Matriks identiti urutan ke-2. Matematik untuk Dummies

Atas matriks sedemikian pelbagai aktiviti: mendarab antara satu sama lain, mencari penentu, dsb. Matriks - kes istimewa tatasusunan: jika tatasusunan boleh mempunyai sebarang bilangan dimensi, maka hanya tatasusunan dua dimensi dipanggil matriks.

Dalam pengaturcaraan, matriks juga dipanggil tatasusunan dua dimensi. Mana-mana tatasusunan dalam program dinamakan seolah-olah ia adalah pembolehubah tunggal. Untuk menjelaskan sel tatasusunan yang mana yang dimaksudkan, apabila ia disebut dalam atur cara, bersama-sama dengan pembolehubah, nombor sel di dalamnya digunakan. Kedua-dua matriks dua dimensi dan tatasusunan n-dimensi dalam program boleh mengandungi bukan sahaja berangka, tetapi juga simbolik, rentetan, Boolean dan maklumat lain, tetapi sentiasa sama dalam keseluruhan tatasusunan.

Matriks dilambangkan huruf besar A:MxN, dengan A ialah nama matriks, M ialah bilangan baris dalam matriks, dan N ialah bilangan lajur. Item - Berkaitan huruf kecil dengan indeks yang menunjukkan nombornya dalam baris dan dalam lajur a (m, n).

Matriks yang paling biasa bentuk segi empat tepat, walaupun pada masa lalu, ahli matematik juga menganggap yang segi tiga. Jika bilangan baris dan lajur matriks adalah sama, ia dipanggil segi empat sama. Dalam kes ini, M=N sudah mempunyai nama susunan matriks. Matriks dengan hanya satu baris dipanggil baris. Matriks dengan hanya satu lajur dipanggil lajur. Matriks pepenjuru ialah matriks segi empat sama di mana hanya unsur-unsur yang terletak di sepanjang pepenjuru adalah bukan sifar. Jika semua elemen adalah sama dengan satu, matriks dipanggil identiti, jika sifar - sifar.

Jika anda menukar baris dan lajur dalam matriks, ia akan bertukar. Jika semua unsur digantikan dengan konjugat kompleks, ia menjadi konjugat kompleks. Di samping itu, terdapat jenis matriks lain, ditentukan oleh syarat-syarat yang dikenakan pada elemen matriks. Tetapi kebanyakan syarat ini hanya terpakai kepada syarat segi empat sama.

Video-video yang berkaitan

Biarkan terdapat matriks segi empat sama bagi susunan ke-n

Matriks A -1 dipanggil matriks songsang berkenaan dengan matriks A, jika A * A -1 = E, dengan E ialah matriks identiti bagi susunan ke-n.

Matriks identiti- matriks segi empat sama, di mana semua elemen di sepanjang pepenjuru utama, melepasi dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah, adalah satu, dan selebihnya adalah sifar, sebagai contoh:

matriks songsang mungkin wujud hanya untuk matriks segi empat sama mereka. untuk matriks yang mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama.

Teorem Keadaan Kewujudan Matriks Songsang

Untuk matriks mempunyai matriks songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia tidak merosot.

Matriks A = (A1, A2,...A n) dipanggil tidak merosot jika vektor lajur adalah bebas linear. Bilangan vektor lajur bebas linear bagi matriks dipanggil pangkat matriks. Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa untuk wujud matriks songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks adalah sama dengan dimensinya, i.e. r = n.

Algoritma untuk mencari matriks songsang

Tulis matriks A dalam jadual untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss dan di sebelah kanan (sebagai ganti bahagian kanan persamaan) tetapkan matriks E kepadanya.
Menggunakan transformasi Jordan, bawa matriks A kepada matriks yang terdiri daripada lajur tunggal; dalam kes ini, adalah perlu untuk mengubah matriks E secara serentak.
Jika perlu, susun semula baris (persamaan) jadual terakhir supaya matriks identiti E diperoleh di bawah matriks A jadual asal.
Tulis matriks songsang A -1, iaitu dalam jadual terkini di bawah matriks E jadual asal.

Contoh 1

Untuk matriks A, cari matriks songsang A -1

Penyelesaian: Kami menulis matriks A dan di sebelah kanan kami menetapkan matriks identiti E. Dengan menggunakan transformasi Jordan, kami mengurangkan matriks A kepada matriks identiti E. Pengiraan ditunjukkan dalam Jadual 31.1.

Mari kita semak ketepatan pengiraan dengan mendarab matriks asal A dan matriks songsang A -1.

Hasil daripada pendaraban matriks, matriks identiti diperolehi. Oleh itu, pengiraan adalah betul.

Jawapan:

Penyelesaian persamaan matriks

Persamaan matriks boleh kelihatan seperti:

AX = B, XA = B, AXB = C,

di mana A, B, C diberi matriks, X ialah matriks yang dikehendaki.

Persamaan matriks diselesaikan dengan mendarabkan persamaan dengan matriks songsang.

Sebagai contoh, untuk mencari matriks daripada persamaan, anda perlu mendarabkan persamaan ini dengan di sebelah kiri.

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada persamaan, anda perlu mencari matriks songsang dan mendarabkannya dengan matriks di sebelah kanan persamaan.

Persamaan lain diselesaikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Selesaikan persamaan AX = B jika

Penyelesaian: Oleh kerana songsangan matriks adalah sama (lihat contoh 1)

Kaedah matriks dalam analisis ekonomi

Bersama-sama dengan yang lain, mereka juga mencari aplikasi kaedah matriks . Kaedah ini adalah berdasarkan algebra linear dan vektor-matriks. Kaedah sedemikian digunakan untuk tujuan menganalisis kompleks dan multidimensi fenomena ekonomi. Selalunya, kaedah ini digunakan apabila perlu untuk membandingkan fungsi organisasi dan bahagian strukturnya.

Dalam proses mengaplikasikan kaedah analisis matriks, beberapa peringkat boleh dibezakan.

Pada peringkat pertama sistem sedang dibentuk penunjuk ekonomi dan berdasarkannya, matriks data awal disusun, iaitu jadual di mana nombor sistem ditunjukkan dalam baris individunya (i = 1,2,....,n), dan sepanjang graf menegak - bilangan penunjuk (j = 1,2,....,m).

Pada peringkat kedua untuk setiap lajur menegak, nilai terbesar yang tersedia bagi penunjuk didedahkan, yang diambil sebagai satu unit.

Selepas itu, semua amaun yang ditunjukkan dalam lajur ini dibahagikan dengan nilai tertinggi dan matriks terbentuk pekali piawai.

Pada peringkat ketiga semua komponen matriks adalah kuasa dua. Sekiranya mereka mempunyai kepentingan yang berbeza, maka setiap penunjuk matriks diberikan pekali pemberat tertentu k. Nilai yang terakhir ditentukan oleh pakar.

Pada yang terakhir peringkat keempat mendapati nilai penilaian Rj dikumpulkan mengikut urutan meningkat atau menurun.

Kaedah matriks di atas harus digunakan, sebagai contoh, apabila analisis perbandingan pelbagai projek pelaburan, serta semasa menilai petunjuk prestasi ekonomi organisasi yang lain.

Matriks dalam matematik adalah salah satu objek terpenting yang ada nilai yang digunakan. Selalunya lawatan ke dalam teori matriks bermula dengan perkataan: "Matriks ialah jadual segi empat tepat ...". Kami akan memulakan lawatan ini dari sudut yang sedikit berbeza.

Buku telefon dalam sebarang saiz dan dengan sebarang bilangan data pelanggan hanyalah matriks. Matriks ini kelihatan seperti ini:

Adalah jelas bahawa kita semua menggunakan matriks sedemikian hampir setiap hari. Matriks ini datang dalam pelbagai bilangan baris (dibezakan sebagai direktori yang dikeluarkan oleh syarikat telefon, yang mungkin mengandungi beribu-ribu, ratusan ribu, malah berjuta-juta baris, dan buku nota baharu yang baru anda mulakan, yang mempunyai kurang daripada sepuluh baris) dan lajur (direktori pegawai sesetengah organisasi di mana mungkin terdapat lajur seperti kedudukan dan nombor pejabat dan sama dengan buku nota anda, di mana mungkin tiada data selain nama, dan dengan itu ia hanya mempunyai dua lajur - nama dan nombor telefon).

Semua jenis matriks boleh ditambah dan didarab, dan operasi lain boleh dilakukan pada mereka, tetapi tidak perlu menambah dan mendarab direktori telefon, tidak ada faedah daripada ini, dan selain itu, anda boleh menggerakkan fikiran anda.

Tetapi sangat banyak matriks boleh dan harus ditambah dan didarabkan dan pelbagai tugas mendesak boleh diselesaikan dengan cara ini. Di bawah adalah contoh matriks tersebut.

Matriks di mana lajur adalah output unit bagi jenis produk tertentu, dan baris ialah tahun di mana output produk ini direkodkan:

Anda boleh menambah matriks jenis ini, yang mengambil kira pengeluaran produk serupa oleh pelbagai perusahaan, untuk mendapatkan data ringkasan untuk industri.

Atau matriks, yang terdiri, sebagai contoh, satu lajur, yang mana barisnya ialah kos purata bagi jenis produk tertentu:

Matriks dua spesis terkini boleh didarab, dan hasilnya ialah baris matriks yang mengandungi kos semua jenis produk mengikut tahun.

Matriks, definisi asas

Meja segi empat tepat yang terdiri daripada nombor yang disusun dalam m garisan dan n lajur dipanggil mn-matriks (atau hanya matriks ) dan ditulis seperti ini:

(1)

Dalam matriks (1) nombor dipanggilnya elemen (seperti dalam penentu, indeks pertama bermaksud bilangan baris, yang kedua - lajur, di persimpangan yang mana terdapat elemen; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matriks dipanggil segi empat tepat , Jika .

Jika m = n, maka matriks dipanggil segi empat sama , dan nombor n ialahnya mengikut tertib .

Penentu bagi matriks segi empat sama A dipanggil penentu yang unsur-unsurnya ialah unsur-unsur matriks A. Ia dilambangkan dengan simbol | A|.

Matriks segi empat sama dipanggil tidak istimewa (atau tidak merosot , bukan tunggal ) jika penentunya tidak sama dengan sifar, dan istimewa (atau merosot , tunggal ) jika penentunya ialah sifar.

Matriks dipanggil sama rata jika mereka ada nombor yang sama baris dan lajur serta semua elemen padanan sepadan.

Matriks dipanggil null jika semua unsurnya sama dengan sifar. Matriks sifar akan dilambangkan dengan simbol 0 atau .

Sebagai contoh,

matriks baris (atau huruf kecil ) dipanggil 1 n-matriks, dan matriks lajur (atau kolumnar ) – m 1-matriks.

Matriks A" , yang diperoleh daripada matriks A menukar baris dan lajur di dalamnya dipanggil dialihkan berkenaan dengan matriks A. Oleh itu, untuk matriks (1), matriks terpindah ialah

Peralihan kepada operasi matriks A" , dialihkan berkenaan dengan matriks A, dipanggil transposisi matriks A. Untuk mn-matriks transposed ialah nm-matriks.

Matriks yang ditukarkan berkenaan dengan matriks ialah A, itu dia

(A")" = A .

Contoh 1 Cari Matriks A" , dialihkan berkenaan dengan matriks

dan ketahui sama ada penentu bagi matriks asal dan transpos adalah sama.

pepenjuru utama Matriks persegi ialah garis khayalan yang menghubungkan unsur-unsurnya, yang mana kedua-dua indeks adalah sama. Unsur-unsur ini dipanggil pepenjuru .

Matriks segi empat sama di mana semua unsur di luar pepenjuru utama adalah sama dengan sifar dipanggil pepenjuru . Tidak semua unsur pepenjuru bagi matriks pepenjuru semestinya bukan sifar. Sebahagian daripadanya mungkin sama dengan sifar.

Matriks segi empat sama di mana unsur-unsur pada pepenjuru utama adalah sama dengan nombor bukan sifar yang sama, dan semua yang lain sama dengan sifar, dipanggil matriks skalar .

matriks identiti dipanggil matriks pepenjuru di mana semua unsur pepenjuru adalah sama dengan satu. Sebagai contoh, matriks identiti urutan ketiga ialah matriks

Contoh 2 Data matriks:

Penyelesaian. Mari kita hitung penentu bagi matriks ini. Menggunakan peraturan segitiga, kita dapati

Penentu matriks B kira dengan formula

Kami mudah mendapatkannya

Oleh itu, matriks A dan bukan tunggal (bukan degenerasi, bukan tunggal), dan matriks B- istimewa (merosot, tunggal).

Penentu matriks identiti apa-apa perintah, jelas sama dengan satu.

Selesaikan sendiri masalah matriks, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 3 Data matriks

Tentukan yang mana antara mereka bukan tunggal (tidak merosot, tidak tunggal).

Aplikasi matriks dalam pemodelan matematik dan ekonomi

Dalam bentuk matriks, data berstruktur tentang objek tertentu ditulis secara ringkas dan mudah. Model matriks dicipta bukan sahaja untuk menyimpan data berstruktur ini, tetapi juga untuk menyelesaikan pelbagai masalah dengan data ini menggunakan algebra linear.

Oleh itu, model matriks ekonomi yang terkenal ialah model input-output yang diperkenalkan oleh ahli ekonomi Amerika asal Rusia Wassily Leontiev. Model ini berdasarkan andaian bahawa keseluruhan sektor pembuatan ekonomi dibahagikan kepada n industri bersih. Setiap industri hanya menghasilkan satu jenis produk, dan industri yang berbeza menghasilkan produk yang berbeza. Disebabkan pembahagian kerja antara industri ini, wujudlah hubungan antara industri, yang mana maknanya sebahagian daripada pengeluaran setiap industri dipindahkan ke industri lain sebagai sumber pengeluaran.

Jumlah pengeluaran i-industri ke-(diukur dengan unit ukuran tertentu) yang dihasilkan dalam tempoh pelaporan, dilambangkan dengan dan dipanggil jumlah keluaran i industri ke. Isu diletakkan dengan mudah n-baris komponen matriks.

Bilangan unit produk i-industri yang akan dibelanjakan j-industri ke- untuk pengeluaran unit keluarannya, dilambangkan dan dipanggil pekali kos langsung.

Matriks. Jenis-jenis matriks. Operasi pada matriks dan sifatnya.

Penentu matriks susunan ke-n. N, Z, Q, R, C,

Matriks tertib m*n ialah jadual nombor segi empat tepat yang mengandungi baris-m dan lajur-n.

Kesamaan matriks:

Dua matriks dipanggil sama jika bilangan baris dan lajur satu daripadanya adalah sama, masing-masing, dengan bilangan baris dan lajur yang lain dan, masing-masing. unsur-unsur matriks ini adalah sama.

Nota: Elemen dengan indeks yang sama dipadankan.

Jenis matriks:

Matriks Kuasa Dua: Matriks dikatakan segi empat sama jika bilangan baris sama dengan bilangan lajur.

Segi empat tepat: Matriks dikatakan segi empat tepat jika bilangan baris tidak sama dengan bilangan lajur.

Matriks baris: matriks tertib 1*n (m=1) mempunyai bentuk a11,a12,a13 dan dipanggil matriks baris.

Lajur matriks:………….

Diagonal: pepenjuru matriks segi empat sama, pergi dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah, iaitu, terdiri daripada unsur a11, a22 ...... - dipanggil pepenjuru utama. (definisi: matriks segi empat sama, semua unsurnya sama dengan sifar, kecuali yang terletak pada pepenjuru utama, dipanggil matriks pepenjuru.

Identiti: Matriks pepenjuru dipanggil identiti jika semua elemen terletak pada pepenjuru utama dan sama dengan 1.

Segi tiga atas: A=||aij|| dipanggil atas matriks segi tiga jika aij=0. Dengan syarat i>j.

Segi tiga bawah: aij=0. i

Sifar: Ini adalah matriks yang Elsnya ialah 0.

Operasi pada matriks.

1. Transposisi.

2. Pendaraban matriks dengan nombor.

3. Penambahan matriks.

4. Pendaraban matriks.

Tindakan sv-va asas pada matriks.

1.A+B=B+A (komutatif)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (persekutuan)

3.a(A+B)=aA+aB (pengagihan)

4.(a+b)A=aA+bA (distributif)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.)

6.AB≠BA (tiada komu.)

7.A(BC)=(AB)C (bersekutu) – dilaksanakan jika def. Produk matriks dilakukan.

8.A(B+C)=AB+AC (distributif)

(B+C)A=BA+CA (distributif)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Penentu bagi matriks segi empat sama - definisi dan sifatnya. Penguraian penentu dalam baris dan lajur. Kaedah untuk mengira penentu.

Jika matriks A mempunyai susunan m>1, maka penentu matriks ini ialah nombor.

Pelengkap algebra Aij unsur aij bagi matriks A ialah Mij kecil didarab dengan nombor

TEOREM1: Penentu matriks A adalah sama dengan jumlah hasil darab semua unsur baris (lajur) arbitrari dan pelengkap algebranya.

Sifat asas penentu.

1. Penentu sesuatu matriks tidak akan berubah apabila ia ditukar.

2. Apabila mengubah suai dua baris (lajur), penentu bertukar tanda, tetapi nilai mutlaknya tidak berubah.

3. Penentu bagi matriks yang mempunyai dua baris (lajur) yang sama ialah 0.

4. Apabila mendarab baris (lajur) matriks dengan nombor, penentunya didarab dengan nombor ini.

5. Jika salah satu baris (lajur) matriks terdiri daripada 0, maka penentu matriks ini ialah 0.

6. Jika semua elemen baris ke-i (lajur) matriks dibentangkan sebagai hasil tambah dua sebutan, maka penentunya boleh diwakili sebagai hasil tambah penentu dua matriks.

7. Penentu tidak akan berubah jika, masing-masing, unsur-unsur satu lajur (baris) ditambah kepada unsur-unsur lajur lain (baris) dengan mendarabkan. untuk nombor yang sama.

8.Jumlah unsur sewenang-wenangnya mana-mana lajur (baris) penentu kepada yang sepadan penambahan algebra elemen lajur lain (baris) ialah 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Kaedah untuk mengira penentu:

1. Mengikut takrifan atau Teorem 1.

2. Pengurangan kepada bentuk segi tiga.

Definisi dan sifat matriks songsang. Pengiraan matriks songsang. Persamaan matriks.

Takrif: Matriks segi empat sama tertib n dipanggil songsangan bagi matriks A dengan susunan yang sama dan ditandakan.

Untuk membolehkan matriks A mempunyai matriks songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa penentu matriks A adalah berbeza daripada 0.

Sifat Matriks Songsang:

1. Keunikan: untuk matriks A tertentu, songsangannya adalah unik.

2. penentu matriks

3. Operasi mengambil transposisi dan mengambil matriks songsang.

Persamaan matriks:

Biarkan A dan B adalah dua matriks segi empat sama perintah yang sama.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Konsep kebergantungan linear dan kebebasan lajur matriks. Sifat pergantungan linear dan kemerdekaan linear sistem lajur.

Lajur А1,А2…An dipanggil bersandar linear jika terdapat gabungan linear bukan remeh daripadanya bersamaan dengan lajur ke-0.

Lajur А1,А2…An dipanggil bebas linear jika terdapat gabungan linear bukan remeh daripadanya bersamaan dengan lajur ke-0.

Gabungan linear dipanggil remeh jika semua pekali С(l) adalah sama dengan 0 dan bukan remeh sebaliknya.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. Untuk membolehkan lajur bergantung secara linear, adalah perlu dan memadai bahawa sesetengah lajur menjadi gabungan linear lajur lain.

Biarkan 1 daripada lajur https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> menjadi gabungan linear lajur lain.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> adalah bergantung secara linear, maka semua lajur adalah bergantung secara linear.

4. Jika sistem lajur adalah bebas linear, maka mana-mana subsistemnya juga bebas linear.

(Semua yang dikatakan tentang lajur juga benar untuk baris).

Matriks bawah umur. Dasar bawah umur. Kedudukan matriks. Kaedah pinggir bawah umur untuk mengira pangkat matriks.

Tertib minor bagi matriks A ialah penentu yang unsur-unsurnya terletak di persilangan baris-k dan baris-k matriks A.

Jika semua minor bagi susunan k bagi matriks A = 0, maka sebarang minor bagi susunan k + 1 juga sama dengan 0.

Dasar bawah umur.

Kedudukan matriks A ialah susunan minor asasnya.

Kaedah menyempadankan kanak-kanak di bawah umur: - Kami memilih unsur bukan sifar matriks A (Jika elemen sedemikian tidak wujud, maka pangkat A \u003d 0)

Kami bersempadan dengan bawah bawah perintah pertama sebelum ini dengan bawah bawah perintah ke-2. (Jika bawah umur ini tidak bersamaan dengan 0, maka pangkat >=2) Jika pangkat bawah umur ini =0, maka kita bersempadan dengan bawah umur urutan pertama yang dipilih dengan bawah umur urutan ke-2 yang lain. (Jika semua bawah umur dari urutan ke-2 = 0, maka pangkat matriks = 1).

Kedudukan matriks. Kaedah untuk mencari pangkat matriks.

Kedudukan matriks A ialah susunan minor asasnya.

Kaedah pengiraan:

1) Kaedah bersempadan bawah umur: -Pilih elemen bukan sifar matriks A (jika tiada unsur sedemikian, maka pangkat = 0) - Sempadankan kecil urutan pertama sebelumnya dengan kecil tertib ke-2..gif" lebar= "40" ketinggian="22" >r+1 En+1=0.

2) Membawa matriks ke pandangan melangkah: Kaedah ini berdasarkan transformasi asas. Di bawah transformasi asas, pangkat matriks tidak berubah.

Transformasi berikut dipanggil transformasi asas:

Permutasi dua baris (lajur).

Pendaraban semua elemen bagi beberapa lajur (baris) dengan nombor bukan =0.

Penambahan kepada semua elemen lajur tertentu (baris) unsur lajur lain (baris), yang sebelumnya didarab dengan nombor yang sama.

Asas teorem kecil. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk penentu sama dengan sifar.

Asas minor bagi matriks A ialah minor bagi tertib ke-k terbesar berbeza daripada 0.

Asas teorem kecil:

Baris asas (lajur) adalah bebas secara linear. Mana-mana baris (lajur) matriks A ialah gabungan linear baris asas (lajur).

Nota: Baris dan lajur di persimpangannya ialah bawah umur asas dipanggil baris asas dan lajur, masing-masing.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Syarat yang perlu dan mencukupi untuk penentu sama dengan sifar:

Untuk penentu susunan ke-n = 0, adalah perlu dan mencukupi bahawa barisnya (lajur) bergantung secara linear.

Sistem persamaan linear, klasifikasi dan bentuk rakamannya. Peraturan Cramer.

Pertimbangkan sistem 3 persamaan linear dengan tiga tidak diketahui:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!}

dipanggil penentu sistem.

Kami menyusun tiga lagi penentu seperti berikut: kami menggantikan berturut-turut 1, 2 dan 3 lajur dalam penentu D dengan lajur sebutan bebas

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Bukti. Jadi, pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui. Kami mendarabkan persamaan pertama sistem dengan pelengkap algebra A11 unsur a11, persamaan ke-2 dengan A21 dan persamaan ke-3 dengan A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Pertimbangkan setiap kurungan dan sebelah kanan persamaan ini. Dengan teorem tentang pengembangan penentu dari segi unsur-unsur lajur pertama

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!}

Begitu juga, ia boleh ditunjukkan bahawa dan .

Akhirnya, mudah untuk melihatnya

Oleh itu, kita mendapat kesamarataan: .

Oleh itu, .

Persamaan dan diterbitkan serupa, dari mana penegasan teorem berikut.

Sistem persamaan linear. Keadaan keserasian untuk persamaan linear. Teorem Kronecker-Capelli.

Penyelesaian sistem persamaan algebra ialah himpunan n nombor C1,C2,C3……Cn, yang, apabila digantikan dengan sistem asal menggantikan x1,x2,x3…..xn, menukar semua persamaan sistem menjadi identiti.

Sistem persamaan algebra linear dipanggil konsisten jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian.

Sistem gabungan dipanggil pasti jika ia mempunyai penyelesaian yang unik, dan tidak tentu jika ia mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

Syarat untuk keserasian sistem persamaan algebra linear.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

TEOREM: Untuk sistem persamaan linear m dengan n yang tidak diketahui adalah konsisten, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks tambahan adalah sama dengan pangkat matriks a.

Nota: Teorem ini hanya memberikan kriteria untuk kewujudan penyelesaian, tetapi tidak menunjukkan cara untuk mencari penyelesaian.

10 soalan.

Sistem persamaan linear. Asas kaedah minor - kaedah umum mencari semua penyelesaian kepada sistem persamaan linear.

A=a21 a22…..a2n

Kaedah minor asas:

Biarkan sistem itu konsisten dan RgA=RgA’=r. Biarkan minor asas dicat di sudut kiri atas matriks A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Catatan: Jika pangkat matriks utama dan dipertimbangkan adalah sama dengan r=n, maka dalam kes ini dj=bj dan sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Sistem persamaan linear homogen.

Sistem persamaan algebra linear dipanggil homogen jika semua sebutan bebasnya adalah sama dengan sifar.

AX=0 ialah sistem homogen.

AX = B ialah sistem tidak homogen.

Sistem homogen sentiasa konsisten.

X1 =x2 =..=xn =0

Teorem 1.

Sistem homogen mempunyai penyelesaian tidak homogen apabila pangkat matriks sistem kurang daripada bilangan tidak diketahui.

Teorem 2.

sistem homogen persamaan n-linear dengan n-tidak diketahui mempunyai penyelesaian bukan sifar apabila penentu matriks A adalah sama dengan sifar. (detA=0)

Sifat penyelesaian sistem homogen.

Mana-mana kombinasi linear penyelesaian kepada sistem homogen itu sendiri adalah penyelesaian kepada sistem ini.

α1C1 +α2C2 ; α1 dan α2 ialah beberapa nombor.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, i.e. k. (A C1) = 0; (AC2) = 0

Untuk sistem heterogen harta ini tiada tempat.

Sistem keputusan asas.

Teorem 3.

Jika pangkat sistem matriks persamaan dengan n-tidak diketahui adalah sama dengan r, maka sistem ini mempunyai n-r bebas linear penyelesaian.

Biarkan minor asas di sebelah kiri sudut atas. Jika r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Sistem n-r penyelesaian bebas linear bagi sistem persamaan linear homogen dengan n-tidak diketahui pangkat r dipanggil sistem penyelesaian asas.

Teorem 4.

Sebarang penyelesaian kepada sistem persamaan linear ialah gabungan linear penyelesaian kepada sistem asas.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Jika r

12 soalan.

Penyelesaian umum sistem tidak homogen.

Tidur (gen. tidak seragam) \u003d COO + SCH (peribadi)

AX=B (sistem heterogen); AX=0

(ASoo) + ASch = ASch = B, kerana (ASoo) = 0

Tidur \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Mid

Kaedah Gauss.

Ini adalah kaedah penghapusan berturut-turut bagi yang tidak diketahui (pembolehubah) - ia terdiri daripada fakta bahawa dengan bantuan transformasi asas, sistem persamaan asal dikurangkan kepada sistem yang setara dalam bentuk berperingkat, dari mana semua pembolehubah lain ditemui secara berurutan , bermula daripada pembolehubah terakhir.

Biarkan a≠0 (jika ini tidak berlaku, maka ini dicapai dengan menyusun semula persamaan).

1) kita mengecualikan pembolehubah x1 daripada persamaan kedua, ketiga ... n-th, mendarabkan persamaan pertama dengan nombor yang sesuai dan menambah keputusan yang diperolehi kepada persamaan ke-2, ke-3 ... n-th, maka kita dapat:

Kami mendapat sistem yang setara dengan yang asal.

2) tidak termasuk pembolehubah x2

3) kami mengecualikan pembolehubah x3, dsb.

Meneruskan proses penghapusan berurutan pembolehubah x4;x5...xr-1 kita dapat untuk langkah (r-1)-th.

Nombor sifar n-r terakhir dalam persamaan bermakna bahagian kirinya kelihatan seperti: 0x1 +0x2+..+0xn

Jika sekurang-kurangnya satu daripada nombor вr+1, вr+2… tidak sama dengan sifar, maka kesamaan sepadan adalah tidak konsisten dan sistem (1) tidak konsisten. Oleh itu, untuk mana-mana sistem yang konsisten, vr+1 … vm ini bersamaan dengan sifar.

Persamaan n-r terakhir dalam sistem (1;r-1) ialah identiti dan boleh diabaikan.

Dua kes mungkin:

a) bilangan persamaan sistem (1; r-1) adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, iaitu r \u003d n (dalam kes ini, sistem mempunyai bentuk segi tiga).

b)r

Peralihan daripada sistem (1) kepada sistem yang setara (1; r-1) dipanggil pergerakan langsung kaedah Gauss.

Mengenai mencari pembolehubah daripada sistem (1; r-1) - dengan laluan terbalik kaedah Gauss.

Transformasi Gaussian dilakukan dengan mudah dengan melaksanakannya bukan dengan persamaan, tetapi dengan matriks lanjutan pekalinya.

13 soalan.

matriks yang serupa.

Kami akan mempertimbangkan hanya matriks segi empat sama tertib n/

Matriks A dikatakan serupa dengan matriks B (A~B) jika wujud matriks bukan tunggal S sedemikian rupa sehingga A=S-1BS.

Sifat matriks serupa.

1) Matriks A adalah serupa dengan dirinya sendiri. (A~A)

Jika S=E maka EAE=E-1AE=A

2) Jika A~B, maka B~A

Jika A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) Jika A~B dan pada masa yang sama B~C, maka A~C

Diberi bahawa A=S1-1BS1, dan B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, di mana S3 = S2S1

4) Penentu bagi matriks yang serupa adalah sama.

Memandangkan A~B, adalah perlu untuk membuktikan bahawa detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (kurangkan) = detB.

5) Kedudukan matriks yang serupa adalah sama.

Eigenvectors dan nilai eigen matriks.

Nombor λ dipanggil nilai eigen bagi matriks A jika terdapat vektor bukan sifar X (lajur matriks) sehingga AX = λ X, vektor X dipanggil vektor eigen bagi matriks A, dan set semua nilai eigen dipanggil spektrum matriks A.

Hartanah vektor eigen.

1) Apabila mendarab vektor eigen dengan nombor, kita mendapat vektor eigen dengan nilai eigen yang sama.

AX \u003d λ X; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X)

2) Vektor eigen dengan nilai eigen berbeza berpasangan adalah bebas linear λ1, λ2,.. λk.

Biarkan sistem terdiri daripada vektor pertama, mari kita ambil langkah induktif:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - darab dengan A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0

Darab dengan λn+1 dan tolak

C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Adalah perlu bahawa C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Persamaan ciri.

A-λE dipanggil matriks ciri untuk matriks A.

Agar vektor bukan sifar X menjadi vektor eigen bagi matriks A, sepadan dengan nilai eigen λ, adalah perlu bahawa ia menjadi penyelesaian kepada sistem homogen persamaan algebra linear (A - λE)X = 0

Sistem ini mempunyai penyelesaian bukan remeh apabila det (A - XE) = 0 - ini adalah persamaan ciri.

Kenyataan!

Persamaan ciri matriks serupa bertepatan.

det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ)

Polinomial ciri.

det(A – λЕ) - fungsi berkenaan dengan parameter λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Polinomial ini dipanggil polinomial ciri bagi matriks A.

Akibat:

1) Jika matriks ialah A~B, maka jumlah unsur pepenjurunya adalah sama.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) Set nilai eigen bagi matriks serupa bertepatan.

Jika persamaan ciri matriks adalah sama, ia tidak semestinya serupa.

Untuk matriks A

Untuk matriks B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Untuk matriks A tertib n boleh diagonal, adalah perlu bahawa wujud vektor eigen bebas linear bagi matriks A.

Akibat.

Jika semua nilai eigen bagi matriks A adalah berbeza, maka ia boleh diserong.

Algoritma untuk mencari vektor eigen dan nilai eigen.

1) karang persamaan ciri

2) cari punca-punca persamaan

3) menyusun sistem persamaan untuk menentukan vektor eigen.

λi (A-λi E)X = 0

4) mencari sistem asas keputusan

x1,x2..xn-r, dengan r ialah pangkat bagi matriks ciri.

r = Rg(A - λi E)

5) vektor eigen, nilai eigen λi ditulis sebagai:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, di mana C12 + C22 + ... C2n ≠0

6) kita semak sama ada matriks boleh dikurangkan kepada bentuk pepenjuru.

7) cari Ag

Ag = S-1AS S=

15 soalan.

Asas garis, satah, ruang.

DIV_ADBLOCK371">

Modul vektor ialah panjangnya, iaitu jarak antara A dan B (││, ││). Modulus vektor adalah sama dengan sifar, apabila vektor ini adalah sifar (│ō│=0)

4. Vektor Orth.

Ortom vektor yang diberi dipanggil vektor yang mempunyai arah yang sama dengan vektor yang diberikan dan mempunyai modulus sama dengan satu.

Vektor yang sama mempunyai ort yang sama.

5. Sudut antara dua vektor.

Ini adalah bahagian yang lebih kecil dari kawasan itu, dibatasi oleh dua sinar yang terpancar dari titik yang sama dan diarahkan ke arah yang sama dengan vektor yang diberikan.

Penambahan vektor. Mendarab vektor dengan nombor.

1) Penambahan dua vektor

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Pendaraban vektor dengan skalar.

Hasil darab vektor dan skalar ialah vektor baharu yang mempunyai:

a) = hasil darab modulus vektor darab dengan nilai mutlak skalar.

b) arah adalah sama dengan vektor darab jika skalar adalah positif, dan bertentangan jika skalar adalah negatif.

λ a(vektor)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Hartanah operasi talian atas vektor.

1. Undang-undang Komunitativiti.

2. Undang-undang pergaulan.

3. Penambahan dengan sifar.

a(vektor)+ō= a(vektor)

4. Penambahan dengan sebaliknya.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Hukum pengagihan.

Ungkapan vektor dari segi modulus dan vektor unitnya.

Nombor maksimum vektor bebas linear dipanggil asas.

Asas pada garis ialah sebarang vektor bukan sifar.

Asas pada satah ialah mana-mana dua vektor bukan kalenar.

Asas dalam ruang ialah sistem mana-mana tiga vektor bukan koplanar.

Pekali pengembangan vektor dalam beberapa asas dipanggil komponen atau koordinat vektor dalam asas yang diberikan.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> lakukan penambahan dan pendaraban dengan skalar, kemudian sebagai menghasilkan sebarang bilangan tindakan sedemikian yang kami dapat:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> dipanggil bersandar linear jika terdapat gabungan linear bukan remeh daripadanya bersamaan dengan ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> dipanggil bebas linear jika tiada gabungan linear bukan remeh daripadanya.

Sifat vektor bersandar linear dan bebas:

1) sistem vektor yang mengandungi vektor sifar adalah bergantung secara linear.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> bergantung secara linear, sesetengah vektor mestilah gabungan linear bagi vektor lain.

3) jika beberapa vektor daripada sistem a1 (vektor), a2 (vektor) ... ak (vektor) adalah bersandar secara linear, maka semua vektor adalah bersandar secara linear.

4)jika semua vektor https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Operasi linear dalam koordinat.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK374">

Hasil darab skalar bagi 2 vektor ialah nombor sama dengan produk vektor dengan kosinus sudut di antara mereka.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0 jika dan hanya jika vektor adalah ortogon atau mana-mana vektor adalah sama dengan 0.

4. Pengagihan (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Ekspresi produk titik a dan b melalui koordinatnya

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Apabila keadaan () , h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> dan vektor ketiga dipanggil yang memenuhi persamaan berikut:

3. - betul

Sifat produk vektor:

4. Hasil darab vektor bagi vektor koordinat

asas ortonormal.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Selalunya 3 simbol digunakan untuk menandakan ort asas ortonormal

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Jika adalah asas ortonormal, maka

DIV_ADBLOCK375">

Garis lurus di atas kapal terbang. Susunan bersama 2 garis lurus. Jarak dari titik ke garis lurus. Sudut antara dua garis. Keadaan selari dan serenjang 2 garis lurus.

1. Kes khas lokasi 2 garis lurus pada satah.

1) - persamaan paksi selari lurus OX

2) - persamaan garis lurus selari dengan paksi OS

2. Susunan bersama 2 garis lurus.

Teorem 1 Biarkan secara relatif sistem affine koordinat diberi persamaan garis

A) Maka syarat yang perlu dan mencukupi apabila ia bersilang ialah:

B) Kemudian syarat yang perlu dan mencukupi untuk fakta bahawa garis adalah selari ialah syarat:

B) Kemudian perlu dan keadaan yang mencukupi fakta bahawa garis bergabung menjadi satu adalah syarat:

3. Jarak dari satu titik ke garisan.

Teorem. Jarak dari titik ke garis berbanding dengan Sistem kartesian koordinat:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Sudut antara dua garis lurus. Keadaan berserenjang.

Biarkan 2 garis lurus diberikan berkenaan dengan sistem koordinat Cartesan dengan persamaan am.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Jika , maka garis-garisnya adalah serenjang.

24 soalan.

satah di angkasa. Keadaan kesepadanan untuk vektor dan satah. Jarak dari satu titik ke satah. Keadaan keselarian dan keserenjangan dua satah.

1. Keadaan kesepadanan untuk vektor dan satah.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Untitled4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Untitled5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Sudut antara 2 satah. Keadaan berserenjang.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Jika , maka satah adalah serenjang.

25 soalan.

Garis lurus di angkasa. Jenis lain persamaan garis lurus dalam ruang.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Persamaan vektor bagi garis lurus dalam ruang.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Persamaan kanonik adalah langsung.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Untitled3.jpg" width="56" height="51"> !}

28 soalan.

Ellipse. Kesimpulan Persamaan kanonik elips. Borang. Hartanah

Ellipse - tempat geometri titik yang jumlah jarak dari dua jarak tetap, dipanggil fokus, ialah nombor yang diberi 2a lebih besar daripada jarak 2c antara fokus.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="imej043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

dalam Rajah.2 r1=a+ex r2=a-ex

Ur-e tangen kepada elips

DIV_ADBLOCK378">

Persamaan kanonik bagi hiperbola

Borang dan St.

y=±b/a darab dengan punca (x2-a2)

Paksi simetri hiperbola ialah paksinya

Segmen 2a - paksi sebenar hiperbola

Sipi e=2c/2a=c/a

Jika b=a kita mendapat hiperbola sama kaki

Asymptot ialah garis lurus jika, dengan penyingkiran tanpa had titik M1 di sepanjang lengkung, jarak dari titik ke garis lurus cenderung kepada sifar.

lim d=0 untuk x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

tangen hiperbola

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

parabola - lokus titik yang sama jarak dari titik yang dipanggil fokus dan garis tertentu dipanggil directrix

Persamaan parabola kanonik

harta benda

paksi simetri parabola melalui fokusnya dan berserenjang dengan directrix

jika anda memutarkan parabola, anda mendapat paraboloid elips

semua parabola adalah serupa

Soalan 30. Penyiasatan tentang persamaan bentuk am lengkung tertib kedua.

Jenis lengkung def. dengan istilah utama A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->lengkung jenis parabola

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Jika E=0 => Ax2+2Dx+F=0

kemudian x1=x2 - bergabung menjadi satu

x1≠x2 - garis selari Oy

x1≠x2 dan punca khayalan, tidak mempunyai imej geometri

C≠0 A=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Kesimpulan: lengkung parabola adalah sama ada parabola, atau 2 garis selari, atau khayalan, atau bergabung menjadi satu.

2.AC>0 -> lengkung jenis elips

Melengkapkan persamaan asal kepada kuasa dua penuh, kita menukarnya kepada persamaan kanonik, kemudian kita mendapat kes

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - elips

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - elips khayalan

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - titik dengan koordinat x0 y0

Kesimpulan: lengkung el. jenis adalah sama ada elips, atau khayalan, atau titik

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 hiperbola, paksi nyata adalah selari

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 hiperbola, paksi nyata selari dengan Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ur-e dua baris

Kesimpulan: lengkung jenis hiperbola adalah sama ada hiperbola atau dua garis lurus

Panduan ini akan membantu anda belajar bagaimana untuk operasi matriks: penambahan (tolak) matriks, transposisi matriks, pendaraban matriks, mencari songsangan matriks. Semua bahan dibentangkan dalam bentuk yang mudah dan boleh diakses, contoh yang berkaitan diberikan, jadi walaupun orang yang tidak bersedia boleh belajar cara melakukan tindakan dengan matriks. Untuk kawalan diri dan ujian kendiri, anda boleh memuat turun kalkulator matriks secara percuma >>>.

Saya akan cuba meminimumkan pengiraan teori, di beberapa tempat penjelasan "di jari" dan penggunaan istilah yang tidak saintifik adalah mungkin. Pencinta teori yang kukuh, tolong jangan terlibat dalam kritikan, tugas kami adalah belajar bagaimana untuk bekerja dengan matriks.

Untuk penyediaan SUPER-CEPAT mengenai topik (yang "terbakar") terdapat kursus pdf yang intensif Matriks, penentu dan offset!

Matriks ialah jadual segi empat tepat beberapa elemen. Sebagai elemen kita akan mempertimbangkan nombor, iaitu matriks berangka. ELEMEN adalah istilah. Adalah wajar untuk mengingati istilah itu, ia sering berlaku, bukan kebetulan saya menggunakan huruf tebal untuk menyerlahkannya.

Jawatan: matriks biasanya dilambangkan dengan huruf Latin besar

Contoh: Pertimbangkan matriks dua per tiga:

Matriks ini terdiri daripada enam elemen:

Semua nombor (elemen) di dalam matriks wujud sendiri, iaitu, tidak ada persoalan tentang sebarang penolakan:

Ia hanya satu jadual (set) nombor!

Kami juga akan bersetuju jangan susun semula nombor, melainkan dinyatakan sebaliknya dalam penjelasan. Setiap nombor mempunyai lokasinya sendiri, dan anda tidak boleh mengocoknya!

Matriks yang dimaksudkan mempunyai dua baris:

dan tiga lajur:

STANDARD: apabila bercakap tentang dimensi matriks, maka pada mulanya nyatakan bilangan baris, dan hanya kemudian - bilangan lajur. Kami baru sahaja memecahkan matriks dua demi tiga.

Jika bilangan baris dan lajur sesuatu matriks adalah sama, maka matriks itu dipanggil segi empat sama, Sebagai contoh: ialah matriks tiga per tiga.

Jika matriks mempunyai satu lajur atau satu baris, maka matriks tersebut juga dipanggil vektor.

Sebenarnya, kita tahu konsep matriks sejak sekolah, pertimbangkan, sebagai contoh, titik dengan koordinat "x" dan "y": . Pada asasnya, koordinat titik ditulis ke dalam matriks satu demi dua. Ngomong-ngomong, berikut ialah contoh untuk anda mengapa susunan nombor penting: dan merupakan dua titik yang sama sekali berbeza pada satah.

Sekarang mari kita beralih kepada kajian. operasi matriks:

1) Tindakan satu. Mengeluarkan tolak daripada matriks (Memperkenalkan tolak ke dalam matriks).

Kembali ke matriks kami . Seperti yang mungkin anda perhatikan, terdapat terlalu banyak nombor negatif dalam matriks ini. Ini sangat menyusahkan dari segi melakukan pelbagai tindakan dengan matriks, menyusahkan untuk menulis begitu banyak tolak, dan ia hanya kelihatan hodoh dalam reka bentuk.

Mari kita alihkan tolak di luar matriks dengan menukar tanda SETIAP elemen matriks:

Pada sifar, seperti yang anda faham, tanda itu tidak berubah, sifar - ia juga sifar di Afrika.

Contoh terbalik: . Nampak hodoh.

Kami memperkenalkan tolak ke dalam matriks dengan menukar tanda SETIAP elemen matriks:

Nah, ia jauh lebih cantik. Dan, yang paling penting, ia akan menjadi LEBIH MUDAH untuk melakukan sebarang tindakan dengan matriks. Kerana terdapat tanda rakyat matematik sedemikian: lebih banyak minus - lebih banyak kekeliruan dan kesilapan.

2) Tindakan kedua. Mendarab Matriks dengan Nombor.

Contoh:

Ia mudah, untuk mendarab matriks dengan nombor, anda perlukan setiap darab unsur matriks dengan nombor yang diberi. Dalam kes ini, tiga.

Satu lagi contoh berguna:

– pendaraban matriks dengan pecahan

Mari kita lihat dahulu apa yang perlu dilakukan TIDAK PERLU:

TIDAK PERLU memasukkan pecahan ke dalam matriks, pertama, ia hanya menyukarkan tindakan selanjutnya dengan matriks, dan kedua, menyukarkan guru menyemak penyelesaian (terutama jika - jawapan akhir tugasan).

Dan terutamanya, TIDAK PERLU bahagikan setiap elemen matriks dengan tolak tujuh:

Daripada artikel Matematik untuk dummies atau di mana untuk bermula, kita ingat bahawa pecahan perpuluhan dengan koma dalam matematik yang lebih tinggi cuba dalam setiap cara yang mungkin untuk dielakkan.

Satu-satu nya diingini yang perlu dilakukan dalam contoh ini ialah memasukkan tolak ke dalam matriks:

Tetapi kalau SEMUA elemen matriks dibahagikan dengan 7 tanpa jejak, maka mungkin (dan perlu!) untuk membahagikan.

Contoh:

Dalam kes ini, anda boleh PERLU darab semua elemen matriks dengan , kerana semua nombor dalam matriks boleh dibahagikan dengan 2 tanpa jejak.

Nota: dalam teori matematik tinggi tidak ada konsep sekolah "pembahagian". Daripada frasa "ini dibahagikan dengan ini", anda sentiasa boleh menyebut "ini didarab dengan pecahan." Iaitu, pembahagian ialah kes pendaraban khas.

3) Tindakan tiga. Transposisi matriks.

Untuk menukar matriks, anda perlu menulis barisnya ke dalam lajur matriks yang ditranspos.

Contoh:

Matriks Transpos

Terdapat hanya satu baris di sini dan, mengikut peraturan, ia mesti ditulis dalam lajur:

ialah matriks terpindah.

Matriks transposed biasanya dilambangkan dengan superskrip atau lejang di bahagian atas sebelah kanan.

Contoh langkah demi langkah:

Matriks Transpos

Mula-mula, kami menulis semula baris pertama ke dalam lajur pertama:

Kemudian kami menulis semula baris kedua ke dalam lajur kedua:

Dan akhirnya, kami menulis semula baris ketiga ke dalam lajur ketiga:

sedia. Secara kasarnya, transpose bermaksud memutarkan matriks ke sisinya.

4) Tindakan keempat. Jumlah (perbezaan) matriks.

Jumlah matriks ialah operasi mudah.
TIDAK SEMUA MATRIKS BOLEH DIlipat. Untuk melakukan penambahan (penolakan) matriks, adalah perlu ia adalah SAIZ yang SAMA.

Sebagai contoh, jika matriks dua-dua-dua diberikan, maka ia hanya boleh ditambah kepada matriks dua-dengan-dua dan tiada yang lain!

Contoh:

Tambah matriks Dan

Untuk menambah matriks, anda perlu menambah elemen yang sepadan:

Untuk perbezaan matriks, peraturannya adalah serupa, adalah perlu untuk mencari perbezaan unsur-unsur yang sepadan.

Contoh:

Cari beza matriks ,

Dan bagaimana untuk menyelesaikan contoh ini dengan lebih mudah, supaya tidak keliru? Adalah dinasihatkan untuk menyingkirkan tolak yang tidak perlu, untuk ini kita akan menambah tolak pada matriks:

Nota: dalam teori matematik tinggi tidak ada konsep sekolah "penolakan". Daripada frasa "tolak ini daripada ini", anda sentiasa boleh menyebut "tambah nombor negatif pada ini". Iaitu, penolakan adalah kes khas penambahan.

5) Tindakan kelima. Pendaraban matriks.

Apakah matriks yang boleh didarabkan?

Untuk suatu matriks didarab dengan matriks, supaya bilangan lajur matriks adalah sama dengan bilangan baris matriks.

Contoh:
Adakah mungkin untuk mendarab matriks dengan matriks?

Jadi, anda boleh mendarabkan data matriks.

Tetapi jika matriks disusun semula, maka, dalam kes ini, pendaraban tidak lagi mungkin!

Oleh itu, pendaraban adalah mustahil:

Ia bukan perkara biasa untuk tugasan dengan helah, apabila pelajar diminta untuk mendarab matriks, pendaraban yang jelas mustahil.

Perlu diingatkan bahawa dalam beberapa kes adalah mungkin untuk mendarabkan matriks dalam kedua-dua cara.
Sebagai contoh, untuk matriks, dan kedua-dua pendaraban dan pendaraban adalah mungkin