Transformasi geometri graf bagi jadual fungsi. Mengubah Graf Fungsi Trigonometri

Hipotesis: Jika anda mengkaji pergerakan graf semasa pembentukan persamaan fungsi, maka anda boleh melihat bahawa semua graf mematuhi corak umum oleh itu, adalah mungkin untuk merumuskan undang-undang am tanpa mengira fungsi, yang bukan sahaja akan memudahkan pembinaan graf pelbagai fungsi, tetapi juga menggunakannya dalam menyelesaikan masalah.

Tujuan: Untuk mengkaji pergerakan graf fungsi:

1) Tugas mempelajari sastera

2) Belajar membina graf pelbagai fungsi

3) Ketahui cara menukar carta fungsi linear

4) Pertimbangkan penggunaan graf dalam menyelesaikan masalah

Objek kajian: Graf fungsi

Subjek kajian: Pergerakan graf fungsi

Perkaitan: Pembinaan graf fungsi, sebagai peraturan, mengambil banyak masa dan memerlukan perhatian daripada pelajar, tetapi mengetahui peraturan untuk mengubah graf fungsi dan graf fungsi asas, anda boleh membina graf fungsi dengan cepat dan mudah, yang akan membolehkan anda bukan sahaja untuk menyelesaikan tugas untuk memplot graf fungsi, tetapi juga menyelesaikan masalah yang berkaitan (untuk mencari maksimum (ketinggian masa minimum dan titik pertemuan))

Projek ini berguna kepada semua pelajar sekolah.

Kajian literatur:

Kesusasteraan membincangkan cara untuk membina graf pelbagai fungsi, serta contoh transformasi graf fungsi ini. Graf hampir semua fungsi utama digunakan dalam pelbagai proses teknikal, yang memungkinkan untuk membentangkan perjalanan proses dengan lebih jelas dan memprogramkan hasilnya

Fungsi kekal. Fungsi ini diberikan oleh formula y = b, dengan b ialah beberapa nombor. jadual fungsi kekal ialah garis lurus selari dengan paksi-x dan melalui titik (0; b) pada paksi-y. Graf fungsi y \u003d 0 ialah paksi absis.

Jenis fungsi 1Perkadaran langsung. Fungsi ini diberikan oleh formula y \u003d kx, di mana pekali perkadaran k ≠ 0. Graf perkadaran langsung ialah garis lurus yang melalui asalan.

Fungsi linear. Fungsi sedemikian diberikan oleh formula y = kx + b, di mana k dan b adalah nombor nyata. Graf fungsi linear ialah garis lurus.

Graf fungsi linear boleh bersilang atau selari.

Jadi, garisan graf fungsi linear y \u003d k 1 x + b 1 dan y \u003d k 2 x + b 2 bersilang jika k 1 ≠ k 2; jika k 1 = k 2 , maka garis-garisnya adalah selari.

2 Perkadaran songsang ialah fungsi yang diberikan oleh formula y \u003d k / x, di mana k ≠ 0. K dipanggil pekali perkadaran songsang. Graf perkadaran songsang ialah hiperbola.

Fungsi y \u003d x 2 diwakili oleh graf yang dipanggil parabola: pada selang [-~; 0] fungsi semakin berkurangan, pada selang waktu fungsi semakin meningkat.

Fungsi y \u003d x 3 meningkat di sepanjang garis nombor dan secara grafik diwakili oleh parabola padu.

Fungsi kuasa dengan penunjuk semula jadi. Fungsi ini diberikan oleh formula y \u003d x n, di mana n adalah nombor asli. graf fungsi kuasa dengan eksponen semula jadi bergantung kepada n. Sebagai contoh, jika n = 1, maka graf akan menjadi garis lurus (y = x), jika n = 2, maka graf akan menjadi parabola, dsb.

Fungsi kuasa dengan integer penunjuk negatif diwakili oleh formula y \u003d x -n, dengan n ialah nombor asli. Fungsi ini ditakrifkan untuk semua x ≠ 0. Graf fungsi juga bergantung pada eksponen n.

Fungsi kuasa dengan positif penunjuk pecahan. Fungsi ini diwakili oleh formula y \u003d x r, di mana r ialah pecahan tidak boleh dikurangkan positif. Fungsi ini juga bukan genap atau ganjil.

Garis graf yang memaparkan hubungan pembolehubah bersandar dan tidak bersandar pada satah koordinat. Graf berfungsi untuk memaparkan unsur-unsur ini secara visual.

Pembolehubah bebas ialah pembolehubah yang boleh mengambil sebarang nilai dalam skop fungsi (di mana fungsi yang diberikan masuk akal (tidak boleh bahagi dengan sifar)

Untuk memplot graf fungsi,

1) Cari ODZ (julat nilai yang boleh diterima)

2) mengambil beberapa nilai arbitrari untuk pembolehubah bebas

3) Cari nilai pembolehubah bersandar

4) Membina satah koordinat tandakan titik-titik ini di atasnya

5) Sambungkan garisnya jika perlu, siasat graf yang terhasil.Penjelmaan graf bagi fungsi asas.

Penukaran Graf

AT bentuk tulen fungsi asas asas ditemui, malangnya, tidak begitu kerap. Lebih cenderung untuk berurusan fungsi asas diperoleh daripada asas asas dengan menambah pemalar dan pekali. Graf fungsi sedemikian boleh dibina dengan menggunakan transformasi geometri pada graf fungsi asas asas yang sepadan (atau pergi ke sistem baru koordinat). Sebagai contoh, formula fungsi kuadratik ialah parabola kuadratik formula yang dimampatkan tiga kali berbanding paksi ordinat, dipaparkan secara simetri berbanding paksi absis, beralih melawan arah paksi ini sebanyak 2/3 unit dan beralih sepanjang arah paksi ordinat sebanyak 2 unit.

Mari kita fahami transformasi geometri bagi graf fungsi langkah demi langkah menggunakan contoh khusus.

Dengan bantuan transformasi geometri graf fungsi f (x), graf bagi sebarang fungsi formula bentuk boleh dibina, di mana formula ialah pekali mampatan atau pengembangan di sepanjang paksi oy dan ox, masing-masing, tolak. tanda di hadapan formula dan formula pekali menunjukkan paparan simetri graf berkenaan dengan paksi koordinat, a dan b mentakrifkan anjakan relatif kepada paksi absis dan ordinat, masing-masing.

Oleh itu, terdapat tiga jenis transformasi geometri graf fungsi:

Jenis pertama ialah penskalaan (mampatan atau pengembangan) di sepanjang paksi absis dan ordinat.

Keperluan untuk penskalaan ditunjukkan oleh pekali formula selain daripada satu, jika nombor kurang daripada 1, maka graf dimampatkan relatif kepada oy dan diregangkan relatif kepada lembu, jika nombor lebih besar daripada 1, maka kita meregangkan sepanjang paksi ordinat dan mengecut sepanjang paksi absis.

Jenis kedua ialah paparan simetri (cermin) berkenaan dengan paksi koordinat.

Keperluan untuk transformasi ini ditunjukkan oleh tanda tolak di hadapan pekali formula (dalam kes ini, kami memaparkan graf secara simetri berkenaan dengan paksi lembu) dan formula (dalam kes ini, kami memaparkan graf secara simetri dengan berkenaan dengan paksi y). Jika tiada tanda tolak, maka langkah ini dilangkau.

Ringkasan pelajaran algebra dan permulaan analisis dalam gred 10

mengenai topik: "Penukaran carta fungsi trigonometri»

Tujuan pelajaran: untuk mensistematisasikan pengetahuan mengenai topik "Sifat dan graf fungsi trigonometri y \u003d sin (x), y \u003d cos (x)".

Objektif pelajaran:

ulangi sifat fungsi trigonometri y \u003d sin (x), y \u003d cos (x);
ulangi formula pengurangan;
penukaran graf fungsi trigonometri;
mengembangkan perhatian, ingatan, pemikiran logik; aktifkan aktiviti mental keupayaan untuk menganalisis, membuat generalisasi dan menaakul;
pendidikan ketekunan, ketekunan dalam mencapai matlamat, minat dalam subjek.

Peralatan pelajaran: ict

Jenis pelajaran: belajar baharu

Semasa kelas

Sebelum pelajaran, 2 orang pelajar di papan tulis membina graf daripada kerja rumah mereka.

Masa penganjuran:

Apa khabar semua!

Hari ini dalam pelajaran kita akan menukar graf fungsi trigonometri y \u003d sin (x), y \u003d cos (x).

Kerja lisan:

Menyemak kerja rumah.

menyelesaikan teka-teki.

Mempelajari bahan baharu

Semua transformasi graf fungsi adalah universal - ia sesuai untuk semua fungsi, termasuk fungsi trigonometri. Di sini kita menghadkan diri kita kepada peringatan ringkas tentang transformasi utama graf.

Transformasi graf fungsi.

Fungsi y \u003d f (x) diberikan. Kami mula membina semua graf daripada graf fungsi ini, kemudian kami melakukan tindakan dengannya.

Fungsi

Apa yang perlu dilakukan dengan jadual

y = f(x) + a

Kami menaikkan semua titik graf pertama dengan satu unit ke atas.

y = f(x) – a

Semua titik graf pertama diturunkan dengan satu unit ke bawah.

y = f(x + a)

Kami mengalihkan semua titik graf pertama dengan unit ke kiri.

y = f (x - a)

Kami mengalihkan semua titik graf pertama dengan unit ke kanan.

y = a*f(x),a>1

Kami menetapkan sifar pada tempatnya, kami mengalihkan mata atas lebih tinggi dengan satu kali, yang lebih rendah kami turunkan lebih rendah sebanyak satu kali.

Graf akan "meregang" ke atas dan ke bawah, sifar kekal di tempatnya.

y = a*f(x), a<1

Kami menetapkan sifar, mata atas akan turun satu kali, yang lebih rendah akan naik satu kali. Graf akan "mengecut" ke paksi-x.

y=-f(x)

Cerminkan graf pertama tentang paksi-x.

y = f(ax), a<1

Betulkan satu titik pada paksi-y. Setiap segmen pada paksi-x dinaikkan sebanyak satu kali. Graf akan terbentang dari paksi-y dalam arah yang berbeza.

y = f(ax), a>1

Betulkan satu titik pada paksi ordinat, setiap segmen pada paksi absis dikurangkan sebanyak kali. Graf akan "mengecut" kepada paksi-y pada kedua-dua belah.

y= | f(x)|

Bahagian graf yang terletak di bawah paksi-x dicerminkan. Keseluruhan graf akan terletak di separuh satah atas.

Skim penyelesaian.

1)y = sin x + 2.

Kami membina graf y \u003d sin x. Kami menaikkan setiap titik graf sebanyak 2 unit (sifar juga).

2)y \u003d cos x - 3.

Kami membina graf y \u003d cos x. Kami menurunkan setiap titik graf ke bawah sebanyak 3 unit.

3)y = cos (x - /2)

Kami membina graf y \u003d cos x. Kami mengalihkan semua titik n/2 ke kanan.

4) y = 2 dosa x .

Kami membina graf y \u003d sin x. Kami meninggalkan sifar di tempatnya, menaikkan mata atas 2 kali, menurunkan yang lebih rendah dengan jumlah yang sama.

KERJA AMALI Memplot fungsi trigonometri menggunakan program Grapher Lanjutan.

Mari kita plot fungsi y = -cos 3x + 2.

Mari kita plot fungsi y \u003d cos x.
Pantulkannya tentang paksi-x.
Graf ini mesti dimampatkan tiga kali sepanjang paksi-x.
Akhirnya, graf sedemikian mesti dinaikkan oleh tiga unit di sepanjang paksi-y.

y = 0.5 sin x.

y=0.2 cos x-2

y = 5 cos 0 .5 x

y=-3sin(x+π).

2) Cari kesilapan dan betulkan.

V. Bahan sejarah. Mesej Euler.

Leonhard Euler ialah ahli matematik terhebat pada abad ke-18. Dilahirkan di Switzerland. Selama bertahun-tahun dia tinggal dan bekerja di Rusia, ahli Akademi St. Petersburg.

Kenapa kita perlu tahu dan ingat nama saintis ini?

Menjelang permulaan abad ke-18, trigonometri masih belum berkembang dengan mencukupi: tidak ada simbol, formula ditulis dalam kata-kata, sukar untuk mengasimilasikannya, persoalan tanda-tanda fungsi trigonometri di bahagian yang berbeza dari bulatan juga tidak jelas, hanya sudut atau lengkok yang difahami sebagai hujah bagi fungsi trigonometri. Hanya dalam karya trigonometri Euler menerima rupa moden. Dialah yang mula mempertimbangkan fungsi trigonometri nombor, i.e. hujah itu difahami bukan sahaja sebagai lengkok atau darjah, tetapi juga sebagai nombor. Euler menyimpulkan semua formula trigonometri daripada beberapa formula asas, menyelaraskan persoalan tanda-tanda fungsi trigonometri dalam sukuan bulatan yang berbeza. Untuk menetapkan fungsi trigonometri, beliau memperkenalkan simbol: sin x, cos x, tg x, ctg x.

Pada ambang abad ke-18, arah baru muncul dalam pembangunan trigonometri - analisis. Jika sebelum itu matlamat utama trigonometri dianggap sebagai penyelesaian segitiga, maka Euler menganggap trigonometri sebagai sains fungsi trigonometri. Bahagian pertama: doktrin fungsi adalah sebahagian daripada doktrin umum fungsi, yang dikaji dalam analisis matematik. Bahagian kedua: penyelesaian segitiga - bab geometri. Inovasi sedemikian telah dibuat oleh Euler.

VI. Pengulangan

Kerja bebas "Tambah formula."

VII. Ringkasan pelajaran:

1) Apakah perkara baharu yang anda pelajari semasa pelajaran hari ini?

2) Apa lagi yang anda ingin tahu?

3) Penggredan.

Teks kerja diletakkan tanpa imej dan formula.
Versi penuh kerja tersedia dalam tab "Fail Kerja" dalam format PDF

pengenalan

Transformasi graf fungsi adalah salah satu konsep asas matematik yang berkaitan secara langsung dengan aktiviti amali. Transformasi graf fungsi pertama kali ditemui dalam algebra gred 9 apabila mempelajari topik "Fungsi kuadratik". Fungsi kuadratik diperkenalkan dan dikaji berhubung rapat dengan persamaan kuadratik dan ketaksamaan. Juga, banyak konsep matematik dipertimbangkan oleh kaedah grafik, contohnya, dalam gred 10-11, kajian fungsi memungkinkan untuk mencari domain definisi dan skop fungsi, kawasan penurunan atau peningkatan, asimtot, selang tanda malar, dsb. Soalan penting ini juga dibawa ke GIA. Ia berikutan bahawa pembinaan dan transformasi graf fungsi merupakan salah satu tugas utama mengajar matematik di sekolah.

Walau bagaimanapun, untuk memplot banyak fungsi, beberapa kaedah boleh digunakan untuk memudahkan pembinaan. Di atas mentakrifkan perkaitan topik kajian.

Objek kajian ialah kajian tentang transformasi graf dalam matematik sekolah.

Subjek kajian - proses membina dan mengubah graf fungsi di sekolah menengah.

soalan masalah: adakah mungkin untuk membina graf bagi fungsi yang tidak dikenali, mempunyai kemahiran mengubah graf bagi fungsi asas?

Sasaran: merancang fungsi dalam situasi yang tidak biasa.

Tugasan:

1. Menganalisis bahan pendidikan tentang masalah yang dikaji. 2. Mengenal pasti skema untuk mengubah graf fungsi dalam kursus matematik sekolah. 3. Pilih kaedah dan alatan yang paling berkesan untuk membina dan menukar graf fungsi. 4. Dapat mengaplikasikan teori ini dalam menyelesaikan masalah.

Pengetahuan asas, kemahiran, kebolehan yang diperlukan:

Tentukan nilai fungsi dengan nilai hujah dalam pelbagai cara untuk menentukan fungsi;

Bina graf bagi fungsi yang dikaji;

Huraikan kelakuan dan sifat fungsi daripada graf dan, dalam kes termudah, daripada formula, cari nilai terbesar dan terkecil daripada graf fungsi;

Penerangan dengan bantuan fungsi pelbagai kebergantungan, perwakilannya secara grafik, tafsiran graf.

Bahagian utama

Bahagian teori

Sebagai graf awal bagi fungsi y = f(x), saya akan memilih fungsi kuadratik y=x 2 . Saya akan mempertimbangkan kes-kes transformasi graf ini yang dikaitkan dengan perubahan dalam formula yang mentakrifkan fungsi ini dan membuat kesimpulan untuk sebarang fungsi.

1. Fungsi y = f(x) + a

Dalam formula baharu, nilai fungsi (koordinat titik graf) ditukar dengan nombor a, berbanding dengan nilai fungsi "lama". Ini membawa kepada terjemahan selari graf fungsi sepanjang paksi OY:

naik jika a > 0; turun jika a< 0.

PENGELUARAN

Oleh itu, graf fungsi y=f(x)+a diperoleh daripada graf fungsi y=f(x) dengan cara terjemahan selari di sepanjang paksi-y dengan unit ke atas jika a > 0, dan dengan a unit turun jika a< 0.

2. Fungsi y = f(x-a),

Dalam formula baharu, nilai argumen (abscissas titik graf) ditukar dengan nombor a, berbanding dengan nilai argumen "lama". Ini membawa kepada pemindahan selari graf fungsi sepanjang paksi OX: ke kanan jika a< 0, влево, если a >0.

PENGELUARAN

Jadi graf fungsi y= f(x - a) diperoleh daripada graf fungsi y=f(x) dengan terjemahan selari di sepanjang paksi absis oleh unit ke kiri jika a > 0, dan oleh unit ke kanan jika a< 0.

3. Fungsi y = k f(x), dengan k > 0 dan k ≠ 1

Dalam formula baharu, nilai fungsi (koordinat titik graf) berubah k kali berbanding dengan nilai fungsi "lama". Ini membawa kepada: 1) "regangan" dari titik (0; 0) sepanjang paksi OY sebanyak k kali, jika k > 1, 2) "mampatan" ke titik (0; 0) sepanjang paksi OY dengan faktor daripada 0, jika 0< k < 1.

PENGELUARAN

Oleh itu: untuk membina graf bagi fungsi y = kf(x), di mana k > 0 dan k ≠ 1, anda perlu mendarab ordinat titik graf fungsi y = f(x) yang diberikan dengan k. Penjelmaan sedemikian dipanggil regangan dari titik (0; 0) di sepanjang paksi OY sebanyak k kali jika k > 1; penguncupan ke titik (0; 0) di sepanjang paksi OY dengan faktor jika 0< k < 1.

4. Fungsi y = f(kx), dengan k > 0 dan k ≠ 1

Dalam formula baharu, nilai hujah (abscissas titik graf) berubah k kali berbanding dengan nilai "lama" hujah. Ini membawa kepada: 1) "regangan" dari titik (0; 0) di sepanjang paksi OX sebanyak 1/k kali jika 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

PENGELUARAN

Jadi: untuk membina graf fungsi y = f(kx), di mana k > 0 dan k ≠ 1, anda perlu mendarabkan absis titik-titik graf fungsi y=f(x) yang diberikan dengan k . Penjelmaan sedemikian dipanggil regangan dari titik (0; 0) di sepanjang paksi OX sebanyak 1/k kali jika 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Fungsi y = - f (x).

Dalam formula ini, nilai fungsi (koordinat titik graf) diterbalikkan. Perubahan ini menghasilkan paparan simetri graf asal fungsi tentang paksi-x.

PENGELUARAN

Untuk membina graf bagi fungsi y = - f (x), anda memerlukan graf bagi fungsi y = f (x)

mencerminkan secara simetri tentang paksi OX. Penjelmaan sedemikian dipanggil penjelmaan simetri tentang paksi OX.

6. Fungsi y = f (-x).

Dalam formula ini, nilai hujah (abscissas titik graf) diterbalikkan. Perubahan ini menghasilkan paparan simetri graf fungsi asal berkenaan dengan paksi OY.

Contoh untuk fungsi y \u003d - x² transformasi ini tidak ketara, kerana fungsi ini genap dan graf tidak berubah selepas transformasi. Penjelmaan ini boleh dilihat apabila fungsi itu ganjil dan apabila bukan genap atau ganjil.

7. Fungsi y = |f(x)|.

Dalam formula baharu, nilai fungsi (koordinat titik graf) berada di bawah tanda modul. Ini membawa kepada kehilangan bahagian graf fungsi asal dengan ordinat negatif (iaitu, yang terletak di separuh satah bawah berbanding paksi Lembu) dan paparan simetri bahagian ini berbanding paksi Lembu.

8. Fungsi y= f (|x|).

Dalam formula baharu, nilai hujah (abscissas titik graf) berada di bawah tanda modul. Ini membawa kepada kehilangan bahagian graf fungsi asal dengan absis negatif (iaitu, bahagian yang terletak di separuh satah kiri berbanding paksi OY) dan penggantiannya dengan bahagian graf asal yang simetri tentang OY paksi.

Bahagian praktikal

Pertimbangkan beberapa contoh aplikasi teori di atas.

CONTOH 1.

Keputusan. Jom tukar formula ini:

1) Mari bina graf fungsi

CONTOH 2.

Plotkan fungsi yang diberikan oleh formula

Keputusan. Marilah kita mengubah formula ini dengan menyerlahkan dalam ini trinomial segi empat sama segi empat sama binomial:

1) Mari bina graf fungsi

2) Lakukan pemindahan selari graf yang dibina kepada vektor

CONTOH 3.

TUGAS DARI PENGGUNAAN Memplot fungsi sekeping

Graf fungsi Graf fungsi y=|2(x-3)2-2|; satu

Pemindahan selari.

PINDAH SEPANJANG Y-AXIS

f(x) => f(x) - b
Biarkan ia diperlukan untuk memplot fungsi y \u003d f (x) - b. Adalah mudah untuk melihat bahawa ordinat graf ini untuk semua nilai x pada |b| unit kurang daripada koordinat sepadan graf fungsi y = f(x) untuk b>0 dan |b| lebih unit - pada b 0 atau ke atas pada b Untuk memplot fungsi y + b = f(x), plotkan fungsi y = f(x) dan gerakkan paksi-x ke |b| unit untuk b>0 atau oleh |b| unit turun pada b

TRANSFER SEPANJANG X-AXIS

f(x) => f(x + a)
Biarkan ia diperlukan untuk memplot fungsi y = f(x + a). Pertimbangkan fungsi y = f(x), yang pada satu titik x = x1 mengambil nilai y1 = f(x1). Jelas sekali, fungsi y = f(x + a) akan mengambil nilai yang sama pada titik x2, koordinatnya ditentukan daripada kesamaan x2 + a = x1, i.e. x2 = x1 - a, dan kesamaan yang sedang dipertimbangkan adalah sah untuk keseluruhan semua nilai dari domain fungsi. Oleh itu, graf fungsi y = f(x + a) boleh diperolehi dengan sesaran selari graf fungsi y = f(x) di sepanjang paksi-x ke kiri oleh |a| satu untuk > 0 atau ke kanan oleh |a| unit untuk a Untuk memplot fungsi y = f(x + a), plot fungsi y = f(x) dan gerakkan paksi-y ke |a| unit di sebelah kanan untuk a>0 atau |a| unit ke kiri untuk a

Contoh:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Refleksi.

PENGGRAFAN FUNGSI PANDANGAN Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Jelas sekali, fungsi y = f(-x) dan y = f(x) mengambil nilai yang sama pada titik yang absisnya sama dalam nilai mutlak, tetapi bertentangan dalam tanda. Dalam erti kata lain, ordinat graf fungsi y = f(-x) dalam kawasan nilai positif (negatif) x akan sama dengan ordinat graf fungsi y = f(x) dengan nilai x negatif (positif) sepadan dengan nilai mutlak. Oleh itu, kita mendapat peraturan berikut.
Untuk memplot fungsi y = f(-x), anda hendaklah memplot fungsi y = f(x) dan memantulkannya di sepanjang paksi-y. Graf yang terhasil ialah graf bagi fungsi y = f(-x)

GRAFIS FUNGSI PANDANGAN Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ordinasi graf fungsi y = - f(x) untuk semua nilai argumen adalah sama dalam nilai mutlak, tetapi bertentangan dalam tanda dengan ordinat graf fungsi y = f(x) untuk nilai hujah yang sama. Oleh itu, kita mendapat peraturan berikut.
Untuk memplot fungsi y = - f(x), anda hendaklah memplot fungsi y = f(x) dan mencerminkannya tentang paksi-x.

Contoh:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Ubah bentuk.

DEFORMASI GRAF SEPANJANG PASIK Y

f(x) => kf(x)
Pertimbangkan fungsi bentuk y = k f(x), dengan k > 0. Mudah untuk melihatnya untuk nilai yang sama daripada hujah, ordinat graf fungsi ini akan menjadi k kali lebih besar daripada ordinat graf fungsi y \u003d f (x) untuk k > 1 atau 1/k kali kurang daripada ordinat graf bagi fungsi y = f (x) untuk k Untuk memplot graf bagi fungsi y = k f (x) anda hendaklah memplot fungsi y = f(x) dan menambah ordinatnya sebanyak k kali untuk k > 1 (regangkan graf sepanjang paksi ordinat) atau kurangkan ordinatnya sebanyak 1/k kali untuk k
k > 1- regangan dari paksi Lembu
0 - mampatan ke paksi OX

DEFORMASI GRAF SEPANJANG PAKSI X

f(x) => f(kx)
Biarkan ia diperlukan untuk memplot fungsi y = f(kx), dengan k>0. Pertimbangkan fungsi y = f(x), yang dalam titik sewenang-wenangnya x = x1 mengambil nilai y1 = f(x1). Adalah jelas bahawa fungsi y = f(kx) mengambil nilai yang sama pada titik x = x2, koordinatnya ditentukan oleh kesamaan x1 = kx2, dan kesamaan ini sah untuk keseluruhan semua nilai x daripada domain fungsi. Akibatnya, graf fungsi y = f(kx) dimampatkan (untuk k 1) di sepanjang paksi absis berbanding dengan graf fungsi y = f(x). Oleh itu, kita mendapat peraturan.
Untuk memplot fungsi y = f(kx), plotkan fungsi y = f(x) dan mengurangkan absisnya sebanyak k kali untuk k>1 (mampatkan graf sepanjang paksi absis) atau meningkatkan absisnya sebanyak 1/k kali untuk k
k > 1- mampatan ke paksi Oy
0 - regangan dari paksi OY

Kerja itu dijalankan oleh Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov di bawah pengawasan Tkach T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
©2014

Fungsi asas asas dalam bentuk tulennya tanpa transformasi jarang berlaku, jadi selalunya anda perlu bekerja dengan fungsi asas yang diperoleh daripada fungsi asas dengan menambah pemalar dan pekali. Graf sedemikian dibina menggunakan transformasi geometri bagi fungsi asas yang diberikan.

Mari kita lihat satu contoh fungsi kuadratik daripada bentuk y \u003d - 1 3 x + 2 3 2 + 2, grafnya ialah parabola y \u003d x 2, yang dimampatkan tiga kali berkenaan dengan O y dan simetri berkenaan dengan O x, lebih-lebih lagi, dianjak oleh 2 3 oleh O x ke kanan, sebanyak 2 unit oleh O di atas. Pada garis koordinat, ia kelihatan seperti ini:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Transformasi geometri bagi graf fungsi

Menggunakan penjelmaan geometri graf yang diberikan, kita memperoleh bahawa graf diwakili oleh fungsi bentuk ± k 1 f (± k 2 (x + a)) + b apabila k 1 > 0 , k 2 > 0 ialah mampatan nisbah pada 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1 , k 2 > 1 sepanjang O y dan O x. Tanda di hadapan pekali k 1 dan k 2 menunjukkan paparan simetri graf berbanding paksi, a dan b menganjaknya di sepanjang O x dan O y.

Definisi 1

Terdapat 3 jenis grafik transformasi geometri:

Penskalaan sepanjang O x dan O y. Ini dipengaruhi oleh pekali k 1 dan k 2, dengan syarat 1 tidak sama, apabila 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1, k 2 > 1, maka graf diregangkan di sepanjang O y dan dimampatkan di sepanjang O x.
Paparan simetri tentang paksi koordinat. Jika terdapat tanda “-” di hadapan k 1, simetri berjalan berkenaan dengan O x, sebelum k 2 ia pergi berkenaan dengan O y. Jika "-" tiada, maka titik keputusan dilangkau;
Terjemahan selari (anjakan) sepanjang O x dan O y. Penjelmaan dilakukan apabila pekali a dan b tidak sama dengan 0 . Jika nilai a adalah positif, maka graf dialihkan ke kiri oleh | a | unit, jika negatif a , kemudian ke kanan dengan jarak yang sama. Nilai b menentukan pergerakan sepanjang paksi O y, yang bermaksud bahawa jika b positif, fungsi bergerak ke atas, dan jika b negatif, ia bergerak ke bawah.

Pertimbangkan penyelesaian menggunakan contoh, bermula dengan fungsi kuasa.

Contoh 1

Ubah y = x 2 3 dan plotkan fungsi y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 .

Keputusan

Mari kita wakili fungsi seperti ini:

y = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3

Di mana k 1 \u003d 2, anda harus memberi perhatian kepada kehadiran "-", a \u003d - 1 2, b \u003d 3. Dari sini kita dapati bahawa transformasi geometri dibuat daripada regangan sepanjang O y dua kali, dipaparkan secara simetri berkenaan dengan O x, dianjak ke kanan sebanyak 1 2 dan ke atas sebanyak 3 unit.

Jika kita mewakili fungsi kuasa asal, kita mendapatnya

apabila diregangkan dua kali sepanjang O y, kita mempunyai itu

Simetri pemetaan berkenaan dengan O x mempunyai bentuk

dan bergerak ke kanan sebanyak 1 2

bergerak 3 unit ke atas mempunyai bentuk

Kami akan mempertimbangkan transformasi fungsi eksponen menggunakan contoh.

Contoh 2

Graf fungsi eksponen y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 .

Keputusan.

Kami mengubah fungsi berdasarkan sifat fungsi kuasa. Kemudian kita mendapat itu

y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

Ini menunjukkan bahawa kita mendapat rantaian penjelmaan y = 1 2 x:

y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

Kami mendapat yang asal fungsi eksponen mempunyai bentuk

Memerah dua kali sepanjang O y memberi

Regangan sepanjang O x

Pemetaan simetri berkenaan dengan O x

Pemetaan adalah simetri berkenaan dengan O y

Naik 8 unit

Pertimbangkan penyelesaian dengan contoh fungsi logaritma y = log(x) .

Contoh 3

Bina fungsi y = ln e 2 · - 1 2 x 3 menggunakan penjelmaan y = ln (x) .

Keputusan

Untuk menyelesaikannya, anda perlu menggunakan sifat-sifat logaritma, maka kita dapat:

y = ln e 2 - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2

Penjelmaan fungsi logaritma kelihatan seperti ini:

y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2

Lukiskan graf bagi fungsi logaritma asal

Kami memampatkan sistem mengikut O y

Kami meregangkan sepanjang O x

Kami membuat pemetaan berkenaan dengan O y

Kami membuat anjakan naik sebanyak 2 unit, kami dapat

Untuk mengubah graf fungsi trigonometri, adalah perlu untuk menyesuaikan penyelesaian bentuk ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b kepada skema. Adalah perlu bahawa k 2 sama dengan T k 2 . Oleh itu kita mendapat 0 itu< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

Pertimbangkan contoh penyelesaian tugasan dengan penjelmaan y = sin x .

Contoh 4

Plot y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 menggunakan penjelmaan fungsi y=sinx.

Keputusan

Ia adalah perlu untuk membawa fungsi kepada bentuk ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Untuk ini:

y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

Dapat dilihat bahawa k 1 \u003d 3, k 2 \u003d 1 2, a \u003d - 3, b \u003d - 2. Oleh kerana terdapat "-" sebelum k 1, tetapi tidak sebelum k 2, maka kita mendapat rantaian transformasi bentuk:

y = sin (x) → y = 3 sin (x) → y = 3 sin 1 2 x → y = - 3 sin 1 2 x → → y = - 3 sin 1 2 x - 3 → y = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

Penukaran gelombang sinus terperinci. Apabila merancang sinusoid asal y \u003d sin (x), kami mendapati bahawa T \u003d 2 π dianggap sebagai tempoh positif terkecil. Mencari maksimum pada titik π 2 + 2 π · k ; 1 , dan minimum - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z .

Regangan sepanjang O y dilakukan sebanyak tiga kali, yang bermaksud bahawa peningkatan amplitud ayunan akan meningkat sebanyak 3 kali. T = 2 π ialah terkecil tempoh positif. Maksimum pergi ke π 2 + 2 π · k ; 3 , k ∈ Z , minima - - π 2 + 2 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

Apabila meregangkan sepanjang O x dua kali, kami memperoleh bahawa tempoh positif terkecil meningkat sebanyak 2 kali dan sama dengan T \u003d 2 π k 2 \u003d 4 π. Maksimum pergi ke π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , minima - dalam - π + 4 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

Imej dihasilkan secara simetri berkenaan dengan O x. Tempoh positif terkecil dalam kes ini tidak berubah dan sama dengan T = 2 π k 2 = 4 π . Peralihan maksimum kelihatan seperti - π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , dan minimum ialah π + 4 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

Graf dianjak ke bawah sebanyak 2 unit. Tiada perubahan dalam tempoh biasa terkecil. Mencari maksima dengan peralihan kepada titik - π + 3 + 4 π · k ; 1 , k ∈ Z , minima - π + 3 + 4 π · k ; - 5 , k ∈ Z .

hidup peringkat ini graf bagi fungsi trigonometri dianggap berubah.

Pertimbangkan penukaran terperinci fungsi y = cos x .

Contoh 5

Plotkan fungsi y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 menggunakan penjelmaan fungsi dalam bentuk y = cos x .

Keputusan

Mengikut algoritma, fungsi yang diberikan kurangkan kepada bentuk ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Kemudian kita mendapat itu

y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) + 1

Ia boleh dilihat dari keadaan bahawa k 1 \u003d 3 2, k 2 \u003d 2, a \u003d - 1, b \u003d 1, di mana k 2 mempunyai "-", dan ia tidak hadir sebelum k 1.

Dari sini kita mendapat bahawa kita mendapat graf fungsi trigonometri dalam bentuk:

y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1) )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1

Langkah demi langkah transformasi kosinus dengan ilustrasi grafik.

Pada jadual yang diberikan y = cos (x) boleh dilihat bahawa tempoh sepunya terkecil adalah sama dengan T = 2 π . Mencari maksima dalam 2 π · k ; 1 , k ∈ Z , dan minima π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z .

Apabila diregangkan sepanjang O y dengan faktor 32, amplitud ayunan bertambah dengan faktor 32. T = 2 π ialah tempoh positif terkecil. Mencari maksima dalam 2 π · k ; 3 2 , k ∈ Z , minima dalam π + 2 π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Apabila dimampatkan sepanjang O x dua kali, kita memperoleh bahawa tempoh positif terkecil ialah nombor T = 2 π k 2 = π . Maksima dipindahkan ke π · k ; 3 2 , k ∈ Z , minima - π 2 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Pemetaan simetri berkenaan dengan O y. Oleh kerana graf adalah ganjil, ia tidak akan berubah.

Apabila mengalihkan graf sebanyak 1 . Tiada perubahan dalam tempoh positif terkecil T = π . Mencari maksima dalam π · k + 1 ; 3 2 , k ∈ Z , minima - π 2 + 1 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Apabila dianjak sebanyak 1, tempoh positif terkecil ialah T = π dan tidak diubah. Mencari maksima dalam π · k + 1 ; 5 2 , k ∈ Z , minima dalam π 2 + 1 + π · k ; - 1 2 , k ∈ Z .

Penjelmaan fungsi kosinus selesai.

Pertimbangkan penjelmaan menggunakan contoh y = t g x .

Contoh 6

Plotkan fungsi y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 menggunakan penjelmaan fungsi y = t g (x) .

Keputusan

Sebagai permulaan, adalah perlu untuk membawa fungsi yang diberikan kepada bentuk ± k 1 f ± k 2 x + a + b, selepas itu kita memperolehnya

y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

Jelas dilihat bahawa k 1 \u003d 1 2, k 2 \u003d 2 3, a \u003d - π 2, b \u003d π 3, dan sebelum pekali k 1 dan k 2 terdapat "-". Jadi, selepas mengubah tangentoid, kita dapat

y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

Transformasi langkah demi langkah bagi tangentoid dengan imej grafik.

Kami mempunyai bahawa graf asal ialah y = t g (x) . Perubahan tempoh positif ialah T = π . Domain takrifan ialah - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Kami memerah 2 kali sepanjang O y. T \u003d π dianggap sebagai tempoh positif terkecil, di mana domain definisi ialah - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Regangkan sepanjang O x 3 2 kali. Mari kita hitung tempoh positif terkecil, dan bersamaan dengan T = π k 2 = 3 2 π . Dan domain fungsi dengan koordinat - 3 π 4 + 3 2 π · k ; 3 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z , hanya domain definisi berubah.

Simetri berada pada sisi O x. Tempoh tidak akan berubah pada ketika ini.

Ia adalah perlu untuk memaparkan paksi koordinat secara simetri. Domain definisi dalam kes ini tidak berubah. Carta adalah sama seperti sebelum ini. Ini menunjukkan bahawa fungsi tangen adalah ganjil. Jika hendak fungsi ganjil tetapkan pemetaan simetri O x dan O y, maka kita akan bertukar kepada fungsi asal.