Formula empirikal untuk mengira kawasan angka mudah. Bagaimana untuk mencari luas bentuk geometri

Semua formula untuk luas angka satah

Luas trapezoid sama kaki

1. Formula untuk luas trapezoid sama kaki dari segi sisi dan sudut

a - tapak bawah

b - asas atas

c - sisi yang sama

α - sudut di tapak bawah

Formula untuk luas trapezoid isosceles dari segi sisi, (S):

Formula untuk luas trapezoid isosceles dari segi sisi dan sudut, (S):

2. Formula untuk luas trapezoid isosceles dari segi jejari bulatan bertulis

R- jejari bulatan bersurat

D- diameter bulatan bertulis

O - pusat bulatan bertulis

H- ketinggian trapezoid

α, β - sudut trapezoid

Formula untuk luas trapezoid isosceles dari segi jejari bulatan bertulis, (S):

ADIL, untuk bulatan bertulis dalam trapezoid sama kaki:

3. Formula untuk luas trapezoid isosceles dari segi pepenjuru dan sudut di antara mereka

d-pepenjuru bagi trapezium

α,β- sudut antara pepenjuru

Formula untuk luas trapezoid isosceles dari segi pepenjuru dan sudut di antara mereka, (S):

4. Formula bagi luas trapezoid sama kaki dari segi garisan tengah, sisi sisi dan sudut di tapak

c- sebelah

m- garis tengah trapezoid

α, β - sudut di tapak

Formula untuk luas trapezoid isosceles dari segi garis tengah, sisi sisi dan sudut di tapak,

(S):

5. Formula untuk luas trapezoid sama kaki dari segi tapak dan ketinggian

a - tapak bawah

b - asas atas

h - ketinggian trapezoid

Formula untuk luas trapezoid isosceles dari segi tapak dan ketinggian, (S):

Luas segi tiga diberi sisi dan dua sudut, rumus.

a, b, c - sisi segi tiga

α, β, γ - sudut bertentangan

Luas segi tiga melalui sisi dan dua sudut (S):

Formula untuk luas poligon sekata

a - sisi poligon

n - bilangan sisi

Luas poligon sekata, (S):

Formula (Heronian) untuk luas segi tiga dari segi separuh perimeter (S):

Luas segitiga sama sisi ialah:

Formula untuk mengira luas segi tiga sama sisi.

a - sisi segi tiga

h - ketinggian

Bagaimana untuk mengira luas segi tiga isosceles?

b - tapak segi tiga

a - sisi yang sama

h - ketinggian

3. Formula untuk luas trapezoid dari segi empat sisi

a - tapak bawah

b - asas atas

c, d - sisi

Jejari bulatan berhad bagi trapezoid pada sisi dan pepenjuru

a - sisi trapezoid

c - pangkal bawah

b - asas atas

d - pepenjuru

h - ketinggian

Formula untuk jejari bulatan berbatas trapezium, (R)

cari jejari bulatan berhad bagi segi tiga sama kaki di sepanjang sisi

Mengetahui sisi segi tiga sama kaki, anda boleh menggunakan formula untuk mencari jejari bulatan berhad di sekeliling segi tiga ini.

a, b - sisi segi tiga

Jejari bulatan berhad bagi segi tiga sama kaki (R):

Jejari bulatan bertulis dalam heksagon

a - sisi heksagon

Jejari bulatan bertulis dalam heksagon, (r):

Jejari bulatan bertulis dalam rombus

r - jejari bulatan bertulis

a - bahagian belah ketupat

D, d - pepenjuru

h - ketinggian berlian

Jejari bulatan bertulis dalam trapezoid sama kaki

c - tapak bawah

b - asas atas

a - sisi

h - ketinggian

Jejari bulatan bertulis dalam segi tiga tepat

a, b - kaki segi tiga

c - hipotenus

Jejari bulatan bertulis dalam segi tiga sama kaki

a, b - sisi segi tiga

Buktikan bahawa luas segiempat bertulis ialah

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

di mana p ialah separuh perimeter dan a, b, c dan d ialah sisi segiempat.

Buktikan bahawa luas segiempat yang ditulis dalam bulatan ialah

1/2 (ab + cb) sin α, dengan a, b, c dan d ialah sisi segiempat dan α ialah sudut antara sisi a dan b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Baca lebih lanjut di FB.ru:

Luas segi empat sewenang-wenangnya (Rajah 1.13) boleh dinyatakan dalam sebutan sisi a, b, c dan hasil tambah sepasang sudut bertentangan:

di mana p ialah separuh perimeter bagi segi empat itu.

Luas segi empat yang ditulis dalam bulatan () (Rajah 1.14, a) dikira menggunakan formula Brahmagupta

dan diterangkan (Rajah 1.14, b) () - mengikut formula

Jika segi empat ditulis dan diterangkan pada masa yang sama (Rajah 1.14, c), maka formulanya menjadi agak mudah:

Formula Puncak

Untuk menganggarkan luas poligon pada kertas berkotak-kotak, sudah cukup untuk mengira berapa banyak sel yang diliputi poligon ini (kami mengambil luas sel sebagai satu unit). Lebih tepat lagi, jika S ialah luas poligon, ialah bilangan sel yang terletak sepenuhnya di dalam poligon, dan ialah bilangan sel yang mempunyai sekurang-kurangnya satu titik sepunya dengan bahagian dalam poligon.

Kami akan mempertimbangkan di bawah hanya poligon sedemikian, semua bucunya terletak pada nod kertas berkotak-kotak - di mana garis grid bersilang. Ternyata untuk poligon sedemikian, anda boleh menentukan formula berikut:

di mana kawasan, r ialah bilangan nod yang terletak betul-betul di dalam poligon.

Formula ini dipanggil "formula puncak" sempena ahli matematik yang menemuinya pada tahun 1899.

Untuk menyelesaikan masalah geometri, anda perlu mengetahui formula - seperti luas segi tiga atau luas segi empat selari - serta helah mudah yang akan kita bincangkan.

Mula-mula, mari kita pelajari formula untuk bidang rajah. Kami telah mengumpulnya khas dalam meja yang mudah digunakan. Cetak, pelajari dan gunakan!

Sudah tentu, tidak semua formula geometri ada dalam jadual kami. Sebagai contoh, untuk menyelesaikan masalah dalam geometri dan stereometri di bahagian kedua peperiksaan profil dalam matematik, formula lain untuk luas segi tiga juga digunakan. Kami pasti akan memberitahu anda tentang mereka.

Tetapi bagaimana jika anda perlu mencari bukan kawasan trapezoid atau segitiga, tetapi kawasan beberapa angka kompleks? makan cara universal! Kami akan menunjukkan kepada mereka menggunakan contoh daripada bank tugas FIPI.

1. Bagaimana untuk mencari luas angka bukan piawai? Sebagai contoh, segi empat sewenang-wenangnya? Teknik mudah - mari kita pecahkan angka ini kepada yang kita semua tahu, dan cari luasnya - sebagai jumlah kawasan angka ini.

Bahagikan sisi empat ini dengan garis melintang kepada dua segi tiga dengan titik persamaan, sama dengan . Ketinggian segi tiga ini adalah sama dengan dan . Maka luas segiempat sama dengan hasil tambah luas dua segi tiga: .

Jawapan: .

2. Dalam sesetengah kes, kawasan angka itu boleh diwakili sebagai perbezaan mana-mana kawasan.

Ia tidak begitu mudah untuk mengira berapa tapak dan ketinggian dalam segi tiga ini sama dengan! Tetapi kita boleh mengatakan bahawa luasnya adalah sama dengan perbezaan antara luas segi empat sama dengan sisi dan tiga segi tiga bersudut tegak. Lihat mereka dalam gambar? Kita mendapatkan: .

Jawapan: .

3. Kadang-kadang dalam tugas adalah perlu untuk mencari kawasan bukan keseluruhan angka, tetapi bahagiannya. Biasanya kita bercakap tentang luas sektor - bahagian bulatan. Cari luas sektor bulatan jejari , yang panjang lengkoknya sama dengan .

Dalam gambar ini kita melihat sebahagian daripada bulatan. Luas keseluruhan bulatan adalah sama dengan , kerana . Ia kekal untuk mengetahui bahagian bulatan yang digambarkan. Oleh kerana panjang keseluruhan bulatan ialah (sejak), dan panjang lengkok sektor ini adalah sama, oleh itu, panjang lengkok adalah beberapa kali kurang daripada panjang keseluruhan bulatan. Sudut di mana lengkok ini terletak juga adalah kali kurang daripada bulatan penuh (iaitu, darjah). Ini bermakna bahawa kawasan sektor akan beberapa kali kurang daripada luas keseluruhan bulatan.

Apakah kawasan?

Kawasan - ciri angka geometri tertutup (bulatan, persegi, segi tiga, dll.), Yang menunjukkan saiznya. Luas diukur dalam sentimeter persegi, meter, dsb. Ditandakan dengan huruf S(persegi).

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga?

S= a h

di mana a- panjang asas h ialah ketinggian segi tiga yang dilukis ke tapak.

Lebih-lebih lagi, pangkalan tidak perlu berada di bahagian bawah. Itu akan berlaku juga.

Jika segi tiga bodoh, maka ketinggian jatuh ke kesinambungan tapak:

Jika segi tiga segi empat tepat, maka tapak dan tingginya ialah kakinya:

2. Formula lain, yang tidak kurang berguna, tetapi atas sebab tertentu selalu dilupakan:

S= a b sinα

di mana a Dan b dua sisi segitiga sinα ialah sinus sudut antara sisi ini.

Syarat utama ialah sudut diambil antara dua sisi yang diketahui.

3. Formula untuk kawasan pada tiga sisi (rumus Heron):

S=

di mana a, b Dan Dengan ialah sisi segi tiga, dan R - separuh perimeter. hlm = (a+b+c)/2.

4. Formula untuk luas segi tiga dari segi jejari bulatan yang dihadkan:

S=

di mana a, b Dan Dengan ialah sisi segi tiga, dan R- jejari bulatan yang dihadkan.

5. Formula untuk luas segi tiga dari segi jejari bulatan bertulis:

S= p r

di mana R - separuh perimeter segi tiga, dan r- jejari bulatan bersurat.

Bagaimana untuk mencari luas segi empat tepat?

1. Luas segi empat tepat agak mudah:

S=a b

Tiada muslihat.

Bagaimana untuk mencari luas segi empat sama?

1. Oleh kerana segi empat sama ialah segi empat tepat dengan semua sisi sama, formula yang sama digunakan untuknya:

S=a a = a2

2. Juga, luas segi empat sama boleh didapati melalui pepenjurunya:

S= d 2

Bagaimana untuk mencari luas segi empat selari?

1. Luas segi empat selari didapati dengan formula:

S=a h

Ini disebabkan oleh fakta bahawa jika anda memotongnya segi tiga tepat di sebelah kanan dan pasangkannya ke kiri, anda mendapat segi empat tepat:

2. Juga, luas segi empat selari boleh didapati melalui sudut antara kedua-dua belah:

S=a b sinα

Bagaimana untuk mencari luas rombus?

Rombus pada asasnya ialah segi empat selari di mana semua sisi adalah sama. Oleh itu, formula kawasan yang sama digunakan untuknya.

1. Luas belah ketupat dari segi ketinggian:

S=a h