Graf fungsi untuk 2x. Graf fungsi

Topik: "Fungsiy=x 2 dan jadualnya."

Objektif pelajaran:

Pendidikan: Perkenalkan definisi fungsi y=x 2 . Belajar membina graf fungsi ini.

Perkembangan: Mengajar generalisasi, sistematisasi pengetahuan, membuat kesimpulan, membandingkan, menganalisis.

Pendidikan: memupuk ketepatan, pemerhatian, berdikari.

Kemajuan pelajaran

1. Detik organisasi.

selamat petang Jam yang baik!

Saya sangat gembira melihat anda.

Loceng sudah pun berbunyi

Pelajaran bermula.

Kami tersenyum. Kami memangkas diri sendiri.

Kami berpandangan antara satu sama lain

Dan mereka duduk dengan senyap bersama.

2. Motivasi pelajaran.

Ahli falsafah dan saintis Perancis yang terkenal Blaise Pascal berhujah: "Kehebatan seseorang terletak pada keupayaannya untuk berfikir." Hari ini kita akan cuba berasa seperti orang yang hebat dengan mencari ilmu sendiri.

Moto untuk pelajaran hari ini adalah kata-kata ahli matematik Yunani kuno Thales:

Apa yang lebih daripada segala-galanya di dunia? - Angkasa.

Apa yang paling cepat? - Fikiran.

Apakah perkara yang paling bijak? - Masa.

Apa bahagian yang terbaik? - Mencapai apa yang anda mahu.

Saya ingin anda semua mencapai pencapaian dalam pelajaran hari ini hasil yang diingini.

3. Mengemas kini pengetahuan.

Hari ini di dalam kelas kita akan mengingati dan menyemak bahan yang dibincangkan. Tetapi topik apa yang akan anda ketahui dengan mentafsir namanya, menggantikan setiap pasangan nombor dengan huruf.

Jadi, hari ini kita akan bercakap tentang fungsi, atau lebih tepat lagi tentang fungsi y = x 2. Buka buku nota anda dan tulis topik pelajaran "Fungsi y = x 2, sifat dan grafnya."

1. Apakah jenis pergantungan yang dipanggil fungsi atau fungsi?

2. Apakah hujah dan apakah fungsi?

3. Apakah domain definisi fungsi yang dipanggil?

Apakah formula yang mentakrifkan fungsi linear?

Apakah itu graf fungsi linear?

Lukiskan graf bagi fungsi y=2x-1. Adakah graf fungsi melalui titik A(30; 59), B(-15; -29)?

4. Mari kita ulang satah koordinat:

Apakah sistem koordinat segi empat tepat?

Apakah absis bagi sesuatu titik?

Apakah ordinat bagi suatu titik?

yang mana paksi koordinat dipanggil paksi-x?

Paksi koordinat yang manakah dipanggil paksi koordinat?

– Sistem segi empat tepat koordinat sering dipanggil Cartesian, mengapa anda fikir? (Potret René Descartes (1596-1650))

"Untuk meningkatkan minda, seseorang mesti berfikir lebih daripada menghafal," tulis Descartes. Descartes, seorang saintis Perancis yang terkenal, menunjukkan dirinya dengan sangat baik dalam kemahiran sastera sehingga dia termasuk dalam barisan pengasas prosa Perancis zaman moden. Sebenarnya, dia memulakannya kehidupan kreatif dengan puisi dan banyak bekerja dalam genre ini. Dia mengabadikan dirinya dalam bidang matematik dan falsafah, tetapi karya terakhirnya adalah sandiwara.

4. Mempelajari bahan baharu.

Seperti yang dinyatakan oleh G. Galileo, kitab alam ini ditulis dalam bahasa matematik dan huruf-hurufnya adalah tanda-tanda matematik Dan bentuk geometri- adalah mustahil untuk memahami kata-katanya. Dan ia adalah fungsi yang menjadi cara bahasa matematik, yang membolehkan kita menerangkan proses pergerakan dan perubahan yang wujud dalam alam semula jadi.

Mari kita nyatakan dengan y luas segi empat sama dengan sisi x. Kemudian y = x 2.

Jika anda menukar sisi x segi empat sama, maka luasnya y akan berubah dengan sewajarnya.

Adalah jelas bahawa setiap nilai pembolehubah x sepadan dengan yang unik

nilai pembolehubah y. Oleh itu, pergantungan pembolehubah y pada pembolehubah x ialah fungsi. Jadual menunjukkan beberapa nilai hujah dan nilai fungsi yang sepadan.

Nota pada satah koordinat titik yang koordinatnya diberikan dalam jadual.

Dengan menyambungkan titik berturut-turut, kami memperoleh graf fungsi - parabola.

Titik (0;0) membahagikan parabola kepada dua bahagian yang sama, setiap satunya dipanggil cabang parabola, dan titik itu sendiri dipanggil puncak parabola.

Ciri Fungsiy=x 2

Domain definisi	Semua nombor
Julat nilai	Semua nombor bukan negatif
	parabola
Fungsi sifar (nilai hujah di mana nilai fungsi ialah 0)

Hari ini saya akan menunjukkan kepada anda cara lain untuk menyelesaikan persamaan - secara grafik. Senaman: Selesaikan secara grafik persamaan x 2 = ─ 2x + 3.

Untuk membuat keputusan persamaan yang diberikan, anda perlu mencari nilai x di mana bahagian kiri persamaan akan sama dengan sebelah kanan. Mari kita perkenalkan dua fungsi f(x), sama dengan bahagian kiri persamaan dan g(x), sama dengan bahagian kanan persamaan. Sekarang anda perlu mencari nilai x yang mana f(x)=g(x), i.e. titik biasa, kepunyaan graf fungsi f(x) dan graf fungsi g(x). Titik ini akan menjadi titik persilangan bagi graf bagi fungsi f(x)=x2 dan g(x)=-2x+3. Absis titik persilangan akan menjadi penyelesaian kepada persamaan asal.

Dalam satah koordinat kita akan membina graf bagi fungsi f(x) = x 2 dan

g(x) = ─2x + 3.

Untuk melakukan ini, kami akan menyusun jadual nilainya.

f(x) = x 2 ─ parabola

g(x) = ─2х + 3 ─ garis lurus

x = -3, x = 1.

5. Senaman fizikal.

Pusingkan pandangan anda ke kanan

Alihkan pandangan ke kiri

Mendongak memandang siling

Semua orang memandang ke hadapan.

Sekali - bengkok - luruskan,

Dua ─ bengkok - regangan,

Tiga - tiga tepukan tangan anda,

Tiga anggukkan kepala.

Lima dan enam duduk diam.

6. Penyatuan bahan baharu.

Selesaikan No. 350, 353(1), 355(1), 357.

7. Kerja bebas.

Selesaikan No. 355(2).

8. Merumuskan pelajaran.

Refleksi.

Apakah perkara baharu yang telah anda pelajari?

Apa yang anda rasa sukar?

Apa yang telah anda pelajari?

Apakah masalah yang dikemukakan dalam kelas?

Adakah kita berjaya menyelesaikannya?

Tuliskan cara anda mempelajari bahan pelajaran pada helaian maklum balas.

Dapat ilmu yang bagus.

Saya menguasai semua bahan.

Saya sebahagiannya memahami bahan tersebut.

9. Kerja rumah.

Pelajari point 11. Selesaikan No. 351, 354(1), 359.

Sebelum ini, kami mengkaji fungsi lain, contohnya linear, mari kita ingat bentuk piawainya:

maka perbezaan asas yang jelas - dalam fungsi linear X berdiri di peringkat pertama, dan dalam itu ciri baharu, yang kita mula belajar, X berdiri kepada kuasa kedua.

Ingat bahawa graf fungsi linear ialah garis lurus, dan graf fungsi, seperti yang akan kita lihat, ialah lengkung yang dipanggil parabola.

Mari kita mulakan dengan mengetahui dari mana formula itu datang. Penjelasannya begini: jika kita diberi segi empat sama dengan sisi A, maka kita boleh mengira luasnya seperti ini:

Jika kita menukar panjang sisi segi empat sama, maka luasnya akan berubah.

Jadi, ini adalah salah satu sebab mengapa fungsi itu dikaji

Ingat bahawa pembolehubah X- ini adalah pembolehubah bebas, atau hujah dalam tafsiran fizikal, ia boleh, sebagai contoh, masa. Jarak adalah, sebaliknya, pembolehubah bersandar; ia bergantung pada masa. Pembolehubah atau fungsi bersandar ialah pembolehubah di.

Ini adalah undang-undang surat-menyurat, mengikut mana setiap nilai X satu nilai diberikan di.

Mana-mana undang-undang surat-menyurat mesti memenuhi keperluan keunikan daripada hujah ke fungsi. Dalam tafsiran fizikal, ini kelihatan agak jelas berdasarkan contoh pergantungan jarak pada masa: pada setiap saat masa kita berada pada jarak tertentu dari titik permulaan, dan adalah mustahil pada masa yang sama pada masa t menjadi kedua-duanya 10 dan 20 kilometer dari permulaan perjalanan.

Pada masa yang sama, setiap nilai fungsi boleh dicapai dengan beberapa nilai argumen.

Jadi, kita perlu membina graf fungsi, untuk ini kita perlu membuat jadual. Kemudian kaji fungsi dan sifatnya menggunakan graf. Tetapi sebelum membina graf berdasarkan jenis fungsi, kita boleh mengatakan sesuatu tentang sifatnya: jelas bahawa di tidak boleh terima nilai negatif, kerana

Jadi, mari kita buat jadual:

nasi. 1

Daripada graf adalah mudah untuk diperhatikan sifat-sifat berikut:

paksi di- ini ialah paksi simetri graf;

Puncak parabola ialah titik (0; 0);

Kami melihat bahawa fungsi hanya menerima nilai bukan negatif;

Dalam selang di mana fungsi berkurangan, dan pada selang di mana fungsi meningkat;

Fungsi memperoleh nilai terkecilnya pada puncak, ;

Tiada nilai terbesar bagi sesuatu fungsi;

Contoh 1

keadaan:

Penyelesaian:

Kerana X dengan perubahan keadaan pada selang tertentu, kita boleh katakan tentang fungsi yang ia meningkat dan berubah pada selang . Fungsi mempunyai nilai minimum dan nilai maksimum pada selang ini

nasi. 2. Graf fungsi y = x 2 , x ∈

Contoh 2

keadaan: Cari yang terhebat dan nilai terkecil ciri-ciri:

Penyelesaian:

X perubahan sepanjang selang, yang bermaksud di berkurang pada selang sambil dan meningkat pada selang sambil .

Jadi, had perubahan X, dan had perubahan di, dan, oleh itu, pada selang tertentu terdapat nilai minimum fungsi dan maksimum

nasi. 3. Graf fungsi y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Marilah kita menggambarkan fakta bahawa nilai fungsi yang sama boleh dicapai dengan beberapa nilai hujah.

Bentuk y = kx + m dengan dua pembolehubah x, y. Benar, pembolehubah x, y, yang terdapat dalam persamaan ini (dalam model matematik ini) dianggap tidak sama: x ialah pembolehubah bebas (argumen) yang mana kita boleh menetapkan sebarang nilai, tanpa mengira apa-apa; y ialah pembolehubah bersandar kerana nilainya bergantung pada nilai x yang mana dipilih. Tetapi kemudian timbul persoalan semula jadi: adakah mereka bertemu? model matematik daripada pelan yang sama, tetapi yang mana y dinyatakan melalui x tidak mengikut formula y = kx + m, tetapi dengan cara lain? Jawapannya jelas: sudah tentu, mereka lakukan. Jika, sebagai contoh, x ialah sisi segi empat sama dan y ialah sisi segi empat sama
luas, kemudian y - x 2. Jika x ialah sisi kubus, dan y ialah isipadunya, maka y - x 3. Jika x ialah satu sisi segi empat tepat yang luasnya 100 cm 2, dan y ialah sisi yang lain, maka . Oleh itu, adalah wajar bahawa dalam matematik mereka tidak terhad kepada mempelajari model y-kx + m mereka perlu mengkaji model y = x 2, dan model y = x 3, dan model, dan banyak model lain yang; mempunyai struktur yang sama: di sebelah kiri kesamaan terdapat pembolehubah y, dan di sebelah kanan terdapat beberapa ungkapan dengan pembolehubah x. Untuk model sedemikian, istilah "fungsi" dikekalkan, meninggalkan kata sifat "linear".

Dalam bahagian ini kita akan mempertimbangkan fungsi y = x 2 dan membinanya jadual.

Mari berikan pembolehubah tidak bersandar x beberapa nilai khusus dan hitung nilai sepadan pembolehubah bersandar y (menggunakan formula y = x 2):

jika x = 0, maka y = O 2 = 0;
jika x = 1, maka y = I 2 = 1;
jika x = 2, maka y = 2 2 = 4;
jika x = 3, maka y = 3 2 = 9;
jika x = - 1, maka y = (- I 2) - 1;
jika x = - 2, maka y = (- 2) 2 = 4;
jika x = - 3, maka y = (- 3) 2 = 9;
Ringkasnya, kami telah menyusun jadual berikut:

X	0	1	2	3	-1	-2	-3
U	0	1	4	9	1	4	9

Mari bina titik yang ditemui (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), pada satah koordinat xOy (Rajah 54, a).

Titik ini terletak pada garis tertentu, mari kita lukiskannya (Rajah 54, b). Garis ini dipanggil parabola.

Sudah tentu, idealnya adalah perlu untuk memberikan hujah x semua nilai yang mungkin, hitung nilai sepadan pembolehubah y dan plot titik yang terhasil (x; y). Kemudian jadual itu akan menjadi tepat, sempurna. Walau bagaimanapun, ini tidak realistik, kerana terdapat banyak perkara sedemikian. Oleh itu, ahli matematik melakukan ini: mereka mengambil set mata terhingga, membinanya satah koordinat dan lihat garisan yang digariskan oleh titik-titik ini. Jika kontur garisan ini kelihatan agak jelas (seperti yang berlaku untuk kita, katakan, dalam contoh 1 dari § 28), maka garisan ini dilukis. Adakah ralat mungkin? Bukan tanpanya. Itulah sebabnya kita perlu belajar matematik lebih dan lebih mendalam supaya kita mempunyai cara untuk mengelakkan kesilapan.

Mari cuba, lihat Rajah 54, untuk menerangkan sifat geometri parabola.

Pertama sekali, kami perhatikan bahawa parabola kelihatan agak cantik kerana ia mempunyai simetri. Sebenarnya, jika anda melukis sebarang garis lurus di atas paksi x selari dengan paksi x, maka garis lurus ini akan memotong parabola pada dua titik yang terletak pada jarak yang sama daripada paksi-y, tetapi sepanjang sisi yang berbeza daripadanya (Rajah 55). Dengan cara ini, perkara yang sama boleh dikatakan mengenai mata yang ditandakan dalam Rajah 54, a:

(1; 1) dan (- 1; 1); (2; 4) dan (-2; 4); C; 9) dan (-3; 9).

Mereka mengatakan bahawa paksi-y ialah paksi simetri parabola y=x2 atau parabola itu simetri mengenai paksi-y.

Kedua, kita perhatikan bahawa paksi simetri seolah-olah memotong parabola kepada dua bahagian, yang biasanya dipanggil cabang parabola.

Ketiga, kita perhatikan bahawa parabola mempunyai titik tunggal, di mana kedua-dua cawangan bertemu dan yang terletak pada paksi simetri parabola - titik (0; 0). Memandangkan keanehannya, ia diberi nama istimewa - bahagian atas parabola.

Keempat apabila satu cabang parabola bersambung di puncak dengan cawangan lain, ini berlaku dengan lancar, tanpa putus; parabola nampaknya "ditekan" ke paksi-x. Biasanya mereka berkata: parabola menyentuh paksi-x.

Sekarang mari kita cuba, melihat Rajah 54, untuk menerangkan beberapa sifat fungsi y = x 2.

Pertama sekali, kita ambil perhatian bahawa y - 0 pada x = 0, y > 0 pada x > 0 dan pada x< 0.

Kedua, kami perhatikan bahawa y nama. = 0, tetapi naib tidak wujud.

Ketiga, kita perhatikan bahawa fungsi y = x 2 berkurangan pada sinar (-°°, 0] - dengan nilai x ini, bergerak di sepanjang parabola dari kiri ke kanan, kita "turun bukit" (lihat Rajah. 55). Fungsi y = x 2 bertambah pada sinar;
b) pada segmen [- 3, - 1.5];
c) pada segmen [- 3, 2].

penyelesaian,

a) Mari kita bina parabola y = x 2 dan pilih bahagian itu yang sepadan dengan nilai pembolehubah x daripada segmen (Rajah 56). Untuk bahagian graf yang dipilih kita dapati pada nama. = 1 (pada x = 1), y maks. = 9 (pada x = 3).

b) Mari kita bina parabola y = x 2 dan pilih bahagian itu yang sepadan dengan nilai pembolehubah x daripada segmen [-3, -1.5] (Rajah 57). Untuk bahagian graf yang dipilih, kita dapati nama y. = 2.25 (pada x = - 1.5), y maks. = 9 (pada x = - 3).

c) Mari kita bina parabola y = x 2 dan pilih bahagian itu yang sepadan dengan nilai pembolehubah x daripada segmen [-3, 2] (Gamb. 58). Untuk bahagian graf yang dipilih, kita dapati y maks = 0 (pada x = 0), y maks. = 9 (pada x = - 3).

Nasihat. Untuk mengelakkan memplot fungsi y - x 2 titik demi titik setiap kali, potong templat parabola daripada kertas tebal. Dengan bantuannya anda akan melukis parabola dengan cepat.

Komen. Dengan menjemput anda menyediakan templat parabola, kami nampaknya menyamakan hak fungsi y = x 2 dan fungsi linear y = kx + m. Lagipun, graf fungsi linear ialah garis lurus, dan untuk menggambarkan garis lurus, pembaris biasa digunakan - ini adalah templat untuk graf fungsi y = kx + m. Jadi biarkan anda mempunyai templat untuk graf fungsi y = x 2.

Contoh 2. Cari titik persilangan parabola y = x 2 dan garis lurus y - x + 2.

Penyelesaian. Mari kita bina dalam satu sistem koordinat parabola y = x 2 dan garis lurus y = x + 2 (Rajah 59). Mereka bersilang pada titik A dan B, dan dari lukisan tidak sukar untuk mencari koordinat titik A dan B ini: untuk titik A kita ada: x = - 1, y = 1, dan untuk titik B kita ada: x - 2, y = 4.

Jawapan: parabola y = x 2 dan garis lurus y = x + 2 bersilang pada dua titik: A (-1; 1) dan B (2; 4).

Nota penting. Sehingga kini, anda dan saya agak berani membuat kesimpulan menggunakan lukisan tersebut. Walau bagaimanapun, ahli matematik tidak terlalu mempercayai lukisan. Setelah menemui dalam Rajah 59 dua titik persilangan parabola dan garis lurus dan setelah menentukan koordinat titik-titik ini menggunakan lukisan, ahli matematik biasanya menyemak dirinya sendiri: sama ada titik (-1; 1) sebenarnya terletak pada kedua-dua garis lurus dan parabola; adakah titik (2; 4) benar-benar terletak pada kedua-dua garis lurus dan parabola?

Untuk melakukan ini, anda perlu menggantikan koordinat titik A dan B ke dalam persamaan garis lurus dan ke dalam persamaan parabola, dan kemudian pastikan bahawa dalam kedua-dua kes kesamaan yang betul diperolehi. Dalam contoh 2, dalam kedua-dua kes persamaan akan menjadi benar. Pemeriksaan ini sering dilakukan terutamanya apabila terdapat keraguan tentang ketepatan lukisan.

Kesimpulannya, kita perhatikan satu perkara harta benda yang menarik parabola, ditemui dan dibuktikan bersama oleh ahli fizik dan ahli matematik.

Jika kita menganggap parabola y = x 2 sebagai skrin, sebagai permukaan pemantulan, dan meletakkan sumber cahaya pada titik itu, maka sinar, dipantulkan daripada parabola skrin, membentuk pancaran cahaya selari (Rajah 60) . Titik itu dipanggil fokus parabola. Idea ini digunakan dalam kereta: permukaan reflektif lampu mempunyai bentuk parabola, dan mentol lampu diletakkan pada titik fokus - kemudian cahaya dari lampu depan merebak cukup jauh.

Perancangan tematik kalendar dalam matematik, video dalam matematik dalam talian, muat turun Matematik di sekolah

A. V. Pogorelov, Geometri untuk gred 7-11, Buku Teks untuk institusi pendidikan

Isi pelajaran nota pelajaran menyokong kaedah pecutan pembentangan pelajaran bingkai teknologi interaktif berlatih tugasan dan latihan bengkel ujian kendiri, latihan, kes, pencarian soalan perbincangan kerja rumah soalan retorik daripada pelajar Ilustrasi audio, klip video dan multimedia gambar, gambar, grafik, jadual, rajah, jenaka, anekdot, jenaka, komik, perumpamaan, pepatah, silang kata, petikan Alat tambah abstrak artikel helah untuk buaian ingin tahu buku teks asas dan kamus tambahan istilah lain Menambah baik buku teks dan pelajaranmembetulkan kesilapan dalam buku teks mengemas kini serpihan dalam buku teks, elemen inovasi dalam pelajaran, menggantikan pengetahuan lapuk dengan yang baharu Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna pelan kalendar selama setahun cadangan metodologi program perbincangan Pelajaran Bersepadu

Fungsi y=x^2 dipanggil fungsi kuadratik. Jadual fungsi kuadratik ialah parabola. Pandangan umum Parabola ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Fungsi kuadratik

Rajah 1. Pandangan umum parabola

Seperti yang dapat dilihat daripada graf, ia adalah simetri tentang paksi Oy. Paksi Oy dipanggil paksi simetri parabola. Ini bermakna jika anda melukis garis lurus pada graf selari dengan paksi Lembu di atas paksi ini. Kemudian ia akan memotong parabola pada dua titik. Jarak dari titik ini ke paksi Oy adalah sama.

Paksi simetri membahagikan graf parabola kepada dua bahagian. Bahagian ini dipanggil cabang parabola. Dan titik parabola yang terletak pada paksi simetri dipanggil puncak parabola. Iaitu, paksi simetri melalui puncak parabola. Koordinat titik ini ialah (0;0).

Sifat asas bagi fungsi kuadratik

1. Pada x =0, y=0, dan y>0 pada x0

2. Nilai minimum fungsi kuadratik mencapai puncaknya. Ymin pada x=0; Ia juga harus diperhatikan bahawa fungsi itu tidak mempunyai nilai maksimum.

3. Fungsi berkurangan pada selang (-∞;0] dan meningkat pada selang)