Terbitan fungsi adalah salah satu topik yang paling sukar dalam kurikulum sekolah. Tidak setiap graduan akan menjawab soalan tentang apa itu derivatif.

Artikel ini secara ringkas dan jelas menerangkan apa itu derivatif dan mengapa ia diperlukan.. Kami sekarang tidak akan berusaha untuk ketegasan matematik pembentangan. Perkara yang paling penting ialah memahami maksudnya.

Mari kita ingat definisi:

Derivatif ialah kadar perubahan fungsi.

Rajah menunjukkan graf bagi tiga fungsi. Mana satu yang anda rasa paling cepat berkembang?

Jawapannya jelas - yang ketiga. Ia mempunyai kadar perubahan tertinggi, iaitu terbitan terbesar.

Berikut adalah satu lagi contoh.

Kostya, Grisha dan Matvey mendapat pekerjaan pada masa yang sama. Mari lihat bagaimana pendapatan mereka berubah sepanjang tahun:

Anda boleh melihat segala-galanya pada carta serta-merta, bukan? Pendapatan Kostya meningkat lebih daripada dua kali ganda dalam tempoh enam bulan. Dan pendapatan Grisha juga meningkat, tetapi hanya sedikit. Dan pendapatan Matthew menurun kepada sifar. Keadaan permulaan adalah sama, tetapi kadar perubahan fungsi, i.e. terbitan, - berbeza. Bagi Matvey, derivatif pendapatannya secara amnya adalah negatif.

Secara intuitif, kita boleh menganggarkan kadar perubahan fungsi dengan mudah. Tetapi bagaimana kita melakukannya?

Apa yang kita benar-benar melihat ialah betapa curamnya graf fungsi itu naik (atau turun). Dengan kata lain, berapa cepat y berubah dengan x. Jelas sekali, fungsi yang sama pada titik yang berbeza boleh mempunyai nilai derivatif yang berbeza - iaitu, ia boleh berubah lebih cepat atau lebih perlahan.

Terbitan bagi fungsi dilambangkan dengan .

Mari tunjukkan cara mencari menggunakan graf.

Satu graf bagi beberapa fungsi dilukis. Ambil titik di atasnya dengan abscissa. Lukis tangen kepada graf fungsi pada titik ini. Kami ingin menilai sejauh mana graf fungsi itu naik. Nilai yang berguna untuk ini ialah tangen cerun tangen.

Terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan tangen kecerunan tangen yang dilukis pada graf fungsi pada titik itu.

Sila ambil perhatian - sebagai sudut kecondongan tangen, kita mengambil sudut antara tangen dan arah positif paksi.

Kadangkala pelajar bertanya apakah tangen kepada graf fungsi. Ini ialah garis lurus yang mempunyai satu-satunya titik sepunya dengan graf dalam bahagian ini, lebih-lebih lagi, seperti yang ditunjukkan dalam rajah kami. Ia kelihatan seperti tangen kepada bulatan.

Jom cari. Kami ingat bahawa tangen sudut akut dalam segi tiga tepat adalah sama dengan nisbah kaki bertentangan dengan yang bersebelahan. Dari segi tiga:

Kami mendapati terbitan menggunakan graf tanpa mengetahui formula fungsi itu. Tugasan sebegini sering dijumpai dalam peperiksaan dalam matematik di bawah nombor.

Terdapat satu lagi korelasi penting. Ingat bahawa garis lurus diberikan oleh persamaan

Kuantiti dalam persamaan ini dipanggil kecerunan garis lurus. Ia sama dengan tangen sudut kecondongan garis lurus ke paksi.

.

Kami dapat itu

Mari kita ingat formula ini. Ia menyatakan makna geometri bagi terbitan.

Terbitan bagi fungsi pada satu titik adalah sama dengan kecerunan tangen yang dilukis pada graf fungsi pada titik itu.

Dalam erti kata lain, terbitan adalah sama dengan tangen cerun tangen.

Kami telah mengatakan bahawa fungsi yang sama boleh mempunyai derivatif yang berbeza pada titik yang berbeza. Mari lihat bagaimana derivatif berkaitan dengan kelakuan fungsi.

Mari kita lukis graf bagi beberapa fungsi. Biarkan fungsi ini meningkat di beberapa kawasan, dan berkurangan di kawasan lain, dan pada kadar yang berbeza. Dan biarkan fungsi ini mempunyai mata maksimum dan minimum.

Pada satu ketika, fungsi semakin meningkat. Tangen kepada graf, dilukis pada titik, membentuk sudut lancip; dengan arah paksi positif. Jadi derivatif adalah positif pada titik.

Pada ketika itu, fungsi kita semakin berkurangan. Tangen pada titik ini membentuk sudut tumpul; dengan arah paksi positif. Oleh kerana tangen bagi sudut tumpul adalah negatif, terbitan pada titik adalah negatif.

Inilah yang berlaku:

Jika fungsi bertambah, terbitannya adalah positif.

Jika ia berkurangan, terbitannya adalah negatif.

Dan apa yang akan berlaku pada mata maksimum dan minimum? Kita melihat bahawa pada (titik maksimum) dan (titik minimum) tangen adalah mendatar. Oleh itu, tangen cerun tangen pada titik ini adalah sifar, dan terbitan juga sifar.

Titik adalah titik maksimum. Pada ketika ini, peningkatan fungsi digantikan dengan penurunan. Akibatnya, tanda derivatif berubah pada titik daripada "tambah" kepada "tolak".

Pada titik - titik minimum - derivatif juga sama dengan sifar, tetapi tandanya berubah daripada "tolak" kepada "tambah".

Kesimpulan: dengan bantuan derivatif, anda boleh mengetahui segala-galanya yang menarik minat kami tentang kelakuan fungsi tersebut.

Jika derivatifnya positif, maka fungsinya meningkat.

Jika terbitan negatif, maka fungsinya berkurangan.

Pada titik maksimum, derivatif adalah sifar dan menukar tanda dari tambah kepada tolak.

Pada titik minimum, derivatif juga adalah sifar dan menukar tanda dari tolak kepada tambah.

Kami menulis penemuan ini dalam bentuk jadual:

	bertambah	titik maksimum	semakin berkurangan	titik minimum	bertambah
+	0	-	0	+

Mari kita buat dua penjelasan kecil. Anda akan memerlukan salah satu daripada mereka apabila menyelesaikan masalah. Satu lagi - pada tahun pertama, dengan kajian yang lebih serius tentang fungsi dan derivatif.

Kes adalah mungkin apabila terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan sifar, tetapi fungsi itu tidak mempunyai maksimum atau minimum pada ketika ini. Ini kononnya :

Pada satu titik, tangen kepada graf adalah mendatar dan terbitan ialah sifar. Walau bagaimanapun, sebelum titik fungsi meningkat - dan selepas titik ia terus meningkat. Tanda derivatif tidak berubah - ia kekal positif seperti dahulu.

Ia juga berlaku bahawa pada titik maksimum atau minimum, derivatif tidak wujud. Pada graf, ini sepadan dengan pecahan mendadak, apabila mustahil untuk melukis tangen pada titik tertentu.

Tetapi bagaimana untuk mencari derivatif jika fungsi diberikan bukan oleh graf, tetapi oleh formula? Dalam kes ini, ia terpakai

Tarikh: 11/20/2014

Apakah derivatif?

Jadual terbitan.

Derivatif adalah salah satu konsep utama matematik yang lebih tinggi. Dalam pelajaran ini, kami akan memperkenalkan konsep ini. Mari kita berkenalan, tanpa rumusan dan pembuktian matematik yang ketat.

Pengenalan ini akan membolehkan anda:

Memahami intipati tugasan mudah dengan terbitan;

Selesaikan tugasan yang sangat mudah ini dengan jayanya;

Bersedia untuk pelajaran terbitan yang lebih serius.

Pertama, kejutan yang menyenangkan.

Takrifan derivatif yang ketat adalah berdasarkan teori had, dan perkara itu agak rumit. Ia menjengkelkan. Tetapi aplikasi praktikal derivatif, sebagai peraturan, tidak memerlukan pengetahuan yang begitu luas dan mendalam!

Untuk berjaya menyelesaikan kebanyakan tugas di sekolah dan universiti, sudah cukup untuk mengetahui hanya beberapa istilah- untuk memahami tugas, dan hanya beberapa peraturan- untuk menyelesaikannya. Dan itu sahaja. Ini membuatkan saya gembira.

Bolehkah kita berkenalan antara satu sama lain?)

Terma dan sebutan.

Terdapat banyak operasi matematik dalam matematik asas. Penambahan, penolakan, pendaraban, eksponen, logaritma, dsb. Jika satu lagi operasi ditambah kepada operasi ini, matematik asas menjadi lebih tinggi. Operasi baru ini dipanggil pembezaan. Definisi dan maksud operasi ini akan dibincangkan dalam pelajaran berasingan.

Di sini adalah penting untuk memahami bahawa pembezaan hanyalah operasi matematik pada fungsi. Kami mengambil sebarang fungsi dan, mengikut peraturan tertentu, mengubahnya. Hasilnya ialah fungsi baharu. Fungsi baru ini dipanggil: terbitan.

Pembezaan- tindakan pada fungsi.

Derivatif adalah hasil daripada tindakan ini.

Sama seperti, sebagai contoh, jumlah adalah hasil penambahan. Ataupun persendirian adalah hasil pembahagian.

Mengetahui istilah, anda sekurang-kurangnya dapat memahami tugasan.) Perkataannya adalah seperti berikut: cari terbitan bagi suatu fungsi; ambil derivatif; membezakan fungsi; mengira derivatif dan lain-lain. itu semua sama. Sudah tentu, terdapat tugas yang lebih kompleks, di mana mencari derivatif (pembezaan) akan menjadi salah satu langkah dalam menyelesaikan tugas.

Derivatif dilambangkan dengan sempang di bahagian atas sebelah kanan di atas fungsi. seperti ini: y" atau f"(x) atau S"(t) dan sebagainya.

membaca lejang y, lejang ef daripada x, lejang daripada te, baik anda faham...)

Perdana juga boleh menunjukkan terbitan bagi fungsi tertentu, contohnya: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" dan lain-lain. Selalunya derivatif dilambangkan menggunakan pembezaan, tetapi kami tidak akan mempertimbangkan tatatanda sedemikian dalam pelajaran ini.

Katakan kita telah belajar memahami tugasan. Tiada apa-apa lagi - untuk belajar bagaimana untuk menyelesaikannya.) Biar saya ingatkan anda sekali lagi: mencari derivatif ialah transformasi fungsi mengikut peraturan tertentu. Peraturan ini sangat sedikit.

Untuk mencari terbitan fungsi, anda hanya perlu mengetahui tiga perkara. Tiga tiang di mana semua pembezaan terletak. Berikut adalah tiga ikan paus:

1. Jadual derivatif (formula pembezaan).

3. Terbitan bagi fungsi kompleks.

Mari kita mulakan mengikut urutan. Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan jadual derivatif.

Jadual terbitan.

Dunia mempunyai bilangan fungsi yang tidak terhingga. Di antara set ini terdapat fungsi yang paling penting untuk aplikasi praktikal. Fungsi ini terletak dalam semua undang-undang alam. Daripada fungsi ini, seperti dari batu bata, anda boleh membina semua yang lain. Kelas fungsi ini dipanggil fungsi asas. Fungsi-fungsi ini yang dipelajari di sekolah - linear, kuadratik, hiperbola, dll.

Pembezaan fungsi "dari awal", i.e. berdasarkan definisi derivatif dan teori had - perkara yang agak memakan masa. Dan ahli matematik adalah orang juga, ya, ya!) Jadi mereka memudahkan hidup mereka (dan kita). Mereka mengira derivatif fungsi asas sebelum kita. Hasilnya ialah jadual derivatif, di mana semuanya sudah sedia.)

Ini dia, plat ini untuk fungsi yang paling popular. Kiri - fungsi asas, kanan - terbitannya.

	Fungsi y	Terbitan fungsi y y"
1	C (malar)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n ialah sebarang nombor)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	dosa x	(sinx)" = cosx
	kerana x	(cos x)" = - dosa x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Saya mengesyorkan memberi perhatian kepada kumpulan ketiga fungsi dalam jadual terbitan ini. Derivatif fungsi kuasa ialah salah satu formula yang paling biasa, jika bukan yang paling biasa! Adakah pembayangnya jelas?) Ya, adalah wajar untuk mengetahui jadual terbitan dengan teliti. By the way, ini tidaklah sesukar yang disangka. Cuba selesaikan lebih banyak contoh, jadual itu sendiri akan diingati!)

Mencari nilai jadual terbitan, seperti yang anda faham, bukanlah tugas yang paling sukar. Oleh itu, selalunya dalam tugas sedemikian terdapat cip tambahan. Sama ada dalam rumusan tugas, atau dalam fungsi asal, yang nampaknya tidak ada dalam jadual ...

Mari lihat beberapa contoh:

1. Cari terbitan bagi fungsi y = x 3

Tiada fungsi sedemikian dalam jadual. Tetapi terdapat terbitan umum bagi fungsi kuasa (kumpulan ketiga). Dalam kes kami, n=3. Oleh itu, kami menggantikan tiga kali ganda dan bukannya n dan dengan teliti menulis hasilnya:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Itu sahaja yang ada.

Jawapan: y" = 3x 2

2. Cari nilai terbitan bagi fungsi y = sinx pada titik x = 0.

Tugasan ini bermakna anda mesti mencari terbitan sinus dahulu, dan kemudian menggantikan nilainya x = 0 kepada terbitan yang sama ini. Ia dalam susunan itu! Jika tidak, ia berlaku bahawa mereka segera menggantikan sifar ke dalam fungsi asal ... Kami diminta untuk mencari bukan nilai fungsi asal, tetapi nilai terbitannya. Derivatif, biar saya ingatkan anda, sudah pun menjadi fungsi baharu.

Pada plat kita dapati sinus dan terbitan yang sepadan:

y" = (sinx)" = cosx

Gantikan sifar ke dalam terbitan:

y"(0) = cos 0 = 1

Ini akan menjadi jawapannya.

3. Bezakan fungsi:

Apa yang memberi inspirasi?) Tidak ada fungsi seperti itu dalam jadual derivatif.

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa untuk membezakan fungsi adalah semata-mata untuk mencari terbitan fungsi ini. Jika anda terlupa trigonometri asas, mencari derivatif fungsi kami agak menyusahkan. Meja tidak membantu...

Tetapi jika kita melihat bahawa fungsi kita adalah kosinus sudut berganda, maka semuanya segera menjadi lebih baik!

Ya Ya! Ingat bahawa penjelmaan fungsi asal sebelum pembezaan agak boleh diterima! Dan ia berlaku untuk menjadikan hidup lebih mudah. Mengikut formula untuk kosinus sudut berganda:

Itu. fungsi rumit kami tidak lain adalah y = cox. Dan ini adalah fungsi jadual. Kami segera mendapat:

Jawapan: y" = - dosa x.

Contoh untuk siswazah lanjutan dan pelajar:

4. Cari terbitan bagi suatu fungsi:

Tiada fungsi sedemikian dalam jadual derivatif, sudah tentu. Tetapi jika anda masih ingat matematik asas, tindakan dengan kuasa... Maka sangat mungkin untuk memudahkan fungsi ini. seperti ini:

Dan x kuasa satu persepuluh sudah menjadi fungsi jadual! Kumpulan ketiga, n=1/10. Terus mengikut formula dan tulis:

Itu sahaja. Ini akan menjadi jawapannya.

Saya berharap dengan ikan paus pembezaan pertama - jadual derivatif - semuanya jelas. Ia kekal untuk berurusan dengan dua ikan paus yang tinggal. Dalam pelajaran seterusnya, kita akan mempelajari peraturan pembezaan.

Apabila menyelesaikan pelbagai masalah geometri, mekanik, fizik dan cabang pengetahuan yang lain, ia menjadi perlu untuk menggunakan proses analisis yang sama daripada fungsi tertentu. y=f(x) dapatkan fungsi baharu yang dipanggil fungsi terbitan(atau hanya terbitan) bagi fungsi ini f(x) dan dilambangkan

Proses di mana fungsi yang diberikan f(x) dapatkan fungsi baharu f"(x), dipanggil pembezaan dan ia terdiri daripada tiga langkah berikut: 1) kami memberikan hujah x kenaikan  x dan tentukan kenaikan yang sepadan bagi fungsi tersebut  y = f(x+ x)-f(x); 2) membentuk hubungan

3) mengira x kekal, dan  x0, kita dapati
, yang dilambangkan dengan f"(x), seolah-olah menekankan bahawa fungsi yang terhasil hanya bergantung pada nilai x, di mana kita melepasi had. Definisi: Terbitan y "=f" (x) fungsi yang diberikan y=f(x) diberi x dipanggil had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah, dengan syarat kenaikan hujah cenderung kepada sifar, jika, sudah tentu, had ini wujud, i.e. terhingga. Dengan cara ini,
, atau

Ambil perhatian bahawa jika untuk beberapa nilai x, contohnya apabila x=a, perhubungan
di  x0 tidak cenderung kepada had terhingga, maka dalam kes ini kita katakan bahawa fungsi f(x) di x=a(atau pada titik x=a) tidak mempunyai terbitan atau tidak boleh dibezakan pada satu titik x=a.

2. Makna geometri bagi terbitan.

Pertimbangkan graf fungsi y \u003d f (x), boleh dibezakan di sekitar titik x 0

f(x)

Mari kita pertimbangkan garis lurus arbitrari yang melalui titik graf fungsi - titik A (x 0, f (x 0)) dan bersilang graf pada satu titik B (x; f (x)). Garis lurus (AB) sedemikian dipanggil secant. Daripada ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; SM \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

Sejak AC || Lembu, kemudian ALO = BAC = β (sebagai sepadan secara selari). Tetapi ALO ialah sudut kecondongan potongan AB ke arah positif paksi Lembu. Oleh itu, tgβ = k ialah kecerunan garis lurus AB.

Sekarang kita akan mengurangkan ∆x, i.e. ∆x→ 0. Dalam kes ini, titik B akan menghampiri titik A mengikut graf, dan sekan AB akan berputar. Kedudukan mengehadkan bahagian AB pada ∆x → 0 akan menjadi garis lurus (a), dipanggil tangen kepada graf fungsi y \u003d f (x) pada titik A.

Jika kita melepasi had sebagai ∆х → 0 dalam kesamaan tgβ =∆y/∆x, maka kita dapat
atau tg \u003d f "(x 0), sejak
-sudut kecondongan tangen ke arah positif paksi Lembu
, mengikut takrifan terbitan. Tetapi tg \u003d k ialah cerun tangen, yang bermaksud bahawa k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Jadi, makna geometri bagi terbitan adalah seperti berikut:

Terbitan fungsi pada titik x 0 sama dengan kecerunan tangen kepada graf fungsi yang dilukis pada titik dengan absis x 0 .

3. Makna fizikal terbitan.

Pertimbangkan pergerakan titik sepanjang garis lurus. Biarkan titik menyelaras pada bila-bila masa x(t) diberikan. Adalah diketahui (dari kursus fizik) bahawa kelajuan purata dalam tempoh masa adalah sama dengan nisbah jarak yang dilalui dalam tempoh masa ini kepada masa, i.e.

Vav = ∆x/∆t. Mari kita lulus ke had dalam kesamaan terakhir sebagai ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - kelajuan serta-merta pada masa t 0, ∆t → 0.

dan lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (mengikut takrif terbitan).

Jadi, (t) = x"(t).

Makna fizikal terbitan adalah seperti berikut: terbitan fungsiy = f(x) pada titik itux 0 ialah kadar perubahan fungsif(x) pada titikx 0

Derivatif digunakan dalam fizik untuk mencari kelajuan daripada fungsi koordinat yang diketahui dari masa, pecutan daripada fungsi kelajuan yang diketahui dari masa.

 (t) \u003d x "(t) - kelajuan,

a(f) = "(t) - pecutan, atau

Jika hukum pergerakan titik bahan di sepanjang bulatan diketahui, maka adalah mungkin untuk mencari halaju sudut dan pecutan sudut semasa gerakan putaran:

φ = φ(t) - perubahan sudut dengan masa,

ω \u003d φ "(t) - halaju sudut,

ε = φ"(t) - pecutan sudut, atau ε = φ"(t).

Jika hukum taburan untuk jisim rod tidak homogen diketahui, maka ketumpatan linear rod tidak homogen boleh didapati:

m \u003d m (x) - jisim,

x  , l - panjang batang,

p \u003d m "(x) - ketumpatan linear.

Dengan bantuan derivatif, masalah daripada teori keanjalan dan getaran harmonik diselesaikan. Ya, mengikut undang-undang Hooke

F = -kx, x – koordinat pembolehubah, k – pekali keanjalan spring. Meletakkan ω 2 \u003d k / m, kami memperoleh persamaan pembezaan pendulum spring x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

di mana ω = √k/√m ialah kekerapan ayunan (l/c), k ialah kadar spring (H/m).

Persamaan dalam bentuk y "+ ω 2 y \u003d 0 dipanggil persamaan ayunan harmonik (mekanikal, elektrik, elektromagnet). Penyelesaian kepada persamaan tersebut ialah fungsi

y = Asin(ωt + φ 0) atau y = Acos(ωt + φ 0), di mana

A - amplitud ayunan, ω - frekuensi kitaran,

φ 0 - fasa awal.

Apakah derivatif?
Definisi dan maksud terbitan bagi fungsi

Ramai yang akan terkejut dengan lokasi yang tidak dijangka artikel ini dalam kursus pengarang saya tentang terbitan fungsi satu pembolehubah dan aplikasinya. Lagipun, seperti dari sekolah: buku teks standard, pertama sekali, memberikan definisi derivatif, makna geometri dan mekanikalnya. Seterusnya, pelajar mencari derivatif fungsi mengikut definisi, dan, sebenarnya, barulah teknik pembezaan disempurnakan menggunakan jadual terbitan.

Tetapi dari sudut pandangan saya, pendekatan berikut adalah lebih pragmatik: pertama sekali, adalah dinasihatkan untuk MEMAHAMI DENGAN BAIK had fungsi, dan terutamanya infinitesimals. Hakikatnya ialah takrifan terbitan adalah berdasarkan konsep had, yang kurang dipertimbangkan dalam kursus sekolah. Itulah sebabnya sebahagian besar pengguna muda pengetahuan granit kurang menembusi intipati derivatif. Oleh itu, jika anda tidak mahir dalam kalkulus pembezaan, atau otak yang bijak telah berjaya menyingkirkan bagasi ini selama bertahun-tahun, sila mulakan dengan had fungsi. Pada masa yang sama kuasai / ingat keputusan mereka.

Pengertian praktikal yang sama menunjukkan bahawa ia menguntungkan terlebih dahulu belajar mencari derivatif, termasuk derivatif fungsi kompleks. Teori adalah teori, tetapi, seperti yang mereka katakan, anda sentiasa mahu membezakan. Dalam hal ini, adalah lebih baik untuk menyelesaikan pelajaran asas yang disenaraikan, dan mungkin menjadi induk pembezaan tanpa menyedari intipati tindakan mereka.

Saya mengesyorkan memulakan bahan di halaman ini selepas membaca artikel. Masalah paling mudah dengan derivatif, di mana, khususnya, masalah tangen kepada graf fungsi dipertimbangkan. Tetapi ia boleh ditangguhkan. Hakikatnya ialah banyak aplikasi derivatif tidak memerlukan pemahamannya, dan tidak menghairankan bahawa pelajaran teori muncul agak lewat - apabila saya perlu menjelaskan mencari selang peningkatan/penurunan dan ekstrem fungsi. Lebih-lebih lagi, dia berada dalam subjek itu untuk masa yang agak lama " Fungsi dan Graf”, sehingga saya memutuskan untuk memasukkannya lebih awal.

Oleh itu, teko yang dikasihi, jangan tergesa-gesa untuk menyerap intipati terbitan, seperti haiwan lapar, kerana ketepuan akan menjadi tawar dan tidak lengkap.

Konsep peningkatan, penurunan, maksimum, minimum fungsi

Banyak tutorial membawa kepada konsep derivatif dengan bantuan beberapa masalah praktikal, dan saya juga menghasilkan contoh yang menarik. Bayangkan kita perlu pergi ke bandar yang boleh dicapai dengan cara yang berbeza. Kami segera membuang laluan berliku melengkung, dan kami akan mempertimbangkan hanya garis lurus. Walau bagaimanapun, arah garis lurus juga berbeza: anda boleh pergi ke bandar di sepanjang autobahn rata. Atau di lebuh raya berbukit - atas dan bawah, atas dan bawah. Jalan lain hanya menanjak, dan satu lagi menurun sepanjang masa. Pencari keseronokan akan memilih laluan melalui gaung dengan tebing yang curam dan pendakian yang curam.

Tetapi apa sahaja pilihan anda, adalah wajar untuk mengetahui kawasan itu, atau sekurang-kurangnya mempunyai peta topografinya. Bagaimana jika tiada maklumat sedemikian? Lagipun, anda boleh memilih, sebagai contoh, laluan rata, tetapi akibatnya, tersandung pada cerun ski dengan orang Finland yang lucu. Bukan hakikat bahawa pelayar dan juga imej satelit akan memberikan data yang boleh dipercayai. Oleh itu, adalah baik untuk memformalkan pelepasan laluan melalui kaedah matematik.

Pertimbangkan beberapa jalan (pandangan sisi):

Untuk berjaga-jaga, saya mengingatkan anda tentang fakta asas: perjalanan itu berlaku dari kiri ke kanan. Untuk kesederhanaan, kami menganggap bahawa fungsi berterusan di kawasan yang dipertimbangkan.

Apakah ciri-ciri graf ini?

Pada selang waktu fungsi bertambah, iaitu setiap nilai seterusnya lebih yang sebelumnya. Secara kasarnya, jadual berjalan ke atas(kita panjat bukit). Dan pada selang fungsi semakin berkurangan- setiap nilai seterusnya kurang yang sebelumnya, dan jadual kami pergi atas bawah(turun cerun).

Mari kita juga memberi perhatian kepada mata khas. Pada titik yang kita sampai maksimum, itu dia wujud bahagian laluan sedemikian yang nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama, minimum, dan wujud seperti kejiranannya, di mana nilainya adalah yang paling kecil (paling rendah).

Istilah dan definisi yang lebih ketat akan dipertimbangkan dalam pelajaran. tentang keterlaluan fungsi, tetapi buat masa ini mari kita kaji satu lagi ciri penting: pada selang waktu fungsi semakin meningkat, tetapi semakin meningkat pada kelajuan yang berbeza. Dan perkara pertama yang menarik perhatian anda ialah carta melonjak naik pada selang waktu lebih keren daripada pada selang waktu. Adakah mungkin untuk mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematik?

Kadar perubahan fungsi

Ideanya ialah: ambil sedikit nilai (baca "delta x"), yang akan kami panggil pertambahan hujah, dan mari kita mulakan "mencubanya" ke pelbagai titik laluan kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: memintas jarak , kita mendaki cerun ke ketinggian (garisan hijau). Nilai itu dipanggil kenaikan fungsi, dan dalam kes ini kenaikan ini adalah positif (perbezaan nilai sepanjang paksi lebih besar daripada sifar). Mari kita buat nisbah , yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas sekali, ialah nombor yang sangat khusus, dan kerana kedua-dua kenaikan adalah positif, maka .

Perhatian! Jawatan adalah SATU simbol, iaitu, anda tidak boleh "mencabut" "delta" daripada "x" dan mempertimbangkan huruf ini secara berasingan. Sudah tentu, ulasan itu juga digunakan pada simbol kenaikan fungsi.

Mari kita terokai sifat pecahan yang terhasil dengan lebih bermakna. Katakan pada mulanya kita berada pada ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah mengatasi jarak meter (garisan merah kiri), kita akan berada pada ketinggian 60 meter. Kemudian kenaikan fungsi akan menjadi meter (garisan hijau) dan: . Dengan cara ini, pada setiap meter bahagian jalan ini ketinggian bertambah purata dengan 4 meter…adakah anda terlupa peralatan mendaki anda? =) Dalam erti kata lain, nisbah yang dibina mencirikan KADAR PURATA PERUBAHAN (dalam kes ini, pertumbuhan) fungsi.

Catatan : Nilai berangka contoh yang dipersoalkan sepadan dengan perkadaran lukisan hanya lebih kurang.

2) Sekarang mari kita pergi pada jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih lembut, jadi kenaikan (garis lembayung) agak kecil, dan nisbah berbanding kes sebelumnya akan agak sederhana. Secara relatifnya, meter dan kadar pertumbuhan fungsi ialah . Iaitu, di sini untuk setiap meter jalan yang ada purata setengah meter ke atas.

3) Sedikit pengembaraan di lereng gunung. Mari kita lihat titik hitam atas yang terletak pada paksi-y. Mari kita anggap bahawa ini adalah tanda 50 meter. Sekali lagi kami mengatasi jarak, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - pada tahap 30 meter. Sejak pergerakan telah dibuat atas bawah(dalam arah "bertentangan" paksi), kemudian yang terakhir kenaikan fungsi (ketinggian) akan menjadi negatif: meter (garisan coklat dalam lukisan). Dan dalam kes ini kita bercakap tentang kadar pereputan ciri-ciri: , iaitu, bagi setiap meter laluan bahagian ini, ketinggian berkurangan purata dengan 2 meter. Jaga pakaian pada titik kelima.

Sekarang mari kita tanya soalan: apakah nilai terbaik "standard pengukur" untuk digunakan? Jelas bahawa 10 meter adalah sangat kasar. Sedozen benjolan yang baik boleh dimuatkan dengan mudah padanya. Mengapa terdapat benjolan, mungkin terdapat gaung yang dalam di bawah, dan selepas beberapa meter - sisi lain dengan pendakian yang lebih curam. Oleh itu, dengan satu meter sepuluh, kita tidak akan mendapat ciri yang boleh difahami bagi bahagian laluan tersebut melalui nisbah.

Dari pembahasan di atas, kesimpulan sebagai berikut: semakin kecil nilainya, lebih tepat kita akan menerangkan kelegaan jalan raya. Selain itu, fakta berikut adalah benar:

– Bagi apa apa titik angkat anda boleh memilih nilai (walaupun nilai yang sangat kecil) yang sesuai dalam sempadan satu atau satu lagi kenaikan. Dan ini bermakna bahawa kenaikan ketinggian yang sepadan akan dijamin positif, dan ketidaksamaan akan menunjukkan pertumbuhan fungsi dengan betul pada setiap titik selang ini.

- Begitu juga, bagi apa apa titik cerun, terdapat nilai yang sesuai sepenuhnya pada cerun ini. Oleh itu, peningkatan ketinggian yang sepadan adalah negatif dengan jelas, dan ketaksamaan akan menunjukkan penurunan fungsi dengan betul pada setiap titik selang yang diberikan.

– Kepentingan tertentu adalah kes apabila kadar perubahan fungsi adalah sifar: . Pertama, kenaikan ketinggian sifar () ialah tanda laluan genap. Dan kedua, terdapat situasi aneh lain, contoh yang anda lihat dalam angka itu. Bayangkan bahawa nasib telah membawa kita ke puncak bukit dengan helang yang melayang atau dasar jurang dengan katak kuak. Jika anda mengambil langkah kecil ke mana-mana arah, maka perubahan ketinggian akan diabaikan, dan kita boleh mengatakan bahawa kadar perubahan fungsi sebenarnya adalah sifar. Corak yang sama diperhatikan pada titik.

Oleh itu, kami telah menghampiri peluang yang menakjubkan untuk mencirikan kadar perubahan fungsi dengan sempurna dengan tepat. Lagipun, analisis matematik membolehkan kita mengarahkan kenaikan hujah kepada sifar: iaitu, menjadikannya sangat kecil.

Akibatnya, satu lagi persoalan logik timbul: adakah mungkin untuk mencari jalan dan jadualnya fungsi lain, yang akan memberitahu kami tentang semua flat, naik bukit, turun bukit, puncak, tanah pamah, serta kadar kenaikan/penurunan pada setiap titik laluan?

Apakah derivatif? Definisi terbitan.
Makna geometri bagi terbitan dan pembezaan

Sila baca dengan teliti dan tidak terlalu cepat - bahannya mudah dan boleh diakses oleh semua orang! Tidak mengapa jika di sesetengah tempat ada sesuatu yang kelihatan tidak begitu jelas, anda sentiasa boleh kembali ke artikel itu kemudian. Saya akan mengatakan lebih lanjut, adalah berguna untuk mengkaji teori beberapa kali untuk memahami secara kualitatif semua perkara (nasihat itu sangat relevan untuk pelajar "teknikal", yang mana matematik yang lebih tinggi memainkan peranan penting dalam proses pendidikan).

Sememangnya, dalam definisi derivatif pada satu titik, kami akan menggantikannya dengan:

Apa yang telah kita datangi? Dan kami sampai pada kesimpulan bahawa untuk fungsi mengikut undang-undang adalah sejajar fungsi lain, yang dipanggil fungsi terbitan(atau hanya terbitan).

Derivatif mencirikan kadar perubahan fungsi . Bagaimana? Pemikiran berjalan seperti benang merah dari awal artikel. Pertimbangkan beberapa perkara domain fungsi . Biarkan fungsi boleh dibezakan pada titik tertentu. Kemudian:

1) Jika , maka fungsi bertambah pada titik . Dan jelas ada selang waktu(walaupun sangat kecil) mengandungi titik di mana fungsi berkembang, dan grafnya pergi "dari bawah ke atas".

2) Jika , maka fungsi berkurangan pada titik . Dan terdapat selang yang mengandungi titik di mana fungsi berkurangan (graf pergi "dari atas ke bawah").

3) Jika , maka dekat tak terhingga berhampiran titik, fungsi mengekalkan kelajuannya tetap. Ini berlaku, seperti yang dinyatakan, untuk fungsi-malar dan pada titik kritikal fungsi, khususnya pada titik minimum dan maksimum.

Beberapa semantik. Apakah maksud kata kerja "membezakan" dalam erti kata yang luas? Membezakan bermaksud memilih ciri. Membezakan fungsi , kita "memilih" kadar perubahannya dalam bentuk derivatif fungsi . Dan apa, dengan cara ini, yang dimaksudkan dengan perkataan "derivatif"? Fungsi berlaku daripada fungsi.

Istilah-istilah ini sangat berjaya mentafsirkan makna mekanikal terbitan :
Mari kita pertimbangkan undang-undang perubahan koordinat badan, yang bergantung pada masa, dan fungsi kelajuan gerakan badan yang diberikan. Fungsi ini mencirikan kadar perubahan koordinat badan, oleh itu ia merupakan terbitan pertama bagi fungsi berkenaan dengan masa: . Sekiranya konsep "gerakan badan" tidak wujud dalam alam semula jadi, maka tidak akan wujud terbitan konsep "halaju".

Pecutan badan ialah kadar perubahan kelajuan, oleh itu: . Sekiranya konsep asal "pergerakan badan" dan "kelajuan pergerakan badan" tidak wujud dalam alam semula jadi, maka tidak akan ada terbitan konsep pecutan badan.

Apabila seseorang telah mengambil langkah bebas pertama dalam kajian analisis matematik dan mula bertanya soalan yang tidak selesa, tidak lagi mudah untuk menyingkirkan frasa bahawa "kalkulus pembezaan ditemui dalam kubis." Oleh itu, sudah tiba masanya untuk menentukan dan menyelesaikan misteri kelahiran jadual terbitan dan peraturan pembezaan. Bermula dalam artikel tentang maksud terbitan, yang sangat saya syorkan untuk kajian, kerana di sana kami hanya mempertimbangkan konsep terbitan dan mula mengklik tugasan pada topik tersebut. Pelajaran yang sama mempunyai orientasi praktikal yang jelas, lebih-lebih lagi,

contoh yang dipertimbangkan di bawah, pada dasarnya, boleh dikuasai secara formal semata-mata (contohnya, apabila tiada masa / keinginan untuk mendalami intipati terbitan). Ia juga sangat wajar (tetapi sekali lagi tidak perlu) untuk dapat mencari derivatif menggunakan kaedah "biasa" - sekurang-kurangnya pada tahap dua kelas asas: Bagaimana untuk mencari terbitan? dan Terbitan bagi fungsi kompleks.

Tetapi tanpa sesuatu, yang kini sememangnya amat diperlukan, ia tiada had fungsi. Anda mesti FAHAM apa itu had dan boleh menyelesaikannya, sekurang-kurangnya pada tahap pertengahan. Dan semua kerana derivatif

fungsi pada satu titik ditakrifkan oleh formula:

Saya mengingatkan anda tentang sebutan dan istilah: mereka memanggil pertambahan hujah;

– peningkatan fungsi;

- ini adalah simbol TUNGGAL ("delta" tidak boleh "diputuskan" daripada "X" atau "Y").

Jelas sekali, ialah pembolehubah "dinamik", adalah pemalar dan hasil pengiraan had - nombor (kadang-kadang - "tambah" atau "tolak" infiniti).

Sebagai asas, anda boleh mempertimbangkan SEBARANG nilai yang dimiliki domain fungsi yang mempunyai terbitan.

Nota: klausa "di mana terbitan wujud" - secara amnya ketara.! Jadi, sebagai contoh, titik, walaupun ia memasuki domain fungsi, tetapi terbitan

tidak wujud di sana. Oleh itu formula

tidak terpakai pada titik itu

dan perkataan yang dipendekkan tanpa tempahan adalah salah. Fakta serupa juga sah untuk fungsi lain dengan "pecah" dalam graf, khususnya, untuk arcsine dan arccosine.

Oleh itu, selepas menggantikan , kami memperoleh formula kerja kedua:

Beri perhatian kepada keadaan berbahaya yang boleh mengelirukan teko: dalam had ini, "x", sebagai pembolehubah bebas, memainkan peranan tambahan, dan "dinamik" sekali lagi ditetapkan oleh kenaikan. Hasil pengiraan had

ialah fungsi terbitan.

Berdasarkan perkara di atas, kami merumuskan syarat dua masalah biasa:

- Cari derivatif pada satu titik menggunakan definisi terbitan.

- Cari fungsi terbitan menggunakan definisi terbitan. Versi ini, mengikut pemerhatian saya, berlaku lebih kerap dan akan diberi perhatian utama.

Perbezaan asas antara tugas adalah bahawa dalam kes pertama ia diperlukan untuk mencari nombor (pilihan infiniti), dan dalam yang kedua

fungsi . Di samping itu, terbitan mungkin tidak wujud sama sekali.

bagaimana?

Buat nisbah dan hitung had.

Di manakah jadual terbitan dan peraturan pembezaan ? Dengan satu had

Nampak macam sihir, tapi

realiti - silap mata dan tiada penipuan. Pada pelajaran Apakah derivatif? Saya mula mempertimbangkan contoh khusus, di mana, menggunakan definisi, saya menemui terbitan fungsi linear dan kuadratik. Untuk tujuan pemanasan kognitif, kami akan terus mengganggu jadual terbitan, mengasah algoritma dan penyelesaian teknikal:

Malah, ia diperlukan untuk membuktikan kes khas terbitan fungsi kuasa, yang biasanya muncul dalam jadual: .

Penyelesaiannya secara teknikal diformalkan dalam dua cara. Mari kita mulakan dengan pendekatan pertama yang sudah biasa: tangga bermula dengan papan, dan fungsi terbitan bermula dengan terbitan pada satu titik.

Pertimbangkan beberapa titik (konkrit) kepunyaan domain fungsi yang mempunyai terbitan. Tetapkan kenaikan pada ketika ini (sudah tentu, tidak melampaui o / o - z) dan susun kenaikan fungsi yang sepadan:

Mari kita mengira had:

Ketidakpastian 0:0 dihapuskan dengan teknik standard yang dianggap sejak abad pertama SM. membiak

pengangka dan penyebut bagi setiap ungkapan bersebelahan :

Teknik untuk menyelesaikan had tersebut dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran pengenalan. tentang had fungsi.

Oleh kerana SEBARANG titik selang boleh dipilih sebagai

Kemudian, dengan menggantikan, kita mendapat:

Sekali lagi, mari kita bergembira dengan logaritma:

Cari terbitan bagi fungsi menggunakan definisi terbitan

Penyelesaian: Mari kita pertimbangkan pendekatan yang berbeza untuk memutarkan tugas yang sama. Ia betul-betul sama, tetapi lebih rasional dari segi reka bentuk. Ideanya adalah untuk menyingkirkan

subskrip dan gunakan huruf dan bukannya surat.

Pertimbangkan perkara sewenang-wenangnya domain fungsi (selang waktu), dan tetapkan kenaikan di dalamnya. Dan di sini, dengan cara ini, seperti dalam kebanyakan kes, anda boleh melakukannya tanpa sebarang tempahan, kerana fungsi logaritma boleh dibezakan pada mana-mana titik dalam domain definisi.

Kemudian kenaikan fungsi yang sepadan ialah:

Mari cari derivatif:

Kesederhanaan reka bentuk diseimbangkan oleh kekeliruan, yang boleh

timbul pada pemula (dan bukan sahaja). Lagipun, kita sudah biasa dengan fakta bahawa huruf "X" berubah dalam had! Tetapi di sini semuanya berbeza: - patung antik, dan - pelawat yang masih hidup, berjalan pantas di sepanjang koridor muzium. Iaitu, "x" adalah "seperti pemalar".

Saya akan mengulas mengenai penghapusan ketidakpastian langkah demi langkah:

(1) Menggunakan sifat logaritma.

(2) Bahagikan pengangka dengan penyebut dalam kurungan.

(3) Dalam penyebut kita secara buatan darab dan bahagi dengan "x" supaya

mengambil kesempatan daripada yang indah , manakala sebagai sangat kecil membuat persembahan.

Jawapan: Mengikut definisi derivatif:

Atau ringkasnya:

Saya bercadang untuk membina dua lagi formula jadual secara bebas:

Cari derivatif mengikut takrifan

Dalam kes ini, kenaikan terkumpul mudah untuk dikurangkan kepada penyebut biasa. Contoh anggaran tugasan pada akhir pelajaran (kaedah pertama).

Cari derivatif mengikut takrifan

Dan di sini segala-galanya mesti dikurangkan kepada had yang luar biasa. Penyelesaiannya dibingkai dengan cara kedua.

Begitu juga, beberapa yang lain derivatif jadual. Senarai lengkap boleh didapati dalam buku teks sekolah, atau, sebagai contoh, jilid pertama Fichtenholtz. Saya tidak nampak banyak gunanya menulis semula daripada buku dan bukti peraturan pembezaan - ia juga dihasilkan

formula .

Mari kita beralih kepada tugas kehidupan sebenar: Contoh 5

Cari terbitan bagi suatu fungsi , menggunakan takrif terbitan

Penyelesaian: gunakan gaya pertama. Mari kita pertimbangkan beberapa perkara yang dimiliki, dan tetapkan kenaikan hujah di dalamnya. Kemudian kenaikan fungsi yang sepadan ialah:

Mungkin sebilangan pembaca masih belum memahami sepenuhnya prinsip yang perlu dibuat kenaikan harga. Kami mengambil satu titik (nombor) dan mencari nilai fungsi di dalamnya: , iaitu, ke dalam fungsi

bukannya "x" harus diganti. Sekarang kita ambil

Peningkatan Fungsi Tersusun ia berfaedah untuk segera dipermudahkan. Untuk apa? Memudahkan dan memendekkan penyelesaian had selanjutnya.

Kami menggunakan formula, kurungan terbuka dan mengurangkan semua yang boleh dikurangkan:

Ayam belanda habis, tiada masalah dengan panggang:

Akhirnya:

Memandangkan sebarang nombor nyata boleh dipilih sebagai kualiti, kami membuat penggantian dan mendapat .

Jawapan: mengikut takrifan.

Untuk tujuan pengesahan, kami mencari derivatif menggunakan peraturan

pembezaan dan jadual:

Ia sentiasa berguna dan menyenangkan untuk mengetahui jawapan yang betul terlebih dahulu, jadi adalah lebih baik untuk secara mental atau pada draf membezakan fungsi yang dicadangkan dengan cara "cepat" pada permulaan penyelesaian.

Cari terbitan bagi suatu fungsi dengan takrif terbitan itu

Ini adalah contoh buat sendiri. Hasilnya terletak pada permukaan:

Kembali ke Gaya #2: Contoh 7

Mari kita ketahui segera apa yang sepatutnya berlaku. Oleh peraturan pembezaan fungsi kompleks:

Keputusan: pertimbangkan titik sewenang-wenangnya, tetapkan kenaikan hujah di dalamnya dan buat kenaikan

Mari cari derivatif:

(1) Kami menggunakan formula trigonometri

(2) Di bawah sinus kita membuka kurungan, di bawah kosinus kita memberikan istilah seperti.

(3) Di bawah sinus kita mengurangkan sebutan, di bawah kosinus kita membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan.

(4) Oleh kerana keganjilan sinus, kami mengeluarkan "tolak". Di bawah kosinus

menunjukkan bahawa istilah .

(5) Kami mendarabkan penyebut untuk digunakan secara buatan had indah pertama. Oleh itu, ketidakpastian dihapuskan, kami menyisir hasilnya.

Jawapan: mengikut definisi Seperti yang anda lihat, kesukaran utama masalah yang sedang dipertimbangkan terletak pada

kerumitan had itu sendiri + sedikit keaslian pembungkusan. Dalam amalan, kedua-dua kaedah reka bentuk ditemui, jadi saya menerangkan kedua-dua pendekatan dengan seberapa terperinci yang mungkin. Ia adalah setara, tetapi masih, dalam tanggapan subjektif saya, adalah lebih suai manfaat untuk dummies untuk berpegang pada pilihan pertama dengan "X sifar".

Menggunakan takrifan, cari terbitan bagi fungsi tersebut

Ini adalah tugas untuk keputusan bebas. Sampel diformat dalam semangat yang sama seperti contoh sebelumnya.

Mari analisa versi masalah yang jarang berlaku:

Cari terbitan fungsi pada satu titik menggunakan takrif terbitan.

Pertama, apa yang sepatutnya menjadi garis bawah? Nombor Kira jawapan mengikut cara standard:

Keputusan: dari sudut pandangan kejelasan, tugas ini lebih mudah, kerana dalam formula bukannya

dianggap sebagai nilai tertentu.

Kami menetapkan kenaikan pada titik dan mengarang kenaikan fungsi yang sepadan:

Kira terbitan pada satu titik:

Kami menggunakan formula yang sangat jarang berlaku untuk perbezaan tangen dan untuk kesekian kalinya kami mengurangkan penyelesaian kepada yang pertama

had yang menakjubkan:

Jawapan: mengikut takrifan terbitan pada satu titik.

Tugas itu tidak begitu sukar untuk diselesaikan dan "secara umum" - sudah cukup untuk menggantikan paku atau semata-mata, bergantung pada kaedah reka bentuk. Dalam kes ini, sudah tentu, anda tidak mendapat nombor, tetapi fungsi derivatif.

Contoh 10 Menggunakan definisi, cari terbitan bagi suatu fungsi pada titik

Ini adalah contoh buat sendiri.

Tugas bonus terakhir ditujukan terutamanya untuk pelajar yang mempunyai kajian mendalam tentang analisis matematik, tetapi ia tidak akan merugikan orang lain sama ada:

Adakah fungsi itu boleh dibezakan pada titik itu?

Penyelesaian: Adalah jelas bahawa fungsi yang diberikan sekeping adalah berterusan pada satu titik, tetapi adakah ia boleh dibezakan di sana?

Algoritma penyelesaian, dan bukan sahaja untuk fungsi sekeping, adalah seperti berikut:

1) Cari terbitan kiri pada titik tertentu: .

2) Cari terbitan kanan pada titik yang diberi: .

3) Jika terbitan satu sisi adalah terhingga dan bertepatan:

, maka fungsi itu boleh dibezakan pada titik dan

dari segi geometri, terdapat tangen sepunya di sini (lihat bahagian teori pelajaran Definisi dan maksud terbitan).

Jika dua nilai berbeza diterima: (satu daripadanya mungkin tidak terhingga), maka fungsi itu tidak boleh dibezakan pada satu titik.

Jika kedua-dua terbitan satu sisi adalah sama dengan infiniti

(walaupun mereka mempunyai tanda yang berbeza), maka fungsi itu tidak

boleh dibezakan pada satu titik, tetapi wujud terbitan tak terhingga dan tangen menegak sepunya pada graf (lihat Contoh 5 pelajaranPersamaan Normal) .