Matriks segi empat sama identiti. (35) 84. Apakah matriks segi empat tepat dan segi empat sama? Contoh

ODA. Meja segi empat tepat dengan t garisan dan P lajur nombor nyata dipanggil matriks saiz t×n. Matriks dilambangkan dengan huruf Latin besar: A, B, ..., dan susunan nombor dibezakan dengan kurungan bulat atau persegi.

Nombor yang disertakan dalam jadual dipanggil elemen matriks dan dilambangkan dengan huruf Latin kecil dengan indeks berganda, di mana i- nombor garisan j– nombor lajur di persimpangan yang mana elemen itu terletak. Secara umum, matriks ditulis seperti berikut:

Dua matriks dipertimbangkan sama rata jika unsur-unsur yang sepadan adalah sama.

Jika bilangan baris matriks t sama dengan bilangan lajurnya P, maka matriks dipanggil segi empat sama(sebaliknya segi empat tepat).

Matriks Saiz
dipanggil matriks baris. Matriks Saiz

dipanggil matriks lajur.

Unsur matriks dengan indeks yang sama (
dsb.), bentuk pepenjuru utama matriks. pepenjuru yang lain dipanggil pepenjuru sisi.

Matriks segi empat sama dipanggil pepenjuru jika semua elemennya yang terletak di luar pepenjuru utama adalah sama dengan sifar.

Matriks pepenjuru yang entri pepenjurunya sama dengan satu dipanggil bujang matriks dan mempunyai tatatanda piawai E:

Jika semua elemen matriks yang terletak di atas (atau di bawah) pepenjuru utama adalah sama dengan sifar, matriks dikatakan mempunyai bentuk segi tiga:

§2. Operasi matriks

1. Transposisi matriks - satu penjelmaan di mana baris matriks ditulis sebagai lajur sambil mengekalkan susunannya. Untuk matriks segi empat sama, penjelmaan ini bersamaan dengan pemetaan simetri berkenaan dengan pepenjuru utama:

2. Matriks yang sama dimensi boleh dijumlahkan (ditolak). Jumlah (perbezaan) matriks ialah matriks dengan dimensi yang sama, setiap unsurnya adalah sama dengan jumlah (perbezaan) unsur-unsur yang sepadan bagi matriks asal:

3. Mana-mana matriks boleh didarab dengan nombor. Hasil darab matriks dengan nombor ialah matriks tertib yang sama, setiap unsurnya adalah sama dengan hasil darab unsur sepadan matriks asal dengan nombor ini:

4. Jika bilangan lajur satu matriks sama dengan bilangan baris yang lain, maka anda boleh mendarabkan matriks pertama dengan yang kedua. Hasil darab matriks tersebut ialah matriks, setiap unsurnya adalah sama dengan hasil tambah berpasangan bagi unsur-unsur baris yang sepadan bagi matriks pertama dan unsur-unsur lajur yang sepadan bagi matriks kedua.

Akibat. Eksponentasi matriks kepada>1 ialah hasil darab matriks A kepada sekali. Ditakrifkan untuk matriks segi empat sama sahaja.

Contoh.

Sifat operasi pada matriks.

(A+B)+C=A+(B+C);
k(A+B)=kA+kV;
A(B+C)=AB+AC;
(A+B)C=AC+BC;
k(AB)=(kA)B=A(kV);
A(BC)=(AB)C;
(kA) T =kA T;
(A + B) T \u003d A T + B T;
(AB) T =B T A T;

Sifat yang disenaraikan di atas adalah serupa dengan sifat operasi pada nombor. Terdapat juga sifat khusus matriks. Ini termasuk, sebagai contoh, sifat tersendiri bagi pendaraban matriks. Jika produk AB wujud, maka produk BA

Mungkin tidak wujud

Mungkin berbeza daripada AB.

Contoh. Syarikat itu mengeluarkan produk dua jenis A dan B dan menggunakan tiga jenis bahan mentah S 1 , S 2 , dan S 3 . Kadar penggunaan bahan mentah diberikan oleh matriks N=
, di mana n ij- kuantiti bahan mentah j dibelanjakan untuk pengeluaran satu unit keluaran i. Pelan pengeluaran diberikan oleh matriks C = (100 200), dan kos seunit bagi setiap jenis bahan mentah diberikan oleh matriks. . Tentukan kos bahan mentah yang diperlukan untuk keluaran yang dirancang dan jumlah kos bahan mentah.

Penyelesaian. Kos bahan mentah ditakrifkan sebagai hasil darab matriks C dan N:

Kami mengira jumlah kos bahan mentah sebagai produk S dan P.

Dalam topik ini, kita akan mempertimbangkan konsep matriks, serta jenis matriks. Memandangkan terdapat banyak istilah dalam topik ini, saya akan menambah ringkasan untuk memudahkan menavigasi bahan.

Definisi matriks dan unsurnya. Notasi.

Matriks ialah jadual dengan $m$ baris dan $n$ lajur. Unsur-unsur matriks boleh menjadi objek yang mempunyai sifat yang sangat pelbagai: nombor, pembolehubah, atau, sebagai contoh, matriks lain. Contohnya, matriks $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ mempunyai 3 baris dan 2 lajur; unsurnya ialah integer. Matriks $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ mengandungi 2 baris dan 4 lajur.

Cara yang berbeza untuk menulis matriks: tunjukkan\sembunyikan

Matriks boleh ditulis bukan sahaja dalam kurungan bulat, tetapi juga dalam kurungan lurus persegi atau berganda. Iaitu, entri di bawah bermaksud matriks yang sama:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Produk $m\times n$ dipanggil saiz matriks. Sebagai contoh, jika matriks mengandungi 5 baris dan 3 lajur, maka satu menyebut tentang matriks $5\kali 3$. Matriks $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ mempunyai saiz $3 \times 2$.

Matriks biasanya dilambangkan dengan huruf besar abjad Latin: $A$, $B$, $C$, dan seterusnya. Contohnya, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Penomboran baris pergi dari atas ke bawah; lajur - dari kiri ke kanan. Sebagai contoh, baris pertama matriks $B$ mengandungi unsur 5 dan 3, dan lajur kedua mengandungi unsur 3, -87, 0.

Unsur matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kecil. Contohnya, unsur-unsur matriks $A$ dilambangkan dengan $a_(ij)$. Indeks berganda $ij$ mengandungi maklumat tentang kedudukan unsur dalam matriks. Nombor $i$ ialah nombor baris, dan nombor $j$ ialah nombor lajur, di persimpangan yang mana elemen $a_(ij)$ terletak. Contohnya, pada persilangan baris kedua dan lajur kelima matriks $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ elemen $ a_(25)= $59:

Begitu juga, di persimpangan baris pertama dan lajur pertama, kita mempunyai elemen $a_(11)=51$; di persimpangan baris ketiga dan lajur kedua - elemen $a_(32)=-15$ dan seterusnya. Ambil perhatian bahawa $a_(32)$ dibaca sebagai "a tiga dua" tetapi bukan "tiga puluh dua".

Untuk sebutan singkatan bagi matriks $A$, yang saiznya bersamaan dengan $m\times n$, notasi $A_(m\times n)$ digunakan. Anda boleh menulis sedikit lebih terperinci:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

di mana tatatanda $(a_(ij))$ menandakan unsur-unsur matriks $A$. Dalam bentuk yang dikembangkan sepenuhnya, matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ boleh ditulis seperti berikut:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \kanan) $$

Mari kita perkenalkan istilah lain - matriks yang sama.

Dua matriks yang sama saiz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dan $B_(m\times n)=(b_(ij))$ dipanggil sama rata jika elemen sepadan mereka adalah sama, i.e. $a_(ij)=b_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline(1,n)$.

Penjelasan untuk entri $i=\overline(1,m)$: show\hide

Entri "$i=\overline(1,m)$" bermaksud parameter $i$ berubah daripada 1 kepada m. Sebagai contoh, entri $i=\overline(1,5)$ mengatakan bahawa parameter $i$ mengambil nilai 1, 2, 3, 4, 5.

Jadi, untuk kesamaan matriks, dua syarat diperlukan: kebetulan saiz dan kesamaan unsur yang sepadan. Sebagai contoh, matriks $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ tidak sama dengan matriks $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\kanan)$ kerana matriks $A$ ialah $3\kali 2$ dan matriks $B$ ialah $2\kali 2$. Juga matriks $A$ tidak sama dengan matriks $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\kanan) $ kerana $a_( 21)\neq c_(21)$ (iaitu $0\neq 98$). Tetapi untuk matriks $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$, kita boleh menulis $A dengan selamat =F$ kerana kedua-dua saiz dan unsur yang sepadan bagi matriks $A$ dan $F$ bertepatan.

Contoh #1

Tentukan saiz matriks $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(array) \kanan)$. Nyatakan apakah elemen $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ bersamaan.

Matriks ini mengandungi 5 baris dan 3 lajur, jadi saiznya ialah $5\kali 3$. Notasi $A_(5\times 3)$ juga boleh digunakan untuk matriks ini.

Elemen $a_(12)$ berada di persimpangan baris pertama dan lajur kedua, jadi $a_(12)=-2$. Unsur $a_(33)$ berada di persimpangan baris ketiga dan lajur ketiga, jadi $a_(33)=23$. Unsur $a_(43)$ berada di persimpangan baris keempat dan lajur ketiga, jadi $a_(43)=-5$.

Jawab: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Jenis matriks bergantung pada saiznya. pepenjuru utama dan sisi. Jejak matriks.

Biarkan beberapa matriks $A_(m\kali n)$ diberikan. Jika $m=1$ (matriks terdiri daripada satu baris), maka matriks yang diberikan dipanggil baris matriks. Jika $n=1$ (matriks terdiri daripada satu lajur), maka matriks sedemikian dipanggil matriks lajur. Contohnya, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ ialah matriks baris dan $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - matriks lajur.

Jika keadaan $m\neq n$ adalah benar untuk matriks $A_(m\times n)$ (iaitu, bilangan baris tidak sama dengan bilangan lajur), maka sering dikatakan bahawa $A$ ialah matriks segi empat tepat. Sebagai contoh, matriks $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ mempunyai saiz $2\times 4 $, mereka. mengandungi 2 baris dan 4 lajur. Oleh kerana bilangan baris tidak sama dengan bilangan lajur, matriks ini adalah segi empat tepat.

Jika keadaan $m=n$ adalah benar untuk matriks $A_(m\times n)$ (iaitu, bilangan baris adalah sama dengan bilangan lajur), maka $A$ dikatakan sebagai matriks segi empat sama bagi pesanan $n$. Contohnya, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ ialah matriks segi empat sama tertib kedua; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ ialah matriks segi empat sama tertib ke-3. Secara umum, matriks segi empat sama $A_(n\times n)$ boleh ditulis seperti berikut:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \kanan) $$

Unsur $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ dikatakan berada pada pepenjuru utama matriks $A_(n\times n)$. Unsur-unsur ini dipanggil unsur pepenjuru utama(atau hanya unsur pepenjuru). Unsur $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ dihidupkan sisi (sekunder) pepenjuru; mereka dipanggil unsur pepenjuru sekunder. Contohnya, untuk matriks $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ kita ada:

Unsur $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ ialah unsur pepenjuru utama; unsur $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ ialah unsur pepenjuru sekunder.

Jumlah unsur pepenjuru utama dipanggil diikuti dengan matriks dan dilambangkan dengan $\Tr A$ (atau $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Contohnya, untuk matriks $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\kanan)$ kita ada:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Konsep unsur pepenjuru juga digunakan untuk matriks bukan segi empat sama. Contohnya, untuk matriks $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ unsur pepenjuru utama ialah $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Jenis matriks bergantung pada nilai unsurnya.

Jika semua elemen matriks $A_(m\times n)$ adalah sama dengan sifar, maka matriks sedemikian dipanggil null dan biasanya dilambangkan dengan huruf $O$. Contohnya, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ialah matriks sifar.

Biarkan matriks $A_(m\times n)$ kelihatan seperti ini:

Kemudian matriks ini dipanggil trapezoid. Ia mungkin tidak mengandungi sifar baris, tetapi jika ada, ia terletak di bahagian bawah matriks. Dalam bentuk yang lebih umum, matriks trapezoid boleh ditulis sebagai:

Sekali lagi, rentetan nol mengekori adalah pilihan. Itu. secara formal, kita boleh memilih syarat berikut untuk matriks trapezoid:

Semua elemen di bawah pepenjuru utama adalah sama dengan sifar.
Semua elemen daripada $a_(11)$ hingga $a_(rr)$ terletak pada pepenjuru utama tidak sama dengan sifar: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
Sama ada semua elemen baris $m-r$ terakhir adalah sama dengan sifar, atau $m=r$ (iaitu tiada langsung sifar baris).

Contoh matriks trapezoid:

Mari kita beralih kepada definisi seterusnya. Matriks $A_(m\times n)$ dipanggil melangkah jika ia memenuhi syarat berikut:

Sebagai contoh, matriks langkah ialah:

Sebagai perbandingan, matriks $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ tidak dipijak kerana baris ketiga mempunyai bahagian sifar yang sama dengan baris kedua. Iaitu, prinsip "semakin rendah garisan - semakin besar bahagian sifar" dilanggar. Saya akan menambah bahawa matriks trapezoid adalah kes khas matriks berlangkah.

Mari kita beralih kepada definisi seterusnya. Jika semua elemen matriks persegi yang terletak di bawah pepenjuru utama adalah sama dengan sifar, maka matriks sedemikian dipanggil matriks segi tiga atas. Contohnya, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - matriks segi tiga atas. Perhatikan bahawa takrifan matriks segi tiga atas tidak menyatakan apa-apa tentang nilai unsur yang terletak di atas pepenjuru utama atau pada pepenjuru utama. Mereka mungkin sifar atau tidak, tidak mengapa. Contohnya, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ juga merupakan matriks segi tiga atas.

Jika semua elemen matriks persegi yang terletak di atas pepenjuru utama adalah sama dengan sifar, maka matriks sedemikian dipanggil matriks segitiga bawah. Contohnya, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matriks segi tiga bawah. Ambil perhatian bahawa takrifan matriks segi tiga yang lebih rendah tidak menyatakan apa-apa tentang nilai unsur di bawah atau pada pepenjuru utama. Mereka mungkin batal atau tidak, tidak mengapa. Contohnya, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ dan $\left(\ mula (tatasusunan) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \kanan)$ juga adalah matriks segi tiga yang lebih rendah.

Matriks segi empat sama dipanggil pepenjuru jika semua elemen matriks ini yang tidak berada pada pepenjuru utama adalah sama dengan sifar. Contoh: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\kanan)$. Unsur-unsur pada pepenjuru utama boleh menjadi apa-apa sahaja (sama dengan sifar atau tidak) - ini tidak penting.

Matriks pepenjuru dipanggil bujang jika semua elemen matriks ini terletak pada pepenjuru utama adalah sama dengan 1. Contohnya, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\kanan)$ - matriks identiti tertib ke-4; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ ialah matriks identiti tertib kedua.

Matriks dalam matematik adalah salah satu objek terpenting yang mempunyai kepentingan gunaan. Selalunya lawatan ke dalam teori matriks bermula dengan perkataan: "Matriks ialah jadual segi empat tepat ...". Kami akan memulakan lawatan ini dari sudut yang sedikit berbeza.

Buku telefon dalam sebarang saiz dan dengan sebarang bilangan data pelanggan hanyalah matriks. Matriks ini kelihatan seperti ini:

Adalah jelas bahawa kita semua menggunakan matriks sedemikian hampir setiap hari. Matriks ini datang dalam pelbagai bilangan baris (dibezakan sebagai direktori yang dikeluarkan oleh syarikat telefon, yang boleh mengandungi beribu-ribu, ratusan ribu, malah berjuta-juta baris, dan buku nota baharu yang baru anda mulakan, yang mempunyai kurang daripada sepuluh baris) dan lajur (direktori pegawai beberapa organisasi di mana mungkin terdapat lajur seperti jawatan dan nombor pejabat dan buku nota anda yang sama, di mana mungkin tiada data selain nama, dan, oleh itu, ia hanya mempunyai dua lajur - nama dan nombor telefon).

Semua jenis matriks boleh ditambah dan didarab, dan operasi lain boleh dilakukan pada mereka, tetapi tidak perlu menambah dan mendarab direktori telefon, tidak ada faedah daripada ini, dan selain itu, anda boleh menggerakkan fikiran anda.

Tetapi sangat banyak matriks boleh dan harus ditambah dan didarabkan dan pelbagai tugas mendesak boleh diselesaikan dengan cara ini. Di bawah adalah contoh matriks tersebut.

Matriks di mana lajur adalah output unit bagi jenis produk tertentu, dan baris ialah tahun di mana output produk ini direkodkan:

Anda boleh menambah matriks jenis ini, yang mengambil kira pengeluaran produk serupa oleh pelbagai perusahaan, untuk mendapatkan data ringkasan untuk industri.

Atau matriks, yang terdiri, sebagai contoh, satu lajur, yang mana barisnya ialah kos purata bagi jenis produk tertentu:

Matriks daripada dua jenis terakhir boleh didarab, dan hasilnya ialah matriks baris yang mengandungi kos semua jenis produk mengikut tahun.

Matriks, definisi asas

Meja segi empat tepat yang terdiri daripada nombor yang disusun dalam m garisan dan n lajur dipanggil mn-matriks (atau hanya matriks ) dan ditulis seperti ini:

(1)

Dalam matriks (1) nombor dipanggilnya elemen (seperti dalam penentu, indeks pertama bermaksud bilangan baris, yang kedua - lajur, di persimpangan yang mana terdapat elemen; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matriks dipanggil segi empat tepat , jika .

Jika m = n, maka matriks dipanggil segi empat sama , dan nombor n ialahnya mengikut tertib .

Penentu bagi matriks segi empat sama A dipanggil penentu yang unsur-unsurnya ialah unsur-unsur matriks A. Ia dilambangkan dengan simbol | A|.

Matriks segi empat sama dipanggil tidak istimewa (atau tidak merosot , bukan tunggal ) jika penentunya tidak sama dengan sifar, dan istimewa (atau merosot , tunggal ) jika penentunya ialah sifar.

Matriks dipanggil sama rata jika mereka mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama dan semua elemen padanan adalah sama.

Matriks dipanggil null jika semua unsurnya sama dengan sifar. Matriks sifar akan dilambangkan dengan simbol 0 atau .

Sebagai contoh,

matriks baris (atau huruf kecil ) dipanggil 1 n-matriks, dan matriks lajur (atau kolumnar ) – m 1-matriks.

Matriks A" , yang diperoleh daripada matriks A menukar baris dan lajur di dalamnya dipanggil dialihkan berkenaan dengan matriks A. Oleh itu, untuk matriks (1), matriks terpindah ialah

Peralihan kepada operasi matriks A" , dialihkan berkenaan dengan matriks A, dipanggil transposisi matriks A. Untuk mn-matriks transposed ialah nm-matriks.

Matriks yang ditukarkan berkenaan dengan matriks ialah A, itu dia

(A")" = A .

Contoh 1 Cari Matriks A" , dialihkan berkenaan dengan matriks

dan ketahui sama ada penentu bagi matriks asal dan transpos adalah sama.

pepenjuru utama Matriks persegi ialah garis khayalan yang menghubungkan unsur-unsurnya, yang mana kedua-dua indeks adalah sama. Unsur-unsur ini dipanggil pepenjuru .

Matriks segi empat sama di mana semua unsur di luar pepenjuru utama adalah sama dengan sifar dipanggil pepenjuru . Tidak semua unsur pepenjuru bagi matriks pepenjuru semestinya bukan sifar. Sebahagian daripadanya mungkin sama dengan sifar.

Matriks segi empat sama di mana unsur-unsur pada pepenjuru utama adalah sama dengan nombor bukan sifar yang sama, dan semua yang lain sama dengan sifar, dipanggil matriks skalar .

matriks identiti dipanggil matriks pepenjuru di mana semua unsur pepenjuru adalah sama dengan satu. Sebagai contoh, matriks identiti urutan ketiga ialah matriks

Contoh 2 Data matriks:

Penyelesaian. Mari kita hitung penentu bagi matriks ini. Menggunakan peraturan segitiga, kita dapati

Penentu matriks B kira dengan formula

Kami mudah mendapatkannya

Oleh itu, matriks A dan bukan tunggal (bukan degenerasi, bukan tunggal), dan matriks B- istimewa (merosot, tunggal).

Penentu matriks identiti bagi sebarang susunan jelas sama dengan satu.

Selesaikan sendiri masalah matriks, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 3 Data matriks

Tentukan yang mana antara mereka bukan tunggal (tidak merosot, tidak tunggal).

Aplikasi matriks dalam pemodelan matematik dan ekonomi

Dalam bentuk matriks, data berstruktur tentang objek tertentu ditulis secara ringkas dan mudah. Model matriks dicipta bukan sahaja untuk menyimpan data berstruktur ini, tetapi juga untuk menyelesaikan pelbagai masalah dengan data ini menggunakan algebra linear.

Oleh itu, model matriks ekonomi yang terkenal ialah model input-output yang diperkenalkan oleh ahli ekonomi Amerika yang berasal dari Rusia Wassily Leontiev. Model ini berdasarkan andaian bahawa keseluruhan sektor pembuatan ekonomi dibahagikan kepada n industri bersih. Setiap industri hanya menghasilkan satu jenis produk dan industri yang berbeza menghasilkan produk yang berbeza. Oleh kerana pembahagian kerja antara industri ini, wujudlah hubungan antara industri, yang mana maksudnya ialah sebahagian daripada pengeluaran setiap industri dipindahkan ke industri lain sebagai sumber pengeluaran.

Jumlah pengeluaran i-industri ke-(diukur dengan unit ukuran tertentu) yang dihasilkan dalam tempoh pelaporan, dilambangkan dengan dan dipanggil jumlah keluaran i industri ke. Isu diletakkan dengan mudah n-baris komponen matriks.

Bilangan unit produk i-industri yang akan dibelanjakan j-industri ke- untuk pengeluaran unit keluarannya, dilambangkan dan dipanggil pekali kos langsung.

Titik dalam ruang, produk Rv memberikan vektor lain yang mentakrifkan kedudukan titik selepas putaran. Sekiranya v ialah vektor baris, penjelmaan yang sama boleh diperoleh menggunakan vR T , di mana R T - ditukar kepada R matriks.

YouTube ensiklopedia

1 / 5

C# - Konsol - Sukan Olimpik - Lingkaran Square

Matriks: definisi dan konsep asas

Di mana untuk mendapatkan kekuatan dan inspirasi Mengecas semula 4 matriks persegi

Jumlah dan perbezaan matriks, pendaraban matriks dengan nombor

Transposed Matrix / Transposed Matrix

Sari kata

Diagonal Utama

elemen a ii (i = 1, ..., n) membentuk pepenjuru utama bagi matriks segi empat sama. Unsur-unsur ini terletak pada garis lurus khayalan yang melepasi dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks. Sebagai contoh, pepenjuru utama matriks 4x4 dalam rajah mengandungi unsur-unsur a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Diagonal matriks segi empat sama yang melalui sudut kiri bawah dan atas kanan dipanggil sebelah.

Jenis khas

Nama	Contoh dengan n = 3
Matriks pepenjuru	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix)))
Matriks segi tiga rendah	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(bmatriks)))
Matriks segi tiga atas	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatriks)))

Matriks pepenjuru dan segi tiga

Jika semua elemen di luar pepenjuru utama adalah sifar, A dipanggil pepenjuru. Jika semua elemen di atas (di bawah) pepenjuru utama adalah sifar, A dipanggil matriks segi tiga bawah (atas).

Matriks identiti

Q(x) = x T Ax

hanya mengambil nilai positif (masing-masing, nilai negatif atau kedua-duanya). Jika bentuk kuadratik hanya mengambil nilai bukan negatif (masing-masing, hanya bukan positif), matriks simetri dikatakan positif separuh pasti (masing-masing, negatif separuh pasti). Sesuatu matriks adalah tidak tentu jika ia bukan separuh tentu positif atau negatif.

Matriks simetri adalah pasti positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya adalah positif. Jadual di sebelah kanan menunjukkan dua kemungkinan kes untuk matriks 2×2.

Jika kita menggunakan dua vektor berbeza, kita mendapat bentuk bilinear yang dikaitkan dengan A:

B A (x, y) = x T Ay.

matriks ortogon

matriks ortogon ialah matriks segi empat sama dengan unsur nyata yang lajur dan barisnya ialah unit ortogon vektor (iaitu ortonormal). Seseorang juga boleh mentakrifkan matriks ortogon sebagai matriks yang songsangnya sama dengan transpose:

A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)

dari mana berikut

A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),

matriks ortogon A sentiasa boleh diterbalikkan ( A −1 = A T), kesatuan ( A −1 = A*), dan biasa ( A*A = AA*). Penentu mana-mana matriks ortonormal ialah sama ada +1 atau -1. Sebagai peta linear , mana-mana matriks ortonormal dengan penentu +1 ialah putaran ringkas, manakala mana-mana matriks ortonormal dengan penentu −1 ialah sama ada pantulan ringkas atau komposisi pantulan dan putaran.

operasi

Jejak

Penentu det( A) atau | A| matriks segi empat sama A ialah nombor yang mentakrifkan beberapa sifat matriks. Matriks boleh terbalik jika dan hanya apabila penentunya bukan sifar.

DEFINISI MATRIKS. JENIS-JENIS MATRIKS

Saiz matriks m× n dipanggil totaliti m n nombor yang disusun dalam jadual segi empat tepat bagi m garisan dan n lajur. Jadual ini biasanya disertakan dalam kurungan. Sebagai contoh, matriks mungkin kelihatan seperti:

Untuk ringkasnya, matriks boleh dilambangkan dengan satu huruf besar, contohnya, TAPI atau AT.

Secara umum, matriks saiz m× n tulis macam ni

Nombor yang membentuk matriks dipanggil unsur matriks. Adalah mudah untuk membekalkan elemen matriks dengan dua indeks aij: Yang pertama menunjukkan nombor baris dan yang kedua menunjukkan nombor lajur. Sebagai contoh, a 23– elemen berada di baris ke-2, lajur ke-3.

Jika bilangan baris dalam matriks adalah sama dengan bilangan lajur, maka matriks itu dipanggil segi empat sama, dan bilangan baris atau lajurnya dipanggil mengikut tertib matriks. Dalam contoh di atas, matriks kedua ialah segi empat sama - susunannya ialah 3, dan matriks keempat - susunannya ialah 1.

Matriks di mana bilangan baris tidak sama dengan bilangan lajur dipanggil segi empat tepat. Dalam contoh, ini adalah matriks pertama dan yang ketiga.

Terdapat juga matriks yang hanya mempunyai satu baris atau satu lajur.

Matriks dengan hanya satu baris dipanggil matriks - baris(atau rentetan), dan matriks yang hanya mempunyai satu lajur, matriks - lajur.

Matriks di mana semua elemen adalah sama dengan sifar dipanggil null dan dilambangkan dengan (0), atau hanya 0. Contohnya,

pepenjuru utama Matriks segi empat sama ialah pepenjuru dari kiri atas ke sudut kanan bawah.

Matriks segi empat sama di mana semua unsur di bawah pepenjuru utama adalah sama dengan sifar dipanggil segi tiga matriks.

Matriks segi empat sama di mana semua unsur, kecuali mungkin pada pepenjuru utama, adalah sama dengan sifar, dipanggil pepenjuru matriks. Sebagai contoh, atau.

Matriks pepenjuru di mana semua entri pepenjuru adalah sama dengan satu dipanggil bujang matriks dan dilambangkan dengan huruf E. Contohnya, matriks identiti tertib ke-3 mempunyai bentuk .

TINDAKAN PADA MATRIKS

Kesamaan matriks. Dua matriks A dan B dikatakan sama jika mereka mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama dan elemen yang sepadan adalah sama aij = b ij. Jadi kalau dan , kemudian A=B, jika a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 dan a 22 = b 22.

transposisi. Pertimbangkan matriks sewenang-wenangnya A daripada m garisan dan n lajur. Ia boleh dikaitkan dengan matriks berikut B daripada n garisan dan m lajur, di mana setiap baris ialah lajur matriks A dengan nombor yang sama (oleh itu setiap lajur ialah baris matriks A dengan nombor yang sama). Jadi kalau , kemudian .

Matriks ini B dipanggil dialihkan matriks A, dan peralihan daripada A kepada B transposisi.

Oleh itu, transposisi ialah pembalikan peranan baris dan lajur matriks. Matriks ditukar kepada matriks A, biasanya dilambangkan A T.

Komunikasi antara matriks A dan dialihkan boleh ditulis sebagai .

Sebagai contoh. Cari matriks yang ditukar kepada yang diberi.

Penambahan matriks. Biarkan matriks A dan B terdiri daripada bilangan baris yang sama dan bilangan lajur yang sama, i.e. mempunyai saiz yang sama. Kemudian untuk menambah matriks A dan B perlu unsur matriks A tambah elemen matriks B berdiri di tempat yang sama. Oleh itu, hasil tambah dua matriks A dan B dipanggil matriks C, yang ditentukan oleh peraturan, contohnya,

Contoh. Cari jumlah matriks:

Adalah mudah untuk memeriksa bahawa penambahan matriks mematuhi undang-undang berikut: komutatif A+B=B+A dan bersekutu ( A+B)+C=A+(B+C).

Mendarab matriks dengan nombor. Untuk mendarab matriks A setiap nombor k memerlukan setiap elemen matriks A darab dengan nombor itu. Jadi produk matriks A setiap nombor k terdapat matriks baru, yang ditentukan oleh peraturan atau .

Untuk sebarang nombor a dan b dan matriks A dan B persamaan dipenuhi:

Contoh.

Pendaraban matriks. Operasi ini dijalankan mengikut undang-undang yang tersendiri. Pertama sekali, kami perhatikan bahawa saiz faktor matriks mestilah konsisten. Anda boleh mendarabkan hanya matriks yang bilangan lajur matriks pertama sepadan dengan bilangan baris matriks kedua (iaitu panjang baris pertama adalah sama dengan ketinggian lajur kedua). kerja matriks A bukan matriks B dipanggil matriks baharu C=AB, yang unsur-unsurnya terdiri seperti berikut:

Oleh itu, sebagai contoh, untuk mendapatkan produk (iaitu, dalam matriks C) elemen dalam baris pertama dan lajur ke-3 dari 13, anda perlu mengambil baris pertama dalam matriks pertama, lajur ke-3 dalam matriks ke-2, dan kemudian darabkan elemen baris dengan elemen lajur yang sepadan dan tambahkan produk yang terhasil. Dan unsur-unsur lain dari matriks produk diperoleh menggunakan hasil darab yang sama dari baris matriks pertama dengan lajur matriks kedua.

Secara umum, jika kita mendarabkan matriks A = (aij) saiz m× n kepada matriks B = (bij) saiz n× hlm, maka kita mendapat matriks C saiz m× hlm, yang unsur-unsurnya dikira seperti berikut: elemen c ij diperoleh hasil daripada hasil darab unsur i baris ke matriks A pada elemen yang berkaitan j-lajur ke- matriks B dan penjumlahan mereka.

Daripada peraturan ini, anda boleh sentiasa mendarab dua matriks segi empat sama susunan yang sama, hasilnya kita mendapat matriks segi empat sama susunan yang sama. Khususnya, matriks segi empat sama sentiasa boleh didarab dengan sendirinya, i.e. segi empat sama.

Satu lagi kes penting ialah pendaraban baris matriks dengan lajur matriks, dan lebar yang pertama mestilah sama dengan ketinggian kedua, akibatnya kita mendapat matriks tertib pertama (iaitu satu elemen). sungguh,

Contoh.

Oleh itu, contoh mudah ini menunjukkan bahawa matriks, secara amnya, tidak berulang-alik antara satu sama lain, i.e. A∙B ≠ B∙A . Oleh itu, apabila mendarab matriks, anda perlu memantau dengan teliti susunan faktor.

Ia boleh disahkan bahawa pendaraban matriks mematuhi undang-undang bersekutu dan pengagihan, i.e. (AB)C=A(BC) dan (A+B)C=AC+BC.

Ia juga mudah untuk menyemaknya apabila mendarab matriks segi empat sama A kepada matriks identiti E daripada susunan yang sama, kita sekali lagi memperoleh matriks A, tambahan pula AE=EA=A.

Fakta aneh berikut mungkin diperhatikan. Seperti yang diketahui, hasil darab 2 nombor bukan sifar adalah tidak sama dengan 0. Untuk matriks, ini mungkin tidak berlaku, i.e. hasil darab 2 matriks bukan sifar mungkin sama dengan matriks sifar.

Sebagai contoh, jika , kemudian

KONSEP PENENTU

Biarkan matriks tertib kedua diberikan - matriks segi empat sama yang terdiri daripada dua baris dan dua lajur .

Penentu urutan kedua sepadan dengan matriks ini adalah nombor yang diperoleh seperti berikut: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Penentu dilambangkan dengan simbol .

Jadi, untuk mencari penentu tertib kedua, anda perlu menolak hasil darab unsur sepanjang pepenjuru kedua daripada hasil darab unsur pepenjuru utama.

Contoh. Kira penentu tertib kedua.

Begitu juga, kita boleh mempertimbangkan matriks tertib ketiga dan penentu yang sepadan.

Penentu urutan ketiga, sepadan dengan matriks segi empat sama tertib ketiga, ialah nombor yang dilambangkan dan diperoleh seperti berikut:

Oleh itu, formula ini memberikan pengembangan penentu tertib ketiga dari segi unsur-unsur baris pertama a 11 , a 12 , a 13 dan mengurangkan pengiraan penentu tertib ketiga kepada pengiraan penentu tertib kedua.

Contoh. Kira penentu susunan ketiga.

Begitu juga, seseorang boleh memperkenalkan konsep penentu keempat, kelima, dsb. pesanan, menurunkan susunannya dengan mengembangkan unsur-unsur baris pertama, manakala tanda "+" dan "-" untuk istilah silih berganti.

Jadi, tidak seperti matriks, yang merupakan jadual nombor, penentu ialah nombor yang ditetapkan dengan cara tertentu kepada matriks.