Selang keyakinan. Apakah itu dan bagaimana ia boleh digunakan? Kebarangkalian Keyakinan dan Tahap Kepentingan

Anggaran mata yang dipertimbangkan bagi parameter taburan memberikan anggaran dalam bentuk nombor yang paling hampir dengan nilai parameter yang tidak diketahui. Anggaran sedemikian digunakan hanya untuk sejumlah besar ukuran. Lebih kecil saiz sampel, lebih mudah untuk membuat kesilapan semasa memilih parameter. Untuk latihan, adalah penting bukan sahaja untuk mendapatkan anggaran mata, tetapi juga untuk menentukan selang yang dipanggil fidusiari, antara sempadan yang dengan yang diberikan tahap keyakinan

di mana q - tahap kepentingan; х н, х в - had bawah dan atas selang, nilai sebenar parameter anggaran ditemui.

Secara umum, selang keyakinan boleh dibina berdasarkan Ketaksamaan Chebyshev. Bagi mana-mana hukum taburan pembolehubah rawak dengan momen dua tertib pertama, sempadan atas pada kebarangkalian bahawa sisihan pembolehubah rawak x dari pusat taburan X c akan jatuh ke dalam selang tSx digambarkan oleh ketidaksamaan Chebyshev

di mana Sx - penilaian pengagihan RMS; t ialah nombor positif.

Untuk mencari selang keyakinan, tidak perlu mengetahui hukum taburan hasil cerapan, tetapi perlu mengetahui anggaran RMS. Selang yang diperoleh menggunakan ketidaksamaan Chebyshev ternyata terlalu luas untuk diamalkan. Oleh itu, selang keyakinan 0.9 untuk banyak undang-undang pengedaran sepadan dengan selang keyakinan 1.6 S X . Ketaksamaan Chebyshev memberikan dalam kes ini 3.16 S X . Akibatnya, ia tidak diterima pakai secara meluas.

Dalam amalan metrologi, ia digunakan terutamanya anggaran kuantil selang keyakinan. Di bawah 100 P-kuantil peratusan x p memahami absis garis menegak sedemikian, di sebelah kirinya kawasan di bawah lengkung ketumpatan taburan adalah sama dengan P%. Dalam kata lain, kuantil- ini ialah nilai pembolehubah rawak (ralat) dengan kebarangkalian keyakinan yang diberikan P. Sebagai contoh, median taburan ialah kuantil 50% x 0.5.

Dalam amalan, 25- dan 75% kuantil dipanggil lipatan, atau kuantiti pengedaran. Di antara mereka terletak 50% daripada semua kemungkinan nilai pembolehubah rawak, dan baki 50% terletak di luar mereka. Selang nilai pembolehubah rawak x antara x 0 05 dan x 0 95 meliputi 90% daripada semua nilai yang mungkin dan dipanggil jurang interkuantil dengan kebarangkalian 90%. Panjangnya ialah d 0.9 \u003d x 0.95 - x 0.05.

Berdasarkan pendekatan ini, konsep nilai ralat kuantiti, mereka. nilai ralat dengan kebarangkalian keyakinan yang diberikan P - sempadan selang ketidakpastian ±D D = ± (x p - x 1-p) / 2 = ± dp /2. Pada panjangnya, terdapat nilai P% pembolehubah rawak (ralat), a q = (1-P)% daripada jumlah bilangan mereka kekal di luar selang ini.

Untuk mendapatkan anggaran selang bagi pembolehubah rawak taburan normal, adalah perlu:

Tentukan anggaran titik MO x̅ dan RMS S x pembolehubah rawak mengikut formula (6.8) dan (6.11), masing-masing;

Pilih kebarangkalian keyakinan Р daripada julat nilai yang disyorkan 0.90; 0.95; 0.99;

Cari x atas dan sempadan x n bawah mengikut persamaan

diperoleh dengan mengambil kira (6.1). Nilai х н dan х в ditentukan daripada jadual nilai fungsi taburan kamiran F(t ) atau fungsi Laplace Ф(1).

Selang keyakinan yang terhasil memenuhi syarat

(6.13)

di mana n - bilangan nilai yang diukur; zp - hujah fungsi Laplace Ф(1) sepadan dengan kebarangkalian Р/2. Dalam kes ini zp dipanggil faktor kuantil. Separuh panjang selang keyakinan dipanggil had keyakinan ralat hasil pengukuran.

Contoh 6.1. 50 ukuran rintangan berterusan telah dibuat. Tentukan selang keyakinan untuk nilai MO bagi rintangan malar jika hukum taburan adalah normal dengan parameter m x \u003d R \u003d 590 Ohm, S x \u003d 90 Ohm dengan kebarangkalian keyakinan P \u003d 0.9.

Oleh kerana hipotesis tentang kenormalan hukum taburan tidak bercanggah dengan data eksperimen, selang keyakinan ditentukan oleh formula

Oleh itu Ф(z р ) = 0.45. Daripada jadual yang diberikan dalam Lampiran 1, kita dapati bahawa zp = 1.65. Oleh itu, selang keyakinan akan ditulis dalam bentuk

Atau 590 - 21< R < 590 + 21. Окончательно 509 Ом < R< 611 Ом.

Jika hukum taburan pembolehubah rawak berbeza daripada yang normal, adalah perlu untuk membina model matematiknya dan menentukan selang keyakinan menggunakannya.

Kaedah yang dipertimbangkan untuk mencari selang keyakinan adalah sah untuk bilangan pemerhatian yang cukup besar n bila s= Sx . Perlu diingat bahawa anggaran RMS yang dikira S x hanyalah beberapa anggaran kepada nilai sebenars. Penentuan selang keyakinan untuk kebarangkalian tertentu adalah semakin kurang boleh dipercayai, semakin kecil bilangan cerapan. Adalah mustahil untuk menggunakan formula taburan normal dengan bilangan cerapan yang kecil, jika tidak mungkin secara teori, berdasarkan eksperimen awal dengan bilangan cerapan yang cukup besar, untuk menentukan sisihan piawai.

Pengiraan selang keyakinan untuk kes apabila taburan hasil pemerhatian adalah normal, tetapi variansnya tidak diketahui, i.e. dengan bilangan pemerhatian yang kecil n, ia boleh dilakukan menggunakan taburan Pelajar S(t, k ). Ia menerangkan ketumpatan taburan nisbah (pecahan pelajar):

di mana Q - nilai sebenar nilai yang diukur. nilai x̅ , S x . dan S x ̅ dikira berdasarkan data eksperimen dan mewakili anggaran titik MO, RMS hasil pengukuran dan RMS min aritmetik.

Kebarangkalian bahawa pecahan Pelajar hasil daripada pemerhatian yang dilakukan akan mengambil beberapa nilai dalam selang (- t p ; + t p )

(6.14)

di mana k - bilangan darjah kebebasan, sama dengan (n - 1). Kuantiti tp (dipanggil dalam kes ini pekali pelajar), dikira menggunakan dua formula terakhir untuk nilai tahap keyakinan yang berbeza dan bilangan ukuran dijadualkan (lihat jadual dalam Lampiran 1). Oleh itu, dengan menggunakan taburan Pelajar, seseorang boleh mencari kebarangkalian bahawa sisihan min aritmetik daripada nilai sebenar nilai yang diukur tidak melebihi

Dalam kes di mana taburan ralat rawak tidak normal, seseorang sering menggunakan taburan Pelajar dengan anggaran yang darjahnya masih tidak diketahui. Taburan pelajar digunakan apabila bilangan ukuran n < 30, поскольку уже при n = 20, ...,30 ia menjadi normal dan bukannya persamaan (6.14) seseorang boleh menggunakan persamaan (6.13). Hasil pengukuran ditulis sebagai: ; P = R d, di mana R d - nilai khusus tahap keyakinan. Faktor t dengan bilangan ukuran yang banyak n adalah sama dengan faktor kuantil z p . Untuk n kecil ia sama dengan pekali Pelajar.

Hasil pengukuran yang terhasil bukanlah satu nombor tertentu, tetapi merupakan selang di mana, dengan kebarangkalian P d tertentu, nilai sebenar nilai yang diukur terletak. Menyerlahkan pertengahan selang x sama sekali tidak membayangkan bahawa nilai sebenar adalah lebih dekat dengannya daripada titik-titik lain dalam selang itu. Ia boleh berada di mana-mana dalam selang, dan dengan kebarangkalian 1 - R d walaupun di luarnya.

Contoh 6.2. Penentuan kerugian magnet khusus untuk pelbagai sampel satu kelompok gred keluli elektrik 2212 memberikan keputusan berikut: 1.21; 1.17; 1.18; 1.13; 1.19; 1.14; 1.20 dan 1.18 W/kg. Dengan mengandaikan bahawa tiada ralat sistematik, dan ralat rawak diedarkan mengikut undang-undang biasa, ia diperlukan untuk menentukan selang keyakinan untuk nilai kebarangkalian keyakinan 0.9 dan 0.95. Untuk menyelesaikan masalah, gunakan formula Laplace dan taburan Pelajar.

Menggunakan formula (6.8) dalam (6.11), kita dapati anggaran nilai min aritmetik dan RMS hasil pengukuran. Mereka masing-masing bersamaan dengan 1.18 dan 0.0278 W/kg. Dengan mengandaikan bahawa anggaran RMS adalah sama dengan sisihan itu sendiri, kita dapati:

Oleh itu, dengan menggunakan nilai fungsi Laplace yang diberikan dalam jadual Lampiran 1, kami menentukannyazp = 1.65. Untuk P = 0.95 pekali zp =1.96. Selang keyakinan yang sepadan dengan P = 0.9 dan 0.95 ialah 1.18 ± 0.016 dan 1.18 ± 0.019 W/kg.

Dalam kes apabila tiada sebab untuk mempercayai bahawa sisihan piawai dan anggarannya adalah sama, selang keyakinan ditentukan berdasarkan taburan Pelajar:

Mengikut jadual di Lampiran 1, kita dapati bahawa t 0.9 = 1.9 dan t 0.95 = 2.37. Oleh itu, selang keyakinan masing-masing adalah sama dengan 1.18±0.019 dan 1.18±0.023 W/kg.

Soalan ujian.

1. Dalam keadaan apakah ralat pengukuran boleh dianggap sebagai pembolehubah rawak?

2. Senaraikan sifat-sifat kamiran dan fungsi taburan pembezaan pembolehubah rawak.

3. Namakan parameter berangka undang-undang taburan.

4. Bagaimanakah pusat pengedaran boleh ditakrifkan?

5. Apakah momen pengedaran? Yang manakah antara mereka telah menemui aplikasi dalam metrologi?

6. Namakan kelas taburan utama yang digunakan dalam metrologi.

7. Berikan penerangan tentang taburan yang termasuk dalam kelas taburan trapezoid.

8. Apakah taburan eksponen? Apakah sifat dan ciri mereka?

9. Apakah taburan normal? Mengapakah ia memainkan peranan khas dalam metrologi?

10. Apakah fungsi Laplace dan untuk apa ia digunakan?

11. Bagaimanakah keluarga pengedaran Pelajar diterangkan dan digunakan?

12. Apakah anggaran mata undang-undang pengedaran yang anda tahu? Apakah syarat untuk mereka?

13. Apakah selang keyakinan? Apakah "kaedah penugasannya yang anda tahu?

Di mana, dengan satu atau kebarangkalian lain, terdapat parameter umum. Kebarangkalian yang diiktiraf sebagai mencukupi untuk penghakiman yakin tentang parameter umum berdasarkan petunjuk sampel dipanggil fidusiari.

Konsep kebarangkalian keyakinan mengikut prinsip bahawa peristiwa yang tidak mungkin dianggap mustahil, dan peristiwa yang kebarangkaliannya hampir dengan satu dianggap hampir pasti. Biasanya, kebarangkalian Р 1 = 0.95, Р 2 = 0.99, Р 3 = 0.999 digunakan sebagai keyakinan. Untuk nilai kebarangkalian tertentu sepadan aras keertian, yang difahami sebagai perbezaan α = 1-Р. Kebarangkalian 0.95 sepadan dengan tahap keertian α 1 = 0.05 (5%), kebarangkalian 0.99 - α 2 = 0.01 (1%), kebarangkalian 0.999 - α 3 = 0.001 (0.1%).

Ini bermakna apabila menilai parameter umum berdasarkan penunjuk terpilih, terdapat risiko membuat kesilapan dalam kes pertama 1 kali dalam 20 ujian, i.e. dalam 5% kes; dalam kedua - 1 kali setiap 100 percubaan, i.e. dalam 1% kes; dalam ketiga - 1 kali setiap 1000 ujian, i.e. dalam 0.1% kes. Oleh itu, aras keertian menunjukkan kebarangkalian memperoleh sisihan rawak daripada keputusan yang ditetapkan dengan kebarangkalian tertentu. Kebarangkalian yang diambil sebagai keyakinan menentukan selang keyakinan antara mereka. Ia boleh digunakan untuk mendasarkan penilaian kuantiti tertentu dan sempadan di mana ia boleh berada pada kebarangkalian yang berbeza.

Untuk pelbagai kebarangkalian, selang keyakinan adalah seperti berikut:

Р 1 = 0.95 selang - 1.96σ hingga + 1.96σ (Rajah 5)

Р 2 = 0.99 selang - 2.58σ hingga + 2.58σ

Р 3 = 0.999 selang - 3.03σ hingga + 3.03σ

Kebarangkalian keyakinan sepadan dengan nilai sisihan ternormal berikut:

Kebarangkalian Р 1 = 0.95 sepadan dengan t 1 = 1.96σ

Kebarangkalian Р 2 = 0.99 sepadan dengan t 2 = 2.58σ

Kebarangkalian Р 3 = 0.999 sepadan dengan t 3 = 3.03σ

Pilihan satu atau ambang keyakinan lain dijalankan berdasarkan kepentingan acara. Tahap kepentingan dalam kes ini ialah kebarangkalian bahawa ia diputuskan untuk diabaikan dalam kajian atau fenomena ini.

Min ralat (m), atau ralat perwakilan.

Ciri-ciri sampel, sebagai peraturan, tidak bertepatan dengan nilai mutlak dengan parameter umum yang sepadan. Jumlah sisihan penunjuk sampel daripada parameter amnya dipanggil ralat statistik, atau ralat perwakilan. Kesilapan statistik hanya wujud dalam ciri sampel, ia timbul dalam proses memilih pilihan daripada populasi umum.

Ralat purata dikira dengan formula:

di mana σ ialah sisihan piawai,

n ialah bilangan ukuran (saiz sampel).

Dinyatakan dalam unit yang sama seperti .

Nilai ralat min adalah berkadar songsang dengan saiz sampel. Semakin besar saiz sampel, semakin kecil ralat purata, dan oleh itu, semakin kecil percanggahan antara nilai ciri dalam sampel dan populasi umum.

Min ralat sampel boleh digunakan untuk menganggar min populasi mengikut taburan normal. Jadi, dalam ±1 ialah 68.3% daripada semua min aritmetik sampel, dalam ±2 - 95.5% daripada semua min sampel, dalam ±3 - 99.7% daripada semua min sampel.

Ketepatan anggaran, tahap keyakinan (kebolehpercayaan)

Selang keyakinan

Apabila persampelan volum yang kecil, anggaran selang harus digunakan. ini memungkinkan untuk mengelakkan ralat kasar, berbeza dengan anggaran mata.

Anggaran selang dipanggil, yang ditentukan oleh dua nombor - hujung selang yang meliputi parameter anggaran. Anggaran selang memungkinkan untuk mewujudkan ketepatan dan kebolehpercayaan anggaran.

Biarkan ciri statistik * yang ditemui daripada data sampel berfungsi sebagai anggaran parameter yang tidak diketahui. Kami akan menganggap bahawa ia adalah nombor tetap (mungkin pembolehubah rawak). Jelas bahawa * menentukan parameter β dengan lebih tepat, lebih kecil nilai mutlak perbezaan | - * |. Dengan kata lain, jika >0 dan | - * |< , то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Walau bagaimanapun, kaedah statistik tidak membenarkan secara mutlak menegaskan bahawa anggaran * memenuhi ketaksamaan | - *|<, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Kebolehpercayaan (kebarangkalian keyakinan) anggaran untuk * ialah kebarangkalian ketaksamaan | - *|<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Biarkan kebarangkalian bahawa | - *|<, равна т.е.

Menggantikan ketidaksamaan | - *|< равносильным ему двойным неравенством -<| - *|<, или *- <<*+, имеем

R(*-< <*+)=.

Selang keyakinan dipanggil (*- , *+), yang meliputi parameter yang tidak diketahui dengan kebolehpercayaan yang diberikan.

Selang keyakinan untuk menganggar jangkaan matematik bagi taburan normal apabila diketahui.

Anggaran selang dengan kebolehpercayaan jangkaan matematik a bagi sifat kuantitatif taburan normal X oleh min sampel x dengan sisihan piawai populasi umum yang diketahui ialah selang keyakinan

x - t(/n^?)< a < х + t(/n^?),

dengan t(/n^?)= ialah ketepatan anggaran, n ialah saiz sampel, t ialah nilai hujah bagi fungsi Laplace Ф(t), di mana Ф(t)=/2.

Daripada kesamaan t(/n^?)=, kita boleh membuat kesimpulan berikut:

1. dengan pertambahan saiz sampel n, bilangannya berkurangan dan, oleh itu, ketepatan anggaran bertambah;

2. peningkatan dalam kebolehpercayaan anggaran = 2Ф(t) membawa kepada peningkatan dalam t (Ф(t) ialah fungsi yang meningkat), oleh itu, kepada peningkatan; dengan kata lain, peningkatan dalam kebolehpercayaan anggaran klasik memerlukan penurunan ketepatannya.

Contoh. Pembolehubah rawak X mempunyai taburan normal dengan sisihan piawai yang diketahui =3. Cari selang keyakinan untuk menganggar jangkaan yang tidak diketahui a daripada sampel bermakna x, jika saiz sampel ialah n = 36 dan anggaran kebolehpercayaan ditetapkan kepada 0.95.

Penyelesaian. Mari cari t. Daripada hubungan 2Ф(t) = 0.95 kita perolehi Ф (t) = 0.475. Mengikut jadual kita dapati t=1.96.

Cari ketepatan anggaran:

pengukuran selang keyakinan ketepatan

T(/n^?)= (1 .96 . 3)/ /36 = 0.98.

Selang keyakinan ialah: (x - 0.98; x + 0.98). Sebagai contoh, jika x = 4.1, maka selang keyakinan mempunyai had keyakinan berikut:

x - 0.98 = 4.1 - 0.98 = 3.12; x + 0.98 = 4.1 + 0.98 = 5.08.

Oleh itu, nilai parameter a yang tidak diketahui, selaras dengan data sampel, memenuhi ketaksamaan 3.12< а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

Mari kita terangkan maksud kebolehpercayaan yang diberikan. Kebolehpercayaan = 0.95 menunjukkan bahawa jika bilangan sampel yang cukup besar diambil, maka 95% daripadanya menentukan selang keyakinan sedemikian di mana parameter sebenarnya disertakan; hanya dalam 5% kes ia boleh melepasi selang keyakinan.

Sekiranya diperlukan untuk menganggar jangkaan matematik dengan ketepatan dan kebolehpercayaan yang telah ditetapkan, maka saiz sampel minimum yang akan memastikan ketepatan ini ditemui oleh formula

Selang keyakinan untuk menganggar jangkaan matematik bagi taburan normal dengan yang tidak diketahui

Anggaran selang dengan kebolehpercayaan jangkaan matematik a bagi sifat kuantitatif taburan normal X oleh min sampel x dengan sisihan piawai populasi umum yang tidak diketahui ialah selang keyakinan

x - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?),

di mana s ialah sisihan piawai sampel "dibetulkan", t() ditemui dalam jadual mengikut yang diberikan dan n.

Contoh. Atribut kuantitatif X populasi umum adalah taburan normal. Berdasarkan saiz sampel n=16, min sampel x = 20.2 dan sisihan piawai “dibetulkan” s = 0.8 didapati. Anggarkan min yang tidak diketahui menggunakan selang keyakinan dengan kebolehpercayaan 0.95.

Penyelesaian. Mari cari t(). Menggunakan jadual, untuk = 0.95 dan n=16 kita dapati t()=2.13.

Mari cari had keyakinan:

x - t () (s / n ^?) \u003d 20.2 - 2.13 *. 0.8/16^? = 19.774

x + t()(s/n^?) = 20.2 + 2.13 * 0.8/16^? = 20.626

Jadi, dengan kebolehpercayaan 0.95, parameter a yang tidak diketahui terkandung dalam selang keyakinan 19.774< а < 20,626

Anggaran nilai sebenar nilai yang diukur

Biarkan n ukuran yang sama bebas bagi beberapa kuantiti fizik dibuat, nilai sebenar yang tidak diketahui.

Kami akan mempertimbangkan keputusan pengukuran individu sebagai pembolehubah rawak Хl, Х2,…Хn. Kuantiti ini adalah bebas (ukuran adalah bebas). Mereka mempunyai jangkaan matematik yang sama a (nilai sebenar nilai yang diukur), varians yang sama ^2 (ukuran setara) dan diedarkan secara normal (andaian ini disahkan oleh pengalaman).

Oleh itu, semua andaian yang dibuat apabila memperoleh selang keyakinan dipenuhi, dan, oleh itu, kami bebas menggunakan formula. Dengan kata lain, nilai sebenar kuantiti yang diukur boleh dianggarkan daripada min aritmetik hasil pengukuran individu menggunakan selang keyakinan.

Contoh. Berdasarkan data sembilan ukuran tak bersandar sama-tepat bagi kuantiti fizik, min aritmetik keputusan ukuran individu x = 42.319 dan sisihan piawai "dibetulkan" s = 5.0 didapati. Ia dikehendaki menganggar nilai sebenar kuantiti yang diukur dengan kebolehpercayaan = 0.95.

Penyelesaian. Nilai sebenar kuantiti yang diukur adalah sama dengan jangkaan matematiknya. Oleh itu, masalah dikurangkan kepada menganggar jangkaan matematik (dalam yang tidak diketahui) menggunakan selang keyakinan meliputi a dengan kebolehpercayaan yang diberikan = 0.95.

x - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?)

Menggunakan jadual, untuk y \u003d 0.95 dan l \u003d 9 kami dapati

Cari ketepatan anggaran:

t()(s/n^?) = 2.31 * 5/9^?=3.85

Mari cari had keyakinan:

x - t () (s / n ^?) \u003d 42.319 - 3.85 \u003d 38.469;

x + t () (s / n ^?) \u003d 42.319 + 3.85 \u003d 46.169.

Jadi, dengan kebolehpercayaan 0.95, nilai sebenar nilai yang diukur terletak pada selang keyakinan 38.469< а < 46,169.

Selang keyakinan untuk menganggar sisihan piawai bagi taburan normal.

Biarkan atribut kuantitatif X populasi umum diedarkan secara normal. Ia diperlukan untuk menganggar sisihan piawai am yang tidak diketahui daripada sisihan piawai sampel "dibetulkan" s. Untuk melakukan ini, kami menggunakan anggaran selang.

Anggaran selang (dengan kebolehpercayaan) sisihan piawai o bagi atribut kuantitatif taburan normal X daripada sisihan piawai sampel "dibetulkan" ialah selang keyakinan

s (1 -- q)< < s (1 + q) (при q < 1),

0 < < s (1 + q) (при q > 1),

di mana q didapati mengikut jadual bagi n n yang diberi.

Contoh 1. Atribut kuantitatif X populasi umum adalah taburan normal. Berdasarkan sampel bersaiz n = 25, sisihan piawai "dibetulkan" s = 0.8 ditemui. Cari selang keyakinan yang meliputi sisihan piawai am dengan kebolehpercayaan 0.95.

Penyelesaian. Mengikut jadual, mengikut data = 0.95 dan n = 25, kita dapati q = 0.32.

Selang keyakinan yang diperlukan s (1 -- q)< < s (1 + q) таков:

0,8(1-- 0,32) < < 0,8(1+0,32), или 0,544 < < 1,056.

Contoh 2. Atribut kuantitatif X populasi umum adalah taburan normal. Berdasarkan sampel bersaiz n=10, sisihan piawai "dibetulkan" s = 0.16 ditemui. Cari selang keyakinan yang meliputi sisihan piawai am dengan kebolehpercayaan 0.999.

Penyelesaian. Mengikut jadual aplikasi, mengikut data = 0.999 dan n=10, kita dapati 17= 1.80 (q > 1). Selang keyakinan yang dikehendaki ialah:

0 < < 0,16(1 + 1,80), или 0 < < 0,448.

Gred ketepatan pengukuran

Dalam teori ralat, adalah lazim untuk mencirikan ketepatan pengukuran (ketepatan instrumen) menggunakan sisihan piawai ralat pengukuran rawak. Sisihan piawai "dibetulkan" digunakan untuk penilaian. Memandangkan keputusan pengukuran biasanya saling bebas, mempunyai jangkaan matematik yang sama (nilai sebenar kuantiti yang diukur) dan serakan yang sama (dalam kes ukuran yang sama tepat), teori yang dibentangkan dalam perenggan sebelumnya boleh digunakan untuk menilai pengukuran ketepatan.

Contoh. Berdasarkan 15 ukuran yang sama tepat, sisihan piawai "dibetulkan" s = 0.12 ditemui. Cari ketepatan ukuran dengan kebolehpercayaan 0.99.

Penyelesaian. Ketepatan pengukuran dicirikan oleh sisihan piawai ralat rawak, jadi masalah dikurangkan untuk mencari selang keyakinan s (1 - q)< < s (1 + q) , покрывающего с заданной надежностью 0,99

Mengikut jadual aplikasi untuk = 0.99 dan n=15 kita dapati q = 0.73.

Selang keyakinan yang diingini

0,12(1-- 0,73) < < 0,12(1+0,73), или 0.03 < < 0,21.

Anggaran kebarangkalian (taburan binomial) mengikut kekerapan relatif

Anggaran selang (dengan kebolehpercayaan) bagi kebarangkalian p yang tidak diketahui bagi taburan binomial berkenaan dengan kekerapan relatif w ialah selang keyakinan (dengan anggaran hujung p1 dan p2)

p1< p < p2,

di mana n ialah jumlah bilangan ujian; m ialah bilangan kejadian peristiwa; w ialah kekerapan relatif sama dengan nisbah m/n; t ialah nilai hujah bagi fungsi Laplace, di mana Ф(t) = /2.

Komen. Untuk nilai besar n (daripada susunan ratusan), seseorang boleh mengambil sebagai sempadan anggaran selang keyakinan

Selalunya penilai perlu menganalisis pasaran hartanah bagi segmen di mana objek penilaian berada. Jika pasaran dibangunkan, sukar untuk menganalisis keseluruhan set objek yang dibentangkan, oleh itu, sampel objek digunakan untuk analisis. Sampel ini tidak selalunya homogen, kadangkala ia diperlukan untuk membersihkannya daripada keterlaluan - tawaran pasaran yang terlalu tinggi atau terlalu rendah. Untuk tujuan ini, ia digunakan selang keyakinan. Tujuan kajian ini adalah untuk menjalankan analisis perbandingan dua kaedah untuk mengira selang keyakinan dan memilih pilihan pengiraan terbaik apabila bekerja dengan sampel yang berbeza dalam sistem estimatica.pro.

Selang keyakinan - dikira berdasarkan sampel, selang nilai ciri, yang dengan kebarangkalian diketahui mengandungi parameter anggaran populasi umum.

Maksud pengiraan selang keyakinan ialah membina selang sedemikian berdasarkan data sampel supaya boleh ditegaskan dengan kebarangkalian tertentu bahawa nilai parameter yang dianggarkan berada dalam selang ini. Dalam erti kata lain, selang keyakinan dengan kebarangkalian tertentu mengandungi nilai kuantiti anggaran yang tidak diketahui. Semakin lebar selang, semakin tinggi ketidaktepatan.

Terdapat kaedah yang berbeza untuk menentukan selang keyakinan. Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan 2 cara:

melalui median dan sisihan piawai;
melalui nilai kritikal t-statistik (pekali Pelajar).

Peringkat analisis perbandingan kaedah berbeza untuk mengira CI:

1. membentuk sampel data;

2. kami memprosesnya dengan kaedah statistik: kami mengira nilai min, median, varians, dsb.;

3. kita mengira selang keyakinan dalam dua cara;

4. Analisis sampel yang telah dibersihkan dan selang keyakinan yang diperolehi.

Peringkat 1. Persampelan data

Sampel dibentuk menggunakan sistem estimatica.pro. Sampel termasuk 91 tawaran untuk penjualan pangsapuri 1 bilik di zon harga ke-3 dengan jenis perancangan "Khrushchev".

Jadual 1. Sampel awal

	Harga 1 sq.m., c.u.

Rajah 1. Sampel awal

Peringkat 2. Pemprosesan sampel awal

Pemprosesan sampel melalui kaedah statistik memerlukan pengiraan nilai berikut:

1. Min aritmetik

2. Median - nombor yang mencirikan sampel: betul-betul separuh daripada elemen sampel lebih besar daripada median, separuh lagi kurang daripada median

(untuk sampel dengan bilangan nilai ganjil)

3. Julat - perbezaan antara nilai maksimum dan minimum dalam sampel

4. Varians - digunakan untuk menganggar variasi dalam data dengan lebih tepat

5. Sisihan piawai bagi sampel (selepas ini dirujuk sebagai RMS) ialah penunjuk paling biasa bagi serakan nilai pelarasan di sekitar min aritmetik.

6. Pekali variasi - mencerminkan tahap serakan nilai pelarasan

7. pekali ayunan - mencerminkan turun naik relatif nilai ekstrem harga dalam sampel sekitar purata

Jadual 2. Penunjuk statistik sampel asal

Pekali variasi, yang mencirikan kehomogenan data, ialah 12.29%, tetapi pekali ayunan terlalu besar. Oleh itu, kita boleh menyatakan bahawa sampel asal tidak homogen, jadi mari kita teruskan untuk mengira selang keyakinan.

Peringkat 3. Pengiraan selang keyakinan

Kaedah 1. Pengiraan melalui median dan sisihan piawai.

Selang keyakinan ditentukan seperti berikut: nilai minimum - sisihan piawai ditolak daripada median; nilai maksimum - sisihan piawai ditambah kepada median.

Oleh itu, selang keyakinan (47179 CU; 60689 CU)

nasi. 2. Nilai dalam selang keyakinan 1.

Kaedah 2. Membina selang keyakinan melalui nilai kritikal t-statistik (pekali Pelajar)

S.V. Gribovsky dalam buku "Kaedah matematik untuk menilai nilai harta" menerangkan kaedah untuk mengira selang keyakinan melalui pekali Pelajar. Apabila mengira dengan kaedah ini, penganggar sendiri mesti menetapkan tahap keertian ∝, yang menentukan kebarangkalian selang keyakinan akan dibina. Tahap keertian 0.1 biasanya digunakan; 0.05 dan 0.01. Mereka sepadan dengan kebarangkalian keyakinan 0.9; 0.95 dan 0.99. Dengan kaedah ini, nilai sebenar jangkaan dan varians matematik dianggap tidak diketahui secara praktikal (yang hampir selalu benar apabila menyelesaikan masalah penilaian praktikal).

Formula selang keyakinan:

n - saiz sampel;

Nilai kritikal t-statistik (Taburan Pelajar) dengan tahap keertian ∝, bilangan darjah kebebasan n-1, yang ditentukan oleh jadual statistik khas atau menggunakan MS Excel (→"Statistik"→ STUDRASPOBR);

∝ - aras keertian, kita ambil ∝=0.01.

nasi. 2. Nilai dalam selang keyakinan 2.

Langkah 4. Analisis cara berbeza untuk mengira selang keyakinan

Dua kaedah mengira selang keyakinan - melalui median dan pekali Pelajar - membawa kepada nilai selang yang berbeza. Sehubungan itu, dua sampel tulen berbeza diperolehi.

Jadual 3. Petunjuk statistik bagi tiga sampel.

Indeks	Sampel awal	1 pilihan	Pilihan 2
Min


Penyerakan

Coef. variasi
Coef. ayunan
Bilangan objek bersara, pcs.

Berdasarkan pengiraan yang dilakukan, kita boleh mengatakan bahawa nilai selang keyakinan yang diperolehi oleh kaedah yang berbeza bersilang, jadi anda boleh menggunakan mana-mana kaedah pengiraan mengikut budi bicara penilai.

Walau bagaimanapun, kami percaya bahawa apabila bekerja dalam sistem estimatica.pro, adalah dinasihatkan untuk memilih kaedah untuk mengira selang keyakinan, bergantung pada tahap pembangunan pasaran:

jika pasaran tidak dibangunkan, gunakan kaedah pengiraan melalui sisihan median dan piawai, kerana bilangan objek bersara dalam kes ini adalah kecil;
jika pasaran dibangunkan, gunakan pengiraan melalui nilai kritikal t-statistik (pekali Pelajar), kerana ia adalah mungkin untuk membentuk sampel permulaan yang besar.

Dalam penyediaan artikel digunakan:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Kaedah matematik untuk menilai nilai harta. Moscow, 2014

2. Data daripada sistem estimatica.pro

Analisis ralat rawak adalah berdasarkan teori ralat rawak, yang memungkinkan, dengan jaminan tertentu, untuk mengira nilai sebenar kuantiti yang diukur dan menilai kemungkinan ralat.

Asas teori ralat rawak adalah andaian berikut:

dengan sejumlah besar ukuran, ralat rawak dengan magnitud yang sama, tetapi dengan tanda yang berbeza, berlaku sama kerap;

ralat besar adalah kurang biasa daripada ralat kecil (kebarangkalian ralat berkurangan dengan peningkatan nilainya);

dengan bilangan ukuran yang tidak terhingga besar, nilai sebenar kuantiti yang diukur adalah sama dengan min aritmetik semua hasil pengukuran;

kemunculan satu atau satu lagi hasil pengukuran sebagai peristiwa rawak diterangkan oleh hukum taburan normal.

Dalam amalan, perbezaan dibuat antara set ukuran umum dan sampel.

Di bawah penduduk umum membayangkan keseluruhan set nilai pengukuran yang mungkin atau nilai ralat yang mungkin
.

Bagi populasi sampel bilangan ukuran terhad, dan dalam setiap kes ditakrifkan dengan ketat. Mereka berpendapat bahawa jika
, maka nilai purata set ukuran ini cukup dekat dengan nilai sebenar.

1. Anggaran Selang Menggunakan Kebarangkalian Keyakinan

Untuk sampel yang besar dan undang-undang taburan normal, ciri penilaian umum pengukuran ialah varians
dan pekali variasi :

;
. (1.1)

Penyerakan mencirikan kehomogenan sesuatu ukuran. Semakin tinggi
, lebih besar serakan ukuran.

Pekali variasi mencirikan kebolehubahan. Semakin tinggi , lebih besar kebolehubahan ukuran berbanding dengan nilai min.

Untuk menilai kebolehpercayaan keputusan pengukuran, konsep selang keyakinan dan kebarangkalian keyakinan diperkenalkan sebagai pertimbangan.

Dipercayai dipanggil selang nilai , di mana nilai sebenar jatuh kuantiti yang diukur dengan kebarangkalian tertentu.

Kebarangkalian Keyakinan (kebolehpercayaan) pengukuran ialah kebarangkalian bahawa nilai sebenar kuantiti yang diukur jatuh dalam selang keyakinan tertentu, i.e. ke zon
. Nilai ini ditentukan dalam pecahan unit atau dalam peratus.

di mana
- fungsi Laplace integral ( jadual 1.1 )

Fungsi Laplace integral ditakrifkan oleh ungkapan berikut:

Hujah untuk fungsi ini ialah faktor jaminan :

Jadual 1.1

Fungsi Laplace Integral

Jika, berdasarkan data tertentu, kebarangkalian keyakinan diwujudkan (sering dianggap sebagai
), kemudian tetapkan ketepatan ukuran (selang keyakinan
) berdasarkan nisbah