Formula janjang algebra. Konsep janjang aritmetik

Janjang aritmetik dan geometri

Maklumat teori

Maklumat teori

	Janjang aritmetik	Janjang geometri
Definisi	Janjang aritmetik a n satu urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan ahli sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama d (d- perbezaan perkembangan)	janjang geometri b n urutan nombor bukan sifar dipanggil, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan sebutan sebelumnya didarab dengan nombor yang sama q (q- penyebut janjang)
Formula berulang	Untuk mana-mana semula jadi n a n + 1 = a n + d	Untuk mana-mana semula jadi n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
formula penggal ke-n	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
sifat ciri
Jumlah n sebutan pertama

Contoh tugasan dengan ulasan

Latihan 1

DALAM janjang aritmetik (a n) a 1 = -6, a 2

Mengikut formula sebutan ke-n:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21h

Mengikut syarat:

a 1= -6, jadi a 22= -6 + 21h.

Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan janjang:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Jawapan: a 22 = -48.

Tugasan 2

Cari sebutan kelima janjang geometri: -3; 6;....

Cara pertama (menggunakan formula jangka-n)

Mengikut formula ahli ke-n bagi janjang geometri:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Kerana b 1 = -3,

Cara kedua (menggunakan formula rekursif)

Oleh kerana penyebut janjang itu ialah -2 (q = -2), maka:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Jawapan: b 5 = -48.

Tugasan 3

Dalam janjang aritmetik ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Cari sebutan ketujuh puluh lima janjang ini.

Untuk janjang aritmetik, sifat ciri mempunyai bentuk .

Oleh itu:

Gantikan data dalam formula:

Jawapan: 95.

Tugasan 4

Dalam janjang aritmetik ( a n ) a n= 3n - 4. Cari hasil tambah tujuh belas sebutan pertama.

Untuk mencari hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik, dua formula digunakan:

Yang mana satu dalam kes ini lebih senang digunakan?

Mengikut syarat, formula ahli ke-n bagi janjang asal diketahui ( a n) a n= 3n - 4. Boleh didapati dengan segera dan a 1, Dan a 16 tanpa menemui d. Oleh itu, kami menggunakan formula pertama.

Jawapan: 368.

Tugasan 5

Dalam janjang aritmetik a n) a 1 = -6; a 2= -8. Cari sebutan dua puluh dua janjang itu.

Mengikut formula sebutan ke-n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21h.

Dengan syarat, jika a 1= -6, maka a 22= -6 + 21h. Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan janjang:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Jawapan: a 22 = -48.

Tugasan 6

Beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang geometri direkodkan:

Cari sebutan janjang itu, yang dilambangkan dengan huruf x .

Apabila menyelesaikan, kami menggunakan formula untuk sebutan ke-n b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 untuk janjang geometri. Ahli pertama perkembangan. Untuk mencari penyebut janjang q, anda perlu mengambil mana-mana sebutan janjang ini dan bahagikan dengan yang sebelumnya. Dalam contoh kami, anda boleh mengambil dan membahagi dengan. Kami mendapat q \u003d 3. Daripada n, kami menggantikan 3 dalam formula, kerana perlu mencari sebutan ketiga bagi janjang geometri yang diberikan.

Menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula, kami mendapat:

Jawapan : .

Tugasan 7

Daripada janjang aritmetik, diberikan oleh formula penggal ke-n, pilih satu yang syaratnya dipenuhi a 27 > 9:

Memandangkan syarat yang dinyatakan mesti dipenuhi untuk sebutan ke-27 janjang, kami menggantikan 27 dan bukannya n dalam setiap empat janjang. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapat:

Jawapan: 4.

Tugasan 8

Dalam janjang aritmetik a 1= 3, d = -1.5. Nyatakan nilai tertinggi n , yang mana ketaksamaan a n > -6.

Jumlah janjang aritmetik.

Jumlah janjang aritmetik adalah perkara yang mudah. Baik dari segi makna mahupun dalam formula. Tetapi terdapat pelbagai tugas mengenai topik ini. Dari asas hingga agak kukuh.

Pertama, mari kita berurusan dengan maksud dan formula jumlah. Dan kemudian kita akan membuat keputusan. Untuk kesenangan anda sendiri.) Maksud jumlah adalah semudah merendahkan. Untuk mencari jumlah janjang aritmetik, anda hanya perlu menambah semua ahlinya dengan teliti. Jika syarat ini sedikit, anda boleh menambah tanpa sebarang formula. Tetapi jika terdapat banyak, atau banyak ... penambahan adalah menjengkelkan.) Dalam kes ini, formula menjimatkan.

Formula jumlahnya mudah:

Mari kita fikirkan jenis huruf yang termasuk dalam formula. Ini akan menjelaskan banyak perkara.

S n ialah hasil tambah suatu janjang aritmetik. Hasil penambahan semua ahli, dengan pertama Oleh terakhir. Ia penting. Tambah tepat Semua ahli dalam satu baris, tanpa celah dan lompatan. Dan, tepatnya, bermula dari pertama. Dalam masalah seperti mencari jumlah sebutan ketiga dan kelapan, atau jumlah sebutan lima hingga kedua puluh, penggunaan formula secara langsung akan mengecewakan.)

a 1 - pertama ahli kemajuan. Semuanya jelas di sini, ia mudah pertama nombor baris.

a n- terakhir ahli kemajuan. Nombor terakhir baris. Bukan nama yang sangat biasa, tetapi, apabila digunakan pada jumlahnya, ia sangat sesuai. Kemudian anda akan melihat sendiri.

n ialah nombor ahli terakhir. Adalah penting untuk memahami bahawa dalam formula nombor ini bertepatan dengan bilangan istilah tambahan.

Mari kita tentukan konsepnya terakhir ahli a n. Soalan pengisian: ahli jenis apa yang akan terakhir, jika diberi tidak berkesudahan janjang aritmetik?

Untuk jawapan yang yakin, anda perlu memahami maksud asas janjang aritmetik dan ... baca tugasan dengan teliti!)

Dalam tugas mencari jumlah janjang aritmetik, sebutan terakhir sentiasa muncul (secara langsung atau tidak langsung), yang sepatutnya terhad. Jika tidak, jumlah tertentu yang terhad cuma tak wujud. Untuk penyelesaian, tidak kira jenis kemajuan yang diberikan: terhingga atau tidak terhingga. Tidak kira bagaimana ia diberikan: dengan satu siri nombor, atau dengan formula ahli ke-n.

Perkara yang paling penting ialah memahami bahawa formula berfungsi dari sebutan pertama janjang kepada istilah dengan nombor n. Sebenarnya, nama penuh formula kelihatan seperti ini: hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik. Bilangan ahli pertama ini, i.e. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua maklumat berharga ini sering disulitkan, ya ... Tetapi tiada apa-apa, dalam contoh di bawah kami akan mendedahkan rahsia ini.)

Contoh tugasan untuk jumlah janjang aritmetik.

Pertama sekali, maklumat yang berguna:

Kesukaran utama dalam tugasan untuk jumlah janjang aritmetik ialah penentuan yang betul bagi unsur-unsur formula.

Pengarang tugasan menyulitkan unsur-unsur ini dengan imaginasi yang tidak terbatas.) Perkara utama di sini ialah jangan takut. Memahami intipati unsur-unsur, cukup hanya untuk menguraikannya. Mari kita lihat beberapa contoh secara terperinci. Mari kita mulakan dengan tugas berdasarkan GIA sebenar.

1. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a n = 2n-3.5. Cari hasil tambah 10 sebutan pertama.

Syabas. Mudah.) Untuk menentukan jumlah mengikut formula, apa yang kita perlu tahu? Ahli pertama a 1, terma akhir a n, ya nombor penggal terakhir n.

Mana nak dapat nombor ahli terakhir n? Ya, di tempat yang sama, dalam keadaan! Ia mengatakan cari jumlahnya 10 ahli pertama. Nah, berapa nombornya terakhir, ahli kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nombornya adalah kesepuluh!) Oleh itu, bukannya a n kita akan gantikan ke dalam formula a 10, tetapi sebaliknya n- sepuluh. Sekali lagi, bilangan ahli terakhir adalah sama dengan bilangan ahli.

Ia masih perlu ditentukan a 1 Dan a 10. Ini mudah dikira dengan formula sebutan ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana untuk melakukannya? Lawati pelajaran sebelumnya, tanpa ini - tiada apa-apa.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

Kami mendapati maksud semua unsur formula untuk jumlah janjang aritmetik. Ia kekal untuk menggantikannya, dan mengira:

Itu sahaja yang ada. Jawapan: 75.

Satu lagi tugas berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diberi janjang aritmetik (a n), bezanya ialah 3.7; a 1 \u003d 2.3. Cari hasil tambah 15 sebutan pertama.

Kami segera menulis formula jumlah:

Formula ini membolehkan kita mencari nilai mana-mana ahli dengan nombornya. Kami sedang mencari penggantian mudah:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Ia kekal untuk menggantikan semua unsur dalam formula untuk jumlah janjang aritmetik dan mengira jawapannya:

Jawapan: 423.

By the way, jika dalam formula jumlah bukannya a n cuma gantikan formula sebutan ke-n, kita dapat:

Kami memberikan yang serupa, kami mendapat formula baharu untuk jumlah ahli janjang aritmetik:

Seperti yang anda lihat, tidak ada keperluan ahli ke- a n. Dalam sesetengah tugas, formula ini banyak membantu, ya ... Anda boleh ingat formula ini. Dan ia mungkin dalam saat yang tepat mudah untuk membawanya keluar, seperti di sini. Lagipun, formula untuk jumlah dan formula untuk sebutan ke-n mesti diingat dalam semua cara.)

Sekarang tugas dalam bentuk penyulitan pendek):

3. Cari hasil tambah semua positif nombor dua digit, gandaan tiga.

Bagaimana! Tiada ahli pertama, tiada terakhir, tiada kemajuan sama sekali... Bagaimana untuk hidup!?

Anda perlu berfikir dengan kepala anda dan menarik keluar dari syarat semua elemen hasil tambah janjang aritmetik. Apakah nombor dua digit - kita tahu. Mereka terdiri daripada dua nombor.) Apakah nombor dua digit yang akan pertama? 10, mungkin.) perkara terakhir nombor dua digit? 99, sudah tentu! Tiga angka akan mengikutinya ...

Gandaan tiga... Hm... Ini adalah nombor yang boleh dibahagi sama rata dengan tiga, di sini! Sepuluh tidak boleh dibahagikan dengan tiga, 11 tidak boleh bahagi... 12... boleh bahagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah boleh menulis satu siri mengikut keadaan masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Adakah siri ini akan menjadi janjang aritmetik? Sudah tentu! Setiap istilah berbeza daripada yang sebelumnya hanya dengan tiga. Jika 2, atau 4, ditambah pada istilah, katakan, hasilnya, i.e. nombor baharu tidak lagi akan dibahagikan dengan 3. Anda boleh segera menentukan perbezaan janjang aritmetik kepada timbunan: d = 3. Berguna!)

Jadi, kita boleh menulis beberapa parameter kemajuan dengan selamat:

Apa yang akan menjadi nombor n ahli terakhir? Sesiapa yang berpendapat bahawa 99 adalah tersilap maut ... Nombor - mereka sentiasa berturut-turut, dan ahli kami melompat ke atas tiga teratas. Mereka tidak sepadan.

Terdapat dua penyelesaian di sini. Salah satu cara adalah untuk yang sangat rajin. Anda boleh melukis janjang, keseluruhan siri nombor dan mengira bilangan sebutan dengan jari anda.) Cara kedua adalah untuk mereka yang bertimbang rasa. Anda perlu ingat formula untuk penggal ke-n. Jika formula digunakan untuk masalah kita, kita mendapat bahawa 99 adalah ahli ketiga puluh perkembangan. Itu. n = 30.

Kami melihat formula untuk jumlah janjang aritmetik:

Kami melihat dan bergembira.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk mengira jumlah dari keadaan masalah:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Apa yang tinggal ialah aritmetik asas. Gantikan nombor dalam formula dan hitung:

Jawapan: 1665

Satu lagi jenis teka-teki popular:

4. Janjang aritmetik diberikan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Cari hasil tambah sebutan dari kedua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat formula jumlah dan ... kami kecewa.) Formula, biar saya ingatkan anda, mengira jumlahnya dari yang pertama ahli. Dan dalam masalah anda perlu mengira jumlahnya sejak dua puluh... Formula tidak akan berfungsi.

Anda boleh, tentu saja, melukis keseluruhan perkembangan berturut-turut, dan meletakkan ahli dari 20 hingga 34. Tetapi ... entah bagaimana ia ternyata bodoh dan untuk masa yang lama, bukan?)

Terdapat penyelesaian yang lebih elegan. Mari pecahkan siri kami kepada dua bahagian. Bahagian pertama akan dari penggal pertama hingga kesembilan belas. Bahagian kedua - dua puluh hingga tiga puluh empat. Adalah jelas bahawa jika kita mengira jumlah syarat bahagian pertama S 1-19, mari tambahkannya kepada jumlah ahli bahagian kedua S 20-34, kita mendapat jumlah janjang dari penggal pertama hingga ke tiga puluh empat S 1-34. seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ini menunjukkan bahawa untuk mencari jumlah S 20-34 boleh penolakan mudah

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua-dua jumlah di sebelah kanan dipertimbangkan dari yang pertama ahli, i.e. terpakai kepada mereka formula standard jumlah. Adakah kita bermula?

Kami mengekstrak parameter kemajuan daripada keadaan tugas:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Untuk mengira jumlah bagi 19 dan 34 sebutan pertama, kita memerlukan sebutan ke-19 dan ke-34. Kami mengiranya mengikut formula sebutan ke-n, seperti dalam masalah 2:

a 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

a 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

Tiada apa yang tinggal. Kurangkan jumlah 19 sebutan daripada jumlah 34 sebutan:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Jawapan: 262.5

satu Nota PENTING! Terdapat ciri yang sangat berguna dalam menyelesaikan masalah ini. Daripada pengiraan langsung apa yang anda perlukan (S 20-34), kami mengira apa, nampaknya, tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka bertekad S 20-34, membuang yang tidak perlu daripada hasil penuh. "Tipuan dengan telinga" sedemikian sering menyelamatkan teka-teki jahat.)

Dalam pelajaran ini, kita telah mengkaji masalah yang cukup untuk memahami maksud jumlah janjang aritmetik. Nah, anda perlu tahu beberapa formula.)

nasihat praktikal:

Apabila menyelesaikan sebarang masalah untuk jumlah janjang aritmetik, saya mengesyorkan segera menulis dua formula utama daripada topik ini.

Formula sebutan ke-n:

Formula ini akan segera memberitahu anda apa yang perlu dicari, ke arah mana untuk difikirkan untuk menyelesaikan masalah. Membantu.

Dan kini tugas untuk penyelesaian bebas.

5. Cari hasil tambah semua nombor dua digit yang tidak boleh dibahagi dengan tiga.

Hebat?) Petunjuk tersembunyi dalam nota kepada masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari hasil tambah bagi 24 sebutan pertama.

Luar biasa?) Ini formula berulang. Anda boleh membaca tentangnya dalam pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan pautan itu, teka-teki seperti itu sering dijumpai di GIA.

7. Vasya menyimpan wang untuk Percutian. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang paling dikasihi (saya sendiri) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menafikan diri sendiri. Luangkan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih pada setiap hari berikutnya daripada pada hari sebelumnya! Sampai duit habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Adakah ia sukar?) Formula tambahan daripada tugasan 2 akan membantu.

Jawapan (bercelaru): 7, 3240, 6.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Sebagai contoh, urutan \(2\); \(5\); \(8\); \(sebelas\); \(14\)… ialah janjang aritmetik, kerana setiap elemen seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan tiga (boleh diperoleh daripada yang sebelumnya dengan menambah tiga):

Dalam janjang ini, perbezaan \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), dan oleh itu setiap sebutan seterusnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya. Perkembangan sedemikian dipanggil semakin meningkat.

Walau bagaimanapun, \(d\) juga boleh nombor negatif. Sebagai contoh, dalam janjang aritmetik \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… perbezaan janjang \(d\) adalah sama dengan tolak enam.

Dan dalam kes ini, setiap elemen seterusnya akan menjadi kurang daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil semakin berkurangan.

tatatanda janjang aritmetik

Kemajuan dilambangkan dengan huruf Latin kecil.

Nombor yang membentuk janjang dipanggil ahli(atau unsur-unsur).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan janjang aritmetik, tetapi dengan indeks berangka yang sama dengan nombor unsur mengikut urutan.

Sebagai contoh, janjang aritmetik \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri daripada unsur \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.

Dalam erti kata lain, untuk janjang \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Menyelesaikan masalah pada janjang aritmetik

Pada dasarnya, maklumat di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah pada janjang aritmetik (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan \(b_1=7; d=4\). Cari \(b_5\).
Penyelesaian:

Jawapan: \(b_5=23\)

Contoh (OGE). Tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik diberikan: \(62; 49; 36…\) Cari nilai sebutan negatif pertama janjang ini..
Penyelesaian:

	Kami diberi elemen pertama jujukan dan mengetahui bahawa ia adalah janjang aritmetik. Iaitu, setiap elemen berbeza daripada yang jiran dengan nombor yang sama. Ketahui yang mana satu dengan menolak yang sebelumnya daripada elemen seterusnya: \(d=49-62=-13\).
	Sekarang kita boleh memulihkan perkembangan kita kepada elemen (negatif pertama) yang dikehendaki.
	sedia. Anda boleh menulis jawapan.

Jawapan: \(-3\)

Contoh (OGE). Beberapa unsur berturutan bagi janjang aritmetik diberikan: \(...5; x; 10; 12.5...\) Cari nilai unsur yang dilambangkan dengan huruf \(x\).
Penyelesaian:

	Untuk mencari \(x\), kita perlu tahu berapa banyak unsur seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya, dengan kata lain, perbezaan janjang. Mari cari daripada dua unsur jiran yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\).
	Dan sekarang kita dapati apa yang kita cari tanpa sebarang masalah: \(x=5+2.5=7.5\).
	sedia. Anda boleh menulis jawapan.

Jawapan: \(7,5\).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik diberi syarat berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Cari hasil tambah enam sebutan pertama janjang ini.
Penyelesaian:

Kita perlu mencari jumlah enam sebutan pertama janjang itu. Tetapi kita tidak tahu maksudnya, kita diberi hanya unsur pertama. Oleh itu, kami mula-mula mengira nilai-nilai secara bergilir-gilir, menggunakan yang diberikan kepada kami:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Dan setelah mengira enam elemen yang kita perlukan, kita dapati jumlahnya.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Jumlah yang diminta telah ditemui.

Jawapan: \(S_6=9\).

Contoh (OGE). Dalam janjang aritmetik \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Cari perbezaan janjang ini.
Penyelesaian:

Jawapan: \(d=7\).

Formula Kemajuan Aritmetik Penting

Seperti yang anda lihat, banyak masalah janjang aritmetik boleh diselesaikan hanya dengan memahami perkara utama - bahawa janjang aritmetik ialah rantai nombor, dan setiap elemen seterusnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambah nombor yang sama kepada yang sebelumnya (perbezaan daripada perkembangan).

Walau bagaimanapun, kadang-kadang terdapat situasi apabila ia sangat menyusahkan untuk menyelesaikan "di dahi". Sebagai contoh, bayangkan bahawa dalam contoh pertama, kita tidak perlu mencari elemen kelima \(b_5\), tetapi tiga ratus lapan puluh enam \(b_(386)\). Apakah itu, kita \ (385 \) kali untuk menambah empat? Atau bayangkan bahawa dalam contoh terakhir, anda perlu mencari jumlah tujuh puluh tiga elemen pertama. Mengira mengelirukan...

Oleh itu, dalam kes sedemikian, mereka tidak menyelesaikan "di dahi", tetapi menggunakan formula khas yang diperoleh untuk janjang aritmetik. Dan yang utama ialah formula untuk sebutan ke-n bagi janjang dan formula untuk jumlah \(n\) bagi sebutan pertama.

Formula untuk \(n\)ahli ke-: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) ialah ahli pertama janjang;
\(n\) – nombor elemen yang diperlukan;
\(a_n\) ialah ahli janjang dengan nombor \(n\).

Formula ini membolehkan kita mencari dengan cepat sekurang-kurangnya tiga ratus, malah unsur kejuta, hanya mengetahui perbezaan pertama dan janjang.

Contoh. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Cari \(b_(246)\).
Penyelesaian:

Jawapan: \(b_(246)=1850\).

Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama ialah: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana

\(a_n\) ialah sebutan terakhir;

Contoh (OGE). Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan \(a_n=3.4n-0.6\). Cari hasil tambah bagi sebutan \(25\) pertama bagi janjang ini.
Penyelesaian:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Untuk mengira jumlah dua puluh lima elemen pertama, kita perlu mengetahui nilai sebutan pertama dan dua puluh lima. Kemajuan kami diberikan oleh formula sebutan ke-n bergantung pada bilangannya (lihat butiran). Mari kita hitung elemen pertama dengan menggantikan \(n\) dengan satu.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		Sekarang mari kita cari sebutan kedua puluh lima dengan menggantikan dua puluh lima bukannya \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		Nah, sekarang kami mengira jumlah yang diperlukan tanpa sebarang masalah.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Jawapannya sudah sedia.

Jawapan: \(S_(25)=1090\).

Untuk jumlah \(n\) sebutan pertama, anda boleh mendapatkan formula lain: anda hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) bukannya \(a_n\) gantikan formula untuknya \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:

Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama ialah: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

\(S_n\) – jumlah yang diperlukan \(n\) bagi elemen pertama;
\(a_1\) ialah sebutan pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbezaan janjang;
\(n\) - bilangan unsur dalam jumlah.

Contoh. Cari hasil tambah bagi sebutan \(33\)-ex pertama bagi janjang aritmetik: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Penyelesaian:

Jawapan: \(S_(33)=-231\).

Masalah janjang aritmetik yang lebih kompleks

Sekarang anda mempunyai semua maklumat yang diperlukan untuk menyelesaikan hampir semua masalah pada janjang aritmetik. Mari kita selesaikan topik dengan mempertimbangkan masalah di mana anda bukan sahaja perlu menggunakan formula, tetapi juga berfikir sedikit (dalam matematik, ini boleh berguna ☺)

Contoh (OGE). Cari hasil tambah semua sebutan negatif janjang itu: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Penyelesaian:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tugas ini sangat serupa dengan yang sebelumnya. Kami mula menyelesaikan dengan cara yang sama: mula-mula kami mencari \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Sekarang kita akan menggantikan \(d\) ke dalam formula untuk jumlah ... dan di sini satu nuansa kecil muncul - kita tidak tahu \(n\). Dengan kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambah. Bagaimana untuk mengetahui? Mari berfikir. Kami akan berhenti menambah elemen apabila kami sampai ke elemen positif pertama. Iaitu, anda perlu mengetahui bilangan elemen ini. Bagaimana? Mari tuliskan formula untuk mengira mana-mana unsur janjang aritmetik: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kes kami.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		Kita perlu \(a_n\) untuk menjadi Di atas sifar. Mari kita ketahui apa \(n\) ini akan berlaku.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(\|:0.3\)		Kami membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Kami memindahkan tolak satu, tidak lupa untuk menukar tanda
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Pengkomputeran...
\(n>65,333…\)		…dan ternyata unsur positif pertama akan mempunyai nombor \(66\). Oleh itu, negatif terakhir mempunyai \(n=65\). Untuk berjaga-jaga, mari kita semaknya.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Oleh itu, kita perlu menambah elemen \(65\) pertama.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Jawapannya sudah sedia.

Jawapan: \(S_(65)=-630.5\).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Cari jumlah dari \(26\)th hingga \(42\) elemen termasuk.
Penyelesaian:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Dalam masalah ini, anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi bukan bermula dari yang pertama, tetapi dari \(26\)th. Kami tidak mempunyai formula untuk ini. Bagaimana untuk membuat keputusan? Mudah - untuk mendapatkan jumlah dari \(26\)th hingga \(42\)th, anda mesti mencari jumlah dari \(1\)th hingga \(42\)th, dan kemudian tolak daripadanya jumlah daripada yang pertama ke \ (25 \) ke (lihat gambar).
	Untuk perkembangan kami \(a_1=-33\), dan perbezaan \(d=4\) (lagipun, kami menambah empat pada elemen sebelumnya untuk mencari yang seterusnya). Mengetahui perkara ini, kita dapati jumlah unsur \(42\)-uh yang pertama.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sekarang hasil tambah bagi elemen pertama \(25\)-th.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Dan akhirnya, kami mengira jawapannya.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Jawapan: \(S=1683\).

Untuk janjang aritmetik, terdapat beberapa lagi formula yang tidak kami pertimbangkan dalam artikel ini kerana kegunaan praktikalnya yang rendah. Walau bagaimanapun, anda boleh mencari mereka dengan mudah.

Konsep urutan berangka membayangkan bahawa setiap nombor asli sepadan dengan beberapa nilai sebenar. Siri nombor sedemikian boleh menjadi sewenang-wenang dan mempunyai sifat tertentu - satu perkembangan. DALAM kes terakhir setiap elemen (ahli) seterusnya bagi jujukan boleh dikira menggunakan yang sebelumnya.

Janjang aritmetik - urutan nilai berangka, di mana istilah jirannya berbeza antara satu sama lain oleh nombor yang sama(semua elemen siri, bermula dari yang ke-2, mempunyai sifat yang serupa). Nombor yang diberi- perbezaan antara ahli sebelumnya dan seterusnya adalah malar dan dipanggil perbezaan janjang.

Perbezaan Kemajuan: Definisi

Pertimbangkan urutan yang mengandungi nilai j A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j tergolong dalam set nombor asli N. Janjang aritmetik, mengikut takrifannya, ialah jujukan di mana a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) – a(j-1) = d. Nilai d ialah perbezaan yang dikehendaki bagi janjang ini.

d = a(j) - a(j-1).

Peruntukkan:

Perkembangan yang semakin meningkat, dalam hal ini d > 0. Contoh: 4, 8, 12, 16, 20, …
menurun perkembangan, kemudian d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Perbezaan janjang dan unsur arbitrarinya

Jika 2 ahli janjang sewenang-wenangnya (i-th, k-th) diketahui, maka perbezaan untuk jujukan ini boleh diwujudkan berdasarkan hubungan:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, jadi d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Perbezaan janjang dan sebutan pertamanya

Ungkapan ini akan membantu menentukan nilai yang tidak diketahui hanya dalam kes di mana bilangan unsur jujukan diketahui.

Perbezaan kemajuan dan jumlahnya

Jumlah janjang ialah jumlah ahlinya. Untuk mengira jumlah nilai elemen j pertamanya, gunakan formula yang sepadan:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, tetapi sejak a(j) = a(1) + d(j – 1), kemudian S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

IV Yakovlev | Bahan tentang matematik | MathUs.ru

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik ialah jenis istimewa susulan. Oleh itu, sebelum mentakrifkan janjang aritmetik (dan kemudian geometri), kita perlu membincangkan secara ringkas konsep penting bagi urutan nombor.

Susulan

Bayangkan peranti pada skrin yang beberapa nombor dipaparkan satu demi satu. Katakan 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Set nombor sedemikian hanyalah contoh urutan.

Definisi. Urutan angka ini adalah satu set nombor di mana setiap nombor boleh diberikan nombor unik (iaitu, dimasukkan ke dalam surat-menyurat dengan nombor asli tunggal)1. Nombor dengan nombor n dipanggil ahli ke- urutan.

Jadi, dalam contoh di atas, nombor pertama mempunyai nombor 2, yang merupakan ahli pertama jujukan, yang boleh dilambangkan dengan a1 ; nombor lima mempunyai nombor 6 yang merupakan ahli kelima jujukan, yang boleh dilambangkan a5 . Secara umum, ahli ke-n suatu jujukan dilambangkan dengan (atau bn , cn , dsb.).

Situasi yang sangat mudah ialah apabila ahli ke-n bagi jujukan boleh ditentukan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula an = 2n 3 menentukan urutan: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n mentakrifkan jujukan: 1; 1; 1; 1; : : :

Tidak setiap set nombor adalah urutan. Jadi, segmen bukan urutan; ia mengandungi ¾terlalu banyak¿ nombor untuk dinomborkan semula. Set R semua nombor nyata juga bukan urutan. Fakta ini dibuktikan dalam perjalanan analisis matematik.

Janjang aritmetik: definisi asas

Sekarang kita bersedia untuk menentukan janjang aritmetik.

Definisi. Janjang aritmetik ialah jujukan di mana setiap sebutan (bermula dari yang kedua) adalah sama dengan jumlah sebutan sebelumnya dan beberapa nombor tetap (dipanggil perbezaan janjang aritmetik).

Sebagai contoh, urutan 2; 5; 8; sebelas; : : : ialah janjang aritmetik dengan sebutan pertama 2 dan beza 3. Urutan 7; 2; 3; 8; : : : ialah janjang aritmetik dengan sebutan pertama 7 dan beza 5. Urutan 3; 3; 3; : : : ialah janjang aritmetik dengan beza sifar.

Takrif setara: Jujukan an dipanggil janjang aritmetik jika perbezaan an+1 an ialah nilai malar (tidak bergantung pada n).

Janjang aritmetik dikatakan bertambah jika perbezaannya positif, dan menurun jika perbezaannya negatif.

1 Dan berikut ialah takrifan yang lebih ringkas: jujukan ialah fungsi yang ditakrifkan pada set nombor asli. Sebagai contoh, urutan nombor nyata ialah fungsi f: N! R.

Secara lalai, jujukan dianggap tidak terhingga, iaitu, mengandungi set tak terhingga nombor. Tetapi tiada siapa yang peduli untuk mempertimbangkan urutan terhingga juga; sebenarnya, sebarang set nombor terhingga boleh dipanggil urutan terhingga. Sebagai contoh, urutan akhir 1; 2; 3; 4; 5 terdiri daripada lima nombor.

Formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik

Adalah mudah untuk memahami bahawa janjang aritmetik ditentukan sepenuhnya oleh dua nombor: sebutan pertama dan perbezaan. Oleh itu, persoalan timbul: bagaimana, mengetahui sebutan pertama dan perbezaan, mencari sebutan arbitrari bagi janjang aritmetik?

Tidak sukar untuk mendapatkan formula yang dikehendaki bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik. Biarkan an

janjang aritmetik dengan beza d. Kami ada:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Khususnya, kami menulis:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
dan kini menjadi jelas bahawa formula untuk a ialah:
an = a1 + (n 1)d:

Tugasan 1. Dalam janjang aritmetik 2; 5; 8; sebelas; : : : cari rumus sebutan ke-n dan hitung sebutan keseratus.

Penyelesaian. Menurut formula (1) kita mempunyai:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Sifat dan tanda janjang aritmetik

sifat sesuatu janjang aritmetik. Dalam janjang aritmetik an untuk sebarang

Dalam erti kata lain, setiap ahli janjang aritmetik (bermula dari yang kedua) ialah min aritmetik ahli jiran.

	Bukti. Kami ada:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

iaitu yang dikehendaki.

Lagi secara umum, janjang aritmetik an memenuhi kesamaan

a n = a n k+ a n+k

untuk sebarang n > 2 dan sebarang k semula jadi< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ternyata formula (2) bukan sahaja perlu, tetapi juga keadaan yang mencukupi bahawa jujukan itu ialah janjang aritmetik.

Tanda janjang aritmetik. Jika kesamaan (2) berlaku untuk semua n > 2, maka urutan an ialah janjang aritmetik.

Bukti. Mari kita tulis semula formula (2) seperti berikut:

a na n 1= a n+1a n:

Ini menunjukkan bahawa beza an+1 an tidak bergantung pada n, dan ini hanya bermakna urutan an ialah janjang aritmetik.

Sifat dan tanda janjang aritmetik boleh dirumuskan sebagai satu pernyataan; kami akan lakukan ini untuk kemudahan tiga nombor(Inilah situasi yang sering berlaku dalam tugasan).

Pencirian janjang aritmetik. Tiga nombor a, b, c membentuk janjang aritmetik jika dan hanya jika 2b = a + c.

Masalah 2. (Universiti Negara Moscow, Fakulti Ekonomi, 2007) Tiga nombor 8x, 3 x2 dan 4 dalam susunan yang ditentukan membentuk janjang aritmetik yang semakin berkurangan. Cari x dan tuliskan perbezaan janjang ini.

Penyelesaian. Dengan sifat janjang aritmetik, kita mempunyai:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Jika x = 1, maka janjang menurun sebanyak 8, 2, 4 diperoleh dengan perbezaan 6. Jika x = 5, maka janjang meningkat sebanyak 40, 22, 4 diperolehi; kes ini tidak berjaya.

Jawapan: x = 1, bezanya ialah 6.

Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik

Legenda mengatakan bahawa pernah guru memberitahu kanak-kanak untuk mencari jumlah nombor dari 1 hingga 100 dan duduk membaca surat khabar dengan senyap. Namun, dalam beberapa minit, seorang budak lelaki berkata bahawa dia telah menyelesaikan masalah itu. Ia adalah Carl Friedrich Gauss yang berusia 9 tahun, kemudiannya salah seorang ahli matematik terhebat dalam sejarah.

Idea Gauss kecil adalah ini. biarlah

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Jom tulis jumlah ini dalam susunan terbalik:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

dan tambah dua formula ini:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Setiap sebutan dalam kurungan adalah bersamaan dengan 101, dan jumlahnya terdapat 100 sebutan sedemikian. Oleh itu

2S = 101 100 = 10100;

Kami menggunakan idea ini untuk mendapatkan formula jumlah

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Pengubahsuaian berguna bagi formula (3) diperoleh dengan menggantikan formula bagi sebutan ke-n an = a1 + (n 1)d ke dalamnya:

		2a1 + (n 1)d

Tugasan 3. Cari hasil tambah semua nombor tiga digit positif yang boleh dibahagi dengan 13.

Penyelesaian. Nombor tiga digit, gandaan 13, membentuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama 104 dan beza 13; Sebutan ke-n janjang ini ialah:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Mari kita ketahui berapa ramai ahli yang terkandung dalam perkembangan kita. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan ketidaksamaan:

sebuah 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Jadi terdapat 69 ahli dalam perkembangan kami. Menurut formula (4) kita dapati jumlah yang diperlukan:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2