Jumlah formula kebarangkalian: teori dan contoh penyelesaian masalah. Formula Kebarangkalian Jumlah dan Formula Bayes
Biarkan sekumpulan peristiwa yang lengkap dipertimbangkan (tidak serasi berpasangan, yang dipanggil hipotesis), dan jika sesuatu peristiwa boleh berlaku hanya apabila salah satu daripada hipotesis ini muncul, maka kebarangkalian peristiwa itu dikira dengan jumlah formula kebarangkalian:
,
di manakah kebarangkalian hipotesis tersebut. 
.
ialah kebarangkalian bersyarat bagi kejadian di bawah hipotesis ini. Jika sebelum eksperimen kebarangkalian hipotesis adalah Formula Bayes:
.
Formula Bayes memungkinkan untuk menilai terlalu tinggi kebarangkalian hipotesis, dengan mengambil kira keputusan eksperimen yang telah diketahui.
Contoh 1
Terdapat tiga tempayan yang sama. Dalam bola putih pertama dan hitam; di kedua - putih dan hitam; dalam bola putih ketiga sahaja. Seseorang secara rawak menghampiri salah satu guci dan menarik bola daripadanya. Cari kebarangkalian bahawa bola ini berwarna putih.
Penyelesaian.
Biarkan acara itu kelihatan seperti bola putih. Kami merumuskan hipotesis: – pilihan guci pertama;
– pilihan guci kedua;
– pilihan guci ketiga;
,
, 
, 
;
mengikut jumlah formula kebarangkalian
Contoh 2
Terdapat dua guci: yang pertama terdapat bola putih dan hitam, yang kedua - hitam. Satu bola dipindahkan dari urn pertama ke yang kedua; bola dikocok dan kemudian satu bola dipindahkan dari guci kedua ke yang pertama. Selepas itu, satu bola diambil secara rawak dari urn pertama. Cari kebarangkalian bahawa dia berkulit putih.
Penyelesaian.
Hipotesis: – komposisi bola dalam urn pertama tidak berubah;
– dalam urn pertama satu bola hitam digantikan dengan bola putih;
– dalam urn pertama satu bola putih digantikan dengan bola hitam;
; 
Penyelesaian yang terhasil mengatakan bahawa kebarangkalian untuk melukis bola putih tidak berubah jika perkadaran bola putih dan bola hitam dalam kedua-dua guci adalah sama 
.
Jawapan: 
.
Contoh 3
Peranti ini terdiri daripada dua nod, operasi setiap nod pastinya diperlukan untuk pengendalian peranti secara keseluruhan. Kebolehpercayaan (kebarangkalian operasi tanpa kegagalan semasa masa ) nod pertama adalah sama dengan , kedua. Peranti diuji untuk masa, akibatnya didapati ia tidak teratur (gagal). Cari kebarangkalian bahawa hanya nod pertama gagal, dan nod kedua beroperasi.
Penyelesaian.
Sebelum eksperimen, empat hipotesis adalah mungkin:
- kedua-dua nod berfungsi;
- nod pertama gagal, yang kedua boleh digunakan;
- yang pertama boleh digunakan, yang kedua ditolak;
– kedua-dua nod gagal;
Kebarangkalian hipotesis:
Peristiwa telah diperhatikan - peranti gagal:
Mengikut formula Bayes:
Pengulangan eksperimen
Jika eksperimen bebas dilakukan dalam keadaan yang sama, dan dalam setiap satu daripadanya satu peristiwa muncul dengan kebarangkalian, maka kebarangkalian bahawa peristiwa itu akan berlaku tepat sekali dalam eksperimen ini dinyatakan dengan formula:
,
Kebarangkalian sekurang-kurangnya satu kejadian peristiwa dalam eksperimen bebas di bawah keadaan yang sama adalah sama dengan:
.
Kebarangkalian sesuatu peristiwa akan berlaku a) kurang daripada sekali; b) lebih daripada sekali; c) sekurang-kurangnya sekali; d) tidak lebih daripada sekali kita dapati, masing-masing, tetapi formula:
Teorem pengulangan am
Jika eksperimen bebas dilakukan dalam keadaan yang berbeza, dan kebarangkalian kejadian dalam eksperimen ke- adalah , maka kebarangkalian peristiwa itu akan muncul dalam eksperimen ini tepat sekali adalah sama dengan pekali pada pengembangan kuasa fungsi penjanaan.
, dimana .
Contoh 1
Peranti ini terdiri daripada 10 nod. Kebolehpercayaan (kebarangkalian operasi tanpa kegagalan dari semasa ke semasa) untuk setiap nod . Nod gagal secara berasingan antara satu sama lain. Cari kebarangkalian bahawa dalam masa:
a) sekurang-kurangnya satu nod akan gagal;
b) tepat satu nod akan gagal;
c) betul-betul dua nod akan gagal;
d) sekurang-kurangnya dua nod akan gagal.
Penyelesaian.
Contoh 2
Sebuah guci mengandungi 30 bola putih dan 15 bola hitam. 5 bola dikeluarkan berturut-turut, dan setiap bola yang dikeluarkan dikembalikan ke dalam urn sebelum yang berikutnya dikeluarkan dan bola dalam urn digaul. Apakah kebarangkalian bahawa 3 daripada 5 bola yang dikeluarkan berwarna putih?
Penyelesaian.
Kebarangkalian untuk melukis bola putih , boleh dianggap sama dalam semua 5 percubaan: maka kebarangkalian untuk tidak mendapat bola putih. Menggunakan formula Bernoulli, kita dapat:
Contoh 3
Syiling dilambung lapan kali. Apakah kebarangkalian ia akan jatuh terbalik enam kali?
Penyelesaian.
Kami mempunyai skim ujian Bernoulli. Kebarangkalian Ge muncul dalam satu percubaan 
, kemudian
Jawapan: 0.107.
Contoh 4
Empat tembakan bebas dilepaskan, dan - kebarangkalian mengenai sasaran ialah purata kebarangkalian
Cari kebarangkalian: 
.
Penyelesaian.
Dengan formula Bernoulli, kita ada
Contoh 5
Terdapat lima stesen yang mengekalkan komunikasi. Dari semasa ke semasa komunikasi terganggu kerana gangguan atmosfera. Oleh kerana jarak stesen antara satu sama lain, putus komunikasi dengan setiap stesen berlaku secara bebas daripada yang lain dengan kebarangkalian 0.2. Cari kebarangkalian bahawa komunikasi akan dikekalkan dengan paling banyak dua stesen pada masa tertentu.
Penyelesaian.
Acara - terdapat sambungan dengan tidak lebih daripada dua stesen.
Jawapan: 0.72.
Contoh 6
Sistem stesen radar memantau sekumpulan objek, yang terdiri daripada sepuluh unit. Setiap objek boleh (tanpa mengira yang lain) hilang dengan kebarangkalian 0.1. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu daripada objek itu akan hilang.
Penyelesaian.
Kebarangkalian kehilangan sekurang-kurangnya satu objek boleh didapati dengan formula:
tetapi lebih mudah untuk menggunakan kebarangkalian peristiwa bertentangan - tidak satu objek pun hilang - dan tolak daripada satu
Jawapan: 0.65.
Varian tugas untuk kerja kawalan No. 5
Pilihan 1
1. Dua dadu dibaling. Cari kebarangkalian bahawa jumlah mata yang digulung ialah 7.
2. Biar tiga peristiwa sewenang-wenangnya. Tulis ungkapan untuk peristiwa yang daripada tiga peristiwa ini, sekurang-kurangnya dua peristiwa telah berlaku.
3. Sekeping duit syiling dilambung 5 kali. Cari kebarangkalian bahawa "jata" akan muncul: a) sekurang-kurangnya dua kali, b) sekurang-kurangnya dua kali.
4. Terdapat 2 tempayan yang sama. Guci pertama mengandungi 3 bola putih dan 5 bola hitam, guci kedua mengandungi 3 bola putih dan 7 bola hitam. Sebiji bola diambil dari satu urn yang dipilih secara rawak. Tentukan kebarangkalian bahawa bola itu
yang hitam.
5. 18 pasukan menyertai kejohanan bola sepak kebangsaan.Setiap dua pasukan bertemu di padang bola sepak sebanyak 2 kali. Berapa banyak perlawanan dimainkan dalam satu musim?
Pilihan 2
1. Apabila mendail nombor telefon, pelanggan terlupa 3 digit terakhir, dan hanya mengingati bahawa nombor ini berbeza, dia mendailnya secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa digit yang betul didail.
2. Adakah benar 
.
3. Cari kebarangkalian bahawa peristiwa itu akan berlaku sekurang-kurangnya 2 kali dalam 4 percubaan bebas jika kebarangkalian kejadian itu berlaku dalam satu percubaan ialah 0.6.
4. Peralatan elektrik dibekalkan ke stor oleh tiga kilang. Yang pertama membekalkan 50%, yang kedua - 20%, yang ketiga - 30% daripada semua produk. Kebarangkalian untuk menghasilkan peranti dengan kualiti tertinggi oleh setiap loji, masing-masing, adalah: . Tentukan kebarangkalian bahawa peranti yang dibeli di kedai adalah berkualiti tinggi.
5. Huruf kod morse dibentuk sebagai urutan titik dan
sempang. Berapa banyak huruf yang berbeza boleh dibentuk menggunakan 5
watak?
Pilihan 3
1. Terdapat 10 bola bernombor di dalam kotak dengan nombor dari 1 hingga 10. Satu bola dikeluarkan. Apakah kebarangkalian bahawa bilangan bola yang ditarik tidak melebihi 10.
2. Adakah persamaan itu benar 
?
3. Kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku sekurang-kurangnya sekali dalam tiga percubaan ialah 0.936. Cari kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku dalam satu percubaan.
4. Terdapat tiga tempayan yang sama. Guci pertama mengandungi 5 bola putih dan 5 bola hitam, guci kedua mengandungi 3 bola putih dan 2 bola hitam, dan guli ketiga mengandungi 7 bola putih dan 3 bola hitam. Sebiji bola diambil dari satu urn yang dipilih secara rawak. Tentukan kebarangkalian bahawa bola itu berwarna putih.
5. Berapa banyak cara 12 orang boleh duduk di meja dengan 12 kutleri.
Pilihan 4
1. 6 lelaki dan 4 wanita bekerja di bengkel. 7 orang dipilih secara rawak mengikut nombor kakitangan. Cari kebarangkalian bahawa terdapat 3 orang wanita di antara orang yang dipilih.
2. Buktikan bahawa 
.
3. Biarkan kebarangkalian bahawa bahagian yang diambil secara rawak adalah bukan piawai ialah 0.1. Cari kebarangkalian bahawa antara 5 bahagian yang diambil secara rawak terdapat tidak lebih daripada 2 bahagian bukan piawai.
4. Terdapat tiga tempayan yang sama. Guci pertama mengandungi 3 bola putih dan 3 bola hitam, guci kedua mengandungi 2 bola putih dan 6 bola hitam, dan guci ketiga mengandungi 5 bola putih dan 2 hitam. Sebiji bola diambil dari satu urn yang dipilih secara rawak. Tentukan kebarangkalian bahawa bola itu hitam.
5. Ia dikehendaki membuat jadual perlepasan kereta api untuk hari yang berbeza dalam seminggu. Pada masa yang sama, adalah perlu bahawa: 2 kereta api setiap hari berlepas selama 3 hari, 1 kereta api sehari selama 2 hari, 3 kereta api sehari selama 2 hari. Berapa banyak jadual berbeza boleh dibuat?
Pilihan 5
1. Sebuah kiub, yang semua sisinya dicat, dipotong menjadi 64 kiub yang sama saiz, yang kemudiannya dicampur. Cari kebarangkalian bahawa kubus yang dilukis secara rawak mempunyai dua muka berwarna.
2. Buktikan bahawa 
.
3. Biarkan kebarangkalian bahawa TV memerlukan pembaikan semasa tempoh jaminan ialah 0.2. Cari kebarangkalian bahawa dalam tempoh jaminan daripada 6 TV: a) tidak lebih daripada 1 memerlukan pembaikan, b) sekurang-kurangnya 1 tidak memerlukan pembaikan.
4. Jenis bahagian yang sama dihasilkan pada tiga talian automatik. Disebabkan oleh gangguan mesin, pengeluaran produk yang rosak adalah mungkin: baris pertama dengan kebarangkalian 0.02; yang kedua - dengan kebarangkalian 0.01; yang ketiga - dengan kebarangkalian 0.05. Baris pertama memberikan 70%, yang kedua - 20%, yang ketiga - 10% daripada semua produk. Tentukan kebarangkalian untuk mendapat perkahwinan.
5. Dalam balang bebola putih dan hitam. Dalam berapa banyak cara anda boleh memilih daripada bola urn, yang akan ada kepingan putih. (Bola setiap warna dinomborkan.)
Pilihan 6
1. Terdapat 12 bola di dalam sebuah urn: 3 bola putih, 4 bola hitam dan 5 bola merah. Apakah kebarangkalian untuk menarik sebiji bola merah dari balang itu?
2. Buktikan bahawa .
3. Kebarangkalian menang atas tiket loteri ialah . Cari kebarangkalian untuk memenangi sekurang-kurangnya 2 tiket daripada 6 tiket.
4. Dalam dua kotak terdapat bahagian jenis yang sama: dalam kotak pertama 8 boleh diservis dan 2 rosak, dalam kotak kedua 6 boleh diservis dan 4 rosak. Dua item diambil secara rawak dari kotak pertama, dan satu item dari kotak kedua. Bahagian, bercampur, diletakkan di dalam kotak ketiga, dari mana satu bahagian diambil secara rawak. Tentukan kebarangkalian item ini betul.
5. Dalam berapa banyak cara 2 kad penyodok boleh dipilih daripada dek 36 kad?
Pilihan 7
1. Terdapat 15 biji bola di dalam bekas dengan nombor dari 1 hingga 15. Apakah kebarangkalian untuk menarik bola dengan nombor 18?
2. Buktikan bahawa .
3. Kebarangkalian untuk memukul setiap pukulan ialah 0.4. Cari kebarangkalian untuk memusnahkan objek jika sekurang-kurangnya 3 pukulan diperlukan untuk ini, dan 15 tembakan dilepaskan.
4. Dua tempayan yang sama mengandungi bebola putih dan hitam. Satu bola dipindahkan dari balang pertama ke balang kedua. Dalam urn kedua, bola dicampur dan satu bola dipindahkan ke urn pertama. Kemudian satu bola diambil dari urn pertama. Cari kebarangkalian bahawa bola itu berwarna putih.
5. Dua nombor dipilih secara berturutan daripada set tanpa penggantian. Berapakah bilangan set sedemikian di mana nombor kedua lebih besar daripada yang pertama?
Pilihan 8
1. Terdapat bulatan di dalam elips. Cari kebarangkalian titik jatuh ke dalam cincin yang dibatasi oleh elips dan bulatan.
2. Biar tiga peristiwa sewenang-wenangnya. Cari ungkapan untuk peristiwa yang: a) peristiwa dan berlaku, tetapi peristiwa itu tidak berlaku; b) Tepat 2 peristiwa telah berlaku.
3. Cari kebarangkalian bahawa dalam keluarga yang mempunyai 6 orang anak, sekurang-kurangnya
2 perempuan. (Kebarangkalian mempunyai anak lelaki dan perempuan dianggap sama.)
4. Terdapat dua tempayan. Guci pertama mengandungi 3 bola putih dan 5 bola hitam, guci kedua mengandungi 4 bola putih dan 6 bola hitam. Dua bola dipindahkan dari balang pertama ke balang kedua tanpa melihat. Bola dalam urn kedua dicampur dengan teliti dan satu bola diambil daripadanya. Cari kebarangkalian bahawa bola itu akan
putih.
5. Dalam berapa banyak cara bucu segitiga yang diberikan boleh dilabelkan menggunakan huruf 
?
Pilihan 9
1. Daripada lima huruf abjad berpecah, perkataan "buku" terdiri. Seorang kanak-kanak yang tidak boleh membaca menaburkan huruf-huruf ini dan kemudian menyusunnya dalam susunan rawak. Cari kebarangkalian bahawa dia sekali lagi mendapat perkataan "buku".
2. Cari semua acara sedemikian 
, di mana dan adalah beberapa acara.
3. Daripada 15 tiket loteri, 4 menang. Apakah kebarangkalian daripada 6 tiket yang dipilih secara rawak terdapat dua tiket yang menang?
4. Terdapat tiga tempayan yang sama. Guci pertama mengandungi 4 bola putih dan 2 bola hitam, guci kedua mengandungi 3 bola putih dan 3 bola hitam, dan guci ketiga mengandungi 1 bola putih dan 5 bola hitam. Dari urn kedua dan ketiga, tanpa melihat, dua bola dipindahkan ke urn pertama. Bola dalam urn pertama dikocok dan dua bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa ia berwarna putih.
5. Daripada lima pemain catur, dua orang mesti dihantar untuk menyertai kejohanan tersebut. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?
Pilihan 10
1. Daripada dek 52 kad, tiga diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa ia akan menjadi tiga, tujuh dan a.
2. Dua blok pendua dan diberi. Catat peristiwa bahawa sistem itu sihat.
3. Untuk menandakan kemalangan, dua peranti isyarat beroperasi secara berasingan dipasang. Kebarangkalian bahawa peranti isyarat akan berfungsi sekiranya berlaku kemalangan ialah 0.95 untuk yang pertama dan 0.9 untuk yang kedua. Cari kebarangkalian bahawa hanya satu peranti isyarat akan berfungsi sekiranya berlaku kemalangan.
4. Pada tiga talian automatik, bahagian dengan nama yang sama dihasilkan. Baris pertama memberikan 70%, yang kedua - 20%, yang ketiga - 10% daripada semua produk. Kebarangkalian menerima produk yang rosak pada setiap baris, masing-masing, ialah: 0.02; 0.01; 0.05. Bahagian yang bertuah ternyata rosak. Tentukan kebarangkalian bahawa bahagian itu dibuat pada baris pertama.
5. 10 mata dipilih pada bulatan. Berapa banyak kord boleh dilukis dengan hujung pada titik ini.
Pilihan 11
1. Dalam balang bebola putih, hitam dan merah. Tiga bola diambil secara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa mereka akan menjadi warna yang berbeza.
2. Adakah persamaan itu benar 
?
3. Jabatan kawalan teknikal menyemak produk untuk standard. Kebarangkalian item tersebut adalah standard ialah 0.9. Cari kebarangkalian bahawa hanya satu daripada dua produk yang diuji adalah standard.
4. Tiga penembak menembak secara bebas antara satu sama lain pada sasaran, masing-masing melepaskan satu pukulan. Kebarangkalian untuk mencapai sasaran untuk penembak pertama ialah 0.4, untuk yang kedua - 0.6 dan untuk yang ketiga - 0.7. Selepas melepaskan tembakan ke arah sasaran, dua langgar ditemui. Tentukan kebarangkalian bahawa mereka tergolong dalam anak panah pertama dan ketiga.
5. Dalam berapa banyak cara 5 bola merah, 4 bola hitam dan 5 bola putih boleh disusun dalam 1 baris supaya bola yang terletak di tepi adalah sama warna?
Pilihan 12
1. Mesyuarat yang dihadiri seramai 25 orang termasuk 5 orang wanita memilih delegasi seramai 3 orang. Memandangkan setiap yang hadir dengan kebarangkalian yang sama boleh dipilih. Cari kebarangkalian bahawa delegasi akan termasuk 2 wanita dan seorang lelaki.
3. Cari kebarangkalian yang diberi kebarangkalian 
, 
.
4. Kod 1111 dengan kebarangkalian 0.2, kod 0000 dengan kebarangkalian 0.3, dan kod 1001 dengan kebarangkalian 0.5 boleh dihantar melalui saluran komunikasi. Disebabkan oleh pengaruh gangguan, kebarangkalian penerimaan yang betul bagi setiap digit (0 atau 1) kod ialah 0.9, dan digit diherotkan secara bebas antara satu sama lain. Cari kebarangkalian bahawa kod 1111 dihantar jika kod 1011 diterima pada peranti penerima.
5. Berapa banyak laluan berbeza yang boleh dipilih oleh pejalan kaki jika dia memutuskan untuk berjalan 9 blok, 5 daripadanya ke barat, 4 ke utara.
Pilihan 13
1. Sekumpulan 10 lelaki dan 10 wanita dibahagikan secara rawak kepada dua bahagian yang sama banyak. Cari kebarangkalian bahawa dalam setiap bahagian lelaki dan perempuan adalah sama.
2. dan merupakan beberapa peristiwa. Adakah persamaan itu benar 
?
3. Cari kebarangkalian diberi kebarangkalian , , 
.
4. Adalah mungkin untuk menghantar kod 1234 dengan kebarangkalian 0.6 dan kod 4321 dengan kebarangkalian 0.4 ke atas talian komunikasi. Kod tersebut dipaparkan pada papan skor, yang boleh memesongkan nombor. Kebarangkalian mengambil 1 untuk 1 ialah 0.8, dan 1 untuk 4 ialah 0.2. Kebarangkalian mengambil 4 untuk 4 ialah 0.9, dan 4 untuk 1 ialah 0.1. Kebarangkalian mengambil 2 untuk 2 dan 3 untuk 3 ialah 0.7. Kebarangkalian mengambil 2 untuk 3 dan 3 untuk 2 ialah 0.3. Pengendali menerima kod 4231. Tentukan kebarangkalian bahawa kod itu diterima:
a) 1234; b) 4321.
5. Antara tiga orang - adalah perlu untuk membahagikan 15 objek yang berbeza, dan dia mesti menerima 2 objek, - 3, dan - 10. Berapa banyak cara pengagihan ini boleh dilakukan.
Pilihan 14
1. Terdapat 4 item yang rosak dalam satu batch 10 item. Pilih secara rawak
5 produk. Tentukan kebarangkalian bahawa antara 5 produk ini akan terdapat tiga produk yang rosak.
2. Buktikan bahawa , , membentuk kumpulan acara yang lengkap.
3. Pelajar mengetahui 20 daripada 25 soalan program. Cari kebarangkalian bahawa pelajar itu akan menjawab 2 soalan yang diberikan oleh pemeriksa kepadanya.
4. Terdapat 4 kelompok bahagian. Dalam batch pertama terdapat 3% perkahwinan, dalam kedua -4%, dalam batch ketiga dan keempat tidak ada perkahwinan. Apakah kebarangkalian untuk mengambil bahagian yang rosak jika satu bahagian diambil daripada lot yang dipilih secara rawak? Apakah kebarangkalian bahagian yang diambil itu tergolong dalam kumpulan pertama jika ternyata rosak?
5. Pelajar mesti lulus 4 peperiksaan dalam tempoh 10 hari. Dalam berapa banyak cara anda boleh menjadualkan dia?
Pilihan 15
1. Terdapat 50 kerusi di dalam dewan. Cari kebarangkalian bahawa daripada 10 orang 5 orang akan menduduki tempat tertentu, jika tempat itu diduduki oleh mereka secara rawak.
2. Buktikan bahawa .
3. Tiga penembak menembak secara bebas ke sasaran. Kebarangkalian untuk mencapai sasaran untuk penembak pertama ialah 0.75, untuk yang kedua - 0.8, untuk yang ketiga - 0.9. Cari kebarangkalian bahawa ketiga-tiga anak panah itu mengenai sasaran.
4. Dari bekas yang mengandungi 4 bola hitam 6 bola putih, sebiji bola yang tidak diketahui warnanya hilang. Untuk menentukan komposisi bola dalam urn, dua bola telah diambil secara rawak daripadanya. Mereka ternyata putih. Cari kebarangkalian bahawa bola putih itu hilang.
5. Berapa banyak cara 7 buah buku boleh disusun di atas rak jika dua buah buku mesti sentiasa bersebelahan.
4. Kebarangkalian untuk terkena sasaran dengan satu pukulan ialah 0.7. Tentukan kebarangkalian bahawa enam pukulan bebas menghasilkan lima pukulan.
5. Terdapat 7 tempat duduk di dalam kereta. Berapa banyak cara 7 orang boleh masuk ke dalam kereta ini jika hanya 3 daripada mereka boleh mengambil tempat duduk pemandu.
Pilihan 18
1. Untuk latihan kerja untuk 30 pelajar, 15 tempat disediakan di Moscow, 8 di Taiga dan 7 di Novosibirsk. Apakah kebarangkalian bahawa dua pelajar tertentu akan mendapat latihan di bandar yang sama?
2. Biar tiga peristiwa sewenang-wenangnya. Cari ungkapan untuk peristiwa yang terdiri daripada apa yang berlaku daripada: a) sahaja ; b) hanya satu peristiwa.
3. Terdapat 6 bola putih dan 8 bola hitam di dalam sebuah kotak. Dua bola dikeluarkan dari kotak (tanpa mengembalikan bola yang dikeluarkan ke dalam kotak). Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua bola berwarna putih.
3. Dalam kotak pertama terdapat 2 bola putih dan 10 bola hitam, dalam kotak kedua 8 bola putih dan
4 biji bola hitam. Sebiji bola diambil dari setiap kotak. Apakah kebarangkalian kedua-dua bola berwarna putih?
4. 25 enjin sedang diuji. Kebarangkalian operasi tanpa kegagalan bagi setiap enjin adalah sama dan bersamaan dengan 0.95. Tentukan bilangan enjin yang paling berkemungkinan gagal.
5. Tanya ada 20 markah, Natasha ada 30. Dalam berapa cara satu markah Tanya boleh ditukar dengan satu Natasha?
Pilihan 20
1. Baling 4 dadu. Cari kebarangkalian bahawa setiap orang mendapat bilangan mata yang sama.
2. Adakah acara dan , jika , perlu sepadan?
3. Tiga penembak menembak secara bebas ke sasaran. Kebarangkalian untuk mencapai sasaran untuk penembak pertama ialah 0.75, untuk yang kedua - 0.8. untuk yang ketiga - 0.9. Tentukan kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya seorang penembak mencapai sasaran.
4. Sekumpulan transistor sedang diuji. Kebarangkalian operasi tanpa kegagalan bagi setiap transistor ialah 0.92. Tentukan berapa banyak transistor perlu diuji supaya sekurang-kurangnya satu kegagalan boleh direkodkan dengan kebarangkalian sekurang-kurangnya 0.95.
5. Berapakah bilangan lima digit yang boleh dibuat daripada nombor 1, 2, 4, 6, 7, 8, jika setiap digit dalam sebarang nombor digunakan tidak lebih daripada 1 kali?
Contoh #1. Sebuah syarikat pembuatan komputer memperoleh bahagian yang sama daripada tiga pembekal. Yang pertama membekalkan 50% daripada semua komponen, yang kedua - 20%, yang ketiga - 30% daripada bahagian.Adalah diketahui bahawa kualiti bahagian yang dibekalkan adalah berbeza, dan dalam produk pembekal pertama, peratusan kecacatan adalah 4%, yang kedua - 5%, yang ketiga - 2%. Tentukan kebarangkalian bahawa bahagian yang dipilih secara rawak daripada semua yang diterima akan rosak.
Penyelesaian. Mari kita nyatakan peristiwa: A - "item yang dipilih rosak", H i - "item terpilih yang diterima daripada pembekal ke-i", i =1, 2, 3 Hipotesis H 1 , H 2 , H 3 membentuk kumpulan lengkap peristiwa yang tidak serasi. Dengan syarat
P(H1) = 0.5; P(H2) = 0.2; P(H3) = 0.3
P(A|H 1) = 0.04; P(A|H2) = 0.05; P(A|H 3) = 0.02
Mengikut jumlah formula kebarangkalian (1.11), kebarangkalian peristiwa A adalah sama dengan
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0.5 0.04 + 0.2 0.05 + 0.3 0.02=0.036
Kebarangkalian bahawa bahagian yang dipilih secara rawak akan rosak ialah 0.036.
Biarkan peristiwa A telah berlaku dalam keadaan contoh sebelumnya: bahagian yang dipilih ternyata rosak. Apakah kebarangkalian ia diterima daripada pembekal pertama? Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh formula Bayes.
Kami memulakan analisis kebarangkalian dengan hanya awalan, nilai priori kebarangkalian kejadian. Kemudian percubaan dibuat (sebahagian telah dipilih), dan kami menerima maklumat tambahan tentang acara yang menarik minat kami. Dengan maklumat baharu ini, kami boleh memperhalusi nilai kebarangkalian terdahulu. Nilai baharu kebarangkalian kejadian yang sama sudah menjadi kebarangkalian posterior (pasca eksperimen) bagi hipotesis (Rajah 1.5).
Skim penilaian semula hipotesis
Biarkan peristiwa A direalisasikan hanya bersama-sama dengan salah satu hipotesis H 1 , H 2 , …, H n (kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi). Kami menandakan kebarangkalian priori bagi hipotesis P(H i) kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Jika eksperimen telah dilakukan dan akibatnya peristiwa A telah berlaku, maka kebarangkalian a posterior hipotesis ialah kebarangkalian bersyarat P(H i |A), i = 1, 2,…, n. Dalam notasi contoh sebelumnya, P(H 1 |A) ialah kebarangkalian bahawa bahagian yang dipilih, yang ternyata rosak, telah diterima daripada pembekal pertama.
Kami berminat dengan kebarangkalian peristiwa H k |A Pertimbangkan kejadian bersama bagi peristiwa H k dan A, iaitu peristiwa AH k . Kebarangkaliannya boleh didapati dalam dua cara, menggunakan formula pendaraban (1.5) dan (1.6):
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).
Samakan bahagian yang betul bagi formula ini
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),
maka kebarangkalian posterior hipotesis H k ialah 
Penyebutnya ialah jumlah kebarangkalian peristiwa A. Menggantikan bukannya P(A) nilainya mengikut jumlah formula kebarangkalian (1.11), kita dapat: 
(1.12)
Formula (1.12) dipanggil Formula Bayes
dan digunakan untuk menilai semula kebarangkalian hipotesis.
Dalam keadaan contoh sebelumnya, kita dapati kebarangkalian bahawa bahagian yang rosak telah diterima daripada pembekal pertama. Mari kita rumuskan dalam satu jadual kebarangkalian a priori bagi hipotesis P(H i) yang kita ketahui oleh keadaan, kebarangkalian bersyarat P(A|H i) kebarangkalian bersama yang dikira dalam proses penyelesaian P(AH i) = P(H i) P(A|H i) dan dikira dengan formula (1.12) kebarangkalian posterior P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (Jadual 1.3).
Jadual 1.3 - Penilaian semula hipotesis
| Hipotesis H i | Kebarangkalian | |||
| P(H i) Sebelum | P(A|H i) Bersyarat | Gabungan P(AH i) | A posterior P(H i |A) | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
H 1 - bahagian diterima daripada pembekal pertama | 0.5 | 0.04 | 0.02 | |
H 2 - bahagian diterima daripada pembekal kedua | 0.2 | 0.05 | 0.01 | |
H 3 - bahagian diterima daripada pembekal ketiga | 0.3 | 0.02 | 0.006 | |
| Jumlah | 1.0 | - | 0.036 | 1 |
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0.5 + 0.2 + 0.3 = 1
Dalam lajur keempat, nilai dalam setiap baris (kebarangkalian bersama) diperoleh dengan peraturan pendaraban kebarangkalian dengan mendarab nilai yang sepadan dalam lajur kedua dan ketiga, dan pada baris terakhir 0.036 ialah jumlah kebarangkalian peristiwa A (dengan jumlah formula kebarangkalian).
Dalam lajur 5, kebarangkalian posterior hipotesis dikira menggunakan formula Bayes (1.12):
Kebarangkalian posterior P(H 2 |A) dan P(H 3 |A) dikira sama, dengan pengangka pecahan ialah kebarangkalian bersama yang direkodkan dalam baris yang sepadan pada lajur 4, dan penyebutnya ialah jumlah kebarangkalian bagi peristiwa A direkodkan pada baris terakhir lajur 4.
Jumlah kebarangkalian hipotesis selepas eksperimen adalah sama dengan 1 dan ditulis pada baris terakhir lajur kelima.
Jadi, kebarangkalian bahagian yang rosak itu diterima daripada pembekal pertama ialah 0.555. Kebarangkalian selepas eksperimen adalah lebih besar daripada yang apriori (disebabkan oleh jumlah bekalan yang besar). Kebarangkalian pasca eksperimen bahawa bahagian yang rosak diterima daripada pembekal kedua ialah 0.278 dan juga lebih besar daripada yang pra-eksperimen (disebabkan oleh bilangan penolakan yang banyak). Kebarangkalian pasca eksperimen bahawa bahagian yang rosak diperoleh daripada pembekal ketiga ialah 0.167.
Contoh #3. Terdapat tiga tempayan yang sama; guci pertama mengandungi dua bola putih dan satu bola hitam; dalam yang kedua, tiga putih dan satu hitam; dalam ketiga - dua bola putih dan dua bola hitam. Untuk eksperimen, satu guci dipilih secara rawak dan sebiji bola dikeluarkan daripadanya. Cari kebarangkalian bahawa bola ini berwarna putih.
Penyelesaian. Mari kita pertimbangkan tiga hipotesis: H 1 - guci pertama dipilih, H 2 - guci kedua dipilih, H 3 - guci ketiga dipilih dan acara A - bola putih dikeluarkan.
Oleh kerana hipotesis itu berkemungkinan sama dengan keadaan masalah, maka
Kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa A di bawah hipotesis ini masing-masing adalah sama:
Mengikut jumlah formula kebarangkalian 
Contoh #4. Terdapat 19 senapang dalam piramid, 3 daripadanya dengan penglihatan optik. Penembak, menembak dari senapang dengan penglihatan optik, boleh mengenai sasaran dengan kebarangkalian 0.81, dan menembak dari senapang tanpa penglihatan optik, dengan kebarangkalian 0.46. Cari kebarangkalian bahawa penembak akan mengenai sasaran dengan menembak dari senapang yang dipilih secara rawak.
Penyelesaian. Di sini ujian pertama adalah pilihan senapang rawak, yang kedua ialah menembak sasaran. Pertimbangkan peristiwa berikut: A - penembak akan mencapai sasaran; H 1 - penembak akan mengambil senapang dengan penglihatan optik; H 2 - penembak akan mengambil senapang tanpa penglihatan optik. Kami menggunakan formula kebarangkalian jumlah. Kami ada
Memandangkan senapang dipilih satu demi satu, dan menggunakan formula kebarangkalian klasik, kita dapat: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Kebarangkalian bersyarat diberikan dalam pernyataan masalah: P(A|H 1) = 0;81 dan P(A|H 2) = 0;46. Akibatnya,
Contoh nombor 5. Daripada sebuah urn yang mengandungi 2 bola putih dan 3 bola hitam, dua bola dilukis secara rawak dan 1 bola putih ditambah ke dalam urn. Cari kebarangkalian bahawa sebiji bola yang ditarik secara rawak berwarna putih.
Penyelesaian. Acara "sebiji bola putih ditarik" akan dilambangkan dengan A. Acara H 1 - dua bola putih dilukis secara rawak; H 2 - dua bola hitam dilukis secara rawak; H 3 - satu bola putih dan satu bola hitam telah diundi. Kemudian kebarangkalian hipotesis yang dikemukakan
Kebarangkalian bersyarat di bawah hipotesis ini masing-masing adalah sama: P(A|H 1) = 1/4 - kebarangkalian untuk menarik bola putih jika pada masa ini terdapat satu bola putih dan tiga bola hitam dalam urn, P(A|H 2) = 3/ 4 - kebarangkalian untuk melukis bola putih jika pada masa ini terdapat tiga bola putih dan satu bola hitam dalam urn, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - kebarangkalian untuk melukis bola putih jika terdapat dua bola putih dan satu bola hitam di dalam tempayan pada masa ini dua bola hitam. Mengikut jumlah formula kebarangkalian
Contoh nombor 6. Dua das tembakan dilepaskan ke sasaran. Kebarangkalian untuk memukul dengan pukulan pertama ialah 0.2, dengan pukulan kedua - 0.6. Kebarangkalian untuk memusnahkan sasaran dengan satu pukulan ialah 0.3, dengan dua - 0.9. Cari kebarangkalian bahawa sasaran akan dimusnahkan.
Penyelesaian. Biarkan peristiwa A menjadi matlamat musnah. Untuk melakukan ini, cukup untuk memukul dengan satu pukulan daripada dua atau mencapai sasaran berturut-turut dengan dua pukulan tanpa tersasar. Mari kita kemukakan hipotesis: H 1 - kedua-dua tembakan mengenai sasaran. Kemudian P(H 1) = 0.2 0.6 = 0;12. H 2 - sama ada kali pertama atau kali kedua kesilapan dibuat. Kemudian P (H 2) \u003d 0.2 0.4 + 0.8 0.6 \u003d 0.56. Hipotesis H 3 - kedua-dua pukulan tersasar - tidak diambil kira, kerana kebarangkalian untuk memusnahkan sasaran adalah sifar. Maka kebarangkalian bersyarat masing-masing adalah sama: kebarangkalian untuk memusnahkan sasaran di bawah keadaan kedua-dua pukulan yang berjaya ialah P(A|H 1) = 0.9, dan kebarangkalian untuk memusnahkan sasaran di bawah keadaan hanya satu pukulan yang berjaya ialah P( A|H 2) = 0.3. Maka kebarangkalian untuk memusnahkan sasaran mengikut jumlah formula kebarangkalian adalah sama dengan.
Akibat kedua-dua teorem utama - teorem penambahan kebarangkalian dan teorem pendaraban kebarangkalian - ialah apa yang dipanggil formula kebarangkalian jumlah.
Biarkan ia diperlukan untuk menentukan kebarangkalian beberapa peristiwa yang boleh berlaku bersama-sama dengan salah satu peristiwa:
membentuk kumpulan lengkap peristiwa yang tidak serasi. Kami akan memanggil peristiwa ini hipotesis.
Mari kita buktikan dalam kes ini
, (3.4.1)
mereka. kebarangkalian sesuatu peristiwa dikira sebagai hasil tambah hasil kebarangkalian setiap hipotesis dan kebarangkalian kejadian di bawah hipotesis ini.
Formula (3.4.1) dipanggil formula kebarangkalian jumlah.
Bukti. Oleh kerana hipotesis membentuk kumpulan lengkap, peristiwa itu hanya boleh muncul dalam kombinasi dengan mana-mana hipotesis ini:
Oleh kerana hipotesis tidak konsisten, kombinasi 
juga tidak serasi; menggunakan teorem penambahan kepada mereka, kita dapat:
Menggunakan teorem pendaraban kepada peristiwa, kita mendapat:
,
Q.E.D.
Contoh 1. Terdapat tiga tempayan yang kelihatan sama; guci pertama mengandungi dua bola putih dan satu bola hitam; di kedua - tiga putih dan satu hitam; dalam ketiga - dua bola putih dan dua bola hitam. Seseorang memilih salah satu guci secara rawak dan menarik bola daripadanya. Cari kebarangkalian bahawa bola ini berwarna putih.
Penyelesaian. Mari kita pertimbangkan tiga hipotesis:
Pilihan balang pertama,
Pilihan balang kedua,
Pilihan urn ketiga
dan acara itu adalah rupa bola putih.
Oleh kerana hipotesis, mengikut keadaan masalah, adalah sama berkemungkinan, maka
.
Kebarangkalian bersyarat bagi kejadian di bawah hipotesis ini masing-masing adalah sama:
Mengikut jumlah formula kebarangkalian
.
Contoh 2. Tiga das tembakan dilepaskan ke arah pesawat. Kebarangkalian untuk memukul dengan pukulan pertama ialah 0.4, dengan yang kedua - 0.5, dengan yang ketiga 0.7. Tiga pukulan jelas cukup untuk melumpuhkan pesawat; dengan satu pukulan, pesawat itu gagal dengan kebarangkalian 0.2, dengan dua pukulan, dengan kebarangkalian 0.6. Cari kebarangkalian bahawa akibat daripada tiga tembakan pesawat itu akan terkeluar daripada tindakan.
Penyelesaian. Mari kita pertimbangkan empat hipotesis:
Tiada satu peluru pun mengenai pesawat,
Satu peluru terkena pesawat
Pesawat itu terkena dua peluru.
Tiga peluru terkena pesawat.
Dengan menggunakan teorem penambahan dan pendaraban, kita dapati kebarangkalian hipotesis ini:
Kebarangkalian bersyarat kejadian (kegagalan pesawat) di bawah hipotesis ini ialah:
Menggunakan jumlah formula kebarangkalian, kita mendapat:
Ambil perhatian bahawa hipotesis pertama tidak boleh dimasukkan ke dalam pertimbangan, kerana istilah yang sepadan dalam jumlah formula kebarangkalian hilang. Ini biasanya dilakukan apabila menggunakan formula jumlah kebarangkalian, bukan mengambil kira kumpulan lengkap hipotesis tidak konsisten, tetapi hanya kumpulan hipotesis yang tidak konsisten, tetapi hanya kumpulan hipotesis yang tidak konsisten di mana kejadian tertentu mungkin.
Contoh 3. Operasi enjin dikawal oleh dua pengawal selia. Tempoh masa tertentu dipertimbangkan, di mana ia adalah wajar untuk memastikan operasi enjin tanpa masalah. Jika kedua-dua pengawal selia hadir, enjin gagal dengan kebarangkalian , jika hanya yang pertama berfungsi, dengan kebarangkalian , jika hanya yang kedua berfungsi, jika kedua-dua pengawal selia gagal, dengan kebarangkalian . Yang pertama pengawal selia mempunyai kebolehpercayaan, yang kedua -. Semua elemen gagal secara bebas antara satu sama lain. Cari jumlah kebolehpercayaan (kebarangkalian operasi tanpa kegagalan) enjin.
Halaman berguna? Simpan atau beritahu rakan anda
Pernyataan umum masalah adalah lebih kurang * yang berikut:
Sebuah guci mengandungi $K$ bola putih dan $N-K$ bola hitam (jumlah $N$ bola). $n$ bola diambil daripadanya secara rawak dan tanpa penggantian. Cari kebarangkalian bahawa tepat $k$ bola putih dan $n-k$ hitam akan dipilih.
Mengikut takrifan klasik kebarangkalian, kebarangkalian yang diingini didapati menggunakan formula kebarangkalian hipergeometrik (lihat penjelasan):
$$ P=\frac(C_K^k \cdot C_(N-K)^(n-k))(C_N^n). \qquad (1) $$
* Biar saya jelaskan apa maksud "kira-kira": bola boleh dikeluarkan bukan dari bakul, tetapi dari bakul, atau mereka tidak boleh hitam dan putih, tetapi merah dan hijau, besar dan kecil, dan sebagainya. Perkara utama ialah mereka menjadi DUA jenis, maka anda menganggap satu jenis "bola putih" secara bersyarat, yang kedua - "bola hitam" dan berasa bebas untuk menggunakan formula untuk menyelesaikan (membetulkan teks di tempat yang betul, sudah tentu :) ).
Tutorial Video dan Templat Excel
Tonton video kami tentang menyelesaikan masalah tentang bola dalam skema kebarangkalian hipergeometrik, pelajari cara menggunakan Excel untuk menyelesaikan masalah biasa.
Fail pengiraan Excel daripada video boleh dimuat turun secara percuma dan digunakan untuk menyelesaikan masalah anda.
Contoh penyelesaian kepada masalah pemilihan bola
Contoh 1 Sebuah guci mengandungi 10 bola putih dan 8 bola hitam. 5 bola dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian terdapat tepat 2 bola putih di antaranya.
Gantikan dalam formula (1) nilai berikut: $K=10$, $N-K=8$, jumlah $N=10+8=18$, pilih $n=5$ bola, $k=2$ daripadanya hendaklah putih dan masing-masing, $n-k=5-2=3$ hitam. Kita mendapatkan:
$$ P=\frac(C_(10)^2 \cdot C_(8)^(3))(C_(18)^5) = \frac(45 \cdot 56)(8568) = \frac(5) (17) = 0.294. $$
Contoh 2 Sebuah urn mengandungi 5 bola putih dan 5 bola merah. Apakah kebarangkalian untuk menarik kedua-dua bola putih secara rawak?
Di sini bola tidak hitam dan putih, tetapi merah dan putih. Tetapi ini tidak menjejaskan perjalanan keputusan dan jawapan sama sekali.
Gantikan dalam formula (1) nilai berikut: $K=5$ (bola putih), $N-K=5$ (bola merah), jumlah $N=5+5=10$ (jumlah bola dalam urn), pilih $ n=2 $ bola, yang mana mesti ada $k=2$ putih dan, sewajarnya, $n-k=2-2=0$ merah. Kita mendapatkan:
$$ P=\frac(C_(5)^2 \cdot C_(5)^(0))(C_(10)^2) = \frac(10 \cdot 1)(45) = \frac(2) (9) = 0.222. $$
Contoh 3 Terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam di dalam bakul. 2 biji bola diambil dari bakul. Apakah kebarangkalian bahawa mereka adalah warna yang sama?
Di sini tugas menjadi sedikit lebih rumit, dan kami akan menyelesaikannya langkah demi langkah. Masukkan acara yang dikehendaki
$A = $ (Bola yang dipilih dengan warna yang sama) = (Pilih sama ada 2 bola putih atau 2 bola hitam).
Mari kita wakili acara ini sebagai jumlah dua acara yang tidak serasi: $A=A_1+A_2$, di mana
$A_1 = $ (2 bola putih dipilih),
$A_2 = $ (2 bola hitam dipilih).
Mari tuliskan nilai parameter: $K=4$ (bola putih), $N-K=2$ (bola hitam), jumlah $N=4+2=6$ (jumlah bola dalam bakul). Pilih $n=2$ bola.
Untuk acara $A_1$, $k=2$ daripadanya mestilah putih dan, sewajarnya, $n-k=2-2=0$ hitam. Kita mendapatkan:
$$ P(A_1)=\frac(C_(4)^2 \cdot C_(2)^(0))(C_(6)^2) = \frac(6 \cdot 1)(15) = \frac (2)(5) = 0.4. $$
Untuk acara $A_2$, $k=0$ putih dan $n-k=2$ bola hitam mesti dipilih daripada bola yang dipilih. Kita mendapatkan:
$$ P(A_2)=\frac(C_(4)^0 \cdot C_(2)^(2))(C_(6)^2) = \frac(1 \cdot 1)(15) = \frac (1)(15). $$
Maka kebarangkalian peristiwa yang diingini (bola yang ditarik dengan warna yang sama) ialah jumlah kebarangkalian peristiwa ini:
$$ P(A)=P(A_1)+P(A_2)=\frac(2)(5) + \frac(1)(15) =\frac(7)(15) = 0.467. $$
Terdapat tiga tempayan yang kelihatan sama; urn pertama mengandungi 2 bola putih dan 1 bola hitam; dalam urn kedua terdapat 3 bola putih dan 1 bola hitam; dalam yang ketiga terdapat 2 bola putih dan 2 bola hitam.
Seseorang memilih salah satu guci secara rawak dan menarik bola daripadanya. Cari kebarangkalian bahawa bola ini berwarna putih.
Mari kita pertimbangkan tiga hipotesis:
H1-pemilihan urn pertama
H2-pemilihan urn kedua
H3-pemilihan tempayan ketiga
kumpulan lengkap peristiwa yang tidak serasi.
Biarkan peristiwa A menjadi rupa bola putih. Kerana hipotesis, mengikut keadaan masalah adalah sama mungkin, maka Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1\3
Kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa A di bawah hipotesis ini masing-masing adalah sama: Р(А/Н1) =2\3; P(A/H2) = 3\4; P (A / H3) \u003d 1/2.
Mengikut jumlah formula kebarangkalian
P(A)=1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36
Jawapan: 23\36
P.2. Teorem hipotesis.
Akibat daripada teorem pendaraban dan jumlah formula kebarangkalian ialah apa yang dipanggil teorem hipotesis, atau formula Bayes (Bayes).
Mari kita tetapkan tugasan berikut.
Terdapat kumpulan lengkap hipotesis tidak serasi H1, H2,. . Hn. kebarangkalian hipotesis ini sebelum eksperimen diketahui dan sama dengan, masing-masing, Р(Н1),Р(Н2)…,Р(Нn). Satu eksperimen telah dibuat, akibatnya kemunculan beberapa peristiwa A diperhatikan. Persoalannya, bagaimanakah kebarangkalian hipotesis harus diubah berkaitan dengan kemunculan peristiwa ini?
Di sini, pada dasarnya, kita bercakap tentang mencari kebarangkalian bersyarat P(H1/A) bagi setiap hipotesis.
Daripada teorem pendaraban kita ada:
P(A*Hi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3, .n) atau, buang sebelah kiri Nutrend enduro bcaa 120caps beli .
P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)
Dari mana P (Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷P(A),(i=1,2,3, . . n)
Menyatakan dengan P(A) menggunakan jumlah kebarangkalian, kita ada
P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷∑P(Hi) P(A\Hi),(i=1,2,3, . . n) (2)
Formula (2) dipanggil formula Bays atau teorem hipotesis
Contoh 2. di sebuah kilang, 30% daripada produk dihasilkan oleh mesin I, 25% daripada produk dikeluarkan oleh mesin II, selebihnya produk dihasilkan oleh mesin III. Untuk mesin I, 1% daripada outputnya rosak, untuk mesin II - 1.5%, untuk mesin III - 2%, unit pengeluaran yang dipilih secara rawak ternyata cacat. Apakah kebarangkalian ia dihasilkan oleh mesin I?
Mari kita perkenalkan notasi untuk acara.
A - produk yang dipilih ternyata rosak
H1-produk yang dihasilkan oleh mesin I
H2 - produk yang dihasilkan oleh mesin II
H3 - produk yang dihasilkan oleh mesin III
P(H1)=0.30; P(H2)=0.25; P(H3) =0.45
P (A / H1) \u003d 0.01,
P (A / H2) \u003d 0.015
P (A / H3) \u003d 0.02
P(A) \u003d 0.01 * 0.30 + 0.015 * 0.25 + 0.02 * 0.45 \u003d 0.015,
P(H1/A) = 0.01*0.30÷0.015=0.20
Jawapan: 20% daripada semua produk yang rosak dihasilkan oleh mesin I.
§9. Formula Bernoulli
Hukum Nombor Besar
Biarkan A menjadi peristiwa rawak berkenaan dengan beberapa pengalaman σ. Kami hanya akan berminat sama ada peristiwa A berlaku atau tidak berlaku akibat percubaan, jadi kami akan mengambil sudut pandangan berikut: ruang peristiwa asas yang dikaitkan dengan pengalaman σ hanya terdiri daripada dua elemen - A dan A. Mari kita nyatakan kebarangkalian unsur-unsur ini, masing-masing, melalui p dan q , (p+q=1).
Sekarang mari kita anggap bahawa eksperimen σ di bawah keadaan tidak berubah diulang beberapa kali, contohnya, 3 kali. Marilah kita bersetuju untuk mempertimbangkan realisasi tiga kali ganda σ sebagai eksperimen baharu η. Jika, seperti sebelum ini, kita hanya berminat pada kejadian atau tidak berlakunya A., maka kita harus dengan jelas menganggap bahawa ruang peristiwa asas yang sepadan dengan eksperimen η terdiri daripada semua kemungkinan urutan panjang 3: (A, A, A), (A, A, A), ( A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A) , (A, A, A), yang boleh terdiri daripada A dan A.
Setiap jujukan ini bermaksud satu atau satu lagi urutan kejadian atau bukan kejadian peristiwa A dalam tiga eksperimen σ, contohnya, jujukan (A, A, A) bermakna A berlaku dalam eksperimen pertama, dan A berlaku dalam eksperimen kedua. dan ketiga. Mari kita tentukan apakah kebarangkalian yang harus diberikan kepada setiap urutan (1)
Syarat bahawa eksperimen σ dijalankan ketiga-tiga kali dalam keadaan tidak berubah harus bermakna yang berikut: hasil bagi setiap tiga eksperimen tidak bergantung pada hasil yang berlaku dalam dua eksperimen yang lain. Itu. sebarang gabungan hasil tiga eksperimen ialah tiga kali ganda peristiwa bebas. Dalam kes ini, adalah wajar untuk memberikan kepada peristiwa asas (A, A, A) kebarangkalian yang sama dengan p*q*q, kepada peristiwa (A, A, A), kebarangkalian q*y*y , dan lain-lain.
Itu. kita sampai kepada penerangan berikut tentang model kebarangkalian untuk eksperimen η (iaitu, untuk pelaksanaan tiga kali ganda eksperimen σ). Ruang Ω peristiwa asas ialah satu set 2 hingga 3 jujukan. (satu). Setiap jujukan dikaitkan sebagai kebarangkalian dengan nombor p dinaikkan kepada kuasa k, q dinaikkan kepada kuasa e, di mana eksponen menentukan berapa kali simbol A dan A muncul dalam ungkapan untuk jujukan ini.
Model kebarangkalian seperti ini dipanggil skema Bernoulli. Dalam kes umum, skema Bernoulli ditentukan oleh nilai nombor n dan p, di mana n ialah bilangan ulangan percubaan awal σ (dalam eksperimen sebelumnya, kami menganggap n=3), dan p ialah kebarangkalian bagi peristiwa A berhubung dengan eksperimen σ.
Teorem 1. Biarkan kebarangkalian peristiwa A sama dengan p, dan biarkan Pmn ialah kebarangkalian bahawa dalam satu siri n percubaan bebas peristiwa ini akan berlaku m kali.
Maka formula Bernoulli adalah sah.
Pmn=Cn kepada kuasa m *P kepada kuasa m *q kepada kuasa n-m
Syiling dilambung 10 kali. Apakah kebarangkalian jata itu akan muncul tepat 3 kali?
Dalam kes ini, kehilangan jata dianggap sebagai satu kejayaan, kebarangkalian p kejadian ini dalam setiap eksperimen ialah 1/2.
Oleh itu: Р10,3=С10dalam darjah ke-3*(1\2) dalam darjah ke-3*(1\2) dalam darjah ke-7=10*9*8÷1*2*3*(1÷2dalam darjah ke-10 ) =15\128
Jawapan: 15\128
Dengan bilangan percubaan yang banyak, kekerapan relatif kejadian sesuatu peristiwa berbeza sedikit daripada kebarangkalian kejadian ini. Rumusan matematik bagi pernyataan kualitatif ini diberikan oleh undang-undang bilangan besar Bernoulli, yang telah diperhalusi oleh Chebyshev.
Teorem 2. Biarkan kebarangkalian kejadian A dalam percubaan p adalah sama dengan p, dan biarkan satu siri yang terdiri daripada n ulangan bebas bagi percubaan ini dijalankan.
Kami menyatakan dengan m bilangan percubaan di mana peristiwa A berlaku. Kemudian, untuk sebarang nombor positif α, ketaksamaan berikut berlaku:
3(|m\n-p|> α) Maksud ketaksamaan ini ialah ungkapan m÷n adalah sama dengan kekerapan relatif kejadian A dalam satu siri eksperimen, dan |m\n-p|> α bermakna sisihan relatif ini daripada nilai teori p. Ketaksamaan |m\n-p|> α bermakna sisihan lebih besar daripada α. Tetapi pada nilai tetap α, apabila n berkembang, bahagian kanan ketaksamaan (3) cenderung kepada sifar. Dalam erti kata lain, siri di mana sisihan frekuensi eksperimen daripada yang teoritikal adalah besar membentuk sebahagian kecil daripada semua siri ujian yang mungkin. Penegasan yang diperolehi oleh Bernoulli mengikut teorem: di bawah syarat teorem, untuk sebarang nilai α>0, kita mempunyai
Pakcik Vanya plot drama itu. "Pakcik Ivan. Sikap terhadap profesor orang lain
Tsakhes kecil, digelar Zinnober
Maikov, Apollon Nikolaevich - biografi pendek