Logaritma panjang. Apakah logaritma? Menyelesaikan logaritma

Apakah logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Apakah logaritma? Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma? Soalan-soalan ini mengelirukan ramai graduan. Secara tradisinya, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat difahami dan menakutkan. Terutamanya persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sudah tentu! Tidak percaya saya? baiklah. Kini, hanya dalam 10 - 20 minit anda:

1. Anda akan faham apa itu logaritma.

2. Belajar untuk menyelesaikan seluruh kelas persamaan eksponen. Walaupun anda tidak pernah mendengar apa-apa tentang mereka.

3. Belajar mengira logaritma mudah.

Selain itu, untuk ini anda hanya perlu mengetahui jadual pendaraban dan cara menaikkan nombor kepada kuasa...

Saya rasa awak ada keraguan... Baik, okey, tandakan masanya! jom pergi!

Pertama, selesaikan persamaan ini di kepala anda:

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Jadual antiderivatif ("integral"). Jadual kamiran. Kamiran tak tentu jadual. (Kamiran dan kamiran termudah dengan parameter). Formula untuk penyepaduan mengikut bahagian. Formula Newton-Leibniz.

Jadual antiderivatif ("integral").
Kamiran tak tentu jadual.	Kamiran tak tentu jadual.
(Amiran dan kamiran termudah dengan parameter).
	Integral bagi fungsi kuasa.
Kamiran yang berkurang kepada kamiran fungsi kuasa jika x didorong di bawah tanda pembezaan.	Kamiran bagi eksponen, dengan a ialah nombor tetap.
Kamiran bagi fungsi eksponen kompleks.	Kamiran bagi fungsi eksponen.
	Kamiran bagi fungsi eksponen.
Kamiran bersamaan dengan logaritma asli.	Kamiran: "Logaritma panjang".
Kamiran bersamaan dengan logaritma asli.
Kamiran: "Logaritma tinggi".	Kamiran, di mana x dalam pengangka diletakkan di bawah tanda pembezaan (pemalar di bawah tanda boleh sama ada ditambah atau dikurangkan), akhirnya serupa dengan kamiran sama dengan logaritma asli.
Kamiran kosinus.	Kamiran sinus.
Kamiran sama dengan tangen.
Kamiran sama dengan kotangen.	Kamiran sama dengan kedua-dua arcsine dan arccosine
Kamiran sama dengan kosekan.	Kamiran sama dengan sekan.
Kamiran sama dengan arcsecant.	Kamiran sama dengan arccosecant.
Kamiran sama dengan arcsecant.	Kamiran sama dengan arcsecant.
Kamiran sama dengan sinus hiperbolik.	Kamiran sama dengan kosinus hiperbolik.
Kamiran sama dengan sinus hiperbolik, di mana sinhx ialah sinus hiperbolik dalam versi bahasa Inggeris.	Kamiran sama dengan kosinus hiperbolik, di mana sinhx ialah sinus hiperbolik dalam versi bahasa Inggeris.
Kamiran sama dengan tangen hiperbolik.	Kamiran sama dengan kotangen hiperbolik.
Kamiran sama dengan sekan hiperbolik.	Kamiran sama dengan kosekan hiperbolik.

Formula untuk penyepaduan mengikut bahagian. Peraturan integrasi.

Formula untuk penyepaduan mengikut bahagian. Formula Newton-Leibniz.
Mengintegrasikan produk (fungsi) dengan pemalar:
Mengintegrasikan jumlah fungsi:
kamiran tak tentu:
Formula untuk penyepaduan mengikut bahagian kamiran pasti:
Formula Newton-Leibniz kamiran pasti:	Di mana F(a),F(b) ialah nilai antiderivatif pada titik b dan a, masing-masing.

Jadual derivatif. Derivatif jadual. Derivatif produk. Terbitan hasil bagi. Terbitan fungsi kompleks.

Jika x ialah pembolehubah bebas, maka:

Jadual derivatif. Derivatif jadual."derivatif jadual" - ​​ya, malangnya, ini adalah cara ia dicari di Internet
	Terbitan fungsi kuasa
	Terbitan bagi eksponen
Terbitan fungsi eksponen kompleks	Terbitan fungsi eksponen
Terbitan bagi fungsi logaritma	Terbitan logaritma semula jadi
	Terbitan logaritma semula jadi bagi suatu fungsi
Terbitan sinus	Terbitan kosinus
Terbitan kosekan	Terbitan bagi sekan
Terbitan arcsine	Terbitan arka kosinus
Terbitan arcsine	Terbitan arka kosinus
Terbitan tangen	Terbitan kotangen
Terbitan arctangent	Terbitan arka cotangen
Terbitan arctangent	Terbitan arka cotangen
Terbitan arcsecant	Terbitan arccosecant
Terbitan arcsecant	Terbitan arccosecant
Terbitan sinus hiperbolik Terbitan sinus hiperbolik dalam versi bahasa Inggeris	Terbitan kosinus hiperbolik Terbitan kosinus hiperbolik dalam versi bahasa Inggeris
Terbitan tangen hiperbolik	Terbitan kotangen hiperbolik
Terbitan bagi sekan hiperbolik	Terbitan kosekan hiperbolik

Peraturan pembezaan. Derivatif produk. Terbitan hasil bagi.
Terbitan fungsi kompleks.
Terbitan hasil (fungsi) oleh pemalar:
Terbitan jumlah (fungsi):
Terbitan produk (fungsi):
Terbitan fungsi kompleks:

Sifat logaritma. Formula asas untuk logaritma. Perpuluhan (lg) dan logaritma asli (ln).

Identiti logaritma asas
Mari tunjukkan bagaimana sebarang fungsi bentuk a b boleh dijadikan eksponen. Oleh kerana fungsi bentuk e x dipanggil eksponen, maka
Mana-mana fungsi bentuk a b boleh diwakili sebagai kuasa sepuluh

Logaritma asli ln (logaritma kepada asas e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

siri Taylor. Peluasan siri Taylor bagi suatu fungsi.

Ternyata majoriti praktikal ditemui fungsi matematik boleh diwakili dengan sebarang ketepatan di sekitar titik tertentu dalam bentuk siri kuasa yang mengandungi kuasa pembolehubah dalam susunan yang semakin meningkat. Sebagai contoh, di sekitar titik x=1:

Apabila menggunakan siri dipanggil barisan Taylor, fungsi campuran yang mengandungi, katakan, algebra, trigonometri dan fungsi eksponen boleh dinyatakan sebagai fungsi algebra semata-mata. Menggunakan siri, anda selalunya boleh melakukan pembezaan dan penyepaduan dengan cepat.

Siri Taylor dalam kejiranan titik a mempunyai bentuk:

1) , dengan f(x) ialah fungsi yang mempunyai terbitan bagi semua pesanan pada x = a. R n - sebutan selebihnya dalam siri Taylor ditentukan oleh ungkapan

2)

Pekali k-th (pada x k) siri ditentukan oleh formula

3) Kes khas siri Taylor ialah siri Maclaurin (=McLaren). (pengembangan berlaku di sekitar titik a=0)

pada a=0

ahli siri ditentukan oleh formula

Syarat untuk menggunakan siri Taylor.

1. Agar fungsi f(x) dikembangkan menjadi siri Taylor pada selang (-R;R), adalah perlu dan mencukupi bahawa sebutan baki dalam formula Taylor (Maclaurin (=McLaren)) untuk ini fungsi cenderung kepada sifar sebagai k →∞ pada selang yang ditentukan (-R;R).

2. Adalah perlu bahawa terdapat derivatif untuk fungsi tertentu pada titik di sekitar yang akan kita bina siri Taylor.

Sifat siri Taylor.

Jika f ialah fungsi analitik, maka siri Taylornya pada mana-mana titik a dalam domain takrifan f menumpu kepada f dalam beberapa kejiranan a.

Terdapat fungsi boleh beza tak terhingga yang siri Taylornya menumpu, tetapi pada masa yang sama berbeza daripada fungsi dalam mana-mana kejiranan a. Contohnya:

Siri Taylor digunakan dalam penghampiran (penghampiran ialah kaedah saintifik yang terdiri daripada menggantikan beberapa objek dengan yang lain, dalam satu pengertian atau yang lain dekat dengan yang asal, tetapi lebih mudah) bagi sesuatu fungsi dengan polinomial. Khususnya, linearisasi ((dari linearis - linear), salah satu kaedah perwakilan anggaran sistem tak linear tertutup, di mana kajian sistem tak linear digantikan dengan analisis sistem linear, dalam erti kata tertentu setara dengan yang asal. .) persamaan berlaku dengan berkembang menjadi siri Taylor dan memotong semua istilah di atas tertib pertama.

Oleh itu, hampir semua fungsi boleh diwakili sebagai polinomial dengan ketepatan yang diberikan.

Contoh beberapa pengembangan biasa fungsi kuasa dalam siri Maclaurin (=McLaren, Taylor di sekitar titik 0) dan Taylor di sekitar titik 1. Sebutan pertama pengembangan fungsi utama dalam siri Taylor dan McLaren.

Contoh beberapa pengembangan biasa fungsi kuasa dalam siri Maclaurin (=McLaren, Taylor di sekitar titik 0)

Contoh beberapa pengembangan siri Taylor biasa di sekitar titik 1

Jadual antiderivatif.

Sifat kamiran tak tentu membolehkan seseorang mencari antiterbitannya menggunakan pembezaan fungsi yang diketahui. Oleh itu, menggunakan persamaan dan Adalah mungkin untuk menyusun jadual antiderivatif daripada jadual derivatif fungsi asas asas.

Biar kami ingatkan anda jadual derivatif, mari kita tulis dalam bentuk pembezaan.

Sebagai contoh, mari kita cari kamiran tak tentu bagi fungsi kuasa.

Menggunakan jadual pembezaan , oleh itu, daripada sifat kamiran tak tentu yang kita ada . sebab tu atau dalam jawatan lain

Mari kita cari set antiterbitan bagi fungsi kuasa untuk p = -1. Kami ada . Kami merujuk kepada jadual pembezaan untuk logaritma asli , oleh itu, . sebab tu .

Saya harap anda faham prinsipnya.

Jadual antiterbitan (kamiran tak tentu).

Formula dari lajur kiri jadual dipanggil antiderivatif asas. Rumus dalam lajur kanan bukanlah asas, tetapi sangat kerap digunakan apabila mencari kamiran tak tentu. Mereka boleh disemak dengan pembezaan.

Penyepaduan langsung.

Pengamiran langsung adalah berdasarkan penggunaan sifat kamiran tak tentu , , peraturan integrasi dan jadual antiderivatif.

Lazimnya, kamiran dan terlebih dahulu perlu diubah sedikit supaya jadual kamiran asas dan sifat kamiran boleh digunakan.

Contoh.

Cari kamiran .

Penyelesaian.

Pekali 3 boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran berdasarkan sifat:

Mari kita ubah fungsi integrand (menggunakan formula trigonometri):

Oleh kerana kamiran hasil tambah adalah sama dengan hasil tambah kamiran, maka

Sudah tiba masanya untuk beralih kepada jadual antiderivatif:

Jawapan:

.

Contoh.

Cari set antiterbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian.

Kami merujuk kepada jadual antiderivatif untuk fungsi eksponen: . iaitu, .

Jika kita menggunakan peraturan integrasi , maka kita mempunyai:

Oleh itu, jadual antiterbitan, bersama-sama dengan sifat dan peraturan kamiran, memungkinkan untuk mencari banyak kamiran tak tentu. Walau bagaimanapun, ia tidak selalu mungkin untuk mengubah fungsi integrand untuk menggunakan jadual antiderivatif.

Sebagai contoh, dalam jadual antiterbitan tiada kamiran bagi fungsi logaritma, arcsin, arccosine, arctangent dan arccotangent, tangen dan fungsi kotangen. Kaedah khas digunakan untuk mencari mereka. Tetapi lebih lanjut mengenai itu dalam bahagian seterusnya: