Geometrik ms. Janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga

Matematik adalah apamanusia mengawal alam dan diri mereka sendiri.

Ahli matematik Soviet, ahli akademik A.N. Kolmogorov

Janjang geometri.

Bersama dengan tugas tentang janjang aritmetik, tugasan yang berkaitan dengan konsep janjang geometri. Untuk penyelesaian yang berjaya Untuk masalah sedemikian, anda perlu mengetahui sifat janjang geometri dan mempunyai kemahiran yang baik dalam menggunakannya.

Artikel ini ditumpukan kepada pembentangan sifat utama janjang geometri. Ia juga menyediakan contoh penyelesaian masalah biasa, dipinjam daripada tugasan ujian masuk dalam matematik.

Mari kita perhatikan terlebih dahulu sifat asas janjang geometri dan mengingat semula formula dan pernyataan yang paling penting, dikaitkan dengan konsep ini.

Definisi. Urutan berangka dipanggil janjang geometri jika setiap nombornya, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor itu dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk janjang geometriformula adalah sah

, (1)

mana . Formula (1) dipanggil formula bagi istilah umum janjang geometri, dan formula (2) ialah sifat utama janjang geometri: setiap ahli janjang itu bertepatan dengan min geometri ahli jirannya dan .

Catatan, bahawa ia adalah tepat kerana sifat ini bahawa janjang yang dimaksudkan dipanggil "geometrik".

Formula (1) dan (2) di atas diringkaskan seperti berikut:

, (3)

Untuk mengira jumlah pertama ahli janjang geometriformula terpakai

Jika kita tentukan

mana . Oleh kerana , formula (6) ialah generalisasi formula (5).

Dalam kes apabila dan janjang geometrisemakin berkurangan secara tidak terhingga. Untuk mengira jumlahdaripada semua ahli janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga, formula digunakan

. (7)

Sebagai contoh , menggunakan formula (7), seseorang boleh menunjukkan, apa

mana . Kesamaan ini diperoleh daripada formula (7) dengan syarat , (kesamaan pertama) dan , (kesamaan kedua).

Teorem. Jika , maka

Bukti. Jika , maka ,

Teorem telah terbukti.

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah mengenai topik "Kemajuan geometri".

Contoh 1 Diberi: , dan . Cari .

Penyelesaian. Jika formula (5) digunakan, maka

Jawapan: .

Contoh 2 Biar dan . Cari .

Penyelesaian. Sejak dan , kita menggunakan formula (5), (6) dan mendapatkan sistem persamaan

Jika persamaan kedua sistem (9) dibahagikan dengan yang pertama, kemudian atau . Daripada ini ia mengikuti . Mari kita pertimbangkan dua kes.

1. Jika , maka dari persamaan pertama sistem (9) kita ada.

2. Jika , maka .

Contoh 3 Biar , dan . Cari .

Penyelesaian. Ia mengikuti daripada formula (2) bahawa atau . Sejak , kemudian atau .

Dengan syarat. Walau bagaimanapun , oleh itu . Kerana dan , maka di sini kita mempunyai sistem persamaan

Jika persamaan kedua sistem dibahagikan dengan yang pertama, maka atau .

Oleh kerana , persamaan mempunyai satu punca yang sesuai . Dalam kes ini, persamaan pertama sistem membayangkan .

Dengan mengambil kira formula (7), kami memperoleh.

Jawapan: .

Contoh 4 Diberi: dan . Cari .

Penyelesaian. Sejak itu .

Kerana , kemudian atau

Mengikut formula (2), kita ada . Dalam hal ini, daripada kesamarataan (10) kita memperoleh atau .

Walau bagaimanapun, dengan syarat, oleh itu.

Contoh 5 Adalah diketahui bahawa . Cari .

Penyelesaian. Menurut teorem, kita mempunyai dua kesamaan

Sejak , kemudian atau . Kerana, kemudian.

Jawapan: .

Contoh 6 Diberi: dan . Cari .

Penyelesaian. Dengan mengambil kira formula (5), kami memperoleh

Sejak itu . Sejak , dan , kemudian .

Contoh 7 Biar dan . Cari .

Penyelesaian. Mengikut formula (1), kita boleh menulis

Oleh itu, kami mempunyai atau . Adalah diketahui bahawa dan , oleh itu dan .

Jawapan: .

Contoh 8 Cari penyebut bagi janjang geometri menurun tak terhingga jika

dan .

Penyelesaian. Daripada formula (7) ia berikut dan . Dari sini dan dari keadaan masalah, kita memperoleh sistem persamaan

Jika persamaan pertama sistem itu adalah kuasa dua, dan kemudian bahagikan persamaan yang terhasil dengan persamaan kedua, maka kita dapat

Ataupun .

Jawapan: .

Contoh 9 Cari semua nilai yang mana jujukan , , ialah janjang geometri.

Penyelesaian. Biar , dan . Menurut formula (2), yang mentakrifkan sifat utama janjang geometri, kita boleh menulis atau .

Dari sini kita mendapat persamaan kuadratik, yang akarnya dan .

Mari kita semak: jika, kemudian , dan ; jika , maka , dan .

Dalam kes pertama kita ada dan , dan dalam yang kedua - dan .

Jawapan: , .

Contoh 10selesaikan persamaan

, (11)

di mana dan .

Penyelesaian. Bahagian kiri persamaan (11) ialah hasil tambah janjang geometri menurun tak terhingga, di mana dan , dengan syarat: dan .

Daripada formula (7) ia berikut, apa . Dalam hal ini, persamaan (11) mengambil bentuk atau . akar yang sesuai persamaan kuadratik ialah

Jawapan: .

Contoh 11. P urutan nombor positif membentuk janjang aritmetik, a - janjang geometri, apa kaitannya dengan . Cari .

Penyelesaian. Kerana jujukan aritmetik, kemudian (harta asas janjang aritmetik). Kerana ia, kemudian atau . Ini bermakna, bahawa janjang geometri ialah. Mengikut formula (2), kemudian kita menulis bahawa .

Sejak dan , kemudian . Dalam kes itu, ungkapan mengambil borang atau . Dengan syarat, jadi dari persamaankami memperoleh penyelesaian unik bagi masalah yang sedang dipertimbangkan, iaitu .

Jawapan: .

Contoh 12. Kira jumlah

. (12)

Penyelesaian. Darab kedua-dua belah kesamaan (12) dengan 5 dan dapatkan

Jika kita tolak (12) daripada ungkapan yang terhasil, kemudian

atau .

Untuk mengira, kami menggantikan nilai ke dalam formula (7) dan mendapatkan . Sejak itu .

Jawapan: .

Contoh penyelesaian masalah yang diberikan di sini akan berguna kepada pemohon sebagai persediaan untuk peperiksaan kemasukan. Untuk kajian yang lebih mendalam tentang kaedah penyelesaian masalah, dikaitkan dengan janjang geometri, boleh digunakan panduan belajar daripada senarai literatur yang disyorkan.

1. Pengumpulan tugasan dalam matematik untuk pemohon ke universiti teknikal / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematik untuk pelajar sekolah menengah: bahagian tambahan kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Kursus penuh matematik asas dalam tugasan dan latihan. Buku 2: Urutan dan Kemajuan Nombor. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Adakah anda mempunyai sebarang soalan?

Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Janjang geometri, bersama-sama dengan aritmetik, adalah penting siri berangka yang sedang dikaji di kursus sekolah algebra dalam darjah 9. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan penyebut janjang geometri, dan cara nilainya mempengaruhi sifatnya.

Definisi janjang geometri

Pertama, mari kita takrifkan ini siri nombor. Janjang geometri ialah satu siri nombor rasional, yang dibentuk dengan mendarabkan unsur pertamanya secara berurutan dengan nombor tetap, yang dipanggil penyebut.

Sebagai contoh, nombor dalam siri 3, 6, 12, 24, ... adalah janjang geometri, kerana jika kita darab 3 (elemen pertama) dengan 2, kita dapat 6. Jika kita darab 6 dengan 2, kita dapat 12, dan seterusnya.

Ahli-ahli jujukan yang sedang dipertimbangkan biasanya dilambangkan dengan simbol ai, di mana i ialah integer yang menunjukkan nombor unsur dalam siri itu.

Takrifan janjang di atas boleh ditulis dalam bahasa matematik seperti berikut: an = bn-1 * a1, dengan b ialah penyebutnya. Mudah untuk menyemak formula ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapat a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan kita sekali lagi sampai kepada takrifan siri nombor yang sedang dipertimbangkan. Penaakulan yang sama boleh diteruskan untuk nilai yang besar n.

Penyebut bagi janjang geometri

Nombor b sepenuhnya menentukan watak keseluruhan siri nombor itu. Penyebut b boleh menjadi positif, negatif, atau lebih besar daripada atau kurang daripada satu. Semua pilihan di atas membawa kepada urutan yang berbeza:

• b > 1. Terdapat siri nombor rasional yang semakin meningkat. Sebagai contoh, 1, 2, 4, 8, ... Jika unsur a1 adalah negatif, maka keseluruhan jujukan akan meningkat hanya modulo, tetapi berkurangan dengan mengambil kira tanda nombor.
• b = 1. Selalunya kes sedemikian tidak dipanggil janjang, kerana terdapat siri biasa nombor rasional yang sama. Contohnya, -4, -4, -4.

Formula untuk jumlah

Sebelum meneruskan pertimbangan masalah khusus menggunakan penyebut jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan, seseorang harus membawa formula penting untuk hasil tambah n unsur pertamanya. Formulanya ialah: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Anda boleh mendapatkan ungkapan ini sendiri jika anda mempertimbangkan urutan rekursif ahli perkembangan. Juga ambil perhatian bahawa dalam formula di atas, adalah cukup untuk mengetahui hanya unsur pertama dan penyebut untuk mencari jumlah bilangan sebutan arbitrari.

Urutan menurun tanpa had

Di atas adalah penjelasan tentang apa itu. Sekarang, mengetahui formula untuk Sn, mari kita gunakannya pada siri nombor ini. Oleh kerana sebarang nombor yang modulusnya tidak melebihi 1, apabila dinaikkan kepada ijazah yang hebat cenderung kepada sifar, iaitu b∞ => 0 jika -1

Oleh kerana perbezaan (1 - b) akan sentiasa positif, tanpa mengira nilai penyebutnya, tanda hasil tambah janjang geometri S∞ secara unik ditentukan oleh tanda unsur pertamanya a1.

Sekarang kita akan mempertimbangkan beberapa masalah, di mana kita akan menunjukkan cara menggunakan pengetahuan yang diperoleh kepada nombor tertentu.

Nombor tugas 1. Pengiraan unsur yang tidak diketahui bagi janjang dan jumlahnya

Diberi janjang geometri, penyebut janjang itu ialah 2, dan unsur pertamanya ialah 3. Apakah sebutan ke-7 dan ke-10nya, dan apakah hasil tambah tujuh unsur awalnya?

Keadaan masalahnya agak mudah dan melibatkan penggunaan langsung formula di atas. Jadi, untuk mengira unsur dengan nombor n, kita menggunakan ungkapan an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita ada: a7 = b6 * a1, menggantikan data yang diketahui, kita dapat: a7 = 26 * 3 = 192. Kami melakukan perkara yang sama untuk ahli ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.

Kami menggunakan formula yang terkenal untuk jumlah dan menentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama siri. Kami ada: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Nombor tugas 2. Menentukan jumlah unsur arbitrari janjang

Biarkan -2 ialah penyebut bagi janjang eksponen bn-1 * 4, dengan n ialah integer. Ia adalah perlu untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 siri ini, termasuk.

Masalah yang dihadapi tidak dapat diselesaikan secara langsung menggunakan formula yang diketahui. Anda boleh menyelesaikannya dengan 2 pelbagai kaedah. Demi kesempurnaan, kami persembahkan kedua-duanya.

Kaedah 1. Ideanya mudah: anda perlu mengira dua jumlah yang sepadan bagi sebutan pertama, dan kemudian tolak yang lain daripada satu. Kira jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang kita mengira jumlah besar: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahawa dalam ungkapan terakhir, hanya 4 istilah telah disimpulkan, kerana yang ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dikira mengikut keadaan masalah. Akhirnya, kita ambil perbezaan: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Kaedah 2. Sebelum menggantikan nombor dan mengira, anda boleh mendapatkan formula untuk jumlah di antara sebutan m dan n bagi siri berkenaan. Kami bertindak dengan cara yang sama seperti dalam kaedah 1, hanya kami bekerja terlebih dahulu dengan perwakilan simbolik jumlah. Kami mempunyai: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Dalam ungkapan yang terhasil, anda boleh menggantikan nombor yang diketahui dan hitung keputusan akhir: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Nombor tugas 3. Apakah penyebutnya?

Biarkan a1 = 2, cari penyebut janjang geometri, dengan syarat jumlah tak terhingganya ialah 3, dan diketahui bahawa ini ialah siri nombor yang semakin berkurangan.

Mengikut keadaan masalah, tidak sukar untuk meneka formula yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Sudah tentu, untuk jumlah kemajuan yang semakin berkurangan. Kami mempunyai: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebut: b = 1 - a1 / S∞. Ia kekal untuk menggantikan nilai yang diketahui dan dapatkan nombor yang diperlukan: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 atau -0.333(3). Kita boleh menyemak keputusan ini secara kualitatif jika kita ingat bahawa untuk jenis urutan ini, modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang anda lihat, |-1 / 3|

Nombor tugas 4. Memulihkan satu siri nombor

Biarkan 2 elemen siri nombor diberikan, contohnya, ke-5 bersamaan dengan 30 dan ke-10 bersamaan dengan 60. Ia adalah perlu untuk memulihkan keseluruhan siri daripada data ini, dengan mengetahui bahawa ia memenuhi sifat janjang geometri.

Untuk menyelesaikan masalah, anda mesti menulis ungkapan yang sepadan untuk setiap ahli yang diketahui terlebih dahulu. Kami mempunyai: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang kita bahagikan ungkapan kedua dengan yang pertama, kita dapat: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita tentukan penyebut dengan mengambil punca darjah kelima nisbah ahli yang diketahui daripada keadaan masalah, b = 1.148698. Kami menggantikan nombor yang terhasil ke dalam salah satu ungkapan untuk unsur yang diketahui, kami dapat: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Oleh itu, kita telah menemui apakah penyebut janjang bn, dan janjang geometri bn-1 * 17.2304966 = an, dengan b = 1.148698.

Di manakah janjang geometri digunakan?

Sekiranya tiada aplikasi siri berangka ini dalam amalan, maka kajiannya akan dikurangkan kepada kepentingan teori semata-mata. Tetapi terdapat aplikasi sedemikian.

3 contoh yang paling terkenal disenaraikan di bawah:

• Paradoks Zeno, di mana Achilles yang tangkas tidak dapat mengejar kura-kura yang perlahan, diselesaikan menggunakan konsep urutan nombor yang semakin berkurangan.
• Jika bijirin gandum diletakkan pada setiap sel papan catur supaya 1 biji diletakkan pada sel pertama, 2 - pada sel ke-2, 3 - pada ke-3, dan seterusnya, maka 18446744073709551615 bijirin akan diperlukan untuk mengisi semua sel papan!
• Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk menyusun semula cakera dari satu batang ke batang lain, perlu melakukan operasi 2n - 1, iaitu, bilangannya meningkat secara eksponen daripada bilangan cakera n digunakan.

Mari kita pertimbangkan satu siri.

7 28 112 448 1792...

Jelas sekali bahawa nilai mana-mana unsurnya betul-betul empat kali lebih besar daripada yang sebelumnya. Jadi siri ini adalah satu perkembangan.

Janjang geometri ialah jujukan nombor tak terhingga ciri utama yang itu nombor seterusnya diperoleh daripada yang sebelumnya dengan mendarab dengan beberapa nombor tertentu. Ini dinyatakan oleh formula berikut.

a z +1 =a z q, dengan z ialah nombor bagi elemen yang dipilih.

Sehubungan itu, z ∈ N.

Tempoh apabila janjang geometri dipelajari di sekolah ialah darjah 9. Contoh akan membantu anda memahami konsep:

0.25 0.125 0.0625...

Berdasarkan formula ini, penyebut janjang boleh didapati seperti berikut:

Baik q mahupun b z boleh menjadi sifar. Selain itu, setiap elemen janjang tidak boleh sama dengan sifar.

Sehubungan itu, untuk mengetahui nombor seterusnya dalam siri, anda perlu mendarab yang terakhir dengan q.

Untuk menentukan janjang ini, anda mesti menentukan elemen dan penyebutnya yang pertama. Selepas itu, adalah mungkin untuk mencari mana-mana istilah berikutnya dan jumlahnya.

Varieti

Bergantung kepada q dan a 1, janjang ini dibahagikan kepada beberapa jenis:

• Jika kedua-dua a 1 dan q lebih besar daripada satu, maka jujukan sedemikian ialah janjang geometri yang meningkat dengan setiap elemen seterusnya. Contoh sedemikian dibentangkan di bawah.

Contoh: a 1 =3, q=2 - kedua-dua parameter lebih besar daripada satu.

Kemudian urutan berangka boleh ditulis seperti ini:

3 6 12 24 48 ...

• Jika |q| kurang daripada satu, iaitu, pendaraban dengannya bersamaan dengan pembahagian, maka janjang dengan keadaan yang serupa ialah janjang geometri menurun. Contoh sedemikian dibentangkan di bawah.

Contoh: a 1 =6, q=1/3 - a 1 lebih besar daripada satu, q kurang.

Kemudian urutan nombor boleh ditulis seperti ini:

6 2 2/3 ... - mana-mana unsur adalah 3 kali lebih besar daripada unsur yang mengikutinya.

• Pembolehubah tanda. Jika q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Contoh: a 1 = -3 , q = -2 - kedua-dua parameter adalah kurang daripada sifar.

Kemudian urutannya boleh ditulis seperti ini:

3, 6, -12, 24,...

Formula

Untuk kegunaan mudah janjang geometri, terdapat banyak formula:

• Formula ahli ke-z. Membolehkan anda mengira elemen di bawah nombor tertentu tanpa mengira nombor sebelumnya.

Contoh:q = 3, a 1 = 4. Ia diperlukan untuk mengira unsur keempat janjang itu.

Penyelesaian:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Jumlah unsur pertama yang nombornya ialah z. Membolehkan anda mengira jumlah semua elemen urutan sehinggaa zinklusif.

Sejak (1-q) berada dalam penyebut, maka (1 - q)≠ 0, maka q tidak sama dengan 1.

Nota: jika q=1, maka janjang itu akan menjadi satu siri nombor berulang tak terhingga.

Jumlah janjang geometri, contoh:a 1 = 2, q= -2. Kira S 5 .

Penyelesaian:S 5 = 22 - pengiraan mengikut formula.

• Jumlah jika |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Contoh:a 1 = 2 , q= 0.5. Cari jumlahnya.

Penyelesaian:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Beberapa sifat:

• sifat ciri. Jika syarat berikut dilakukan untuk mana-manaz, maka siri nombor yang diberikan ialah janjang geometri:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Juga, kuasa dua sebarang nombor janjang geometri ditemui dengan menambah kuasa dua mana-mana dua nombor lain dalam siri tertentu, jika jaraknya sama dari unsur ini.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , di manatialah jarak antara nombor-nombor ini.

• elemenberbeza dalam qsekali.
• Logaritma unsur janjang juga membentuk janjang, tetapi sudah menjadi aritmetik, iaitu, setiap satu daripadanya lebih besar daripada yang sebelumnya dengan nombor tertentu.

Contoh beberapa masalah klasik

Untuk lebih memahami apa itu janjang geometri, contoh dengan penyelesaian untuk gred 9 boleh membantu.

• Syarat:a 1 = 3, a 3 = 48. Cariq.

Penyelesaian: setiap elemen berikutnya adalah lebih besar daripada elemen sebelumnya dalamq sekali.Ia perlu untuk menyatakan beberapa unsur melalui yang lain menggunakan penyebut.

Akibatnya,a 3 = q 2 · a 1

Apabila menggantikanq= 4

• Syarat:a 2 = 6, a 3 = 12. Kira S 6 .

Penyelesaian:Untuk melakukan ini, cukup untuk mencari q, elemen pertama dan menggantikannya ke dalam formula.

a 3 = q· a 2 , Akibatnya,q= 2

a 2 = q a 1,sebab itu a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Cari unsur keempat janjang itu.

Penyelesaian: untuk melakukan ini, cukup untuk menyatakan unsur keempat melalui penyebut pertama dan melalui penyebut.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Contoh permohonan:

• Pelanggan bank membuat deposit dalam jumlah 10,000 rubel, di bawah terma yang setiap tahun pelanggan akan menambah 6% daripadanya kepada jumlah prinsipal. Berapakah jumlah wang yang akan berada dalam akaun selepas 4 tahun?

Penyelesaian: Jumlah awal ialah 10 ribu rubel. Jadi, setahun selepas pelaburan, akaun akan mempunyai jumlah yang sama dengan 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

Sehubungan itu, jumlah dalam akaun selepas setahun lagi akan dinyatakan seperti berikut:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

Iaitu, setiap tahun jumlahnya meningkat sebanyak 1.06 kali ganda. Ini bermakna untuk mencari jumlah dana dalam akaun selepas 4 tahun, cukup untuk mencari elemen keempat perkembangan, yang diberikan oleh elemen pertama bersamaan dengan 10 ribu, dan penyebutnya sama dengan 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Contoh tugas untuk mengira jumlah:

Dalam pelbagai masalah, janjang geometri digunakan. Contoh untuk mencari jumlah boleh diberikan seperti berikut:

a 1 = 4, q= 2, hitungS5.

Penyelesaian: semua data yang diperlukan untuk pengiraan diketahui, anda hanya perlu menggantikannya ke dalam formula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Hitung hasil tambah enam unsur pertama.

Penyelesaian:

Geom. kemajuan, setiap elemen seterusnya adalah q kali lebih besar daripada yang sebelumnya, iaitu, untuk mengira jumlah, anda perlu mengetahui elemena 1 dan penyebutq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Begitu juga, kita perlu mencaria 1 , mengetahuia 2 danq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Tujuan pelajaran: untuk memperkenalkan pelajar kepada jenis urutan baharu - janjang geometri yang semakin berkurangan.
Tugasan:
perumusan idea awal had urutan berangka;
berkenalan dengan cara lain untuk menukar pecahan berkala tak terhingga kepada pecahan biasa menggunakan formula untuk hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga;
pembangunan kualiti intelek keperibadian pelajar sekolah, seperti pemikiran logik, keupayaan untuk tindakan penilaian, generalisasi;
pendidikan aktiviti, bantuan bersama, kolektivisme, minat dalam subjek.

Muat turun:

Pratonton:

Pelajaran yang berkaitan “Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga” (algebra, gred 10)

Tujuan pelajaran: memperkenalkan pelajar kepada jenis jujukan baharu - janjang geometri yang semakin berkurangan.

Tugasan:

perumusan idea awal had urutan berangka; berkenalan dengan cara lain untuk menukar pecahan berkala tak terhingga kepada pecahan biasa menggunakan formula untuk hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga;

pembangunan kualiti intelek keperibadian pelajar sekolah, seperti pemikiran logik, keupayaan untuk tindakan penilaian, generalisasi;

pendidikan aktiviti, bantuan bersama, kolektivisme, minat dalam subjek.

peralatan: kelas komputer, projektor, skrin.

Jenis pelajaran: Pelajaran - menguasai topik baharu.

Semasa kelas

I. Org. seketika. Mesej tentang topik dan tujuan pelajaran.

II. Mengemaskini pengetahuan pelajar.

Dalam gred 9, anda mempelajari janjang aritmetik dan geometri.

Soalan

1. Definisi janjang aritmetik.

(Janjang aritmetik ialah urutan di mana setiap ahli,

Bermula dari yang kedua, ia sama dengan sebutan sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama).

2. Formula n -ahli ke atas suatu janjang aritmetik

3. Formula bagi hasil tambah yang pertama n ahli sesuatu janjang aritmetik.

( atau )

4. Definisi janjang geometri.

(Janjang geometri ialah urutan nombor bukan sifar,

Setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan sebutan sebelumnya, didarab dengan

nombor yang sama).

5. Formula n sebutan ke- bagi suatu janjang geometri

6. Formula bagi hasil tambah yang pertama n ahli janjang geometri.

7. Apakah formula yang anda masih tahu?

(, di mana; ;

; , )

Tugasan

1. Janjang aritmetik diberikan oleh formula a n = 7 - 4n. Cari 10 . (-33)

2. Janjang aritmetik a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Cari 4 . (empat)

3. Janjang aritmetik a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Cari 17 . (-35)

4. Janjang aritmetik a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Cari S 17 . (-187)

5. Untuk janjang geometricari sebutan kelima.

6. Untuk janjang geometri cari sebutan ke-n.

7. Secara eksponen b 3 = 8 dan b 5 = 2 . Cari b 4 . (empat)

8. Secara eksponen b 3 = 8 dan b 5 = 2 . Cari b 1 dan q .

9. Secara eksponen b 3 = 8 dan b 5 = 2 . Cari S 5 . (62)

III. Meneroka topik baharu(persembahan tunjuk cara).

Pertimbangkan segi empat sama dengan sisi yang sama dengan 1. Mari kita lukis satu lagi segi empat sama, sisi yang separuh persegi pertama, kemudian satu lagi, sisi yang separuh kedua, kemudian yang seterusnya, dan seterusnya. Setiap kali sisi petak baharu adalah separuh daripada petak sebelumnya.

Hasilnya, kami mendapat urutan sisi segi empat samamembentuk janjang geometri dengan penyebut.

Dan, apa yang sangat penting, semakin banyak kita membina petak sedemikian, semakin kecil sisi petak tersebut. Sebagai contoh ,

Itu. apabila nombor n bertambah, sebutan janjang menghampiri sifar.

Dengan bantuan angka ini, satu lagi urutan boleh dipertimbangkan.

Sebagai contoh, urutan luas segi empat sama:

Dan, sekali lagi, jika n bertambah tanpa had, maka kawasan menghampiri sifar sewenang-wenangnya dekat.

Mari kita pertimbangkan satu lagi contoh. Segitiga sama sisi dengan sisi 1 cm. Mari kita bina segitiga seterusnya dengan bucu di titik tengah sisi segitiga pertama, mengikut teorem garis tengah segitiga - sisi kedua adalah sama dengan separuh sisi pertama, sisi ketiga adalah separuh sisi ke-2, dsb. Sekali lagi kita mendapat urutan panjang sisi segi tiga.

Pada .

Jika kita mempertimbangkan janjang geometri dengan penyebut negatif.

Kemudian, sekali lagi, dengan peningkatan jumlah n syarat janjang mendekati sifar.

Mari kita perhatikan penyebut jujukan ini. Di mana-mana penyebutnya kurang daripada 1 modulo.

Kita boleh membuat kesimpulan: suatu janjang geometri akan berkurangan secara tidak terhingga jika modulus penyebutnya kurang daripada 1.

Kerja depan.

Definisi:

Janjang geometri dikatakan menurun secara tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang daripada satu..

Dengan bantuan definisi, adalah mungkin untuk menyelesaikan persoalan sama ada janjang geometri menurun secara tidak terhingga atau tidak.

Satu tugas

Adakah jujukan itu merupakan janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga jika ia diberikan oleh formula:

Penyelesaian:

Mari cari q .

; ; ; .

janjang geometri ini semakin berkurangan.

b) jujukan ini bukan janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga.

Pertimbangkan segi empat sama dengan sisi yang sama dengan 1. Bahagikannya kepada separuh, satu daripada bahagian itu separuh lagi, dan seterusnya. kawasan semua segi empat tepat yang terhasil membentuk janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga:

Jumlah kawasan semua segi empat tepat yang diperoleh dengan cara ini akan sama dengan luas segi empat sama pertama dan sama dengan 1.

Tetapi di sebelah kiri kesamaan ini ialah jumlah bilangan sebutan yang tidak terhingga.

Pertimbangkan hasil tambah n sebutan pertama.

Mengikut formula untuk hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri, ia adalah sama dengan.

Jika n meningkat selama-lamanya, maka

atau . Oleh itu, i.e. .

Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhinggaterdapat had urutan S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Sebagai contoh, untuk perkembangan,

kita ada

Kerana

Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhinggaboleh didapati menggunakan formula.

III. Refleksi dan Pengukuhan(penyelesaian tugas).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Merumuskan.

Apakah urutan yang anda jumpa hari ini?

Tentukan janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga.

Bagaimana untuk membuktikan bahawa janjang geometri menurun secara tidak terhingga?

Berikan formula bagi hasil tambah janjang geometri yang berkurangan tak terhingga.

V. Kerja rumah.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Pratonton:

Untuk menggunakan pratonton pembentangan, buat akaun Google (akaun) dan log masuk: https://accounts.google.com

Kapsyen slaid:

Setiap orang harus dapat berfikir secara konsisten, menilai secara konklusif, dan menyangkal kesimpulan yang salah: ahli fizik dan penyair, pemandu traktor dan ahli kimia. E.Kolman Dalam matematik, seseorang harus ingat bukan formula, tetapi proses berfikir. VP Ermakov Lebih mudah untuk mencari segi empat sama bulatan daripada mengecoh ahli matematik. Augustus de Morgan Sains apakah yang lebih mulia, lebih terpuji, lebih berguna kepada manusia daripada matematik? Franklin

Janjang geometri Gred 10 menurun secara tidak terhingga

saya. Janjang aritmetik dan geometri. Soalan 1. Definisi janjang aritmetik. Janjang aritmetik ialah jujukan di mana setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan sebutan sebelumnya yang ditambah kepada nombor yang sama. 2. Formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik. 3. Formula bagi hasil tambah n ahli pertama suatu janjang aritmetik. 4. Definisi janjang geometri. Janjang geometri ialah jujukan nombor bukan sifar, setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan ahli sebelumnya didarab dengan nombor yang sama 5. Formula ahli ke-n bagi janjang geometri. 6. Formula bagi hasil tambah n ahli pertama suatu janjang geometri.

II. Janjang aritmetik. Tugasan Satu janjang aritmetik diberikan oleh formula a n = 7 – 4 n Cari a 10 . (-33) 2. Dalam janjang aritmetik a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Cari 4 . (4) 3. Dalam janjang aritmetik a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Cari 17 . (-35) 4. Dalam janjang aritmetik a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Cari S 17 . (-187)

II. Janjang geometri. Tugasan 5. Untuk janjang geometri, cari sebutan kelima 6. Untuk janjang geometri, cari sebutan ke-n. 7. Secara eksponen b 3 = 8 dan b 5 = 2. Cari b 4 . (4) 8. Dalam janjang geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2 . Cari b 1 dan q . 9. Dalam janjang geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Cari S 5 . (62)

takrifan: Janjang geometri dikatakan menurun secara tidak terhingga jika modulus penyebutnya kurang daripada satu.

Masalah №1 Adakah jujukan itu suatu janjang geometri yang menurun secara tak terhingga, jika ia diberikan oleh formula: Penyelesaian: a) janjang geometri ini menurun secara tak terhingga. b) jujukan ini bukan janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga.

Hasil tambah bagi janjang geometri yang menyusut tak terhingga ialah had bagi jujukan S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Sebagai contoh, untuk janjang, kita mempunyai Oleh kerana jumlah janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga boleh didapati dengan formula

Penyiapan tugasan Cari hasil tambah janjang geometri menyusut tak terhingga dengan sebutan pertama 3, kedua 0.3. 2. No 13; No 14; buku teks, ms 138 3. No. 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. No 19; No 20.

Apakah urutan yang anda jumpa hari ini? Tentukan janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga. Bagaimana untuk membuktikan bahawa janjang geometri menurun secara tidak terhingga? Berikan formula bagi hasil tambah janjang geometri yang berkurangan tak terhingga. Soalan

Ahli matematik Poland terkenal Hugo Steinghaus secara berseloroh mendakwa bahawa terdapat undang-undang yang dirumuskan seperti berikut: seorang ahli matematik akan melakukannya dengan lebih baik. Iaitu, jika anda mengamanahkan dua orang, salah seorang daripadanya adalah seorang ahli matematik, untuk melakukan apa-apa kerja yang mereka tidak tahu, maka hasilnya akan sentiasa seperti berikut: ahli matematik akan melakukannya dengan lebih baik. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

URUTAN NUMERIK VI

§ l48. Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga

Sehingga kini, bercakap tentang jumlah, kami sentiasa menganggap bahawa bilangan istilah dalam jumlah ini adalah terhingga (contohnya, 2, 15, 1000, dsb.). Tetapi apabila menyelesaikan beberapa masalah (terutamanya matematik yang lebih tinggi), seseorang itu perlu berurusan dengan jumlah bilangan sebutan yang tidak terhingga.

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Apakah jumlah ini? Mengikut takrifan hasil tambah bilangan sebutan yang tidak terhingga a 1 , a 2 , ..., a n , ... dipanggil had jumlah S n pertama P nombor apabila P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Had (2), sudah tentu, mungkin wujud atau tidak. Sehubungan itu, jumlah (1) dikatakan wujud atau tidak wujud.

Bagaimana untuk mengetahui sama ada jumlah (1) wujud dalam setiap kes tertentu? Keputusan bersama Soalan ini melangkaui skop program kami. Walau bagaimanapun, ada satu yang penting kes istimewa yang kini perlu kita pertimbangkan. Kita akan bercakap tentang penjumlahan sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan secara tidak terhingga.

biarlah a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... ialah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga. Ini bermakna bahawa | q |< 1. Сумма первых P ahli perkembangan ini adalah sama dengan

Daripada teorem had utama pembolehubah(lihat § 136) kita dapat:

Tetapi 1 = 1, a q n = 0. Oleh itu

Jadi, jumlah janjang geometri yang berkurangan tak terhingga adalah sama dengan sebutan pertama kemajuan ini dibahagikan dengan satu tolak penyebut janjang ini.

1) Jumlah janjang geometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ialah

dan jumlah janjang geometri ialah 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sama

2) Mudah pecahan berkala 0.454545 ... tukar kepada biasa.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kami membentangkan pecahan yang diberi sebagai jumlah tak terhingga:

Bahagian kanan daripada kesamaan ini ialah hasil tambah janjang geometri yang berkurangan tak terhingga, sebutan pertamanya ialah 45/100, dan penyebutnya ialah 1/100. sebab tu

Dengan cara yang diterangkan, seseorang boleh mendapatkan peraturan Am penukaran pecahan berkala mudah kepada pecahan biasa (lihat Bab II, § 38):

Untuk menukar pecahan berkala mudah kepada pecahan biasa, anda perlu melakukan perkara berikut: masukkan noktah dalam pengangka pecahan perpuluhan, dan dalam penyebut - nombor yang terdiri daripada sembilan diambil seberapa banyak bilangan digit dalam tempoh pecahan perpuluhan.

3) Pecahan berkala bercampur 0.58333 .... bertukar menjadi pecahan biasa.

Mari kita wakili pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:

Di sebelah kanan kesamaan ini, semua sebutan, bermula dari 3/1000, membentuk janjang geometri menyusut tak terhingga, sebutan pertamanya ialah 3/1000, dan penyebutnya ialah 1/10. sebab tu

Dengan cara yang diterangkan, peraturan am untuk penukaran pecahan berkala campuran kepada pecahan biasa juga boleh diperolehi (lihat Bab II, § 38). Kami sengaja tidak memasukkannya di sini. Tidak perlu menghafal peraturan yang rumit ini. Adalah lebih berguna untuk mengetahui bahawa mana-mana pecahan berkala bercampur boleh diwakili sebagai hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga dan beberapa nombor. Dan formulanya

untuk jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tidak terhingga, seseorang mesti, sudah tentu, ingat.

Sebagai latihan, kami menjemput anda, sebagai tambahan kepada masalah No. 995-1000 di bawah, untuk sekali lagi beralih kepada masalah No. 301 § 38.

Senaman

995. Apakah yang dipanggil hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga?

996. Cari jumlah janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga:

997. Untuk apa nilai X kemajuan

semakin berkurangan? Cari jumlah janjang sedemikian.

998. Dalam segi tiga sama sisi dengan pesta a segi tiga baru ditulis dengan menyambungkan titik tengah sisinya; segi tiga baharu ditulis dalam segi tiga ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum.

a) jumlah perimeter semua segi tiga ini;

b) jumlah kawasan mereka.

999. Dalam segi empat sama dengan sisi a ditulis dengan menyambung titik tengah sisinya persegi baru; segi empat sama ditulis dalam petak ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum. Cari hasil tambah perimeter semua segi empat sama ini dan hasil tambah luasnya.

1000. Buat satu janjang geometri yang menyusut tak terhingga, supaya hasil tambahnya adalah sama dengan 25 / 4, dan hasil tambah kuasa dua sebutannya adalah sama dengan 625 / 24.