Kalkulator kemajuan geometri. Janjang geometri

Janjang geometri. Panduan yang komprehensif dengan contoh (2019)

Urutan angka

Jadi mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Sebagai contoh:

Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak yang anda suka (dalam kes kami, mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita sentiasa boleh menyebut yang mana yang pertama, yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor:

Urutan angka ialah satu set nombor, setiap satunya boleh diberikan nombor unik.

Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Nombor yang diberikan adalah khusus untuk satu nombor urutan sahaja. Dalam erti kata lain, tiada tiga nombor saat dalam urutan itu. Nombor kedua (seperti nombor -th) sentiasa sama.

Nombor dengan nombor itu dipanggil ahli ke-- bagi jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Dalam kes kami:

Jenis janjang yang paling biasa ialah aritmetik dan geometri. Dalam topik ini, kita akan bercakap tentang jenis kedua - janjang geometri.

Mengapakah kita memerlukan janjang geometri dan sejarahnya.

Malah pada zaman purba, ahli matematik Itali, sami Leonardo dari Pisa (lebih dikenali sebagai Fibonacci), menangani keperluan praktikal perdagangan. Rahib itu dihadapkan dengan tugas untuk menentukan berapakah bilangan timbangan terkecil yang boleh digunakan untuk menimbang barang? Dalam tulisannya, Fibonacci membuktikan bahawa sistem pemberat sedemikian adalah optimum: Ini adalah salah satu situasi pertama di mana orang terpaksa berurusan dengan janjang geometri, yang mungkin anda pernah dengar dan mempunyai sekurang-kurangnya konsep umum. Setelah anda memahami sepenuhnya topik tersebut, fikirkan mengapa sistem sedemikian adalah optimum?

Pada masa ini, dalam amalan kehidupan, perkembangan geometri ditunjukkan apabila melabur dana di bank, apabila jumlah faedah dikenakan ke atas jumlah terkumpul dalam akaun untuk tempoh sebelumnya. Dalam erti kata lain, jika anda meletakkan wang pada deposit berjangka di bank simpanan, maka dalam setahun deposit akan meningkat sebanyak daripada jumlah asal, i.e. jumlah baru akan sama dengan sumbangan didarab dengan. Pada tahun yang lain, jumlah ini akan meningkat sebanyak, i.е. jumlah yang diperoleh pada masa itu didarab semula dengan dan seterusnya. Keadaan yang serupa diterangkan dalam tugas untuk mengira apa yang dipanggil faedah kompaun- peratusan diambil setiap kali daripada jumlah yang ada pada akaun, dengan mengambil kira faedah sebelumnya. Kami akan bercakap mengenai tugas-tugas ini sedikit kemudian.

Ada banyak lagi kes mudah di mana janjang geometri digunakan. Sebagai contoh, penyebaran influenza: satu orang menjangkiti seseorang, mereka, pada gilirannya, menjangkiti orang lain, dan dengan itu gelombang kedua jangkitan - seseorang, dan mereka, pada gilirannya, menjangkiti orang lain ... dan seterusnya .. .

By the way, piramid kewangan, MMM yang sama, adalah pengiraan yang mudah dan kering mengikut sifat janjang geometri. Menarik? Mari kita fikirkan.

Janjang geometri.

Katakan kita mempunyai urutan nombor:

Anda akan segera menjawab bahawa ia adalah mudah dan nama jujukan sedemikian ialah janjang aritmetik dengan perbezaan ahlinya. Bagaimana dengan sesuatu seperti ini:

Jika anda menolak nombor sebelumnya daripada nombor seterusnya, maka anda akan melihat bahawa setiap kali anda mendapat perbezaan baru (dan seterusnya), tetapi urutan itu pasti wujud dan mudah untuk diperhatikan - setiap nombor seterusnya kali lebih banyak daripada yang sebelumnya!

Urutan jenis ini dipanggil janjang geometri dan ditanda.

Janjang geometri ( ) ialah jujukan berangka, sebutan pertama yang berbeza daripada sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri.

Kekangan bahawa sebutan pertama ( ) tidak sama dan tidak rawak. Katakan tidak ada, dan sebutan pertama masih sama, dan q ialah, hmm .. mari, maka ternyata:

Setuju bahawa ini bukan kemajuan.

Seperti yang anda faham, kami akan mendapat keputusan yang sama jika ia adalah sebarang nombor selain sifar, tetapi. Dalam kes ini, tidak akan ada perkembangan, kerana keseluruhannya siri nombor sama ada semua sifar, atau satu nombor dan semua sifar lain.

Sekarang mari kita bercakap dengan lebih terperinci tentang penyebut janjang geometri, iaitu kira-kira.

Mari kita ulangi: - ini adalah nombor, berapa kali setiap penggal berikutnya berubah janjang geometri.

Apa yang anda fikir ia boleh jadi? Betul, positif dan negatif, tetapi bukan sifar (kami bercakap tentang ini lebih tinggi sedikit).

Katakan kita mempunyai positif. Biar dalam kes kita, a. Apakah penggal kedua dan? Anda boleh menjawabnya dengan mudah:

Baiklah. Sehubungan itu, jika, maka semua ahli perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama- mereka positif.

Bagaimana jika ia negatif? Contohnya, a. Apakah penggal kedua dan?

Ia adalah cerita yang sama sekali berbeza

Cuba kira istilah janjang ini. Berapa banyak yang anda dapat? Saya ada. Oleh itu, jika, maka tanda-tanda istilah janjang geometri itu silih berganti. Iaitu, jika anda melihat janjang dengan tanda berselang-seli dalam ahlinya, maka penyebutnya adalah negatif. Pengetahuan ini boleh membantu anda menguji diri anda semasa menyelesaikan masalah mengenai topik ini.

Sekarang mari kita berlatih sedikit: cuba tentukan jujukan berangka mana yang merupakan janjang geometri, dan yang mana satu aritmetik:

faham? Bandingkan jawapan kami:

Janjang geometri - 3, 6.
Janjang aritmetik - 2, 4.
Ia bukan aritmetik mahupun janjang geometri - 1, 5, 7.

Mari kita kembali ke janjang terakhir kita, dan mari kita cuba mencari sebutannya dengan cara yang sama seperti dalam aritmetik. Seperti yang anda mungkin telah meneka, terdapat dua cara untuk mencarinya.

Kami mendarabkan setiap sebutan dengan berturut-turut.

Jadi, ahli -th bagi janjang geometri yang diterangkan adalah sama dengan.

Seperti yang telah anda duga, kini anda sendiri akan memperoleh formula yang akan membantu anda mencari mana-mana ahli janjang geometri. Atau adakah anda sudah mengeluarkannya sendiri, menerangkan cara mencari ahli ke-1 secara berperingkat? Jika ya, maka semak ketepatan alasan anda.

Mari kita gambarkan ini dengan contoh mencari ahli ke--perkembangan ini:

Dalam kata lain:

Cari sendiri nilai ahli janjang geometri tertentu.

Terjadi? Bandingkan jawapan kami:

Beri perhatian bahawa anda mendapat nombor yang sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kita didarab berturut-turut dengan setiap ahli janjang geometri sebelumnya.
Mari cuba "menyahperibadi" formula ini- mari bawa ke bentuk umum dan dapatkan:

Formula terbitan adalah benar untuk semua nilai - baik positif dan negatif. Semak sendiri dengan mengira istilah janjang geometri dengan syarat berikut: , a.

Adakah anda mengira? Mari bandingkan hasilnya:

Setuju bahawa adalah mungkin untuk mencari ahli perkembangan dengan cara yang sama seperti ahli, namun, terdapat kemungkinan salah mengira. Dan jika kita telah menemui sebutan ke-janjang geometri, a, maka apa yang lebih mudah daripada menggunakan bahagian "dipotong" formula.

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga.

Baru-baru ini, kami bercakap tentang perkara yang boleh menjadi lebih besar dan kurang daripada sifar, namun, ada makna khusus di mana janjang geometri dipanggil semakin berkurangan.

Mengapa anda fikir ia mempunyai nama sedemikian?
Sebagai permulaan, mari kita tuliskan beberapa janjang geometri yang terdiri daripada ahli.
Katakan, kemudian:

Kami melihat bahawa setiap sebutan berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya pada masa, tetapi adakah terdapat sebarang nombor? Anda segera menjawab - "tidak". Itulah sebabnya penurunan tak terhingga - berkurangan, berkurangan, tetapi tidak pernah menjadi sifar.

Untuk memahami dengan jelas rupa perkara ini secara visual, mari cuba lukiskan graf perkembangan kami. Jadi, untuk kes kami, formula mengambil bentuk berikut:

Pada carta, kami terbiasa membina pergantungan, oleh itu:

Intipati ungkapan tidak berubah: dalam entri pertama, kami menunjukkan pergantungan nilai ahli janjang geometri pada nombor ordinalnya, dan dalam entri kedua, kami hanya mengambil nilai ahli janjang geometri untuk, dan nombor ordinal ditetapkan bukan sebagai, tetapi sebagai. Apa yang perlu dilakukan ialah memplot graf.
Mari lihat apa yang anda dapat. Inilah carta yang saya dapat:

Nampak? Fungsi berkurangan, cenderung kepada sifar, tetapi tidak pernah melepasinya, jadi ia berkurangan secara tidak terhingga. Mari kita tandai titik kita pada graf, dan pada masa yang sama apakah koordinat dan maksudnya:

Cuba gambarkan secara skematik graf janjang geometri jika sebutan pertamanya juga sama. Analisa apakah perbezaan dengan carta kami sebelum ini?

Adakah anda berjaya? Inilah carta yang saya dapat:

Memandangkan anda telah memahami sepenuhnya asas topik janjang geometri: anda tahu apa itu, anda tahu cara mencari istilahnya, dan anda juga tahu apakah janjang geometri yang berkurangan secara tidak terhingga, mari kita beralih kepada sifat utamanya.

sifat janjang geometri.

Ingat harta ahli janjang aritmetik? Ya, ya, bagaimana untuk mencari nilai nombor janjang tertentu apabila terdapat nilai sebelumnya dan seterusnya bagi ahli janjang ini. teringat? ini:

Sekarang kita berhadapan dengan soalan yang sama untuk istilah janjang geometri. Untuk menarik diri formula serupa Mari kita mula melukis dan bercakap. Anda akan lihat, ia sangat mudah, dan jika anda terlupa, anda boleh mengeluarkannya sendiri.

Mari kita ambil satu lagi janjang geometri yang mudah, di mana kita tahu dan. Bagaimana untuk mencari? Dengan janjang aritmetik, ini mudah dan ringkas, tetapi bagaimana keadaannya di sini? Malah, tiada apa yang rumit dalam geometri sama ada - anda hanya perlu melukis setiap nilai yang diberikan kepada kami mengikut formula.

Anda bertanya, dan sekarang apa yang kita lakukan dengannya? Ya, sangat mudah. Sebagai permulaan, mari kita gambarkan formula ini dalam rajah, dan cuba lakukan pelbagai manipulasi dengan mereka untuk mencapai nilai.

Kami abstrak daripada nombor yang diberikan kepada kami, kami akan fokus hanya pada ekspresi mereka melalui formula. Kita perlu mencari nilai yang diserlahkan oren, mengetahui istilah yang bersebelahan dengannya. Mari kita cuba menghasilkan dengan mereka pelbagai aktiviti, akibatnya kita boleh dapat.

Penambahan.
Mari cuba tambah dua ungkapan dan kita dapat:

Daripada ungkapan ini, seperti yang anda lihat, kami tidak akan dapat menyatakan dalam apa cara sekalipun, oleh itu, kami akan mencuba pilihan lain - penolakan.

Penolakan.

Seperti yang anda lihat, kita tidak boleh menyatakan daripada ini sama ada, oleh itu, kita akan cuba untuk mendarabkan ungkapan ini dengan satu sama lain.

Pendaraban.

Sekarang lihat dengan teliti apa yang kita ada, darabkan istilah janjang geometri yang diberikan kepada kita berbanding dengan apa yang perlu ditemui:

Cuba teka apa yang saya cakapkan? Betul, untuk mencari kita perlu ambil Punca kuasa dua daripada nombor janjang geometri bersebelahan dengan nombor yang dikehendaki didarab dengan satu sama lain:

Di sini anda pergi. Anda sendiri menyimpulkan sifat janjang geometri. Cuba tulis formula ini Pandangan umum. Terjadi?

Lupa syarat bila? Fikirkan mengapa ia penting, sebagai contoh, cuba kira sendiri, di. Apa yang berlaku dalam kes ini? Betul, karut lengkap, kerana formulanya kelihatan seperti ini:

Oleh itu, jangan lupa had ini.

Sekarang mari kita kira apa itu

Jawapan yang betul - ! Sekiranya anda tidak melupakan nilai kedua yang mungkin semasa mengira, maka anda adalah rakan yang hebat dan anda boleh meneruskan latihan dengan segera, dan jika anda terlupa, baca apa yang dianalisis di bawah dan perhatikan mengapa kedua-dua akar mesti ditulis dalam jawapan .

Mari kita lukis kedua-dua janjang geometri kita - satu dengan nilai, dan satu lagi dengan nilai, dan semak sama ada kedua-duanya mempunyai hak untuk wujud:

Untuk menyemak sama ada janjang geometri sedemikian wujud atau tidak, adalah perlu untuk melihat sama ada semua janjang tersebut ahli yang ditugaskan? Kira q untuk kes pertama dan kedua.

Lihat mengapa kita perlu menulis dua jawapan? Kerana tanda istilah yang diperlukan bergantung kepada sama ada ia positif atau negatif! Dan kerana kita tidak tahu apa itu, kita perlu menulis kedua-dua jawapan dengan tambah dan tolak.

Sekarang anda telah menguasai perkara utama dan menyimpulkan formula untuk sifat janjang geometri, cari, ketahui dan

Bandingkan jawapan anda dengan jawapan yang betul:

Apa pendapat anda, bagaimana jika kita diberi bukan nilai ahli janjang geometri yang bersebelahan dengan nombor yang dikehendaki, tetapi sama jarak daripadanya. Sebagai contoh, kita perlu mencari, dan diberi dan. Bolehkah kita menggunakan formula yang kita perolehi dalam kes ini? Cuba untuk mengesahkan atau menafikan kemungkinan ini dengan cara yang sama, menerangkan kandungan setiap nilai, seperti yang anda lakukan semasa mendapatkan formula pada mulanya, dengan.
Apa yang kamu dapat?

Sekarang lihat dengan teliti sekali lagi.
dan sepadan:

Dari sini kita boleh membuat kesimpulan bahawa formula berfungsi bukan sahaja dengan jiran dengan sebutan yang dikehendaki bagi janjang geometri, tetapi juga dengan sama jarak dari apa yang ahli cari.

Oleh itu, formula asal kami menjadi:

Iaitu, jika dalam kes pertama kita berkata begitu, sekarang kita mengatakan bahawa ia boleh sama dengan mana-mana nombor asli, yang kurang. Perkara utama adalah sama untuk kedua-dua nombor yang diberikan.

Berlatih untuk contoh konkrit hanya berhati-hati!

, . Cari.
, . Cari.
, . Cari.

Saya memutuskan? Saya harap anda sangat prihatin dan perasan sedikit tangkapan.

Kami membandingkan hasilnya.

Dalam dua kes pertama, kami menggunakan formula di atas dengan tenang dan mendapatkan nilai berikut:

Dalam kes ketiga, pada pemeriksaan lebih dekat nombor siri nombor yang diberikan kepada kami, kami faham bahawa ia tidak sama jarak dengan nombor yang kami cari: ialah nombor sebelumnya, tetapi dialih keluar dalam kedudukan, jadi tidak mungkin untuk menggunakan formula.

Bagaimana untuk menyelesaikannya? Ia sebenarnya tidak sesukar yang disangka! Mari kita tulis bersama anda apa yang terdiri daripada setiap nombor yang diberikan kepada kami dan nombor yang dikehendaki.

Jadi kita ada dan. Mari lihat apa yang boleh kita lakukan dengan mereka. Saya cadangkan berpecah. Kita mendapatkan:

Kami menggantikan data kami ke dalam formula:

Langkah seterusnya yang boleh kita temui - untuk ini kita perlu ambil akar kubus daripada nombor yang diterima.

Sekarang mari kita lihat semula apa yang kita ada. Kita ada, tetapi kita perlu mencari, dan ia, pada gilirannya, adalah sama dengan:

Kami menemui semua data yang diperlukan untuk pengiraan. Gantikan dalam formula:

Jawapan kami: .

Cuba selesaikan masalah lain yang sama sendiri:
Diberi: ,
Cari:

Berapa banyak yang anda dapat? Saya ada - .

Seperti yang anda lihat, sebenarnya, anda perlukan ingat hanya satu formula- . Selebihnya anda boleh tarik balik tanpa sebarang kesulitan pada bila-bila masa. Untuk melakukan ini, tuliskan janjang geometri yang paling mudah pada sekeping kertas dan tuliskan apa, mengikut formula di atas, setiap nombornya adalah sama.

Jumlah sebutan bagi suatu janjang geometri.

Sekarang pertimbangkan formula yang membolehkan kita mengira dengan cepat jumlah sebutan bagi janjang geometri dalam selang tertentu:

Untuk mendapatkan formula bagi jumlah sebutan bagi janjang geometri terhingga, kita darabkan semua bahagian persamaan di atas dengan. Kita mendapatkan:

Lihat dengan teliti: apakah persamaan dua formula terakhir? Betul, ahli biasa, contohnya dan sebagainya, kecuali ahli pertama dan terakhir. Cuba kita tolak persamaan 1 daripada persamaan ke-2. Apa yang kamu dapat?

Sekarang nyatakan melalui formula ahli janjang geometri dan gantikan ungkapan yang terhasil dalam formula terakhir kami:

Kumpulan ungkapan. Anda sepatutnya mendapat:

Apa yang perlu dilakukan ialah menyatakan:

Sehubungan itu, dalam kes ini.

Bagaimana jika? Apakah formula yang berfungsi kemudian? Bayangkan satu janjang geometri di. Apa yang dia suka? Dengan betul satu siri nombor yang sama, masing-masing, formula akan kelihatan seperti ini:

Seperti janjang aritmetik dan geometri, terdapat banyak legenda. Salah seorang daripada mereka ialah legenda Seth, pencipta catur.

Ramai orang tahu bahawa permainan catur dicipta di India. Apabila raja Hindu bertemu dengannya, baginda gembira dengan kecerdasannya dan pelbagai jawatan yang mungkin dalam dirinya. Setelah mengetahui bahawa ia dicipta oleh salah seorang rakyatnya, raja memutuskan untuk memberi ganjaran secara peribadi. Dia memanggil pencipta kepadanya dan memerintahkan untuk memintanya untuk apa sahaja yang dia mahu, berjanji untuk memenuhi keinginan yang paling mahir sekalipun.

Seta meminta masa untuk berfikir, dan apabila keesokan harinya Seta menghadap raja, dia mengejutkan raja dengan kesopanan yang tiada tandingan permintaannya. Dia meminta sebutir gandum untuk petak pertama papan catur, gandum untuk yang kedua, untuk yang ketiga, untuk yang keempat, dan seterusnya.

Raja marah dan menghalau Set, dengan mengatakan bahawa permintaan hamba itu tidak layak untuk kemurahan hati kerajaan, tetapi berjanji bahawa hamba akan menerima bijirinnya untuk semua sel dewan.

Dan kini persoalannya ialah: menggunakan formula untuk jumlah ahli janjang geometri, hitung berapa banyak butir yang perlu diterima oleh Seth?

Mari kita mula berbincang. Oleh kerana, mengikut syarat, Seth meminta sebutir gandum untuk sel pertama papan catur, untuk yang kedua, untuk yang ketiga, untuk yang keempat, dan lain-lain, kita melihat bahawa dalam masalah itu. kita bercakap tentang janjang geometri. Apakah yang sama dalam kes ini?
dengan betul.

Jumlah sel papan catur. Masing-masing, . Kami mempunyai semua data, ia kekal hanya untuk menggantikan ke dalam formula dan mengira.

Untuk memberikan sekurang-kurangnya "skala" anggaran nombor yang diberi, ubah menggunakan sifat darjah:

Sudah tentu, jika anda mahu, anda boleh mengambil kalkulator dan mengira jenis nombor yang anda terima, dan jika tidak, anda perlu mengambil kata-kata saya untuk itu: nilai akhir ungkapan itu.
Itu dia:

quintillion quadrillion trilion billion million thousand.

Fuh) Jika anda ingin membayangkan betapa besarnya bilangan ini, maka anggarkan saiz kandang yang diperlukan untuk menampung keseluruhan jumlah bijirin.
Dengan ketinggian bangsal m dan lebar m, panjangnya perlu memanjang ke km, i.e. dua kali lebih jauh daripada Bumi ke Matahari.

Jika raja itu kuat dalam matematik, dia boleh menawarkan ahli sains itu sendiri untuk mengira bijirin, kerana untuk mengira sejuta biji, dia memerlukan sekurang-kurangnya satu hari pengiraan tanpa jemu, dan memandangkan perlu untuk mengira kuintillion, bijirin perlu dikira sepanjang hayatnya.

Dan sekarang kita akan menyelesaikan masalah mudah pada jumlah sebutan janjang geometri.
Vasya, seorang pelajar kelas 5, jatuh sakit akibat selesema, tetapi terus pergi ke sekolah. Setiap hari, Vasya menjangkiti dua orang yang, seterusnya, menjangkiti dua orang lagi, dan seterusnya. Hanya seorang dalam kelas. Dalam berapa hari seluruh kelas akan dijangkiti selesema?

Jadi, ahli pertama janjang geometri ialah Vasya, iaitu seseorang. ahli ke atas janjang geometri, ini adalah dua orang yang dijangkitinya pada hari pertama ketibaannya. jumlah keseluruhan ahli janjang adalah sama dengan bilangan pelajar 5A. Sehubungan itu, kita bercakap tentang perkembangan di mana:

Mari kita gantikan data kita ke dalam formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri:

Seluruh kelas akan jatuh sakit dalam beberapa hari. Tidak percaya pada formula dan nombor? Cuba gambarkan sendiri "jangkitan" pelajar. Terjadi? Lihat bagaimana rupanya untuk saya:

Kira sendiri berapa hari pelajar akan dijangkiti selesema jika semua orang menjangkiti seseorang, dan terdapat seseorang di dalam kelas.

Apakah nilai yang anda dapat? Ternyata semua orang mula sakit selepas sehari.

Seperti yang anda lihat, tugas sedemikian dan lukisan untuknya menyerupai piramid, di mana setiap "membawa" orang baru berikutnya. Walau bagaimanapun, lambat laun tiba masanya apabila yang terakhir tidak dapat menarik sesiapa pun. Dalam kes kita, jika kita membayangkan bahawa kelas itu terpencil, orang dari menutup rantai (). Oleh itu, jika seseorang terlibat dalam piramid kewangan di mana wang diberikan jika anda membawa dua peserta lain, maka orang itu (atau dalam kes am) tidak akan membawa sesiapa, masing-masing, akan kehilangan segala-galanya yang mereka laburkan dalam penipuan kewangan ini.

Semua yang dinyatakan di atas merujuk kepada janjang geometri yang menurun atau meningkat, tetapi, seperti yang anda ingat, kami mempunyai jenis yang istimewa - janjang geometri yang berkurangan tanpa had. Bagaimana untuk mengira jumlah ahlinya? Dan mengapakah perkembangan jenis ini mempunyai ciri tertentu? Mari kita fikirkan bersama.

Jadi, sebagai permulaan, mari kita lihat sekali lagi pada gambar perkembangan geometri yang semakin berkurangan daripada contoh kita:

Dan sekarang mari kita lihat formula untuk jumlah janjang geometri, yang diperoleh lebih awal:
atau

Apa yang kita perjuangkan? Betul, graf menunjukkan bahawa ia cenderung kepada sifar. Iaitu, apabila, ia akan menjadi hampir sama, masing-masing, apabila mengira ungkapan, kita akan mendapat hampir. Dalam hal ini, kami percaya bahawa apabila mengira jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tidak terhingga, kurungan ini boleh diabaikan, kerana ia akan sama.

- formula ialah hasil tambah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga.

PENTING! Kami menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga hanya jika keadaan menyatakan dengan jelas bahawa kita perlu mencari jumlah tidak berkesudahan bilangan ahli.

Jika nombor tertentu n ditunjukkan, maka kami menggunakan formula untuk jumlah n sebutan, walaupun jika atau.

Dan sekarang mari kita berlatih.

Cari hasil tambah sebutan pertama suatu janjang geometri dengan dan.
Cari hasil tambah sebutan bagi janjang geometri menyusut tak terhingga dengan dan.

Saya harap anda sangat berhati-hati. Bandingkan jawapan kami:

Kini anda tahu segala-galanya tentang janjang geometri, dan sudah tiba masanya untuk beralih dari teori kepada amalan. Masalah eksponen yang paling biasa ditemui pada peperiksaan ialah masalah faedah kompaun. Ia adalah mengenai mereka yang kita akan bercakap.

Masalah untuk mengira faedah kompaun.

Anda pasti pernah mendengar apa yang dipanggil formula faedah kompaun. Adakah anda faham apa yang dia maksudkan? Jika tidak, mari kita fikirkan, kerana setelah menyedari proses itu sendiri, anda akan segera memahami apa kaitan janjang geometri dengannya.

Kami semua pergi ke bank dan tahu bahawa ada keadaan yang berbeza pada deposit: ini adalah kedua-dua terma, dan penyelenggaraan tambahan, dan peratusan dengan dua cara yang berbeza pengiraannya - mudah dan kompleks.

DARI minat mudah semuanya lebih kurang jelas: faedah dikenakan sekali pada akhir tempoh deposit. Iaitu, jika kita bercakap tentang meletakkan 100 rubel setahun di bawah, maka mereka akan dikreditkan hanya pada akhir tahun. Oleh itu, pada akhir deposit, kami akan menerima rubel.

Faedah kompaun adalah pilihan di mana permodalan faedah, iaitu penambahan mereka kepada jumlah deposit dan pengiraan pendapatan seterusnya bukan dari permulaan, tetapi dari jumlah terkumpul deposit. Permodalan tidak berlaku secara berterusan, tetapi dengan beberapa keteraturan. Sebagai peraturan, tempoh tersebut adalah sama dan paling kerap bank menggunakan sebulan, suku atau setahun.

Katakan kita meletakkan semua rubel yang sama setahun, tetapi dengan permodalan bulanan deposit. Apa yang kita dapat?

Adakah anda memahami segala-galanya di sini? Jika tidak, mari kita ambil langkah demi langkah.

Kami membawa rubel ke bank. Menjelang akhir bulan, kami sepatutnya mempunyai jumlah dalam akaun kami yang terdiri daripada rubel kami ditambah faedah ke atasnya, iaitu:

Saya setuju?

Kita boleh mengeluarkannya daripada kurungan dan kemudian kita mendapat:

Setuju, formula ini sudah lebih serupa dengan yang kami tulis pada mulanya. Ia tetap berurusan dengan peratusan

Dalam keadaan masalah, kita diberitahu tentang tahunan. Seperti yang anda ketahui, kami tidak mendarab dengan - kami menukar peratusan kepada perpuluhan, itu dia:

Betul ke? Sekarang anda bertanya, dari mana datangnya nombor itu? Sangat ringkas!
Saya ulangi: keadaan masalah mengatakan tentang TAHUNAN faedah terakru BULANAN. Seperti yang anda ketahui, masing-masing dalam setahun, bank akan mengenakan kami sebahagian daripada faedah tahunan setiap bulan:

Sedar? Sekarang cuba tulis bagaimana bahagian formula ini akan kelihatan jika saya katakan bahawa faedah dikira setiap hari.
Adakah anda berjaya? Mari bandingkan hasilnya:

Bagus! Mari kembali kepada tugas kami: tuliskan jumlah yang akan dikreditkan ke akaun kami untuk bulan kedua, dengan mengambil kira faedah dikenakan ke atas jumlah deposit terkumpul.
Inilah yang berlaku kepada saya:

Atau, dengan kata lain:

Saya fikir anda telah pun melihat corak dan melihat janjang geometri dalam semua ini. Tulis apa yang ahlinya akan bersamaan, atau, dengan kata lain, berapa banyak wang yang akan kita terima pada akhir bulan.
Adakah? Menyemak!

Seperti yang anda lihat, jika anda meletakkan wang di bank selama setahun dengan faedah yang mudah, maka anda akan menerima rubel, dan jika anda meletakkannya pada kadar kompaun, anda akan menerima rubel. Faedahnya kecil, tetapi ini berlaku hanya pada tahun ke-, tetapi untuk tempoh yang lebih lama, permodalan adalah lebih menguntungkan:

Mari kita pertimbangkan jenis tugasan lain faedah kompaun. Selepas apa yang anda fikirkan, ia akan menjadi asas untuk anda. Jadi tugasnya ialah:

Zvezda mula melabur dalam industri pada tahun 2000 dengan modal dolar. Setiap tahun, sejak 2001, dia mendapat keuntungan, iaitu daripada modal tahun sebelumnya. Berapakah keuntungan yang akan diterima oleh syarikat Zvezda pada penghujung tahun 2003, jika keuntungan itu tidak dikeluarkan daripada edaran?

Ibu kota syarikat Zvezda pada tahun 2000.
- ibu kota syarikat Zvezda pada tahun 2001.
- ibu kota syarikat Zvezda pada tahun 2002.
- ibu kota syarikat Zvezda pada tahun 2003.

Atau kita boleh menulis secara ringkas:

Untuk kes kami:

2000, 2001, 2002 dan 2003.

Masing-masing:
rubel
Perhatikan bahawa dalam masalah ini kita tidak mempunyai pembahagian sama ada oleh atau oleh, kerana peratusan diberikan SECARA TAHUNAN dan ia dikira SECARA TAHUNAN. Iaitu, apabila membaca masalah untuk faedah kompaun, perhatikan berapa peratusan yang diberikan, dan dalam tempoh apa ia dicaj, dan hanya kemudian meneruskan pengiraan.
Sekarang anda tahu segala-galanya tentang janjang geometri.

Bersenam.

Cari sebutan janjang geometri jika diketahui bahawa, dan
Cari hasil tambah sebutan pertama suatu janjang geometri, jika diketahui bahawa, dan
MDM Capital mula melabur dalam industri pada tahun 2003 dengan modal dolar. Setiap tahun sejak tahun 2004, dia memperoleh keuntungan yang sama dengan modal tahun sebelumnya. Syarikat "MSK" aliran tunai” mula melabur dalam industri pada tahun 2005 dalam jumlah $10,000, mula membuat keuntungan dari 2006 dalam jumlah. Berapa banyakkah modal sesebuah syarikat melebihi modal syarikat lain pada penghujung tahun 2007, jika keuntungan tidak dikeluarkan daripada edaran?

Jawapan:

Oleh kerana keadaan masalah tidak mengatakan bahawa perkembangan adalah tidak terhingga dan ia diperlukan untuk mencari jumlahnya nombor tertentu daripada ahlinya, maka pengiraan dilakukan mengikut formula:
Syarikat "MDM Capital":
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- meningkat sebanyak 100% iaitu 2 kali ganda.
Masing-masing:
rubel
Aliran Tunai MSK:
2005, 2006, 2007.
- meningkat sebanyak, iaitu, kali.
Masing-masing:
rubel
rubel

Mari kita ringkaskan.

1) Janjang geometri ( ) ialah jujukan berangka, sebutan pertama yang berbeza daripada sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri.

2) Persamaan ahli janjang geometri -.

3) boleh mengambil sebarang nilai, kecuali dan.

jika, maka semua ahli perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - mereka positif;
jika, maka semua ahli perkembangan berikutnya tanda ganti;
apabila - janjang dipanggil menurun secara tidak terhingga.

4), pada - harta janjang geometri (istilah jiran)

atau
, pada (istilah sama jarak)

Apabila anda menemuinya, jangan lupa itu mesti ada dua jawapan..

Sebagai contoh,

5) Jumlah ahli janjang geometri dikira dengan formula:
atau

Jika janjang menurun secara tidak terhingga, maka:
atau

PENTING! Kami menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga hanya jika syarat menyatakan secara eksplisit bahawa kita perlu mencari jumlah bilangan sebutan tak terhingga.

6) Tugas untuk faedah kompaun juga dikira mengikut formula ahli ke- janjang geometri, dengan syarat dana itu tidak dikeluarkan daripada edaran:

KEMAJUAN GEOMETRI. SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

Janjang geometri( ) ialah jujukan berangka, sebutan pertama yang berbeza daripada sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut bagi suatu janjang geometri.

Penyebut janjang geometri boleh mengambil sebarang nilai kecuali dan.

Jika, maka semua ahli perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - mereka positif;
jika, maka semua ahli perkembangan berikutnya tanda ganti;
apabila - janjang dipanggil menurun secara tidak terhingga.

Persamaan ahli janjang geometri - .

Jumlah sebutan bagi suatu janjang geometri dikira dengan formula:
atau

Janjang geometri ialah jujukan berangka bukan sifar yang terbentuk hasil daripada mendarab setiap sebutan berikutnya dengan pekali tertentu yang tidak sama dengan sifar.

Definisi urutan

Sebelum berurusan dengan janjang, seseorang harus memahami definisi jujukan berangka dan undang-undang yang mana ia ditetapkan. Ingat siri semula jadi - yang pertama urutan nombor, yang kami belajar tadika. Ini adalah integer yang digunakan untuk mengira semula item. Permulaan kelihatan seperti ini:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...n

Jika setiap nombor siri semula jadi dikaitkan dengan nombor lain yang terbentuk mengikut formula tertentu, kami mendapat urutan baharu:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 ... an

Nombor an ialah ahli biasa bagi jujukan dan undang-undang yang membentuk unsur-unsur siri itu. Jelas sekali, formula untuk menetapkan siri semula jadi hanyalah n. Untuk urutan nombor genap, setiap unsur dan sebutan sepunya diberikan oleh formula 2n, dan untuk nombor ganjil - 2n − 1.

Janjang aritmetik dan geometri

Satu lagi contoh perkembangan eksponen ialah penyebaran wabak influenza. Sebagai contoh, seorang pesakit setiap hari boleh menjangkiti 12 orang, setiap 12 orang juga akan menjangkiti 12 orang lagi, jadi pada hari kedua akan ada 144 pesakit, pada ketiga - 1,728, dan pada keempat - 20,736.

Program kami menjana janjang geometri bagi nilai yang dipilih. Untuk melakukan ini, anda perlu memasukkan nilai sebutan pertama dalam sel "Nombor pertama", penyebut janjang dalam sel "Perbezaan (langkah)", dan bilangan elemen jujukan dalam "Last nombor" sel. Selepas itu, program akan menyediakan nombor yang sepadan dengan undang-undang janjang geometri.

Mari kita lihat satu contoh

Permainan wang melalui surat

Pada zaman Soviet, terdapat penipuan berdasarkan prinsip perkembangan geometri. Intipati penipuan adalah seperti berikut. Orang menerima surat dengan 5 alamat dan arahan:

hantar ke alamat untuk 1 rubel;
potong alamat pertama dan tulis alamat kelima anda;
hantar surat jemputan dengan alamat yang ditentukan kepada rakan dan kenalan anda.

Para pengembara memberikan penjelasan yang logik untuk mekanisme pengayaan. Sesungguhnya, jika orang yang dijemput oleh anda menghantar 1 rubel setiap satu, maka anda akan memulangkan wang yang dibelanjakan. Lima peserta yang dijemput dalam permainan akan menghantar surat kepada rakan mereka, di mana alamat anda ditunjukkan pada nombor 4. Bilangan surat tersebut sudah 25, dan gelombang jemputan seterusnya akan menghantar sejumlah 25 rubel. Selepas itu, 25 orang akan menghantar 5 surat setiap satu, di mana alamat anda adalah yang ketiga dan ini sudah 125 sampul surat 1 rubel setiap satu.

Berapa banyak wang yang dijanjikan oleh penipu pada akhir pusingan jemputan? Jawapannya terletak pada janjang geometri yang mudah. Mengikut versi mereka, akan ada 5 gelombang jemputan dengan alamat anda. Oleh kerana kami tidak mengambil kira unit, tetapi bermula dengan 5 huruf, maka nombor terakhir akan bersamaan dengan 6. Yang pertama, sudah tentu, ialah 1. Langkah janjang geometri kami ialah 5. Kami memacu data ini ke dalam sel kalkulator dan dapatkan urutan:

1, 5, 25, 125, 625, 3125,

jumlah unsur jujukan dalam kes ini ialah 3906. Ia adalah keuntungan 3906 rubel yang dijanjikan oleh penipu kepada rakyat yang mudah tertipu. Sememangnya, dalam praktiknya, semua wang pergi kepada penganjur permainan, kerana pada langkah pertama penipu tidak menghantar satu surat, tetapi beratus-ratus, di mana alamat mereka sendiri ditunjukkan. Walaupun pada langkah pertama penipu menghantar hanya 200 surat, maka pada langkah kelima 625,000 orang harus menyertai permainan, dan penganjur akan menerima lebih daripada 700,000 rubel daripada mereka. Langkah selanjutnya tidak lagi masuk akal.

Kesimpulan

Perkembangan geometri sering dijumpai dalam realiti. Gunakan katalog kalkulator kami untuk menyelesaikannya teka-teki yang menarik atau untuk menguji kajian kes.

Janjang geometri tidak kurang pentingnya dalam matematik berbanding dalam aritmetik. Janjang geometri ialah urutan nombor b1, b2,..., b[n] setiap ahli seterusnya yang diperoleh dengan mendarab yang sebelumnya dengan nombor tetap. Nombor ini, yang juga mencirikan kadar pertumbuhan atau penurunan perkembangan, dipanggil penyebut janjang geometri dan menandakan

Untuk tugasan lengkap janjang geometri, sebagai tambahan kepada penyebut, adalah perlu untuk mengetahui atau menentukan sebutan pertamanya. Untuk nilai positif penyebut janjang itu ialah urutan yang membosankan, dan jika jujukan nombor ini menurun secara monoton dan meningkat secara monoton sebagai. Kes apabila penyebut sama dengan satu tidak dipertimbangkan dalam amalan, kerana kita mempunyai urutan nombor yang sama, dan penjumlahan mereka tidak menarik minat praktikal

Istilah umum janjang geometri dikira mengikut formula

Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri ditentukan oleh formula

Pertimbangkan Penyelesaian masalah klasik kepada janjang geometri. Mari kita mulakan dengan yang paling mudah untuk difahami.

Contoh 1. Sebutan pertama janjang geometri ialah 27, dan penyebutnya ialah 1/3. Cari enam sebutan pertama suatu janjang geometri.

Penyelesaian: Kami menulis keadaan masalah dalam borang

Untuk pengiraan, kami menggunakan formula untuk ahli ke-n suatu janjang geometri

Berdasarkan itu, kami dapati ahli perkembangan yang tidak diketahui

Seperti yang anda lihat, mengira terma janjang geometri tidak sukar. Perkembangan itu sendiri akan kelihatan seperti ini

Contoh 2. Tiga ahli pertama janjang geometri diberikan: 6; -12; 24. Cari penyebut dan sebutan ketujuh.

Penyelesaian: Kami mengira penyebut janjang geometri berdasarkan takrifannya

Kami mendapat janjang geometri berselang-seli yang penyebutnya ialah -2. Sebutan ketujuh dikira dengan formula

Pada tugas ini diselesaikan.

Contoh 3. Janjang geometri diberikan oleh dua ahlinya . Cari sebutan kesepuluh bagi janjang itu.

Penyelesaian:

Mari tulis nilai yang diberikan melalui formula

Mengikut peraturan, seseorang perlu mencari penyebut, dan kemudian mencari nilai yang dikehendaki, tetapi untuk penggal kesepuluh kita ada

Formula yang sama boleh diperolehi berdasarkan manipulasi mudah dengan data input. Kami membahagikan penggal keenam siri dengan yang lain, hasilnya kami dapat