Graf tenaga keupayaan bagi bandul spring. Getaran percuma

1. Tindakan ke atas jasad daya kenyal yang berkadar dengan sesaran jasad x dari kedudukan keseimbangan dan sentiasa menghala ke arah kedudukan ini.

2. Inersia jasad berayun, yang disebabkan olehnya ia tidak berhenti dalam kedudukan keseimbangan (apabila daya kenyal hilang), tetapi terus bergerak ke arah yang sama.

Ungkapan untuk kekerapan kitaran ialah:

dengan w ialah kekerapan kitaran, k ialah kekukuhan spring, m ialah jisim.

Formula ini menunjukkan bahawa kekerapan ayunan bebas tidak bergantung pada keadaan awal dan sepenuhnya ditentukan oleh ciri-ciri sendiri sistem ayunan itu sendiri - dalam kes ini kekakuan k dan jisim m.

Ungkapan ini mentakrifkan tempoh ayunan bebas bandul spring.

Tamat kerja -

Topik ini kepunyaan:

Kelajuan perjalanan kelajuan tanah purata kelajuan segera/kelajuan memandu

Bahagian kinematik tik mata belajar kinematik huraian matematik pergerakan mata bahan tugas utama kinematik ialah .. tugas utama mekanik ialah menentukan kedudukan badan pada bila-bila masa .. pergerakan mekanikal Ini ialah perubahan kedudukan jasad di angkasa dari semasa ke semasa berbanding dengan jasad lain.

Jika kamu perlu bahan tambahan mengenai topik ini, atau anda tidak menemui apa yang anda cari, kami mengesyorkan menggunakan carian dalam pangkalan data kerja kami:

Apa yang akan kami lakukan dengan bahan yang diterima:

Jika bahan ini ternyata berguna untuk anda, anda boleh menyimpannya ke halaman anda di rangkaian sosial:

Semua topik dalam bahagian ini:

Tenaga gelombang elastik
vektor ketumpatan fluks tenaga bidang fizikal; secara berangka sama dengan tenaga

Hukum Maxwell tentang taburan molekul mengikut halaju gerakan terma
Hukum Maxwell diterangkan oleh beberapa fungsi f(v), dipanggil fungsi taburan halaju molekul. Jika kita membahagikan julat halaju molekul kepada selang kecil yang sama dengan dv, maka

Haba
Haba adalah satu daripada dua yang diketahui sains semula jadi moden, mod pemindahan tenaga - ukuran pemindahan pergerakan tidak teratur. Jumlah tenaga yang dipindahkan dipanggil jumlah haba.

Enjin haba dan mesin penyejukan. Kitaran Carnot
Kitaran Carnot ialah kitaran termodinamik yang ideal. enjin haba Carnot berfungsi

Selamat petang

Semuanya cukup mudah. Sekarang saya boleh katakan beberapa kata majmuk, tetapi kemudian saya akan cuba menerangkan maksudnya. Untuk kesederhanaan pembentangan, kita akan bercakap tentang kes satu dimensi; segala-galanya boleh digeneralisasikan dengan mudah kepada kes yang mempunyai banyak darjah kebebasan.

Jadi, tugas utama mekanik --- untuk mencari pergantungan koordinat badan pada masa, iaitu, sebenarnya, untuk mencari beberapa fungsi yang mengaitkan nilai koordinat tertentu dengan setiap saat masa. Kami menerangkan sebarang pergerakan menggunakan hukum kedua Newton. Undang-undang ini termasuk pecutan, yang merupakan terbitan kedua koordinat badan berkenaan dengan masa, dan daya, yang biasanya bergantung pada koordinat itu sendiri. Juga, daya mungkin bergantung pada kelajuan badan, iaitu, pada terbitan pertama koordinat berkenaan dengan masa. Justeru, dengan titik matematik Dari segi pandangan, hukum kedua Newton mewakili hubungan tertentu antara koordinat, terbitan pertama dan kedua. Hubungan sedemikian dipanggil persamaan pembezaan dalam matematik. Derivatif tertinggi yang termasuk dalam persamaan tersebut ialah yang kedua. Matematik mengatakan bahawa penyelesaian persamaan sedemikian, iaitu bentuk umum fungsi yang memenuhi hubungan kita bergantung pada dua pemalar arbitrari yang tidak dapat ditentukan daripada persamaan. Pemalar sewenang-wenang ini ditentukan berdasarkan kes demi kes, contohnya, melalui apa yang dipanggil keadaan awal. Iaitu, untuk memahami dengan tepat bagaimana badan akan bergerak, anda perlu mengetahui bukan sahaja daya yang bertindak ke atasnya, tetapi juga koordinat dan kelajuan awalnya. Dua pemalar arbitrari dalam penyelesaian dipilih sedemikian rupa sehingga fungsi yang diperolehi oleh kita dan terbitannya (iaitu, kelajuan) dalam detik awal masa telah memberi nilai.

Ia benar-benar keadaan umum. Ingat apabila kita bercakap tentang pergerakan badan dengan pecutan berterusan, untuk menetapkan pergerakan dengan tepat, kita memerlukan tepat dua nombor, koordinat awal dan kelajuan awal.

Perkara yang sama berlaku untuk ayunan. Ayunan bandul tertentu (iaitu bandul dengan frekuensi semula jadi tertentu) juga ditentukan oleh dua nombor. Biasanya, penyelesaian persamaan bandul yang diperoleh daripada hukum kedua Newton ditulis sebagai .

Di sini mereka hanya memainkan peranan pemalar sewenang-wenangnya, yang mesti ditentukan dari keadaan awal. Jom kira kelajuan: . Beritahu kami bahawa dalam momen sifar masa, koordinat dan halaju bandul adalah sama dan . Setelah menyelesaikan sistem persamaan biasa, seseorang boleh mencari ungkapan khusus untuk dan melalui dan .

Saya tidak akan memberikan jawapan kepada kes am jika anda mahu, anda boleh melakukannya sendiri dengan mudah. Saya hanya akan bercakap tentang kes tertentu. Biarkan, sebagai contoh, diketahui bahawa pada saat sifar masa badan berada dalam keseimbangan (iaitu, ), dan kelajuannya adalah sama dengan nilai maksimumnya (iaitu, ). Kemudian kami memperoleh untuk kes tertentu kami bahawa sistem persamaan mengambil bentuk: . Daripada persamaan pertama, ia serta-merta jelas bahawa (sudah tentu, persamaan pertama juga memenuhi syarat , tetapi kemudian penyelesaian kita akan menjadi sifar, tetapi ini tidak sesuai dengan kita). Yang kedua kemudian mengambil bentuk: , dari mana . Oleh itu, kami telah menemui ungkapan untuk kedua-dua pemalar. Akibatnya, kami mempunyai: Pada masa yang sama, untuk pecutan ternyata. Jika sekarang kita menyatakan dengan ungkapan yang lebih biasa untuk amplitud , kita mendapat formula yang lebih biasa.

Mari kita pertimbangkan satu lagi contoh. Sekarang biarkan kargo masuk kedudukan yang melampau, iaitu kelajuannya ialah sifar. Kami akan menganggap bahawa ia menyimpang dari sisi negatif paksi, iaitu, koordinatnya ialah . Kemudian persamaan untuk keadaan awal ambil borang: daripada persamaan kedua. Dari yang pertama: . Oleh itu, untuk koordinat mempunyai: (kesamaan kedua menggunakan formula pengurangan). Untuk kelajuan: . Untuk mempercepatkan: .

Formula khusus bergantung pada data awal. Mengambil kira keberkalaan sinus dan kosinus, menggunakan formula yang berbeza cast, anda boleh mengalih keluar tanda daripada formula, menambah fasa, dsb.

Bagi formula dalam masalah, tidak ada , kekerapan, kerana nilai khususnya digantikan:

Jasad di bawah tindakan daya kenyal, tenaga potensi yang berkadar dengan kuasa dua sesaran jasad dari kedudukan keseimbangan:

di mana k ialah kekukuhan spring.

Dengan getaran mekanikal bebas, tenaga kinetik dan potensi berubah secara berkala. Pada sisihan maksimum badan dari kedudukan keseimbangan, halajunya, dan oleh itu tenaga kinetik, lenyap. Dalam kedudukan ini, tenaga potensi badan berayun mencapai nilai maksimumnya. Untuk beban pada spring yang terletak secara mendatar, tenaga keupayaan ialah tenaga ubah bentuk anjal spring.

Apabila jasad dalam pergerakannya melepasi kedudukan keseimbangan, kelajuannya adalah maksimum. Pada masa ini, ia mempunyai tenaga kinetik maksimum dan potensi minimum. Meningkat tenaga kinetik berlaku kerana penurunan tenaga keupayaan. Dengan pergerakan selanjutnya, tenaga potensi mula meningkat disebabkan oleh penurunan tenaga kinetik, dsb.

Oleh itu, semasa ayunan harmonik, perubahan berkala tenaga kinetik kepada tenaga berpotensi dan sebaliknya berlaku.

Jika tiada geseran dalam sistem ayunan, maka jumlahnya tenaga mekanikal kekal tidak berubah semasa getaran bebas.

Untuk beban spring:

Permulaan pergerakan ayunan badan dijalankan menggunakan butang Mula. Butang Berhenti membolehkan anda menghentikan proses pada bila-bila masa.

Secara grafik menunjukkan hubungan antara tenaga potensi dan kinetik semasa ayunan pada bila-bila masa. Perhatikan bahawa jika tiada pengecilan jumlah tenaga sistem ayunan kekal tidak berubah, tenaga potensi mencapai maksimum pada sisihan maksimum badan dari kedudukan keseimbangan, dan tenaga kinetik mengambil nilai maksimum apabila badan melepasi kedudukan keseimbangan.

Pendulum spring ialah titik jisim material, dilekatkan pada spring tanpa berat yang benar-benar kenyal dengan kekakuan. . Terdapat dua kes paling mudah: mendatar (Rajah 15, A) dan menegak (Rajah 15, b) bandul.

A) Bandul mendatar(Gamb. 15a). Apabila mengalihkan kargo
daripada keseimbangan mengikut jumlah bertindak ke atasnya dalam arah mendatar. memulihkan daya keanjalan
(undang-undang Hooke).

Adalah diandaikan bahawa sokongan mendatar di mana beban slaid
semasa getarannya, ia benar-benar licin (tiada geseran).

b) bandul menegak(rajah 15, b). Kedudukan keseimbangan dalam kes ini dicirikan oleh keadaan:

di mana - magnitud daya kenyal bertindak atas beban
apabila spring diregangkan secara statik di bawah pengaruh graviti
.

Rajah 15. Bandul musim bunga: A- mendatar dan b– menegak

Jika spring diregangkan dan beban dilepaskan, ia akan mula berayun secara menegak. Jika offset pada satu ketika adalah
, maka daya kenyal kini akan ditulis sebagai
.

Dalam kedua-dua kes yang dipertimbangkan, pendulum spring melakukan ayunan harmonik dengan tempoh

(27)

dan kekerapan kitaran

. (28)

Menggunakan contoh mempertimbangkan bandul spring, kita boleh membuat kesimpulan bahawa ayunan harmonik adalah pergerakan yang disebabkan oleh daya yang meningkat mengikut perkadaran dengan anjakan. . Oleh itu, jika daya pemulih kelihatan seperti hukum Hooke
(dia mendapat nama itudaya separa anjal ), maka sistem mesti melakukan ayunan harmonik. Pada saat melepasi kedudukan keseimbangan, daya pemulihan tidak bertindak ke atas jasad, walau bagaimanapun, jasad melangkau kedudukan keseimbangan dengan inersia dan daya pemulihan menukar arah ke arah yang bertentangan.

Bandul matematik

Rajah.16. Bandul matematik

Bandul matematik ialah sistem ideal dalam bentuk titik material yang digantung pada benang panjang yang tidak dapat dipanjangkan tanpa berat

, yang melakukan ayunan kecil di bawah tindakan graviti (Rajah 16).

Ayunan bandul sedemikian pada sudut pesongan kecil
(tidak melebihi 5º) boleh dianggap harmonik, dan kekerapan kitaran bandul matematik:

, (29)

dan tempoh:

. (30)

2.3. Tenaga badan semasa getaran harmonik

Tenaga yang diberikan kepada sistem berayun semasa tolakan awal akan diubah secara berkala: tenaga potensi spring yang cacat akan ditukar kepada tenaga kinetik beban bergerak dan sebaliknya.

Biarkan pendulum spring melakukan ayunan harmonik dengan fasa awal
, iaitu
(rajah 17).

Rajah.17. Undang-undang pemuliharaan tenaga mekanikal

apabila bandul spring berayun

Pada sisihan maksimum beban dari kedudukan keseimbangan, jumlah tenaga mekanikal bandul (tenaga spring cacat dengan kekakuan ) adalah sama dengan
. Apabila melalui kedudukan keseimbangan (
) tenaga keupayaan spring akan menjadi sama dengan sifar, dan jumlah tenaga mekanikal sistem ayunan akan ditentukan sebagai
.

Rajah 18 menunjukkan pergantungan kinetik, potensi dan jumlah tenaga dalam kes di mana ayunan harmonik diterangkan oleh fungsi trigonometri sinus (garis putus-putus) atau kosinus (garis pepejal).

Rajah 18. Graf pergantungan masa kinetik

dan tenaga berpotensi untuk ayunan harmonik

Daripada graf (Rajah 18) ia menunjukkan bahawa kekerapan perubahan dalam tenaga kinetik dan potensi adalah dua kali lebih tinggi daripada frekuensi semula jadi. getaran harmonik.

(1.7.1)

Jika bola disesarkan dari kedudukan keseimbangan dengan jarak x, maka pemanjangan spring akan menjadi sama dengan Δl 0 + x. Kemudian daya yang terhasil akan mengambil nilai:

Dengan mengambil kira keadaan keseimbangan (1.7.1), kami memperoleh:

Tanda tolak menunjukkan bahawa anjakan dan daya berada dalam arah yang bertentangan.

Daya elastik f mempunyai sifat berikut:

Ia adalah berkadar dengan anjakan bola dari kedudukan keseimbangan;
Ia sentiasa diarahkan ke arah kedudukan keseimbangan.

Untuk memaklumkan sistem anjakan x, adalah perlu untuk melakukan kerja melawan daya kenyal:

ini kerja dalam proses untuk mencipta rizab tenaga berpotensi sistem:

Di bawah tindakan daya kenyal, bola akan bergerak ke arah kedudukan keseimbangan dengan kelajuan yang semakin meningkat. Oleh itu, tenaga potensi sistem akan berkurangan, tetapi tenaga kinetik akan meningkat (kita mengabaikan jisim spring). Setelah mencapai kedudukan keseimbangan, bola akan terus bergerak secara inersia. Ini adalah gerakan perlahan dan akan berhenti apabila tenaga kinetik ditukar sepenuhnya kepada potensi. Kemudian proses yang sama akan diteruskan apabila bola masuk arah terbalik. Jika tiada geseran dalam sistem, bola akan berayun selama-lamanya.

Persamaan hukum kedua Newton dalam kes ini ialah:

Mari kita ubah persamaan seperti ini:

Memperkenalkan tatatanda , kita memperoleh homogen linear persamaan pembezaan pesanan kedua:

Dengan penggantian langsung, adalah mudah untuk mengesahkannya keputusan bersama persamaan (1.7.8) mempunyai bentuk:

dengan a ialah amplitud dan φ ialah fasa awal ayunan - pemalar. Oleh itu, ayunan bandul spring adalah harmonik (Rajah 1.7.2).

nasi. 1.7.2. ayunan harmonik

Disebabkan oleh keberkalaan kosinus, pelbagai keadaan sistem ayunan diulang selepas tempoh masa tertentu (tempoh ayunan) T, di mana fasa ayunan menerima kenaikan 2π. Anda boleh mengira tempoh menggunakan persamaan:

dari mana berikut:

Bilangan ayunan per unit masa dipanggil frekuensi:

Unit kekerapan ialah kekerapan ayunan sedemikian, tempohnya ialah 1 s. Unit ini dipanggil 1 Hz.

Daripada (1.7.11) ia berikutan bahawa:

Oleh itu, ω 0 ialah bilangan ayunan yang dibuat dalam 2π saat. Nilai ω 0 dipanggil frekuensi bulat atau kitaran. Menggunakan (1.7.12) dan (1.7.13), kami menulis:

Membezakan () berkenaan dengan masa, kita memperoleh ungkapan untuk kelajuan bola:

Daripada (1.7.15) ia mengikuti bahawa kelajuan juga berubah mengikut undang-undang harmonik dan mendahului peralihan fasa sebanyak ½π. Membezakan (1.7.15), kita mendapat pecutan:

1.7.2. Bandul matematik

Bandul matematik dipanggil sistem ideal yang terdiri daripada yang tidak dapat diperluaskan benang tanpa berat di mana jasad digantung, keseluruhan jisimnya tertumpu pada satu titik.

Sisihan bandul dari kedudukan keseimbangan dicirikan oleh sudut φ yang dibentuk oleh benang dengan menegak (Rajah 1.7.3).

nasi. 1.7.3. Bandul matematik

Apabila bandul menyimpang daripada kedudukan keseimbangan, tork, yang cenderung untuk mengembalikan bandul ke kedudukan keseimbangannya:

Mari kita tulis persamaan dinamik untuk bandul gerakan berputar, memandangkan momen inersianya adalah sama dengan ml 2:

Persamaan ini boleh dibawa ke bentuk:

Mengehadkan diri kita kepada kes turun naik kecil sinφ ≈ φ dan memperkenalkan tatatanda:

persamaan (1.7.19) boleh diwakili seperti berikut:

yang bertepatan dalam bentuk dengan persamaan ayunan bandul spring. Oleh itu, penyelesaiannya akan menjadi ayunan harmonik:

Daripada (1.7.20) ia mengikuti bahawa kekerapan ayunan kitaran bandul matematik bergantung pada panjang dan pecutannya jatuh bebas. Menggunakan formula untuk tempoh ayunan () dan (1.7.20), kita memperoleh hubungan yang diketahui:

1.7.3. bandul fizikal

Bandul fizikal dipanggil padu mampu berayun di sekeliling titik tetap, yang tidak bertepatan dengan pusat inersia. Dalam kedudukan keseimbangan, pusat inersia bandul C berada di bawah titik ampaian O pada menegak yang sama (Rajah 1.7.4).

nasi. 1.7.4. bandul fizikal

Apabila bandul menyimpang dari kedudukan keseimbangan dengan sudut φ, timbul tork yang cenderung untuk mengembalikan bandul ke kedudukan keseimbangan:

di mana m ialah jisim bandul, l ialah jarak antara titik ampaian dan pusat inersia bandul.

Mari kita tulis persamaan untuk dinamik gerakan putaran untuk bandul, dengan mengambil kira bahawa momen inersia adalah sama dengan I:

Untuk turun naik kecil sinφ ≈ φ. Kemudian, memperkenalkan notasi:

yang juga bertepatan dalam bentuk dengan persamaan ayunan bandul spring. Daripada persamaan (1.7.27) dan (1.7.26) ia mengikuti bahawa bagi sisihan kecil bandul fizikal dari kedudukan keseimbangan, ia melakukan ayunan harmonik, kekerapannya bergantung pada jisim bandul, momen inersia dan jarak antara paksi putaran dan pusat inersia. Menggunakan (1.7.26), anda boleh mengira tempoh ayunan:

Membandingkan formula (1.7.28) dan () kita mendapat bahawa bandul matematik dengan panjang:

akan mempunyai tempoh ayunan yang sama seperti bandul fizikal yang dianggap. Kuantiti (1.7.29) dipanggil panjang dikurangkan bandul fizikal. Oleh itu, panjang terkecil bandul fizik ialah panjang bandul matematik sedemikian, tempoh ayunan yang sama dengan tempoh ayunan bandul fizik tertentu.

Titik pada garis lurus yang menghubungkan titik ampaian dengan pusat inersia, yang terletak pada jarak panjang yang dikurangkan dari paksi putaran, dipanggil pusat ayunan bandul fizikal. Menurut teorem Steiner, momen inersia bandul fizik ialah:

di mana I 0 ialah momen inersia mengenai pusat inersia. Menggantikan (1.7.30) kepada (1.7.29), kita dapat:

Oleh itu, panjang yang dikurangkan sentiasa lebih besar daripada jarak antara titik ampaian dan pusat inersia bandul, supaya titik ampaian dan pusat ayunan terletak di sepanjang sisi yang berbeza dari pusat inersia.

1.7.4. Tenaga getaran harmonik

Semasa ayunan harmonik, terdapat perubahan bersama berkala tenaga kinetik jasad berayun E k dan tenaga keupayaan E p, disebabkan oleh tindakan daya kuasi-anjal. Daripada tenaga ini, jumlah tenaga E sistem ayunan ditambah:

Mari tulis ungkapan terakhir

Tetapi k \u003d mω 2, jadi kita mendapat ungkapan untuk jumlah tenaga badan berayun

Oleh itu, jumlah tenaga ayunan harmonik adalah malar dan berkadar dengan kuasa dua amplitud dan kuasa dua frekuensi bulatan ayunan.

1.7.5. getaran yang dilembapkan .

Apabila mengkaji ayunan harmonik, daya geseran dan rintangan yang wujud dalam sistem sebenar. Tindakan daya ini dengan ketara mengubah sifat gerakan, ayunan menjadi pudar.

Jika, sebagai tambahan kepada daya kuasi-anjal, daya rintangan medium (daya geseran) bertindak dalam sistem, maka hukum kedua Newton boleh ditulis seperti berikut:

di mana r ialah pekali geseran, yang mencirikan sifat medium untuk menahan pergerakan. Kami menggantikan (1.7.34b) kepada (1.7.34a):

Graf fungsi ini ditunjukkan dalam Rajah 1.7.5 sebagai lengkung pepejal 1, dan garis putus-putus 2 menunjukkan perubahan amplitud:

Pada geseran yang sangat rendah, tempoh ayunan lembap adalah hampir dengan tempoh tidak lembap ayunan bebas(1.7.35.b)

Kadar penurunan dalam amplitud ayunan ditentukan oleh faktor redaman: semakin besar β, semakin kuat kesan melambatkan medium dan semakin cepat amplitud berkurangan. Dalam amalan, tahap pengecilan sering dicirikan pengurangan redaman logaritma, bermakna dengan ini nilai yang sama dengan logaritma semula jadi nisbah dua amplitud ayunan berturut-turut dipisahkan oleh selang masa yang sama dengan tempoh ayunan:

;

Oleh itu, faktor redaman dan penurunan logaritma pengecilan disambungkan oleh pergantungan yang agak mudah:

Dengan redaman yang kuat, dapat dilihat dari formula (1.7.37) bahawa tempoh ayunan adalah kuantiti khayalan. Pergerakan dalam kes ini sudah dipanggil aperiodik. Graf gerakan aperiodik ditunjukkan dalam Rajah. 1.7.6. Berterusan dan ayunan yang dilembapkan dipanggil sendiri atau percuma. Ia timbul disebabkan oleh anjakan awal atau kelajuan awal dan dilakukan semasa ketiadaan pengaruh luar daripada tenaga yang disimpan pada mulanya.

1.7.6. Getaran paksa. Resonans .

terpaksa ayunan adalah yang berlaku dalam sistem dengan penyertaan kuasa luar, yang berbeza mengikut undang-undang berkala.

Mari kita andaikan bahawa pada titik material sebagai tambahan kepada daya kuasi-anjal dan daya geseran, daya penggerak luaran bertindak

di mana F 0 - amplitud; ω - kekerapan pekeliling ayunan daya penggerak. Kami menyusun persamaan pembezaan (hukum kedua Newton):

Amplitud ayunan paksa (1.7.39) adalah berkadar terus dengan amplitud daya penggerak dan mempunyai ketagihan yang kompleks pada pekali pengecilan medium dan frekuensi bulatan ayunan semula jadi dan paksa. Jika ω 0 dan β diberikan untuk sistem, maka amplitud getaran paksa mempunyai nilai maksimum pada beberapa frekuensi tertentu paksaan dipanggil bergema.

Fenomena itu sendiri - mencapai amplitud maksimum untuk diberi ω 0 dan β - dipanggil resonans.

nasi. 1.7.7. Resonans

Dengan ketiadaan rintangan, amplitud ayunan paksa pada resonans adalah besar tak terhingga. Dalam kes ini, daripada ω res = ω 0, i.e. resonans dalam sistem tanpa redaman berlaku apabila frekuensi daya penggerak bertepatan dengan frekuensi ayunan semula jadi. Kebergantungan grafik amplitud ayunan paksa pada frekuensi bulat daya penggerak pada makna yang berbeza pekali pengecilan ditunjukkan dalam rajah. 5.

Resonans mekanikal boleh memberi manfaat dan memudaratkan. Kesan berbahaya resonans terutamanya disebabkan oleh kemusnahan yang boleh menyebabkannya. Jadi, dalam teknologi, dengan mengambil kira getaran yang berbeza, adalah perlu untuk menyediakan kemungkinan kejadian keadaan bergema, jika tidak mungkin terdapat kemusnahan dan bencana. Badan biasanya mempunyai beberapa frekuensi getaran semula jadi dan, oleh itu, beberapa frekuensi resonans.

Sekiranya pekali pengecilan organ dalaman seseorang tidak akan besar, maka fenomena resonans yang timbul dalam organ ini di bawah pengaruh getaran luaran atau bunyi ombak, boleh membawa kepada akibat yang tragis: pecah organ, kerosakan pada ligamen, dsb. Walau bagaimanapun, fenomena sedemikian boleh dikatakan tidak diperhatikan di bawah pengaruh luaran yang sederhana, kerana pekali pengecilan sistem biologi agak besar. Walau bagaimanapun, fenomena resonans di bawah tindakan luaran getaran mekanikal berlaku semasa organ dalaman. Ini, nampaknya, adalah salah satu sebab kesan negatif ayunan dan getaran infrasonik pada tubuh manusia.

1.7.7. Ayunan diri

Terdapat juga sistem berayun sedemikian yang sendiri mengawal pengisian semula tenaga terbuang secara berkala dan oleh itu boleh berubah-ubah untuk masa yang lama.

Ayunan tak teredam yang wujud dalam mana-mana sistem tanpa adanya pengaruh luaran yang berubah-ubah dipanggil ayunan diri, dan sistem itu sendiri berayun sendiri.

Amplitud dan kekerapan ayunan sendiri bergantung pada sifat dalam sistem ayunan sendiri itu sendiri; berbeza dengan ayunan paksa, ia tidak ditentukan oleh pengaruh luar.

Dalam banyak kes, sistem berayun sendiri boleh diwakili oleh tiga elemen utama (Rajah 1.7.8): 1) sistem ayunan sebenar; 2) sumber tenaga; 3) pengawal selia bekalan tenaga kepada sistem ayunan sebenar. Sistem berayun mengikut saluran maklum balas(Gamb. 6) memberi kesan kepada pengawal selia, memaklumkan kepada pengawal selia tentang keadaan sistem ini.

Contoh klasik sistem ayunan diri mekanikal ialah jam tangan di mana bandul atau neraca ialah sistem berayun, spring atau berat dinaikkan ialah sumber tenaga, dan penambat ialah pengatur input tenaga daripada sumber ke dalam sistem ayunan.

banyak sistem biologi(jantung, paru-paru, dll.) berayun sendiri. Contoh biasa sistem ayunan sendiri elektromagnet ialah penjana ayunan sendiri.

1.7.8. Penambahan getaran dalam satu arah

Pertimbangkan penambahan dua ayunan harmonik pada arah yang sama dan frekuensi yang sama:

x 1 \u003d a 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 \u003d a 2 cos (ω 0 t + α 2).

Ayunan harmonik boleh ditentukan menggunakan vektor, panjangnya sama dengan amplitud ayunan, dan arah membentuk sudut dengan beberapa paksi sama dengan fasa awal ayunan. Jika vektor ini berputar dengan halaju sudutω 0 , maka unjurannya pada paksi yang dipilih akan berubah mengikut hukum harmonik. Berdasarkan ini, kami memilih beberapa paksi X dan mewakili ayunan menggunakan vektor a 1 dan a 2 (Rajah 1.7.9).

Daripada Rajah 1.7.6 berikutan itu

Skim di mana ayunan digambarkan secara grafik sebagai vektor pada satah dipanggil gambar rajah vektor.

Ia mengikuti formula 1.7.40. Bahawa jika perbezaan fasa kedua-dua ayunan adalah sama dengan sifar, amplitud ayunan yang terhasil adalah sama dengan jumlah amplitud ayunan yang ditambah. Jika perbezaan fasa ayunan yang ditambah adalah sama dengan , maka amplitud ayunan yang terhasil adalah sama dengan . Jika frekuensi ayunan yang ditambah tidak sama, maka vektor yang sepadan dengan ayunan ini akan berputar pada kelajuan yang berbeza. Dalam kes ini, vektor yang terhasil berdenyut dalam magnitud dan berputar pada kadar tidak tetap. Akibatnya, sebagai hasil penambahan, bukan ayunan harmonik diperoleh, tetapi proses ayunan yang kompleks.

1.7.9. berdegup

Pertimbangkan penambahan dua ayunan harmonik pada arah yang sama, sedikit berbeza dalam kekerapan. Biarkan kekerapan salah satu daripadanya sama dengan ω , dan kekerapan ω + ∆ω kedua, dan ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 \u003d a cos ωt, x 2 \u003d a cos (ω + ∆ω) t.

Menambah ungkapan ini dan menggunakan formula untuk jumlah kosinus, kita dapat:

Ayunan (1.7.41) boleh dianggap sebagai ayunan harmonik dengan frekuensi ω, amplitud yang berbeza mengikut undang-undang. Fungsi ini adalah berkala dengan kekerapan dua kali kekerapan ungkapan di bawah tanda modul, i.e. dengan kekerapan ∆ω. Oleh itu, kekerapan denyutan amplitud, dipanggil frekuensi denyutan, adalah sama dengan perbezaan dalam frekuensi ayunan tambahan.

1.7.10. Penambahan getaran saling berserenjang (angka Lissajous)

Jika titik bahan berayun di sepanjang paksi-x dan di sepanjang paksi-y, maka ia akan bergerak di sepanjang beberapa lintasan lengkung. Biarkan kekerapan ayunan adalah sama dan fasa awal ayunan pertama adalah sama dengan sifar, kemudian kita tulis persamaan ayunan dalam bentuk:

Persamaan (1.7.43) ialah persamaan elips, yang paksinya berorientasikan sewenang-wenangnya berbanding paksi koordinat x dan y. Orientasi elips dan saiz separuh paksinya bergantung pada amplitud a dan b dan perbezaan fasa α. Mari kita pertimbangkan beberapa kes khas:

(m=0, ±1, ±2, …). Dalam kes ini, persamaan mempunyai bentuk

Ini ialah persamaan elips, paksi yang bertepatan dengan paksi koordinat, dan separuh paksinya adalah sama dengan amplitud (Rajah 1.7.12). Jika amplitud adalah sama, maka elips menjadi bulatan.

Rajah.1.7.12

Jika frekuensi ayunan yang saling berserenjang berbeza dengan jumlah yang kecil ∆ω, ia boleh dianggap sebagai ayunan frekuensi yang sama, tetapi dengan perbezaan fasa yang berubah perlahan. Dalam kes ini, persamaan ayunan boleh ditulis

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

dan ungkapan ∆ωt+α dianggap sebagai perbezaan fasa yang perlahan-lahan berubah mengikut masa mengikut hukum linear. Pergerakan yang terhasil dalam kes ini mengikuti lengkung yang berubah perlahan-lahan, yang akan berturut-turut mengambil bentuk sepadan dengan semua nilai perbezaan fasa dari -π hingga +π.

Jika frekuensi ayunan yang saling berserenjang tidak sama, maka trajektori gerakan yang terhasil mempunyai bentuk lengkung yang agak kompleks yang disebut Angka Lissajous. Biarkan, sebagai contoh, frekuensi ayunan tambahan dikaitkan sebagai 1 : 2 dan beza fasa π/2. Kemudian persamaan ayunan mempunyai bentuk

x=a cos ωt, y=b cos.

Semasa di sepanjang paksi-x, titik itu berjaya bergerak dari satu kedudukan melampau ke satu lagi, sepanjang paksi-y, meninggalkan kedudukan sifar, ia berjaya mencapai satu kedudukan melampau, kemudian yang lain dan kembali. Pandangan lengkung ditunjukkan dalam rajah. 1.7.13. Lengkung dengan nisbah frekuensi yang sama, tetapi perbezaan fasa sama dengan sifar ditunjukkan dalam Rajah 1.7.14. Nisbah frekuensi ayunan tambahan adalah songsang kepada nisbah bilangan titik persilangan angka Lissajous dengan garis lurus selari dengan paksi koordinat. Oleh itu, dengan kemunculan angka Lissajous, seseorang boleh menentukan nisbah frekuensi ayunan tambahan atau frekuensi yang tidak diketahui. Jika salah satu frekuensi diketahui.

Rajah.1.7.13

Rajah.1.7.14

Semakin hampir kepada perpaduan pecahan rasional yang menyatakan nisbah frekuensi getaran, semakin kompleks angka Lissajous yang terhasil.

1.7.11. Penyebaran gelombang dalam medium elastik

Jika di mana-mana tempat getaran medium elastik (cecair pepejal atau gas) zarahnya teruja, maka disebabkan oleh interaksi antara zarah, getaran ini akan merambat dalam medium dari zarah ke zarah dengan kelajuan tertentu υ. proses perambatan getaran di angkasa dipanggil gelombang.

Zarah-zarah medium di mana gelombang merambat tidak terlibat oleh gelombang dalam gerakan translasi, mereka hanya berayun di sekitar kedudukan keseimbangannya.

Bergantung pada arah ayunan zarah berkenaan dengan arah di mana gelombang merambat, terdapat membujur dan melintang ombak. Dalam gelombang longitudinal, zarah-zarah medium berayun sepanjang perambatan gelombang. Dalam gelombang melintang, zarah-zarah medium berayun dalam arah yang berserenjang dengan arah perambatan gelombang. Gelombang melintang elastik boleh timbul hanya dalam medium dengan rintangan ricih. Oleh itu, dalam media cecair dan gas, hanya gelombang longitudinal boleh berlaku. Dalam medium pepejal, kejadian kedua-dua gelombang membujur dan melintang adalah mungkin.

Pada rajah. 1.7.12 menunjukkan pergerakan zarah semasa perambatan dalam medium gelombang melintang. Nombor 1, 2, dsb. menunjukkan zarah yang ketinggalan di belakang satu sama lain dengan jarak yang sama dengan (¼ υT), i.e. dengan jarak yang dilalui oleh gelombang dalam suku tempoh ayunan yang dibuat oleh zarah. Pada masa ini diambil sebagai sifar, gelombang, merambat sepanjang paksi dari kiri ke kanan, mencapai zarah 1, akibatnya zarah mula bergerak ke atas dari kedudukan keseimbangan, menyeret zarah seterusnya dengannya. Selepas satu perempat tempoh, zarah 1 mencapai kedudukan keseimbangan paling atas zarah 2. Selepas satu perempat lagi tempoh, bahagian pertama akan melepasi kedudukan keseimbangan, bergerak ke arah dari atas ke bawah, zarah kedua akan mencapai yang paling atas kedudukan, dan zarah ketiga akan mula bergerak ke atas dari kedudukan keseimbangan. Pada saat masa bersamaan dengan T, zarah pertama akan melengkapkan kitaran ayunan lengkap dan akan berada dalam keadaan pergerakan yang sama seperti momen permulaan. Gelombang pada masa T, setelah melepasi laluan (υT), akan mencapai zarah 5.

Pada Rajah. 1.7.13 menunjukkan pergerakan zarah semasa perambatan dalam medium gelombang membujur. Semua pertimbangan mengenai kelakuan zarah dalam gelombang melintang juga boleh digunakan untuk kes ini dengan anjakan ke atas dan ke bawah digantikan dengan anjakan ke kanan dan kiri.

Ia dapat dilihat daripada rajah bahawa semasa perambatan gelombang membujur dalam medium, pemeluwapan berselang-seli dan jarang berlaku zarah dicipta (tempat pemeluwapan dibulatkan dalam rajah dengan garis putus-putus), bergerak ke arah perambatan gelombang dengan kelajuan υ.

nasi. 1.7.15

nasi. 1.7.16

Pada rajah. 1.7.15 dan 1.7.16 menunjukkan ayunan zarah yang kedudukan dan keseimbangannya terletak pada paksi x. Pada hakikatnya, bukan sahaja zarah berayun di sepanjang paksi x, tetapi himpunan zarah yang tertutup dalam isipadu tertentu. Penyebaran dari sumber ayunan, proses gelombang meliputi lebih banyak bahagian ruang, lokus titik, yang ayunan sampai pada masa t, dipanggil hadapan gelombang(atau muka gelombang). Hadapan gelombang ialah permukaan yang memisahkan bahagian ruang yang telah terlibat dalam proses gelombang daripada kawasan di mana ayunan belum timbul.

Lokus titik berayun dalam fasa yang sama dipanggil permukaan ombak . Permukaan gelombang boleh dilukis melalui mana-mana titik dalam ruang yang diliputi oleh proses gelombang. Akibatnya, terdapat bilangan permukaan gelombang yang tidak terhingga, manakala terdapat hanya satu hadapan gelombang pada bila-bila masa. Permukaan gelombang kekal pegun (mereka melalui kedudukan keseimbangan zarah yang berayun dalam fasa yang sama ). Muka gelombang sentiasa bergerak.

Permukaan gelombang boleh dalam sebarang bentuk. Dalam kes yang paling mudah, mereka mempunyai bentuk satah atau sfera. Sehubungan itu, gelombang dalam kes ini dipanggil rata atau sfera. Dalam gelombang satah, permukaan gelombang ialah satu set satah selari antara satu sama lain, dalam gelombang sfera - satu set sfera sepusat.

nasi. 1.7.17

Biarkan gelombang satah merambat sepanjang paksi x. Kemudian semua titik sfera, kedudukan, keseimbangan yang mempunyai koordinat yang sama x(tetapi perbezaan dalam nilai koordinat y Dan z), berayun dalam fasa yang sama.

Pada Rajah. 1.7.17 menunjukkan lengkung yang memberikan offset ξ daripada kedudukan keseimbangan titik dengan berbeza x pada satu ketika. Lukisan ini tidak boleh diambil sebagai imej gelombang yang boleh dilihat. Rajah menunjukkan graf fungsi ξ (x, t) untuk beberapa tetap titik dalam masa t. Graf sedemikian boleh dibina untuk kedua-dua gelombang membujur dan melintang.

Jarak λ, untuk gelombang pendek merambat dalam masa yang sama dengan tempoh ayunan zarah medium, dipanggil panjang gelombang. Ia adalah jelas bahawa

di mana υ ialah kelajuan gelombang, T ialah tempoh ayunan. Panjang gelombang juga boleh ditakrifkan sebagai jarak antara titik terdekat medium, berayun dengan perbezaan fasa sama dengan 2π (lihat Rajah 1.7.14)

Menggantikan dalam hubungan (1.7.45) T hingga 1/ν (ν ialah kekerapan ayunan), kita memperoleh

Formula ini juga boleh didapati daripada pertimbangan berikut. Dalam satu saat, sumber gelombang melakukan ν ayunan, menghasilkan dalam medium semasa setiap ayunan satu "puncak" dan satu "palung" gelombang. Pada masa sumber melengkapkan ayunan ν -th, "rabung" pertama akan mempunyai masa untuk melalui laluan υ. Akibatnya, ν "puncak" dan "palung" gelombang mesti sesuai dengan panjang υ.

1.7.12. Persamaan gelombang satah

Persamaan gelombang ialah ungkapan yang memberikan anjakan zarah berayun sebagai fungsi koordinatnya x, y, z dan masa t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(bermaksud koordinat kedudukan keseimbangan zarah). Fungsi ini mestilah berkala berkenaan dengan masa t , dan relatif kepada koordinat x, y, z. . Kekalaan dalam masa berikutan daripada fakta bahawa titik dipisahkan antara satu sama lain pada satu jarak λ , turun naik dengan cara yang sama.

Cari jenis fungsi ξ dalam kes gelombang satah, dengan mengandaikan bahawa ayunan adalah harmonik. Untuk memudahkan, kami mengarahkan paksi koordinat supaya paksi x bertepatan dengan arah perambatan gelombang. Kemudian permukaan gelombang akan berserenjang dengan paksi x dan kerana semua titik permukaan gelombang berayun sama, sesaran ξ hanya akan bergantung kepada x Dan t:

ξ = ξ (x, t) .

Rajah.1.7.18

Biarkan ayunan mata terletak di dalam satah x = 0 (Gamb. 1.7.18), mempunyai borang

Mari kita cari jenis ayunan titik dalam satah yang sepadan dengan nilai arbitrari x . Untuk pergi jauh dari kapal terbang x=0 ke satah ini, gelombang mengambil masa ( υ ialah kelajuan perambatan gelombang). Akibatnya, ayunan zarah yang terletak di dalam satah x , akan ketinggalan dalam masa τ daripada getaran zarah dalam satah x = 0 , iaitu akan kelihatan seperti

Jadi, persamaan gelombang satah(membujur, dan melintang), merambat ke arah paksi x , seperti berikut:

Ungkapan ini mentakrifkan hubungan antara masa t dan tempat itu x , di mana fasa mempunyai nilai tetap. Nilai dx/dt yang terhasil memberikan kelajuan di mana nilai fasa yang diberikan bergerak. Membezakan ungkapan (1.7.48), kita perolehi

Persamaan gelombang yang merambat ke arah menurun x :

Apabila memperoleh formula (1.7.53), kami menganggap bahawa amplitud ayunan tidak bergantung pada x . Untuk gelombang satah, ini diperhatikan apabila tenaga gelombang tidak diserap oleh medium. Apabila merambat dalam medium penyerap tenaga, keamatan gelombang secara beransur-ansur berkurangan dengan jarak dari sumber ayunan - pengecilan gelombang diperhatikan. Pengalaman menunjukkan bahawa dalam medium homogen, redaman sedemikian berlaku mengikut undang-undang eksponen:

Masing-masing persamaan gelombang satah, mempertimbangkan redaman, mempunyai bentuk berikut:

(1.7.54)

(a 0 ialah amplitud pada titik-titik satah x = 0).