Persamaan grafik. Penyelesaian grafik persamaan campuran

Jika anda ingin belajar berenang, maka dengan berani masuk ke dalam air, dan jika anda ingin belajar bagaimana menyelesaikan masalah, selesaikan.

D. Polya

Persamaan ialah kesamaan yang mengandungi satu atau lebih yang tidak diketahui, dengan syarat tugasnya adalah untuk mencari nilai-nilai yang tidak diketahui yang mana ia adalah benar.

Selesaikan persamaan- ini bermakna mencari semua nilai yang tidak diketahui di mana ia bertukar menjadi kesamaan berangka yang betul, atau menentukan bahawa tiada nilai sedemikian.

Julat nilai yang boleh diterima persamaan (O.D.Z.) ialah set semua nilai pembolehubah (pembolehubah) di mana semua ungkapan yang termasuk dalam persamaan ditakrifkan.

Banyak persamaan yang dibentangkan dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu diselesaikan menggunakan kaedah standard. Tetapi tiada siapa yang melarang menggunakan sesuatu yang luar biasa, walaupun dalam kes yang paling mudah.

Jadi, sebagai contoh, pertimbangkan persamaan 3 – x 2 = 6 / (2 – x).

Jom selesaikan secara grafik, dan kemudian cari min aritmetik akarnya meningkat sebanyak enam kali ganda.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan fungsi y=3 – x 2 Dan y = 6 / (2 – x) dan membina graf mereka.

Fungsi y = 3 – x 2 ialah kuadratik.

Mari kita menulis semula fungsi ini dalam bentuk y = -x 2 + 3. Grafnya ialah parabola, cabang-cabangnya diarahkan ke bawah (kerana a = -1< 0).

Puncak parabola akan dianjak sepanjang paksi ordinat sebanyak 3 unit ke atas. Oleh itu, koordinat bucu ialah (0; 3).

Untuk mencari koordinat titik persilangan parabola dengan paksi absis, kita samakan fungsi ini kepada sifar dan menyelesaikan persamaan yang terhasil:

Oleh itu, pada titik dengan koordinat (√3; 0) dan (-√3; 0) parabola bersilang dengan paksi absis (Rajah 1).

Graf bagi fungsi y = 6 / (2 – x) ialah hiperbola.

Graf fungsi ini boleh diplot menggunakan transformasi berikut:

1) y = 6 / x – perkadaran songsang. Graf fungsi ialah hiperbola. Ia boleh dibina titik demi titik; untuk melakukan ini, mari buat jadual nilai untuk x dan y:

x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |

y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |

2) y = 6 / (-x) – graf fungsi yang diperoleh dalam langkah 1 dipaparkan secara simetri berbanding paksi ordinat (Rajah 3).

3) y = 6 / (-x + 2) – alihkan graf yang diperoleh dalam langkah 2 sepanjang paksi-x dengan dua unit ke kanan (Rajah 4).

Sekarang mari kita plot fungsi y = 3 – x 2 dan y = 6 / (2 – x) dalam sistem koordinat yang sama (Rajah 5).

Rajah menunjukkan bahawa graf bersilang pada tiga titik.

Adalah penting untuk memahami bahawa penyelesaian grafik tidak membenarkan anda mencari nilai sebenar akar. Jadi nombornya ialah -1; 0; 3 (abscissas titik persilangan graf fungsi) setakat ini hanyalah punca yang diandaikan bagi persamaan.

Menggunakan cek, kami akan memastikan bahawa nombor adalah -1; 0; 3 sememangnya punca-punca persamaan asal:

Akar -1:

3 – 1 = 6 / (2 – (-1));

3 – 0 = 6 / (2 – 0);

3 – 9 = 6 / (2 – 3);

Purata aritmetik mereka:

(-1 + 0 + 3) / 3 = 2/3.

Mari tambahkan enam kali ganda: 6 2/3 = 4.

Persamaan ini, sudah tentu, boleh diselesaikan dengan cara yang lebih biasa – algebra.

Jadi, cari purata meningkat sebanyak enam kali punca aritmetik persamaan 3 – x 2 = 6 / (2 – x).

Mari kita mulakan menyelesaikan persamaan dengan mencari O.D.Z. Penyebut pecahan tidak boleh sifar, oleh itu:

Untuk menyelesaikan persamaan, kita menggunakan sifat asas perkadaran, ini akan membolehkan kita menyingkirkan pecahan.

(3 – x 2)(2 – x) = 6.

Mari buka kurungan dan kemukakan istilah yang serupa:

6 – 3x – 2x 2 + x 3 = 6;

x 3 – 2x 2 – 3x = 0.

Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

x(x2 – 2x – 3) = 0.

Mari kita mengambil kesempatan daripada fakta bahawa produk adalah sama dengan sifar hanya apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar, jadi kita mempunyai:

x = 0 atau x 2 – 2x – 3 = 0.

Mari kita selesaikan persamaan kedua.

x 2 – 2x – 3 = 0. Ia segi empat sama, jadi kami akan menggunakan diskriminasi.

D=4 – 4 · (-3) = 16;

x 1 = (2 + 4) / 2 = 3;

x 2 = (2 – 4) / 2 = -1.

Ketiga-tiga punca yang diperolehi memenuhi O.D.Z.

Oleh itu, mari kita cari min aritmetik mereka dan tingkatkannya enam kali ganda:

6 · (-1 + 3 + 0) / 3 = 4.

Malah, kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan agak jarang digunakan. Ini disebabkan oleh fakta bahawa perwakilan grafik fungsi membolehkan anda menyelesaikan persamaan hanya lebih kurang. Kaedah ini digunakan terutamanya dalam masalah tersebut di mana penting untuk mencari bukan punca persamaan itu sendiri - nilai berangkanya, tetapi hanya untuk kuantitinya.

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Pembentangan dan pelajaran mengenai topik: "Penyelesaian grafik persamaan kuadratik"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu pendidikan dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 8
Kuasa dan punca Fungsi dan graf

Graf Fungsi Kuadratik

Dalam pelajaran lepas kita belajar cara membina graf mana-mana fungsi kuadratik. Dengan bantuan fungsi tersebut kita boleh menyelesaikan apa yang dipanggil persamaan kuadratik, yang dalam pandangan umum ditulis seperti berikut: $ax^2+bx+c=0$,
$a, b, c$ ialah sebarang nombor, tetapi $a≠0$.
Kawan-kawan, bandingkan persamaan yang ditulis di atas dan ini: $y=ax^2+bx+c$.
Mereka hampir sama. Perbezaannya ialah bukannya $y$ kami menulis $0$, i.e. $y=0$. Bagaimana kemudian untuk menyelesaikan persamaan kuadratik? Perkara pertama yang terlintas di fikiran ialah membina graf parabola $ax^2+bx+c$ dan cari titik persilangan graf ini dengan garis lurus $y=0$. Terdapat penyelesaian lain. Mari kita lihat mereka menggunakan contoh khusus.

Kaedah untuk menyelesaikan fungsi kuadratik

Contoh.
Selesaikan persamaan: $x^2+2x-8=0$.

Penyelesaian.
Kaedah 1. Mari kita plot fungsi $y=x^2+2x-8$ dan cari titik persilangan dengan garis lurus $y=0$. Pekali darjah tertinggi adalah positif, yang bermaksud cabang parabola menghala ke atas. Mari cari koordinat puncak:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-2)(2)=-1$.
$y_(в)=(-1)^2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.

Kami mengambil titik dengan koordinat $(-1;-9)$ sebagai permulaan sistem baru koordinat dan bina graf parabola $y=x^2$ di dalamnya.

Kami melihat dua titik persimpangan. Ia ditandakan dengan titik hitam pada graf. Kami sedang menyelesaikan persamaan untuk x, jadi kami perlu memilih absis titik-titik ini. Ia sama dengan $-4$ dan $2$.
Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan kuadratik $x^2+2x-8=0$ ialah dua punca: $ x_1=-4$ dan $x_2=2$.

Kaedah 2. Ubah persamaan asal kepada bentuk: $x^2=8-2x$.
Oleh itu, kita boleh menyelesaikan persamaan ini dalam cara grafik biasa dengan mencari absis titik persilangan dua graf $y=x^2$ dan $y=8-2x$.
Kami memperoleh dua titik persilangan, abscissas yang bertepatan dengan penyelesaian yang diperoleh dalam kaedah pertama, iaitu: $x_1=-4$ dan $x_2=2$.

Kaedah 3.
Mari ubah persamaan asal kepada bentuk ini: $x^2-8=-2x$.
Mari bina dua graf $y=x^2-8$ dan $y=-2x$ dan cari titik persilangannya.
Graf $y=x^2-8$ ialah parabola yang dianjak ke bawah 8 unit.
Kami memperoleh dua titik persilangan, dan abscissas titik ini adalah sama seperti dalam dua kaedah sebelumnya, iaitu: $x_1=-4$ dan $x_2=2$.

Kaedah 4.
Mari kita pilih kuasa dua sempurna dalam persamaan asal: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-9$.
Mari bina dua graf bagi fungsi $y=(x+1)^2$ dan $y=9$. Graf fungsi pertama ialah parabola yang dialihkan satu unit ke kiri. Graf fungsi kedua ialah garis lurus selari dengan paksi absis dan melalui ordinat bersamaan $9$.
Sekali lagi kami memperoleh dua titik persilangan graf, dan absis titik ini bertepatan dengan yang diperoleh dalam kaedah sebelumnya $x_1=-4$ dan $x_2=2$.

Kaedah 5.
Bahagikan persamaan asal dengan x: $\frac(x^2)(x)+\frac(2x)(x)-\frac(8)(x)=\frac(0)(x)$.
$x+2-\frac(8)(x)=0$.
$x+2=\frac(8)(x)$.
Mari selesaikan persamaan ini secara grafik, bina dua graf $y=x+2$ dan $y=\frac(8)(x)$.
Sekali lagi kami mendapat dua titik persilangan, dan abscissas titik ini bertepatan dengan yang diperoleh di atas $x_1=-4$ dan $x_2=2$.

Algoritma untuk penyelesaian grafik bagi fungsi kuadratik

Kawan-kawan, kami melihat lima cara untuk menyelesaikannya secara grafik persamaan kuadratik. Dalam setiap kaedah ini, punca persamaan ternyata sama, yang bermaksud penyelesaiannya diperoleh dengan betul.

Kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan kuadratik secara grafik $ax^2+bx+c=0$, $a, b, c$ - sebarang nombor, tetapi $a≠0$:
1. Bina graf bagi fungsi $y=ax^2+bx+c$, cari titik persilangan dengan paksi absis, yang akan menjadi penyelesaian kepada persamaan.
2. Bina dua graf $y=ax^2$ dan $y=-bx-c$, cari absis bagi titik persilangan graf ini.
3. Bina dua graf $y=ax^2+c$ dan $y=-bx$, cari absis bagi titik persilangan graf ini. Graf fungsi pertama akan menjadi parabola, dianjak sama ada ke bawah atau ke atas, bergantung pada tanda nombor c. Graf kedua ialah garis lurus yang melalui asalan.
4. Pilih segi empat sama lengkap, iaitu, bawa persamaan asal kepada bentuk: $a(x+l)^2+m=0$.
Bina dua graf bagi fungsi $y=a(x+l)^2$ dan $y=-m$, cari titik persilangannya. Graf bagi fungsi pertama akan menjadi parabola yang dianjak sama ada ke kiri atau ke kanan, bergantung pada tanda nombor $l$. Graf fungsi kedua akan menjadi garis lurus selari dengan paksi absis dan bersilang dengan paksi ordinat pada titik bersamaan $-m$.
5. Bahagikan persamaan asal dengan x: $ax+b+\frac(c)(x)=0$.
Tukar kepada bentuk: $\frac(c)(x)=-ax-b$.
Bina dua graf sekali lagi dan cari titik persilangannya. Graf pertama ialah hiperbola, graf kedua ialah garis lurus. Malangnya, kaedah grafik menyelesaikan persamaan kuadratik tidak selalu dengan cara yang baik penyelesaian. Titik persilangan graf yang berbeza tidak selalunya integer atau mungkin mempunyai nombor yang sangat besar dalam abscissa (ordinat). nombor besar, yang tidak boleh dibina di atas helaian kertas biasa.

Mari kita tunjukkan semua kaedah ini dengan lebih jelas dengan contoh.

Contoh.
Selesaikan persamaan: $x^2+3x-12=0$,

Penyelesaian.
Mari kita plot parabola dan cari koordinat bucu: $x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-3)(2)=-1.5$.
$y_(в)=(-1.5)^2+2*(-1.5)-8=2.25-3-8=-8.75$.
Apabila membina parabola sedemikian, masalah segera timbul, sebagai contoh, dalam menandakan puncak parabola dengan betul. Untuk menandakan ordinat bucu dengan tepat, anda perlu memilih satu sel bersamaan dengan unit skala 0.25. Pada skala ini, anda perlu menurunkan 35 unit, yang menyusahkan. Apa-apa pun, mari kita bina jadual kita.
Masalah kedua yang kita hadapi ialah graf fungsi kita bersilang dengan paksi-x pada satu titik dengan koordinat yang tidak dapat ditentukan dengan tepat. Penyelesaian anggaran mungkin, tetapi matematik adalah sains tepat.
Oleh itu, kaedah grafik bukanlah yang paling mudah. Oleh itu, menyelesaikan persamaan kuadratik memerlukan lebih banyak kaedah universal, yang akan kita pelajari dalam pelajaran seterusnya.

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

1. Selesaikan persamaan secara grafik (dalam kelima-lima cara): $x^2+4x-12=0$.
2. Selesaikan persamaan menggunakan mana-mana kaedah grafik: $-x^2+6x+16=0$.

Penyelesaian grafik persamaan

Hari kegemilangan, 2009

pengenalan

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik pada zaman dahulu adalah disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan plot tanah dan dengan kerja tanah yang bersifat ketenteraan, serta dengan perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Orang Babylon dapat menyelesaikan persamaan kuadratik sekitar 2000 SM. Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon sampai pada peraturan ini.

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di Eropah mula-mula dinyatakan dalam Book of Abacus, yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Bukunya menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain.

Tetapi peraturan am penyelesaian kepada persamaan kuadratik untuk semua kemungkinan kombinasi pekali b dan c telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Pada tahun 1591 Francois Viet memperkenalkan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

DALAM Babylon purba boleh menyelesaikan beberapa jenis persamaan kuadratik.

Diophantus dari Alexandria Dan Euclid, Al-Khawarizmi Dan Omar Khayyam menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah geometri dan grafik.

Dalam darjah 7 kami belajar fungsi y = C, y =kx, y =kx+ m, y =x 2,y = –x 2, dalam darjah 8 - y = √x, y =|x|, y =kapak2 + bx+ c, y =k/ x. Dalam buku teks algebra gred 9, saya melihat fungsi yang belum saya ketahui: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– a) 2 + (y –b) 2 = r 2 dan lain-lain. Terdapat peraturan untuk membina graf bagi fungsi ini. Saya tertanya-tanya jika ada fungsi lain yang mematuhi peraturan ini.

Tugas saya ialah mengkaji graf fungsi dan menyelesaikan persamaan secara grafik.

1. Apakah fungsinya?

Graf fungsi ialah set semua titik satah koordinat, abscissas yang sama dengan nilai argumen, dan ordinat adalah sama dengan nilai fungsi yang sepadan.

Fungsi linear diberikan oleh persamaan y =kx+ b, Di mana k Dan b- beberapa nombor. Graf fungsi ini ialah garis lurus.

Fungsi perkadaran songsang y =k/ x, di mana k ¹ 0. Graf fungsi ini dipanggil hiperbola.

Fungsi (x– a) 2 + (y –b) 2 = r2 , Di mana A, b Dan r- beberapa nombor. Graf fungsi ini ialah bulatan berjejari r dengan pusat di titik A ( A, b).

Fungsi kuadratik y= kapak2 + bx+ c di mana A,b, Dengan– beberapa nombor dan A¹ 0. Graf bagi fungsi ini ialah parabola.

Persamaan di2 (a– x) = x2 (a+ x) . Graf persamaan ini akan menjadi lengkung yang dipanggil strofoid.

/>Persamaan (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Graf persamaan ini dipanggil lemniskat Bernoulli.

Persamaan. Graf persamaan ini dipanggil astroid.

Lengkung (x2 y2 – 2 kapak)2 =4 a2 (x2 + y2 ) . Lengkung ini dipanggil kardioid.

Fungsi: y =x 3 - parabola padu, y =x 4, y = 1/x 2.

2. Konsep persamaan dan penyelesaian grafiknya

Persamaan– ungkapan yang mengandungi pembolehubah.

Selesaikan persamaan- ini bermakna mencari semua akarnya, atau membuktikan bahawa ia tidak wujud.

Punca persamaan ialah nombor yang, apabila digantikan ke dalam persamaan, menghasilkan kesamaan berangka yang betul.

Menyelesaikan persamaan secara grafik membolehkan anda mencari nilai tepat atau anggaran punca, membolehkan anda mencari bilangan punca persamaan.

Apabila membina graf dan menyelesaikan persamaan, sifat-sifat fungsi digunakan, itulah sebabnya kaedah itu sering dipanggil berfungsi-grafik.

Untuk menyelesaikan persamaan, kami "membahagikan" kepada dua bahagian, memperkenalkan dua fungsi, membina graf mereka, dan mencari koordinat titik persilangan graf. Absis titik-titik ini ialah punca-punca persamaan.

3. Algoritma untuk memplot graf fungsi

Mengetahui graf fungsi y =f(x) , anda boleh membina graf fungsi y =f(x+ m) ,y =f(x)+ l Dan y =f(x+ m)+ l. Kesemua graf ini diperoleh daripada graf fungsi tersebut y =f(x) menggunakan transformasi bawa selari: kepada │ m│ unit skala ke kanan atau kiri sepanjang paksi-x dan seterusnya │ l│ unit skala atas atau bawah sepanjang paksi y.

4. Penyelesaian grafik bagi persamaan kuadratik

Menggunakan fungsi kuadratik sebagai contoh, kami akan mempertimbangkan penyelesaian grafik bagi persamaan kuadratik. Graf bagi fungsi kuadratik ialah parabola.

Apakah yang diketahui oleh orang Yunani kuno tentang parabola?

Simbolisme matematik moden berasal dari abad ke-16.

Ahli matematik Yunani kuno tidak kaedah koordinat, tiada konsep fungsi. Namun begitu, sifat-sifat parabola telah dikaji secara terperinci oleh mereka. Kebijaksanaan ahli matematik purba sememangnya menakjubkan - lagipun, mereka hanya boleh menggunakan lukisan dan penerangan secara lisan tanggungan.

Kebanyakan meneroka parabola, hiperbola dan elips sepenuhnya Apollonius dari Perga, yang hidup pada abad ke-3 SM. Dia memberikan nama lengkung ini dan menunjukkan syarat yang dipenuhi oleh mata yang terletak pada lengkung ini atau itu (lagipun, tiada formula!).

Terdapat algoritma untuk membina parabola:

Cari koordinat bagi bucu parabola A (x0; y0): X=- b/2 a;

y0=axo2+in0+s;

Cari paksi simetri parabola (garis lurus x=x0);

PAGE_BREAK--

Kami menyusun jadual nilai untuk membina titik kawalan;

Kami membina titik yang terhasil dan membina titik yang simetri kepada mereka berbanding dengan paksi simetri.

1. Menggunakan algoritma, kita akan membina parabola y= x2 – 2 x– 3 . Abscissas titik persilangan dengan paksi x dan terdapat punca-punca persamaan kuadratik x2 – 2 x– 3 = 0.

Terdapat lima cara untuk menyelesaikan persamaan ini secara grafik.

2. Mari bahagikan persamaan kepada dua fungsi: y= x2 Dan y= 2 x+ 3

3. Mari bahagikan persamaan kepada dua fungsi: y= x2 –3 Dan y=2 x. Punca-punca persamaan ialah absis bagi titik-titik persilangan parabola dan garis.

4. Ubah persamaan x2 – 2 x– 3 = 0 menggunakan pemilihan persegi penuh kepada fungsi: y= (x–1) 2 Dan y=4. Punca-punca persamaan ialah absis bagi titik-titik persilangan parabola dan garis.

5. Bahagikan kedua-dua belah sebutan persamaan dengan sebutan x2 – 2 x– 3 = 0 pada x, kita dapat x– 2 – 3/ x= 0 , mari bahagikan persamaan ini kepada dua fungsi: y= x– 2, y= 3/ x. Punca-punca persamaan ialah absis bagi titik-titik persilangan garis dan hiperbola.

5. Penyelesaian grafik bagi persamaan darjahn

Contoh 1. Selesaikan persamaan x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Jawapan: x = 1.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 3 √ x= 10 – x.

Akar persamaan yang diberikan ialah absis bagi titik persilangan graf dua fungsi: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Jawapan: x = 8.

Kesimpulan

Setelah melihat graf fungsi: y =kapak2 + bx+ c, y =k/ x, у = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Saya perhatikan bahawa semua graf ini dibina mengikut peraturan terjemahan selari berbanding dengan paksi x Dan y.

Dengan menggunakan contoh penyelesaian persamaan kuadratik, kita boleh membuat kesimpulan bahawa kaedah grafik juga boleh digunakan untuk persamaan darjah n.

Kaedah grafik penyelesaian kepada persamaan adalah cantik dan boleh difahami, tetapi tidak memberikan jaminan 100% untuk menyelesaikan sebarang persamaan. Absis bagi titik persilangan graf boleh menjadi anggaran.

Dalam darjah 9 dan sepanjang sekolah menengah, saya akan terus meneroka fungsi lain. Saya berminat untuk mengetahui sama ada fungsi tersebut mematuhi peraturan pemindahan selari semasa membina grafnya.

hidup tahun depan Saya juga ingin mempertimbangkan isu penyelesaian grafik sistem persamaan dan ketaksamaan.

kesusasteraan

1. Algebra. darjah 7. Bahagian 1. Buku Teks untuk institusi pendidikan/ A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. darjah 8. Bahagian 1. Buku teks untuk institusi pendidikan / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. darjah 9. Bahagian 1. Buku teks untuk institusi pendidikan / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Sejarah matematik di sekolah. gred VII–VIII. – M.: Pendidikan, 1982.

5. Jurnal Matematik Bil 5 2009; No 8 2007; No. 23 2008.

6. Penyelesaian grafik laman web persamaan di Internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

>>Matematik: Penyelesaian grafik persamaan

Penyelesaian grafik persamaan

Mari kita ringkaskan pengetahuan kita tentang graf fungsi. Kami telah mempelajari cara membina graf bagi fungsi berikut:

y =b (garis lurus selari dengan paksi x);

y = kx (garisan yang melalui asalan);

y - kx + m (garis lurus);

y = x 2 (parabola).

Pengetahuan tentang graf ini akan membolehkan kami, jika perlu, menggantikan analisis model geometri (grafik), sebagai contoh, bukannya model y = x 2 (yang mewakili kesamaan dengan dua pembolehubah x dan y), pertimbangkan parabola dalam satah koordinat. Khususnya, kadangkala berguna untuk menyelesaikan persamaan. Mari kita bincangkan bagaimana ini dilakukan menggunakan beberapa contoh.

A. V. Pogorelov, Geometri untuk gred 7-11, Buku Teks untuk institusi pendidikan

Isi pelajaran nota pelajaran menyokong kaedah pecutan pembentangan pelajaran bingkai teknologi interaktif berlatih tugasan dan latihan bengkel ujian kendiri, latihan, kes, pencarian soalan perbincangan kerja rumah soalan retorik daripada pelajar Ilustrasi audio, klip video dan multimedia gambar, gambar, grafik, jadual, rajah, jenaka, anekdot, jenaka, komik, perumpamaan, pepatah, silang kata, petikan Alat tambah abstrak artikel helah untuk buaian ingin tahu buku teks asas dan kamus tambahan istilah lain Menambah baik buku teks dan pelajaranmembetulkan kesilapan dalam buku teks mengemas kini serpihan dalam buku teks, elemen inovasi dalam pelajaran, menggantikan pengetahuan lapuk dengan yang baharu Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna pelan kalendar selama setahun cadangan metodologi program perbincangan Pelajaran Bersepadu

Biarkan terdapat persamaan kuadratik lengkap: A*x2+B*x+C=0, di mana A, B dan C ialah sebarang nombor, dan A tidak sama dengan sifar. Ini adalah kes umum bagi persamaan kuadratik. Terdapat juga bentuk terkurang di mana A=1. Untuk menyelesaikan sebarang persamaan secara grafik, anda perlu memindahkan istilah dengan darjah tertinggi ke bahagian lain dan menyamakan kedua-dua bahagian dengan beberapa pembolehubah.

Selepas ini, A*x2 akan kekal di sebelah kiri persamaan, dan B*x-C di sebelah kanan (kita boleh menganggap bahawa B ialah nombor negatif, ini tidak mengubah intipati). Persamaan yang terhasil ialah A*x2=B*x-C=y. Untuk kejelasan, dalam kes ini kedua-dua bahagian disamakan dengan pembolehubah y.

Memplot graf dan hasil pemprosesan

Sekarang kita boleh menulis dua persamaan: y=A*x2 dan y=B*x-C. Seterusnya, anda perlu melukis graf bagi setiap fungsi ini. Graf y=A*x2 ialah parabola dengan bucu pada asalan, cabang-cabangnya diarahkan ke atas atau ke bawah, bergantung pada tanda nombor A. Jika negatif, cabang-cabangnya diarahkan ke bawah, jika positif, cawangan diarahkan ke atas.

Graf y=B*x-C ialah garis lurus sekata. Jika C=0, garis itu melalui asalan. DALAM kes am ia memotong segmen yang sama dengan C dari paksi ordinat Sudut kecondongan garis ini berbanding dengan paksi absis ditentukan oleh pekali B. Ia. sama dengan tangen kecondongan sudut ini.

Selepas graf diplot, ia akan dilihat bahawa ia bersilang pada dua titik. Koordinat titik-titik ini di sepanjang paksi-x menentukan punca-punca persamaan kuadratik. Untuk mereka definisi yang tepat anda perlu membina graf dengan jelas dan memilih skala yang betul.

Satu lagi penyelesaian grafik

Terdapat satu lagi cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik secara grafik. Ia tidak perlu untuk memindahkan B*x+C ke sisi lain persamaan. Anda boleh segera memplot fungsi y=A*x2+B*x+C. Graf ini ialah parabola dengan bucu di titik sewenang-wenangnya. Kaedah ini lebih rumit daripada yang sebelumnya, tetapi anda boleh membina hanya satu graf untuk...

Mula-mula anda perlu menentukan puncak parabola dengan koordinat x0 dan y0. Absisnya dikira menggunakan formula x0=-B/2*a. Untuk menentukan ordinat, anda perlu menggantikan nilai abscissa yang terhasil ke dalam fungsi asal. Secara matematik, pernyataan ini ditulis seperti berikut: y0=y(x0).

Kemudian anda perlu mencari dua titik simetri kepada paksi parabola. Di dalamnya, fungsi asal mesti lenyap. Selepas ini, anda boleh membina parabola. Titik persilangannya dengan paksi X akan memberikan dua punca persamaan kuadratik.