a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Penyelesaian. sedang mencari penyelesaian umum sistem persamaan

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Kaedah Gauss. Untuk melakukan ini, kami menulis sistem homogen ini dalam koordinat:

Matriks Sistem

Sistem yang dibenarkan mempunyai bentuk: (r A = 2, n= 3). Sistem ini kooperatif dan tidak pasti. Penyelesaian amnya ( x 2 – pembolehubah bebas): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Kehadiran penyelesaian tertentu bukan sifar, sebagai contoh, menunjukkan bahawa vektor a 1 , a 2 , a 3 bergantung secara linear.

Contoh 2.

Ketahui sama ada sistem ini vektor bersandar linear atau bebas linear:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Penyelesaian. Pertimbangkan sistem persamaan homogen a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

atau dalam bentuk dikembangkan (mengikut koordinat)

Sistem ini adalah homogen. Jika ia tidak merosot, maka ia mempunyai penyelesaian yang unik. Dalam kes sistem homogen– penyelesaian sifar (remeh). Ini bermakna dalam kes ini sistem vektor adalah bebas. Jika sistem merosot, maka ia mempunyai penyelesaian bukan sifar dan, oleh itu, ia bergantung.

Kami menyemak sistem untuk degenerasi:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistem ini tidak merosot dan, dengan itu, vektor a 1 , a 2 , a 3 bebas linear.

Tugasan. Ketahui sama ada sistem vektor yang diberi adalah bersandar secara linear atau bebas linear:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Buktikan bahawa sistem vektor akan bergantung secara linear jika ia mengandungi:

a) dua vektor yang sama;

b) dua vektor berkadar.

Tugasan 1. Ketahui sama ada sistem vektor bebas linear. Sistem vektor akan ditentukan oleh matriks sistem, lajur yang terdiri daripada koordinat vektor.

.

Penyelesaian. Biarkan gabungan linear sama dengan sifar. Setelah menulis kesamaan ini dalam koordinat, kami memperoleh sistem persamaan berikut:

.

Sistem persamaan sedemikian dipanggil segi tiga. Dia hanya mempunyai satu penyelesaian . Oleh itu, vektor bebas linear.

Tugasan 2. Ketahui sama ada sistem vektor bebas linear.

.

Penyelesaian. vektor bebas linear (lihat masalah 1). Mari kita buktikan bahawa vektor ialah gabungan linear bagi vektor . Pekali pengembangan vektor ditentukan daripada sistem persamaan

.

Sistem ini, seperti segi tiga, mempunyai penyelesaian yang unik.

Oleh itu, sistem vektor bergantung secara linear.

Komen. Matriks jenis yang sama seperti dalam Masalah 1 dipanggil segi tiga , dan dalam masalah 2 – melangkah segi tiga . Persoalan pergantungan linear sistem vektor mudah diselesaikan jika matriks yang terdiri daripada koordinat vektor ini adalah segi tiga langkah. Jika matriks tidak mempunyai jenis khas, kemudian menggunakan penukaran rentetan asas , mengekalkan hubungan linear antara lajur, ia boleh dikurangkan kepada bentuk segi tiga langkah.

Transformasi asas garisan matriks (EPS) operasi berikut pada matriks dipanggil:

1) penyusunan semula garisan;

2) mendarab rentetan dengan nombor bukan sifar;

3) menambah rentetan lain pada rentetan, didarab dengan nombor arbitrari.

Tugasan 3. Cari subsistem bebas linear maksimum dan hitung pangkat sistem vektor

.

Penyelesaian. Mari kita kurangkan matriks sistem menggunakan EPS kepada bentuk segi tiga langkah. Untuk menerangkan prosedur, kami menandakan garis dengan nombor matriks yang akan diubah oleh simbol . Lajur selepas anak panah menunjukkan tindakan pada baris matriks yang sedang ditukar yang mesti dilakukan untuk mendapatkan baris matriks baharu.

.

Jelas sekali, dua lajur pertama bagi matriks yang terhasil adalah bebas secara linear, lajur ketiga ialah gabungan linearnya, dan lajur keempat tidak bergantung pada dua yang pertama. vektor dipanggil asas. Mereka membentuk subsistem bebas linear maksimum sistem , dan pangkat sistem ialah tiga.

Asas, koordinat

Tugasan 4. Cari asas dan koordinat bagi vektor dalam asas ini pada set vektor geometri, yang koordinatnya memenuhi syarat .

Penyelesaian. Set ialah satah yang melalui asalan. Asas sembarangan pada satah terdiri daripada dua vektor bukan kolinear. Koordinat vektor dalam asas yang dipilih ditentukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linear yang sepadan.

Terdapat satu lagi cara untuk menyelesaikan masalah ini, apabila anda boleh mencari asas menggunakan koordinat.

Koordinat ruang bukan koordinat pada satah, kerana ia berkaitan dengan hubungan , iaitu mereka tidak berdikari. Pembolehubah bebas dan (ia dipanggil bebas) secara unik mentakrifkan vektor pada satah dan, oleh itu, ia boleh dipilih sebagai koordinat dalam . Kemudian asas terdiri daripada vektor yang terletak di dalam dan sepadan dengan set pembolehubah bebas Dan , iaitu .

Tugasan 5. Cari asas dan koordinat bagi vektor dalam asas ini pada set semua vektor dalam ruang yang koordinat ganjilnya adalah sama antara satu sama lain.

Penyelesaian. Marilah kita memilih, seperti dalam masalah sebelumnya, koordinat dalam ruang.

Kerana , kemudian pembolehubah bebas secara unik menentukan vektor dari dan oleh itu koordinat. Asas yang sepadan terdiri daripada vektor.

Tugasan 6. Cari asas dan koordinat bagi vektor dalam asas ini pada set semua matriks bentuk , Di mana – nombor sewenang-wenangnya.

Penyelesaian. Setiap matriks daripada boleh diwakili secara unik dalam bentuk:

Hubungan ini ialah pengembangan vektor dari berkenaan dengan asas
dengan koordinat .

Tugasan 7. Cari dimensi dan asas badan linear sistem vektor

.

Penyelesaian. Menggunakan EPS, kami menukar matriks daripada koordinat vektor sistem kepada bentuk segi tiga langkah.

.

Lajur matriks terakhir adalah bebas linear, dan lajur dinyatakan secara linear melalui mereka. Oleh itu, vektor membentuk asas , Dan .

Komen. Asas dalam dipilih secara samar-samar. Contohnya, vektor juga membentuk asas .

Kebergantungan linear dan kebebasan linear bagi vektor.
Asas vektor. Sistem koordinat Affine

Terdapat troli dengan coklat di auditorium, dan setiap pelawat hari ini akan mendapat pasangan manis - geometri analitik dengan algebra linear. Artikel ini akan merangkumi dua bahagian sekaligus. matematik yang lebih tinggi, dan kita akan melihat cara mereka bergaul dalam satu pembalut. Rehat, makan Twix! ... sial, sungguh mengarut. Walaupun, okay, saya tidak akan skor, akhirnya, anda harus mempunyai sikap positif terhadap belajar.

Kebergantungan linear bagi vektor, kebebasan vektor linear, asas vektor dan istilah lain bukan sahaja mempunyai tafsiran geometri, tetapi, di atas semua, makna algebra. Konsep "vektor" dari sudut pandangan algebra linear tidak selalunya vektor "biasa" yang boleh kita gambarkan pada satah atau di angkasa. Anda tidak perlu melihat jauh untuk mendapatkan bukti, cuba lukis vektor ruang lima dimensi . Atau vektor cuaca, yang saya baru sahaja pergi ke Gismeteo untuk: – suhu dan tekanan atmosfera masing-masing. Contohnya, sudah tentu, tidak betul dari sudut pandangan hartanah ruang vektor, tetapi, bagaimanapun, tiada siapa yang melarang memformalkan parameter ini sebagai vektor. Nafas musim luruh...

Tidak, saya tidak akan membosankan anda dengan teori, ruang vektor linear, tugasnya ialah faham definisi dan teorem. Istilah baharu (bergantung linear, bebas, gabungan linear, asas, dll.) digunakan untuk semua vektor dari sudut pandangan algebra, tetapi contoh geometri akan diberikan. Oleh itu, semuanya mudah, boleh diakses dan jelas. Sebagai tambahan kepada masalah geometri analitik, kami juga akan mempertimbangkan beberapa tugas biasa algebra Untuk menguasai bahan, adalah dinasihatkan untuk membiasakan diri dengan pelajaran Vektor untuk boneka Dan Bagaimana untuk mengira penentu?

Kebergantungan linear dan kebebasan vektor satah.
Dasar satah dan sistem koordinat affine

Mari pertimbangkan satah meja komputer anda (hanya meja, meja sisi katil, lantai, siling, apa sahaja yang anda suka). Tugas itu akan terdiri daripada tindakan berikut:

1) Pilih asas satah. Secara kasarnya, permukaan meja mempunyai panjang dan lebar, jadi adalah intuitif bahawa dua vektor diperlukan untuk membina asas. Satu vektor jelas tidak mencukupi, tiga vektor terlalu banyak.

2) Berdasarkan asas yang dipilih tetapkan sistem koordinat(grid koordinat) untuk menetapkan koordinat kepada semua objek di atas meja.

Jangan terkejut, pada mulanya penjelasan akan di jari. Lebih-lebih lagi, pada anda. Sila letak jari telunjuk kiri di tepi meja supaya dia melihat monitor. Ini akan menjadi vektor. Sekarang letak jari kelingking tangan kanan di pinggir meja dengan cara yang sama - supaya ia diarahkan pada skrin monitor. Ini akan menjadi vektor. Senyum, awak nampak hebat! Apa yang boleh kita katakan tentang vektor? Vektor data kolinear, yang bermaksud linear diungkapkan melalui satu sama lain:
, baik, atau sebaliknya: , di manakah beberapa nombor berbeza daripada sifar.

Anda boleh melihat gambar tindakan ini di dalam kelas. Vektor untuk boneka, di mana saya menerangkan peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor.

Adakah jari anda akan menetapkan asas pada satah meja komputer? Jelas sekali tidak. Vektor kolinear bergerak ke sana ke mari merentasi bersendirian arah, dan satah mempunyai panjang dan lebar.

Vektor sedemikian dipanggil bergantung secara linear.

Rujukan: Perkataan "linear", "linear" menunjukkan fakta bahawa dalam persamaan matematik, ungkapan tidak mengandungi segi empat sama, kubus, kuasa lain, logaritma, sinus, dsb. Terdapat hanya ungkapan linear (darjah 1) dan kebergantungan.

Dua vektor satah bergantung secara linear jika dan hanya jika ia adalah kolinear.

Silangkan jari anda di atas meja supaya terdapat sebarang sudut di antara mereka selain daripada 0 atau 180 darjah. Dua vektor satahlinear tidak bergantung jika dan hanya jika ia bukan kolinear. Jadi, asas diperolehi. Tidak perlu malu bahawa asasnya ternyata "miring" dengan vektor tidak serenjang dengan panjang yang berbeza. Tidak lama lagi kita akan melihat bahawa bukan sahaja sudut 90 darjah sesuai untuk pembinaannya, dan bukan sahaja vektor unit yang sama panjang

mana-mana vektor pesawat satu-satunya cara dikembangkan mengikut asas:
, di manakah nombor nyata. Nombor dipanggil koordinat vektor dalam asas ini.

Dikatakan juga begitu vektordibentangkan sebagai gabungan linear vektor asas. Iaitu, ungkapan itu dipanggil penguraian vektorsecara asas atau gabungan linear vektor asas.

Sebagai contoh, kita boleh mengatakan bahawa vektor diuraikan di sepanjang asas ortonormal satah, atau kita boleh mengatakan bahawa ia diwakili sebagai gabungan linear vektor.

Jom rumuskan definisi asas secara rasmi: Asas kapal terbang dipanggil sepasang vektor bebas linear (bukan kolinear), , manakala mana-mana vektor satah ialah gabungan linear bagi vektor asas.

Perkara penting dalam definisi ialah fakta bahawa vektor diambil dalam susunan tertentu. Pangkalan - ini adalah dua sama sekali asas yang berbeza! Seperti yang mereka katakan, anda tidak boleh menggantikan jari kelingking tangan kiri anda sebagai ganti jari kelingking tangan kanan anda.

Kami telah mengetahui asasnya, tetapi tidak cukup untuk menetapkan grid koordinat dan menetapkan koordinat kepada setiap item di meja komputer anda. Kenapa tak cukup? Vektor adalah percuma dan berkeliaran di seluruh pesawat. Jadi bagaimana anda menetapkan koordinat kepada tempat-tempat kotor kecil di atas meja yang tinggal dari hujung minggu yang liar? Titik permulaan diperlukan. Dan mercu tanda seperti itu adalah titik yang biasa kepada semua orang - asal usul koordinat. Mari kita fahami sistem koordinat:

Saya akan mulakan dengan sistem "sekolah". Sudah dalam pelajaran pengenalan Vektor untuk boneka Saya menyerlahkan beberapa perbezaan antara sistem koordinat segi empat tepat dan asas ortonormal. Inilah gambar standard:

Apabila mereka bercakap tentang sistem koordinat segi empat tepat, maka selalunya ia bermaksud asal usul, paksi koordinat dan skala di sepanjang paksi. Cuba taip "sistem koordinat segi empat tepat" ke dalam enjin carian, dan anda akan melihat bahawa banyak sumber akan memberitahu anda tentang paksi koordinat yang biasa dari gred 5-6 dan cara memplot titik pada satah.

Sebaliknya, nampaknya begitu sistem segi empat tepat koordinat boleh ditentukan sepenuhnya melalui asas ortonormal. Dan itu hampir benar. Lafaznya adalah seperti berikut:

asal usul, Dan ortonormal asas ditetapkan Sistem koordinat satah segi empat tepat Cartesian . Iaitu, sistem koordinat segi empat tepat pasti ditakrifkan oleh satu titik dan dua unit vektor ortogon. Itulah sebabnya anda melihat lukisan yang saya berikan di atas - dalam masalah geometri Selalunya (tetapi tidak selalu) kedua-dua vektor dan paksi koordinat dilukis.

Saya rasa semua orang faham bahawa menggunakan titik (asal) dan asas ortonormal SEBARANG TITIK pada pesawat dan SEBARANG VEKTOR pada pesawat koordinat boleh diberikan. Secara kiasan, "segala sesuatu di dalam pesawat boleh dinomborkan."

Adakah vektor koordinat diperlukan untuk menjadi unit? Tidak, mereka boleh mempunyai panjang bukan sifar sewenang-wenangnya. Pertimbangkan satu titik dan dua vektor ortogon dengan panjang bukan sifar arbitrari:

Asas sedemikian dipanggil ortogon. Asal koordinat dengan vektor ditakrifkan oleh grid koordinat, dan mana-mana titik pada satah, mana-mana vektor mempunyai koordinatnya dalam asas tertentu. Sebagai contoh, atau. Kesulitan yang jelas ialah vektor koordinat V kes am mempunyai panjang yang berbeza selain daripada kesatuan. Jika panjangnya sama dengan kesatuan, maka asas ortonormal biasa diperolehi.

! Nota : dalam asas ortogon, serta di bawah dalam pangkalan afin pada satah dan ruang, unit di sepanjang paksi dianggap BERSYARAT. Sebagai contoh, satu unit di sepanjang paksi-x mengandungi 4 cm, satu unit di sepanjang paksi ordinat mengandungi 2 cm Maklumat ini cukup untuk, jika perlu, menukar koordinat "bukan piawai" kepada "sentimeter biasa kami".

Dan soalan kedua, yang sebenarnya telah dijawab, adakah sudut antara vektor asas mestilah sama dengan 90 darjah? Tidak! Seperti yang dinyatakan dalam definisi, vektor asas mestilah hanya bukan kolinear. Oleh itu, sudut boleh menjadi apa-apa kecuali 0 dan 180 darjah.

Satu titik di kapal terbang dipanggil asal usul, Dan bukan kolinear vektor, , set sistem koordinat satah affine :

Kadangkala sistem koordinat sedemikian dipanggil serong sistem. Sebagai contoh, lukisan menunjukkan titik dan vektor:

Seperti yang anda fahami, sistem koordinat affine juga kurang mudah; formula untuk panjang vektor dan segmen, yang kita bincangkan dalam bahagian kedua pelajaran, tidak berfungsi di dalamnya; Vektor untuk boneka, banyak formula lazat berkaitan dengan hasil darab skalar bagi vektor. Tetapi peraturan untuk menambah vektor dan mendarabkan vektor dengan nombor, formula untuk membahagikan segmen dalam hal ini, serta beberapa jenis masalah lain yang akan kami pertimbangkan tidak lama lagi, adalah sah.

Dan kesimpulannya ialah kes khas yang paling mudah sistem affine koordinat ialah sistem segi empat tepat Cartesan. Itulah sebabnya anda paling kerap perlu berjumpa dengannya, sayangku. ...Walau bagaimanapun, segala-galanya dalam kehidupan ini adalah relatif - terdapat banyak situasi di mana sudut serong (atau yang lain, sebagai contoh, polar) sistem koordinat. Dan humanoid mungkin menyukai sistem sedemikian =)

Mari kita beralih ke bahagian praktikal. Semua tugas pelajaran ini sah untuk sistem koordinat segi empat tepat dan untuk kes affine am. Tidak ada yang rumit di sini; semua bahan boleh diakses walaupun kepada pelajar sekolah.

Bagaimana untuk menentukan kolineariti vektor satah?

Perkara biasa. Untuk dua vektor satah adalah kolinear, adalah perlu dan mencukupi bahawa koordinat sepadannya adalah berkadar Pada asasnya, ini ialah perincian koordinat demi koordinat perhubungan yang jelas.

Contoh 1

a) Periksa sama ada vektor adalah kolinear .
b) Adakah vektor membentuk asas? ?

Penyelesaian:
a) Mari kita ketahui sama ada terdapat untuk vektor pekali perkadaran, supaya kesamaan dipenuhi:

Saya pasti akan memberitahu anda tentang versi "foppish" untuk menggunakan peraturan ini, yang berfungsi dengan baik dalam amalan. Ideanya ialah dengan serta-merta membuat perkadaran dan melihat sama ada ia betul:

Mari kita buat perkadaran daripada nisbah koordinat vektor yang sepadan:

Mari kita pendekkan:
, oleh itu koordinat yang sepadan adalah berkadar, oleh itu,

Hubungan boleh dibuat sebaliknya; ini adalah pilihan yang setara:

Untuk ujian kendiri, anda boleh menggunakan fakta itu vektor kolinear dinyatakan secara linear melalui satu sama lain. DALAM dalam kes ini terdapat persamaan . Kesahihannya boleh disahkan dengan mudah melalui operasi asas dengan vektor:

b) Dua vektor satah membentuk asas jika ia bukan kolinear (tidak bersandar linear). Kami memeriksa vektor untuk keselarasan . Mari buat sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , daripada persamaan kedua ia mengikuti bahawa , yang bermaksud sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, koordinat vektor yang sepadan adalah tidak berkadar.

Kesimpulan: vektor adalah bebas linear dan membentuk asas.

Versi ringkas penyelesaian kelihatan seperti ini:

Mari kita buat perkadaran daripada koordinat vektor yang sepadan :
, yang bermaksud bahawa vektor ini bebas secara linear dan membentuk asas.

Biasanya pilihan ini tidak ditolak oleh penyemak, tetapi masalah timbul dalam kes di mana beberapa koordinat bersamaan dengan sifar. seperti ini: . Atau seperti ini: . Atau seperti ini: . Bagaimana untuk bekerja melalui perkadaran di sini? (sememangnya, anda tidak boleh membahagi dengan sifar). Atas sebab inilah saya memanggil penyelesaian yang dipermudahkan "foppish".

Jawapan: a) , b) bentuk.

Kecil contoh kreatif Untuk keputusan bebas:

Contoh 2

Pada nilai parameter apakah vektor adakah mereka akan menjadi kolinear?

Dalam penyelesaian sampel, parameter ditemui melalui perkadaran.

Terdapat cara algebra yang elegan untuk menyemak vektor untuk keselarasan Mari kita sistematikkan pengetahuan kita dan tambahkannya sebagai titik kelima:

Bagi dua vektor satah pernyataan berikut adalah setara:

2) vektor membentuk asas;
3) vektor bukan kolinear;

+ 5) penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini ialah bukan sifar.

Masing-masing, pernyataan berlawanan berikut adalah setara:
1) vektor bergantung secara linear;
2) vektor tidak membentuk asas;
3) vektor adalah kolinear;
4) vektor boleh dinyatakan secara linear melalui satu sama lain;
+ 5) penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini adalah sama dengan sifar.

Saya benar-benar berharap bahawa sekarang anda sudah memahami semua terma dan kenyataan yang anda temui.

Mari kita lihat lebih dekat pada perkara baharu, kelima: dua vektor satah adalah kolinear jika dan hanya jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor yang diberikan adalah sama dengan sifar:. Untuk menggunakan ciri ini, sudah tentu, anda perlu boleh cari penentu.

Mari buat keputusan Contoh 1 dengan cara kedua:

a) Mari kita mengira penentu yang terdiri daripada koordinat vektor :
, yang bermaksud bahawa vektor ini adalah kolinear.

b) Dua vektor satah membentuk asas jika ia bukan kolinear (tidak bersandar linear). Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor :
, yang bermaksud vektor adalah bebas secara linear dan membentuk asas.

Jawapan: a) , b) bentuk.

Ia kelihatan lebih padat dan lebih cantik daripada penyelesaian dengan perkadaran.

Dengan bantuan bahan yang dipertimbangkan, adalah mungkin untuk menubuhkan bukan sahaja kolinearitas vektor, tetapi juga untuk membuktikan keselarian segmen dan garis lurus. Mari kita pertimbangkan beberapa masalah dengan bentuk geometri tertentu.

Contoh 3

Bucu segiempat diberikan. Buktikan bahawa segiempat ialah segiempat selari.

Bukti: Tidak perlu membuat lukisan dalam masalah itu, kerana penyelesaiannya adalah analitikal semata-mata. Mari kita ingat takrif segiempat selari:
segi empat selari Segiempat yang sisi bertentangannya selari berpasangan dipanggil.

Oleh itu, adalah perlu untuk membuktikan:
1) keselarian sisi bertentangan dan;
2) keselarian sisi bertentangan dan.

Kami buktikan:

1) Cari vektor:

2) Cari vektor:

Hasilnya ialah vektor yang sama ("menurut sekolah" - vektor yang sama). Collinearity agak jelas, tetapi lebih baik untuk memformalkan keputusan dengan jelas, dengan pengaturan. Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor:
, yang bermaksud bahawa vektor ini adalah kolinear, dan .

Kesimpulan: Sisi bertentangan segiempat adalah selari dalam pasangan, yang bermaksud bahawa ia adalah segi empat selari mengikut definisi. Q.E.D.

Angka yang lebih baik dan berbeza:

Contoh 4

Bucu segiempat diberikan. Buktikan bahawa sisi empat ialah trapezium.

Untuk rumusan bukti yang lebih ketat, sudah tentu lebih baik untuk mendapatkan definisi trapezoid, tetapi cukup untuk mengingati rupanya.

Ini adalah tugas untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian lengkap pada akhir pelajaran.

Dan kini tiba masanya untuk bergerak perlahan-lahan dari pesawat ke angkasa:

Bagaimana untuk menentukan kolineariti vektor ruang?

Peraturannya sangat serupa. Agar dua vektor ruang menjadi kolinear, adalah perlu dan mencukupi bahawa koordinat sepadannya adalah berkadar..

Contoh 5

Ketahui sama ada vektor ruang berikut adalah kolinear:

A);
b)
V)

Penyelesaian:
a) Mari kita semak sama ada terdapat pekali perkadaran untuk koordinat vektor yang sepadan:

Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian, yang bermaksud vektor bukan kolinear.

"Diringkaskan" diformalkan dengan menyemak perkadaran. Dalam kes ini:
– koordinat yang sepadan tidak berkadar, yang bermaksud vektor bukan kolinear.

Jawapan: vektor bukan kolinear.

b-c) Ini adalah mata untuk keputusan bebas. Cubalah dalam dua cara.

Terdapat kaedah untuk menyemak vektor spatial untuk keselarasan melalui penentu tertib ketiga, kaedah ini diliputi dalam artikel Produk vektor bagi vektor.

Sama seperti kes satah, alat yang dipertimbangkan boleh digunakan untuk mengkaji keselarian segmen ruang dan garis lurus.

Selamat datang ke bahagian kedua:

Kebergantungan linear dan kebebasan vektor dalam ruang tiga dimensi.
Sistem koordinat asas ruang dan affine

Banyak corak yang kami periksa pada pesawat juga akan sah untuk ruang angkasa. Saya cuba meminimumkan nota teori, kerana bahagian terbesar maklumat telah dikunyah. Walau bagaimanapun, saya mengesyorkan agar anda membaca bahagian pengenalan dengan teliti, kerana istilah dan konsep baharu akan muncul.

Kini, bukannya satah meja komputer, kami meneroka ruang tiga dimensi. Pertama, mari kita buat asasnya. Seseorang kini berada di dalam rumah, seseorang berada di luar rumah, tetapi dalam apa jua keadaan, kita tidak boleh lari daripada tiga dimensi: lebar, panjang dan tinggi. Oleh itu, untuk membina asas, tiga vektor spatial akan diperlukan. Satu atau dua vektor tidak mencukupi, yang keempat adalah berlebihan.

Dan sekali lagi kami memanaskan pada jari kami. Sila angkat tangan anda dan bentangkannya sisi yang berbeza ibu jari, telunjuk dan jari tengah. Ini akan menjadi vektor, mereka melihat ke arah yang berbeza, mempunyai panjang yang berbeza dan mempunyai sudut yang berbeza antara mereka. Tahniah, asas ruang tiga dimensi sudah siap! Ngomong-ngomong, tidak perlu menunjukkan ini kepada guru, tidak kira seberapa keras anda memutar jari anda, tetapi tidak ada pelarian dari definisi =)

Seterusnya, mari kita bertanya isu penting, adakah mana-mana tiga vektor membentuk asas ruang tiga dimensi ? Sila tekan tiga jari dengan kuat pada bahagian atas meja komputer. Apa yang berlaku? Tiga vektor terletak dalam satah yang sama, dan, secara kasarnya, kami telah kehilangan salah satu dimensi - ketinggian. Vektor sedemikian adalah coplanar dan, agak jelas bahawa asas ruang tiga dimensi tidak dicipta.

Perlu diingatkan bahawa vektor coplanar tidak perlu terletak pada satah yang sama; satah selari(jangan lakukan ini dengan jari anda, hanya Salvador Dali yang melakukannya dengan cara ini =)).

Definisi: vektor dipanggil coplanar, jika terdapat satah yang selari dengannya. Adalah logik untuk menambah di sini bahawa jika satah sedemikian tidak wujud, maka vektor tidak akan menjadi koplanar.

Tiga vektor koplanar sentiasa bergantung secara linear, iaitu, mereka dinyatakan secara linear melalui satu sama lain. Untuk kesederhanaan, mari kita bayangkan sekali lagi bahawa mereka terletak dalam pesawat yang sama. Pertama, vektor bukan sahaja koplanar, ia juga boleh menjadi kolinear, maka sebarang vektor boleh dinyatakan melalui mana-mana vektor. Dalam kes kedua, jika, sebagai contoh, vektor bukan kolinear, maka vektor ketiga dinyatakan melaluinya dengan cara yang unik: (dan mengapa mudah untuk meneka daripada bahan dalam bahagian sebelumnya).

Begitu juga sebaliknya: tiga vektor bukan koplanar sentiasa bebas linear, iaitu, mereka sama sekali tidak dinyatakan melalui satu sama lain. Dan, jelas sekali, hanya vektor sedemikian boleh membentuk asas ruang tiga dimensi.

Definisi: Asas ruang tiga dimensi dipanggil tiga kali ganda vektor bebas linear (bukan koplanar), diambil mengikut susunan tertentu, dan sebarang vektor ruang satu-satunya cara diuraikan atas dasar tertentu, di manakah koordinat vektor dalam asas ini

Biar saya mengingatkan anda bahawa kita juga boleh mengatakan bahawa vektor diwakili dalam bentuk gabungan linear vektor asas.

Konsep sistem koordinat diperkenalkan dengan cara yang sama seperti untuk kes rata, satu mata sudah cukup dan mana-mana tiga tidak linear vektor bergantung:

asal usul, Dan bukan coplanar vektor, diambil mengikut susunan tertentu, set sistem koordinat affine bagi ruang tiga dimensi :

Sudah tentu, grid koordinat adalah "serong" dan menyusahkan, tetapi, bagaimanapun, sistem koordinat yang dibina membolehkan kami pasti tentukan koordinat mana-mana vektor dan koordinat mana-mana titik dalam ruang. Sama seperti pesawat, beberapa formula yang telah saya nyatakan tidak akan berfungsi dalam sistem koordinat affine ruang.

Kes khas yang paling biasa dan mudah untuk sistem koordinat affine, seperti yang semua orang meneka, adalah sistem koordinat ruang segi empat tepat:

Satu titik dalam ruang dipanggil asal usul, Dan ortonormal asas ditetapkan Sistem koordinat ruang segi empat tepat Cartesian . Gambar biasa:

Sebelum beralih kepada tugas praktikal, mari kita sekali lagi sistematik maklumat:

Untuk tiga vektor ruang penyataan berikut adalah setara:
1) vektor adalah bebas linear;
2) vektor membentuk asas;
3) vektor bukan coplanar;
4) vektor tidak boleh dinyatakan secara linear melalui satu sama lain;
5) penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini, adalah berbeza daripada sifar.

Saya rasa kenyataan yang bertentangan boleh difahami.

Kebergantungan linear/kebebasan vektor ruang secara tradisional disemak menggunakan penentu (titik 5). yang tinggal tugas amali akan mempunyai aksara algebra yang jelas. Sudah tiba masanya untuk menggantung kayu geometri dan menggunakan kayu besbol algebra linear:

Tiga vektor ruang adalah koplanar jika dan hanya jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor yang diberikan adalah sama dengan sifar: .

Saya ingin menarik perhatian anda kepada nuansa teknikal yang kecil: koordinat vektor boleh ditulis bukan sahaja dalam lajur, tetapi juga dalam baris (nilai penentu tidak akan berubah dari ini - lihat sifat penentu). Tetapi ia lebih baik dalam lajur, kerana ia lebih bermanfaat untuk menyelesaikan beberapa masalah praktikal.

Bagi pembaca yang sedikit terlupa kaedah mengira penentu, atau mungkin kurang memahaminya sama sekali, saya mengesyorkan salah satu pelajaran tertua saya: Bagaimana untuk mengira penentu?

Contoh 6

Semak sama ada vektor berikut membentuk asas ruang tiga dimensi:

Penyelesaian: Sebenarnya, keseluruhan penyelesaian datang untuk mengira penentu.

a) Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor (penentu didedahkan dalam baris pertama):

, yang bermaksud bahawa vektor adalah bebas secara linear (bukan coplanar) dan membentuk asas ruang tiga dimensi.

Jawab: vektor ini membentuk asas

b) Ini adalah titik untuk keputusan bebas. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Bertemu dan tugasan kreatif:

Contoh 7

Pada nilai parameter apakah vektor akan menjadi koplanar?

Penyelesaian: Vektor adalah coplanar jika dan hanya jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini adalah sama dengan sifar:

Pada asasnya, anda perlu menyelesaikan persamaan dengan penentu. Kami turun pada sifar seperti layang-layang di jerboa - sebaiknya buka penentu di baris kedua dan segera singkirkan tolak:

Kami menjalankan pemudahan selanjutnya dan mengurangkan perkara itu kepada yang paling mudah persamaan linear:

Jawab: pada

Mudah untuk menyemak di sini; untuk melakukan ini, anda perlu menggantikan nilai yang terhasil ke dalam penentu asal dan pastikan itu , membukanya semula.

Kesimpulannya, mari kita lihat satu lagi tugas biasa, yang lebih bersifat algebra dan secara tradisinya termasuk dalam perjalanan algebra linear. Ia adalah perkara biasa sehingga ia layak untuk topiknya sendiri:

Buktikan bahawa 3 vektor membentuk asas ruang tiga dimensi
dan cari koordinat bagi vektor ke-4 dalam asas ini

Contoh 8

Vektor diberikan. Tunjukkan bahawa vektor membentuk asas dalam ruang tiga dimensi dan cari koordinat vektor dalam asas ini.

Penyelesaian: Pertama, mari kita berurusan dengan syarat. Dengan syarat, empat vektor diberikan, dan, seperti yang anda lihat, mereka sudah mempunyai koordinat dalam beberapa asas. Apa asas ini tidak menarik minat kami. Dan perkara berikut adalah menarik: tiga vektor mungkin membentuk asas baharu. Dan peringkat pertama sepenuhnya bertepatan dengan penyelesaian Contoh 6 adalah perlu untuk memeriksa sama ada vektor benar-benar bebas linear:

Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor:

, yang bermaksud bahawa vektor adalah bebas secara linear dan membentuk asas ruang tiga dimensi.

! Penting : koordinat vektor Semestinya tuliskan ke dalam lajur penentu, bukan dalam rentetan. Jika tidak, akan berlaku kekeliruan dalam algoritma penyelesaian selanjutnya.

Sistem vektor dipanggil bergantung secara linear, jika terdapat nombor di antaranya sekurang-kurangnya satu berbeza daripada sifar, supaya kesamaan https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Jika kesamaan ini dipenuhi hanya dalam kes apabila semua , maka sistem vektor dipanggil bebas linear.

Teorem. Sistem vektor akan bergantung secara linear jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada vektornya ialah gabungan linear yang lain.

Contoh 1. Polinomial ialah gabungan linear polinomial https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomial membentuk sistem bebas linear, kerana polinomial https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Contoh 2. Sistem matriks, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> adalah bebas linear, kerana gabungan linear adalah sama dengan matriks sifar hanya dalam kes apabila https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> bergantung secara linear.

Penyelesaian.

Mari kita buat gabungan linear vektor ini https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" ketinggian=" 22">.

Menyamakan koordinat dengan nama yang sama vektor yang sama, kami mendapat https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Akhirnya kita dapat

Dan

Sistem ini hanya mempunyai satu penyelesaian remeh, oleh itu gabungan linear vektor ini adalah sama dengan sifar hanya dalam kes apabila semua pekali adalah sama dengan sifar. Oleh itu, sistem vektor ini adalah bebas linear.

Contoh 4. Vektor adalah bebas secara linear. Apakah sistem vektor akan menjadi seperti?

a).;

b).?

Penyelesaian.

a). Mari kita buat gabungan linear dan samakan dengan sifar

Menggunakan sifat operasi dengan vektor dalam ruang linear, kami menulis semula kesamaan terakhir dalam bentuk

Memandangkan vektor adalah bebas linear, pekali pada mestilah sama dengan sifar, iaitu..gif" width="12" height="23 src=">

Sistem persamaan yang terhasil mempunyai penyelesaian remeh yang unik .

Sejak kesaksamaan (*) dilaksanakan hanya apabila https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - bebas linear;

b). Mari kita buat kesamarataan https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Menggunakan alasan yang sama, kami memperoleh

Menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss, kita perolehi

atau

Sistem yang terakhir mempunyai set tak terhingga penyelesaian https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Oleh itu, terdapat set pekali bukan sifar di mana kesamaan memegang (**) . Oleh itu, sistem vektor – bergantung secara linear.

Contoh 5 Sistem vektor tidak bersandar secara linear dan sistem vektor bersandar secara linear..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Dalam kesamarataan (***) . Sesungguhnya, pada , sistem akan bergantung secara linear.

Daripada perhubungan (***) kita dapat atau Mari kita nyatakan .

Kami dapat

Masalah untuk penyelesaian bebas (dalam bilik darjah)

1. Sistem yang mengandungi vektor sifar adalah bergantung secara linear.

2. Sistem yang terdiri daripada satu vektor A, adalah bergantung secara linear jika dan hanya jika, a=0.

3. Sistem yang terdiri daripada dua vektor adalah bersandar secara linear jika dan hanya jika vektor adalah berkadar (iaitu, satu daripadanya diperoleh daripada yang lain dengan mendarab dengan nombor).

4. Jika k adalah linear sistem bergantung tambah vektor, anda mendapat sistem bergantung secara linear.

5. Jika dari linear sistem bebas keluarkan vektor, maka sistem vektor yang terhasil adalah bebas secara linear.

6. Jika sistem S adalah bebas linear, tetapi menjadi bergantung secara linear apabila menambah vektor b, kemudian vektor b dinyatakan secara linear melalui vektor sistem S.

c). Sistem matriks , , dalam ruang matriks tertib kedua.

10. Biarkan sistem vektor a,b,c ruang vektor adalah bebas secara linear. Buktikan kemerdekaan linear sistem berikut vektor:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– nombor sewenang-wenangnya

c).a+b, a+c, b+c.

11. biarlah a,b,c– tiga vektor pada satah dari mana sebuah segi tiga boleh dibentuk. Adakah vektor ini bergantung secara linear?

12. Dua vektor diberikan a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Cari dua lagi vektor empat dimensi a3 dana4 supaya sistem a1,a2,a3,a4 adalah bebas secara linear .

Untuk memeriksa sama ada sistem vektor bergantung secara linear, adalah perlu untuk mengarang gabungan linear vektor ini, dan semak sama ada ia boleh menjadi sifar jika sekurang-kurangnya satu pekali adalah sama dengan sifar.

Kes 1. Sistem vektor diberikan oleh vektor

Membuat gabungan linear

Kami telah memperoleh sistem persamaan homogen. Jika ia mempunyai penyelesaian bukan sifar, maka penentu mestilah sama dengan sifar. Mari kita karang penentu dan cari nilainya.

Penentunya ialah sifar, oleh itu vektor adalah bersandar secara linear.

Kes 2. Sistem vektor ditakrifkan oleh fungsi analisis:

a)
, jika identiti adalah benar, maka sistem adalah bergantung secara linear.

Mari kita buat gabungan linear.

Adalah perlu untuk menyemak sama ada wujud a, b, c (sekurang-kurangnya satu daripadanya tidak sama dengan sifar) yang mana ungkapan ini sama dengan sifar.

Mari kita tulis fungsi hiperbolik

,
, Kemudian

maka gabungan linear vektor akan mengambil bentuk:

di mana
, ambil, sebagai contoh, maka gabungan linear adalah sifar, oleh itu, sistem adalah bergantung secara linear.

Jawapan: sistem adalah bergantung secara linear.

b)
, mari buat gabungan linear

Gabungan linear vektor mestilah sama dengan sifar untuk sebarang nilai x.

Mari semak kes khas.

Gabungan linear vektor adalah sama dengan sifar hanya jika semua pekali adalah sama dengan sifar.

Oleh itu, sistem adalah bebas linear.

Jawapan: sistem adalah bebas linear.

5.3. Cari beberapa asas dan tentukan dimensi ruang penyelesaian linear.

Mari kita bentuk matriks lanjutan dan kurangkan kepada bentuk trapezoid menggunakan kaedah Gaussian.

Untuk mendapatkan beberapa asas, mari kita gantikan nilai arbitrari:

Mari dapatkan koordinat yang lain

Jawapan:

5.4. Cari koordinat vektor X dalam asas, jika ia diberikan dalam asas.

Mencari koordinat vektor dalam asas baharu adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan

Kaedah 1. Mencari menggunakan matriks peralihan

Mari buat matriks peralihan

Mari cari vektor dalam asas baharu menggunakan formula

Mari cari matriks songsang dan laksanakan pendaraban

,

Kaedah 2. Mencari dengan mengarang sistem persamaan.

Mari kita susun vektor asas daripada pekali asas

,
,

Mencari vektor dalam asas baharu mempunyai bentuk

, Di mana d ini vektor yang diberikan x.

Persamaan yang terhasil boleh diselesaikan dalam apa cara sekalipun, jawapannya akan serupa.

Jawapan: vektor dalam asas baru
.

5.5. Biarkan x = (x 1 , x 2 , x 3 ) . Adakah penjelmaan berikut linear?

Mari kita susun matriks pengendali linear daripada pekali vektor yang diberikan.

Mari kita semak sifat operasi linear untuk setiap matriks operator linear.

Kami mencari bahagian kiri dengan mendarab matriks A kepada vektor

Kami mencari bahagian kanan dengan mendarabkan vektor yang diberikan dengan skalar
.

Kita nampak itu
Ini bermakna bahawa penjelmaan tidak linear.

Mari kita semak vektor lain.

, penjelmaan tidak linear.

, penjelmaan adalah linear.

Jawapan: Oh- Tidak transformasi linear, Dalam- tidak linear, Cx– linear.

Nota. Anda boleh menyelesaikan tugas ini dengan lebih mudah dengan melihat dengan teliti pada vektor yang diberikan. DALAM Oh kita lihat ada istilah yang tidak mengandungi unsur X, yang tidak boleh diperolehi hasil daripada operasi linear. DALAM Dalam ada unsur X kepada kuasa ketiga, yang juga tidak boleh diperolehi dengan mendarab dengan vektor X.

5.6. Diberi x = { x 1 , x 2 , x 3 } , Ax = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , Bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . Lakukan operasi yang ditentukan: ( A ( B – A )) x .

Mari kita tuliskan matriks operator linear.

Mari kita laksanakan operasi pada matriks

Apabila mendarabkan matriks yang terhasil dengan X, kita dapat

Jawapan: