Formula empirikal untuk mengira kawasan angka mudah. Bagaimana untuk mencari luas bentuk geometri

Untuk menyelesaikan masalah geometri, anda perlu mengetahui formula - seperti luas segi tiga atau luas segi empat selari - serta teknik mudah, yang akan kita bincangkan.

Mula-mula, mari kita pelajari formula untuk bidang rajah. Kami telah mengumpulnya khas dalam meja yang mudah digunakan. Cetak, pelajari dan gunakan!

Sudah tentu, tidak semua formula geometri ada dalam jadual kami. Sebagai contoh, untuk menyelesaikan masalah dalam geometri dan stereometri di bahagian kedua profil Peperiksaan Negeri Bersepadu Dalam matematik, formula lain untuk luas segi tiga juga digunakan. Kami pasti akan memberitahu anda tentang mereka.

Apa yang perlu dilakukan jika anda perlu mencari bukan kawasan trapezoid atau segitiga, tetapi kawasan beberapa angka kompleks? makan kaedah sejagat! Kami akan menunjukkan kepada mereka menggunakan contoh daripada bank tugas FIPI.

1. Bagaimana untuk mencari luas angka bukan piawai? Sebagai contoh, segi empat sewenang-wenangnya? Teknik mudah - mari bahagikan angka ini kepada angka yang kita tahu segala-galanya, dan cari luasnya - sebagai jumlah kawasan angka ini.

Bahagikan segiempat ini dengan garis melintang kepada dua segi tiga dengan titik persamaan, sama dengan . Ketinggian segi tiga ini adalah sama dengan dan . Maka luas segi empat sama dengan hasil tambah luas dua segi tiga: .

Jawapan: .

2. Dalam sesetengah kes, luas sesuatu rajah boleh diwakili sebagai perbezaan beberapa kawasan.

Tidak begitu mudah untuk mengira berapa tapak dan ketinggian dalam segi tiga ini! Tetapi kita boleh mengatakan bahawa luasnya adalah sama dengan perbezaan antara luas segi empat sama dengan sisi dan tiga segi tiga tepat. Adakah anda melihat mereka dalam gambar? Kami mendapat: .

Jawapan: .

3. Kadang-kadang dalam tugas anda perlu mencari luas bukan keseluruhan angka, tetapi sebahagian daripadanya. Biasanya kita bercakap tentang luas sektor - bahagian bulatan Cari luas sektor bulatan jejari yang panjang lengkoknya sama dengan .

Dalam gambar ini kita melihat sebahagian daripada bulatan. Luas keseluruhan bulatan adalah sama dengan . Ia kekal untuk mengetahui bahagian bulatan yang digambarkan. Oleh kerana panjang keseluruhan bulatan adalah sama (sejak ), dan panjang lengkok sektor tertentu adalah sama dengan , oleh itu, panjang lengkok adalah beberapa kali kurang daripada panjang keseluruhan bulatan. Sudut di mana lengkok ini terletak juga merupakan faktor kurang daripada bulatan penuh (iaitu, darjah). Ini bermakna bahawa kawasan sektor akan menjadi beberapa kali lebih kecil daripada luas keseluruhan bulatan.

Luas rajah geometri - ciri berangka rajah geometri yang menunjukkan saiz rajah ini (sebahagian daripada permukaan terhad gelung tertutup daripada angka ini). Saiz kawasan dinyatakan dengan bilangan unit persegi yang terkandung di dalamnya.

Rumus luas segi tiga

Formula untuk luas segi tiga dengan sisi dan ketinggian
Luas segi tiga sama dengan separuh hasil darab panjang sisi segi tiga dan panjang altitud yang dilukis ke sisi ini
Formula untuk luas segi tiga berdasarkan tiga sisi dan jejari bulatan
Formula untuk luas segi tiga berdasarkan tiga sisi dan jejari bulatan bertulis
Luas segi tiga adalah sama dengan hasil darab separuh perimeter segi tiga dan jejari bulatan tersurat.

Formula luas segi empat sama

Formula untuk luas segi empat sama dengan panjang sisi
Kawasan persegi sama dengan segi empat sama panjang sisinya.
Formula untuk luas segi empat sama sepanjang pepenjuru
Kawasan persegi sama dengan separuh segi empat sama panjang pepenjurunya.
S= 1 2
2

Formula luas segi empat tepat

Luas segi empat tepat

Rumus luas segi empat selari

Formula untuk luas segi empat selari berdasarkan panjang sisi dan ketinggian
Luas segi empat selari
Formula untuk luas segi empat selari berdasarkan dua sisi dan sudut di antara mereka
Luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab panjang sisinya dengan sinus sudut di antaranya.
a b dosa α

Formula untuk kawasan rombus

Formula untuk luas rombus berdasarkan panjang sisi dan ketinggian
Kawasan rombus sama dengan hasil darab panjang sisinya dan panjang ketinggian yang diturunkan ke sisi ini.
Formula untuk luas rombus berdasarkan panjang sisi dan sudut
Kawasan rombus adalah sama dengan hasil darab segi empat sama panjang sisinya dan sinus sudut antara sisi rombus.
Formula untuk luas rombus berdasarkan panjang pepenjurunya
Kawasan rombus sama dengan separuh hasil darab panjang pepenjurunya.

Rumus luas trapezoid

Formula bangau untuk trapezoid
Di mana S ialah luas trapezium,
- panjang tapak trapezoid,
- panjang sisi trapezoid,

Apakah kawasan?

Luas ialah ciri angka geometri tertutup (bulatan, segi empat, segi tiga, dll.), yang menunjukkan saiznya. Luas diukur dalam sentimeter persegi, meter, dsb. Ditandakan dengan huruf S(persegi).

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga?

S= a h

di mana a- panjang tapak, h– ketinggian segi tiga yang dilukis ke tapak.

Lebih-lebih lagi, pangkalan tidak perlu berada di bahagian bawah. Itu akan berlaku juga.

Jika segi tiga bodoh, maka ketinggian diturunkan kepada kesinambungan tapak:

Jika segi tiga segi empat tepat, maka tapak dan ketinggian ialah kakinya:

2. Formula lain, yang tidak kurang berguna, tetapi atas sebab tertentu selalu dilupakan:

S= a b sinα

di mana a Dan b- dua sisi segitiga, sinα ialah sinus sudut antara sisi ini.

Syarat utama ialah sudut diambil antara dua sisi yang diketahui.

3. Formula untuk kawasan pada tiga sisi (formula Heron):

S=

di mana a, b Dan Dengan ialah sisi segi tiga, dan p – separuh perimeter hlm = (a+b+c)/2.

4. Formula untuk luas segi tiga dari segi jejari bulatan yang dihadkan:

S=

di mana a, b Dan Dengan ialah sisi segi tiga, dan R – jejari bulatan yang dihadkan.

5. Formula untuk luas segi tiga dari segi jejari bulatan bertulis:

S= p · r

di mana p – separuh perimeter segi tiga, dan r – jejari bulatan bersurat.

Bagaimana untuk mencari luas segi empat tepat?

1. Luas segi empat tepat didapati dengan mudah:

S=a b

Tiada muslihat.

Bagaimana untuk mencari luas segi empat sama?

1. Oleh kerana segi empat sama ialah segi empat tepat dengan semua sisi sama, formula yang sama digunakan untuknya:

S=a · a = a 2

2. Juga, luas segi empat sama boleh didapati melalui pepenjurunya:

S= d 2

Bagaimana untuk mencari luas segi empat selari?

1. Luas segi empat selari ditemui dengan formula:

S=a h

Ini disebabkan oleh fakta bahawa jika anda memotongnya segi tiga tepat di sebelah kanan dan letakkannya di sebelah kiri, anda mendapat segi empat tepat:

2. Juga, luas segi empat selari boleh didapati melalui sudut antara dua sisi:

S=a · b · sinα

Bagaimana untuk mencari luas rombus?

Rombus pada asasnya ialah segi empat selari dengan semua sisi sama. Oleh itu, formula kawasan yang sama digunakan untuknya.

1. Luas rombus melalui ketinggian:

S=a h

Semua formula untuk luas angka satah

Luas trapezoid sama kaki

1. Formula untuk luas trapezoid sama kaki menggunakan sisi dan sudut

a - tapak bawah

b - pangkal atas

c - sisi yang sama

α - sudut di tapak bawah

Formula untuk luas trapezoid isosceles melalui sisi, (S):

Formula untuk luas trapezoid isosceles menggunakan sisi dan sudut, (S):

2. Formula untuk luas trapezoid isosceles dari segi jejari bulatan bertulis

R - jejari bulatan bertulis

D - diameter bulatan yang tertulis

O - pusat bulatan bertulis

H- ketinggian trapezoid

α, β - sudut trapezoid

Formula untuk luas trapezoid isosceles dari segi jejari bulatan bertulis, (S):

ADIL, untuk bulatan bertulis dalam trapezoid sama kaki:

3. Formula untuk luas trapezoid isosceles melalui pepenjuru dan sudut di antara mereka

d- pepenjuru trapezoid

α,β- sudut antara pepenjuru

Formula untuk luas trapezoid isosceles melalui pepenjuru dan sudut di antara mereka, (S):

4. Formula untuk luas trapezoid sama kaki melalui garis tengah, sisi dan sudut di pangkalan

c- sebelah

m - garis tengah trapezoid

α, β - sudut di tapak

Formula untuk luas trapezoid isosceles menggunakan garis tengah, sisi sisi dan sudut tapak,

(S):

5. Formula untuk luas trapezoid sama kaki menggunakan tapak dan ketinggian

a - tapak bawah

b - pangkal atas

h - ketinggian trapezoid

Formula untuk luas trapezoid isosceles menggunakan tapak dan ketinggian, (S):

Luas segi tiga berdasarkan sisi dan dua sudut, formula.

a, b, c - sisi segi tiga

α, β, γ - sudut bertentangan

Luas segi tiga melalui sisi dan dua sudut (S):

Formula untuk luas poligon sekata

a - sisi poligon

n - bilangan sisi

Luas poligon sekata, (S):

Formula (Heron) untuk luas segi tiga melalui semiperimeter (S):

Luas segitiga sama sisi ialah:

Formula untuk mengira luas segi tiga sama sisi.

a - sisi segi tiga

h – ketinggian

Bagaimana untuk mengira luas segi tiga isosceles?

b - tapak segi tiga

a - sisi yang sama

h – ketinggian

3. Formula untuk luas trapezium menggunakan empat sisi

a - tapak bawah

b - pangkal atas

c, d - sisi

Jejari bulatan berhad bagi trapezoid di sepanjang sisi dan pepenjuru

a - sisi sisi trapezoid

c - tapak bawah

b - pangkal atas

d - pepenjuru

h - ketinggian

Formula circumradius trapezoid, (R)

cari lilitan jejari segi tiga sama kaki menggunakan sisi

Mengetahui sisi segi tiga sama kaki, anda boleh menggunakan formula untuk mencari jejari bulatan berhad di sekeliling segi tiga ini.

a, b - sisi segi tiga

Circumradius segi tiga sama kaki (R):

Jejari bulatan bertulis dalam heksagon

a - sisi heksagon

Jejari bulatan tersurat dalam heksagon, (r):

Jejari bulatan bertulis dalam rombus

r - jejari bulatan bertulis

a - bahagian belah ketupat

D, d - pepenjuru

h - ketinggian rombus

Jejari bulatan bertulis dalam trapezium sama sisi

c - tapak bawah

b - pangkal atas

a - sisi

h - ketinggian

Jejari bulatan bertulis dalam segi tiga tepat

a, b - kaki segi tiga

c - hipotenus

Jejari bulatan tersurat dalam segi tiga sama kaki

a, b - sisi segi tiga

Buktikan bahawa luas segiempat bertulis ialah

\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),

di mana p ialah separuh perimeter dan a, b, c dan d ialah sisi segiempat.

Buktikan bahawa luas segi empat yang ditulis dalam bulatan adalah sama dengan

1/2 (ab + cb) · sin α, dengan a, b, c dan d ialah sisi segiempat dan α ialah sudut antara sisi a dan b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Baca lebih lanjut di FB.ru:

Luas segi empat sewenang-wenangnya (Rajah 1.13) boleh dinyatakan melalui sisi a, b, c dan hasil tambah sepasang sudut bertentangan:

di mana p ialah separuh perimeter bagi segi empat itu.

Luas segi empat yang tertulis dalam bulatan () (Rajah 1.14, a) dikira menggunakan formula Brahmagupta

dan diterangkan (Rajah 1.14, b) () - mengikut formula

Jika segi empat ditulis dan diterangkan pada masa yang sama (Rajah 1.14, c), maka formulanya menjadi sangat mudah:

Formula Pick

Untuk menganggarkan luas poligon pada kertas berkotak-kotak, cukup untuk mengira bilangan sel yang diliputi poligon ini (kita mengambil luas sel sebagai satu). Lebih tepat lagi, jika S ialah luas poligon, ialah bilangan sel yang terletak sepenuhnya di dalam poligon, dan ialah bilangan sel yang mempunyai sekurang-kurangnya satu titik sepunya dengan bahagian dalam poligon.

Di bawah ini kita akan mempertimbangkan hanya poligon yang kesemua bucunya terletak pada nod kertas berkotak-kotak - yang mana garisan grid bersilang. Ternyata untuk poligon sedemikian seseorang boleh menentukan formula berikut:

di mana luasnya, r ialah bilangan nod yang terletak betul-betul di dalam poligon.

Formula ini dipanggil "Formula Pilih" - selepas ahli matematik yang menemuinya pada tahun 1899.