Formula Bernoulli untuk kebarangkalian yang berbeza. Generalisasi skema Bernoulli

Biarkan n ujian dijalankan mengenai peristiwa A. Mari perkenalkan peristiwa: Ak - peristiwa A berlaku semasa percubaan ke-k, $ k=1,2,\dots , n$. Maka $\bar(A)_(k) $ ialah peristiwa yang bertentangan (peristiwa A tidak berlaku semasa percubaan ke-k, $k=1,2,\dots , n$).

Apakah ujian homogen dan bebas?

Definisi

Ujian dikatakan daripada jenis yang sama berkenaan dengan peristiwa A jika kebarangkalian kejadian $A1, A2, \dots , Аn$ bertepatan: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An)$ (iaitu, kebarangkalian kejadian A dalam satu percubaan adalah malar dalam semua percubaan).

Jelas sekali, dalam kes ini kebarangkalian peristiwa yang bertentangan juga bertepatan: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A)_(n))$.

Definisi

Ujian dipanggil bebas berkenaan dengan peristiwa A jika peristiwa $A1, A2, \dots , Аn$ adalah bebas.

Dalam kes ini

Dalam kes ini, kesaksamaan dikekalkan apabila sebarang peristiwa Аk digantikan dengan $\bar(A)_(k) $.

Biarkan satu siri n ujian serupa dijalankan berhubung dengan peristiwa A ujian bebas. Kami menggunakan tatatanda berikut: p—kebarangkalian kejadian A berlaku dalam satu percubaan; q ialah kebarangkalian bagi kejadian yang bertentangan. Oleh itu, P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ bagi sebarang k dan p+q=1.

Kebarangkalian bahawa dalam satu siri n percubaan peristiwa A akan berlaku tepat k kali (0 ≤ k ≤ n) dikira dengan formula:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Kesamaan (1) dipanggil formula Bernoulli.

Kebarangkalian bahawa dalam satu siri n kejadian percubaan bebas yang serupa A akan berlaku sekurang-kurangnya k1 kali dan tidak lebih daripada k2 kali dikira dengan formula:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\jumlah \had _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Penggunaan formula Bernoulli untuk nilai yang besar n membawa kepada pengiraan yang menyusahkan, jadi dalam kes ini adalah lebih baik menggunakan formula lain - yang asimptotik.

Generalisasi skema Bernoulli

Mari kita pertimbangkan generalisasi skema Bernoulli. Jika dalam satu siri n percubaan bebas, setiap satunya mempunyai m berpasangan tidak serasi dan kemungkinan keputusan Ak dengan kebarangkalian sepadan Pk = pk(Ak). Maka formula taburan polinomial adalah sah:

Contoh 1

Kebarangkalian dijangkiti influenza semasa wabak ialah 0.4. Cari kebarangkalian bahawa daripada 6 pekerja syarikat itu akan jatuh sakit

tepat 4 pekerja;
tidak lebih daripada 4 orang pekerja.

Penyelesaian. 1) Jelas sekali, untuk menyelesaikan masalah ini formula Bernoulli boleh digunakan, di mana n=6; k=4; p=0.4; q=1-р=0.6. Menggunakan formula (1), kita memperoleh: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \approx 0.138$.

Untuk menyelesaikan masalah ini, formula (2) boleh digunakan, di mana k1=0 dan k2=4. Kami ada:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ lebih kurang 0.959.) \end(array)\]

Perlu diingatkan bahawa masalah ini lebih mudah diselesaikan menggunakan peristiwa yang bertentangan - lebih daripada 4 pekerja jatuh sakit. Kemudian, dengan mengambil kira formula (7) tentang kebarangkalian kejadian bertentangan, kita memperoleh:

Jawapan: $\$0.959.

Contoh 2

Terdapat 20 bola putih dan 10 bola hitam di dalam sebuah tempayan. 4 bola dikeluarkan, dan setiap bola yang dikeluarkan dikembalikan ke dalam urn sebelum bola berikutnya dikeluarkan dan bola dalam urn dicampur. Cari kebarangkalian bahawa daripada empat bola yang ditarik akan terdapat 2 bola putih (Rajah 1).

Rajah 1.

Penyelesaian. Biarkan peristiwa A begitu - dapat bola putih. Kemudian kebarangkalian $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Menurut formula Bernoulli, kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\ frac(1)( 3) \kanan)^(2) =\frac(8)(27) $.

Jawapan: $\frac(8)(27) $.

Contoh 3

Tentukan kebarangkalian bahawa sebuah keluarga yang mempunyai 5 orang anak akan mempunyai tidak lebih daripada tiga orang perempuan. Kebarangkalian untuk mempunyai anak lelaki dan perempuan diandaikan sama.

Penyelesaian. Kebarangkalian mempunyai seorang perempuan $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $ ialah kebarangkalian mendapat seorang lelaki. Tidak ada lebih daripada tiga kanak-kanak perempuan dalam sebuah keluarga, yang bermaksud sama ada seorang, dua, atau tiga kanak-kanak perempuan dilahirkan, atau keluarga itu semuanya lelaki.

Mari cari kebarangkalian bahawa tiada kanak-kanak perempuan dalam keluarga itu, satu, dua atau tiga kanak-kanak perempuan dilahirkan: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Oleh itu, kebarangkalian yang diingini $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $.

Jawapan: $\frac(13)(16) $.

Contoh 4

Penembak pertama dengan satu pukulan boleh mencapai sepuluh teratas dengan kebarangkalian 0.6, sembilan dengan kebarangkalian 0.3, dan lapan dengan kebarangkalian 0.1. Apakah kebarangkalian bahawa dengan 10 pukulan dia akan mencapai sepuluh terbaik enam kali, sembilan tiga kali dan lapan sekali?

Mari kita pertimbangkan Taburan binomial, mari kita hitung jangkaan, serakan dan mod matematiknya. Menggunakan fungsi MS EXCEL BINOM.DIST(), kami akan membina graf bagi fungsi taburan dan ketumpatan kebarangkalian. Mari kita anggarkan parameter taburan p, jangkaan matematik pengedaran dan sisihan piawai. Mari kita pertimbangkan juga pengedaran Bernoulli.

Definisi. Biarkan mereka berlaku n percubaan, di mana setiap satu hanya 2 peristiwa boleh berlaku: peristiwa "berjaya" dengan kebarangkalian hlm atau peristiwa "gagal" dengan kebarangkalian q =1-p (kononnya Skim Bernoulli,Bernoullipercubaan).

Kebarangkalian menerima dengan tepat x kejayaan dalam hal ini n ujian adalah sama dengan:

Bilangan kejayaan dalam sampel x ialah pembolehubah rawak yang mempunyai Taburan binomial(Bahasa Inggeris) binomialpengedaran) hlm Dan n– adalah parameter taburan ini.

Sila ingat bahawa untuk digunakan Skim Bernoulli dan sewajarnya Taburan binomial, syarat-syarat berikut mesti dipenuhi:

Setiap ujian mesti mempunyai dua keputusan, secara konvensional dipanggil "kejayaan" dan "kegagalan."
keputusan setiap ujian tidak harus bergantung kepada keputusan ujian sebelumnya (kebebasan ujian).
kebarangkalian kejayaan hlm mesti tetap untuk semua ujian.

Pengedaran binomial dalam MS EXCEL

Dalam MS EXCEL, bermula dari versi 2010, untuk Taburan binomial terdapat fungsi BINOM.DIST(), nama Inggeris- BINOM.DIST(), yang membolehkan anda mengira kebarangkalian bahawa sampel akan mengandungi dengan tepat X"kejayaan" (iaitu fungsi ketumpatan kebarangkalian p(x), lihat formula di atas), dan fungsi pengagihan kumulatif(kebarangkalian bahawa sampel akan mempunyai x atau kurang "kejayaan", termasuk 0).

Sebelum MS EXCEL 2010, EXCEL mempunyai fungsi BINOMDIST(), yang juga membolehkan anda mengira fungsi pengedaran Dan ketumpatan kebarangkalian p(x). BINOMIST() ditinggalkan dalam MS EXCEL 2010 untuk keserasian.

Fail contoh mengandungi graf taburan ketumpatan kebarangkalian Dan .

Taburan binomial mempunyai sebutan B(n; hlm) .

Nota: Untuk pembinaan fungsi pengagihan kumulatif rajah jenis sempurna Jadual, Untuk ketumpatan pengedaran – Histogram dengan kumpulan. Untuk mendapatkan maklumat lanjut tentang mencipta carta, baca artikel Jenis asas carta.

Nota: Untuk kemudahan menulis formula, Nama untuk parameter telah dibuat dalam fail contoh Taburan binomial: n dan p.

Fail contoh menunjukkan pelbagai pengiraan kebarangkalian menggunakan fungsi MS EXCEL:

Seperti yang anda lihat dalam gambar di atas, diandaikan bahawa:

Populasi tak terhingga dari mana sampel diambil mengandungi 10% (atau 0.1) unsur sah (parameter hlm, argumen fungsi ketiga = BINOM.DIST() )
Untuk mengira kebarangkalian bahawa dalam sampel 10 elemen (parameter n, hujah kedua fungsi) akan ada tepat 5 elemen yang sah (hujah pertama), anda perlu menulis formula: =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, SALAH)
Elemen terakhir, keempat ditetapkan = SALAH, i.e. nilai fungsi dikembalikan ketumpatan pengedaran.

Jika nilai argumen keempat = TRUE, maka fungsi BINOM.DIST() mengembalikan nilai fungsi pengagihan kumulatif atau hanya Fungsi pengedaran. Dalam kes ini, anda boleh mengira kebarangkalian bahawa bilangan elemen yang sesuai dalam sampel akan datang julat tertentu, sebagai contoh, 2 atau kurang (termasuk 0).

Untuk melakukan ini, anda perlu menulis formula:
= BINOM.DIST(2; 10; 0.1; BENAR)

Nota: Untuk nilai bukan integer bagi x, . Sebagai contoh, formula berikut akan mengembalikan nilai yang sama:
=BINOM.DIST( 2 ; 10; 0.1; BENAR)
=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0.1; BENAR)

Nota: Dalam fail contoh ketumpatan kebarangkalian Dan fungsi pengagihan juga dikira menggunakan definisi dan fungsi NUMBERCOMB() .

Penunjuk pengedaran

DALAM contoh fail pada lembaran kerja Contoh Terdapat formula untuk mengira beberapa petunjuk pengedaran:

=n*p;
(sisihan piawai kuasa dua) = n*p*(1-p);
= (n+1)*p;
=(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Mari terbitkan formula jangkaan matematik Taburan binomial menggunakan Litar Bernoulli.

Mengikut takrifan pembolehubah rawak X masuk Skim Bernoulli(pembolehubah rawak Bernoulli) mempunyai fungsi pengedaran:

Pengagihan ini dipanggil Pengagihan Bernoulli.

Nota: Pengagihan Bernoulli – kes khas Taburan binomial dengan parameter n=1.

Mari kita hasilkan 3 tatasusunan 100 nombor setiap satu dengan kebarangkalian yang berbeza kejayaan: 0.1; 0.5 dan 0.9. Untuk melakukan ini dalam tetingkap Penjanaan nombor rawak pasang parameter berikut bagi setiap kebarangkalian p:

Nota: Jika anda menetapkan pilihan Taburan rawak (Benih Rawak), maka anda boleh memilih yang khusus set rawak nombor yang dijana. Contohnya, dengan menetapkan pilihan ini =25, anda boleh menjana set nombor rawak yang sama pada komputer yang berbeza (jika, sudah tentu, parameter pengedaran lain adalah sama). Nilai pilihan boleh mengambil nilai integer dari 1 hingga 32,767 Nama pilihan Taburan rawak mungkin mengelirukan. Adalah lebih baik untuk menterjemahkannya sebagai Dail nombor dengan nombor rawak.

Akibatnya, kita akan mempunyai 3 lajur 100 nombor, yang berdasarkannya kita boleh, sebagai contoh, menganggarkan kebarangkalian kejayaan hlm mengikut formula: Bilangan kejayaan/100(cm. contoh helaian fail GenerationBernoulli).

Nota: Untuk Pengagihan Bernoulli dengan p=0.5 anda boleh menggunakan formula =RANDBETWEEN(0;1) yang sepadan dengan .

Penjanaan nombor rawak. Taburan binomial

Mari kita andaikan bahawa terdapat 7 produk yang rosak dalam sampel. Ini bermakna "kemungkinan besar" bahawa bahagian produk yang rosak telah berubah hlm, yang merupakan ciri proses pengeluaran kami. Walaupun situasi sedemikian "sangat berkemungkinan", terdapat kemungkinan (risiko alfa, ralat jenis 1, "penggera palsu") yang hlm kekal tidak berubah, dan peningkatan bilangan produk yang rosak adalah disebabkan oleh pensampelan rawak.

Seperti yang dapat dilihat dalam rajah di bawah, 7 ialah bilangan produk yang rosak yang boleh diterima untuk proses dengan p=0.21 pada nilai yang sama Alfa. Ini menggambarkan bahawa apabila nilai ambang item yang rosak dalam sampel melebihi, hlm"kemungkinan besar" telah meningkat. Frasa "kemungkinan besar" bermaksud hanya terdapat 10% kebarangkalian (100%-90%) bahawa sisihan peratusan produk yang rosak di atas ambang adalah disebabkan oleh sebab rawak sahaja.

Oleh itu, melebihi bilangan ambang produk yang rosak dalam sampel boleh berfungsi sebagai isyarat bahawa proses itu telah menjadi kecewa dan telah mula menghasilkan produk terpakai. O peratusan produk yang rosak yang lebih tinggi.

Nota: Sebelum MS EXCEL 2010, EXCEL mempunyai fungsi CRITBINOM(), yang bersamaan dengan BINOM.INV(). CRITBINOM() ditinggalkan dalam MS EXCEL 2010 dan lebih tinggi untuk keserasian.

Kaitan taburan Binomial dengan taburan lain

Jika parameter n Taburan binomial cenderung kepada infiniti, dan hlm cenderung kepada 0, maka dalam kes ini Taburan binomial boleh dianggarkan.
Kita boleh merumuskan keadaan apabila anggaran Pengagihan Poisson berfungsi dengan baik:

hlm<0,1 (semakin kurang hlm dan banyak lagi n, lebih tepat anggaran);
hlm>0,9 (memandangkan itu q=1- hlm, pengiraan dalam kes ini mesti dibuat melalui q(A X perlu diganti dengan n- x). Oleh itu, semakin kurang q dan banyak lagi n, lebih tepat anggarannya).

Pada 0.1<=p<=0,9 и n*p>10 Taburan binomial boleh dianggarkan.

Sebaliknya, Taburan binomial boleh berfungsi sebagai anggaran yang baik apabila saiz populasi ialah N Taburan hipergeometrik jauh lebih besar daripada saiz sampel n (iaitu, N>>n atau n/N<<1).

Butiran lanjut tentang hubungan antara pengedaran di atas boleh didapati dalam artikel. Terdapat juga contoh penghampiran, dan syarat bila boleh dan dengan ketepatan yang dijelaskan.

NASIHAT: Anda boleh membaca tentang pengedaran MS EXCEL lain dalam artikel.

Teori ringkas

Teori kebarangkalian memperkatakan eksperimen yang boleh diulang (sekurang-kurangnya secara teori) dalam bilangan kali yang tidak terhad. Biarkan beberapa percubaan diulang sekali, dan keputusan setiap ulangan tidak bergantung pada keputusan ulangan sebelumnya. Siri pengulangan sedemikian dipanggil percubaan bebas. Satu kes khas ujian tersebut ialah ujian Bernoulli bebas, yang dicirikan oleh dua keadaan:

1) keputusan setiap ujian ialah satu daripada dua kemungkinan hasil, masing-masing dipanggil "kejayaan" atau "kegagalan".

2) kebarangkalian "kejayaan" dalam setiap ujian berikutnya tidak bergantung pada keputusan ujian sebelumnya dan kekal malar.

Teorem Bernoulli

Jika satu siri percubaan Bernoulli bebas dilakukan, di mana setiap satu "kejayaan" muncul dengan kebarangkalian , maka kebarangkalian bahawa "kejayaan" muncul tepat sekali dalam percubaan dinyatakan oleh formula:

di manakah kebarangkalian "kegagalan".

– bilangan gabungan unsur oleh (lihat formula kombinatorik asas)

Formula ini dipanggil Formula Bernoulli.

Formula Bernoulli membolehkan anda menyingkirkan sejumlah besar pengiraan - penambahan dan pendaraban kebarangkalian - dengan bilangan ujian yang cukup besar.

Skim ujian Bernoulli juga dipanggil skema binomial, dan kebarangkalian yang sepadan dipanggil binomial, yang dikaitkan dengan penggunaan pekali binomial.

Pengagihan mengikut skema Bernoulli membolehkan, khususnya, untuk mencari bilangan kejadian yang paling berkemungkinan berlaku.

Jika bilangan ujian n adalah besar, kemudian gunakan:

Contoh penyelesaian masalah

Keadaan masalah

Kadar percambahan sesetengah biji tumbuhan ialah 70%. Apakah kebarangkalian bahawa daripada 10 biji benih yang disemai: 8, sekurang-kurangnya 8; sekurang-kurangnya 8?

Penyelesaian masalah

Mari kita gunakan formula Bernoulli:

Dalam kes kita

Biarlah daripada 10 biji 8 bercambah:

Biarkan acara sekurang-kurangnya 8 (bermakna 8, 9 atau 10)

Biarkan acara meningkat sekurang-kurangnya 8 (ini bermakna 8,9 atau 10)

Jawab

Purata kos menyelesaikan ujian ialah 700 - 1200 rubel (tetapi tidak kurang daripada 300 rubel untuk keseluruhan pesanan). Harga sangat dipengaruhi oleh mendesak keputusan (dari sehari hingga beberapa jam). Kos bantuan dalam talian untuk peperiksaan/ujian adalah daripada 1000 rubel. untuk menyelesaikan tiket.

Anda boleh meninggalkan permintaan terus dalam sembang, setelah menghantar syarat tugas sebelum ini dan memaklumkan anda tentang jangka masa untuk penyelesaian yang anda perlukan. Masa tindak balas adalah beberapa minit.

Jangan kita fikirkan perkara yang tinggi untuk masa yang lama - mari kita mulakan segera dengan definisi.

- ini adalah apabila n eksperimen bebas daripada jenis yang sama dilakukan, di mana setiap satu peristiwa A yang menarik minat kita mungkin muncul, dan kebarangkalian peristiwa ini P(A) = p diketahui. Kita perlu menentukan kebarangkalian bahawa, selepas n percubaan, peristiwa A akan berlaku tepat k kali.

Masalah yang boleh diselesaikan menggunakan skema Bernoulli sangat pelbagai: daripada yang mudah (seperti "cari kebarangkalian bahawa penembak akan memukul 1 kali daripada 10") kepada yang sangat teruk (contohnya, masalah dengan peratusan atau bermain kad) . Pada hakikatnya, skim ini sering digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pemantauan kualiti produk dan kebolehpercayaan pelbagai mekanisme, semua ciri yang mesti diketahui sebelum memulakan kerja.

Mari kita kembali kepada definisi. Oleh kerana kita bercakap tentang percubaan bebas, dan dalam setiap percubaan kebarangkalian peristiwa A adalah sama, hanya dua hasil yang mungkin:

A ialah kejadian peristiwa A dengan kebarangkalian p;
“bukan A” - peristiwa A tidak muncul, yang berlaku dengan kebarangkalian q = 1 − p.

Syarat yang paling penting, tanpa skema Bernoulli kehilangan maknanya, adalah keteguhan. Tidak kira berapa banyak eksperimen yang kita jalankan, kita berminat dengan peristiwa A yang sama, yang berlaku dengan kebarangkalian p yang sama.

Dengan cara ini, tidak semua masalah dalam teori kebarangkalian dikurangkan kepada keadaan malar. Mana-mana tutor matematik tinggi yang cekap akan memberitahu anda tentang perkara ini. Malah sesuatu yang mudah seperti mengeluarkan bola berwarna-warni daripada kotak bukanlah pengalaman dengan keadaan yang berterusan. Mereka mengeluarkan bola lain - nisbah warna dalam kotak berubah. Akibatnya, kebarangkalian juga telah berubah.

Jika keadaan adalah malar, kita boleh menentukan dengan tepat kebarangkalian peristiwa A akan berlaku tepat k kali daripada n yang mungkin. Mari kita rumuskan fakta ini dalam bentuk teorem:

Biarkan kebarangkalian kejadian A dalam setiap eksperimen adalah malar dan sama dengan p. Kemudian kebarangkalian peristiwa A akan muncul tepat k kali dalam n percubaan bebas dikira dengan formula:

dengan C n k ialah bilangan gabungan, q = 1 − p.

Formula ini dipanggil: . Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa masalah yang diberikan di bawah boleh diselesaikan sepenuhnya tanpa menggunakan formula ini. Sebagai contoh, anda boleh menggunakan formula untuk menambah kebarangkalian. Walau bagaimanapun, jumlah pengiraan akan menjadi tidak realistik.

Tugasan. Kebarangkalian untuk menghasilkan produk yang rosak pada mesin ialah 0.2. Tentukan kebarangkalian bahawa dalam kumpulan sepuluh bahagian yang dihasilkan pada mesin ini betul-betul k bahagian akan tanpa kecacatan. Selesaikan masalah untuk k = 0, 1, 10.

Mengikut syarat, kami berminat dengan peristiwa A mengeluarkan produk tanpa kecacatan, yang berlaku setiap kali dengan kebarangkalian p = 1 − 0.2 = 0.8. Kita perlu menentukan kebarangkalian bahawa peristiwa ini akan berlaku k kali. Peristiwa A dibezakan dengan peristiwa "bukan A", i.e. pelepasan produk yang rosak.

Oleh itu, kita mempunyai: n = 10; p = 0.8; q = 0.2.

Jadi, kita dapati kebarangkalian bahawa semua bahagian dalam kumpulan rosak (k = 0), bahawa hanya terdapat satu bahagian tanpa kecacatan (k = 1), dan tiada bahagian yang rosak sama sekali (k = 10):

Tugasan. Syiling dilambung 6 kali. Mendarat jata dan kepala berkemungkinan sama. Cari kebarangkalian bahawa:

jata akan muncul tiga kali;

jata akan muncul sekali;

jata akan muncul sekurang-kurangnya dua kali.

Jadi, kami tertarik dengan acara A, apabila jata itu jatuh. Kebarangkalian kejadian ini ialah p = 0.5. Peristiwa A dibezakan dengan peristiwa "bukan A", apabila hasilnya adalah kepala, yang berlaku dengan kebarangkalian q = 1 − 0.5 = 0.5. Kita perlu menentukan kebarangkalian jata itu akan muncul k kali.

Oleh itu, kita mempunyai: n = 6; p = 0.5; q = 0.5.

Mari kita tentukan kebarangkalian jata itu dilukis tiga kali, i.e. k = 3:

Sekarang mari kita tentukan kebarangkalian bahawa jata itu muncul sekali sahaja, i.e. k = 1:

Ia masih untuk menentukan dengan apa kebarangkalian jata itu akan muncul sekurang-kurangnya dua kali. Tangkapan utama adalah dalam frasa "tidak kurang." Ternyata mana-mana k kecuali 0 dan 1 akan sesuai dengan kita, i.e. kita perlu mencari nilai jumlah X = P 6 (2) + P 6 (3) + … + P 6 (6).

Ambil perhatian bahawa jumlah ini juga sama dengan (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), i.e. Daripada semua pilihan yang mungkin, sudah cukup untuk "memotong" mereka apabila jata jatuh 1 kali (k = 1) atau tidak muncul sama sekali (k = 0). Oleh kerana kita sudah mengetahui P 6 (1), ia masih perlu mencari P 6 (0):

Tugasan. Kebarangkalian bahawa TV mempunyai kecacatan tersembunyi ialah 0.2. 20 TV tiba di gudang. Acara manakah yang lebih berkemungkinan: dalam kumpulan ini terdapat dua set TV dengan kecacatan tersembunyi atau tiga?

Peristiwa kepentingan A ialah kehadiran kecacatan terpendam. Terdapat n = 20 TV secara keseluruhan, kebarangkalian kecacatan tersembunyi ialah p = 0.2. Sehubungan itu, kebarangkalian untuk menerima TV tanpa kecacatan tersembunyi ialah q = 1 − 0.2 = 0.8.

Kami memperoleh syarat permulaan untuk skema Bernoulli: n = 20; p = 0.2; q = 0.8.

Mari cari kebarangkalian mendapat dua TV "cacat" (k = 2) dan tiga (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Jelas sekali, P 20 (3) > P 20 (2), i.e. kebarangkalian untuk menerima tiga televisyen dengan kecacatan tersembunyi adalah lebih besar daripada kebarangkalian untuk menerima hanya dua televisyen tersebut. Lebih-lebih lagi, perbezaannya tidak lemah.

Nota ringkas tentang faktorial. Ramai orang mengalami rasa tidak selesa yang samar-samar apabila mereka melihat entri "0!" (baca "faktorial sifar"). Jadi, 0! = 1 mengikut takrifan.

P.S. Dan kebarangkalian terbesar dalam tugasan terakhir adalah untuk mendapatkan empat TV dengan kecacatan tersembunyi. Kira sendiri dan lihat sendiri.

Lihat juga:

Terima kasih kerana membaca dan berkongsi dengan orang lain.

Apabila menyelesaikan masalah kebarangkalian, seseorang sering menghadapi situasi di mana ujian yang sama diulang berkali-kali dan keputusan setiap ujian adalah bebas daripada keputusan yang lain. Eksperimen ini juga dipanggil skim ujian bebas berulang atau Skim Bernoulli.

Contoh ujian berulang:

1) penyingkiran berulang satu bola dari urn, dengan syarat bola yang dikeluarkan dimasukkan semula ke dalam urn selepas mendaftarkan warnanya;

2) pengulangan oleh satu penembak pukulan pada sasaran yang sama, dengan syarat kebarangkalian pukulan yang berjaya dengan setiap pukulan diandaikan sama (peranan sifar tidak diambil kira).

Jadi, biarkan ujian menjadi mungkin sebagai hasilnya dua hasil: sama ada acara akan muncul A, atau peristiwa sebaliknya. Jom jalankan n ujian Bernoulli. Ini bermakna semua n percubaan adalah bebas; kebarangkalian berlakunya peristiwa $A$ dalam setiap individu atau percubaan tunggal adalah malar dan tidak berubah dari percubaan ke percubaan (iaitu, percubaan dijalankan di bawah keadaan yang sama). Mari kita nyatakan kebarangkalian kejadian $A$ dalam satu percubaan dengan huruf $p$, i.e. $p=P(A)$, dan kebarangkalian kejadian yang bertentangan (peristiwa $A$ tidak berlaku) - dengan huruf $q=P(\overline(A))=1-p$.

Kemudian kebarangkalian bahawa peristiwa itu A akan muncul dalam ini n ujian dengan tepat k kali, dinyatakan Formula Bernoulli

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

Taburan bilangan kejayaan (kejadian sesuatu peristiwa) dipanggil taburan binomial.

Kalkulator dalam talian untuk formula Bernoulli

Beberapa jenis masalah yang paling popular yang menggunakan formula Bernoulli dibincangkan dalam artikel dan dilengkapi dengan kalkulator dalam talian, anda boleh mengikuti pautan:

Contoh penyelesaian masalah menggunakan formula Bernoulli

Contoh. Terdapat 20 bola putih dan 10 bola hitam di dalam sebuah tempayan. 4 bola dikeluarkan, dan setiap bola yang dikeluarkan dikembalikan ke dalam urn sebelum yang berikutnya dikeluarkan dan bola di dalam urn dicampur.

Formula Bernoulli. Penyelesaian masalah

Cari kebarangkalian bahawa daripada empat bola yang ditarik akan terdapat 2 bola putih.

Penyelesaian. Peristiwa A- mengeluarkan bola putih. Kemudian kebarangkalian
, .
Menurut formula Bernoulli, kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan
.

Contoh. Tentukan kebarangkalian bahawa sebuah keluarga yang mempunyai 5 orang anak akan mempunyai tidak lebih daripada tiga orang perempuan. Kebarangkalian untuk mempunyai anak lelaki dan perempuan diandaikan sama.

Penyelesaian. Kebarangkalian mempunyai anak perempuan
, Kemudian.

Mari cari kebarangkalian bahawa tiada kanak-kanak perempuan dalam keluarga, satu, dua atau tiga kanak-kanak perempuan dilahirkan:

, ,

, .

Oleh itu, kebarangkalian yang diperlukan

Contoh. Antara bahagian yang diproses oleh pekerja, secara purata 4% adalah tidak standard. Cari kebarangkalian bahawa antara 30 bahagian yang diambil untuk ujian, dua adalah bukan piawai.

Penyelesaian. Di sini pengalaman terdiri daripada menyemak setiap satu daripada 30 bahagian untuk kualiti.

Peristiwa A ialah "kemunculan bahagian bukan piawai", kebarangkaliannya ialah . Dari sini, menggunakan formula Bernoulli, kami dapati
.

Contoh. Dengan setiap tembakan individu daripada pistol, kebarangkalian untuk mengenai sasaran ialah 0.9. Cari kebarangkalian bahawa daripada 20 pukulan bilangan pukulan yang berjaya adalah sekurang-kurangnya 16 dan tidak lebih daripada 19.

Penyelesaian. Kami mengira menggunakan formula Bernoulli:

Contoh. Ujian bebas berterusan sehingga acara A tidak akan berlaku k sekali. Cari kebarangkalian bahawa ia akan diperlukan n ujian (n ³ k), jika dalam setiap ujian .

Penyelesaian. Peristiwa DALAM– betul-betul n ujian sebelum ini k- berlakunya sesuatu peristiwa A– adalah hasil daripada dua peristiwa berikut:

D – dalam n-ujian ke A berlaku;

C - pertama (n–1)-ujian ke A muncul (k-1) sekali.

Teorem pendaraban dan formula Bernoulli memberikan kebarangkalian yang diperlukan:

Perlu diingatkan bahawa penggunaan hukum binomial sering dikaitkan dengan kesukaran pengiraan. Oleh itu, dengan peningkatan nilai n Dan m Adalah dinasihatkan untuk menggunakan formula anggaran (Poisson, Moivre-Laplace), yang akan dibincangkan dalam bahagian berikut.

Tutorial video formula Bernoulli

Bagi mereka yang lebih suka penjelasan video yang konsisten, video 15 minit:

Jumlah formula kebarangkalian: teori dan contoh penyelesaian masalah

Jumlah formula kebarangkalian dan kebarangkalian bersyarat kejadian

Jumlah Formula Kebarangkalian adalah akibat daripada peraturan asas teori kebarangkalian - peraturan penambahan dan peraturan pendaraban.

Jumlah formula kebarangkalian membolehkan anda mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa A, yang hanya boleh berlaku dengan setiap n peristiwa saling eksklusif yang membentuk sistem yang lengkap, jika kebarangkalian mereka diketahui, dan kebarangkalian bersyarat peristiwa A relatif kepada setiap peristiwa sistem adalah sama.

Peristiwa juga dipanggil hipotesis; Oleh itu, dalam kesusasteraan anda juga boleh mencari sebutan mereka bukan dengan huruf B, dan surat itu H(hipotesis).

Untuk menyelesaikan masalah dengan keadaan sedemikian, adalah perlu untuk mempertimbangkan 3, 4, 5 atau dalam kes umum n kemungkinan sesuatu kejadian berlaku A- dengan setiap acara.

Dengan menggunakan teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian, kita memperoleh hasil tambah hasil kebarangkalian setiap kejadian sistem dengan kebarangkalian bersyarat peristiwa A mengenai setiap peristiwa sistem.

21 ujian Bernoulli. Formula Bernoulli

Iaitu, kebarangkalian sesuatu kejadian A boleh dikira menggunakan formula

atau secara umum

yang dipanggil jumlah formula kebarangkalian .

Jumlah formula kebarangkalian: contoh penyelesaian masalah

Contoh 1. Terdapat tiga tempayan yang kelihatan sama: yang pertama mempunyai 2 bola putih dan 3 bola hitam, yang kedua mempunyai 4 putih dan satu hitam, yang ketiga mempunyai tiga bola putih. Seseorang menghampiri salah satu tempayan secara rawak dan mengeluarkan satu bola daripadanya. Mengambil kesempatan jumlah formula kebarangkalian, cari kebarangkalian bahawa bola ini akan berwarna putih.

Penyelesaian. Peristiwa A- rupa bola putih. Kami mengemukakan tiga hipotesis:

— peti undi pertama dipilih;

— peti undi kedua dipilih;

— guci ketiga dipilih.

Kebarangkalian bersyarat bagi sesuatu peristiwa A mengenai setiap hipotesis:

, , .

Kami menggunakan jumlah formula kebarangkalian, menghasilkan kebarangkalian yang diperlukan:

Contoh 2. Di kilang pertama, daripada setiap 100 mentol lampu, purata 90 mentol standard dihasilkan, pada kedua - 95, pada ketiga - 85, dan produk kilang-kilang ini membentuk, masing-masing, 50%, 30% dan 20% daripada semua mentol lampu dibekalkan ke kedai di kawasan tertentu. Cari kebarangkalian untuk membeli mentol lampu standard.

Penyelesaian. Mari kita nyatakan kebarangkalian untuk membeli mentol lampu standard dengan A, dan peristiwa mentol lampu yang dibeli telah dihasilkan di kilang pertama, kedua dan ketiga, melalui . Mengikut syarat, kebarangkalian kejadian ini diketahui: , , dan kebarangkalian bersyarat bagi kejadian tersebut A mengenai setiap daripada mereka: , , . Ini adalah kebarangkalian untuk membeli mentol lampu standard, dengan syarat ia dihasilkan di kilang pertama, kedua dan ketiga, masing-masing.

Peristiwa A akan berlaku sekiranya sesuatu kejadian berlaku K— mentol lampu dihasilkan di kilang pertama dan adalah standard, atau acara L— mentol lampu dihasilkan di kilang kedua dan adalah standard, atau acara M— mentol lampu dihasilkan di kilang ketiga dan adalah standard.

Kemungkinan lain untuk acara itu berlaku A Tidak. Oleh itu, acara A ialah jumlah peristiwa K, L Dan M, yang tidak serasi. Menggunakan teorem penambahan kebarangkalian, kita bayangkan kebarangkalian sesuatu peristiwa A dalam bentuk

dan dengan teorem pendaraban kebarangkalian yang kita dapat

iaitu, kes khas bagi jumlah formula kebarangkalian.

Menggantikan nilai kebarangkalian ke sebelah kiri formula, kami memperoleh kebarangkalian peristiwa itu A:

Tiada masa untuk mendalami penyelesaiannya? Anda boleh memesan kerja!

Contoh 3. Pesawat itu mendarat di lapangan terbang. Jika cuaca mengizinkan, juruterbang mendaratkan pesawat, menggunakan, sebagai tambahan kepada instrumen, juga pemerhatian visual. Dalam kes ini, kebarangkalian pendaratan selamat adalah sama dengan . Jika lapangan terbang ditutup dengan awan rendah, maka juruterbang mendaratkan pesawat, hanya dipandu oleh instrumen. Dalam kes ini, kebarangkalian pendaratan selamat adalah sama dengan; .

Peranti yang menyediakan pendaratan buta boleh dipercayai (kebarangkalian operasi tanpa kegagalan) P. Dengan kehadiran awan rendah dan instrumen pendaratan buta yang gagal, kebarangkalian pendaratan yang berjaya adalah sama dengan; . Statistik menunjukkan bahawa dalam k% pendaratan lapangan terbang dilitupi awan rendah. Cari jumlah kebarangkalian sesuatu peristiwaA- selamat mendarat pesawat.

Penyelesaian. Hipotesis:

- tiada awan rendah;

- terdapat kekeruhan rendah.

Kebarangkalian hipotesis ini (peristiwa):

;

Kebarangkalian bersyarat.

Kami akan mencari semula kebarangkalian bersyarat menggunakan formula jumlah kebarangkalian dengan hipotesis

— peranti pendaratan buta beroperasi;

— instrumen pendaratan buta gagal.

Kebarangkalian hipotesis ini:

Mengikut jumlah formula kebarangkalian

Contoh 4. Peranti boleh beroperasi dalam dua mod: normal dan tidak normal. Mod biasa diperhatikan dalam 80% daripada semua kes operasi peranti, dan mod tidak normal diperhatikan dalam 20% kes. Kebarangkalian kegagalan peranti dalam masa tertentu t sama dengan 0.1; dalam abnormal 0.7. Cari kebarangkalian penuh kegagalan peranti dari semasa ke semasa t.

Penyelesaian. Kami sekali lagi menandakan kebarangkalian kegagalan peranti melalui A. Jadi, mengenai pengendalian peranti dalam setiap mod (peristiwa), kebarangkalian diketahui mengikut keadaan: untuk mod biasa ini ialah 80% (), untuk mod tidak normal - 20% (). Kebarangkalian kejadian A(iaitu, kegagalan peranti) bergantung pada peristiwa pertama (mod biasa) adalah sama dengan 0.1 (); bergantung pada peristiwa kedua (mod tidak normal) - 0.7 ( ). Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam jumlah formula kebarangkalian (iaitu, hasil tambah hasil kebarangkalian setiap peristiwa sistem dengan kebarangkalian bersyarat kejadian itu A mengenai setiap peristiwa sistem) dan sebelum kami adalah hasil yang diperlukan.

Formula Bernoulli- formula dalam teori kebarangkalian yang membolehkan anda mencari kebarangkalian sesuatu kejadian berlaku A (\displaystyle A) dalam ujian bebas. Formula Bernoulli membolehkan anda menyingkirkan sejumlah besar pengiraan - penambahan dan pendaraban kebarangkalian - dengan bilangan ujian yang cukup besar. Dinamakan sempena ahli matematik Switzerland yang cemerlang Jacob Bernoulli, yang memperoleh formula ini.

YouTube ensiklopedia

1 / 3

✪ Teori kebarangkalian. 22. Formula Bernoulli. Penyelesaian masalah

✪ Formula Bernoulli

✪ 20 Ulangan ujian Formula Bernoulli

Sari kata

Formulasi

Teorem. Jika kebarangkalian p (\gaya paparan p) berlakunya sesuatu peristiwa A (\displaystyle A) adalah malar dalam setiap percubaan, maka kebarangkalian P k , n (\gaya paparan P_(k,n)) bahawa peristiwa itu A (\displaystyle A) akan datang tepat k (\gaya paparan k) sekali setiap n (\gaya paparan n) ujian bebas, adalah sama dengan: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\gaya paparan P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), Di mana q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).

Bukti

Biarlah ia dijalankan n (\gaya paparan n) ujian bebas, dan ia diketahui bahawa sebagai hasil daripada setiap ujian acara A (\displaystyle A) berlaku dengan kebarangkalian P (A) = p (\gaya paparan P\kiri(A\kanan)=p) dan, oleh itu, tidak berlaku dengan kebarangkalian P (A ¯) = 1 − p = q (\gaya paparan P\kiri((\bar (A))\kanan)=1-p=q). Biar, juga, semasa ujian kebarangkalian p (\gaya paparan p) Dan q (\gaya paparan q) kekal tidak berubah. Apakah kebarangkalian bahawa akibatnya n (\gaya paparan n) ujian bebas, acara A (\displaystyle A) akan datang tepat k (\gaya paparan k) sekali?

Ternyata adalah mungkin untuk mengira dengan tepat bilangan gabungan "berjaya" hasil ujian yang mana peristiwa itu A (\displaystyle A) datang k (\gaya paparan k) sekali setiap n (\gaya paparan n) ujian bebas - ini betul-betul bilangan gabungan n (\gaya paparan n) Oleh k (\gaya paparan k) :

C n (k) = n !{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

k! A (\displaystyle A)(n − k) !

(\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n n (\gaya paparan n) Pada masa yang sama, kerana semua ujian adalah bebas dan keputusannya tidak serasi (event A (\displaystyle A) akan datang tepat k (\gaya paparan k) sama ada berlaku atau tidak), maka kebarangkalian untuk mendapatkan gabungan "berjaya" adalah sama persis dengan: . Akhirnya, untuk mencari kebarangkalian itu acara ujian bebas Sekali lagi, anda perlu menambah kebarangkalian untuk mendapatkan semua kombinasi "berjaya". Kebarangkalian untuk mendapatkan semua kombinasi "berjaya" adalah sama dan sama p k ⋅ q n − k (\gaya paparan p^(k)\cdot q^(n-k))

, bilangan gabungan "berjaya" adalah sama dengan.

C n (k) (\gaya paparan C_(n)(k))

, jadi akhirnya kita dapat:.