Formula untuk matriks songsang. Matriks songsang dan sifatnya

Biarkan matriks segi empat sama diberikan. Ia diperlukan untuk mencari matriks songsang.

Cara pertama. Dalam Teorem 4.1 kewujudan dan keunikan matriks songsang, salah satu cara untuk mencarinya ditunjukkan.

1. Kirakan penentu bagi matriks yang diberi. Jika, maka matriks songsang tidak wujud (matriks merosot).

2. Susun matriks daripada pelengkap algebra bagi unsur matriks.

3. Memindahkan matriks, dapatkan matriks yang berkaitan .

4. Cari matriks songsang (4.1) dengan membahagikan semua unsur matriks yang berkaitan dengan penentu

Cara kedua. Untuk mencari matriks songsang, penjelmaan asas boleh digunakan.

1. Susun matriks blok dengan memberikan kepada matriks identiti matriks yang diberikan dengan susunan yang sama.

2. Dengan bantuan transformasi asas yang dilakukan pada baris matriks , bawa blok kirinya ke bentuk yang paling mudah. Dalam kes ini, matriks blok dikurangkan kepada bentuk, di mana matriks segi empat sama diperoleh hasil daripada transformasi daripada matriks identiti.

3. Jika , maka adalah blok sama dengan matriks songsang, iaitu Jika, maka matriks itu tidak mempunyai songsang.

Sesungguhnya, dengan bantuan transformasi asas bagi baris matriks, blok kirinya boleh dikurangkan kepada bentuk yang dipermudahkan (lihat Rajah 1.5). Dalam kes ini, matriks blok diubah kepada bentuk, di mana adalah matriks asas yang memenuhi kesamaan. Jika matriks adalah bukan tunggal, maka, mengikut item 2 Catatan 3.3, bentuk ringkasnya bertepatan dengan matriks identiti. Kemudian ia mengikuti dari persamaan itu. Jika matriks merosot, maka bentuk ringkasnya berbeza daripada matriks identiti, dan matriks tidak mempunyai songsang.

11. Persamaan matriks dan penyelesaiannya. Notasi matriks SLAE. Kaedah matriks (kaedah matriks songsang) untuk menyelesaikan SLAE dan syarat untuk kebolehgunaannya.

Persamaan matriks ialah persamaan dalam bentuk: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C di mana matriks A, B, C diketahui, matriks X tidak diketahui, jika matriks A dan B tidak merosot, maka penyelesaian matriks asal akan ditulis dalam bentuk yang sepadan: X=A -1 *C; X=C*A -1; X \u003d A -1 * C * B -1 Bentuk matriks sistem penulisan persamaan algebra linear. Beberapa matriks boleh dikaitkan dengan setiap SLAE; lebih-lebih lagi, SLAE itu sendiri boleh ditulis sebagai persamaan matriks. Untuk SLAE (1), pertimbangkan matriks berikut:

Matriks A dipanggil matriks sistem. Unsur-unsur matriks ini ialah pekali bagi SLAE yang diberikan.

Matriks A˜ dipanggil sistem matriks diperluaskan. Ia diperoleh dengan menambah pada matriks sistem lajur yang mengandungi ahli bebas b1,b2,...,bm. Biasanya lajur ini dipisahkan oleh garis menegak, untuk kejelasan.

Matriks lajur B dipanggil matriks istilah bebas, dan matriks lajur X ialah matriks yang tidak diketahui.

Menggunakan tatatanda yang diperkenalkan di atas, SLAE (1) boleh ditulis dalam bentuk persamaan matriks: A⋅X=B.

Catatan

Matriks yang dikaitkan dengan sistem boleh ditulis dalam pelbagai cara: semuanya bergantung pada susunan pembolehubah dan persamaan SLAE yang dipertimbangkan. Tetapi dalam apa jua keadaan, susunan yang tidak diketahui dalam setiap persamaan SLAE yang diberikan mestilah sama.

Kaedah matriks sesuai untuk menyelesaikan SLAE di mana bilangan persamaan bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem adalah bukan sifar. Jika sistem mengandungi lebih daripada tiga persamaan, maka mencari matriks songsang memerlukan usaha pengiraan yang ketara, oleh itu, dalam kes ini, adalah dinasihatkan untuk digunakan untuk menyelesaikan Kaedah Gauss.

12. SLAE homogen, syarat untuk kewujudan penyelesaian bukan sifarnya. Sifat penyelesaian separa SLAE homogen.

Persamaan linear dipanggil homogen jika sebutan bebasnya sama dengan sifar, dan tidak homogen sebaliknya. Sistem yang terdiri daripada persamaan homogen dipanggil homogen dan mempunyai bentuk umum:

13 .Konsep kebebasan linear dan pergantungan penyelesaian separa bagi SLAE homogen. Sistem keputusan asas (FSR) dan penemuannya. Perwakilan penyelesaian umum SLAE homogen dari segi FSR.

Sistem fungsi y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) dipanggil bergantung secara linear pada selang waktu ( a , b ) jika terdapat satu set pekali malar yang tidak sama dengan sifar secara serentak, supaya gabungan linear fungsi ini adalah sama dengan sifar pada ( a , b ): untuk . Jika kesamaan untuk hanya mungkin untuk , sistem fungsi y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) dipanggil bebas linear pada selang waktu ( a , b ). Dengan kata lain, fungsi y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) bergantung secara linear pada selang waktu ( a , b ) jika wujud sifar pada ( a , b ) gabungan linear bukan remeh mereka. Fungsi y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) bebas linear pada selang waktu ( a , b ) jika hanya gabungan linear remeh mereka adalah sama dengan sifar pada ( a , b ).

Sistem keputusan asas (FSR) SLAE homogen ialah asas sistem lajur ini.

Bilangan elemen dalam FSR adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui dalam sistem tolak pangkat matriks sistem. Sebarang penyelesaian kepada sistem asal ialah gabungan linear penyelesaian kepada FSR.

Teorem

Penyelesaian umum SLAE tidak homogen adalah sama dengan jumlah penyelesaian tertentu SLAE tidak homogen dan penyelesaian umum SLAE homogen yang sepadan.

1 . Jika lajur adalah penyelesaian kepada sistem persamaan homogen, maka sebarang kombinasi linear daripadanya juga merupakan penyelesaian kepada sistem homogen.

Sesungguhnya, ia mengikuti daripada persamaan yang

mereka. kombinasi linear penyelesaian ialah penyelesaian kepada sistem homogen.

2. Jika pangkat matriks sistem homogen ialah , maka sistem itu mempunyai penyelesaian bebas linear.

Sesungguhnya, dengan formula (5.13) penyelesaian umum sistem homogen, kita boleh mencari penyelesaian tertentu dengan memberikan yang berikut kepada pembolehubah bebas set nilai lalai (setiap kali mengandaikan bahawa salah satu pembolehubah bebas adalah sama dengan satu, dan selebihnya adalah sama dengan sifar):

yang bebas secara linear. Sesungguhnya, jika matriks terbentuk daripada lajur ini, maka baris terakhirnya membentuk matriks identiti. Oleh itu, minor yang terletak di baris terakhir tidak sama dengan sifar (ia bersamaan dengan satu), i.e. adalah asas. Oleh itu, pangkat matriks akan sama. Oleh itu, semua lajur matriks ini adalah bebas linear (lihat Teorem 3.4).

Sebarang koleksi penyelesaian bebas linear bagi sistem homogen dipanggil sistem asas (set) penyelesaian .

14 Minor daripada urutan ke-, minor asas, pangkat matriks. Pengiraan pangkat matriks.

Susunan k minor bagi matriks A ialah penentu bagi beberapa submatriks kuasa dua bagi susunan k.

Dalam m x n matriks A, minor bagi susunan r dipanggil asas jika ia bukan sifar, dan semua minor tertib yang lebih besar, jika wujud, adalah sama dengan sifar.

Lajur dan baris matriks A, di persimpangan yang terdapat asas minor, dipanggil lajur asas dan baris A.

Teorem 1. (Pada pangkat matriks). Untuk mana-mana matriks, kedudukan minor adalah sama dengan kedudukan baris dan sama dengan kedudukan lajur.

Teorem 2. (Pada asas minor). Setiap lajur matriks diuraikan menjadi gabungan linear lajur asasnya.

Kedudukan matriks (atau pangkat minor) ialah susunan asas minor atau, dengan kata lain, susunan terbesar yang bukan sifar minor wujud. Kedudukan matriks sifar, mengikut definisi, dianggap sebagai 0.

Kami perhatikan dua sifat jelas pangkat kecil.

1) Kedudukan matriks tidak berubah semasa transpos, kerana apabila matriks diubah, semua submatriksnya ditukar dan minor tidak berubah.

2) Jika A' ialah submatriks matriks A, maka pangkat A' tidak melebihi pangkat A, kerana minor bukan sifar termasuk dalam A' juga termasuk dalam A.

15. Konsep vektor aritmetik -dimensi. Kesamaan vektor. Tindakan ke atas vektor (penambahan, penolakan, pendaraban dengan nombor, pendaraban dengan matriks). Gabungan linear vektor.

Koleksi yang dipesan n nombor nyata atau kompleks dipanggil vektor n-dimensi. Nombor dipanggil koordinat vektor.

Dua (bukan sifar) vektor a dan b adalah sama jika ia adalah sama arah dan mempunyai modulus yang sama. Semua vektor sifar dianggap sama. Dalam semua kes lain, vektor tidak sama.

Penambahan vektor. Terdapat dua cara untuk menambah vektor.1. peraturan selari. Untuk menambah vektor dan, kami meletakkan asal kedua-duanya pada titik yang sama. Kami melengkapkan segi empat selari dan melukis pepenjuru segi empat selari dari titik yang sama. Ini akan menjadi jumlah vektor.

2. Cara kedua untuk menambah vektor ialah peraturan segitiga. Mari kita ambil vektor yang sama dan . Kami menambah permulaan kedua hingga akhir vektor pertama. Sekarang mari kita sambungkan permulaan yang pertama dan penghujung yang kedua. Ini ialah jumlah vektor dan . Dengan peraturan yang sama, anda boleh menambah beberapa vektor. Kami melampirkannya satu demi satu, dan kemudian menyambungkan permulaan yang pertama ke penghujung yang terakhir.

Penolakan vektor. Vektor diarahkan bertentangan dengan vektor. Panjang vektor adalah sama. Sekarang sudah jelas apa itu penolakan vektor. Perbezaan bagi vektor dan ialah hasil tambah bagi vektor dan vektor .

Darab vektor dengan nombor

Mendarab vektor dengan nombor k menghasilkan vektor yang panjangnya k kali berbeza daripada panjang. Ia adalah kodirectional dengan vektor jika k lebih besar daripada sifar, dan diarahkan secara bertentangan jika k kurang daripada sifar.

Hasil darab skalar bagi vektor ialah hasil darab panjang vektor dan kosinus sudut di antaranya. Jika vektor adalah serenjang, hasil darab titiknya ialah sifar. Dan ini adalah bagaimana hasil kali skalar dinyatakan dari segi koordinat vektor dan .

Gabungan linear vektor

Gabungan linear vektor vektor panggilan

di mana - pekali gabungan linear. Sekiranya gabungan dipanggil remeh jika ia bukan remeh.

16 .Darab skalar bagi vektor aritmetik. Panjang vektor dan sudut antara vektor. Konsep keortogonan vektor.

Hasil darab skalar bagi vektor a dan b ialah nombor

Hasil kali skalar digunakan untuk mengira: 1) mencari sudut di antara mereka; 2) mencari unjuran vektor; 3) mengira panjang vektor; 4) keadaan serenjang vektor.

Panjang segmen AB ialah jarak antara titik A dan B. Sudut antara vektor A dan B dipanggil sudut α = (a, c), 0≤ α ≤П. Dengan mana ia perlu untuk memutarkan 1 vektor supaya arahnya bertepatan dengan vektor lain. Dengan syarat permulaan mereka bertepatan.

Orth a ialah vektor a yang mempunyai panjang unit dan arah a.

17. Sistem vektor dan gabungan linearnya. Konsep pergantungan linear dan kebebasan sistem vektor. Teorem tentang syarat yang perlu dan mencukupi untuk pergantungan linear sistem vektor.

Sistem vektor a1,a2,...,an dipanggil bersandar linear jika terdapat nombor λ1,λ2,...,λn supaya sekurang-kurangnya satu daripadanya adalah bukan sifar dan λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 . Jika tidak, sistem itu dipanggil bebas linear.

Dua vektor a1 dan a2 dipanggil kolinear jika arahnya adalah sama atau bertentangan.

Tiga vektor a1,a2 dan a3 dipanggil coplanar jika ia selari dengan beberapa satah.

Kriteria geometri untuk pergantungan linear:

a) sistem (a1,a2) adalah bersandar secara linear jika dan hanya jika vektor a1 dan a2 adalah kolinear.

b) sistem (a1,a2,a3) adalah bersandar secara linear jika dan hanya jika vektor a1,a2 dan a3 adalah koplanar.

teorem. (Satu syarat yang perlu dan mencukupi untuk pergantungan linear sistem vektor.)

Sistem vektor vektor angkasa lepas ialah secara linear bergantung jika dan hanya jika salah satu vektor sistem dinyatakan secara linear dalam sebutan yang lain vektor sistem ini.

Akibat.1. Sistem vektor dalam ruang vektor adalah bebas linear jika dan hanya jika tiada vektor sistem dinyatakan secara linear dari segi vektor lain sistem ini.2. Sistem vektor yang mengandungi vektor sifar atau dua vektor yang sama adalah bergantung secara linear.

Matriks A -1 dipanggil matriks songsang berkenaan dengan matriks A, jika A * A -1 \u003d E, di mana E ialah matriks identiti bagi susunan ke-n. Matriks songsang hanya boleh wujud untuk matriks segi empat sama.

Tugasan perkhidmatan. Menggunakan perkhidmatan ini dalam talian, anda boleh mencari penambahan algebra, matriks tertranspos A T , matriks kesatuan dan matriks songsang. Penyelesaiannya dijalankan secara langsung di tapak (dalam talian) dan percuma. Keputusan pengiraan dibentangkan dalam laporan dalam format Word dan dalam format Excel (iaitu, adalah mungkin untuk menyemak penyelesaian). lihat contoh reka bentuk.

Arahan. Untuk mendapatkan penyelesaian, anda mesti menentukan dimensi matriks. Seterusnya, dalam kotak dialog baharu, isikan matriks A .

Dimensi matriks 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lihat juga Matriks Songsang oleh Kaedah Jordan-Gauss

Algoritma untuk mencari matriks songsang

1. Mencari matriks terpindah A T .
2. Definisi penambahan algebra. Gantikan setiap elemen matriks dengan pelengkap algebranya.
3. Penyusunan matriks songsang daripada penambahan algebra: setiap elemen matriks yang terhasil dibahagi dengan penentu matriks asal. Matriks yang terhasil adalah songsang daripada matriks asal.

Seterusnya algoritma matriks songsang serupa dengan yang sebelumnya, kecuali untuk beberapa langkah: pertama, pelengkap algebra dikira, dan kemudian matriks kesatuan C ditentukan.

1. Tentukan sama ada matriks itu adalah segi empat sama. Jika tidak, maka tiada matriks songsang untuknya.
2. Pengiraan penentu matriks A . Jika ia tidak sama dengan sifar, kita meneruskan penyelesaian, jika tidak, matriks songsang tidak wujud.
3. Definisi penambahan algebra.
4. Mengisi matriks kesatuan (bersama, bersebelahan) C .
5. Penyusunan matriks songsang daripada penambahan algebra: setiap elemen matriks bersebelahan C dibahagikan dengan penentu matriks asal. Matriks yang terhasil adalah songsang daripada matriks asal.
6. Buat semak: darabkan matriks asal dan hasil. Hasilnya mestilah matriks identiti.

Contoh #1. Kami menulis matriks dalam bentuk:

Penambahan algebra.

A 1.1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1.3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2.1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2.2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2.3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3.1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3.2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3.3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Kemudian matriks songsang boleh ditulis sebagai:

A -1 = 1 / 10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Algoritma lain untuk mencari matriks songsang

Kami membentangkan skema lain untuk mencari matriks songsang.

1. Cari penentu bagi matriks kuasa dua A yang diberi.
2. Kami mencari penambahan algebra kepada semua elemen matriks A.
3. Kami menulis pelengkap algebra unsur-unsur baris ke dalam lajur (transposisi).
4. Kami membahagikan setiap elemen matriks yang terhasil dengan penentu matriks A.

Seperti yang anda lihat, operasi transposisi boleh digunakan pada permulaan, di atas matriks asal, dan pada penghujung, ke atas penambahan algebra yang terhasil.

Kes khas: Songsang, berkenaan dengan matriks identiti E , ialah matriks identiti E .

Biarkan terdapat matriks segi empat sama bagi susunan ke-n

Matriks A -1 dipanggil matriks songsang berkenaan dengan matriks A, jika A * A -1 = E, dengan E ialah matriks identiti bagi susunan ke-n.

Matriks identiti- matriks segi empat sama, di mana semua elemen di sepanjang pepenjuru utama, melepasi dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah, adalah satu, dan selebihnya adalah sifar, sebagai contoh:

matriks songsang mungkin wujud hanya untuk matriks segi empat sama mereka. untuk matriks yang mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama.

Teorem Keadaan Kewujudan Matriks Songsang

Untuk matriks mempunyai matriks songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia tidak merosot.

Matriks A = (A1, A2,...A n) dipanggil tidak merosot jika vektor lajur adalah bebas linear. Bilangan vektor lajur bebas linear bagi matriks dipanggil pangkat matriks. Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa agar matriks songsang wujud, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks adalah sama dengan dimensinya, i.e. r = n.

Algoritma untuk mencari matriks songsang

1. Tulis matriks A dalam jadual untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss dan di sebelah kanan (sebagai ganti bahagian kanan persamaan) tetapkan matriks E kepadanya.
2. Menggunakan transformasi Jordan, bawa matriks A kepada matriks yang terdiri daripada lajur tunggal; dalam kes ini, adalah perlu untuk mengubah matriks E secara serentak.
3. Jika perlu, susun semula baris (persamaan) jadual terakhir supaya matriks identiti E diperoleh di bawah matriks A jadual asal.
4. Tulis matriks songsang A -1, yang berada dalam jadual terakhir di bawah matriks E jadual asal.

Contoh 1

Untuk matriks A, cari matriks songsang A -1

Penyelesaian: Kami menulis matriks A dan di sebelah kanan kami menetapkan matriks identiti E. Dengan menggunakan transformasi Jordan, kami mengurangkan matriks A kepada matriks identiti E. Pengiraan ditunjukkan dalam Jadual 31.1.

Mari kita semak ketepatan pengiraan dengan mendarab matriks asal A dan matriks songsang A -1.

Hasil daripada pendaraban matriks, matriks identiti diperolehi. Oleh itu, pengiraan adalah betul.

Jawapan:

Penyelesaian persamaan matriks

Persamaan matriks boleh kelihatan seperti:

AX = B, XA = B, AXB = C,

di mana A, B, C diberi matriks, X ialah matriks yang dikehendaki.

Persamaan matriks diselesaikan dengan mendarabkan persamaan dengan matriks songsang.

Sebagai contoh, untuk mencari matriks daripada persamaan, anda perlu mendarabkan persamaan ini dengan di sebelah kiri.

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada persamaan, anda perlu mencari matriks songsang dan mendarabkannya dengan matriks di sebelah kanan persamaan.

Persamaan lain diselesaikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Selesaikan persamaan AX = B jika

Penyelesaian: Oleh kerana songsangan matriks adalah sama (lihat contoh 1)

Kaedah matriks dalam analisis ekonomi

Bersama-sama dengan yang lain, mereka juga mencari aplikasi kaedah matriks. Kaedah ini adalah berdasarkan algebra linear dan vektor-matriks. Kaedah sedemikian digunakan untuk tujuan menganalisis fenomena ekonomi yang kompleks dan multidimensi. Selalunya, kaedah ini digunakan apabila perlu untuk membandingkan fungsi organisasi dan bahagian strukturnya.

Dalam proses mengaplikasikan kaedah analisis matriks, beberapa peringkat boleh dibezakan.

Pada peringkat pertama pembentukan sistem penunjuk ekonomi dijalankan dan berdasarkannya matriks data awal disusun, iaitu jadual di mana nombor sistem ditunjukkan dalam baris individunya (i = 1,2,....,n), dan sepanjang graf menegak - bilangan penunjuk (j = 1,2,....,m).

Pada peringkat kedua untuk setiap lajur menegak, nilai terbesar yang tersedia bagi penunjuk didedahkan, yang diambil sebagai satu unit.

Selepas itu, semua jumlah yang ditunjukkan dalam lajur ini dibahagikan dengan nilai terbesar dan matriks pekali piawai terbentuk.

Pada peringkat ketiga semua komponen matriks adalah kuasa dua. Sekiranya mereka mempunyai kepentingan yang berbeza, maka setiap penunjuk matriks diberikan pekali pemberat tertentu k. Nilai yang terakhir ditentukan oleh pakar.

Pada yang terakhir peringkat keempat mendapati nilai penilaian Rj dikumpulkan mengikut urutan meningkat atau menurun.

Kaedah matriks di atas harus digunakan, sebagai contoh, dalam analisis perbandingan pelbagai projek pelaburan, serta dalam menilai penunjuk prestasi ekonomi organisasi yang lain.

Topik ini antara yang paling dibenci oleh pelajar. Lebih teruk, mungkin, hanya penentu.

Caranya ialah konsep unsur songsang (dan saya bukan hanya bercakap tentang matriks sekarang) merujuk kita kepada operasi pendaraban. Malah dalam kurikulum sekolah, pendaraban dianggap sebagai operasi yang kompleks, dan pendaraban matriks secara amnya merupakan topik yang berasingan, yang mana saya mempunyai seluruh perenggan dan pelajaran video yang dikhaskan untuknya.

Hari ini kita tidak akan pergi ke butiran pengiraan matriks. Ingatlah: bagaimana matriks dilambangkan, bagaimana ia didarab dan apa yang berikut daripada ini.

Kajian: Pendaraban Matriks

Pertama sekali, mari kita bersetuju dengan notasi. Matriks $A$ bersaiz $\left[ m\times n \right]$ hanyalah jadual nombor dengan tepat $m$ baris dan $n$ lajur:

\=\underbrace(\left[ \begin(matriks) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & (a)_(mn)) \\\end(matriks) \kanan])_(n)\]

Agar tidak mengelirukan baris dan lajur secara tidak sengaja di tempat (percayalah, dalam peperiksaan anda boleh mengelirukan satu dengan deuce - apa yang boleh kita katakan tentang beberapa baris di sana), lihat sahaja gambar:

Penentuan indeks untuk sel matriks

Apa yang sedang berlaku? Jika kita meletakkan sistem koordinat piawai $OXY$ di sudut kiri atas dan mengarahkan paksi supaya ia meliputi keseluruhan matriks, maka setiap sel matriks ini boleh dikaitkan secara unik dengan koordinat $\left(x;y \right) $ - ini akan menjadi nombor baris dan nombor lajur.

Mengapakah sistem koordinat diletakkan tepat di sudut kiri atas? Ya, kerana dari situlah kita mula membaca mana-mana teks. Ia sangat mudah untuk diingati.

Mengapakah paksi $x$ menghala ke bawah dan bukan ke kanan? Sekali lagi, ia mudah: ambil sistem koordinat piawai (paksi $x$ pergi ke kanan, paksi $y$ naik) dan putarkannya supaya ia menutup matriks. Ini ialah putaran 90 darjah mengikut arah jam - kita lihat hasilnya dalam gambar.

Secara umum, kami mengetahui cara menentukan indeks unsur matriks. Sekarang mari kita berurusan dengan pendaraban.

Definisi. Matriks $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$, apabila bilangan lajur dalam yang pertama sepadan dengan bilangan baris dalam yang kedua, adalah dipanggil konsisten.

Ia dalam susunan itu. Seseorang boleh menjadi samar-samar dan mengatakan bahawa matriks $A$ dan $B$ membentuk pasangan tertib $\left(A;B \right)$: jika ia selaras dalam susunan ini, maka ia tidak semestinya $B $ dan $A$, itu. pasangan $\left(B;A \right)$ juga konsisten.

Hanya matriks yang konsisten boleh didarab.

Definisi. Hasil darab matriks tekal $A=\kiri[ m\kali n \kanan]$ dan $B=\kiri[ n\kali k \kanan]$ ialah matriks baharu $C=\kiri[ m\kali k \kanan ]$ , yang unsur $((c)_(ij))$ dikira dengan formula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Dengan kata lain: untuk mendapatkan elemen $((c)_(ij))$ matriks $C=A\cdot B$, anda perlu mengambil $i$-baris matriks pertama, $j$ -lajur ke- matriks kedua, dan kemudian darab dalam pasangan elemen daripada baris dan lajur ini. Tambah hasilnya.

Ya, itu definisi yang keras. Beberapa fakta serta-merta mengikuti daripadanya:

1. Pendaraban matriks, secara amnya, tidak komutatif: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Walau bagaimanapun, pendaraban adalah bersekutu: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Dan juga pengedaran: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Dan pengedaran sekali lagi: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Taburan pendaraban terpaksa diterangkan secara berasingan untuk jumlah gandaan kiri dan kanan hanya kerana operasi darab tidak boleh komutatif.

Jika, bagaimanapun, ternyata $A\cdot B=B\cdot A$, matriks sedemikian dipanggil boleh ubah.

Di antara semua matriks yang didarab dengan sesuatu di sana, terdapat yang istimewa - yang, apabila didarab dengan mana-mana matriks $A$, sekali lagi memberikan $A$:

Definisi. Matriks $E$ dipanggil identiti jika $A\cdot E=A$ atau $E\cdot A=A$. Dalam kes matriks segi empat sama $A$ kita boleh menulis:

Matriks identiti adalah tetamu yang kerap dalam menyelesaikan persamaan matriks. Dan secara umum, tetamu yang kerap dalam dunia matriks. :)

Dan kerana $E$ ini, seseorang telah menghasilkan semua permainan yang akan ditulis seterusnya.

Apakah itu matriks songsang

Memandangkan pendaraban matriks adalah operasi yang sangat memakan masa (anda perlu mendarab sekumpulan baris dan lajur), konsep matriks songsang juga bukanlah yang paling remeh. Dan ia memerlukan beberapa penjelasan.

Definisi Utama

Nah, sudah tiba masanya untuk mengetahui kebenaran.

Definisi. Matriks $B$ dipanggil songsang bagi matriks $A$ jika

Matriks songsang dilambangkan dengan $((A)^(-1))$ (jangan dikelirukan dengan darjah!), jadi takrifan boleh ditulis semula seperti ini:

Nampaknya semuanya sangat mudah dan jelas. Tetapi apabila menganalisis definisi sedemikian, beberapa soalan segera timbul:

1. Adakah matriks songsang sentiasa wujud? Dan jika tidak selalu, maka bagaimana untuk menentukan: bila ia wujud dan bila ia tidak?
2. Dan siapa yang mengatakan bahawa matriks sedemikian adalah tepat? Bagaimana jika bagi sesetengah matriks asal $A$ terdapat sekumpulan songsang?
3. Apakah rupa semua "terbalikan" ini? Dan bagaimana anda sebenarnya mengira mereka?

Bagi algoritma pengiraan - kita akan membincangkannya sedikit kemudian. Tetapi kami akan menjawab soalan yang lain sekarang. Marilah kita menyusunnya dalam bentuk pernyataan-lemmas yang berasingan.

Sifat asas

Mari kita mulakan dengan bagaimana matriks $A$ sepatutnya kelihatan supaya ia mempunyai $((A)^(-1))$. Sekarang kita akan memastikan bahawa kedua-dua matriks ini mestilah segi empat sama, dan saiz yang sama: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Diberi matriks $A$ dan songsangannya $((A)^(-1))$. Maka kedua-dua matriks ini adalah segi empat sama dan mempunyai susunan yang sama $n$.

Bukti. Semuanya mudah. Biarkan matriks $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Oleh kerana hasil darab $A\cdot ((A)^(-1))=E$ wujud mengikut takrifan, matriks $A$ dan $((A)^(-1))$ adalah konsisten dalam susunan itu:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( selaraskan)\]

Ini adalah akibat langsung daripada algoritma pendaraban matriks: pekali $n$ dan $a$ ialah "transit" dan mestilah sama.

Pada masa yang sama, pendaraban songsang juga ditakrifkan: $((A)^(-1))\cdot A=E$, jadi matriks $((A)^(-1))$ dan $A$ ialah juga konsisten dalam susunan ini:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( selaraskan)\]

Oleh itu, tanpa kehilangan keluasan, kita boleh menganggap bahawa $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Walau bagaimanapun, mengikut takrifan $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, jadi dimensi matriks adalah sama:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Jadi ternyata ketiga-tiga matriks - $A$, $((A)^(-1))$ dan $E$ - bersaiz segi empat sama $\left[ n\times n \right]$. Lemma terbukti.

Nah, itu sudah bagus. Kami melihat bahawa hanya matriks segi empat sama boleh terbalik. Sekarang mari kita pastikan bahawa matriks songsang sentiasa sama.

Lemma 2. Diberi matriks $A$ dan songsangannya $((A)^(-1))$. Kemudian matriks songsang ini adalah unik.

Bukti. Mari kita mulakan dari sebaliknya: biarkan matriks $A$ mempunyai sekurang-kurangnya dua kejadian songsang — $B$ dan $C$. Kemudian, mengikut definisi, persamaan berikut adalah benar:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Daripada Lemma 1 kami menyimpulkan bahawa keempat-empat matriks $A$, $B$, $C$ dan $E$ ialah segi empat sama tertib yang sama: $\left[ n\times n \right]$. Oleh itu, produk ditakrifkan:

Oleh kerana pendaraban matriks adalah bersekutu (tetapi bukan komutatif!), kita boleh menulis:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

Kami mendapat satu-satunya pilihan yang mungkin: dua salinan matriks songsang adalah sama. Lemma terbukti.

Alasan di atas hampir verbatim mengulangi bukti keunikan unsur songsang untuk semua nombor nyata $b\ne 0$. Satu-satunya penambahan yang ketara ialah mengambil kira dimensi matriks.

Walau bagaimanapun, kami masih tidak tahu apa-apa tentang sama ada mana-mana matriks segi empat sama boleh terbalik. Di sini penentu datang untuk membantu kami - ini adalah ciri utama untuk semua matriks persegi.

Lemma 3 . Diberi matriks $A$. Jika matriks $((A)^(-1))$ songsang kepadanya wujud, maka penentu matriks asal ialah bukan sifar:

\[\kiri| A \right|\ne 0\]

Bukti. Kita sudah tahu bahawa $A$ dan $((A)^(-1))$ ialah matriks segi empat sama bersaiz $\left[ n\times n \right]$. Oleh itu, bagi setiap daripada mereka adalah mungkin untuk mengira penentu: $\left| A \kanan|$ dan $\kiri| ((A)^(-1)) \kanan|$. Walau bagaimanapun, penentu produk adalah sama dengan hasil darab penentu:

\[\kiri| A\cdot B \kanan|=\kiri| A \kanan|\cdot \kiri| B \kanan|\Anak panah kanan \kiri| A\cdot ((A)^(-1)) \kanan|=\kiri| A \kanan|\cdot \kiri| ((A)^(-1)) \kanan|\]

Tetapi menurut takrifan $A\cdot ((A)^(-1))=E$, dan penentu $E$ sentiasa sama dengan 1, jadi

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \kiri| A\cdot ((A)^(-1)) \kanan|=\kiri| E\kanan|; \\ & \kiri| A \kanan|\cdot \kiri| ((A)^(-1)) \kanan|=1. \\ \end(align)\]

Hasil darab dua nombor adalah sama dengan satu hanya jika setiap nombor ini berbeza daripada sifar:

\[\kiri| A \kanan|\ne 0;\quad \kiri| ((A)^(-1)) \kanan|\ne 0.\]

Jadi ternyata $\left| A \kanan|\ne 0$. Lemma terbukti.

Malah, keperluan ini agak logik. Sekarang kita akan menganalisis algoritma untuk mencari matriks songsang - dan ia akan menjadi jelas sepenuhnya mengapa, pada dasarnya, tiada matriks songsang boleh wujud dengan penentu sifar.

Tetapi pertama, mari kita rumuskan definisi "bantu":

Definisi. Matriks merosot ialah matriks segi empat sama bersaiz $\left[ n\times n \right]$ yang penentunya ialah sifar.

Oleh itu, kita boleh menegaskan bahawa mana-mana matriks boleh terbalik adalah tidak merosot.

Bagaimana untuk mencari matriks songsang

Sekarang kita akan mempertimbangkan algoritma universal untuk mencari matriks songsang. Secara umum, terdapat dua algoritma yang diterima umum, dan kami juga akan mempertimbangkan yang kedua hari ini.

Yang akan dipertimbangkan sekarang adalah sangat cekap untuk matriks bersaiz $\left[ 2\times 2 \right]$ dan - sebahagiannya - daripada saiz $\left[ 3\times 3 \right]$. Tetapi bermula dari saiz $\left[ 4\times 4 \right]$ adalah lebih baik untuk tidak menggunakannya. Mengapa - sekarang anda akan memahami segala-galanya.

Penambahan algebra

Bersedia. Sekarang akan ada rasa sakit. Tidak, jangan risau: seorang jururawat cantik dalam skirt, stoking dengan renda tidak datang kepada anda dan tidak akan memberi anda suntikan di punggung. Segala-galanya lebih prosaik: penambahan algebra dan Kebawah Duli Yang Maha Mulia "Matriks Kesatuan" akan datang kepada anda.

Mari kita mulakan dengan yang utama. Biarkan terdapat matriks segi empat sama bersaiz $A=\left[ n\times n \right]$ yang unsur-unsurnya dinamakan $((a)_(ij))$. Kemudian, untuk setiap elemen tersebut, seseorang boleh menentukan pelengkap algebra:

Definisi. Pelengkap algebra $((A)_(ij))$ kepada unsur $((a)_(ij))$ dalam baris $i$-ke dan $j$-lajur matriks $A=\kiri [ n \times n \right]$ ialah binaan borang

\[((A)_(ij))=((\kiri(-1 \kanan))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Di mana $M_(ij)^(*)$ ialah penentu matriks yang diperolehi daripada $A$ asal dengan memotong baris $i$-th dan lajur $j$-th yang sama.

sekali lagi. Pelengkap algebra kepada elemen matriks dengan koordinat $\left(i;j \right)$ dilambangkan sebagai $((A)_(ij))$ dan dikira mengikut skema:

1. Mula-mula, kami memadamkan $i$-row dan lajur $j$-th daripada matriks asal. Kami mendapat matriks segi empat sama baharu, dan kami menyatakan penentunya sebagai $M_(ij)^(*)$.
2. Kemudian kita darabkan penentu ini dengan $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - pada mulanya ungkapan ini mungkin kelihatan menarik, tetapi sebenarnya kita hanya mengetahui tanda di hadapan $ M_(ij)^(*) $.
3. Kami mengira - kami mendapat nombor tertentu. Itu. penambahan algebra hanyalah nombor, bukan beberapa matriks baru, dan sebagainya.

Matriks $M_(ij)^(*)$ itu sendiri dipanggil minor pelengkap kepada unsur $((a)_(ij))$. Dan dalam pengertian ini, takrifan pelengkap algebra di atas ialah kes khas takrifan yang lebih kompleks - yang kita pertimbangkan dalam pelajaran tentang penentu.

Nota PENTING. Sebenarnya, dalam matematik "dewasa", penambahan algebra ditakrifkan seperti berikut:

1. Kami mengambil $k$ baris dan $k$ lajur dalam matriks segi empat sama. Di persimpangan mereka, kita mendapat matriks bersaiz $\left[ k\times k \right]$ — penentunya dipanggil minor of order $k$ dan dilambangkan dengan $((M)_(k))$.
2. Kemudian kami memotong baris $k$ dan lajur $k$ yang "dipilih" ini. Sekali lagi, kita mendapat matriks segi empat sama - penentunya dipanggil minor pelengkap dan dilambangkan dengan $M_(k)^(*)$.
3. Darabkan $M_(k)^(*)$ dengan $((\kiri(-1 \kanan))^(t))$, dengan $t$ ialah (perhatian sekarang!) jumlah nombor semua baris yang dipilih dan lajur. Ini akan menjadi penambahan algebra.

Lihatlah langkah ketiga: sebenarnya terdapat sejumlah $2k$ terma! Perkara lain ialah untuk $k=1$ kita hanya mendapat 2 sebutan - ini akan menjadi $i+j$ yang sama - "koordinat" unsur $((a)_(ij))$, yang mana kita mencari pelengkap algebra.

Jadi hari ini kita menggunakan definisi yang sedikit dipermudahkan. Tetapi seperti yang akan kita lihat nanti, ia akan lebih daripada mencukupi. Yang lebih penting ialah perkara berikut:

Definisi. Matriks kesatuan $S$ kepada matriks segi empat sama $A=\left[ n\times n \right]$ ialah matriks baharu bersaiz $\left[ n\times n \right]$, yang diperoleh daripada $A$ dengan menggantikan $(( a)_(ij))$ dengan pelengkap algebra $((A)_(ij))$:

\\Anak panah kanan S=\kiri[ \mulakan(matriks) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ ((( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matriks) \kanan]\]

Pemikiran pertama yang timbul pada saat merealisasikan definisi ini ialah "inilah jumlah yang anda perlu kira!" Bersantai: anda perlu mengira, tetapi tidak terlalu banyak. :)

Nah, semua ini sangat bagus, tetapi mengapa ia perlu? Tapi kenapa.

Teorem utama

Jom balik sikit. Ingat, Lemma 3 menyatakan bahawa matriks boleh terbalik $A$ sentiasa bukan tunggal (iaitu, penentunya bukan sifar: $\left| A \right|\ne 0$).

Jadi, sebaliknya juga benar: jika matriks $A$ tidak merosot, maka ia sentiasa boleh terbalik. Malah terdapat skim carian $((A)^(-1))$. Semak ia:

Teorem matriks songsang. Biarkan matriks segi empat sama $A=\left[ n\times n \right]$ diberikan, dan penentunya ialah bukan sifar: $\left| A \kanan|\ne 0$. Kemudian matriks songsang $((A)^(-1))$ wujud dan dikira dengan formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\kiri| A \kanan|)\cdot ((S)^(T))\]

Dan sekarang - semuanya sama, tetapi dalam tulisan tangan yang boleh dibaca. Untuk mencari matriks songsang, anda memerlukan:

1. Kira penentu $\left| A \right|$ dan pastikan ia bukan sifar.
2. Susun matriks kesatuan $S$, i.e. kira 100500 penambahan algebra $((A)_(ij))$ dan letakkan pada tempatnya $((a)_(ij))$.
3. Ubah matriks ini $S$ dan kemudian darabkannya dengan beberapa nombor $q=(1)/(\kiri| A \kanan|)\;$.

Dan itu sahaja! Matriks songsang $((A)^(-1))$ ditemui. Mari lihat contoh:

\[\kiri[ \begin(matriks) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matriks) \kanan]\]

Penyelesaian. Mari kita semak kebolehterbalikan. Mari kita hitung penentu:

\[\kiri| A \kanan|=\kiri| \begin(matriks) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matriks) \kanan|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Penentu berbeza daripada sifar. Jadi matriks boleh terbalik. Mari buat matriks kesatuan:

Mari kita hitung penambahan algebra:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\kanan|=2; \\ & ((A)_(12))=((\kiri(-1 \kanan))^(1+2))\cdot \kiri| 5\kanan|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\kiri(-1 \kanan))^(2+1))\cdot \kiri| 1 \kanan|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\kiri(-1 \kanan))^(2+2))\cdot \kiri| 3\kanan|=3. \\ \end(align)\]

Beri perhatian: penentu |2|, |5|, |1| dan |3| ialah penentu bagi matriks bersaiz $\left[ 1\times 1 \right]$, bukan modul. Itu. jika terdapat nombor negatif dalam penentu, tidak perlu membuang "tolak".

Secara keseluruhan, matriks kesatuan kami kelihatan seperti ini:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \kanan]\]

OK semuanya sudah berakhir Sekarang. Masalah selesai.

Jawab. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Satu tugas. Cari matriks songsang:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Penyelesaian. Sekali lagi, kami mempertimbangkan penentu:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matriks ) \kiri(1\cdot 2\cdot 1+\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-1 \kanan)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \kanan)- \\ -\kiri (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matriks)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Penentu berbeza daripada sifar - matriks boleh terbalik. Tetapi sekarang ia akan menjadi yang paling kecil: anda perlu mengira sebanyak 9 (sembilan, sial!) Penambahan algebra. Dan setiap satu daripadanya akan mengandungi kelayakan $\left[ 2\times 2 \right]$. Terbang:

\[\begin(matriks) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matriks) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan|=2; \\ ((A)_(12))=((\kiri(-1 \kanan))^(1+2))\cdot \kiri| \begin(matriks) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matriks) \kanan|=-1; \\ ((A)_(13))=((\kiri(-1 \kanan))^(1+3))\cdot \kiri| \begin(matriks) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\kiri(-1 \kanan))^(3+3))\cdot \kiri| \begin(matriks) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matriks) \right|=2; \\ \end(matriks)\]

Ringkasnya, matriks kesatuan akan kelihatan seperti ini:

Oleh itu, matriks songsang ialah:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matriks) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matriks) \kanan]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Nah, itu sahaja. Inilah jawapannya.

Jawab. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Seperti yang anda lihat, pada akhir setiap contoh, kami melakukan pemeriksaan. Dalam hal ini, satu nota penting:

Jangan malas nak semak. Darabkan matriks asal dengan songsang yang ditemui - anda sepatutnya mendapat $E$.

Adalah lebih mudah dan lebih pantas untuk melakukan semakan ini daripada mencari ralat dalam pengiraan selanjutnya, apabila, sebagai contoh, anda menyelesaikan persamaan matriks.

Cara alternatif

Seperti yang saya katakan, teorem matriks songsang berfungsi dengan baik untuk saiz $\left[ 2\times 2 \right]$ dan $\left[ 3\times 3 \right]$ (dalam kes kedua, ia tidak begitu "cantik" lagi). ”), tetapi untuk matriks besar, kesedihan bermula.

Tetapi jangan risau: terdapat algoritma alternatif yang boleh digunakan untuk mencari songsang dengan tenang walaupun untuk matriks $\left[ 10\times 10 \right]$. Tetapi, seperti yang sering berlaku, untuk mempertimbangkan algoritma ini, kita memerlukan sedikit latar belakang teori.

Transformasi asas

Di antara pelbagai transformasi matriks, terdapat beberapa yang istimewa - ia dipanggil asas. Terdapat betul-betul tiga transformasi sedemikian:

1. Pendaraban. Anda boleh mengambil baris $i$-th (lajur) dan darabkannya dengan sebarang nombor $k\ne 0$;
2. Penambahan. Tambahkan pada baris $i$-th (lajur) mana-mana baris (lajur) $j$-th lain yang didarab dengan sebarang nombor $k\ne 0$ (sudah tentu, $k=0$ juga boleh, tetapi apa gunanya daripada itu??Tiada apa yang akan berubah walaupun).
3. Permutasi. Ambil baris $i$-th dan $j$-th (lajur) dan tukarkannya.

Mengapa penjelmaan ini dipanggil asas (untuk matriks besar ia tidak kelihatan begitu asas) dan mengapa hanya terdapat tiga daripadanya - soalan ini berada di luar skop pelajaran hari ini. Oleh itu, kami tidak akan pergi ke butiran.

Perkara lain yang penting: kita perlu melakukan semua penyelewengan ini pada matriks yang berkaitan. Ya, ya, anda dengar betul. Sekarang akan ada satu lagi definisi - yang terakhir dalam pelajaran hari ini.

Matriks yang dilampirkan

Sudah tentu di sekolah anda menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah penambahan. Nah, di sana, tolak satu lagi dari satu baris, darab beberapa baris dengan nombor - itu sahaja.

Jadi: kini semuanya akan sama, tetapi sudah "dengan cara dewasa". sedia?

Definisi. Biarkan matriks $A=\left[ n\times n \right]$ dan matriks identiti $E$ yang sama saiz $n$ diberikan. Kemudian matriks yang berkaitan $\left[ A\left| E\betul. \right]$ ialah matriks $\left[ n\times 2n \right]$ baharu yang kelihatan seperti ini:

\[\left[ A\left| E\betul. \kanan]=\kiri[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \kanan]\]

Ringkasnya, kami mengambil matriks $A$, di sebelah kanan kami menetapkan padanya matriks identiti $E$ daripada saiz yang diperlukan, kami memisahkannya dengan bar menegak untuk kecantikan - inilah yang dilampirkan. :)

Apa tangkapannya? Dan inilah yang:

Teorem. Biarkan matriks $A$ boleh terbalik. Pertimbangkan matriks bersebelahan $\left[ A\left| E\betul. \kanan]$. Jika menggunakan transformasi rentetan asas bawa ke borang $\left[ E\left| B\betul. \kanan]$, i.e. dengan mendarab, menolak dan menyusun semula baris untuk mendapatkan daripada $A$ matriks $E$ di sebelah kanan, maka matriks $B$ yang diperoleh di sebelah kiri ialah songsang bagi $A$:

\[\left[ A\left| E\betul. \kanan]\ke \kiri[ E\kiri| B\betul. \kanan]\Anak panah kanan B=((A)^(-1))\]

Semudah itu! Ringkasnya, algoritma untuk mencari matriks songsang kelihatan seperti ini:

1. Tulis matriks yang berkaitan $\left[ A\left| E\betul. \kanan]$;
2. Lakukan penukaran rentetan asas sehingga kanan bukannya $A$ muncul $E$;
3. Sudah tentu, sesuatu juga akan muncul di sebelah kiri - matriks tertentu $B$. Ini akan menjadi sebaliknya;
4. KEUNTUNGAN! :)

Sudah tentu, lebih mudah diucapkan daripada dilakukan. Jadi mari kita lihat beberapa contoh: untuk saiz $\left[ 3\times 3 \right]$ dan $\left[ 4\times 4 \right]$.

Satu tugas. Cari matriks songsang:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Penyelesaian. Kami menyusun matriks yang dilampirkan:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Oleh kerana lajur terakhir matriks asal diisi dengan yang, tolak baris pertama daripada yang lain:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matriks) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matriks)\to \\ & \to \left [ \mulakan(susun)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Tiada unit lagi, kecuali baris pertama. Tetapi kami tidak menyentuhnya, jika tidak, unit yang baru dikeluarkan akan mula "membiak" di lajur ketiga.

Tetapi kita boleh menolak baris kedua dua kali daripada yang terakhir - kita mendapat satu unit di sudut kiri bawah:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matriks) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matriks)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Sekarang kita boleh menolak baris terakhir dari yang pertama dan dua kali dari yang kedua - dengan cara ini kita akan "sifar" lajur pertama:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matriks) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matriks)\to \\ & \ ke \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Darab baris kedua dengan −1 dan kemudian tolaknya 6 kali daripada yang pertama dan tambah 1 kali kepada yang terakhir:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matriks) \ \\ \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ \ \\\tamat(matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \mulakan(tatasusunan)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matriks) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \mulakan(tatasusunan)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ia kekal hanya untuk menukar baris 1 dan 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

sedia! Di sebelah kanan ialah matriks songsang yang diperlukan.

Jawab. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Satu tugas. Cari matriks songsang:

\[\kiri[ \mulakan(matriks) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matriks) \kanan]\]

Penyelesaian. Sekali lagi kami menyusun yang dilampirkan:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Mari kita pinjam sedikit, bimbang tentang berapa banyak yang perlu kita kira sekarang ... dan mula mengira. Sebagai permulaan, kita "sifarkan" lajur pertama dengan menolak baris 1 daripada baris 2 dan 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\mulakan(matriks) \anak panah ke bawah \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\tamat(matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Kami melihat terlalu banyak "tolak" dalam baris 2-4. Darab ketiga-tiga baris dengan −1, dan kemudian bakar lajur ketiga dengan menolak baris 3 daripada yang lain:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matriks) \ \\ \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\\end(matriks)\ke \\ & \ke \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matriks) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matriks)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Kini tiba masanya untuk "menggoreng" lajur terakhir matriks asal: tolak baris 4 daripada yang lain:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \kanan]\begin(matriks) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matriks)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Gulungan akhir: "burn out" lajur kedua dengan menolak baris 2 daripada baris 1 dan 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( tatasusunan) \kanan]\mulakan(matriks) 6 \\ \anak panah ke bawah \\ -5 \\ \ \\\tamat(matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \mulakan(tatasusunan)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Dan sekali lagi, matriks identiti di sebelah kiri, jadi songsang di sebelah kanan. :)

Jawab. $\left[ \begin(matriks) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matriks) \kanan]$

Sama seperti songsang dalam banyak sifat.

YouTube ensiklopedia

1 / 5

✪ Bagaimana untuk mencari matriks songsang - bezbotvy

✪ Matriks songsang (2 cara untuk mencari)

✪ Matriks Songsang #1

✪ 28-01-2015. Matriks Songsang 3x3

✪ 27-01-2015. Matriks Songsang 2x2

Sari kata

Sifat Matriks Songsang

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), di mana det (\displaystyle \ \det ) menunjukkan penentu.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) untuk dua matriks boleh terbalik segi empat sama A (\gaya paparan A) dan B (\gaya paparan B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), di mana (. . .) T (\gaya paparan (...)^(T)) menandakan matriks terpindah.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) untuk sebarang pekali k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Jika perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan linear , (b ialah vektor bukan sifar) di mana x (\displaystyle x) ialah vektor yang dikehendaki, dan jika A − 1 (\displaystyle A^(-1)) wujud, maka x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Jika tidak, sama ada dimensi ruang penyelesaian lebih besar daripada sifar, atau tiada langsung.

Cara untuk mencari matriks songsang

Jika matriks boleh terbalik, maka untuk mencari songsangan matriks, anda boleh menggunakan salah satu kaedah berikut:

Kaedah tepat (langsung).

Kaedah Gauss-Jordan

Mari kita ambil dua matriks: sendiri A dan bujang E. Jom bawak matriks A kepada matriks identiti dengan kaedah Gauss-Jordan menggunakan transformasi dalam baris (anda juga boleh menggunakan transformasi dalam lajur, tetapi bukan dalam campuran). Selepas menggunakan setiap operasi pada matriks pertama, gunakan operasi yang sama pada kedua. Apabila pengurangan matriks pertama kepada borang identiti selesai, matriks kedua akan sama dengan A -1.

Apabila menggunakan kaedah Gauss, matriks pertama akan didarab dari kiri dengan salah satu matriks asas Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(matriks transveksi atau pepenjuru dengan yang berada pada pepenjuru utama, kecuali untuk satu kedudukan):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\titik &&&\\0&\titik &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatriks))).

Matriks kedua selepas menggunakan semua operasi akan sama dengan Λ (\displaystyle \Lambda ), iaitu, akan menjadi yang dikehendaki. Kerumitan algoritma - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Menggunakan matriks penambahan algebra

Matriks Songsang Matriks A (\gaya paparan A), mewakili dalam borang

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

di mana adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- dilampirkan matriks ;

Kerumitan algoritma bergantung kepada kerumitan algoritma untuk mengira penentu O det dan sama dengan O(n²) O det .

Menggunakan penguraian LU/LUP

Persamaan matriks A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) untuk matriks songsang X (\displaystyle X) boleh dilihat sebagai koleksi n (\gaya paparan n) sistem bentuk A x = b (\displaystyle Ax=b). Menandakan i (\gaya paparan i)-lajur ke- matriks X (\displaystyle X) melalui X i (\displaystyle X_(i)); kemudian A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),kerana ia i (\gaya paparan i)-lajur ke- matriks I n (\displaystyle I_(n)) ialah vektor unit e i (\displaystyle e_(i)). dalam erti kata lain, mencari matriks songsang dikurangkan untuk menyelesaikan n persamaan dengan matriks yang sama dan sisi kanan yang berbeza. Selepas menjalankan pengembangan LUP (masa O(n³)) setiap persamaan n mengambil masa O(n²) untuk diselesaikan, jadi bahagian kerja ini juga mengambil masa O(n³).

Jika matriks A adalah bukan tunggal, maka kita boleh mengira penguraian LUP untuknya P A = L U (\displaystyle PA=LU). biarlah P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\gaya paparan B^(-1)=D). Kemudian, daripada sifat matriks songsang, kita boleh menulis: D = U − 1 L − 1 (\gaya paparan D=U^(-1)L^(-1)). Jika kita darabkan kesamaan ini dengan U dan L, maka kita boleh mendapat dua kesamaan bentuk U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) dan D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Yang pertama daripada kesamaan ini ialah sistem persamaan linear n² untuk n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) yang mana bahagian sebelah kanan diketahui (daripada sifat matriks segi tiga). Yang kedua juga merupakan sistem persamaan linear n² untuk n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) yang mana bahagian sebelah kanan diketahui (juga daripada sifat matriks segi tiga). Bersama-sama mereka membentuk sistem kesamaan n². Dengan menggunakan kesamaan ini, kita boleh menentukan secara rekursif semua unsur n² matriks D. Kemudian daripada kesamaan (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. kita memperoleh kesamaan A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Dalam kes menggunakan penguraian LU, tiada pilih atur lajur matriks D diperlukan, tetapi penyelesaiannya mungkin menyimpang walaupun matriks A adalah bukan tunggal.

Kerumitan algoritma ialah O(n³).

Kaedah Berulang

Kaedah Schultz

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\jumlah _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\tamat(kes)))

Anggaran ralat

Pilihan Penghampiran Awal

Masalah memilih penghampiran awal dalam proses penyongsangan matriks berulang yang dipertimbangkan di sini tidak membenarkan kita menganggapnya sebagai kaedah universal bebas yang bersaing dengan kaedah penyongsangan langsung berdasarkan, sebagai contoh, pada penguraian LU matriks. Terdapat beberapa cadangan untuk memilih U 0 (\displaystyle U_(0)), memastikan pemenuhan syarat ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (jejari spektrum matriks adalah kurang daripada kesatuan), yang diperlukan dan mencukupi untuk penumpuan proses. Walau bagaimanapun, dalam kes ini, pertama, adalah perlu untuk mengetahui dari atas anggaran untuk spektrum matriks terbalik A atau matriks A A T (\displaystyle AA^(T))(iaitu, jika A ialah matriks pasti positif simetri dan ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), maka anda boleh ambil U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), di mana ; jika A ialah matriks bukan tunggal arbitrari dan ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), maka andaikan U 0 = α AT (\gaya paparan U_(0)=(\alfa )A^(T)), di mana juga α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\kanan)); Sudah tentu, keadaan boleh dipermudahkan dan, menggunakan fakta itu ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), letak U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Kedua, dengan spesifikasi matriks awal sedemikian, tidak ada jaminan bahawa ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) akan menjadi kecil (mungkin juga ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), dan tertib kadar penumpuan yang tinggi tidak akan kelihatan serta-merta.

Contoh

Matriks 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

Penyongsangan matriks 2x2 hanya mungkin di bawah syarat itu a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).