Dalam kes di mana peristiwa faedah ialah jumlah peristiwa lain, formula penambahan digunakan untuk mencari kebarangkaliannya.

Formula penambahan mempunyai dua jenis utama - untuk acara bersama dan bukan bersama. Anda boleh mewajarkan formula ini menggunakan gambar rajah Venn (Gamb. 21). Ingat bahawa dalam rajah ini kebarangkalian kejadian adalah sama secara berangka dengan kawasan zon yang sepadan dengan peristiwa ini.

Untuk dua acara yang tidak serasi :

P(A+B) = P(A) + P(B).(8, a)

Untuk N acara yang tidak serasi , kebarangkalian jumlahnya adalah sama dengan jumlah kebarangkalian kejadian ini:

= .(8b)

Daripada formula untuk menambah peristiwa yang tidak serasi, terdapat dua akibat penting .

Akibat 1.Untuk peristiwa yang membentuk kumpulan lengkap, jumlah kebarangkalian mereka adalah sama dengan satu:

= 1.

Ini dijelaskan seperti berikut. Untuk peristiwa yang membentuk kumpulan lengkap, di sebelah kiri ungkapan (8b) ialah kebarangkalian bahawa salah satu peristiwa akan berlaku Dan saya , tetapi memandangkan kumpulan lengkap itu kehabisan senarai keseluruhan kemungkinan kejadian, salah satu daripada peristiwa sedemikian pasti akan berlaku. Oleh itu, bahagian kiri mengandungi kebarangkalian kejadian yang pasti akan berlaku - peristiwa tertentu. Kebarangkaliannya adalah sama dengan satu.

Akibat 2.Jumlah kebarangkalian dua peristiwa bertentangan adalah sama dengan satu:

P(A) + P(Ā)= 1.

Akibat ini mengikuti dari yang sebelumnya, kerana peristiwa yang bertentangan sentiasa membentuk kumpulan yang lengkap.

Contoh 15

AT kebarangkalian keadaan berfungsi peranti teknikal ialah 0.8. Cari kebarangkalian kegagalan peranti ini untuk tempoh pemerhatian yang sama.

R penyelesaian.

Nota PENTING. Dalam teori kebolehpercayaan, adalah kebiasaan untuk menandakan kebarangkalian keadaan berfungsi dengan hurufR, dan kebarangkalian kegagalan adalah satu huruf q. Dalam perkara berikut, kami akan menggunakan notasi ini. Kedua-dua kebarangkalian adalah fungsi masa. Jadi, untuk jangka masa yang panjang, kebarangkalian keadaan boleh dikendalikan bagi mana-mana objek menghampiri sifar. Kebarangkalian kegagalan mana-mana objek adalah hampir kepada sifar untuk tempoh masa yang kecil. Dalam kes di mana tempoh pemerhatian tidak dinyatakan dalam tugas, diandaikan bahawa ia adalah sama untuk semua objek yang sedang dipertimbangkan.

Mencari peranti dalam keadaan kesihatan dan kegagalan adalah peristiwa yang bertentangan. Menggunakan Corollary 2, kami memperoleh kebarangkalian kegagalan peranti:

q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0.8 \u003d 0.2.

Untuk dua acara bersama formula penambahan kebarangkalian kelihatan seperti:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB), (9)

yang digambarkan oleh gambar rajah Venn (Rajah 22).

Sesungguhnya, untuk mencari keseluruhan kawasan berlorek (ia sepadan dengan jumlah peristiwa A + B), adalah perlu untuk menolak kawasan zon bersama daripada jumlah kawasan angka A dan B (ia sepadan dengan hasil darab peristiwa AB), kerana jika tidak, ia akan dikira dua kali.

Untuk tiga acara bersama, formula penambahan kebarangkalian menjadi lebih rumit:

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C) - P (AB) - P (AC) - P (BC) + P (ABC).(10)

Dalam rajah Venn (Rajah 23), kebarangkalian yang diingini adalah sama dengan jumlah kawasan zon yang dibentuk oleh peristiwa A, B dan C (untuk kesederhanaan, segi empat sama unit tidak ditunjukkan padanya).

Selepas menolak kawasan zon AB, AC dan CB daripada jumlah kawasan zon A, B dan C, ternyata luas zon ABC telah dijumlahkan tiga kali dan ditolak tiga kali. Oleh itu, untuk mengambil kira kawasan ini, ia mesti ditambah pada ungkapan akhir.

Dengan pertambahan bilangan istilah, formula penambahan menjadi lebih rumit, tetapi prinsip pembinaannya tetap sama: pertama, kebarangkalian peristiwa yang diambil secara tunggal dijumlahkan, kemudian kebarangkalian semua gabungan peristiwa berpasangan ditolak. , kebarangkalian peristiwa yang diambil oleh tiga kali ganda ditambah, kebarangkalian gabungan peristiwa yang diambil oleh empat dan dsb.

Akhir sekali, ia harus dititikberatkan : formula penambahan kebarangkalian sendi peristiwa dengan bilangan istilah daripada tiga atau lebih adalah menyusahkan dan menyusahkan untuk digunakan, penggunaannya dalam menyelesaikan masalah adalah tidak praktikal.

Contoh 16

Untuk skema bekalan kuasa di bawah (Rajah 24), tentukan kebarangkalian kegagalan sistem secara keseluruhan Q C oleh kebarangkalian kegagalan q i elemen individu (penjana, transformer dan garisan).

menyatakan kegagalan elemen individu sistem bekalan kuasa, serta dan keadaan kesihatan sentiasa acara bersama berpasangan, kerana tiada halangan asas untuk membaiki secara serentak, sebagai contoh, talian dan pengubah. Kegagalan sistem berlaku apabila mana-mana elemennya gagal: sama ada penjana, atau pengubah pertama, atau talian, atau pengubah ke-2, atau kegagalan mana-mana pasangan, mana-mana tiga kali ganda, atau keempat-empat elemen. Oleh itu, peristiwa yang dikehendaki - kegagalan sistem ialah jumlah kegagalan elemen individu. Untuk menyelesaikan masalah, formula untuk menambah acara bersama boleh digunakan:

Q c \u003d q g + q t1 + q l + q t2 - q g q t1 - q g q l - q g q t2 - q t1 q l - q t1 q t2 - q l q t2 + q g q t1 q l + q g q l q t2 + q g q t1 q t2 + q t1 q t2 q l - q g q t1 q l q t2.

Penyelesaian ini sekali lagi meyakinkan tentang kerumitan formula penambahan untuk acara bersama. Pada masa hadapan, satu lagi cara yang lebih rasional untuk menyelesaikan masalah ini akan dipertimbangkan.

Penyelesaian yang diperoleh di atas boleh dipermudahkan dengan mengambil kira fakta bahawa kebarangkalian kegagalan elemen individu sistem bekalan kuasa untuk tempoh satu tahun biasanya digunakan dalam pengiraan kebolehpercayaan agak kecil (daripada susunan 10 -2). Oleh itu, semua istilah kecuali empat yang pertama boleh dibuang, yang secara praktikal tidak akan menjejaskan hasil berangka. Kemudian anda boleh menulis:

Q dengan≈q g + q t1 + q l + q t2.

Walau bagaimanapun, penyederhanaan sedemikian mesti dirawat dengan berhati-hati, mengkaji dengan teliti akibatnya, kerana istilah yang sering dibuang mungkin sepadan dengan yang pertama.

Contoh 17

Tentukan kebarangkalian keadaan sistem yang sihat R S, yang terdiri daripada tiga elemen yang merizab satu sama lain.

Penyelesaian. Elemen yang merizab satu sama lain pada rajah logik analisis kebolehpercayaan ditunjukkan disambung secara selari (Rajah 25):

Sistem berlebihan beroperasi apabila elemen pertama, atau kedua, atau ketiga beroperasi, atau mana-mana pasangan beroperasi, atau ketiga-tiga elemen bersama-sama. Oleh itu, keadaan kendalian sistem ialah jumlah keadaan kendalian unsur individu. Dengan formula tambahan untuk acara bersama R c \u003d R 1 + R 2 + R 3 - R 1 R 2 - R 1 R 3 - R 2 R 3 + R 1 R 2 R 3. , di mana R 1 , R 2 dan R 3 ialah kebarangkalian keadaan boleh kendali bagi unsur 1, 2 dan 3, masing-masing.

Dalam kes ini, adalah mustahil untuk memudahkan penyelesaian dengan membuang produk berpasangan, kerana anggaran sedemikian akan memberikan ralat yang ketara (produk ini biasanya secara berangka hampir dengan tiga istilah pertama). Seperti dalam Contoh 16, masalah ini mempunyai satu lagi penyelesaian yang lebih padat.

Contoh 18

Untuk talian penghantaran litar dua (Rajah 26), kebarangkalian kegagalan setiap litar diketahui: q 1 = q 2= 0.001. Tentukan kebarangkalian bahawa talian itu akan mempunyai seratus peratus daya tampung - P (R 100), lima puluh peratus tampung - P (R 50), dan kebarangkalian sistem itu akan gagal - Q.

Talian mempunyai kapasiti 100% apabila kedua-dua litar pertama dan kedua beroperasi:

P (100%) \u003d p 1 p 2 \u003d (1 - q 1) (1 - q 2) \u003d

= (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.

Talian gagal apabila kedua-dua litar pertama dan kedua gagal:

P(0%) \u003d q 1 q 2 \u003d 0.001 ∙ 0.001 \u003d 10 -6.

Talian mempunyai kapasiti lima puluh peratus apabila litar pertama beroperasi dan litar ke-2 gagal, atau apabila litar ke-2 beroperasi dan litar pertama gagal:

P (50%) \u003d p 1 q 2 + p 2 q 1 \u003d 2 ∙ 0.999 ∙ 10 -3 \u003d 0.001998.

Ungkapan terakhir menggunakan formula penambahan untuk peristiwa yang tidak serasi, iaitu peristiwa itu.

Peristiwa yang dipertimbangkan dalam masalah ini membentuk kumpulan yang lengkap, jadi jumlah kebarangkalian mereka adalah satu.

Kajian teori kebarangkalian bermula dengan menyelesaikan masalah bagi penambahan dan pendaraban kebarangkalian. Perlu dinyatakan dengan segera bahawa seorang pelajar, apabila menguasai bidang pengetahuan ini, mungkin menghadapi masalah: jika proses fizikal atau kimia dapat divisualisasikan dan difahami secara empirik, maka tahap abstraksi matematik adalah sangat tinggi, dan pemahaman di sini hanya datang dengan pengalaman.

Walau bagaimanapun, permainan ini sangat berbaloi, kerana formula - kedua-dua yang dipertimbangkan dalam artikel ini dan yang lebih kompleks - digunakan di mana-mana hari ini dan mungkin berguna dalam kerja.

asal usul

Anehnya, dorongan untuk pembangunan bahagian matematik ini adalah ... perjudian. Sesungguhnya, dadu, lambungan syiling, poker, rolet adalah contoh tipikal yang menggunakan penambahan dan pendaraban kebarangkalian. Pada contoh tugasan dalam mana-mana buku teks, ini dapat dilihat dengan jelas. Orang ramai berminat untuk mempelajari cara meningkatkan peluang mereka untuk menang, dan saya mesti katakan, ada yang berjaya dalam hal ini.

Sebagai contoh, sudah dalam abad ke-21, seorang, yang namanya tidak akan kami dedahkan, menggunakan pengetahuan ini yang terkumpul selama berabad-abad untuk "membersihkan" kasino secara literal, memenangi beberapa puluh juta dolar di rolet.

Walau bagaimanapun, walaupun minat yang meningkat dalam subjek, hanya pada abad ke-20 asas teori telah dibangunkan yang menjadikan "theorver" sepenuhnya. Hari ini, dalam hampir mana-mana sains, seseorang boleh mencari pengiraan menggunakan kaedah probabilistik.

Kebolehgunaan

Perkara penting apabila menggunakan formula untuk penambahan dan pendaraban kebarangkalian, kebarangkalian bersyarat ialah kepuasan teorem had pusat. Jika tidak, walaupun ia mungkin tidak disedari oleh pelajar, semua pengiraan, tidak kira betapa munasabahnya ia kelihatan, akan menjadi tidak betul.

Ya, pelajar yang bermotivasi tinggi tergoda untuk menggunakan pengetahuan baharu pada setiap peluang. Tetapi dalam kes ini, seseorang harus memperlahankan sedikit dan menggariskan dengan tegas skop kebolehgunaan.

Teori kebarangkalian memperkatakan peristiwa rawak, yang dari segi empirikal adalah hasil eksperimen: kita boleh melancarkan dadu enam segi, melukis kad dari dek, meramalkan bilangan bahagian yang rosak dalam satu kelompok. Walau bagaimanapun, dalam beberapa soalan adalah mustahil untuk menggunakan formula daripada bahagian matematik ini. Kami akan membincangkan ciri-ciri mempertimbangkan kebarangkalian sesuatu peristiwa, teorem penambahan dan pendaraban peristiwa pada akhir artikel, tetapi sekarang mari kita beralih kepada contoh.

Konsep asas

Peristiwa rawak ialah beberapa proses atau hasil yang mungkin atau mungkin tidak muncul sebagai hasil percubaan. Sebagai contoh, kita membaling sandwic - ia boleh jatuh mentega ke atas atau mentega ke bawah. Mana-mana daripada kedua-dua hasil akan menjadi rawak, dan kita tidak tahu terlebih dahulu yang mana antaranya akan berlaku.

Apabila mengkaji penambahan dan pendaraban kebarangkalian, kita memerlukan dua lagi konsep.

Peristiwa bersama ialah peristiwa sedemikian, kejadian satu daripadanya tidak mengecualikan kejadian yang lain. Katakan dua orang menembak sasaran pada masa yang sama. Jika salah seorang daripada mereka menghasilkan yang berjaya, ia tidak akan menjejaskan keupayaan yang kedua untuk memukul mata atau tersasar.

Peristiwa yang tidak konsisten akan menjadi peristiwa sedemikian, yang kejadiannya pada masa yang sama mustahil. Sebagai contoh, dengan mengeluarkan hanya satu bola dari kotak, anda tidak boleh mendapatkan kedua-dua biru dan merah sekaligus.

Jawatan

Konsep kebarangkalian dilambangkan dengan huruf besar Latin P. Seterusnya, dalam kurungan, terdapat hujah yang menunjukkan beberapa peristiwa.

Dalam formula teorem penambahan, kebarangkalian bersyarat, teorem pendaraban, anda akan melihat ungkapan dalam kurungan, contohnya: A+B, AB atau A|B. Mereka akan dikira dalam pelbagai cara, dan kini kita akan beralih kepada mereka.

Penambahan

Pertimbangkan kes di mana formula untuk penambahan dan pendaraban kebarangkalian digunakan.

Untuk peristiwa yang tidak serasi, formula penambahan termudah adalah relevan: kebarangkalian mana-mana hasil rawak akan sama dengan jumlah kebarangkalian setiap hasil ini.

Katakan terdapat sebuah kotak dengan 2 biji guli biru, 3 merah dan 5 biji kuning. Terdapat 10 item kesemuanya di dalam kotak. Berapakah peratusan kebenaran pernyataan bahawa kita akan melukis bola biru atau merah? Ia akan bersamaan dengan 2/10 + 3/10, iaitu lima puluh peratus.

Dalam kes peristiwa tidak serasi, formula menjadi lebih rumit, kerana istilah tambahan ditambahkan. Kami akan kembali kepadanya dalam satu perenggan, selepas mempertimbangkan satu lagi formula.

Pendaraban

Penambahan dan pendaraban kebarangkalian peristiwa bebas digunakan dalam kes yang berbeza. Jika, mengikut keadaan eksperimen, kami berpuas hati dengan salah satu daripada dua kemungkinan hasil, kami akan mengira jumlahnya; jika kita ingin mendapatkan dua hasil tertentu satu demi satu, kita akan menggunakan formula yang berbeza.

Berbalik kepada contoh dari bahagian sebelumnya, kita ingin melukis bola biru dahulu dan kemudian yang merah. Nombor pertama yang kita tahu ialah 2/10. Apa yang berlaku seterusnya? Ada 9 biji bola, masih ada yang sama bilangan bola merah - tiga keping. Mengikut pengiraan, anda mendapat 3/9 atau 1/3. Tetapi apa yang perlu dilakukan dengan dua nombor sekarang? Jawapan yang betul ialah mendarab untuk mendapat 2/30.

Acara Bersama

Sekarang kita boleh kembali kepada formula jumlah untuk acara bersama. Mengapa kita menyimpang dari topik? Untuk mengetahui bagaimana kebarangkalian didarab. Sekarang kita perlukan ilmu ini.

Kita sudah tahu apakah dua istilah pertama (sama seperti dalam formula tambahan yang dipertimbangkan sebelum ini), tetapi sekarang kita perlu menolak hasil darab kebarangkalian, yang baru kita pelajari cara mengira. Untuk kejelasan, kami menulis formula: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Ternyata dalam satu ungkapan kedua-dua penambahan dan pendaraban kebarangkalian digunakan.

Katakan kita perlu menyelesaikan salah satu daripada dua masalah untuk mendapatkan kredit. Kita boleh menyelesaikan yang pertama dengan kebarangkalian 0.3, dan yang kedua - 0.6. Penyelesaian: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72. Ambil perhatian bahawa hanya menjumlahkan nombor di sini tidak akan mencukupi.

Kebarangkalian Bersyarat

Akhir sekali, terdapat konsep kebarangkalian bersyarat, hujah-hujahnya ditunjukkan dalam kurungan dan dipisahkan oleh bar menegak. Entri P(A|B) berbunyi seperti berikut: "kebarangkalian kejadian A diberi peristiwa B".

Mari lihat contoh: rakan memberi anda beberapa peranti, biarlah ia telefon. Ia boleh rosak (20%) atau baik (80%). Anda boleh membaiki mana-mana peranti yang jatuh ke tangan anda dengan kebarangkalian 0.4 atau anda tidak dapat melakukan ini (0.6). Akhir sekali, jika peranti berada dalam keadaan berfungsi, anda boleh menghubungi orang yang betul dengan kebarangkalian 0.7.

Sangat mudah untuk melihat cara kebarangkalian bersyarat berfungsi dalam kes ini: anda tidak boleh menghubungi orang itu jika telefon rosak dan jika ia bagus, anda tidak perlu membetulkannya. Oleh itu, untuk mendapatkan sebarang keputusan pada "peringkat kedua", anda perlu mengetahui acara mana yang telah dilaksanakan pada mulanya.

Pengiraan

Pertimbangkan contoh penyelesaian masalah bagi penambahan dan pendaraban kebarangkalian, menggunakan data daripada perenggan sebelumnya.

Mula-mula, mari cari kebarangkalian anda akan membaiki peranti yang diberikan kepada anda. Untuk melakukan ini, pertama, ia mesti rosak, dan kedua, anda mesti mengatasi pembaikan. Ini adalah masalah pendaraban biasa: kita mendapat 0.2 * 0.4 = 0.08.

Apakah kebarangkalian anda akan segera menghubungi orang yang betul? Lebih mudah daripada mudah: 0.8 * 0.7 \u003d 0.56. Dalam kes ini, anda mendapati bahawa telefon berfungsi dan berjaya membuat panggilan.

Akhir sekali, pertimbangkan senario ini: anda menerima telefon yang rosak, membetulkannya, kemudian mendail nombor tersebut, dan orang yang berada di seberang mengambil telefon itu. Di sini, pendaraban tiga komponen sudah diperlukan: 0.2 * 0.4 * 0.7 \u003d 0.056.

Tetapi bagaimana jika anda mempunyai dua telefon tidak berfungsi serentak? Sejauh manakah anda membetulkan sekurang-kurangnya satu daripadanya? pada penambahan dan pendaraban kebarangkalian, kerana peristiwa bersama digunakan. Penyelesaian: 0.4 + 0.4 - 0.4 * 0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64. Oleh itu, jika dua peranti yang rosak jatuh ke tangan anda, anda akan dapat membetulkannya dalam 64% kes.

Penggunaan yang bertimbang rasa

Seperti yang dinyatakan pada permulaan artikel, penggunaan teori kebarangkalian haruslah disengajakan dan disedari.

Semakin besar siri eksperimen, semakin hampir nilai ramalan secara teori menghampiri nilai yang diperoleh dalam amalan. Sebagai contoh, kita sedang melambung duit syiling. Secara teorinya, mengetahui tentang kewujudan formula untuk penambahan dan pendaraban kebarangkalian, kita boleh meramalkan berapa kali kepala dan ekor akan gugur jika kita menjalankan eksperimen sebanyak 10 kali. Kami menjalankan eksperimen, dan secara kebetulan, nisbah sisi yang jatuh ialah 3 berbanding 7. Tetapi jika anda menjalankan satu siri 100, 1000 atau lebih percubaan, ternyata graf taburan semakin hampir dengan satu teori: 44 hingga 56, 482 hingga 518, dan seterusnya.

Sekarang bayangkan bahawa eksperimen ini tidak dijalankan dengan syiling, tetapi dengan pengeluaran beberapa bahan kimia baru, kebarangkalian yang kita tidak tahu. Kami akan menjalankan 10 percubaan dan, tanpa mendapat keputusan yang berjaya, kami boleh membuat generalisasi: "bahan itu tidak boleh diperolehi." Tetapi siapa tahu, jika kita melakukan percubaan kesebelas, adakah kita akan mencapai matlamat atau tidak?

Oleh itu, jika anda pergi ke kawasan yang tidak diketahui, ke kawasan yang belum diterokai, teori kebarangkalian mungkin tidak boleh digunakan. Setiap percubaan berikutnya dalam kes ini mungkin berjaya, dan generalisasi seperti "X tidak wujud" atau "X mustahil" akan menjadi pramatang.

Kata akhir

Jadi, kami telah mempertimbangkan dua jenis penambahan, pendaraban dan kebarangkalian bersyarat. Dengan kajian lanjut mengenai bidang ini, adalah perlu untuk belajar membezakan situasi apabila setiap formula khusus digunakan. Di samping itu, anda perlu memahami sama ada kaedah probabilistik secara amnya boleh digunakan dalam menyelesaikan masalah anda.

Jika anda berlatih, selepas beberapa ketika anda akan mula menjalankan semua operasi yang diperlukan secara eksklusif dalam fikiran anda. Bagi mereka yang gemar permainan kad, kemahiran ini boleh dianggap sangat berharga - anda akan meningkatkan peluang anda untuk menang dengan ketara dengan hanya mengira kebarangkalian kad atau saman tertentu jatuh. Walau bagaimanapun, pengetahuan yang diperolehi boleh digunakan dengan mudah dalam bidang aktiviti lain.

Keperluan untuk operasi ke atas kebarangkalian datang apabila kebarangkalian beberapa peristiwa diketahui, dan adalah perlu untuk mengira kebarangkalian peristiwa lain yang dikaitkan dengan peristiwa ini.

Penambahan kebarangkalian digunakan apabila perlu untuk mengira kebarangkalian gabungan atau jumlah logik peristiwa rawak.

Jumlah peristiwa A dan B menetapkan A + B atau A ∪ B. Jumlah dua peristiwa ialah peristiwa yang berlaku jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa itu berlaku. Maksudnya begitu A + B- peristiwa yang berlaku jika dan hanya jika sesuatu peristiwa berlaku semasa pemerhatian A atau peristiwa B, atau pada masa yang sama A dan B.

Jika peristiwa A dan B adalah saling tidak konsisten dan kebarangkaliannya diberikan, maka kebarangkalian bahawa salah satu daripada peristiwa ini akan berlaku hasil daripada satu percubaan dikira menggunakan penambahan kebarangkalian.

Teorem penambahan kebarangkalian. Kebarangkalian bahawa satu daripada dua peristiwa yang saling tidak serasi akan berlaku adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini:

Contohnya, dua das tembakan dilepaskan semasa memburu. Peristiwa TAPI– memukul itik dari pukulan pertama, peristiwa AT– pukulan dari pukulan kedua, peristiwa ( TAPI+ AT) - pukulan dari pukulan pertama atau kedua atau dari dua pukulan. Jadi jika dua peristiwa TAPI dan AT adalah peristiwa yang tidak serasi, maka TAPI+ AT- berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa ini atau dua peristiwa.

Contoh 1 Sebuah kotak mengandungi 30 bola yang sama saiz: 10 merah, 5 biru dan 15 putih. Kira kebarangkalian bahawa bola berwarna (bukan putih) diambil tanpa melihat.

Penyelesaian. Mari kita andaikan bahawa peristiwa itu TAPI– “bola merah diambil”, dan acara AT- "Bola biru diambil." Kemudian acara itu adalah "bola berwarna (bukan putih) diambil". Cari kebarangkalian sesuatu peristiwa TAPI:

dan peristiwa AT:

Perkembangan TAPI dan AT- saling tidak serasi, kerana jika satu bola diambil, maka bola yang berlainan warna tidak boleh diambil. Oleh itu, kami menggunakan penambahan kebarangkalian:

Teorem penambahan kebarangkalian untuk beberapa peristiwa yang tidak serasi. Jika peristiwa membentuk set lengkap peristiwa, maka jumlah kebarangkalian mereka adalah sama dengan 1:

Jumlah kebarangkalian kejadian berlawanan juga sama dengan 1:

Peristiwa bertentangan membentuk set lengkap peristiwa, dan kebarangkalian set lengkap peristiwa ialah 1.

Kebarangkalian kejadian bertentangan biasanya dilambangkan dalam huruf kecil. hlm dan q. khususnya,

dari mana formula berikut untuk kebarangkalian peristiwa berlawanan mengikuti:

Contoh 2 Sasaran dalam dash dibahagikan kepada 3 zon. Kebarangkalian bahawa penembak tertentu akan menembak sasaran di zon pertama ialah 0.15, di zon kedua - 0.23, di zon ketiga - 0.17. Cari kebarangkalian bahawa penembak mengenai sasaran dan kebarangkalian bahawa penembak itu terlepas sasaran.

Penyelesaian: Cari kebarangkalian bahawa penembak mencapai sasaran:

Cari kebarangkalian bahawa penembak terlepas sasaran:

Tugas yang lebih sukar di mana anda perlu menggunakan kedua-dua penambahan dan pendaraban kebarangkalian - pada halaman "Pelbagai tugas untuk penambahan dan pendaraban kebarangkalian" .

Penambahan kebarangkalian kejadian bersama

Dua peristiwa rawak dikatakan bersendi jika kejadian satu peristiwa tidak menghalang berlakunya peristiwa kedua dalam pemerhatian yang sama. Contohnya, semasa membaling dadu, acara TAPI dianggap sebagai kejadian nombor 4, dan peristiwa itu AT- menjatuhkan nombor genap. Oleh kerana nombor 4 ialah nombor genap, kedua-dua acara adalah serasi. Dalam amalan, terdapat tugas untuk mengira kebarangkalian berlakunya salah satu peristiwa bersama.

Teorem penambahan kebarangkalian untuk peristiwa bersama. Kebarangkalian bahawa salah satu peristiwa bersama akan berlaku adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini, daripadanya kebarangkalian kejadian biasa kedua-dua peristiwa ditolak, iaitu hasil darab kebarangkalian. Formula untuk kebarangkalian kejadian bersama adalah seperti berikut:

Kerana peristiwa TAPI dan AT serasi, acara TAPI+ AT berlaku jika salah satu daripada tiga kemungkinan kejadian berlaku: atau AB. Mengikut teorem penambahan peristiwa yang tidak serasi, kami mengira seperti berikut:

Peristiwa TAPI berlaku jika salah satu daripada dua peristiwa yang tidak serasi berlaku: atau AB. Walau bagaimanapun, kebarangkalian berlakunya satu peristiwa daripada beberapa peristiwa yang tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian semua peristiwa ini:

Begitu juga:

Menggantikan ungkapan (6) dan (7) kepada ungkapan (5), kita memperoleh formula kebarangkalian untuk peristiwa bersama:

Apabila menggunakan formula (8), ia harus diambil kira bahawa peristiwa TAPI dan AT boleh jadi:

• saling bebas;
• saling bergantung.

Formula kebarangkalian untuk peristiwa saling bebas:

Formula kebarangkalian untuk peristiwa saling bergantung:

Jika peristiwa TAPI dan AT tidak konsisten, maka kebetulan mereka adalah kes yang mustahil dan, dengan itu, P(AB) = 0. Formula kebarangkalian keempat untuk peristiwa tidak serasi adalah seperti berikut:

Contoh 3 Dalam perlumbaan auto, apabila memandu dalam kereta pertama, kebarangkalian untuk menang, apabila memandu dalam kereta kedua. Cari:

• kebarangkalian bahawa kedua-dua kereta akan menang;
• kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu kereta akan menang;

1) Kebarangkalian bahawa kereta pertama akan menang tidak bergantung pada keputusan kereta kedua, jadi peristiwa TAPI(kereta pertama menang) dan AT(kereta kedua menang) - acara bebas. Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua kereta menang:

2) Cari kebarangkalian bahawa salah satu daripada dua kereta akan menang:

Tugas yang lebih sukar di mana anda perlu menggunakan kedua-dua penambahan dan pendaraban kebarangkalian - pada halaman "Pelbagai tugas untuk penambahan dan pendaraban kebarangkalian" .

Selesaikan sendiri masalah penambahan kebarangkalian, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 4 Dua syiling dilemparkan. Peristiwa A- kehilangan jata pada syiling pertama. Peristiwa B- kehilangan jata pada syiling kedua. Cari kebarangkalian sesuatu peristiwa C = A + B .

Pendaraban kebarangkalian

Pendaraban kebarangkalian digunakan apabila kebarangkalian hasil darab logik peristiwa hendak dikira.

Dalam kes ini, peristiwa rawak mestilah bebas. Dua peristiwa dikatakan saling bebas jika kejadian satu peristiwa tidak mempengaruhi kebarangkalian berlakunya peristiwa kedua.

Teorem pendaraban kebarangkalian untuk peristiwa bebas. Kebarangkalian berlakunya serentak dua peristiwa bebas TAPI dan AT adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian kejadian ini dan dikira dengan formula:

Contoh 5 Syiling dilambung tiga kali berturut-turut. Cari kebarangkalian bahawa jata itu akan gugur ketiga-tiga kali.

Penyelesaian. Kebarangkalian jata itu akan jatuh pada lambungan pertama syiling, kali kedua, dan kali ketiga. Cari kebarangkalian jata itu akan gugur ketiga-tiga kali:

Selesaikan masalah untuk mendarab kebarangkalian sendiri, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 6 Terdapat sebuah kotak dengan sembilan bola tenis baru. Tiga bola diambil untuk permainan, selepas permainan ia diletakkan semula. Apabila memilih bola, mereka tidak membezakan antara bola yang dimainkan dan tidak dimainkan. Apakah kebarangkalian bahawa selepas tiga perlawanan tidak akan ada bola yang belum dimainkan di dalam kotak?

Contoh 7 32 huruf abjad Rusia ditulis pada kad abjad yang dipotong. Lima kad dilukis secara rawak, satu demi satu, dan diletakkan di atas meja mengikut susunan yang muncul. Cari kebarangkalian bahawa huruf akan membentuk perkataan "akhir".

Contoh 8 Dari dek penuh kad (52 helai), empat kad dikeluarkan serentak. Cari kebarangkalian bahawa keempat-empat kad ini adalah daripada sut yang sama.

Contoh 9 Masalah yang sama seperti dalam contoh 8, tetapi setiap kad dikembalikan ke dek selepas dilukis.

Tugas yang lebih kompleks, di mana anda perlu menggunakan kedua-dua penambahan dan pendaraban kebarangkalian, serta mengira hasil darab beberapa peristiwa - pada halaman "Pelbagai tugas untuk penambahan dan pendaraban kebarangkalian" .

Kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu peristiwa saling bebas akan berlaku boleh dikira dengan menolak hasil darab kebarangkalian kejadian berlawanan daripada 1, iaitu dengan formula:

Contoh 10 Kargo dihantar melalui tiga mod pengangkutan: pengangkutan sungai, kereta api dan jalan raya. Kebarangkalian bahawa kargo akan dihantar melalui pengangkutan sungai ialah 0.82, dengan kereta api 0.87, melalui jalan raya 0.90. Cari kebarangkalian bahawa barang itu akan dihantar oleh sekurang-kurangnya satu daripada tiga mod pengangkutan.

Teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian.

Teorem penambahan kebarangkalian dua peristiwa. Kebarangkalian jumlah dua peristiwa adalah sama dengan jumlah kebarangkalian kejadian ini tanpa kebarangkalian kejadian bersamanya:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Teorem penambahan kebarangkalian dua peristiwa yang tidak serasi. Kebarangkalian jumlah dua peristiwa yang tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian ini:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Contoh 2.16. Penembak menembak sasaran yang dibahagikan kepada 3 kawasan. Kebarangkalian untuk memukul kawasan pertama ialah 0.45, yang kedua - 0.35. Cari kebarangkalian bahawa penembak akan memukul sama ada kawasan pertama atau kedua dengan satu pukulan.

Penyelesaian.

Perkembangan TAPI- "penembak terkena kawasan pertama" dan AT- "penembak terkena kawasan kedua" - tidak konsisten (memukul di satu kawasan tidak termasuk masuk ke kawasan lain), jadi teorem penambahan boleh digunakan.

Kebarangkalian yang diingini adalah sama dengan:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Teorem penambahan P peristiwa yang tidak serasi. Kebarangkalian jumlah n peristiwa tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian ini:

P (A 1 + A 2 + ... + A p) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A p).

Jumlah kebarangkalian kejadian berlawanan adalah sama dengan satu:

Kebarangkalian Peristiwa AT dengan mengandaikan sesuatu kejadian telah berlaku TAPI, dipanggil kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa itu AT dan ditandakan seperti ini: P(B/A), atau R A (B).

. Kebarangkalian hasil darab dua peristiwa adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian satu daripadanya dengan kebarangkalian bersyarat yang lain, dengan syarat peristiwa pertama berlaku:

P(AB)=P(A)P A(B).

Peristiwa AT tidak bergantung pada acara TAPI, jika

P A (B) \u003d P (B),

mereka. kebarangkalian peristiwa AT tidak bergantung kepada sama ada peristiwa itu berlaku TAPI.

Teorem pendaraban kebarangkalian dua peristiwa bebas.Kebarangkalian hasil darab dua peristiwa bebas adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya:

P(AB)=P(A)P(B).

Contoh 2.17. Kebarangkalian untuk mengenai sasaran apabila menembak senapang pertama dan kedua adalah sama: p 1 = 0,7; p 2= 0.8. Cari kebarangkalian untuk memukul dengan satu voli (daripada kedua-dua senjata api) oleh sekurang-kurangnya satu senjata.

Penyelesaian.

Kebarangkalian mengenai sasaran oleh setiap senapang tidak bergantung pada hasil tembakan dari senapang lain, jadi peristiwa TAPI- "Tembakan pertama" dan AT– "kena pistol kedua" adalah bebas.

Kebarangkalian Peristiwa AB- "kedua-dua senjata terkena":

Kebarangkalian yang diingini

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Teorem pendaraban kebarangkalian P peristiwa.Kebarangkalian hasil darab n peristiwa adalah sama dengan hasil darab salah satu daripadanya dengan kebarangkalian bersyarat semua yang lain, dikira di bawah andaian bahawa semua peristiwa sebelumnya telah berlaku:

Contoh 2.18. Sebuah guci mengandungi 5 bola putih, 4 bola hitam dan 3 bola biru. Setiap ujian terdiri daripada fakta bahawa satu bola diambil secara rawak tanpa mengembalikannya semula. Cari kebarangkalian bahawa bola putih akan muncul pada percubaan pertama (acara A), bola hitam pada percubaan kedua (acara B), dan bola biru pada percubaan ketiga (acara C).

Penyelesaian.

Kebarangkalian bola putih muncul dalam percubaan pertama:

Kebarangkalian bola hitam muncul dalam percubaan kedua, dikira dengan mengandaikan bahawa bola putih muncul dalam percubaan pertama, iaitu kebarangkalian bersyarat:

Kebarangkalian bola biru muncul dalam percubaan ketiga, dikira dengan mengandaikan bahawa bola putih muncul dalam percubaan pertama dan bola hitam dalam percubaan kedua, iaitu kebarangkalian bersyarat:

Kebarangkalian yang diingini adalah sama dengan:

Teorem pendaraban kebarangkalian P acara bebas.Kebarangkalian hasil darab n peristiwa bebas adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya:

P (A 1 A 2 ... A p) \u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A p).

Kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa akan berlaku. Kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu peristiwa A 1 , A 2 , ..., A p, bebas dalam agregat, adalah sama dengan perbezaan antara perpaduan dan hasil darab kebarangkalian kejadian bertentangan:

.

Contoh 2.19. Kebarangkalian mengenai sasaran apabila melepaskan tiga laras adalah seperti berikut: p 1 = 0,8; p 2 = 0,7;p 3= 0.9. Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya satu pukulan (event TAPI) dengan satu salvo daripada semua senjata api.

Penyelesaian.

Kebarangkalian mengenai sasaran oleh setiap senjata tidak bergantung pada hasil tembakan dari senjata lain, jadi peristiwa yang sedang dipertimbangkan A 1(terkena pistol pertama), A 2(terkena pistol kedua) dan A 3(kena pistol ketiga) adalah bebas dalam agregat.

Kebarangkalian kejadian yang bertentangan dengan peristiwa A 1, A 2 dan A 3(iaitu kebarangkalian terlepas), masing-masing, adalah sama dengan:

, , .

Kebarangkalian yang diingini adalah sama dengan:

Jika acara bebas A 1, A 2, ..., A ms mempunyai kebarangkalian yang sama R, maka kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa ini dinyatakan dengan formula:

Р(А)= 1 – q n ,

di mana q=1-p

2.7. Formula Kebarangkalian Jumlah. Formula Bayes.

Biarkan acara itu TAPI boleh berlaku jika salah satu peristiwa yang tidak serasi berlaku N 1, N 2, ..., N ms, membentuk kumpulan acara yang lengkap. Oleh kerana tidak diketahui terlebih dahulu yang mana antara peristiwa ini akan berlaku, ia dipanggil hipotesis.

Kebarangkalian sesuatu kejadian berlaku TAPI dikira oleh jumlah formula kebarangkalian:

P (A) \u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p).

Mari kita anggap bahawa satu eksperimen telah dijalankan, akibatnya peristiwa itu TAPI berlaku. Kebarangkalian peristiwa bersyarat N 1, N 2, ..., N ms berkenaan acara tersebut TAPI ditentukan Formula Bayes:

,

Contoh 2.20. Dalam kumpulan 20 orang pelajar yang datang ke peperiksaan, 6 orang cemerlang, 8 orang baik, 4 orang memuaskan dan 2 orang kurang bersedia. Terdapat 30 soalan dalam kertas peperiksaan. Pelajar yang bersedia boleh menjawab kesemua 30 soalan, pelajar yang bersedia boleh menjawab 24, pelajar yang memuaskan boleh menjawab 15, dan pelajar yang lemah boleh menjawab 7.

Seorang pelajar yang dipilih secara rawak menjawab tiga soalan rawak. Cari kebarangkalian bahawa pelajar ini bersedia: a) cemerlang; b) buruk.

Penyelesaian.

Hipotesis - "pelajar sudah bersedia";

– “pelajar sudah bersedia”;

– “pelajar itu bersedia dengan memuaskan”;

- "pelajar itu kurang bersedia."

Sebelum pengalaman:

; ; ; ;

7. Apakah yang dipanggil kumpulan lengkap acara?

8. Apakah peristiwa yang dipanggil berkemungkinan sama? Berikan contoh peristiwa sedemikian.

9. Apakah yang dipanggil hasil asas?

10. Apakah hasil yang saya anggap baik untuk acara ini?

11. Apakah operasi yang boleh dilakukan pada acara? Beri mereka definisi. Bagaimanakah mereka ditetapkan? Beri contoh.

12. Apakah yang dipanggil kebarangkalian?

13. Apakah kebarangkalian sesuatu kejadian?

14. Apakah kebarangkalian kejadian mustahil?

15. Apakah had kebarangkalian?

16. Bagaimanakah kebarangkalian geometri pada satah ditentukan?

17. Bagaimanakah kebarangkalian ditakrifkan dalam ruang?

18. Bagaimanakah kebarangkalian pada garis lurus ditentukan?

19. Apakah kebarangkalian hasil tambah dua peristiwa?

20. Apakah kebarangkalian hasil tambah dua peristiwa yang tidak serasi?

21. Apakah kebarangkalian hasil tambah n peristiwa tidak serasi?

22. Apakah kebarangkalian bersyarat? Berikan satu contoh.

23. Rumuskan teorem pendaraban kebarangkalian.

24. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu peristiwa?

25. Apakah peristiwa yang dipanggil hipotesis?

26. Bilakah jumlah formula kebarangkalian dan formula Bayes digunakan?

Penambahan dan pendaraban kebarangkalian. Artikel ini akan memberi tumpuan kepada penyelesaian masalah dalam teori kebarangkalian. Terdahulu, kami telah menganalisis beberapa tugas yang paling mudah, untuk menyelesaikannya cukup untuk mengetahui dan memahami formula (saya menasihati anda untuk mengulanginya).

Terdapat tugas yang sedikit lebih rumit, untuk penyelesaiannya anda perlu tahu dan faham: peraturan penambahan kebarangkalian, peraturan pendaraban kebarangkalian, konsep peristiwa bergantung dan bebas, peristiwa bertentangan, peristiwa bersama dan tidak serasi. Jangan takut dengan definisi, semuanya mudah)).Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan tugas sedemikian sahaja.

Beberapa teori penting dan mudah:

tidak serasi jika kejadian salah satu daripadanya tidak termasuk kejadian yang lain. Iaitu, hanya satu peristiwa tertentu boleh berlaku, atau yang lain.

Contoh klasik: apabila membaling dadu (dadu), hanya satu yang boleh jatuh, atau hanya dua, atau hanya tiga, dsb. Setiap peristiwa ini tidak serasi dengan yang lain, dan kejadian salah satu daripadanya tidak termasuk kejadian yang lain (dalam satu ujian). Begitu juga dengan duit syiling - kehilangan "helang" menghapuskan kemungkinan kehilangan "ekor".

Ini juga terpakai kepada kombinasi yang lebih kompleks. Contohnya, dua lampu lampu dinyalakan. Setiap daripada mereka mungkin atau mungkin tidak terbakar untuk beberapa waktu. Terdapat pilihan:

1. Yang pertama terbakar dan yang kedua terbakar
2. Yang pertama hangus dan yang kedua tidak hangus
3. Yang pertama tidak hangus dan yang kedua hangus
4. Yang pertama tidak hangus dan yang kedua hangus.

Kesemua 4 varian acara ini tidak serasi - ia tidak boleh berlaku bersama-sama dan tiada satu pun daripadanya dengan mana-mana ...

Definisi: Peristiwa dipanggil sendi jika kejadian salah satu daripadanya tidak mengecualikan kejadian yang lain.

Contoh: seorang ratu akan diambil dari dek kad dan kad spade akan diambil dari dek kad. Dua peristiwa dipertimbangkan. Peristiwa ini tidak saling eksklusif - anda boleh melukis Queen of Spades dan dengan itu kedua-dua acara akan berlaku.

Mengenai jumlah kebarangkalian

Jumlah dua peristiwa A dan B dipanggil peristiwa A + B, yang terdiri daripada fakta bahawa sama ada peristiwa A atau peristiwa B atau kedua-duanya akan berlaku pada masa yang sama.

Jika berlaku tidak serasi peristiwa A dan B, maka kebarangkalian jumlah peristiwa ini adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa:

Contoh dadu:

Kita baling dadu. Apakah kebarangkalian mendapat nombor kurang daripada empat?

Nombor kurang daripada empat ialah 1,2,3. Kita tahu bahawa kebarangkalian mendapat 1 ialah 1/6, a 2 ialah 1/6, dan a 3 ialah 1/6. Ini adalah peristiwa yang tidak serasi. Kita boleh menggunakan peraturan penambahan. Kebarangkalian mendapat nombor kurang daripada empat ialah:

Sesungguhnya, jika kita meneruskan dari konsep kebarangkalian klasik: maka bilangan hasil yang mungkin ialah 6 (bilangan semua muka kubus), bilangan hasil yang menggalakkan ialah 3 (satu, dua atau tiga). Kebarangkalian yang diingini ialah 3 hingga 6 atau 3/6 = 0.5.

* Kebarangkalian jumlah dua peristiwa bersama adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini tanpa mengambil kira kejadian bersamanya: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) -P (AB )

Mengenai pendaraban kebarangkalian

Biarkan dua peristiwa yang tidak serasi A dan B berlaku, kebarangkalian mereka masing-masing adalah P(A) dan P(B). Hasil darab dua peristiwa A dan B dipanggil peristiwa sedemikian A B, yang terdiri daripada fakta bahawa peristiwa ini akan berlaku bersama-sama, iaitu, kedua-dua peristiwa A dan peristiwa B akan berlaku. Kebarangkalian peristiwa sedemikian adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian kejadian A dan B.Dikira mengikut formula:

Seperti yang telah anda perhatikan, penghubung logik "DAN" bermaksud pendaraban.

Contoh dengan dadu yang sama:Baling dadu dua kali. Apakah kebarangkalian untuk melancarkan dua berenam?

Kebarangkalian untuk melancarkan enam untuk kali pertama ialah 1/6. Kali kedua juga sama dengan 1/6. Kebarangkalian mendapat enam pada kali pertama dan kali kedua adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian:

Dalam istilah mudah: apabila sesuatu peristiwa berlaku dalam satu ujian, DAN kemudian satu lagi (yang lain) berlaku, maka kebarangkalian ia akan berlaku bersama-sama adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian peristiwa ini.

Kami menyelesaikan masalah dengan dadu, tetapi kami hanya menggunakan alasan logik, kami tidak menggunakan formula produk. Dalam masalah yang dipertimbangkan di bawah, seseorang tidak boleh melakukannya tanpa formula, atau sebaliknya, lebih mudah dan lebih cepat untuk mendapatkan hasilnya dengan mereka.

Perlu disebutkan satu lagi nuansa. Apabila membuat penaakulan dalam menyelesaikan masalah, konsep SERENTAK kejadian digunakan. Peristiwa berlaku SERENTAK - ini tidak bermakna ia berlaku dalam satu saat (pada satu saat dalam masa). Ini bermakna ia berlaku dalam tempoh masa tertentu (dengan satu ujian).

Sebagai contoh:

Dua lampu terbakar dalam masa setahun (boleh dikatakan - serentak dalam masa setahun)

Dua automata rosak dalam masa sebulan (boleh dikatakan - serentak dalam masa sebulan)

Dadu dilempar tiga kali (mata jatuh pada masa yang sama, yang bermaksud dalam satu ujian)

Biathlete membuat lima pukulan. Peristiwa (tembakan) berlaku semasa satu ujian.

Peristiwa A dan B adalah bebas jika kebarangkalian salah satu daripadanya tidak bergantung pada kejadian atau tidak berlakunya peristiwa lain.

Pertimbangkan tugas:

Dua kilang menghasilkan kaca yang sama untuk lampu kereta. Kilang pertama menghasilkan 35% daripada cermin mata ini, yang kedua - 65%. Kilang pertama menghasilkan 4% daripada cermin mata yang rosak, dan yang kedua - 2%. Cari kebarangkalian bahawa gelas yang dibeli secara tidak sengaja di kedai akan rosak.

Kilang pertama mengeluarkan 0.35 produk (cermin mata). Kebarangkalian untuk membeli kaca yang rosak dari kilang pertama ialah 0.04.

Kilang kedua mengeluarkan 0.65 gelas. Kebarangkalian untuk membeli kaca yang rosak dari kilang kedua ialah 0.02.

Kebarangkalian gelas itu dibeli di kilang pertama DAN pada masa yang sama ia akan rosak ialah 0.35∙0.04 = 0.0140.

Kebarangkalian gelas itu dibeli di kilang kedua DAN pada masa yang sama ia akan rosak ialah 0.65∙0.02 = 0.0130.

Membeli kaca yang rosak di kedai membayangkan bahawa ia (kaca yang rosak) telah dibeli SAMA ADA dari kilang pertama ATAU dari yang kedua. Ini adalah peristiwa yang tidak serasi, iaitu, kami menambah kebarangkalian yang terhasil:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Jawapan: 0.027

Jika grandmaster A. bermain putih, maka dia menang grandmaster B. dengan kebarangkalian 0.62. Jika A. bermain hitam, maka A. mengalahkan B. dengan kebarangkalian 0.2. Grandmasters A. dan B. bermain dua permainan, dan dalam permainan kedua mereka menukar warna kepingan. Cari kebarangkalian bahawa A. menang kedua-dua kali.

Peluang untuk memenangi perlawanan pertama dan kedua adalah bebas antara satu sama lain. Dikatakan bahawa grandmaster mesti menang kedua-dua kali, iaitu menang kali pertama DAN pada masa yang sama menang kali kedua. Dalam kes apabila peristiwa bebas mesti berlaku bersama, kebarangkalian peristiwa ini didarabkan, iaitu, peraturan pendaraban digunakan.

Kebarangkalian untuk menghasilkan peristiwa ini akan bersamaan dengan 0.62∙0.2 = 0.124.

Jawapan: 0.124

Dalam peperiksaan geometri, pelajar mendapat satu soalan daripada senarai soalan peperiksaan. Kebarangkalian bahawa ini adalah soalan bulatan bertulis ialah 0.3. Kebarangkalian bahawa ini adalah soalan Paralelogram ialah 0.25. Tiada soalan yang berkaitan dengan dua topik ini pada masa yang sama. Cari kebarangkalian bahawa pelajar akan mendapat soalan mengenai salah satu daripada dua topik ini dalam peperiksaan.

Iaitu, adalah perlu untuk mencari kebarangkalian bahawa pelajar akan mendapat soalan SAMA ADA mengenai topik "Bulatan tersurat", ATAU pada topik "Paralelogram". Dalam kes ini, kebarangkalian disimpulkan, kerana peristiwa ini tidak serasi dan mana-mana peristiwa ini boleh berlaku: 0.3 + 0.25 = 0.55.

*Peristiwa berpisah ialah peristiwa yang tidak boleh berlaku pada masa yang sama.

Jawapan: 0.55

Biathlete menembak lima kali ke arah sasaran. Kebarangkalian untuk terkena sasaran dengan satu pukulan ialah 0.9. Cari kebarangkalian bahawa atlet biathlet itu mencapai sasaran empat kali pertama dan terlepas sasaran terakhir. Bundarkan keputusan kepada perseratus terdekat.

Oleh kerana biathlete mencapai sasaran dengan kebarangkalian 0.9, dia tersasar dengan kebarangkalian 1 - 0.9 = 0.1

*Terlepas dan pukulan ialah peristiwa yang tidak boleh berlaku serentak dengan satu pukulan, jumlah kebarangkalian peristiwa ini ialah 1.

Kita bercakap tentang pentauliahan beberapa acara (bebas). Jika sesuatu peristiwa berlaku dan pada masa yang sama satu lagi (seterusnya) berlaku pada masa yang sama (ujian), maka kebarangkalian peristiwa ini didarabkan.

Kebarangkalian untuk menghasilkan peristiwa bebas adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya.

Oleh itu, kebarangkalian peristiwa "pukul, pukul, pukul, pukul, terlepas" adalah bersamaan dengan 0.9∙0.9∙0.9∙0.9∙0.1 = 0.06561.

Membundarkan kepada perseratus, kita mendapat 0.07

Jawapan: 0.07

Kedai itu mempunyai dua mesin pembayaran. Setiap daripada mereka boleh rosak dengan kebarangkalian 0.07, tanpa mengira automaton yang lain. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu automata boleh diservis.

Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua automata rosak.

Peristiwa ini adalah bebas, jadi kebarangkalian akan sama dengan hasil darab kebarangkalian peristiwa ini: 0.07∙0.07 = 0.0049.

Ini bermakna kebarangkalian bahawa kedua-dua automata berfungsi atau salah satu daripadanya akan bersamaan dengan 1 - 0.0049 = 0.9951.

* Kedua-duanya boleh digunakan dan ada yang sepenuhnya - memenuhi syarat "sekurang-kurangnya satu".

Seseorang boleh membentangkan kebarangkalian semua peristiwa (bebas) untuk diuji:

1. “faulty-faulty” 0.07∙0.07 = 0.0049

2. “Baik-Rapat” 0.93∙0.07 = 0.0651

3. "Faulty-Faulty" 0.07∙0.93 = 0.0651

4. “sihat-sihat” 0.93∙0.93 = 0.8649

Untuk menentukan kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu automaton berada dalam keadaan baik, adalah perlu untuk menambah kebarangkalian peristiwa bebas 2,3 dan 4: sesuatu peristiwa Peristiwa dipanggil peristiwa yang pasti berlaku hasil daripada pengalaman. Peristiwa itu dipanggil mustahil jika ia tidak pernah berlaku hasil daripada pengalaman.

Sebagai contoh, jika satu bola diambil secara rawak dari kotak yang mengandungi hanya bola merah dan hijau, maka penampilan bola putih di antara bola yang ditarik adalah peristiwa yang mustahil. Kemunculan merah dan kemunculan bola hijau membentuk kumpulan acara yang lengkap.

Definisi: Peristiwa itu dipanggil sama mungkin , jika tiada sebab untuk mempercayai bahawa salah satu daripadanya akan muncul sebagai hasil daripada eksperimen dengan kebarangkalian yang lebih besar.

Dalam contoh di atas, kemunculan bola merah dan hijau adalah peristiwa yang sama berkemungkinan jika kotak itu mengandungi bilangan bola merah dan hijau yang sama. Jika terdapat lebih banyak bola merah di dalam kotak daripada bola hijau, maka penampilan bola hijau kurang berkemungkinan daripada penampilan bola merah.

Dalam kita akan mempertimbangkan lebih banyak masalah di mana jumlah dan hasil kebarangkalian kejadian digunakan, jangan ketinggalan!

Itu sahaja. Semoga anda berjaya!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh.

Maria Ivanovna memarahi Vasya:
Petrov, kenapa awak tidak ke sekolah semalam?!
Ibu saya mencuci seluar saya semalam.
- Jadi apa?
- Dan saya sedang berjalan melepasi rumah dan melihat rumah anda tergantung. Saya fikir awak tidak akan datang.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu tentang laman web dalam rangkaian sosial.