Ukuran darjah sudut. Ukuran radian bagi suatu sudut

Ukuran darjah sudut. Ukuran radian bagi suatu sudut. Menukar darjah kepada radian dan sebaliknya.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Dalam pelajaran yang lepas, kita telah menguasai pengiraan sudut pada bulatan trigonometri. Mempelajari cara mengira sudut positif dan negatif. Menyedari cara melukis sudut lebih besar daripada 360 darjah. Sudah tiba masanya untuk berurusan dengan ukuran sudut. Terutama dengan nombor "Pi", yang berusaha untuk mengelirukan kita dalam tugas yang rumit, ya ...

Tugas standard dalam trigonometri dengan nombor "Pi" diselesaikan dengan baik. Memori visual membantu. Tetapi apa-apa penyelewengan dari templat - mengetuk di tempat kejadian! Agar tidak jatuh - faham perlu. Apa yang kita akan berjaya lakukan sekarang. Dari satu segi - kami memahami segala-galanya!

Jadi, apa adakah sudut dikira? AT kursus sekolah trigonometri menggunakan dua ukuran: ukuran darjah sesuatu sudut dan ukuran radian suatu sudut. Mari kita lihat langkah-langkah ini. Tanpa ini, dalam trigonometri - tiada tempat.

Ukuran darjah sudut.

Kami entah bagaimana sudah biasa dengan darjah. Geometri, sekurang-kurangnya, melalui ... Ya, dan dalam kehidupan kita sering bertemu dengan frasa "berpusing 180 darjah", sebagai contoh. Ijazah, ringkasnya, perkara yang mudah ...

ya? Jawab saya kemudian apa itu ijazah? Apa yang tidak berkesan? Sesuatu...

Darjah dicipta di Babylon purba. Ia sudah lama dahulu ... 40 abad yang lalu ... Dan mereka baru sahaja menciptanya. Mereka mengambil dan memecahkan bulatan itu kepada 360 bahagian yang sama. 1 darjah ialah 1/360 bulatan. Dan itu sahaja. Boleh dipecahkan kepada 100 keping. Atau dengan 1000. Tetapi mereka memecahkannya kepada 360. By the way, kenapa betul-betul dengan 360? Mengapa 360 lebih baik daripada 100? 100 nampaknya lebih genap... Cuba jawab soalan ini. Atau lemah terhadap Babylon Purba?

Di suatu tempat pada masa yang sama Mesir Purba terseksa dengan isu lain. Berapa kali lebih besar lilitan bulatan daripada panjang diameternya? Jadi mereka mengukur, dan dengan cara itu ... Semuanya ternyata lebih sedikit daripada tiga. Tetapi entah bagaimana ia ternyata berbulu, tidak rata ... Tetapi mereka, orang Mesir, tidak boleh dipersalahkan. Selepas mereka, mereka menderita selama 35 abad lagi. Sehingga mereka akhirnya membuktikan bahawa tidak kira betapa halusnya memotong bulatan menjadi kepingan yang sama, dari kepingan itu untuk dibuat licin panjang diameter adalah mustahil ... Pada dasarnya, ia adalah mustahil. Sudah tentu, berapa kali lilitan lebih besar daripada diameter. Tentang. 3.1415926... kali.

Ini ialah nombor "Pi". Itu shaggy, sangat shaggy. Selepas titik perpuluhan - bilangan digit yang tidak terhingga tanpa sebarang susunan ... Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional. Ini, dengan cara ini, bermakna bahawa dari kepingan bulatan yang sama, diameternya licin jangan lipat. tidak pernah.

Untuk permohonan praktikal Ia adalah kebiasaan untuk menghafal hanya dua digit selepas titik perpuluhan. Ingat:

Memandangkan kita telah memahami bahawa lilitan bulatan adalah lebih besar daripada diameter dengan kali "Pi", masuk akal untuk mengingati formula untuk lilitan bulatan:

di mana L ialah lilitan, dan d ialah diameternya.

Berguna dalam geometri.

Untuk pendidikan umum Saya akan menambah bahawa nombor "Pi" bukan sahaja terletak dalam geometri ... Dalam bahagian matematik yang paling pelbagai, dan terutamanya dalam teori kebarangkalian, nombor ini muncul secara berterusan! Dengan sendirinya. Di luar keinginan kita. Macam ni.

Tetapi kembali kepada darjah. Pernahkah anda mengetahui mengapa di Babylon purba bulatan dibahagikan kepada 360 bahagian yang sama? Tetapi bukan 100, sebagai contoh? bukan? OKEY. Saya akan memberi anda versi. Anda tidak boleh bertanya kepada orang Babylon kuno... Untuk pembinaan, atau, katakan, astronomi, adalah mudah untuk membahagikan bulatan kepada bahagian yang sama. Sekarang tentukan nombor yang boleh dibahagi dengan sepenuhnya 100, dan yang mana - 360? Dan dalam versi apa pembahagi ini sepenuhnya- lagi? Bahagian ini sangat mudah untuk orang ramai. Tetapi...

Ternyata lebih lewat daripada Babylon Purba, tidak semua orang menyukai ijazah. Matematik yang lebih tinggi tidak menyukainya... matematik yang lebih tinggi- wanita itu serius, diatur mengikut undang-undang alam. Dan wanita ini mengisytiharkan: "Hari ini anda memecahkan bulatan kepada 360 bahagian, esok anda akan memecahkannya kepada 100 bahagian, lusa menjadi 245 ... Dan apa yang perlu saya lakukan? Tidak benar-benar ... "Saya terpaksa menurut. Anda tidak boleh menipu alam ...

Saya terpaksa memperkenalkan ukuran sudut yang tidak bergantung pada tanggapan manusia. Bertemu - radian!

Ukuran radian bagi suatu sudut.

Apakah radian? Takrifan radian adalah berdasarkan bulatan pula. Sudut 1 radian ialah sudut yang memotong lengkok daripada bulatan yang panjangnya ( L) adalah sama dengan panjang jejari ( R). Kita tengok gambar.

Sudut yang begitu kecil, hampir tiada satu pun ... Kami menggerakkan kursor ke atas gambar (atau menyentuh gambar pada tablet) dan kami melihat kira-kira satu radian. L=R

Rasai kelainannya?

Satu radian jauh lebih besar daripada satu darjah. berapa kali?

Jom tengok gambar seterusnya. Di mana saya melukis separuh bulatan. Sudut yang diperluas, sudah tentu, bersaiz 180 °.

Dan sekarang saya akan memotong separuh bulatan ini kepada radian! Kami melayang di atas gambar dan melihat bahawa 3 radian dengan ekor sesuai dengan 180 °.

Siapa boleh teka apa ekor kuda ini!?

Ya! Ekor ini ialah 0.1415926.... Hello Pi, kami masih belum melupakan anda!

Memang ada 3.1415926 ... radian dalam 180 darjah. Seperti yang anda boleh bayangkan, menulis 3.1415926 sepanjang masa... adalah menyusahkan. Oleh itu, bukannya nombor tak terhingga ini, mereka sentiasa menulis dengan ringkas:

Dan inilah nombor di Internet

ia menyusahkan untuk menulis ... Oleh itu, dalam teks saya menulisnya dengan nama - "Pi". Jangan keliru...

Sekarang, ia agak bermakna untuk menulis kesamaan anggaran:

Atau persamaan tepat:

Tentukan berapa darjah dalam satu radian. Bagaimana? Dengan mudah! Jika terdapat 180 darjah dalam 3.14 radian, maka 1 radian adalah 3.14 kali kurang! Iaitu, kita membahagikan persamaan pertama (rumusnya juga persamaan!) Dengan 3.14:

Nisbah ini berguna untuk diingati. Terdapat lebih kurang 60° dalam satu radian. Dalam trigonometri, anda sering perlu memikirkan, menilai keadaan. Di sinilah ilmu banyak membantu.

Tetapi kemahiran utama topik ini ialah menukar darjah kepada radian dan sebaliknya.

Jika sudut diberikan dalam radian dengan nombor "pi", semuanya sangat mudah. Kita tahu bahawa radian "pi" = 180°. Jadi kami menggantikan radian "Pi" - 180 °. Kami mendapat sudut dalam darjah. Kita kurangkan apa yang dikurangkan, dan jawapannya sudah sedia. Sebagai contoh, kita perlu mengetahui berapa banyak darjah di sudut "Pi"/2 radian? Di sini kami menulis:

Atau, ungkapan yang lebih eksotik:

Mudah, kan?

Terjemahan terbalik adalah sedikit lebih rumit. Tetapi tidak banyak. Jika sudut diberikan dalam darjah, kita mesti memikirkan apakah satu darjah dalam radian dan darabkan nombor itu dengan bilangan darjah. Apakah 1° dalam radian?

Kami melihat formula dan menyedari bahawa jika 180° = "Pi" radian, maka 1° adalah 180 kali lebih kecil. Atau, dengan kata lain, kita bahagikan persamaan (rumusnya juga persamaan!) Dengan 180. Tidak perlu mewakili "Pi" sebagai 3.14, ia sentiasa ditulis dengan huruf pula. Kami mendapat bahawa satu darjah adalah sama dengan:

Itu sahaja. Darabkan bilangan darjah dengan nilai ini untuk mendapatkan sudut dalam radian. Sebagai contoh:

Atau, serupa:

Seperti yang anda lihat, dalam perbualan santai dengan penyelewengan Ternyata radian adalah sangat mudah. Ya, dan terjemahannya tanpa masalah ... Dan "Pi" adalah perkara yang boleh diterima sepenuhnya ... Jadi dari mana kekeliruan itu !?

Saya akan dedahkan rahsianya. Hakikatnya ialah dalam fungsi trigonometri ikon darjah ditulis. Adakah sentiasa. Contohnya, sin35°. Ini sinus 35 darjah . Dan ikon radian ( gembira) tidak ditulis! Dia tersirat. Sama ada kemalasan ahli matematik dirampas, atau sesuatu yang lain ... Tetapi mereka memutuskan untuk tidak menulis. Jika tiada ikon di dalam sinus - kotangen, maka sudut - dalam radian ! Sebagai contoh, cos3 ialah kosinus bagi tiga radian .

Ini membawa kepada salah faham ... Seseorang melihat "Pi" dan percaya bahawa ia adalah 180 °. Bila-bila masa dan di mana sahaja. By the way, ini berfungsi. Buat masa ini, manakala contoh adalah standard. Tetapi Pi adalah nombor! Nombor 3.14 bukan darjah! Itu radian "Pi" = 180°!

Sekali lagi: "Pi" ialah nombor! 3.14. Tidak rasional, tetapi nombor. Sama seperti 5 atau 8. Anda boleh, sebagai contoh, mengambil kira-kira langkah "Pi". Tiga langkah dan sedikit lagi. Atau beli "Pi" kilogram gula-gula. Jika seorang jurujual yang berpendidikan ditangkap...

"Pi" ialah nombor! Apa, saya dapat awak dengan frasa ini? Adakah anda sudah memahami segala-galanya? OKEY. Jom semak. Bolehkah anda beritahu saya nombor mana yang lebih besar?

Atau apa yang kurang?

Ini adalah daripada satu siri soalan yang sedikit tidak standard yang boleh menyebabkan pengsan ...

Jika anda juga terpinga-pinga, ingat ejaan: "Pi" ialah nombor! 3.14. Dalam sinus pertama, jelas menunjukkan bahawa sudut - dalam darjah! Oleh itu, adalah mustahil untuk menggantikan "Pi" sebanyak 180 °! "Pi" darjah adalah kira-kira 3.14 darjah. Oleh itu, kita boleh menulis:

Tiada simbol dalam sinus kedua. Jadi di sana - radian! Di sini, menggantikan "Pi" dengan 180 ° akan berfungsi dengan baik. Menukar radian kepada darjah, seperti yang ditulis di atas, kita dapat:

Ia kekal untuk membandingkan kedua-dua sinus ini. Apa. terlupa bagaimana? Dengan bantuan bulatan trigonometri, sudah tentu! Kami melukis bulatan, melukis sudut anggaran 60° dan 1.05°. Kami melihat sinus sudut ini. Ringkasnya, segala-galanya, seperti pada akhir topik mengenai bulatan trigonometri, dicat. Pada bulatan (walaupun yang bengkok!) ia akan dilihat dengan jelas dosa60° lebih ketara daripada dosa1.05°.

Kami akan melakukan perkara yang sama dengan kosinus. Pada bulatan kita melukis sudut kira-kira 4 darjah dan 4 radian(ingat, berapakah lebih kurang 1 radian?). Bulatan akan mengatakan segala-galanya! Sudah tentu, cos4 adalah kurang daripada cos4°.

Mari kita berlatih mengendalikan ukuran sudut.

Tukarkan sudut ini daripada darjah kepada radian:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Anda sepatutnya mempunyai nilai ini dalam radian (dalam susunan yang berbeza!)

0

Ngomong-ngomong, saya telah menandakan jawapan secara khas dalam dua baris. Baiklah, mari kita fikirkan apakah sudut pada baris pertama? Sama ada dalam darjah atau radian?

Ya! Ini adalah paksi sistem koordinat! Jika anda melihat bulatan trigonometri, maka sisi bergerak sudut pada nilai ini muat tepat pada gandar. Nilai-nilai ini perlu diketahui secara ironi. Dan saya perhatikan sudut 0 darjah (0 radian) tidak sia-sia. Dan kemudian ada yang tidak dapat mencari sudut ini pada bulatan dalam apa jua cara ... Dan, dengan itu, mereka menjadi keliru dalam fungsi trigonometri sifar ... Satu lagi perkara ialah kedudukan sisi bergerak pada sifar darjah bertepatan dengan kedudukan di 360 °, jadi kebetulan pada bulatan sentiasa bersebelahan.

Dalam baris kedua terdapat juga sudut khas... Ini ialah 30°, 45° dan 60°. Dan apa yang istimewa tentang mereka? Tiada apa yang istimewa. Satu-satunya perbezaan antara sudut ini dan semua sudut lain ialah anda harus tahu tentang sudut ini. semua. Dan di manakah ia terletak, dan apakah fungsi trigonometri sudut ini. Katakan nilainya dosa100° anda tidak perlu tahu. TAPI dosa45°- tolong jadi baik! Ini adalah pengetahuan wajib, tanpanya tiada apa yang perlu dilakukan dalam trigonometri ... Tetapi lebih lanjut mengenai ini dalam pelajaran seterusnya.

Sehingga itu, mari terus berlatih. Tukarkan sudut ini daripada radian kepada darjah:

Anda sepatutnya mendapat hasil seperti ini (dalam keadaan huru-hara):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Terjadi? Kemudian kita boleh menganggap itu menukar darjah kepada radian dan sebaliknya- bukan masalah anda lagi.) Tetapi menterjemah sudut adalah langkah pertama untuk memahami trigonometri. Di tempat yang sama, anda masih perlu bekerja dengan sinus-kosinus. Ya, dan dengan tangen, kotangen juga ...

Langkah kedua yang berkuasa ialah keupayaan untuk menentukan kedudukan mana-mana sudut pada bulatan trigonometri. Baik dalam darjah dan radian. Mengenai kemahiran ini, saya akan memberi petunjuk kepada anda dalam semua trigonometri, ya ...) Jika anda tahu segala-galanya (atau fikir anda tahu segala-galanya) tentang bulatan trigonometri, dan pengiraan sudut pada bulatan trigonometri, anda boleh menyemaknya keluar. Selesaikan tugas mudah ini:

1. Suku berapakah sudut jatuh ke dalam:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Dengan mudah? Kami meneruskan:

2. Di suku manakah sudut jatuh:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Juga tiada masalah? Nah, lihat...)

3. Anda boleh meletakkan sudut dalam suku:

Adakah anda mampu? Nah, anda berikan ..)

4. Apakah paksi yang akan jatuh pada sudut:

dan sudut:

Adakah ia mudah juga? Hm...)

5. Sudut manakah jatuh ke dalam suku:

Dan ia berjaya!? Nah, saya benar-benar tidak tahu...)

6. Tentukan suku sudut mana yang jatuh ke dalam:

1, 2, 3 dan 20 radian.

Saya akan memberikan jawapan hanya kepada soalan terakhir (ia adalah sedikit rumit) tugas terakhir. Sudut 20 radian akan jatuh pada suku pertama.

Saya tidak akan memberikan jawapan yang lain kerana tamak.) Hanya jika anda tidak membuat keputusan sesuatu keraguan akibatnya, atau dibelanjakan untuk tugas No. 4 lebih daripada 10 saat anda kurang berorientasikan dalam bulatan. Ini akan menjadi masalah anda dalam semua trigonometri. Adalah lebih baik untuk menyingkirkannya (masalah, bukan trigonometri!) dengan segera. Ini boleh dilakukan dalam topik: Kerja amali dengan bulatan trigonometri di bahagian 555.

Ia memberitahu cara menyelesaikan tugasan sedemikian dengan mudah dan betul. Sudah tentu, tugas-tugas ini diselesaikan. Dan tugas keempat diselesaikan dalam masa 10 saat. Ya, jadi memutuskan bahawa sesiapa sahaja boleh!

Jika anda benar-benar pasti dengan jawapan anda dan anda tidak berminat dengan cara mudah dan bebas masalah untuk bekerja dengan radian, anda tidak boleh melawati 555. Saya tidak mendesak.)

pemahaman yang baik- cukup sebab yang baik untuk meneruskan!)

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Ahli matematik di seluruh dunia makan sekeping kek setiap tahun pada 14 Mac - lagipun, ini adalah hari Pi, nombor tidak rasional yang paling terkenal. Tarikh ini secara langsung berkaitan dengan nombor yang digit pertamanya ialah 3.14. Pi ialah nisbah lilitan bulatan kepada diameternya. Oleh kerana ia tidak rasional, adalah mustahil untuk menulisnya sebagai pecahan. Ini adalah nombor yang tidak terhingga panjangnya. Ia ditemui beribu-ribu tahun yang lalu dan sentiasa dikaji sejak itu, tetapi adakah Pi masih mempunyai rahsia? daripada asal kuno sehingga masa depan yang tidak pasti, berikut adalah beberapa fakta paling menarik tentang pi.

Menghafal Pi

Rekod untuk mengingat nombor selepas titik perpuluhan adalah milik Rajveer Meena dari India, yang berjaya mengingati 70,000 digit - dia mencipta rekod pada 21 Mac 2015. Sebelum itu, pemegang rekod ialah Chao Lu dari China, yang berjaya menghafal 67,890 digit - rekod ini dibuat pada tahun 2005. Pemegang rekod tidak rasmi ialah Akira Haraguchi, yang merakam video ulangannya sebanyak 100,000 digit pada tahun 2005 dan baru-baru ini menyiarkan video di mana dia berjaya mengingati 117,000 digit. Rekod rasmi hanya akan menjadi jika video ini dirakam dengan kehadiran wakil Guinness Book of Records, dan tanpa pengesahan ia kekal hanya fakta yang mengagumkan, tetapi tidak dianggap sebagai pencapaian. Peminat matematik suka menghafal nombor Pi. Ramai orang menggunakan pelbagai teknik mnemonik, seperti puisi, di mana bilangan huruf dalam setiap perkataan adalah sama dengan pi. Setiap bahasa mempunyai variasi frasa sedemikian sendiri, yang membantu untuk mengingati kedua-dua beberapa digit pertama dan seratus keseluruhan.

Terdapat bahasa Pi

Terpesona dengan kesusasteraan, ahli matematik mencipta dialek di mana bilangan huruf dalam semua perkataan sepadan dengan digit Pi dalam susunan yang tepat. Penulis Mike Keith juga menulis sebuah buku, Not a Wake, yang ditulis sepenuhnya dalam bahasa Pi. Peminat kreativiti sedemikian menulis karya mereka dengan penuh mengikut bilangan huruf dan makna nombor. Ini tidak mempunyai aplikasi praktikal, tetapi merupakan fenomena yang agak biasa dan terkenal dalam kalangan saintis yang bersemangat.

Pertumbuhan eksponen

Pi ialah nombor tak terhingga, jadi orang, mengikut definisi, tidak akan dapat mengetahui nombor tepat nombor ini. Walau bagaimanapun, bilangan digit selepas titik perpuluhan telah meningkat dengan banyak sejak penggunaan pertama Pi. Malah orang Babylon menggunakannya, tetapi pecahan tiga dan satu perlapan sudah cukup untuk mereka. Cina dan pencipta Perjanjian Lama dan terhad sepenuhnya kepada tiga orang. Menjelang 1665, Sir Isaac Newton telah mengira 16 digit pi. Menjelang 1719 ahli matematik Perancis Tom Fante de Lagny mengira 127 digit. Kemunculan komputer telah meningkatkan pengetahuan manusia secara radikal tentang Pi. Dari 1949 hingga 1967 nombor diketahui manusia nombor melonjak dari 2037 kepada 500,000. Tidak lama dahulu, Peter Trueb, seorang saintis dari Switzerland, dapat mengira 2.24 trilion digit Pi! Ini mengambil masa 105 hari. Sudah tentu, ini bukan hadnya. Berkemungkinan dengan perkembangan teknologi ia akan dapat memasang lebih banyak lagi angka tepat- memandangkan Pi adalah tidak terhingga, hanya tiada had untuk ketepatan, dan hanya ciri teknikal teknologi komputer boleh mengehadkannya.

Mengira Pi dengan tangan

Jika anda ingin mencari nombor itu sendiri, anda boleh menggunakan teknik lama - anda memerlukan pembaris, balang dan tali, anda juga boleh menggunakan protraktor dan pensel. Kelemahan menggunakan balang ialah ia mesti bulat, dan ketepatan akan ditentukan oleh seberapa baik orang itu boleh membungkus tali di sekelilingnya. Anda boleh melukis bulatan dengan protraktor, tetapi ini juga memerlukan kemahiran dan ketepatan, kerana bulatan yang tidak rata boleh memesongkan ukuran anda dengan serius. Lagi kaedah yang tepat melibatkan penggunaan geometri. Bahagikan bulatan kepada banyak bahagian, seperti kepingan piza, dan kemudian hitung panjang garis lurus yang akan menjadikan setiap segmen menjadi segi tiga sama kaki. Jumlah sisi akan memberikan anggaran bilangan pi. Lebih banyak segmen yang anda gunakan, lebih tepat nombornya. Sudah tentu, dalam pengiraan anda, anda tidak akan dapat mendekati keputusan komputer, namun ini eksperimen mudah membolehkan anda memahami dengan lebih terperinci apakah nombor pi secara umum dan bagaimana ia digunakan dalam matematik.

Penemuan Pi

Orang Babylon purba tahu tentang kewujudan nombor Pi sudah empat ribu tahun dahulu. Tablet Babylon mengira Pi sebagai 3.125, dan papirus matematik Mesir mengandungi nombor 3.1605. Dalam Alkitab, nombor Pi diberikan dalam panjang usang - dalam hasta, dan ahli matematik Yunani Archimedes menggunakan teorem Pythagoras untuk menerangkan Pi, nisbah geometri panjang sisi segitiga dan luas \u200b \u200btokoh di dalam dan di luar bulatan. Oleh itu, adalah selamat untuk mengatakan bahawa Pi adalah salah satu yang paling kuno konsep matematik, walaupun nama yang tepat nombor yang diberi dan muncul agak baru-baru ini.

Pandangan baharu tentang Pi

Malah sebelum pi dikaitkan dengan kalangan, ahli matematik sudah mempunyai banyak cara untuk menamakan nombor ini. Sebagai contoh, dalam buku teks matematik lama seseorang boleh menemui frasa dalam bahasa Latin, yang boleh diterjemahkan secara kasar sebagai "kuantiti yang menunjukkan panjang apabila diameter didarab dengannya." Nombor tidak rasional menjadi terkenal apabila saintis Switzerland Leonhard Euler menggunakannya dalam karyanya mengenai trigonometri pada tahun 1737. Walau bagaimanapun, simbol Yunani untuk pi masih tidak digunakan - ia hanya berlaku dalam buku oleh ahli matematik yang kurang dikenali William Jones. Dia menggunakannya seawal 1706, tetapi ia telah lama diabaikan. Dari masa ke masa, saintis menggunakan nama ini, dan kini ini adalah versi nama yang paling terkenal, walaupun sebelum ini juga dipanggil nombor Ludolf.

Adakah pi normal?

Nombor pi memang pelik, tetapi bagaimanakah ia mematuhi undang-undang matematik biasa? Para saintis telah menyelesaikan banyak persoalan yang berkaitan dengan ini nombor tak rasional tetapi beberapa misteri kekal. Sebagai contoh, tidak diketahui berapa kerap semua digit digunakan - nombor dari 0 hingga 9 harus digunakan dalam perkadaran yang sama. Walau bagaimanapun, statistik boleh dikesan untuk trilion digit pertama, tetapi disebabkan fakta bahawa nombor itu tidak terhingga, adalah mustahil untuk membuktikan apa-apa dengan pasti. Terdapat masalah lain yang masih dielakkan oleh saintis. Ia agak mustahil perkembangan selanjutnya sains akan membantu memberi penerangan kepada mereka, tetapi seterusnya masa ini ia tetap di luar akal manusia.

Pi berbunyi ilahi

Para saintis tidak dapat menjawab beberapa soalan mengenai nombor Pi, namun, setiap tahun mereka memahami intipatinya dengan lebih baik. Sudah pada abad kelapan belas, ketidakrasionalan nombor ini telah terbukti. Di samping itu, telah dibuktikan bahawa bilangan itu adalah transendental. Ini bermakna tidak formula tertentu, yang membolehkan pi dikira menggunakan nombor rasional.

Tidak berpuas hati dengan Pi

Ramai ahli matematik hanya jatuh cinta dengan Pi, tetapi ada yang percaya bahawa nombor ini tidak mempunyai kepentingan yang istimewa. Di samping itu, mereka mendakwa bahawa nombor Tau, yang dua kali ganda saiz Pi, lebih mudah digunakan sebagai nombor yang tidak rasional. Tau menunjukkan hubungan antara lilitan dan jejari, yang, menurut sesetengah orang, mewakili kaedah pengiraan yang lebih logik. Walau bagaimanapun, untuk mentakrifkan sesuatu dengan jelas tisu ini mustahil, dan satu dan satu lagi nombor akan sentiasa mempunyai penyokong, kedua-dua kaedah mempunyai hak untuk hidup, jadi ia hanya fakta menarik, dan bukan sebab untuk berfikir bahawa anda tidak sepatutnya menggunakan nombor Pi.

Jadual nilai fungsi trigonometri disusun untuk sudut 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 dan 360 darjah dan sudut sepadannya dalam radian. daripada fungsi trigonometri jadual menunjukkan sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan dan kosekan. Untuk kemudahan penyelesaian contoh sekolah nilai fungsi trigonometri dalam jadual ditulis sebagai pecahan dengan pemeliharaan tanda-tanda mengekstrak punca kuasa dua nombor, yang sangat kerap membantu mengurangkan ungkapan matematik yang kompleks. Untuk tangen dan kotangen beberapa sudut tidak dapat ditentukan. Untuk nilai tangen dan kotangen sudut sedemikian dalam jadual nilai fungsi trigonometri ialah sempang. Ia diterima umum bahawa tangen dan kotangen sudut tersebut sama dengan infiniti. Pada halaman yang berasingan adalah formula untuk mengurangkan fungsi trigonometri.

Jadual nilai untuk sinus fungsi trigonometri menunjukkan nilai untuk sudut berikut: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in ukuran darjah, yang sepadan dengan sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi dalam ukuran radian sudut. meja sekolah resdung.

Untuk fungsi kosinus trigonometri, jadual menunjukkan nilai untuk sudut berikut: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 dalam ukuran darjah, yang sepadan dengan cos 0 pi, cos pi to 6, cos pi by 4, cos pi by 3, cos pi by 2, cos pi, cos 3 pi by 2, cos 2 pi dalam ukuran radian sudut. Jadual sekolah kosinus.

Jadual trigonometri untuk tangen fungsi trigonometri memberikan nilai untuk sudut berikut: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 dalam ukuran darjah, yang sepadan dengan tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi dalam ukuran radian sudut. Mengikut nilai fungsi trigonometri tangen tidak ditakrifkan tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 dan dianggap sama dengan infiniti.

Untuk kotangen fungsi trigonometri dalam jadual trigonometri, nilai sudut berikut diberikan: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 dalam ukuran darjah, yang sepadan dengan ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 dalam ukuran radian sudut. Nilai fungsi kotangen trigonometri berikut tidak ditakrifkan ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi dan dianggap sama dengan infiniti.

Nilai bagi fungsi trigonometri sekan dan kosekan diberikan untuk sudut yang sama dalam darjah dan radian seperti sinus, kosinus, tangen, kotangen.

Jadual nilai fungsi trigonometri bagi sudut bukan piawai menunjukkan nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen untuk sudut dalam darjah 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 darjah dan dalam radian pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radian. Nilai fungsi trigonometri dinyatakan dalam sebutan pecahan dan punca kuasa dua untuk memudahkan pengurangan pecahan dalam contoh sekolah.

Tiga lagi raksasa trigonometri. Yang pertama ialah tangen 1.5 darjah setengah, atau pi dibahagikan dengan 120. Yang kedua ialah kosinus pi dibahagikan dengan 240, pi/240. Yang terpanjang ialah kosinus pi dibahagikan dengan 17, pi/17.

Bulatan trigonometri nilai-nilai fungsi sinus dan kosinus secara visual mewakili tanda-tanda sinus dan kosinus bergantung pada magnitud sudut. Khusus untuk berambut perang, nilai kosinus digariskan dengan sempang hijau agar kurang keliru. Penukaran darjah kepada radian juga ditunjukkan dengan sangat jelas, apabila radian dinyatakan melalui pi.

Jadual trigonometri ini membentangkan nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen untuk sudut dari 0 sifar hingga 90 sembilan puluh darjah dalam selang satu darjah. Untuk empat puluh lima darjah pertama, nama fungsi trigonometri mesti dilihat di bahagian atas jadual. Lajur pertama mengandungi darjah, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditulis dalam empat lajur seterusnya.

Untuk sudut dari empat puluh lima darjah hingga sembilan puluh darjah, nama-nama fungsi trigonometri ditulis di bahagian bawah jadual. Lajur terakhir mengandungi darjah, nilai kosinus, sinus, kotangen dan tangen ditulis dalam empat lajur sebelumnya. Anda harus berhati-hati, kerana di bahagian bawah jadual trigonometri nama fungsi trigonometri adalah berbeza daripada nama di bahagian atas jadual. Sinus dan kosinus saling bertukar, sama seperti tangen dan kotangen. Ini disebabkan oleh simetri nilai fungsi trigonometri.

Tanda-tanda fungsi trigonometri ditunjukkan dalam rajah di atas. resdung mempunyai nilai positif 0 hingga 180 darjah atau 0 hingga pi. Nilai negatif sinus mempunyai 180 hingga 360 darjah, atau pi hingga 2 pi. Nilai kosinus adalah positif dari 0 hingga 90 dan 270 hingga 360 darjah, atau 0 hingga 1/2 pi dan 3/2 hingga 2 pi. Tangen dan kotangen mempunyai nilai positif dari 0 hingga 90 darjah dan dari 180 hingga 270 darjah, sepadan dengan nilai dari 0 hingga 1/2 pi dan dari pi hingga 3/2 pi. Tangen negatif dan kotangen ialah 90 hingga 180 darjah dan 270 hingga 360 darjah, atau 1/2 pi kepada pi dan 3/2 pi kepada 2 pi. Apabila menentukan tanda-tanda fungsi trigonometri untuk sudut lebih besar daripada 360 darjah atau 2 pi, sifat berkala bagi fungsi ini harus digunakan.

Fungsi trigonometri sinus, tangen dan kotangen ialah fungsi ganjil. Nilai fungsi ini untuk sudut negatif akan menjadi negatif. Kosinus ialah fungsi trigonometri genap - nilai kosinus untuk sudut negatif akan menjadi positif. Apabila mendarab dan membahagi fungsi trigonometri, anda mesti mengikut peraturan tanda.

Punca bagi 2/2 ialah berapa pi?- Ia berlaku dalam cara yang berbeza (lihat gambar). Anda perlu tahu fungsi trigonometri yang sama dengan punca dua dibahagikan dengan dua.

Jika anda menyukai siaran itu dan ingin mengetahui lebih lanjut, saya sedang dalam proses mengusahakan bahan lain.

cos pi dibahagikan dengan 2

Laman Utama > Direktori > Formula matematik.

Formula matematik.

Tukar radian kepada darjah.
A d = A r * 180 / pi

Tukar darjah kepada radian.
A r = A d * pi / 180
Di mana A d ialah sudut dalam darjah, A r ialah sudut dalam radian.

Ukur lilit.
L = 2 * pi * R

Panjang lengkok bulatan.
L=A*R

Luas segi tiga.

p=(a+b+c)/2 - separuh perimeter.

Luas bulatan.
S = pi * R 2

Kawasan sektor.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2

Luas permukaan sfera.
S = 4 * pi * R 2

S = 2 * Pi * R * H

Di mana S ialah luas permukaan sisi silinder, R ialah jejari tapak silinder, H ialah ketinggian silinder.

S = pi * R * L

S = pi * R * L + pi * R 2

Isipadu bola.
V = 4 / 3 * pi * R 3

Isipadu silinder.
V = pi * R 2 * H

Isipadu kon.

Disiarkan: 15/01/13
Kemas kini: 11/15/14
Jumlah tontonan: 10754
hari ini: 1

Laman Utama > Direktori > Formula matematik.

Egor

Selamat petang! Awak tanya sangat minat Tanya harap kami dapat membantu anda.

Bagaimana untuk menyelesaikan C1. Pelajaran 2

Anda dan saya perlu menyelesaikan masalah berikut: cari cos pi dibahagikan dengan 2.
Selalunya, untuk menyelesaikan masalah sedemikian, adalah perlu untuk menentukan penunjuk kosinus atau sinus. Untuk sudut dari 0 hingga 360 darjah, hampir semua nilai cos atau sin boleh didapati dengan mudah dalam plat sepadan yang wujud dan biasa, seperti ini:

Tetapi kita tidak mempunyai sinus (dosa), tetapi kosinus. Mari kita fahami dahulu apa itu kosinus. Cos (kosinus) ialah salah satu fungsi trigonometri. Untuk mengira kosinus akut segi tiga tepat Anda perlu mengetahui nisbah kaki sudut yang disertakan dengan hipotenus. Kosinus pi dibahagikan dengan 2 boleh dikira dengan mudah daripada formula trigonometri, yang merujuk kepada formula standard trigonometri. Tetapi jika kita bercakap tentang nilai pi kosinus dibahagikan dengan 2, maka untuk ini kita akan menggunakan jadual, yang telah kita sebutkan lebih daripada sekali:

Semoga berjaya dengan usaha masa depan anda seperti ini!
Jawapan:

Laman Utama > Direktori > Formula matematik.

Formula matematik.

Tukar radian kepada darjah.
A d = A r * 180 / pi

Tukar darjah kepada radian.
A r = A d * pi / 180
Di mana A d ialah sudut dalam darjah, A r ialah sudut dalam radian.

Ukur lilit.
L = 2 * pi * R
Di mana L ialah lilitan, R ialah jejari bulatan.

Panjang lengkok bulatan.
L=A*R
Di mana L ialah panjang lengkok bulatan, R ialah jejari bulatan, A ialah sudut tengah, dinyatakan dalam radian
Untuk bulatan A = 2*pi (360 darjah), kita dapat L = 2*pi*R.

Luas segi tiga.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
Di mana S ialah luas segi tiga, a, b, c ialah panjang sisi,
p=(a+b+c)/2 - separuh perimeter.

Luas bulatan.
S = pi * R 2
Di mana S ialah luas bulatan, R ialah jejari bulatan.

Kawasan sektor.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2
Di mana S ialah luas sektor, R ialah jejari bulatan, L d ialah panjang lengkok.

Luas permukaan sfera.
S = 4 * pi * R 2
Di mana S ialah luas permukaan bola, R ialah jejari bola.

Luas permukaan sisi silinder.
S = 2 * Pi * R * H
Di mana S ialah luas permukaan sisi silinder, R ialah jejari tapak silinder, H ialah ketinggian silinder.

Segi empat permukaan penuh silinder.
S = 2 * pi * R * H + 2 * pi * R 2
Di mana S ialah luas permukaan sisi silinder, R ialah jejari tapak silinder, H ialah ketinggian silinder.

Luas permukaan sisi kon.
S = pi * R * L
Di mana S ialah luas permukaan sisi kon, R ialah jejari tapak kon, L ialah panjang generatriks kon.

Jumlah luas permukaan kon.
S = pi * R * L + pi * R 2
Di mana S ialah luas permukaan penuh kon, R ialah jejari tapak kon, L ialah panjang generatriks kon.

Isipadu bola.
V = 4 / 3 * pi * R 3
Di mana V ialah isipadu bola, R ialah jejari bola itu.

Isipadu silinder.
V = pi * R 2 * H
Di mana V ialah isipadu silinder, R ialah jejari tapak silinder, H ialah ketinggian silinder.

Isipadu kon.
V = pi * R * L = pi * R * H/cos (A/2) = pi * R * R/sin (A/2)
Di mana V ialah isipadu kon, R ialah jejari tapak kon, L ialah panjang generatriks kon, A ialah sudut di bahagian atas kon.

Disiarkan: 15/01/13
Kemas kini: 11/15/14
Jumlah tontonan: 10742
hari ini: 1

Laman Utama > Direktori > Formula matematik.

Egor
Anda boleh membetulkan wayar pada terminal bateri Krona dengan tiub terputus dari penutup jarum perubatan.

Hari ini adalah hari lahir nombor Pi, yang, atas inisiatif ahli matematik Amerika, disambut pada 14 Mac pada 1 jam dan 59 minit pada sebelah petang. Ini disebabkan oleh nilai Pi yang lebih tepat: kita semua terbiasa mengira pemalar ini sebagai 3.14, tetapi nombor itu boleh diteruskan seperti ini: 3, 14159... Menterjemah ini ke dalam tarikh kalendar, kita mendapat 03.14, 1: 59.

Foto: AIF / Nadezhda Uvarova

Vladimir Zalyapin, profesor di Jabatan Analisis Matematik dan Fungsian di South Ural State University, mengatakan bahawa 22 Julai masih harus dianggap sebagai "hari pi", kerana dalam format tarikh Eropah hari ini ditulis sebagai 22/7, dan nilai pecahan ini lebih kurang sama dengan nilai Pi .

"Sejarah nombor yang memberikan nisbah lilitan bulatan kepada diameter bulatan kembali ke zaman purba," kata Zalyapin. — Orang Sumeria dan Babylon sudah tahu bahawa nisbah ini tidak bergantung pada diameter bulatan dan malar. Salah satu sebutan pertama nombor Pi boleh didapati dalam teks jurutulis Mesir Ahmes(kira-kira 1650 SM). Orang Yunani kuno, yang banyak meminjam daripada orang Mesir, menyumbang kepada pembangunan kuantiti misteri ini. Menurut legenda, Archimedes terlalu terbawa-bawa dengan perhitungan sehingga dia tidak perasan bagaimana tentera Rom membawanya bandar asal Syracuse. Apabila seorang askar Rom menghampirinya, Archimedes menjerit dalam bahasa Yunani, "Jangan sentuh bulatan saya!" Sebagai tindak balas, askar itu menikamnya dengan pedang.

Plato menerima nilai pi yang agak tepat untuk masanya - 3.146. Ludolf van Zeilen dibelanjakan paling hidupnya berdasarkan pengiraan 36 digit pertama selepas titik perpuluhan pi, dan ia diukir pada batu nisannya selepas kematian.

Tidak rasional dan tidak normal

Menurut profesor itu, pada setiap masa usaha untuk mengira tempat perpuluhan baru ditentukan oleh keinginan untuk mendapatkan nilai tepat nombor ini. Diandaikan bahawa nombor Pi adalah rasional dan, oleh itu, boleh dinyatakan sebagai pecahan mudah. Dan ini pada asasnya salah!

Pi juga popular kerana ia adalah mistik. Sejak zaman purba, terdapat agama penyembah pemalar. Selain daripada makna tradisional Pi - pemalar matematik (3.1415 ...), menyatakan nisbah lilitan bulatan kepada diameternya, terdapat banyak nilai lain nombor itu. Fakta seperti itu ingin tahu. Dalam proses mengukur dimensi Piramid Hebat di Giza, ternyata ia mempunyai nisbah ketinggian yang sama dengan perimeter tapaknya dengan jejari bulatan dengan panjangnya, iaitu, ½ pi.

Jika kita mengira panjang khatulistiwa Bumi menggunakan Pi ke tempat perpuluhan kesembilan, ralat pengiraan hanya kira-kira 6 mm. Tiga puluh sembilan tempat perpuluhan dalam nombor Pi sudah cukup untuk mengira lilitan bulatan yang mengelilingi yang diketahui. objek angkasa di Alam Semesta, dengan ralat tidak lebih besar daripada jejari atom hidrogen!

Kajian tentang Pi terlibat, antara lain, dalam analisis matematik. Foto: AIF / Nadezhda Uvarova

Kekacauan dalam bilangan

Menurut seorang profesor matematik, pada tahun 1767 Lambert mewujudkan ketidakrasionalan nombor Pi, iaitu, kemustahilan untuk mewakilinya sebagai nisbah dua integer. Ini bermakna urutan digit perpuluhan pi adalah huru-hara yang terkandung dalam nombor. Dalam erti kata lain, "ekor" tempat perpuluhan mengandungi sebarang nombor, sebarang urutan nombor, sebarang teks yang pernah, sedang dan akan, tetapi tidak mungkin untuk mengekstrak maklumat ini!

"Adalah mustahil untuk mengetahui nilai Pi yang tepat," sambung Vladimir Ilyich. Tetapi percubaan ini tidak ditinggalkan. Pada tahun 1991 Chudnovsky mencapai 2260000000 digit perpuluhan baharu pemalar, dan pada tahun 1994 - 4044000000. Selepas itu, bilangan digit yang betul bagi nombor Pi meningkat seperti runtuhan salji.

Lelaki Cina memegang rekod dunia untuk menghafal pi Liu Chao, yang berjaya menghafal 67890 tempat perpuluhan tanpa kesilapan dan menghasilkan semula dalam masa 24 jam dan 4 minit.

Mengenai "bahagian emas"

Ngomong-ngomong, hubungan antara "pi" dan satu lagi kuantiti yang menakjubkan - nisbah emas - sebenarnya tidak terbukti. Orang ramai telah lama menyedari bahawa perkadaran "emas" - ia juga nombor Phi - dan nombor Pi dibahagikan dengan dua berbeza antara satu sama lain dengan kurang daripada 3% (1.61803398... dan 1.57079632...). Walau bagaimanapun, untuk matematik, tiga peratus ini adalah perbezaan yang terlalu ketara untuk menganggap nilai ini sama. Dengan cara yang sama, kita boleh mengatakan bahawa nombor Pi dan nombor Phi adalah saudara kepada pemalar lain yang terkenal - nombor Euler, kerana puncanya hampir separuh daripada nombor Pi. Satu saat Pi ialah 1.5708, Phi ialah 1.6180, punca E ialah 1.6487.

Ini hanyalah sebahagian daripada maksud Pi. Foto: Tangkapan skrin

Hari lahir Pi

Di Ural Selatan Universiti Negeri Hari lahir Constant disambut oleh semua guru dan pelajar matematik. Ia sentiasa seperti ini - tidak boleh dikatakan bahawa minat muncul hanya dalam tahun lepas. Nombor 3.14 malah disambut dengan konsert percutian istimewa!

Artikel ini telah dikumpulkan jadual sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Pertama, kami memberikan jadual nilai asas fungsi trigonometri, iaitu jadual sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 darjah ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Selepas itu, kami akan memberikan jadual sinus dan kosinus, serta jadual tangen dan kotangen oleh V. M. Bradis, dan menunjukkan cara menggunakan jadual ini apabila mencari nilai fungsi trigonometri.

Navigasi halaman.

Jadual sinus, kosinus, tangen dan kotangen untuk sudut 0, 30, 45, 60, 90, ... darjah

Bibliografi.

• Algebra: Proc. untuk 9 sel. purata sekolah / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky.- M.: Pencerahan, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk 10-11 sel. purata sekolah - ed ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lain-lain; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.
• Bradis V. M. Jadual matematik empat digit: Untuk pendidikan am. buku teks pertubuhan. - ed ke-2. - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: sakit. ISBN 5-7107-2667-2