garis tangen ke lengkung ini. Pembezaan berkaitan dengan ini, kerana adalah mungkin untuk menganggarkan fungsi dalam kejiranan kecil titik yang dipertimbangkan fungsi linear.

Berbanding dengan konsep terbitan bagi fungsi pembolehubah sebenar, takrifan pembezaan hanya beralih kepada fungsi yang bersifat umum, khususnya, kepada perwakilan satu ruang Euclidean kepada yang lain.

Derivatif

Biarkan titik bergerak ke arah paksi Oy, untuk masa yang kita ambil x, yang dikira dari permulaan masa tertentu. Pergerakan sedemikian boleh diterangkan oleh fungsi y=f(x), yang ditugaskan kepada setiap masa x bagi koordinat titik yang digerakkan. Dalam mekanik, fungsi ini dipanggil undang-undang gerakan. Ciri utama pergerakan, terutamanya tidak sekata, ialah Apabila titik bergerak di sepanjang paksi Oy mengikut hukum mekanik, maka pada momen masa rawak x ia memperoleh koordinat f (x). Pada masa x + Δx, di mana Δx menandakan pertambahan masa, koordinatnya ialah f(x + Δx). Ini adalah bagaimana formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) terbentuk, yang dipanggil kenaikan fungsi. Ia mewakili laluan yang dilalui oleh titik dalam masa dari x ke x + Δx.

Sehubungan dengan berlakunya kelajuan ini pada masa ini, terbitan diperkenalkan. Dalam fungsi arbitrari, terbitan pada titik tetap dipanggil had (dengan syarat ia wujud). Ia boleh ditetapkan dengan simbol tertentu:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Proses pengiraan derivatif dipanggil pembezaan.

Kalkulus pembezaan fungsi beberapa pembolehubah

Kaedah kalkulus ini digunakan dalam kajian fungsi dengan beberapa pembolehubah. Dengan adanya dua pembolehubah x dan y, terbitan separa berkenaan dengan x pada titik A dipanggil terbitan bagi fungsi ini berkenaan dengan x dengan y tetap.

Ia boleh diwakili oleh simbol berikut:

f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x atau ∂f(x,y)'/∂x.

Kemahiran yang Diperlukan

Untuk berjaya belajar dan dapat menyelesaikan diffuses, kemahiran dalam integrasi dan pembezaan diperlukan. Untuk menjadikannya lebih mudah untuk memahami persamaan pembezaan, anda harus mempunyai pemahaman yang baik tentang topik terbitan dan Ia juga tidak menyakitkan untuk mempelajari cara mencari terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat. Ini disebabkan oleh fakta bahawa dalam proses pembelajaran selalunya perlu menggunakan kamiran dan pembezaan.

Jenis persamaan pembezaan

Dalam hampir semua ujian yang berkaitan dengan terdapat 3 jenis persamaan: homogen, dengan pembolehubah boleh dipisahkan, linear tidak homogen.

Terdapat juga jenis persamaan yang lebih jarang: dengan jumlah pembezaan, persamaan Bernoulli, dan lain-lain.

Asas Penyelesaian

Mula-mula anda perlu mengingati persamaan algebra dari kursus sekolah. Ia mengandungi pembolehubah dan nombor. Untuk menyelesaikan persamaan biasa, anda perlu mencari set nombor yang memenuhi syarat tertentu. Sebagai peraturan, persamaan sedemikian mempunyai satu punca, dan untuk memeriksa ketepatan, seseorang hanya perlu menggantikan nilai ini untuk yang tidak diketahui.

Persamaan pembezaan adalah serupa dengan ini. Secara umum, persamaan tertib pertama tersebut termasuk:

pembolehubah bebas.
Terbitan bagi fungsi pertama.
fungsi atau pembolehubah bersandar.

Dalam sesetengah kes, salah satu daripada yang tidak diketahui, x atau y, mungkin hilang, tetapi ini tidak begitu penting, kerana kehadiran terbitan pertama, tanpa terbitan tertib lebih tinggi, adalah perlu untuk penyelesaian dan kalkulus pembezaan menjadi betul.

Untuk menyelesaikan persamaan pembezaan bermakna mencari set semua fungsi yang sesuai dengan ungkapan yang diberikan. Set fungsi sedemikian sering dipanggil penyelesaian umum persamaan pembezaan.

kalkulus kamiran

Kalkulus kamiran merupakan salah satu cabang analisis matematik yang mengkaji konsep kamiran, sifat dan kaedah untuk pengiraannya.

Selalunya, pengiraan kamiran berlaku apabila mengira luas angka lengkung. Kawasan ini bermaksud had di mana luas poligon yang ditulis dalam rajah tertentu cenderung dengan peningkatan beransur-ansur di sisinya, manakala sisi ini boleh kurang daripada mana-mana nilai kecil sewenang-wenang yang ditentukan sebelumnya.

Idea utama dalam mengira luas rajah geometri sewenang-wenangnya adalah untuk mengira luas segi empat tepat, iaitu, untuk membuktikan bahawa luasnya adalah sama dengan hasil darab panjang dan lebar. Apabila ia datang kepada geometri, semua pembinaan dibuat menggunakan pembaris dan kompas, dan kemudian nisbah panjang kepada lebar adalah nilai rasional. Apabila mengira luas segi tiga tepat, anda boleh menentukan bahawa jika anda meletakkan segitiga yang sama di sebelahnya, maka segi empat tepat terbentuk. Dalam segi empat selari, kawasan dikira dengan kaedah yang serupa, tetapi lebih rumit, melalui segi empat tepat dan segi tiga. Dalam poligon, luas dikira melalui segi tiga yang disertakan di dalamnya.

Apabila menentukan belas kasihan lengkung sewenang-wenangnya, kaedah ini tidak akan berfungsi. Jika anda memecahkannya menjadi petak tunggal, maka akan ada tempat yang tidak terisi. Dalam kes ini, seseorang cuba menggunakan dua penutup, dengan segi empat tepat di atas dan bawah, akibatnya, ia termasuk graf fungsi dan tidak. Kaedah pembahagian kepada segi empat tepat ini kekal penting di sini. Juga, jika kita mengambil bahagian yang semakin berkurangan, maka kawasan di atas dan di bawah mesti menumpu pada nilai tertentu.

Anda harus kembali kepada kaedah pembahagian kepada segi empat tepat. Terdapat dua kaedah yang popular.

Riemann memformalkan takrif kamiran, yang dicipta oleh Leibniz dan Newton, sebagai luas subgraf. Dalam kes ini, angka telah dipertimbangkan, yang terdiri daripada beberapa segi empat tepat menegak dan diperoleh dengan membahagikan segmen. Apabila, apabila partition berkurangan, terdapat had di mana luas angka yang serupa berkurang, had ini dipanggil kamiran Riemann bagi fungsi pada selang tertentu.

Kaedah kedua ialah pembinaan integral Lebesgue, yang terdiri daripada fakta bahawa untuk tempat membahagikan wilayah yang ditentukan kepada bahagian-bahagian integrasi dan kemudian menyusun jumlah integral daripada nilai-nilai yang diperolehi dalam bahagian-bahagian ini, julat nilainya dibahagikan kepada selang, dan kemudian dijumlahkan dengan ukuran sepadan imej songsang kamiran ini.

Faedah moden

Salah satu manual utama untuk kajian kalkulus pembezaan dan kamiran telah ditulis oleh Fikhtengolts - "Kursus kalkulus pembezaan dan kamiran". Buku teks beliau adalah panduan asas kepada kajian analisis matematik, yang telah melalui banyak edisi dan terjemahan ke dalam bahasa lain. Dicipta untuk pelajar universiti dan telah lama digunakan di banyak institusi pendidikan sebagai salah satu alat bantu belajar utama. Memberi data teori dan kemahiran praktikal. Pertama kali diterbitkan pada tahun 1948.

Algoritma penyelidikan fungsi

Untuk menyiasat fungsi dengan kaedah kalkulus pembezaan, adalah perlu untuk mengikuti algoritma yang telah diberikan:

Cari skop fungsi.
Cari punca bagi persamaan yang diberi.
Kira keterlaluan. Untuk melakukan ini, hitung derivatif dan titik di mana ia sama dengan sifar.
Gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan.

Varieti persamaan pembezaan

DE urutan pertama (jika tidak, kalkulus pembezaan satu pembolehubah) dan jenisnya:

Persamaan pembolehubah dipisahkan: f(y)dy=g(x)dx.
Persamaan termudah, atau kalkulus pembezaan bagi fungsi satu pembolehubah, mempunyai formula: y"=f(x).
DE tak homogen linear bagi susunan pertama: y"+P(x)y=Q(x).
Persamaan pembezaan Bernoulli: y"+P(x)y=Q(x)y a .
Persamaan dengan jumlah pembezaan: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Persamaan pembezaan tertib kedua dan jenisnya:

Persamaan pembezaan homogen linear tertib kedua dengan nilai malar bagi pekali: y n +py"+qy=0 p, q kepunyaan R.
Persamaan pembezaan tak homogen linear tertib kedua dengan nilai malar bagi pekali: y n +py"+qy=f(x).
Persamaan pembezaan homogen linear: y n +p(x)y"+q(x)y=0, dan persamaan tertib kedua tak homogen: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Persamaan pembezaan tertib tinggi dan jenisnya:

Persamaan pembezaan membenarkan tertib yang lebih rendah: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
Persamaan linear tertib yang lebih tinggi adalah homogen: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, dan tidak homogen: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Peringkat menyelesaikan masalah dengan persamaan pembezaan

Dengan bantuan alat kawalan jauh, bukan sahaja soalan matematik atau fizikal dapat diselesaikan, tetapi juga pelbagai masalah dari biologi, ekonomi, sosiologi dan lain-lain. Walaupun pelbagai topik, seseorang harus mematuhi urutan logik tunggal apabila menyelesaikan masalah sedemikian:

Kompilasi DU. Salah satu langkah paling sukar yang memerlukan ketepatan maksimum, kerana sebarang kesilapan akan membawa kepada keputusan yang salah sepenuhnya. Semua faktor yang mempengaruhi proses perlu diambil kira dan syarat awal harus ditentukan. Ia juga harus berdasarkan fakta dan kesimpulan logik.
Penyelesaian persamaan yang dirumuskan. Proses ini lebih mudah daripada titik pertama, kerana ia hanya memerlukan pengiraan matematik yang ketat.
Analisis dan penilaian keputusan yang diperolehi. Penyelesaian yang diperolehi harus dinilai untuk mewujudkan nilai praktikal dan teori hasil.

Contoh penggunaan persamaan pembezaan dalam perubatan

Penggunaan alat kawalan jauh dalam bidang perubatan berlaku apabila membina model matematik epidemiologi. Pada masa yang sama, seseorang tidak boleh lupa bahawa persamaan ini juga terdapat dalam biologi dan kimia, yang hampir dengan perubatan, kerana kajian pelbagai populasi biologi dan proses kimia dalam tubuh manusia memainkan peranan penting di dalamnya.

Dalam contoh wabak di atas, seseorang boleh mempertimbangkan penyebaran jangkitan dalam masyarakat terpencil. Penduduk dibahagikan kepada tiga jenis:

Dijangkiti, nombor x(t), terdiri daripada individu, pembawa jangkitan, setiap satunya adalah berjangkit (tempoh inkubasi adalah pendek).
Spesies kedua termasuk individu yang mudah terdedah y(t) yang boleh dijangkiti melalui sentuhan dengan individu yang dijangkiti.
Spesies ketiga termasuk individu kebal z(t), yang kebal atau telah mati akibat penyakit.

Bilangan individu adalah tetap, mengira kelahiran, kematian semula jadi dan penghijrahan tidak diambil kira. Ia akan berdasarkan dua hipotesis.

Peratusan kejadian pada titik masa tertentu adalah bersamaan dengan x(t)y(t) (berdasarkan andaian bahawa bilangan kes adalah berkadar dengan bilangan persimpangan antara wakil yang sakit dan terdedah, yang dalam anggaran pertama akan menjadi berkadar dengan x(t)y(t)), dalam Oleh itu, bilangan orang yang sakit meningkat, dan bilangan orang yang terdedah berkurangan pada kadar yang dikira oleh formula ax(t)y(t) (a > 0 ).

Bilangan individu imun yang telah memperolehi imuniti atau meninggal dunia meningkat pada kadar yang berkadar dengan bilangan orang yang berpenyakit, bx(t) (b > 0).

Akibatnya, adalah mungkin untuk merangka sistem persamaan dengan mengambil kira ketiga-tiga penunjuk dan membuat kesimpulan berdasarkannya.

Contoh penggunaan dalam ekonomi

Kalkulus pembezaan sering digunakan dalam analisis ekonomi. Tugas utama dalam analisis ekonomi ialah kajian kuantiti daripada ekonomi, yang ditulis dalam bentuk fungsi. Ini digunakan apabila menyelesaikan masalah seperti perubahan dalam pendapatan serta-merta selepas kenaikan cukai, pengenalan duti, perubahan dalam hasil syarikat apabila kos pengeluaran berubah, dalam bahagian berapakah pekerja bersara boleh digantikan dengan peralatan baru. Untuk menyelesaikan soalan tersebut, ia diperlukan untuk membina fungsi sambungan daripada pembolehubah input, yang kemudiannya dikaji menggunakan kalkulus pembezaan.

Dalam bidang ekonomi, selalunya perlu untuk mencari petunjuk yang paling optimum: produktiviti buruh maksimum, pendapatan tertinggi, kos terendah, dan sebagainya. Setiap penunjuk tersebut adalah fungsi satu atau lebih argumen. Sebagai contoh, pengeluaran boleh dilihat sebagai fungsi input buruh dan modal. Dalam hal ini, mencari nilai yang sesuai boleh dikurangkan kepada mencari maksimum atau minimum fungsi daripada satu atau lebih pembolehubah.

Masalah seperti ini mewujudkan kelas masalah yang melampau dalam bidang ekonomi, yang penyelesaiannya memerlukan kalkulus pembezaan. Apabila penunjuk ekonomi perlu diminimumkan atau dimaksimumkan sebagai fungsi penunjuk lain, maka pada titik maksimum, nisbah kenaikan fungsi kepada argumen akan cenderung kepada sifar jika kenaikan argumen cenderung kepada sifar. Jika tidak, apabila nisbah sedemikian cenderung kepada beberapa nilai positif atau negatif, titik yang ditentukan tidak sesuai, kerana dengan menambah atau mengurangkan hujah, anda boleh menukar nilai bergantung ke arah yang diperlukan. Dalam terminologi kalkulus pembezaan, ini bermakna syarat yang diperlukan untuk maksimum sesuatu fungsi ialah nilai sifar terbitannya.

Dalam ekonomi, selalunya terdapat tugas untuk mencari ekstrem fungsi dengan beberapa pembolehubah, kerana penunjuk ekonomi terdiri daripada banyak faktor. Soalan sedemikian dipelajari dengan baik dalam teori fungsi beberapa pembolehubah, menggunakan kaedah pengiraan pembezaan. Masalah sedemikian termasuk bukan sahaja fungsi yang dimaksimumkan dan diminimumkan, tetapi juga kekangan. Soalan sedemikian berkaitan dengan pengaturcaraan matematik, dan ia diselesaikan dengan bantuan kaedah yang dibangunkan khas, juga berdasarkan cabang sains ini.

Antara kaedah kalkulus pembezaan yang digunakan dalam ekonomi, bahagian penting ialah analisis marginal. Dalam bidang ekonomi, istilah ini merujuk kepada satu set kaedah untuk mengkaji penunjuk pembolehubah dan keputusan apabila mengubah jumlah penciptaan, penggunaan, berdasarkan analisis penunjuk marginal mereka. Penunjuk had ialah derivatif atau derivatif separa dengan beberapa pembolehubah.

Kalkulus pembezaan beberapa pembolehubah adalah topik penting dalam bidang analisis matematik. Untuk kajian terperinci, anda boleh menggunakan pelbagai buku teks untuk pendidikan tinggi. Salah satu yang paling terkenal telah dicipta oleh Fikhtengolts - "Kursus kalkulus pembezaan dan integral". Seperti namanya, kemahiran dalam bekerja dengan kamiran adalah amat penting untuk menyelesaikan persamaan pembezaan. Apabila kalkulus pembezaan fungsi satu pembolehubah berlaku, penyelesaian menjadi lebih mudah. Walaupun, perlu diperhatikan, ia mematuhi peraturan asas yang sama. Untuk mengkaji fungsi dalam amalan dengan kalkulus pembezaan, sudah cukup untuk mengikuti algoritma sedia ada, yang diberikan di sekolah menengah dan hanya rumit sedikit apabila pembolehubah baru diperkenalkan.