Ivanova Anastasia

Tugasan No. 15 peperiksaan khusus dalam matematik ialah tugas yang mempunyai tahap kerumitan yang meningkat, mewakili ketidaksamaan. Apabila menyelesaikan ketaksamaan ini, pelajar mesti menunjukkan pengetahuan tentang teorem tentang kesetaraan ketaksamaan jenis tertentu, dan kebolehan untuk menggunakan kaedah penyelesaian piawai dan bukan piawai. Analisis kandungan buku teks sekolah menunjukkan bahawa dalam kebanyakannya, kaedah untuk menyelesaikan ketidaksamaan menggunakan sifat fungsi tidak diberi perhatian yang sewajarnya, dan dalam tugas Peperiksaan Negeri Bersatu hampir setiap tahun ketidaksamaan dicadangkan, penyelesaiannya dipermudahkan. jika sifat fungsi digunakan. Menurut statistik yang dibentangkan di laman web Institut Pengukuran Pedagogi Persekutuan, pada tahun 2017, kira-kira 15% peserta peperiksaan menerima mata bukan sifar untuk tugas ini; markah maksimum ialah kira-kira 11%. Semua yang dicatat menunjukkan bahawa pelajar mengalami kesukaran yang besar dalam menyelesaikan tugasan No. 15 Peperiksaan Negeri Bersepadu. Sasaran: Terokai cara yang berbeza untuk menyelesaikan ketaksamaan.

:

1. Kaji bahan teori mengenai topik ini.

2. Pertimbangkan contoh yang ditawarkan dalam bank tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu di laman web Institut Pengukuran Pedagogi Persekutuan.

3. Kaji kaedah fungsi-grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan.

4. Bandingkan kaedah yang berbeza untuk menyelesaikan ketaksamaan.

5. Semak secara eksperimen kaedah penyelesaian ketaksamaan yang paling rasional.

Kaedah penyelidikan: tinjauan, penyoalan, analisis, perbandingan dan sintesis keputusan.

Dalam kerja kami, kami mengkaji kaedah grafik berfungsi untuk menyelesaikan ketaksamaan. Pelbagai kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan telah dibandingkan. Kami menyemak secara eksperimen kaedah manakah untuk menyelesaikan ketaksamaan yang paling rasional. Dan mereka membuat kesimpulan bahawa pelajar mesti mengetahui beberapa cara untuk menyelesaikan ketidaksamaan untuk menjimatkan masa dan mengurangkan risiko kesilapan logik dan pengiraan.

Muat turun:

Pratonton:

Kajian pelbagai kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan

Ivanova Anastasia Evgenevna

Institusi pendidikan belanjawan perbandaran
"Sekolah Menengah No. 30 dengan kajian mendalam tentang subjek individu"

gred 11b

Artikel saintifik (huraian kerja)

1. Pengenalan

Perkaitan.

Tugasan No. 15 peperiksaan khusus dalam matematik ialah tugasan dengan tahap kerumitan yang meningkat, mewakili ketidaksamaan (rasional, tidak rasional, eksponen, logaritma). Apabila menyelesaikan ketaksamaan ini, pelajar mesti menunjukkan pengetahuan tentang teorem tentang kesetaraan ketaksamaan jenis tertentu, dan kebolehan untuk menggunakan kaedah penyelesaian piawai dan bukan piawai.

Penyelesaian lengkap yang betul untuk tugas ini bernilai 2 mata. Apabila menyelesaikan masalah, sebarang kaedah matematik boleh diterima - algebra, berfungsi, grafik, geometri, dsb.

Menurut statistik yang dibentangkan di laman web Institut Pengukuran Pedagogi Persekutuan, pada tahun 2017, kira-kira 15% peserta peperiksaan menerima mata bukan sifar untuk tugas ini; markah maksimum ialah kira-kira 11%. Kesilapan biasa dikaitkan dengan pembacaan lalai bagi tatatanda ketaksamaan matematik, salah faham algoritma untuk menyelesaikan agregat dan sistem ketaksamaan logaritma. Banyak kesilapan yang dilakukan oleh peserta peperiksaan semasa menyelesaikan ketaksamaan rasional pecahan (penyebutnya dilupakan).

Keputusan menyelesaikan tugasan No. 15 oleh pelajar sekolah kami pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik dibentangkan dalam Jadual 1 dan dalam rajah (Rajah 1).

Jadual 1

Keputusan tugasan No 15 oleh pelajar sekolah kami

Rajah.1. Keputusan tugasan No 15 oleh pelajar sekolah kami

Keputusan tugasan No 15 peperiksaan bandar percubaan gred 11a,b tahun pelajaran 2017-2018. tahun dibentangkan dalam Jadual 2 dan dalam rajah (Rajah 2).

Jadual 2

Keputusan tugasan No 15 pada peperiksaan bandar percubaan

pada tahun akademik 2017-2018. tahun oleh pelajar sekolah kami

Rajah.2. Keputusan tugasan No 15 pada peperiksaan percubaan tahun akademik 2017-2018. tahun oleh pelajar sekolah kami

Kami menjalankan tinjauan terhadap guru matematik di sekolah kami dan mengenal pasti masalah utama yang dihadapi oleh pelajar semasa menyelesaikan ketidaksamaan: penentuan salah julat nilai ketidaksamaan yang boleh diterima; pertimbangan bukan semua kes peralihan daripada ketaksamaan logaritma kepada rasional; menukar ungkapan logaritma; kesilapan dalam menggunakan kaedah selang, dsb.

Beberapa ralat biasa dikaitkan dengan penggunaan kaedah selang dan pengenalan pembolehubah tambahan. Contohnya, ralat dalam menentukan tanda pada selang waktu atau penempatan nombor yang salah pada garis koordinat, mengikut kriteria, boleh ditafsirkan sebagai ralat pengiraan. Lain-lain yang berkaitan dengan melangkau langkah-langkah algoritma atau melaksanakannya dengan salah diberi markah 0 mata.

Semua yang dinyatakan menunjukkan bahawa pelajar mengalami kesukaran yang besar dalam menyelesaikan tugasan No. 15 Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik. Sehubungan dengan itu, kami telah mengemukakan hipotesis : jika pelajar mengetahui beberapa cara untuk menyelesaikan ketaksamaan, maka dia akan dapat memilih yang paling rasional.

Objek kajian: ketidaksamaan.

Subjek kajian: pelbagai cara untuk menyelesaikan ketaksamaan.

Sasaran : Terokai cara yang berbeza untuk menyelesaikan ketaksamaan.

Untuk mencapai matlamat ini, tugas-tugas berikut telah diselesaikan:

1. Kaji bahan teori mengenai topik ini.
2. Pertimbangkan contoh yang ditawarkan dalam bank tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu di laman web Institut Pengukuran Pedagogi Persekutuan.
3. Kaji kaedah grafik fungsian untuk menyelesaikan ketaksamaan.
4. Bandingkan kaedah yang berbeza untuk menyelesaikan ketaksamaan.
5. Semak secara eksperimen kaedah manakah untuk menyelesaikan ketaksamaan yang paling rasional.

2. Bahagian utama

2.1. Bahagian teori

1. Ketaksamaan linear

Ketaksamaan linearialah ketaksamaan dalam bentuk: ax + b 0; ax+b≥0; ax+b≤0, di mana a dan b – sebarang nombor, dan a≠0,x - pembolehubah tidak diketahui.

Peraturan untuk mengubah ketaksamaan:

1. Sebarang istilah ketidaksamaan boleh dipindahkan dari satu bahagian ketaksamaan ke yang lain, menukar tanda kepada yang bertentangan.

2. Kedua-dua belah ketaksamaan boleh didarab/dibahagi dengan nombor positif yang sama untuk mendapatkan ketaksamaan yang setara dengan yang diberi.

3. Kedua-dua belah ketaksamaan boleh didarab/dibahagikan dengan nombor negatif yang sama, membalikkan tanda ketaksamaan.

2. Ketaksamaan kuadratik

Ketaksamaan bentuk

di mana x ialah pembolehubah, a, b, c ialah nombor, , dipanggil kuasa dua. Apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, adalah perlu untuk mencari punca-punca yang sepadanpersamaan kuadratik . Untuk melakukan ini, anda perlu mencaridiskriminasi daripada persamaan kuadratik ini. Anda boleh dapat 3 kes: 1) D=0 , persamaan kuadratik mempunyai satu punca; 2) D>0 persamaan kuadratik mempunyai dua punca; 3)D persamaan kuadratik tidak mempunyai punca. Bergantung pada akar yang diperolehi dan tanda pekali a satu daripada enam lokasi yang mungkingrafik fungsi (Lampiran 1).

3. Ketaksamaan rasional

Ketaksamaan rasionaldengan satu pembolehubah x dipanggil ketaksamaan dalam bentuk f(x) ungkapan, i.e. ungkapan algebra yang terdiri daripada nombor, pembolehubah x dan menggunakan operasi matematik, i.e. operasi tambah, tolak, darab, bahagi dan naikkan kepada kuasa semula jadi.Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan rasional menggunakan kaedah selang(Lampiran 1).

4. Ketaksamaan eksponen

Ketaksamaan eksponen- ini adalah ketidaksamaan , di mana yang tidak diketahui berada dalam eksponen. Yang paling mudahketidaksamaan eksponen mempunyai bentuk: a x ‹ b atau a x › b, dengan a> 0, a ≠ 1, x tidak diketahui.

5. Ketaksamaan logaritma

Ketaksamaan logaritmadipanggil ketaksamaan di mana kuantiti yang tidak diketahui berada di bawah tandalogaritma .

1. Ketaksamaan jika berkurangan kepada ketidaksamaan yang setara. Jika - kemudian kepada ketidaksamaan.

Begitu juga ketidaksamaanadalah bersamaan dengan ketaksamaan untuk: ; Untuk : .

Penyelesaian kepada ketaksamaan yang diperoleh mesti bersilang dengan ODZ:

2. Menyelesaikan ketaksamaan logaritma bagi bentukadalah bersamaan dengan menyelesaikan sistem berikut:

A) b)

Ketaksamaan dalam setiap dua kes ia dikurangkan kepada salah satu sistem:

A) b)

6. Ketaksamaan yang tidak rasional

Jika ketaksamaan termasuk fungsi di bawah tanda akar, maka ketaksamaan tersebut dipanggil tidak rasional.

.

2.2. Bahagian praktikal

Kajian #1

Sasaran : Ketahui kaedah fungsi terhad.

Kemajuan kerja:

1. Kaji kaedah fungsi terhad.

2. Selesaikan ketaksamaan dengan kaedah ini.

Untuk menggunakan keterbatasan fungsi, anda mesti dapat mencari set nilai fungsi dan mengetahui anggaran julat nilai fungsi standard (contohnya,) .

Contoh #1 . Selesaikan ketaksamaan:

Penyelesaian:

Skop:

Untuk semua x daripada set yang terhasil kita ada:

Oleh itu, penyelesaian kepada ketidaksamaan

Jawapan:

Contoh No. 2. Selesaikan ketaksamaan:

Penyelesaian:

Kerana

Ketaksamaan ini adalah setara

Persamaan pertama sistem mempunyai satu punca x = - 0.4, yang juga memenuhi persamaan kedua.

Jawapan: - 0.4

Kesimpulan: Kaedah ini paling berkesan jika ketaksamaan mengandungi fungsi sepertidan lain-lain, julatnya terhad di atas atau di bawah.

Kajian #2

Sasaran : mengkaji kaedah merasionalkan penyelesaian ketaksamaan.

Kemajuan kerja:

1. Kaji kaedah rasionalisasi.

2. Selesaikan ketaksamaan dengan kaedah ini.

Kaedah rasionalisasi terdiri daripada menggantikan ungkapan kompleks F(x) dengan ungkapan yang lebih mudah G(x), di mana ketaksamaan G(x) v 0 adalah bersamaan dengan ketaksamaan F(x) v 0 pada domain definisi bagi ungkapan F(x) (simbol "v" menggantikan salah satu tanda ketaksamaan: ≤, ≥, >,

Mari kita serlahkan beberapa ungkapan tipikal F dan ungkapan rasionalisasi yang sepadan G (Jadual 1), dengan f, g, h, p, q ialah ungkapan dengan pembolehubah x (h>0, h≠1,f>0,g>0) , a -nombor tetap (a>0, a≠1). (Lampiran 2).

Contoh No. 1. Selesaikan ketaksamaan:

O.D.Z:

Jawapan:

Contoh No. 2. Selesaikan ketaksamaan:

O.D.Z:

Dengan mengambil kira domain definisi, kami memperoleh

Jawapan:

Kesimpulan : Ketaksamaan dengan logaritma kepada asas berubah adalah yang paling sukar. Kaedah rasionalisasi membolehkan anda beralih daripada ketaksamaan yang mengandungi eksponen kompleks, logaritma, dsb. ungkapan, kepada ketaksamaan rasional yang setara dengannya yang lebih mudah. Kaedah rasionalisasi bukan sahaja menjimatkan masa, tetapi juga mengurangkan risiko ralat logik dan pengiraan.

Kajian #3

Sasaran : dalam proses menyelesaikan ketaksamaan, bandingkan kaedah yang berbeza.

Kemajuan kerja:

1. Selesaikan ketaksamaanmenggunakan kaedah yang berbeza.

2. Bandingkan keputusan dan buat kesimpulan.

Contoh No. 1. Selesaikan ketidaksamaan

Penyelesaian:

1 cara. Kaedah algebra

Penyelesaian sistem pertama:

Kami menyelesaikan ketidaksamaan kedua sistem kedua:

Kaedah 2 . Menggunakan Skop Fungsi

Skop:

Untuk nilai x ini kita dapat:

Bahagian kanan ketidaksamaan adalah negatif pada domain definisinya. Oleh itu, ketidaksamaan adalah sah untuk

Jawapan:

3 cara. Kaedah grafik

Kesimpulan : semasa menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah algebra, saya sampai kepada ketaksamaan darjah keenam, menghabiskan banyak masa untuk menyelesaikannya, tetapi tidak dapat menyelesaikannya. Kaedah rasional, pada pendapat saya, adalah menggunakan domain fungsi atau secara grafik.

Contoh No. 2. Selesaikan ketaksamaan:.

Jawapan:

Kesimpulan: Saya dapat menyelesaikan ketidaksamaan ini hanya berkat kaedah rasionalisasi.

Kesimpulan

Analisis kandungan buku teks sekolah menunjukkan bahawa dalam kebanyakannya, kaedah untuk menyelesaikan ketidaksamaan menggunakan sifat fungsi tidak diberi perhatian yang sewajarnya, dan dalam tugas Peperiksaan Negeri Bersatu hampir setiap tahun ketidaksamaan dicadangkan, penyelesaiannya dipermudahkan. jika sifat fungsi digunakan.

Kebanyakan pelajar menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah standard, algoritma, yang kadangkala mengakibatkan pengiraan yang menyusahkan. Sehubungan itu, peratusan penyelesaian tugasan No 15 pada Peperiksaan Negeri Bersepadu adalah rendah.

Skop penggunaan sifat fungsi dalam menyelesaikan ketaksamaan adalah sangat luas. Penggunaan sifat (keterbatasan, kemonotonan, dsb.) bagi fungsi yang termasuk dalam ketaksamaan membenarkan penggunaan kaedah penyelesaian bukan piawai. Pada pendapat kami, keupayaan untuk menggunakan sifat fungsi yang diperlukan semasa menyelesaikan ketaksamaan boleh membolehkan pelajar memilih penyelesaian yang lebih rasional.

Dalam kerja kami, kami mengkaji kaedah grafik berfungsi untuk menyelesaikan ketaksamaan. Pelbagai kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan telah dibandingkan. Kami menyemak secara eksperimen kaedah manakah untuk menyelesaikan ketaksamaan yang paling rasional.

Dan mereka membuat kesimpulan bahawa pelajar mesti mengetahui beberapa cara untuk menyelesaikan ketidaksamaan untuk menjimatkan masa dan mengurangkan risiko kesilapan logik dan pengiraan.

Objektif kerja kami telah selesai, matlamat telah dicapai, hipotesis telah disahkan.

kesusasteraan:

1. Alimov Sh., Kolyagin Yu., Sidorov Yu. dan permulaan analisis: Buku teks untuk gred 10-11. pendidikan am institusi / Sh. A. Alimov, Yu M. Kolyagin, Yu V. Sidorov dan lain-lain - ed. – M.: Pendidikan, 2007. – 384 hlm.
2. Koryanov A.G., Prokofiev A.A. Bahan kursus "Menyediakan pelajar yang baik dan cemerlang untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu": kuliah 1-4. - M.: Universiti Pedagogi "Pertama September", 2012. - 104 p.
3. Laman web http://www.fipi.ru/.
4. Laman web https://ege.sdamgia.ru/.
5. Yashchenko I. V. Peperiksaan Negeri Bersatu. Matematik. Tahap profil: pilihan peperiksaan standard: 36 pilihan / ed. I. V. Yashchenko. - M.: Rumah Penerbitan "Pendidikan Negara", 2018. - 256 p.

Pratonton:

Untuk menggunakan pratonton pembentangan, buat akaun Google dan log masuk kepadanya: https://accounts.google.com

Kapsyen slaid:

Kajian pelbagai kaedah untuk menyelesaikan ketidaksamaan Ivanova Anastasia Evgenievna MBOU "Sekolah Menengah No. 30 dengan kajian mendalam tentang subjek individu"

Keputusan tugasan No 15 oleh pelajar sekolah kami

Keputusan tugasan No 15 pada peperiksaan percubaan tahun akademik 2017-2018. tahun oleh pelajar sekolah kami

Hipotesis: jika pelajar mengetahui beberapa cara untuk menyelesaikan ketaksamaan, maka dia akan dapat memilih yang paling rasional Objek kajian: ketaksamaan Subjek kajian: pelbagai cara untuk menyelesaikan ketaksamaan

Matlamat: Terokai cara yang berbeza untuk menyelesaikan ketaksamaan. Untuk mencapai matlamat ini, tugasan berikut telah diselesaikan: Kaji bahan teori mengenai topik ini. Pertimbangkan contoh yang ditawarkan dalam bank tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu di laman web Institut Pengukuran Pedagogi Persekutuan. Kaji kaedah grafik fungsian untuk menyelesaikan ketaksamaan. Bandingkan kaedah yang berbeza untuk menyelesaikan ketaksamaan. Semak secara eksperimen kaedah manakah untuk menyelesaikan ketaksamaan yang paling rasional.

Kajian No. 1 Tujuan: Mengkaji kaedah fungsi terhad. Kemajuan: 1. Kaji kaedah fungsi terhad. 2. Selesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah ini. Contoh No. 1. Selesaikan ketaksamaan: Penyelesaian: Domain: Untuk semua x daripada set yang terhasil kita ada: Oleh itu, penyelesaian kepada ketaksamaan Jawapan:

Contoh No. 2. Selesaikan ketaksamaan: Penyelesaian: Kerana Ketaksamaan ini adalah bersamaan Persamaan pertama sistem mempunyai satu punca x = - 0.4, yang juga memenuhi persamaan kedua. Jawapan: - 0.4 Kesimpulan: kaedah ini paling berkesan jika ketaksamaan mengandungi fungsi, seperti yang lain, yang julat nilainya terhad di atas atau di bawah.

Kajian No. 2 Tujuan: untuk mengkaji kaedah untuk merasionalkan penyelesaian ketaksamaan. Kemajuan: 1. Kaji kaedah rasionalisasi. 2. Selesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah ini. Contoh No. 1. Selesaikan ketaksamaan: O.D.Z: Dengan mengambil kira domain definisi, kami memperoleh Jawapan:

Contoh No. 2. Selesaikan ketaksamaan: O.D.Z: Dengan mengambil kira domain definisi, kita memperoleh Jawapan: Kesimpulan: ketaksamaan dengan logaritma kepada asas berubah menyebabkan kesukaran yang paling besar. Kaedah rasionalisasi membolehkan anda beralih daripada ketaksamaan yang mengandungi eksponen kompleks, logaritma, dsb. ungkapan, kepada ketaksamaan rasional yang setara dengannya yang lebih mudah. Kaedah rasionalisasi bukan sahaja menjimatkan masa, tetapi juga mengurangkan risiko ralat logik dan pengiraan.

Kajian No. 3 Tujuan: dalam proses menyelesaikan ketaksamaan, bandingkan kaedah yang berbeza. Kemajuan: 1. Selesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah yang berbeza. 2. Bandingkan keputusan dan buat kesimpulan. Contoh No. 1. Selesaikan ketaksamaan 1 cara. Kaedah algebra Menyelesaikan sistem pertama: Menyelesaikan ketaksamaan kedua sistem kedua: Kaedah ke-2. Menggunakan domain definisi fungsi Domain definisi: Untuk nilai x ini kita dapat: Bahagian kanan ketaksamaan adalah negatif pada domain definisinya. Oleh itu, ketidaksamaan adalah sah untuk

3 cara. Kaedah grafik Kesimpulan: menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah algebra, saya sampai kepada ketidaksamaan darjah keenam, menghabiskan banyak masa untuk menyelesaikannya, tetapi tidak dapat menyelesaikannya. Kaedah rasional, pada pendapat saya, adalah menggunakan domain fungsi atau secara grafik.

Contoh No. 2. Selesaikan ketaksamaan: Jawapan: Kesimpulan: Saya dapat menyelesaikan ketaksamaan ini hanya berkat kaedah rasionalisasi.

Skop penggunaan sifat fungsi dalam menyelesaikan ketaksamaan adalah sangat luas. Penggunaan sifat (keterbatasan, kemonotonan, dsb.) bagi fungsi yang termasuk dalam ketaksamaan membenarkan penggunaan kaedah penyelesaian bukan piawai. Pada pendapat kami, keupayaan untuk menggunakan sifat fungsi yang diperlukan semasa menyelesaikan ketaksamaan boleh membolehkan pelajar memilih penyelesaian yang lebih rasional. Dalam kerja kami, kami mengkaji kaedah grafik berfungsi untuk menyelesaikan ketaksamaan. Pelbagai kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan telah dibandingkan. Kami menyemak secara eksperimen kaedah manakah untuk menyelesaikan ketaksamaan yang paling rasional. Dan mereka membuat kesimpulan bahawa pelajar mesti mengetahui beberapa cara untuk menyelesaikan ketidaksamaan untuk menjimatkan masa dan mengurangkan risiko kesilapan logik dan pengiraan. Objektif kerja kami telah selesai, matlamat telah dicapai, hipotesis telah disahkan.

Terima kasih atas perhatian anda!

Institusi pendidikan perbandaran

Sekolah menengah asas Yuryevskaya

Daerah Ostrovsky

Peringkat perbandaran pertandingan metodologi serantau

Pencalonan

Manual kaedah

Subjek

Kaedah grafik fungsional untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan dalam kursus algebra sekolah menengah.

Kerja telah disediakan oleh:

guru matematik

pengenalan

Analisis buku teks sekolah

Analisis Peperiksaan Negeri Bersepadu

1. Bahagian teori umum

1.1. Kaedah grafik

1.2. Kaedah berfungsi

2. Menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan menggunakan sifat input

fungsi di dalamnya

2.1. Penggunaan DZ

2.2. Menggunakan batasan ciri

2.3. Menggunakan fungsi monotonisitas

2.4. Menggunakan Graf Fungsi

2.5. Menggunakan sifat genap atau ganjil dan keberkalaan fungsi .

3. Menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan

3.1. Menyelesaikan persamaan

3.2. Menyelesaikan ketaksamaan

Bengkel

Rujukan

Permohonan

pengenalan

Topik kerja saya ialah "Kaedah grafik-fungsi untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan dalam kursus algebra sekolah menengah." Salah satu topik utama kursus algebra sekolah menengah. Menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan memainkan peranan penting dalam kursus matematik sekolah menengah. Pelajar mula belajar tentang ketaksamaan dan persamaan di sekolah rendah.

Kandungan topik "Persamaan" dan "Ketaksamaan" secara beransur-ansur diperdalam dan dikembangkan. Jadi, sebagai contoh, peratusan ketidaksamaan daripada jumlah bahan yang dipelajari dalam gred 7 ialah 20%, dalam gred 8 - 25%, dalam gred 9 - 30%, dalam gred 10-11 - 35%.

Kajian akhir ketaksamaan dan persamaan berlaku dalam algebra dan kursus analisis permulaan gred 10-11. Sesetengah universiti memasukkan persamaan dan ketidaksamaan dalam kertas peperiksaan, yang selalunya sangat kompleks dan memerlukan pendekatan penyelesaian yang berbeza. Di sekolah, salah satu bahagian yang paling sukar dalam kursus matematik sekolah diliputi hanya dalam beberapa kelas elektif.

Fokus kerja ini adalah untuk menyediakan pendedahan yang lebih lengkap tentang aplikasi kaedah grafik berfungsi untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan dalam kursus algebra sekolah menengah.

Perkaitan kerja ini ialah topik ini termasuk dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Dalam menyediakan kerja ini, saya menetapkan matlamat untuk mempertimbangkan seberapa banyak jenis persamaan dan ketaksamaan yang mungkin, diselesaikan dengan kaedah fungsi-grafik. Kaji juga topik ini dengan lebih mendalam, mengenal pasti penyelesaian paling rasional yang cepat membawa kepada jawapan.

Objek kajian adalah algebra untuk gred 10-11, disunting dan varian Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Kerja ini membincangkan jenis persamaan dan ketaksamaan yang sering ditemui; Saya berharap ilmu yang saya perolehi dalam proses kerja akan membantu apabila lulus peperiksaan sekolah dan ketika memasuki universiti. Ia juga boleh berfungsi sebagai alat bantu mengajar untuk menyediakan murid-murid sekolah untuk mengambil Peperiksaan Negeri Bersatu.

Analisis buku teks sekolah

Dalam kesusasteraan metodologi, adalah kebiasaan untuk membahagikan semua kaedah di mana garis sekolah persamaan dan ketidaksamaan dari gred 7 hingga 11 dibahagikan kepada tiga kumpulan:

kaedah pemfaktoran;

ükaedah memperkenalkan pembolehubah baharu;

Kaedah grafik berfungsi.

Mari kita pertimbangkan kaedah ketiga, iaitu, penggunaan graf fungsi dan pelbagai sifat fungsi.

Kanak-kanak sekolah mesti diajar menggunakan kaedah grafik fungsional dari awal mempelajari topik "Persamaan".

Penyelesaian kepada beberapa masalah boleh berdasarkan sifat monotonicity, periodicity, kesamaan atau keganjilan, dsb. fungsi yang termasuk di dalamnya.

Setelah menganalisis buku teks, kita boleh membuat kesimpulan bahawa topik ini hanya dibincangkan dalam buku teks matematik generasi baru Pembinaan kursus dalam buku teks ini adalah berdasarkan keutamaan garis grafik berfungsi. Dalam buku teks lain, kaedah grafik fungsian untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan tidak diserlahkan sebagai topik yang berasingan. Menggunakan sifat fungsi untuk menyelesaikan masalah disebut secara sepintas lalu semasa mempelajari topik lain. Buku teks baharu juga mengandungi bilangan tugasan jenis ini yang mencukupi. Buku teks mengandungi tugasan peringkat lanjutan. Sistem tugas yang paling lengkap dibentangkan, disusun secara sistematik untuk setiap sifat fungsi.

Buku teks	"Algebra dan permulaan analisis 10-11", buku teks untuk institusi pendidikan,	, “Algebra dan permulaan analisis 11”, buku teks untuk institusi pendidikan am (peringkat profil)		dan lain-lain "Algebra dan permulaan analisis 11", buku teks untuk institusi pendidikan	dan lain-lain "Algebra dan permulaan analisis 10-11", buku teks untuk institusi pendidikan
Letakkan dalam pengetahuan	Bab 8 “Persamaan dan ketaksamaan. Sistem persamaan dan ketaksamaan" (topik terakhir kursus)	Bab 6 “Persamaan dan ketaksamaan. Sistem persamaan dan ketaksamaan" (topik terakhir kursus)	Bab II "Persamaan, ketaksamaan, sistem"	Tiada topik yang berasingan. Tetapi dalam topik "Menyelesaikan persamaan trigonometri dan ketaksamaan" teorem akar dirumuskan, yang digunakan dalam kajian lanjut	Tiada topik berasingan
	§ §56 Kaedah umum untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan (kaedah grafik fungsi: teorem punca, sempadan fungsi)	§ §27 Kaedah umum untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan (kaedah fungsi-grafik: teorem punca, sempadan fungsi)	§ Persamaan (ketaksamaan) bentuk ; § §12*Kaedah bukan piawai untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan (menggunakan domain kewujudan fungsi, bukan negatif fungsi, sempadan, menggunakan sifat sin dan cos, menggunakan terbitan)	Sifat monotonisitas fungsi, genap-ganjil (apabila memperoleh formula untuk punca persamaan trigonometri)	Sifat monotonisitas disebut apabila menganalisis contoh dalam topik "Fungsi Eksponen"
Contoh persamaan dan ketaksamaan yang dipertimbangkan	(;		Selesaikan persamaan. Berapakah bilangan punca persamaan dalam selang ini?	Selesaikan persamaan

Analisis Peperiksaan Negeri Bersatu (teks dan keputusan)

Peperiksaan Negeri Bersepadu sebagai satu bentuk pensijilan, yang diperkenalkan ke dalam amalan pendidikan Rusia pada tahun 2002, telah beralih daripada mod eksperimen kepada mod biasa sejak 2009.

Analisis teks Peperiksaan Negeri Bersepadu menunjukkan bahawa tugas di mana sifat fungsi digunakan ditemui setiap tahun.

Pada tahun 2003, dalam tugasan A9 dan C2, apabila menyelesaikan, anda boleh menggunakan sifat fungsi:

· A9. Nyatakan selang kepunyaan punca-punca persamaan .

· C2. Cari semua nilai hlm, yang mana persamaan tidak mempunyai akar.

· Pada tahun 2004 – tugasan B2. Berapakah bilangan punca persamaan itu? .

· Pada tahun 2005, tugasan C2 (selesaikan persamaan ) diselesaikan oleh 37% pelajar.

Pada tahun 2007, apabila menyelesaikan tugas "Selesaikan persamaan" dalam Bahagian B, graduan mempertimbangkan dua kes semasa menyelesaikan persamaan, lazimnya mendedahkan tanda modulus..gif" width="81" height="24"> hanya mengambil nilai positif.

Malah pelajar yang bersedia dengan baik sering menyelesaikan tugas menggunakan kaedah penyelesaian "template" yang membawa kepada transformasi dan pengiraan yang menyusahkan.

Jelas sekali, apabila menyelesaikan tugasan di atas, seorang graduan yang bersedia dengan baik perlu menunjukkan bukan sahaja pengetahuan tentang kaedah yang diketahui untuk menyelesaikan persamaan atau mengubah ungkapan, tetapi juga keupayaan untuk menganalisis keadaan, mengaitkan data dan keperluan tugas, memperoleh pelbagai akibat. daripada keadaan dan sebagainya, iaitu menunjukkan tahap perkembangan pemikiran matematik tertentu.

Oleh itu, apabila mengajar pelajar yang berprestasi baik, anda bukan sahaja perlu menjaga penguasaan komponen asas kursus algebra dan permulaan analisis (menguasai peraturan, formula, kaedah yang dipelajari), tetapi juga tentang merealisasikan salah satu matlamat utama pengajaran matematik - perkembangan pemikiran pelajar, khususnya, pemikiran matematik. Kursus elektif boleh berfungsi untuk mencapai matlamat ini.

Sesungguhnya, apabila belajar matematik, pelajar institusi pendidikan am secara tradisinya diperkenalkan kepada kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan, ketaksamaan dan sistem mereka. Walau bagaimanapun, dalam beberapa tahun kebelakangan ini, kelas persamaan baru (ketaksamaan) dan kaedah berfungsi baru untuk menyelesaikannya telah muncul dalam kandungan pengajaran matematik. Walau bagaimanapun, tugasan yang terkandung dalam bahan ujian Peperiksaan Negeri Bersepadu (USE) (yang dipanggil persamaan gabungan), penyelesaian yang memerlukan penggunaan kaedah grafik fungsional sahaja, menyebabkan kesukaran kepada pelajar.

1. Bahagian teori umum

Biarkan X dan Y ialah dua set berangka arbitrari. Unsur-unsur set ini masing-masing akan dilambangkan dengan x dan y, dan akan dipanggil pembolehubah.

Definisi. Fungsi berangka yang ditakrifkan pada set X dan mengambil nilai dalam set Y dipanggil surat-menyurat (peraturan, undang-undang) yang mengaitkan setiap x daripada set X dengan satu dan hanya satu nilai y daripada set Y.

Pembolehubah x dipanggil pembolehubah bebas atau hujah, dan pembolehubah y ialah pembolehubah bersandar. Dikatakan juga pembolehubah y ialah fungsi daripada pembolehubah x. Nilai-nilai pembolehubah bersandar dipanggil nilai-nilai fungsi.

Konsep fungsi berangka yang diperkenalkan ialah kes khas konsep umum fungsi sebagai korespondensi antara elemen dua atau lebih set arbitrari.

Biarkan X dan Y ialah dua set arbitrari.

Definisi. Fungsi yang ditakrifkan pada set X dan mengambil nilai dalam set Y ialah surat-menyurat yang mengaitkan dengan setiap elemen set X satu dan hanya satu elemen daripada set Y.

Definisi. Untuk mentakrifkan fungsi bermakna untuk menunjukkan skop definisinya dan korespondensi (peraturan) dengan bantuan yang, memandangkan nilai pembolehubah bebas, nilai fungsi yang sepadan dijumpai.

Terdapat dua cara untuk menyelesaikan persamaan yang berkaitan dengan konsep fungsi: grafik Dan berfungsi. Kes khas kaedah berfungsi ialah kaedah berfungsi, atau universal penggantian.

Definisi. Menyelesaikan persamaan yang diberikan bermakna mencari set semua puncanya (penyelesaian). Set punca (penyelesaian) boleh kosong, terhingga atau tak terhingga. Dalam bab berikut bahagian teori, kami akan menganalisis kaedah yang diterangkan di atas untuk menyelesaikan persamaan, dan dalam bahagian "Amalan" kami akan menunjukkan aplikasinya dalam pelbagai situasi.

1.1. Kaedah grafik.

Dalam amalan, untuk membina graf beberapa fungsi, mereka menyusun jadual nilai fungsi untuk beberapa nilai hujah, kemudian memplot titik yang sepadan pada satah koordinat dan menyambungkannya secara berurutan dengan garis. Adalah diandaikan bahawa mata dengan cukup tepat menunjukkan kemajuan perubahan dalam fungsi.

Definisi. Graf bagi fungsi y = f(x) ialah set semua titik

(x, f(x) | x https://pandia.ru/text/78/500/images/image024_0.jpg" lebar="616" ketinggian="403">

Titik persilangan graf mempunyai koordinat (0.5; 0). Oleh itu, x=0.5

Jawapan: x=0.5

Contoh 2.

10| sinx|=10|cosx|-1

Persamaan ini boleh diselesaikan secara rasional menggunakan kaedah analisis grafik.

Sejak 10>1, persamaan ini bersamaan dengan yang berikut:

Titik persilangan graf mempunyai koordinat ();. Oleh itu x=.

Jawapan: x=

1.2. Kaedah berfungsi

Tidak setiap persamaan bentuk f(x)=g(x) hasil daripada penjelmaan boleh dikurangkan kepada persamaan satu atau satu lagi bentuk piawai, yang mana kaedah penyelesaian konvensional sesuai. Dalam kes sedemikian, adalah masuk akal untuk menggunakan sifat-sifat seperti fungsi f(x) dan g(x) sebagai monotonicity, boundedness, pariti, periodicity, dsb. Jadi, jika salah satu fungsi meningkat dan yang lain berkurangan dalam selang waktu tertentu , maka persamaan f(x) = g(x) tidak boleh mempunyai lebih daripada satu punca, yang, pada dasarnya, boleh didapati melalui pemilihan. Selanjutnya, jika fungsi f(x) bersempadan di atas dan fungsi g(x) bersempadan di bawah supaya f(x) hayunan=A g(x) mdalam=A, maka persamaan f(x)=g(x) adalah bersamaan dengan sistem persamaan

Juga, apabila menggunakan kaedah berfungsi, adalah rasional untuk menggunakan beberapa teorem yang diberikan di bawah. Untuk membuktikan dan menggunakannya, persamaan am berikut diperlukan:

(2)

Teorem 1. Punca-punca persamaan (1) ialah punca-punca persamaan (2).

Teorem 2. Jika f(x) ialah fungsi bertambah pada selang a

Teorem terakhir menghasilkan akibat yang juga digunakan dalam penyelesaian:

Akibat 1. Jika f(x) bertambah di seluruh domain takrifnya, maka pada selang persamaan persamaan (1) dan (2) adalah setara. Jika f(x) berkurangan ke atas keseluruhan domain takrifnya, n adalah ganjil, maka pada selang persamaan persamaan (1) dan (2) adalah setara.

Teorem 3. Jika dalam persamaan f(x)=g(x) untuk mana-mana x yang boleh diterima syarat f(x)≥a, g(x)≤a dipenuhi, di mana a ialah beberapa nombor nyata, maka persamaan yang diberikan adalah bersamaan dengan sistem

Akibat 2. Jika dalam persamaan f(x)+g(x)=a+b untuk sebarang x f(x)≤a yang boleh diterima, g(x)≤b, maka persamaan ini bersamaan dengan sistem

Kaedah fungsian untuk menyelesaikan persamaan sering digunakan dalam kombinasi dengan kaedah grafik, kerana kedua-dua kaedah ini adalah berdasarkan sifat fungsi yang sama. Kadang-kadang gabungan kaedah ini dipanggil analisis grafik kaedah.

Contoh 1.

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image033_3.gif" width="64" height="41 src=">≤1 x2+1≥1 =>

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image035_3.gif" width="121" height="48">

=> x=π, pada k=0

Jawapan: x=π

1.3. Kaedah penggantian berfungsi

Kes khas kaedah berfungsi ialah kaedah penggantian fungsi - mungkin kaedah yang paling biasa untuk menyelesaikan masalah kompleks dalam matematik. Intipati kaedah ini adalah untuk memperkenalkan pembolehubah baharu y=ƒ(x), penggunaannya membawa kepada ungkapan yang lebih mudah. Kes penggantian fungsi yang berasingan ialah penggantian trigonometri.

Persamaan trigonometri bentuk

R(dosa kx, cos nx, tg mx,ctg lx) = 0 (3)

di mana R ialah fungsi rasional, k,n,m,lОZ, menggunakan formula trigonometri untuk hujah dua dan tiga, serta formula penambahan, boleh dikurangkan kepada persamaan rasional untuk hujah sin x, cos x, tg x,ctg x, selepas itu persamaan (3) boleh dikurangkan kepada persamaan rasional untuk t=tg( x/2) menggunakan formula penggantian trigonometri universal

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Dosa x=cos x=

1+tg²(x/2) 1+tg²(x/2)

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Tg x=ctg x=

1-tg²(x/2) 2tg(x/2)

Perlu diingat bahawa penggunaan formula (4) boleh membawa kepada penyempitan OD persamaan asal, kerana tan(x/2) tidak ditakrifkan pada titik x=π+2πk, kÎZ, oleh itu dalam kes sedemikian adalah perlu untuk menyemak sama ada sudut x=π+ 2πk, kÎZ punca persamaan asal.

Contoh 1.

dosa x+√2-sin² x+ dosa x√2-dosa² x = 3

Biarkan sekarang r = u+v dan s=uv, kemudian daripada sistem persamaan ia mengikuti

Oleh kerana u = dosa x dan u = 1, maka dosa x= 1 dan x = π/2+2πk, kО Z

Jawapan: x = π/2+2πk, kОZ

Contoh 2.

5 dosa x-5 tg x

+4(1- cos x)=0

dosa x+ tg x

Persamaan ini boleh diselesaikan secara rasional menggunakan kaedah penggantian berfungsi.

Sejak tg x tidak ditakrifkan pada x = π/2+πk, kО Z, dan dosa x+tg x=0 pada x = πk, kО Z, maka sudut x = πk/2, kО Z tidak termasuk dalam persamaan ODZ.

Kami menggunakan formula untuk tangen separuh sudut dan menandakan t=tg( x/2), dan mengikut syarat masalah t≠0;±1, maka kita dapat

https://pandia.ru/text/78/500/images/image055_2.gif" width="165"> +4 1- =0

Oleh kerana t≠0;±1, persamaan ini bersamaan dengan persamaan

5t² + = 0 ó-5-5t² + 8 = 0

dari mana t = ± ..gif" width="27" height="47"> +2πk, kÎ Z

Contoh 3.

tg x+ ctg x+ tg²x+ ctg²x+ tg³x+ ctg³x=6

Persamaan ini boleh diselesaikan secara rasional menggunakan kaedah penggantian berfungsi.

Biarkan y=tg x+ctg x, kemudian tg² x+ctg² x=y²-2, tg³ x+ctg³ x=y³-3y

Sejak tg x+ctg x=2, kemudian tg x+1/ tg x=2. Ia berikutan bahawa tg x=1 dan x = π/4+πk, kО Z

Jawapan: x = π/2+2πk, kО Z

2. Menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan menggunakan sifat-sifat fungsi yang termasuk di dalamnya

2. 1. Penggunaan ODZ.

Kadangkala pengetahuan tentang ODZ membolehkan anda membuktikan bahawa persamaan (atau ketaksamaan) tidak mempunyai penyelesaian, dan kadangkala ia membolehkan anda mencari penyelesaian kepada persamaan (atau ketaksamaan) dengan menggantikan terus nombor daripada ODZ.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

Penyelesaian. ODZ bagi persamaan ini terdiri daripada semua x yang pada masa yang sama memenuhi syarat 3-x0 dan x-3>0, iaitu, ODZ ialah set kosong. Ini melengkapkan penyelesaian persamaan, kerana telah ditetapkan bahawa tiada satu nombor pun boleh menjadi penyelesaian, iaitu persamaan itu tidak mempunyai punca.

Jawapan: tiada penyelesaian.

Contoh 2. Selesaikan persamaan

(1)

Penyelesaian. ODZ bagi persamaan ini terdiri daripada semua x yang secara serentak memenuhi syarat, iaitu, ODZ Menggantikan nilai x ini ke dalam persamaan (1), kita dapati bahawa sisi kiri dan kanannya adalah sama dengan 0, yang bermaksud bahawa semua https://pandia.ru/ text/78/500/images/image065_2.gif" width="93 height=21" height="21">

Contoh 3. Selesaikan ketidaksamaan

Penyelesaian. ODZ bagi ketaksamaan (2) terdiri daripada semua x yang pada masa yang sama memenuhi syarat iaitu ODZ terdiri daripada dua nombor dan . Menggantikan kepada ketaksamaan (2), kita dapati bahawa bahagian kirinya bersamaan dengan 0, sebelah kanannya adalah sama dengan https://pandia.ru/text/78/500/images/image070_1.gif" width="53" ketinggian ="23"> gif" width="117 height=41" height="41">.

Jawapan: x=1.

Contoh 4. Selesaikan ketidaksamaan

(3)

Penyelesaian. ODZ bagi ketaksamaan (3) adalah semua x memenuhi syarat 0<х1. Ясно, что х=1 не является решением неравенства (3). Для х из промежутка 0

Jawapan: 0

Contoh 5. Selesaikan ketidaksamaan

Penyelesaian..gif" width="73" height="19"> dan .

Untuk x dari selang https://pandia.ru/text/78/500/images/image082_1.gif" width="72" height="24 src=">.gif" width="141 height=24" height = "24"> pada selang ini, dan oleh itu ketaksamaan (4) tidak mempunyai penyelesaian pada selang ini.

Biarkan x tergolong dalam selang, kemudian https://pandia.ru/text/78/500/images/image087_1.gif" width="141 height=24" height="24"> untuk x tersebut, dan, oleh itu, pada Dalam selang ini, ketaksamaan (4) juga tidak mempunyai penyelesaian.

Jadi, ketaksamaan (4) tidak mempunyai penyelesaian.

Jawapan: tiada penyelesaian.

Nota.

Apabila menyelesaikan persamaan, tidak perlu mencari ODZ. Kadang-kadang lebih mudah untuk meneruskan penyiasatan dan menyemak akar yang ditemui. Apabila menyelesaikan ketaksamaan, kadangkala adalah mungkin untuk tidak mencari ODZ, tetapi untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan berpindah ke sistem ketaksamaan yang setara, di mana salah satu daripada ketaksamaan tidak mempunyai penyelesaian, atau pengetahuan tentang penyelesaiannya membantu menyelesaikan sistem ketidaksamaan.

Contoh 6. Selesaikan ketidaksamaan

Penyelesaian. Mencari ODZ ketidaksamaan bukanlah tugas yang mudah, jadi kami akan melakukannya secara berbeza. Ketaksamaan (5) adalah bersamaan dengan sistem ketaksamaan

(6)

Ketaksamaan ketiga sistem ini adalah bersamaan dengan ketidaksamaan yang tidak mempunyai penyelesaian. Akibatnya, sistem ketaksamaan (6) tidak mempunyai penyelesaian, yang bermaksud ketaksamaan (5) tidak mempunyai penyelesaian.

Jawapan: tiada penyelesaian.

Contoh 7. Selesaikan ketidaksamaan

. (7)

Penyelesaian. Mencari ODZ bagi ketaksamaan (7) adalah tugas yang sukar. Oleh itu, mari kita lakukan perkara secara berbeza. Ketaksamaan (7) adalah bersamaan dengan sistem ketaksamaan

(8)

Ketaksamaan ketiga sistem ini mempunyai penyelesaian kepada semua x dari selang -1

2.2. Mengeksploitasi fungsi terhad.

Apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan, sifat fungsi yang disempadani di bawah atau di atas pada set tertentu selalunya memainkan peranan yang menentukan.

Sebagai contoh, jika untuk semua x daripada beberapa set M, ketaksamaan berikut adalah benar: f(x)>A dan g(x)

Perhatikan bahawa peranan nombor A sering dimainkan oleh sifar; dalam kes ini, mereka mengatakan bahawa tanda fungsi f(x) dan g(x) pada set M dipelihara.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

Penyelesaian..gif" width="191" height="24 src="> Oleh kerana bagi sebarang nilai x bahagian kiri persamaan tidak melebihi satu, dan bahagian kanan sentiasa tidak kurang daripada dua, maka persamaan ini mempunyai tiada penyelesaian.

Jawapan: tiada penyelesaian.

Contoh 2. Selesaikan persamaan

(9)

Penyelesaian. Jelas sekali bahawa x=0, x=1, x=-1 ialah penyelesaian kepada persamaan (9)..gif" width="36" height="19">, kerana jika ialah penyelesaiannya, maka (-) ialah juga keputusannya.

Mari kita bahagikan set x>0, , kepada dua selang (0;1) dan (1;+∞).

Mari kita tulis semula persamaan (9) dalam bentuk https://pandia.ru/text/78/500/images/image103_1.gif" width="104" height="28">.gif" width="99" height= "25 src=">hanya yang positif. Akibatnya, persamaan (9) tidak mempunyai penyelesaian pada selang ini.

Biarkan x tergolong dalam selang (1;+∞). Bagi setiap nilai ini x fungsi mengambil nilai positif, fungsi https://pandia.ru/text/78/500/images/image105_1.gif" width="99" height="25 src="> bukan positif. Oleh itu, pada selang ini, persamaan (9) tidak mempunyai penyelesaian.

Jika x>2, maka , dan ini bermakna pada selang (2;+∞) persamaan (9) juga tidak mempunyai penyelesaian.

Jadi, x=0, x=1 dan x=-1 dan hanya ini adalah penyelesaian kepada persamaan asal.

Jawapan:

Contoh 3. Selesaikan ketidaksamaan

Penyelesaian. ODZ bagi ketaksamaan (10) adalah semua x nyata, kecuali x=-1. Mari kita bahagikan ODZ kepada tiga set: -∞<х<-1, -1

Biarkan -∞<х<-1..gif" width="93" height="24 src=">. Akibatnya, semua x ini adalah penyelesaian kepada ketaksamaan (10).

Biar -1 , A . Akibatnya, tiada satu pun daripada x ini adalah penyelesaian kepada ketaksamaan (10).

Biar 0 , A . Akibatnya, semua x ini adalah penyelesaian kepada ketaksamaan (10).

Jawapan: -∞<х<-1; 0

Contoh 4. Selesaikan persamaan

(11)

Penyelesaian. Mari kita nyatakan melalui f(x). Daripada takrifan nilai mutlak ia mengikuti bahawa f(x)= at , https://pandia.ru/text/78/500/images/image120_1.gif" width="84" height="41 src=">. gif" width="43" height="41 src=">. Oleh itu, jika , maka persamaan (11) boleh ditulis semula dalam bentuk , iaitu dalam bentuk ..gif" width="53" height="41"> satisfy only . Jika , maka persamaan (11) boleh ditulis semula sebagai https://pandia.ru/text/78/500/images/image128_0.gif" width="73 height=41" height="41">. Persamaan ini mempunyai penyelesaian . Daripada nilai x ini, sahaja .

Pertimbangkan x daripada selang . Pada selang ini, persamaan (11) boleh ditulis semula dalam bentuk , iaitu dalam bentuk

Adalah jelas bahawa x = 0 ialah penyelesaian kepada persamaan (12), dan oleh itu kepada persamaan asal..gif" width="39" height="19"> persamaan (12) adalah bersamaan dengan persamaan

Untuk sebarang nilai , fungsi hanya mengambil nilai positif, oleh itu persamaan (12) tidak mempunyai penyelesaian pada set .

Jawapan: x=0, ; https://pandia.ru/text/78/500/images/image139_0.gif" width="211" height="41">. (13)

Penyelesaian. Biarkan terdapat penyelesaian kepada persamaan (13), maka persamaan berikut berlaku: (14)

dan ketaksamaan https://pandia.ru/text/78/500/images/image142_1.gif" width="68" height="27 src=">. Daripada kesahihan ketaksamaan kita memperoleh bahawa bahagian kiri kesamaan (14) mempunyai tanda yang sama dengan , iaitu tanda yang sama dengan , dan sebelah kanan adalah tanda yang sama dengan .

Mari kita tulis semula kesamaan (14) dalam bentuk

https://pandia.ru/text/78/500/images/image147_0.gif" width="284" height="24">

Mari kita tulis semula kesamaan (15) dalam bentuk

Oleh kerana mereka mempunyai tanda yang sama, maka ..gif" width="95" height="24">. (17)

Adalah jelas bahawa sebarang penyelesaian kepada persamaan (17) adalah penyelesaian kepada persamaan (13). Oleh itu, persamaan (13) adalah bersamaan dengan persamaan (17). Penyelesaian kepada persamaan (17) ialah , mereka dan hanya mereka adalah penyelesaian kepada persamaan (13).

Jawapan:

Komen. Sama seperti dalam Contoh 5, boleh dibuktikan bahawa Pers.

di mana n, m ialah sebarang nombor asli, adalah bersamaan dengan persamaan, dan kemudian selesaikan persamaan yang lebih mudah ini.

2. 3. Menggunakan kemonotonan fungsi.

Menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan menggunakan sifat monotonisitas adalah berdasarkan pernyataan berikut.

Biarkan f(x) ialah fungsi selanjar dan monoton tegas pada selang L, maka persamaan f(x)=C, di mana C ialah pemalar tertentu, boleh mempunyai paling banyak satu penyelesaian pada selang L. Biarkan f(x) dan g(x) ialah fungsi selanjar pada selang L, f(x) meningkat dengan ketat, dan g(x) menurun dengan ketat pada selang ini, maka persamaan f(x)=g(x) boleh mempunyai paling banyak satu penyelesaian pada selang L.

Ambil perhatian bahawa selang L boleh menjadi selang tak terhingga (-∞; +∞), selang separuh tak terhingga (a; +∞), (-∞; a), [a; +∞), (-∞; a], segmen, selang dan separuh selang.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

(18)

Penyelesaian. Jelas sekali, x0 tidak boleh menjadi penyelesaian kepada persamaan (18), sejak itu . Untuk fungsi x>0 berterusan dan meningkat dengan ketat, sebagai hasil dua fungsi positif berterusan meningkat ketat f=x dan https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34" > mengambil setiap nilainya tepat pada satu titik Adalah mudah untuk melihat bahawa x=1 ialah penyelesaian kepada persamaan (18), oleh itu, ini adalah satu-satunya penyelesaiannya.

Jawapan: x=1.

Contoh 2. Selesaikan ketidaksamaan

. (19)

Penyelesaian. Setiap fungsi , , adalah berterusan dan meningkat dengan ketat pada keseluruhan paksi. Ini bermakna fungsi asal adalah sama . Adalah mudah untuk melihat bahawa untuk x=0 fungsi mengambil nilai 3. Disebabkan kesinambungan dan monotonisitas yang ketat bagi fungsi ini untuk x>0 kita ada , pada x<0 имеем . Akibatnya, penyelesaian kepada ketaksamaan (19) adalah semua x<0.

Jawapan: -∞

Contoh 3. Selesaikan persamaan

(20)

Penyelesaian. Julat nilai yang dibenarkan bagi persamaan (20) ialah selang . Mengenai julat nilai sah fungsi Dan adalah berterusan dan menurun dengan tegas, oleh itu, fungsi adalah berterusan dan berkurangan. Oleh itu, fungsi h(x) mengambil setiap nilai hanya pada satu titik. Oleh kerana h(2)=2, maka x=2 ialah punca tunggal bagi persamaan asal.

Jawapan: x=2.

Contoh 4. Selesaikan ketidaksamaan

Penyelesaian... gif" width="95" height="25 src="> dibentangkan dalam Rajah 7. Ia berikutan daripada rajah bahawa untuk semua x daripada ketaksamaan ODZ (26) adalah sah.

Mari kita buktikan. Untuk setiap yang kita ada , dan untuk setiap x tersebut kita mempunyai https://pandia.ru/text/78/500/images/image211_1.gif" width="63 height=23" height="23"> kita mempunyai . Akibatnya, penyelesaian kepada ketaksamaan (26) ialah semua x daripada selang [-1;1].

Contoh 2. Selesaikan persamaan

. (27)

Penyelesaian..gif" width="123" height="24"> dan ditunjukkan dalam Rajah 8. Mari kita lukis garis lurus y=2. Ia berikutan daripada rajah bahawa graf bagi fungsi f(x) terletak tidak lebih rendah daripada garis ini, dan graf bagi fungsi g(x) tidak lebih tinggi. Selain itu, graf ini menyentuh garis lurus y=2 pada titik yang berbeza. Oleh itu, persamaan tidak mempunyai penyelesaian. Mari kita buktikan. Bagi setiap yang kita ada , a . Dalam kes ini, f(x)=2 hanya untuk x=-1, dan g(x)=2 sahaja untuk x=0. Ini bermakna persamaan (27) tidak mempunyai penyelesaian.

Jawapan: tiada penyelesaian.

Contoh 3. Selesaikan persamaan

. (28)

Penyelesaian..gif" width="95" height="25 src="> dibentangkan dalam Rajah 9. Adalah mudah untuk menyemak bahawa titik (-1; -2) ialah titik persilangan graf bagi fungsi f( x) dan g(x), iaitu, x = -1 ialah penyelesaian kepada persamaan (28 Mari kita lukis garis lurus y = x - 1. Daripada rajah itu ianya terletak di antara graf fungsi). y = f (x) dan y = g (x) bahawa persamaan (28) tidak mempunyai penyelesaian lain.

Untuk melakukan ini, kami membuktikan bahawa x daripada selang (-1; +∞) ketaksamaan dan adalah sah, dan untuk x daripada selang (-∞; -1) ketaksamaan adalah sah: .gif" width="89" height="21 src="> Jelas sekali, ketaksamaan adalah sah untuk x>-1, dan ketaksamaan https://pandia.ru/text/78/500/images/image228_1.gif" width="93" ketinggian. ="24">..gif" width="145" height="25">. Penyelesaian kepada ketidaksamaan ini semuanya x<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1.

Akibatnya, pernyataan yang diperlukan terbukti, dan persamaan (28) mempunyai punca tunggal x=-1.

Jawapan: x=-1.

Contoh 4. Selesaikan ketidaksamaan

. (29)

Penyelesaian... "52" height="41">, adalah bersamaan dengan ketaksamaan

, (30)

dan dalam rantau x>0 ia adalah bersamaan dengan ketaksamaan

. (31)

Lakaran graf fungsi dan ditunjukkan dalam Rajah 10..gif" width="56" height="45"> dan .

Oleh itu, ketaksamaan (31) tidak mempunyai penyelesaian, dan ketaksamaan (30) akan mempunyai penyelesaian kepada semua x dari selang .

Mari kita buktikan.

A) Biarkan . Ketaksamaan (29) adalah bersamaan dengan ketaksamaan (30) pada selang ini. Adalah mudah untuk melihat bahawa bagi setiap x daripada selang ini ketaksamaan adalah sah

,

.

Akibatnya, ketaksamaan (30), dan bersama-sama dengannya ketaksamaan asal (29), tidak mempunyai penyelesaian pada selang .

B) Biarkan . Kemudian ketaksamaan (29) juga bersamaan dengan ketaksamaan (30). Bagi setiap x daripada selang ini

,

Akibatnya, mana-mana x sedemikian ialah penyelesaian kepada ketaksamaan (30), dan oleh itu kepada ketaksamaan asal (29).

C) Biarkan x>0. Pada set ini, ketaksamaan asal adalah bersamaan dengan ketaksamaan (31). Jelas sekali, untuk sebarang x daripada set ini, ketaksamaan berikut adalah benar:

,

Ia berikutan daripada ini:

1) ketidaksamaan (31) tidak mempunyai penyelesaian pada set di mana , iaitu, ketaksamaan (31) tidak mempunyai penyelesaian pada set;

2) ketidaksamaan (31) tidak mempunyai penyelesaian pada set di mana https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19">. Ia kekal untuk mencari penyelesaian kepada ketidaksamaan (31) kepunyaan selang 1