Pecahan, operasi dengan pecahan. Operasi dengan pecahan biasa

Pecahan adalah biasa dan perpuluhan. Apabila pelajar mengetahui tentang kewujudan yang terakhir, dia mula pada setiap peluang untuk menterjemah semua yang mungkin ke dalam bentuk perpuluhan, walaupun ini tidak diperlukan.

Anehnya, keutamaan pelajar sekolah menengah dan pelajar berubah, kerana lebih mudah untuk melakukan banyak operasi aritmetik dengan pecahan biasa. Dan nilai yang ditangani graduan kadang-kadang mustahil untuk ditukar kepada bentuk perpuluhan tanpa kehilangan. Akibatnya, kedua-dua jenis pecahan, satu cara atau yang lain, disesuaikan dengan kes dan mempunyai kelebihan dan kekurangan mereka sendiri. Mari lihat bagaimana untuk bekerja dengan mereka.

Definisi

Pecahan adalah bahagian yang sama. Sekiranya terdapat sepuluh keping dalam sebiji oren, dan anda diberi satu, maka anda mempunyai 1/10 buah di tangan anda. Dengan notasi sedemikian, seperti dalam ayat sebelumnya, pecahan itu akan dipanggil pecahan biasa. Jika anda menulis sama dengan 0.1 - perpuluhan. Kedua-dua pilihan adalah sama, tetapi mempunyai kelebihan mereka sendiri. Pilihan pertama adalah lebih mudah untuk pendaraban dan pembahagian, yang kedua - untuk penambahan, penolakan, dan dalam beberapa kes lain.

Cara menukar pecahan kepada bentuk lain

Katakan anda mempunyai pecahan biasa dan anda ingin menukarnya kepada perpuluhan. Apa yang perlu saya buat?

Dengan cara ini, anda perlu membuat keputusan terlebih dahulu bahawa tidak ada sebarang nombor boleh ditulis dalam bentuk perpuluhan tanpa masalah. Kadang-kadang anda perlu membulatkan keputusan, kehilangan bilangan tempat perpuluhan tertentu, dan dalam banyak kawasan - contohnya, dalam sains tepat - ini adalah kemewahan yang tidak mampu dimiliki sama sekali. Pada masa yang sama, tindakan dengan pecahan perpuluhan dan biasa dalam gred ke-5 memungkinkan untuk melakukan pemindahan sedemikian dari satu jenis ke yang lain tanpa gangguan, sekurang-kurangnya sebagai latihan.

Jika daripada penyebut, dengan mendarab atau membahagikan dengan integer, anda boleh mendapatkan nilai gandaan 10, pemindahan akan berlalu tanpa sebarang kesulitan: ¾ bertukar menjadi 0.75, 13/20 - menjadi 0.65.

Prosedur songsang adalah lebih mudah, kerana anda sentiasa boleh mendapatkan pecahan biasa daripada pecahan perpuluhan tanpa kehilangan ketepatan. Sebagai contoh, 0.2 menjadi 1/5 dan 0.08 menjadi 4/25.

Penukaran dalaman

Sebelum melakukan tindakan bersama dengan pecahan biasa, anda perlu menyediakan nombor untuk kemungkinan operasi matematik.

Pertama sekali, anda perlu membawa semua pecahan dalam contoh kepada satu bentuk am. Ia mestilah sama ada biasa atau perpuluhan. Segera buat tempahan bahawa pendaraban dan pembahagian lebih mudah dilakukan dengan yang pertama.

Dalam menyediakan nombor untuk tindakan selanjutnya, anda akan dibantu oleh peraturan yang dikenali sebagai dan digunakan pada tahun-tahun awal mempelajari subjek itu, dan dalam matematik yang lebih tinggi, yang dipelajari di universiti.

Sifat pecahan

Katakan anda mempunyai beberapa nilai. Katakan 2/3. Apakah yang berlaku jika anda mendarabkan pengangka dan penyebut dengan 3? Dapatkan 6/9. Bagaimana jika ia sejuta? 2000000/3000000. Tetapi tunggu, kerana nombor itu tidak berubah secara kualitatif sama sekali - 2/3 kekal sama dengan 2000000/3000000. Hanya bentuk yang berubah, bukan kandungan. Perkara yang sama berlaku apabila kedua-dua bahagian dibahagikan dengan nilai yang sama. Ini ialah sifat utama pecahan, yang berulang kali akan membantu anda melakukan tindakan dengan pecahan perpuluhan dan biasa pada ujian dan peperiksaan.

Mendarabkan pengangka dan penyebut dengan nombor yang sama dipanggil mengembangkan pecahan, dan membahagi dipanggil mengurangkan. Saya mesti mengatakan bahawa memotong nombor yang sama di bahagian atas dan bawah apabila mendarab dan membahagi pecahan adalah prosedur yang sangat menyenangkan (sebagai sebahagian daripada pelajaran matematik, sudah tentu). Nampaknya jawapannya sudah dekat dan contoh boleh diselesaikan secara praktikal.

Pecahan tak wajar

Pecahan tak wajar ialah pecahan yang pengangkanya lebih besar daripada atau sama dengan penyebutnya. Dengan kata lain, jika keseluruhan bahagian boleh dibezakan daripadanya, ia berada di bawah takrifan ini.

Jika nombor tersebut (lebih daripada atau sama dengan satu) diwakili sebagai pecahan biasa, ia akan dipanggil tidak wajar. Dan jika pengangka kurang daripada penyebut - betul. Kedua-dua jenis adalah sama mudah dalam pelaksanaan tindakan yang mungkin dengan pecahan biasa. Mereka boleh didarab dan dibahagikan, ditambah dan ditolak secara bebas.

Jika pada masa yang sama bahagian integer dipilih dan pada masa yang sama terdapat baki dalam bentuk pecahan, nombor yang terhasil akan dipanggil bercampur. Pada masa hadapan, anda akan menghadapi pelbagai cara untuk menggabungkan struktur tersebut dengan pembolehubah, serta menyelesaikan persamaan di mana pengetahuan ini diperlukan.

Operasi aritmetik

Jika semuanya jelas dengan sifat asas pecahan, maka bagaimana untuk bertindak semasa mendarab pecahan? Tindakan dengan pecahan biasa dalam gred 5 melibatkan semua jenis operasi aritmetik yang dilakukan dalam dua cara berbeza.

Pendaraban dan pembahagian adalah sangat mudah. Dalam kes pertama, pengangka dan penyebut dua pecahan hanya didarabkan. Dalam kedua - sama, hanya bersilang. Oleh itu, pengangka pecahan pertama didarab dengan penyebut kedua, dan sebaliknya.

Untuk melakukan penambahan dan penolakan, anda perlu melakukan tindakan tambahan - bawa semua komponen ungkapan kepada penyebut biasa. Ini bermakna bahagian bawah pecahan mesti ditukar kepada nilai yang sama - gandaan kedua-dua penyebut yang tersedia. Sebagai contoh, untuk 2 dan 5 ia akan menjadi 10. Untuk 3 dan 6 - 6. Tetapi kemudian apa yang perlu dilakukan dengan bahagian atas? Kita tidak boleh membiarkannya seperti yang berlaku jika kita menukar bahagian bawah. Menurut sifat asas pecahan, kita mendarabkan pengangka dengan nombor yang sama dengan penyebutnya. Operasi ini mesti dilakukan pada setiap nombor yang akan kita tambah atau tolak. Walau bagaimanapun, tindakan sedemikian dengan pecahan biasa dalam gred ke-6 sudah dilakukan "pada mesin", dan kesukaran timbul hanya pada peringkat awal mempelajari topik itu.

Perbandingan

Jika dua pecahan mempunyai penyebut yang sama, maka pecahan dengan pengangka yang lebih besar akan menjadi lebih besar. Jika bahagian atasnya sama, maka yang mempunyai penyebut yang lebih kecil akan menjadi lebih besar. Perlu diingat bahawa situasi yang berjaya untuk perbandingan jarang berlaku. Kemungkinan besar, kedua-dua bahagian atas dan bawah ungkapan tidak akan sepadan. Kemudian anda perlu ingat tentang tindakan yang mungkin dengan pecahan biasa dan gunakan teknik yang digunakan sebagai penambahan dan penolakan. Di samping itu, ingat bahawa jika kita bercakap tentang nombor negatif, maka pecahan yang lebih besar dalam modulus akan menjadi lebih kecil.

Kelebihan pecahan biasa

Ia berlaku bahawa guru memberitahu kanak-kanak satu frasa, kandungan yang boleh dinyatakan seperti berikut: lebih banyak maklumat diberikan semasa merumuskan tugas, lebih mudah penyelesaiannya. Pelik ke bunyinya? Tetapi sebenarnya: dengan sejumlah besar nilai yang diketahui, anda boleh menggunakan hampir semua formula, tetapi jika hanya beberapa nombor disediakan, pantulan tambahan mungkin diperlukan, anda perlu mengingati dan membuktikan teorem, memberikan hujah yang memihak kepada kebenaran anda ...

Mengapa kita melakukan ini? Lebih-lebih lagi, pecahan biasa, untuk semua kerumitannya, boleh memudahkan kehidupan pelajar, membolehkan anda mengurangkan keseluruhan baris nilai apabila mendarab dan membahagi, dan apabila mengira jumlah dan perbezaan, mengeluarkan hujah biasa dan , sekali lagi, kurangkan mereka.

Apabila diperlukan untuk melakukan tindakan bersama dengan pecahan biasa dan pecahan perpuluhan, transformasi dijalankan memihak kepada yang pertama: bagaimana anda menterjemah 3/17 ke dalam bentuk perpuluhan? Hanya dengan kehilangan maklumat, bukan sebaliknya. Tetapi 0.1 boleh diwakili sebagai 1/10, dan kemudian sebagai 17/170. Dan kemudian dua nombor yang terhasil boleh ditambah atau ditolak: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Mengapakah perpuluhan berguna?

Jika tindakan dengan pecahan biasa lebih mudah untuk dijalankan, maka menulis segala-galanya dengan bantuan mereka adalah amat menyusahkan, perpuluhan mempunyai kelebihan yang ketara di sini. Bandingkan: 1748/10000 dan 0.1748. Ia adalah nilai yang sama yang dibentangkan dalam dua versi berbeza. Sudah tentu, cara kedua lebih mudah!

Di samping itu, perpuluhan lebih mudah untuk diwakili kerana semua data mempunyai asas sepunya yang berbeza hanya mengikut tertib magnitud. Katakan kita boleh mengenali diskaun 30% dengan mudah malah menilai ia sebagai penting. Adakah anda akan segera memahami yang mana lebih - 30% atau 137/379? Oleh itu, pecahan perpuluhan menyediakan penyeragaman pengiraan.

Di sekolah menengah, pelajar menyelesaikan persamaan kuadratik. Sudah menjadi sangat bermasalah untuk melakukan tindakan dengan pecahan biasa di sini, kerana formula untuk mengira nilai pembolehubah mengandungi punca kuasa dua jumlah itu. Dengan adanya pecahan yang tidak boleh dikurangkan kepada perpuluhan, penyelesaiannya menjadi sangat rumit sehingga menjadi hampir mustahil untuk mengira jawapan yang tepat tanpa kalkulator.

Jadi, setiap cara mewakili pecahan mempunyai kelebihan tersendiri dalam konteks yang sesuai.

Bentuk kemasukan

Terdapat dua cara untuk menulis tindakan dengan pecahan biasa: melalui garis mendatar, menjadi dua "peringkat", dan melalui garis miring (aka "slash") - ke dalam garis. Apabila pelajar menulis dalam buku nota, pilihan pertama biasanya lebih mudah, dan oleh itu lebih biasa. Pengagihan beberapa nombor ke dalam sel menyumbang kepada perkembangan perhatian dalam pengiraan dan transformasi. Apabila menulis pada rentetan, anda secara tidak sengaja boleh mengelirukan susunan tindakan, kehilangan sebarang data - iaitu, membuat kesilapan.

Selalunya pada zaman kita terdapat keperluan untuk mencetak nombor pada komputer. Anda boleh memisahkan pecahan dengan bar mendatar tradisional menggunakan fungsi dalam Microsoft Word 2010 dan lebih baru. Hakikatnya ialah dalam versi perisian ini terdapat pilihan yang dipanggil "formula". Ia memaparkan medan boleh ubah segi empat tepat di mana anda boleh menggabungkan mana-mana simbol matematik, membentuk kedua-dua pecahan dua dan "empat tingkat". Dalam penyebut dan pengangka, anda boleh menggunakan kurungan, tanda operasi. Hasilnya, anda akan dapat menulis sebarang tindakan bersama dengan pecahan biasa dan pecahan perpuluhan dalam bentuk tradisional, iaitu cara mereka mengajar anda melakukannya di sekolah.

Jika anda menggunakan editor teks Notepad standard, maka semua ungkapan pecahan perlu ditulis melalui garis miring. Malangnya, tiada jalan lain di sini.

Kesimpulan

Oleh itu, kami telah mempertimbangkan semua tindakan asas dengan pecahan biasa, yang ternyata tidak begitu banyak.

Jika pada mulanya nampaknya ini adalah bahagian matematik yang kompleks, maka ini hanya tanggapan sementara - ingat, sebaik sahaja anda berfikir tentang jadual pendaraban, dan lebih awal lagi - mengenai buku salinan biasa dan mengira dari satu hingga sepuluh.

Adalah penting untuk memahami bahawa pecahan digunakan di mana-mana dalam kehidupan seharian. Anda akan berurusan dengan wang dan pengiraan kejuruteraan, teknologi maklumat dan celik muzik, dan di mana-mana - di mana-mana sahaja! - nombor pecahan akan muncul. Oleh itu, jangan malas dan pelajari topik ini dengan teliti - terutamanya kerana ia tidak begitu sukar.

Pendaraban dan pembahagian pecahan.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Operasi ini jauh lebih baik daripada tambah-tolak! Kerana ia lebih mudah. Saya mengingatkan anda: untuk mendarab pecahan dengan pecahan, anda perlu mendarabkan pengangka (ini akan menjadi pengangka hasil) dan penyebut (ini akan menjadi penyebut). Itu dia:

Sebagai contoh:

Semuanya sangat mudah. Dan tolong jangan cari penyebut biasa! Tidak perlu di sini...

Untuk membahagi pecahan dengan pecahan, anda perlu membalikkan kedua(ini penting!) pecahan dan darabkannya, iaitu:

Sebagai contoh:

Jika pendaraban atau pembahagian dengan integer dan pecahan ditangkap, tidak mengapa. Sebagai tambahan, kami membuat pecahan daripada nombor bulat dengan unit dalam penyebut - dan pergi! Sebagai contoh:

Di sekolah menengah, anda sering perlu berurusan dengan pecahan tiga tingkat (atau empat tingkat!). Sebagai contoh:

Bagaimana untuk membawa pecahan ini kepada bentuk yang baik? Ya, sangat mudah! Gunakan pembahagian melalui dua titik:

Tetapi jangan lupa tentang perintah pembahagian! Tidak seperti pendaraban, ini sangat penting di sini! Sudah tentu, kami tidak akan mengelirukan 4:2 atau 2:4. Tetapi dalam pecahan tiga tingkat adalah mudah untuk membuat kesilapan. Sila ambil perhatian, sebagai contoh:

Dalam kes pertama (ungkapan di sebelah kiri):

Dalam kedua (ungkapan di sebelah kanan):

Rasai kelainannya? 4 dan 1/9!

Apakah susunan pembahagian? Atau kurungan, atau (seperti di sini) panjang sengkang mendatar. Kembangkan mata. Dan jika tiada kurungan atau sempang, seperti:

kemudian bahagi-darab mengikut urutan, kiri ke kanan!

Dan satu lagi helah yang sangat mudah dan penting. Dalam tindakan dengan darjah, ia akan berguna untuk anda! Mari bahagikan unit dengan mana-mana pecahan, sebagai contoh, dengan 13/15:

Tembakan telah terbalik! Dan ia sentiasa berlaku. Apabila membahagi 1 dengan mana-mana pecahan, hasilnya adalah pecahan yang sama, hanya terbalik.

Itu sahaja tindakan dengan pecahan. Perkara itu agak mudah, tetapi memberikan lebih daripada cukup ralat. Ambil perhatian nasihat praktikal, dan akan ada lebih sedikit daripada mereka (kesilapan)!

Petua Praktikal:

1. Perkara yang paling penting apabila bekerja dengan ungkapan pecahan ialah ketepatan dan perhatian! Ini bukan kata-kata biasa, bukan harapan yang baik! Ini adalah keperluan yang teruk! Lakukan semua pengiraan pada peperiksaan sebagai tugas penuh, dengan penumpuan dan kejelasan. Adalah lebih baik untuk menulis dua baris tambahan dalam draf daripada menjadi kucar-kacir apabila mengira dalam kepala anda.

2. Dalam contoh dengan pelbagai jenis pecahan - pergi ke pecahan biasa.

3. Kami mengurangkan semua pecahan sehingga berhenti.

4. Kami mengurangkan ungkapan pecahan berbilang peringkat kepada yang biasa menggunakan pembahagian melalui dua mata (kami mengikut susunan pembahagian!).

5. Kami membahagikan unit kepada pecahan dalam fikiran kita, hanya dengan membalikkan pecahan itu.

Berikut adalah tugas yang perlu anda selesaikan. Jawapan diberikan selepas semua tugasan. Gunakan bahan topik ini dan nasihat praktikal. Anggarkan berapa banyak contoh yang anda boleh selesaikan dengan betul. Kali pertama! Tanpa kalkulator! Dan buat kesimpulan yang betul...

Ingat jawapan yang betul diperoleh dari kali kedua (terutama yang ketiga) - tidak dikira! Begitulah pahitnya kehidupan.

Jadi, selesaikan dalam mod peperiksaan ! Ini adalah persediaan untuk peperiksaan. Kami menyelesaikan contoh, kami menyemak, kami menyelesaikan perkara berikut. Kami memutuskan segala-galanya - kami menyemak semula dari yang pertama hingga yang terakhir. Tetapi hanya Kemudian lihat jawapannya.

Kira:

Adakah anda membuat keputusan?

Mencari jawapan yang sepadan dengan jawapan anda. Saya secara khusus menulisnya dalam keadaan kucar-kacir, jauh dari godaan, boleh dikatakan ... Ini dia, jawapannya, ditulis dengan koma bertitik.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Dan sekarang kita membuat kesimpulan. Jika semuanya berjaya - gembira untuk anda! Pengiraan asas dengan pecahan bukan masalah anda! Anda boleh melakukan perkara yang lebih serius. Jika tidak...

Jadi anda mempunyai satu daripada dua masalah. Atau kedua-duanya sekali.) Kurang pengetahuan dan (atau) kurang perhatian. Tetapi ini boleh diselesaikan Masalah.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Mari kita bersetuju bahawa "tindakan dengan pecahan" dalam pelajaran kita akan difahami sebagai tindakan dengan pecahan biasa. Pecahan ialah pecahan yang mempunyai sifat-sifat seperti pengangka, bar pecahan, dan penyebut. Ini membezakan pecahan biasa daripada pecahan perpuluhan, yang diperoleh daripada pecahan biasa dengan mengurangkan penyebutnya kepada gandaan 10. Pecahan perpuluhan ditulis dengan koma yang memisahkan bahagian integer daripada pecahan. Kami akan bercakap tentang operasi dengan pecahan biasa, kerana merekalah yang menyebabkan kesukaran terbesar bagi pelajar yang telah melupakan asas topik ini, yang diliputi dalam separuh pertama kursus matematik sekolah. Pada masa yang sama, apabila mengubah ungkapan dalam matematik yang lebih tinggi, ia adalah operasi dengan pecahan biasa yang digunakan. Beberapa singkatan pecahan bernilai sesuatu! Pecahan perpuluhan tidak menyebabkan banyak kesukaran. Jadi teruskan!

Dua pecahan dan dipanggil sama jika .

Sebagai contoh, kerana

Pecahan dan (sejak ), dan (sejak ) juga sama.

Jelas sekali, kedua-dua pecahan dan adalah sama. Ini bermakna jika pengangka dan penyebut pecahan tertentu didarab atau dibahagikan dengan nombor asli yang sama, maka pecahan yang sama dengan pecahan yang diberi akan diperolehi:.

Sifat ini dipanggil sifat asas pecahan.

Sifat asas pecahan boleh digunakan untuk menukar tanda pengangka dan penyebut pecahan. Jika pengangka dan penyebut pecahan didarab dengan -1, maka kita dapat. Ini bermakna nilai pecahan tidak akan berubah sekiranya tanda pengangka dan penyebut ditukar pada masa yang sama. Jika anda menukar tanda hanya pengangka atau hanya penyebut, maka pecahan akan menukar tandanya:

Pengurangan pecahan

Dengan menggunakan sifat asas pecahan, anda boleh menggantikan pecahan yang diberi dengan pecahan lain yang sama dengan pecahan yang diberi, tetapi dengan pengangka dan penyebut yang lebih kecil. Penggantian ini dipanggil pengurangan pecahan.

Biarkan, sebagai contoh, diberi pecahan. Nombor 36 dan 48 mempunyai pembahagi sepunya terbesar 12. Kemudian

Dalam kes umum, pengurangan pecahan sentiasa mungkin jika pengangka dan penyebut bukan nombor koprima. Jika pengangka dan penyebutnya adalah bilangan prima, maka pecahan itu disebut tidak dapat dikurangkan.

Jadi, mengurangkan pecahan bermakna membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor sepunya. Semua di atas digunakan untuk ungkapan pecahan yang mengandungi pembolehubah.

Contoh 1 Kurangkan pecahan

Penyelesaian. Untuk memfaktorkan pengangka menjadi faktor, setelah membentangkan monomial sebelumnya - 5 xy sebagai jumlah - 2 xy - 3xy, kita mendapatkan

Untuk memfaktorkan penyebut, kami menggunakan formula perbezaan kuasa dua:

Akibatnya

Membawa pecahan kepada penyebut biasa

Biarkan dua pecahan dan diberi. Mereka mempunyai penyebut yang berbeza: 5 dan 7. Dengan menggunakan sifat asas pecahan, anda boleh menggantikan pecahan ini dengan pecahan lain yang sama dengannya, dan supaya pecahan yang terhasil akan mempunyai penyebut yang sama. Mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan 7, kita dapat

Mendarabkan pengangka dan penyebut dengan 5, kita dapat

Jadi, pecahan dikurangkan kepada penyebut biasa:

Tetapi ini bukan satu-satunya penyelesaian kepada masalah: sebagai contoh, pecahan ini juga boleh dikurangkan kepada penyebut biasa 70:

dan secara umum kepada mana-mana penyebut yang boleh dibahagikan dengan kedua-dua 5 dan 7.

Mari kita pertimbangkan satu lagi contoh: mari kita kurangkan pecahan dan kepada penyebut biasa. Berhujah seperti dalam contoh sebelumnya, kita dapat

Tetapi dalam kes ini, anda boleh membawa pecahan kepada penyebut biasa, kurang daripada hasil darab penyebut pecahan ini. Cari gandaan sepunya terkecil bagi 24 dan 30: LCM(24, 30) = 120 .

Oleh kerana 120:4=5, untuk menulis pecahan dengan penyebut 120, kedua-dua pengangka dan penyebut mesti didarab dengan 5, nombor ini dipanggil faktor tambahan. Bermakna .

Selanjutnya, kita mendapat 120:30=4. Mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor tambahan 4, kita dapat .

Jadi, pecahan ini dikurangkan kepada penyebut biasa.

Gandaan sepunya terkecil daripada penyebut pecahan ini ialah penyebut sepunya terkecil yang mungkin.

Untuk ungkapan pecahan yang merangkumi pembolehubah, penyebut sepunya ialah polinomial yang boleh dibahagikan dengan penyebut setiap pecahan.

Contoh 2 Cari penyebut sepunya bagi pecahan dan .

Penyelesaian. Penyebut sepunya bagi pecahan ini ialah polinomial, kerana ia boleh dibahagikan dengan kedua-duanya dan oleh. Walau bagaimanapun, polinomial ini bukan satu-satunya yang boleh menjadi penyebut biasa bagi pecahan ini. Ia juga boleh menjadi polinomial , dan polinomial , dan polinomial dan lain-lain. Biasanya mereka mengambil penyebut sepunya sehingga mana-mana penyebut sepunya lain boleh dibahagi oleh penyebut yang dipilih tanpa baki. Penyebut sedemikian dipanggil penyebut sepunya terkecil.

Dalam contoh kami, penyebut sepunya terkecil ialah . mendapat:

;

Kami berjaya membawa pecahan kepada penyebut biasa terendah. Ini berlaku dengan mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan pertama dengan , dan pengangka dan penyebut pecahan kedua dengan . Polinomial dan dipanggil faktor tambahan, masing-masing, untuk pecahan pertama dan kedua.

Penambahan dan penolakan pecahan

Penambahan pecahan ditakrifkan seperti berikut:

Sebagai contoh,

Jika b = d, Itu

Ini bermakna untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, sudah cukup untuk menambah pengangka, dan membiarkan penyebutnya sama. Sebagai contoh,

Jika pecahan dengan penyebut berbeza ditambah, maka pecahan itu biasanya dikurangkan kepada penyebut sepunya terendah, dan kemudian pengangka ditambah. Sebagai contoh,

Sekarang pertimbangkan contoh menambah ungkapan pecahan dengan pembolehubah.

Contoh 3 Tukarkan ungkapan kepada satu pecahan

Penyelesaian. Mari cari penyebut yang paling tidak biasa. Untuk melakukan ini, kita mula-mula memfaktorkan penyebutnya.

Pecahan ialah nombor biasa, ia juga boleh ditambah dan ditolak. Tetapi disebabkan fakta bahawa mereka mempunyai penyebut, peraturan yang lebih kompleks diperlukan di sini daripada untuk integer.

Pertimbangkan kes termudah, apabila terdapat dua pecahan dengan penyebut yang sama. Kemudian:

Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, tambahkan pengangkanya dan biarkan penyebutnya tidak berubah.

Untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama, adalah perlu untuk menolak pengangka kedua daripada pengangka pecahan pertama, dan sekali lagi membiarkan penyebut tidak berubah.

Dalam setiap ungkapan, penyebut pecahan adalah sama. Dengan definisi penambahan dan penolakan pecahan, kita mendapat:

Seperti yang anda lihat, tiada yang rumit: hanya tambah atau tolak pengangka - dan itu sahaja.

Tetapi walaupun dalam tindakan mudah itu, orang berjaya melakukan kesilapan. Selalunya mereka lupa bahawa penyebut tidak berubah. Sebagai contoh, apabila menambahnya, mereka juga mula menambah, dan ini pada asasnya salah.

Menghilangkan tabiat buruk menambah penyebut agak mudah. Cuba lakukan perkara yang sama semasa menolak. Akibatnya, penyebut akan menjadi sifar, dan pecahan (tiba-tiba!) akan kehilangan maknanya.

Oleh itu, ingat sekali dan untuk semua: apabila menambah dan menolak, penyebut tidak berubah!

Selain itu, ramai orang membuat kesilapan apabila menambah beberapa pecahan negatif. Terdapat kekeliruan dengan tanda-tanda: di mana untuk meletakkan tolak, dan di mana - tambah.

Masalah ini juga sangat mudah untuk diselesaikan. Adalah cukup untuk diingat bahawa tolak sebelum tanda pecahan sentiasa boleh dipindahkan ke pengangka - dan sebaliknya. Dan tentu saja, jangan lupa dua peraturan mudah:

Tambah kali tolak memberi tolak;
Dua negatif membuat afirmatif.

Mari analisa semua ini dengan contoh khusus:

Tugasan. Cari nilai ungkapan:

Dalam kes pertama, semuanya mudah, dan dalam yang kedua, kami akan menambah tolak kepada pengangka pecahan:

Bagaimana jika penyebutnya berbeza

Anda tidak boleh terus menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza. Sekurang-kurangnya, kaedah ini tidak saya ketahui. Walau bagaimanapun, pecahan asal sentiasa boleh ditulis semula supaya penyebutnya menjadi sama.

Terdapat banyak cara untuk menukar pecahan. Tiga daripadanya dibincangkan dalam pelajaran " Membawa pecahan kepada penyebut yang sama", jadi kita tidak akan membincangkannya di sini. Mari kita lihat beberapa contoh:

Tugasan. Cari nilai ungkapan:

Dalam kes pertama, kami membawa pecahan kepada penyebut biasa menggunakan kaedah "bijak silang". Dalam yang kedua, kita akan mencari LCM. Perhatikan bahawa 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Faktor terakhir dalam pengembangan ini adalah sama, dan yang pertama adalah koprime. Oleh itu, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Bagaimana jika pecahan itu mempunyai bahagian integer

Saya boleh menggembirakan anda: penyebut pecahan yang berbeza bukanlah kejahatan yang paling besar. Lebih banyak ralat berlaku apabila keseluruhan bahagian diserlahkan dalam sebutan pecahan.

Sudah tentu, untuk pecahan tersebut terdapat algoritma penambahan dan penolakan sendiri, tetapi ia agak rumit dan memerlukan kajian yang panjang. Lebih baik gunakan rajah mudah di bawah:

Tukarkan semua pecahan yang mengandungi bahagian integer kepada tak wajar. Kami mendapat istilah biasa (walaupun dengan penyebut yang berbeza), yang dikira mengikut peraturan yang dibincangkan di atas;
Sebenarnya, hitung jumlah atau perbezaan pecahan yang terhasil. Akibatnya, kita secara praktikal akan mencari jawapannya;
Jika ini sahaja yang diperlukan dalam tugasan, kami melakukan transformasi songsang, i.e. kita menyingkirkan pecahan tidak wajar, menyerlahkan bahagian integer di dalamnya.

Peraturan untuk menukar kepada pecahan tak wajar dan menyerlahkan bahagian integer diterangkan secara terperinci dalam pelajaran "Apakah itu pecahan berangka". Jika anda tidak ingat, pastikan anda mengulanginya. Contoh:

Tugasan. Cari nilai ungkapan:

Semuanya mudah di sini. Penyebut dalam setiap ungkapan adalah sama, jadi ia kekal untuk menukar semua pecahan kepada yang tidak wajar dan dikira. Kami ada:

Untuk memudahkan pengiraan, saya melangkau beberapa langkah yang jelas dalam contoh terakhir.

Nota kecil kepada dua contoh terakhir, di mana pecahan dengan bahagian integer yang diserlahkan ditolak. Tolak sebelum pecahan kedua bermakna keseluruhan pecahan yang ditolak, dan bukan keseluruhan bahagiannya sahaja.

Baca semula ayat ini sekali lagi, lihat contoh, dan fikirkannya. Di sinilah pemula membuat banyak kesilapan. Mereka suka memberikan tugas sedemikian di tempat kerja kawalan. Anda juga akan bertemu mereka berulang kali dalam ujian untuk pelajaran ini, yang akan diterbitkan tidak lama lagi.

Ringkasan: Skim Umum Pengkomputeran

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan algoritma umum yang akan membantu anda mencari jumlah atau perbezaan dua atau lebih pecahan:

Jika bahagian integer diserlahkan dalam satu atau lebih pecahan, tukarkan pecahan ini kepada pecahan tak wajar;
Bawa semua pecahan kepada penyebut biasa dalam apa jua cara yang sesuai untuk anda (melainkan, sudah tentu, penyusun masalah melakukan ini);
Tambah atau tolak nombor yang terhasil mengikut peraturan menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang sama;
Kurangkan hasilnya jika boleh. Jika pecahan ternyata salah, pilih keseluruhan bahagian.

Ingat bahawa adalah lebih baik untuk menyerlahkan keseluruhan bahagian pada akhir tugasan, sejurus sebelum menulis jawapan.