Ia mempunyai garis pantai terpanjang. Ii tiga fraktal klasik - jinak dengan sempurna

Memandangkan tanah mempunyai ciri di semua peringkat, daripada saiz ratusan kilometer kepada pecahan kecil milimeter dan ke bawah, tiada had yang jelas pada saiz ciri terkecil, dan oleh itu tiada perimeter tanah yang jelas telah direkodkan. Pelbagai anggaran wujud di bawah andaian saiz minimum tertentu.

Contoh paradoks ialah yang terkenal pantai UK. Jika garis pantai UK diukur menggunakan unit fraktal sepanjang 100 km (62 batu), maka panjang garis pantai adalah kira-kira 2,800 km (1,700 batu). Dengan unit 50 km (31 bt), jumlah panjang adalah kira-kira 3,400 km (2,100 bt), kira-kira 600 km (370 bt) lebih lama.

Aspek matematik

Konsep asas panjang berasal dari Jarak Euclidean. Dalam biasa geometri euclidean, garis lurus mewakili jarak terpendek antara dua titik; garisan ini hanya mempunyai satu panjang terhingga. Panjang geodesik pada permukaan sfera, dipanggil panjang bulatan besar, diukur dari permukaan lengkung yang wujud dalam satah yang mengandungi titik akhir laluan dan pusat sfera. Panjang lengkung utama adalah lebih kompleks tetapi juga boleh dikira. Apabila mengukur dengan pembaris, seseorang boleh menganggarkan panjang lengkung dengan menambah jumlah garis lurus yang menghubungkan titik:

Menggunakan beberapa garis lurus yang hampir dengan panjang lengkung akan menghasilkan anggaran yang rendah. Menggunakan garisan yang lebih pendek dan lebih pendek akan menghasilkan jumlah panjang yang menghampiri panjang sebenar lengkung. Nilai tepat panjang ini boleh ditentukan menggunakan kalkulus, cabang matematik yang membolehkan anda mengira jarak yang sangat kecil. Animasi berikut menggambarkan contoh ini:

Walau bagaimanapun, tidak semua lengkung boleh diukur dengan cara ini. Mengikut definisi, lengkung dianggap sebagai fraktal, dengan perubahan kompleks dalam skala pengukuran. Memandangkan lengkung licin semakin hampir kepada nilai yang sama apabila ketepatan pengukuran meningkat, nilai yang diukur bagi fraktal boleh berubah dengan ketara.

panjang" fraktal sebenar" sentiasa cenderung kepada infiniti. Walau bagaimanapun, angka ini berdasarkan idea bahawa ruang boleh dibahagikan kepada ketidakpastian, iaitu tidak terhad. Ini adalah fantasi yang mendasari geometri Euclidean dan berfungsi sebagai model yang berguna dalam pengukuran harian, hampir pasti tidak mencerminkan realiti perubahan "ruang" dan "jarak" pada peringkat atom. Garis pantai berbeza daripada fraktal matematik, ia terbentuk daripada banyak butiran kecil yang mencipta model hanya secara statistik.

Atas sebab praktikal, anda boleh menggunakan dimensi dengan pilihan saiz minimum unit ordinal yang sesuai. Jika garis pantai diukur dalam kilometer, maka variasi kecil adalah lebih kecil daripada satu kilometer dan boleh diabaikan dengan mudah. Untuk mengukur garis pantai dalam sentimeter, perubahan kecil dalam saiz mesti dipertimbangkan. Penggunaan teknik pengukuran yang berbeza untuk unit yang berbeza juga memusnahkan kepercayaan konvensional bahawa bongkah boleh ditukar dengan pendaraban mudah. Kes pantai yang melampau termasuk paradoks fjord di pantai berat Norway, Chile dan pantai Pasifik Amerika Utara.

Sejurus sebelum tahun 1951, Lewis Fry Richardson, dalam kajian tentang kemungkinan kesan panjang sempadan terhadap kemungkinan perang, menyatakan bahawa Portugis melaporkan sempadan mereka yang diukur dengan Sepanyol sebagai 987 km panjang, tetapi Sepanyol melaporkannya sebagai 1214 km. Ini adalah permulaan masalah garis pantai, yang secara matematik sukar untuk diukur kerana ketidakteraturan garis itu sendiri. Kaedah utama untuk menganggarkan panjang sempadan (atau garis pantai) ialah menindih N bilangan segmen yang sama panjang ℓ dengan pembatas pada peta atau foto udara. Setiap hujung segmen mesti berada pada sempadan. Dengan menyiasat percanggahan dalam sempadan, Richardson menemui apa yang kini dipanggil kesan Richardson: jumlah segmen adalah berkadar songsang dengan jumlah panjang segmen. Pada asasnya, lebih pendek pembaris, lebih besar sempadan yang diukur; Ahli geografi Sepanyol dan Portugis hanya mengukur sempadan dengan panjang pemerintah yang berbeza. Akibatnya, Richardson terkejut dengan fakta bahawa, dalam keadaan tertentu, apabila panjang pembaris ℓ cenderung kepada sifar, panjang garis pantai juga cenderung kepada infiniti. Richardson percaya bahawa berdasarkan Geometri Euclid, garis pantai akan sesuai dengan panjang tetap, cara membuat anggaran serupa bentuk geometri biasa. Sebagai contoh, perimeter poligon sekata yang ditulis dalam bulatan menghampiri bulatan apabila bilangan sisi bertambah (dan panjang satu sisi berkurangan). Dalam teori ukuran geometri, lengkung licin seperti bulatan, yang boleh didekati oleh segmen lurus kecil dengan had tertentu, dipanggil lengkung boleh dibetulkan.

Lebih daripada sepuluh tahun selepas Richardson menyelesaikan kerjanya, Benoit Mandelbrot membangunkan satu bidang baru matematik - geometri fraktal untuk menggambarkan kompleks yang tidak boleh dibetulkan dalam alam semula jadi dalam bentuk garis pantai yang tidak berkesudahan. Takrifan sendiri tentang tokoh baru yang menjadi asas untuk penyelidikannya: Saya datang dengan fraktal dari kata sifat Latin " berpecah belah' untuk mencipta corak yang tidak teratur. Jadi masuk akal... bahawa, selain "berpecah-belah"... patah juga harus bermakna "tidak teratur".

Sifat utama fraktal ialah persamaan diri, iaitu konfigurasi umum yang sama muncul pada sebarang skala. Pinggir pantai dianggap sebagai teluk yang berselang-seli dengan tanjung. Dalam situasi hipotesis, pantai tertentu mempunyai sifat persamaan diri ini, tidak kira berapa banyak mana-mana hamparan pantai yang kecil kelihatan dalam pembesaran, corak teluk dan tanjung yang lebih kecil yang serupa ditumpangkan pada teluk dan tanjung yang lebih besar, hingga ke sebutir pasir. . Pada masa yang sama, skala garis pantai serta-merta berubah menjadi benang yang berpotensi panjang tidak terhingga dengan susunan rawak teluk dan tanjung yang terbentuk daripada objek kecil. Di bawah keadaan sedemikian (berbanding dengan lengkung licin), Mandelbrot berpendapat, "panjang garis pantai ternyata menjadi konsep yang sukar difahami yang menyelinap di antara jari mereka yang ingin memahaminya. "Terdapat pelbagai jenis fraktal. Garis pantai dengan parameter yang ditentukan adalah dalam "kategori pertama fraktal, iaitu lengkung dengan dimensi fraktal lebih besar daripada 1." Pernyataan terakhir ini adalah lanjutan Mandelbrot tentang pemikiran Richardson.

Kenyataan Mandelbrot tentang Kesan Richardson:

di mana L, panjang garis pantai, fungsi unit ukuran, ε, dianggarkan dengan ungkapan. F ialah pemalar dan D ialah parameter Richardson. Dia tidak memberikan penjelasan teori, tetapi Mandelbrot mendefinisikan D dengan bentuk bukan integer Dimensi Hausdorff, kemudian - dimensi fraktal. Menyusun semula bahagian kanan ungkapan, kita dapat:

di mana Fε-D sepatutnya ialah bilangan unit ε yang diperlukan untuk mendapatkan L. dimensi fraktal- bilangan dimensi fraktal yang digunakan untuk menganggarkan fraktal: 0 untuk titik, 1 untuk garis, 2 untuk kawasan. D dalam ungkapan adalah antara 1 dan 2, biasanya kurang daripada 1.5 untuk pantai. Dimensi garis pantai pecah tidak memanjang ke satu arah dan tidak mewakili kawasan, tetapi adalah pertengahan. Ini boleh ditafsirkan sebagai garis tebal atau jalur 2ε lebar. Lebih banyak garis pantai yang pecah mempunyai D yang lebih besar, dan oleh itu L yang lebih besar, untuk ε yang sama. Mandelbrot menunjukkan bahawa D tidak bergantung pada ε.

Sumber : http://en.wikipedia.org/wiki/Coast#Coastline_problem

http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox

Terjemahan: Dmitry Shakhov

Contoh paradoks: jika garis pantai UK diukur dalam segmen 100 km, maka panjangnya adalah lebih kurang 2,800 km. Jika segmen 50 km digunakan, maka panjangnya adalah lebih kurang 3,400 km, iaitu 600 km lebih.

Panjang garis pantai bergantung pada cara ia diukur. Oleh kerana selekoh mana-mana saiz boleh dibezakan untuk kawasan tanah, dari ratusan kilometer hingga pecahan milimeter atau kurang, adalah mustahil untuk memilih saiz elemen terkecil yang perlu diambil untuk pengukuran dengan cara yang jelas. Oleh itu, adalah mustahil untuk menentukan dengan jelas perimeter bahagian ini. Terdapat pelbagai anggaran matematik untuk menyelesaikan masalah ini.

Kaedah utama untuk menganggar panjang sempadan atau garis pantai adalah superimposisi N sama panjang l pada peta atau gambar udara menggunakan kompas. Setiap hujung segmen mesti tergolong dalam sempadan yang diukur. Meneroka percanggahan dalam penilaian sempadan, Richardson menemui apa yang dipanggil sekarang Kesan Richardson: Skala ukuran adalah berkadar songsang dengan jumlah panjang semua segmen. Iaitu, semakin pendek pembaris yang digunakan, semakin panjang sempadan yang diukur. Oleh itu, ahli geografi Sepanyol dan Portugis hanya dipandu oleh ukuran skala yang berbeza.

Perkara yang paling menarik untuk Richardson ialah apabila nilainya l cenderung kepada sifar, panjang pantai cenderung kepada infiniti. Pada mulanya, Richardson percaya, berdasarkan geometri Euclidean, bahawa panjang ini akan mencapai nilai tetap, seperti yang berlaku dalam kes angka geometri biasa. Sebagai contoh, perimeter poligon sekata yang ditulis dalam bulatan menghampiri panjang bulatan itu sendiri apabila bilangan sisi bertambah (dan panjang setiap sisi berkurangan). Dalam teori pengukuran geometri, lengkung licin seperti bulatan, yang boleh diwakili lebih kurang sebagai segmen kecil dengan had tertentu, dipanggil lengkung boleh diperbetulkan.

Lebih sedekad selepas Richardson menyiapkan kerjanya, Mandelbrot membangunkan cabang matematik baharu, geometri fraktal, untuk menerangkan kompleks tidak boleh dibetulkan yang wujud dalam alam semula jadi, seperti garis pantai yang tidak berkesudahan. Takrifannya sendiri tentang fraktal sebagai asas penyelidikannya ialah:

Saya membuat kata fraktal, berdasarkan kata adjektif Latin fraktus. Kata kerja Latin yang sepadan frangere bermakna rehat: Cipta serpihan yang tidak teratur. Oleh itu, adalah munasabah bahawa, sebagai tambahan kepada "serpihan", fraktus juga harus bermaksud "tidak teratur".

Sifat utama fraktal ialah persamaan diri, yang terdiri daripada manifestasi angka umum yang sama pada sebarang skala. Pinggir pantai dianggap sebagai selang seli teluk dan tanjung. Secara hipotesis, jika garis pantai tertentu mempunyai sifat persamaan diri, maka tidak kira berapa banyak satu atau bahagian lain berskala, corak teluk dan tanjung yang lebih kecil masih muncul, bertindih pada teluk dan tanjung yang lebih besar, hingga ke butiran pasir. Pada skala sedemikian, garis pantai kelihatan berubah serta-merta, benang yang berpotensi tidak terhingga dengan susunan stokastik teluk dan tanjung. Di bawah keadaan sedemikian (berbanding dengan lengkung licin), Mandelbrot menyatakan: "Panjang garis pantai ternyata menjadi konsep yang tidak dapat dicapai, tergelincir di antara jari mereka yang cuba memahaminya."

di mana panjang garis pantai L ialah fungsi unit ε dan dianggarkan dengan ungkapan di sebelah kanan. F ialah pemalar, D ialah parameter Richardson, bergantung pada garis pantai itu sendiri (Richardson tidak memberikan penjelasan teori untuk kuantiti ini, bagaimanapun, Mandelbrot mendefinisikan D sebagai bentuk bukan integer bagi dimensi Hausdorff, kemudiannya dimensi fraktal. Dalam erti kata lain, D ialah nilai "kekasaran" yang diukur secara praktikal). Menyusun semula bahagian kanan ungkapan, kita dapat:

di mana Fε -D sepatutnya bilangan unit ε yang diperlukan untuk mendapatkan L. Dimensi fraktal ialah bilangan dimensi objek yang digunakan untuk menganggarkan fraktal: 0 untuk satu titik, 1 untuk garis, 2 untuk angka luas. Oleh kerana garis putus yang mengukur panjang pantai tidak memanjang ke satu arah dan pada masa yang sama tidak mewakili kawasan, nilai D dalam ungkapan adalah pertengahan antara 1 dan 2 (biasanya kurang daripada 1.5 untuk pantai) . Ia boleh ditafsirkan sebagai garis tebal atau jalur 2ε lebar. Lebih banyak pantai "pecah" mempunyai nilai D yang lebih besar, dan dengan itu L ternyata lebih panjang untuk ε yang sama. Mandelbrot menunjukkan bahawa D tidak bergantung pada ε.

Secara umum, garis pantai berbeza daripada fraktal matematik kerana ia dibentuk menggunakan banyak butiran kecil yang mencipta corak hanya secara statistik.

Pada hakikatnya, tiada butiran yang lebih kecil daripada 1 cm di garis pantai [ ] . Ini disebabkan oleh hakisan dan fenomena marin yang lain. Di kebanyakan tempat, saiz minimum adalah lebih tinggi. Oleh itu, model fraktal tak terhingga tidak sesuai untuk garis pantai.

Atas sebab praktikal, saiz minimum bahagian dipilih supaya sama dengan susunan unit ukuran. Jadi, jika garis pantai diukur dalam kilometer, maka perubahan kecil dalam garisan, kurang daripada satu kilometer, tidak diambil kira. Untuk mengukur garis pantai dalam sentimeter, semua variasi kecil dalam saiz kira-kira satu sentimeter mesti dipertimbangkan. Walau bagaimanapun, pada skala tertib sentimeter, pelbagai andaian bukan fraktal sewenang-wenangnya mesti dibuat, seperti di mana muara bercantum dengan laut, atau di mana pengukuran mesti dibuat pada watt lebar. Di samping itu, penggunaan kaedah pengukuran yang berbeza untuk unit ukuran yang berbeza tidak membenarkan anda menukar unit ini menggunakan pendaraban mudah.

Untuk menentukan perairan wilayah negeri, apa yang dipanggil selekoh pantai wilayah Kanada British Columbia dibina, yang membentuk lebih daripada 10% daripada panjang garis pantai Kanada (termasuk semua pulau Kepulauan Artik Kanada) - 25,725 km daripada 243,042 km pada jarak linear sama dengan hanya 965 km

Sebelum berkenalan dengan jenis fraktal pertama - iaitu, dengan lengkung yang dimensi fraktalnya melebihi 1 - mari kita pertimbangkan bahagian tipikal beberapa pantai. Jelas sekali, panjangnya tidak boleh kurang daripada jarak garis lurus antara titik permulaan dan penamatnya. Walau bagaimanapun, sebagai peraturan, garis pantai tidak teratur dalam bentuk - ia berliku dan pecah, dan panjangnya, tidak syak lagi, jauh melebihi jarak antara titik ekstrem mereka, diukur dalam garis lurus.

Terdapat banyak cara untuk menganggar panjang garis pantai dengan lebih tepat, dan dalam bab ini kita akan menganalisis sebahagian daripadanya. Pada akhirnya, kita akan sampai pada kesimpulan yang sangat luar biasa: panjang garis pantai adalah konsep yang sangat licin, dan anda tidak boleh merebutnya dengan tangan kosong. Walau apa pun kaedah pengukuran yang kami gunakan, hasilnya sentiasa sama: panjang pantai tipikal adalah sangat panjang dan ditakrifkan secara samar-samar sehingga lebih baik menganggapnya sebagai tidak terhingga. Oleh itu, jika sesiapa mengambilnya dalam kepalanya untuk membandingkan pantai yang berbeza dari segi panjangnya, dia perlu mencari sesuatu sebagai ganti konsep panjang, yang tidak terpakai untuk kes ini.

Dalam bab ini, kita hanya akan mencari pengganti yang sesuai, dan dalam proses pencarian kita tidak akan mengelak daripada membiasakan diri dengan pelbagai bentuk konsep fraktal dimensi, ukuran dan lengkung.

KAEDAH ALTERNATIF PENGUKURAN

Kaedah A. Mari kita tetapkan pembukaan kompas pengukur kepada panjang tertentu, yang kita panggil panjang langkah, dan pergi melalui kompas ini di sepanjang garis pantai yang menarik kepada kita, memulakan setiap langkah baharu pada titik di mana langkah sebelumnya berakhir. Bilangan langkah didarab dengan panjang e akan memberikan kita anggaran panjang pantai. Dari bangku sekolah kita tahu bahawa jika kita mengulangi operasi ini, setiap kali mengurangkan pembukaan kompas, maka kita boleh menjangkakan bahawa nilai akan cepat tergesa-gesa kepada beberapa nilai yang jelas, dipanggil panjang sebenar. Walau bagaimanapun, apa yang berlaku dalam amalan tidak sesuai dengan jangkaan kami. Biasanya, panjang yang diperhatikan cenderung meningkat selama-lamanya.

Sebab bagi tingkah laku ini adalah jelas: jika kita menganggap beberapa semenanjung atau teluk pada peta skala 1/100,000 dan 1/10,000, maka pada peta terakhir kita boleh membezakan dengan jelas semenanjung dan teluk yang lebih kecil yang tidak kelihatan pada yang pertama. Peta kawasan yang sama, dibuat pada skala 1/1000, akan menunjukkan kepada kita semenanjung dan teluk yang lebih kecil, dan sebagainya. Setiap butiran baharu meningkatkan jumlah panjang pantai.

Prosedur di atas menunjukkan bahawa garis pantai adalah terlalu tidak teratur, dan oleh itu panjangnya tidak boleh diwakili secara langsung sebagai jumlah panjang lengkung geometri mudah, yang panjangnya boleh didapati dalam buku panduan. Itu dia, Kaedah A menggantikan garis pantai dengan urutan garis putus yang terdiri daripada bahagian lurus, yang panjangnya boleh kita tentukan.

Kaedah B."Melicinkan" yang sama boleh dicapai dengan cara lain. Bayangkan seseorang berjalan di sepanjang pantai di sepanjang laluan terpendek, trajektori yang tidak meninggalkan air lebih jauh daripada jarak tertentu. Setelah mencapai titik akhir, ia kembali semula, sambil mengurangkan sedikit nilai . Kemudian lagi dan lagi, sehingga, akhirnya, nilai mencapai, katakan, 50 cm. Tidak mungkin untuk mengurangkannya lagi, kerana orang itu terlalu besar dan kekok untuk dapat mengesan trajektori yang lebih terperinci. Ia mungkin membantah kepada saya bahawa butiran kecil yang tidak dapat dicapai ini, pada mulanya, tidak menarik minat manusia serta-merta, dan kedua, ia tertakluk kepada perubahan yang ketara bergantung pada musim dan ketinggian air pasang, sehingga rakaman terperinci mereka. tidak masuk akal sama sekali. Bantahan pertama ini akan dibincangkan kemudian dalam bab ini. Bagi bantahan kedua, ia boleh dinetralkan dengan mengurung diri di pantai berbatu ketika air surut dan air tenang. Pada dasarnya, seseorang boleh mengesan lengkung anggaran yang lebih terperinci dengan memanggil tetikus untuk mendapatkan bantuan, kemudian semut, dan sebagainya. Dan sekali lagi, apabila pejalan kaki kami mengikut laluan yang lebih dekat dengan air, jarak yang perlu dilaluinya meningkat selama-lamanya.

Kaedah C. Kaedah B membayangkan asimetri tertentu antara air dan pantai. Untuk mengelakkan asimetri ini, Kantor mencadangkan untuk menganggap garis pantai seolah-olah melalui kanta yang tidak fokus, akibatnya setiap titik bertukar menjadi titik bulat jejari . Dalam erti kata lain, Kantor menganggap semua titik - di darat dan di atas air - jarak dari mana ke garis pantai itu sendiri tidak melebihi . Titik-titik ini membentuk sejenis sosej atau reben lebar (contoh "sosej" sedemikian - walaupun dalam konteks yang berbeza - ditunjukkan dalam Rajah 56). Kami mengukur luas pita yang dihasilkan dan membahagikannya dengan . Jika garis pantai adalah lurus, maka pita itu akan menjadi segi empat tepat, dan nilai yang terdapat dalam cara di atas ialah panjang sebenar pantai. Apabila berurusan dengan garis pantai sebenar, kami mendapat anggaran kasar panjang , yang meningkat selama-lamanya sebagai .

KaedahD. Bayangkan peta yang dibuat mengikut cara artis pointillist, iaitu peta di mana benua dan lautan digambarkan dengan bintik-bintik bulat jejari . Daripada menganggap titik kepunyaan garis pantai sebagai pusat tompok, seperti dalam Kaedah C, kami menghendaki bilangan tompok yang menutup sepenuhnya garisan adalah yang terkecil. Akibatnya, di tanjung, bintik-bintik kebanyakannya terletak di darat, dan di teluk - di laut. Anggaran panjang pantai di sini adalah hasil pembahagian kawasan bertompok dengan . "Tingkah laku" anggaran ini juga meninggalkan banyak perkara yang diingini.

ARBITRASI HASIL PENGUKURAN

Merumuskan bahagian sebelumnya, kami perhatikan bahawa hasil menggunakan mana-mana daripada empat kaedah adalah sentiasa sama. Apabila e berkurangan, anggaran panjang lengkung cenderung kepada infiniti.

Untuk memahami dengan betul kepentingan fakta ini, mari kita membuat ukuran yang sama bagi panjang beberapa lengkung Euclidean biasa. Sebagai contoh, pada segmen garis lurus, anggaran data ukuran anggaran pada asasnya bertepatan dan menentukan panjang yang dikehendaki. Dalam kes bulatan, nilai anggaran panjang meningkat, tetapi dengan cepat cenderung kepada beberapa had tertentu. Lengkung yang panjangnya boleh ditentukan dengan cara ini dipanggil boleh diperbetulkan.

Ia adalah lebih berguna untuk cuba mengukur panjang beberapa garis pantai yang telah dijinakkan oleh manusia - katakan, pantai berhampiran Chelsea dalam bentuknya sekarang. Memandangkan seseorang meninggalkan lipatan kawasan yang sangat besar tidak berubah buat masa ini, kami akan memasang penyelesaian yang sangat besar pada kompas kami dan kami akan mengurangkannya secara beransur-ansur. Seperti yang dijangka, panjang garis pantai akan berkembang dalam kes ini.

Walau bagaimanapun, terdapat satu ciri menarik di sini: dengan penurunan selanjutnya, kami pasti mendapati diri kami berada di beberapa zon perantaraan, di mana panjangnya hampir tidak berubah. Zon ini memanjang dari kira-kira 20 m hingga 20 cm (sangat kasar). Apabila ia menjadi kurang daripada 20 cm, panjangnya mula meningkat semula - kini hasil pengukuran sudah dipengaruhi oleh batu individu. Oleh itu, jika kita membina graf perubahan dalam nilai sebagai fungsi , maka, tanpa keraguan, kawasan rata akan ditemui di atasnya pada nilai e dalam julat dari 20 m hingga 20 cm - rata yang serupa kawasan tidak diperhatikan pada graf yang serupa untuk pantai "liar" semula jadi.

Jelas sekali, ukuran yang dibuat di zon rata ini mempunyai nilai praktikal yang hebat. Oleh kerana sempadan antara disiplin saintifik yang berbeza terutamanya hasil daripada persetujuan antara saintis mengenai pembahagian kerja, kita boleh, sebagai contoh, memindahkan semua fenomena yang skalanya melebihi 20 m, iaitu, yang belum dicapai oleh seseorang, kepada jabatan geografi. Had sedemikian akan memberi kita panjang geografi yang jelas. Pengawal Pantai boleh berjaya menggunakan nilai yang sama untuk bekerja dengan pantai "liar", dan ensiklopedia serta almanak akan memaklumkan kepada semua orang tentang panjang yang sesuai.

Sebaliknya, sukar bagi saya untuk membayangkan bahawa semua agensi kerajaan yang berkenaan, walaupun di mana-mana satu negara, akan bersetuju sesama mereka mengenai penggunaan satu makna, dan penggunaannya oleh semua negara di dunia adalah mustahil untuk bayangkan. Richardson memberikan contoh ini: ensiklopedia Sepanyol dan Portugis memberikan jarak sempadan darat yang berbeza antara negara-negara ini, dengan perbezaan 20% (sama dengan sempadan antara Belgium dan Belanda). Percanggahan ini mesti sebahagiannya disebabkan oleh pilihan yang berbeza. Bukti empirikal, yang akan kita bincangkan sebentar lagi, menunjukkan bahawa untuk perbezaan sedemikian berlaku, cukup untuk satu nilai berbeza daripada yang lain hanya dengan faktor dua; selain itu, tiada apa yang mengejutkan dalam fakta bahawa sebuah negara kecil (Portugal) mengukur panjang sempadannya dengan lebih berhati-hati daripada jirannya yang besar.

Hujah kedua dan yang lebih penting menentang sewenang-wenangnya adalah bersifat falsafah dan saintifik umum. Alam semula jadi wujud secara bebas daripada manusia, dan sesiapa yang menyifatkan terlalu penting kepada mana-mana makna tertentu atau menganggap bahawa pautan penentu dalam proses memahami Alam adalah manusia dengan piawaian yang diterima umum atau cara teknikal yang sangat berubah-ubah. Jika garis pantai pernah menjadi objek kajian saintifik, tidak mungkin kita akan dapat menggubal ketidakpastian yang diperhatikan berhubung dengan panjangnya. Walau apa pun, konsep panjang geografi sama sekali tidak berbahaya seperti yang kelihatan pada pandangan pertama. Ia tidak sepenuhnya "objektif", kerana apabila menentukan panjang dengan cara ini, pengaruh pemerhati tidak dapat dielakkan.

PENGIKTIRAFAN DAN KEPENTINGAN RANDOMITI KEPUTUSAN PENGUKURAN

Tidak dinafikan ramai yang berpendapat bahawa garis pantai adalah lengkung yang tidak dapat dikurangkan, dan saya, dalam hal ini, tidak dapat mengingati sesiapa yang berfikir sebaliknya. Walau bagaimanapun, pencarian saya untuk bukti bertulis untuk menyokong pendapat ini telah gagal hampir sepenuhnya. Sebagai tambahan kepada petikan dari Perrin yang diberikan dalam bab kedua, terdapat juga pemerhatian berikut dalam artikel oleh Steinhaus: "Mengukur panjang tebing kiri Vistula dengan ketepatan yang semakin meningkat, anda boleh mendapatkan nilai sepuluh, beratus-ratus malah beribu-ribu kali lebih besar daripada apa yang diberikan oleh peta sekolah... Pernyataan berikut nampaknya sangat hampir dengan realiti: kebanyakan lengkok yang terdapat di alam semula jadi tidak boleh dibetulkan. Pernyataan ini bercanggah dengan kepercayaan popular bahawa lengkok tidak boleh dibetulkan ialah fiksyen matematik, dan pada dasarnya semua lengkok boleh dibetulkan. Daripada dua kenyataan yang bercanggah ini, yang pertama nampaknya betul.” Walau bagaimanapun, Perrin mahupun Steinhaus tidak pernah peduli untuk mengembangkan sangkaan mereka dengan lebih terperinci dan membawa mereka kepada kesimpulan logik mereka.

K. Fadiman menceritakan satu kisah yang menarik. Rakannya Edward Kasner melakukan eksperimen ini beberapa kali: dia "bertanya kepada kanak-kanak kecil tentang jumlah panjang pantai Amerika Syarikat. Selepas salah seorang kanak-kanak membuat tekaan yang agak "munasabah", ... Kasner ... mencadangkan agar mereka memikirkan berapa banyak angka ini boleh ditingkatkan jika perimeter semua tanjung dan teluk diukur dengan teliti, kemudian dikesan dengan teliti. tanjung dan teluk yang lebih kecil di setiap tanjung ini dan di setiap teluk ini, kemudian ukur setiap kerikil dan setiap butiran pasir yang membentuk garis pantai, setiap molekul, setiap atom, dll. Ternyata pantai boleh sepanjang awak suka. Kanak-kanak memahami ini dengan segera, tetapi Kasner mempunyai masalah dengan orang dewasa. Cerita itu, sudah tentu, sangat bagus, tetapi tidak mungkin ia berkaitan dengan carian saya. Kasner jelas tidak menetapkan matlamat untuk mengasingkan beberapa aspek realiti yang layak untuk kajian lanjut.

Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa artikel dan buku yang anda pegang di tangan anda, pada dasarnya, karya pertama mengenai topik ini.

Dalam bukunya The Will to Believe,1 William James menulis: “Itu yang tidak sesuai dengan kerangka pengelasan ... sentiasa menjadi medan yang subur untuk penemuan hebat. Dalam mana-mana sains, awan berdebu pengecualian kepada peraturan sentiasa mengelilingi fakta yang diterima umum dan teratur - fenomena yang halus, tidak tetap, jarang ditemui, fenomena yang lebih mudah diabaikan daripada dipertimbangkan. Mana-mana sains cenderung kepada keadaan ideal sistem kebenaran yang tertutup dan ketat... Fenomena yang tidak tertakluk kepada klasifikasi dalam rangka sistem dianggap sebagai kemustahilan paradoks dan jelas tidak benar. Mereka diabaikan dan ditolak kerana motif terbaik hati nurani saintifik... Dia yang serius mengkaji fenomena yang tidak teratur akan dapat mencipta sains baru di atas asas yang lama. Pada akhir proses ini, pengecualian semalam akan, sebahagian besarnya, menjadi peraturan sains yang diperbaharui.

Esei sekarang, yang tujuan sederhananya adalah untuk memperbaharui sepenuhnya geometri Alam, menerangkan fenomena yang di luar kelas sehingga hanya boleh dibicarakan dengan kebenaran penapis. Anda akan menemui fenomena pertama ini dalam bahagian seterusnya.

KESAN RICHARDSON

Kajian empirikal tentang perubahan anggaran panjang yang diperoleh menggunakan Kaedah A diterangkan dalam artikel Richardson, pautan yang, melalui kemalangan yang menggembirakan (atau maut), menarik perhatian saya. Saya memberi perhatian kepadanya hanya kerana saya pernah mendengar tentang Lewis Fry Richardson sebagai seorang saintis yang cemerlang, yang keaslian pemikirannya adalah serupa dengan kesipian (lihat bab 40). Seperti yang akan kita lihat dalam Bab 10, manusia berhutang kepadanya beberapa idea yang paling mendalam dan berkekalan tentang sifat pergolakan—satu yang patut diberi perhatian khusus ialah pergolakan melibatkan lata yang serupa dengan diri sendiri. Beliau juga menangani isu kompleks lain, seperti sifat konflik bersenjata antara negara. Eksperimennya adalah model kesederhanaan klasik, tetapi dia tidak teragak-agak untuk menggunakan konsep yang lebih halus jika perlu.

Ditunjukkan dalam rajah. 57 graf, ditemui selepas kematian Richardson di antara kertas kerjanya, telah diterbitkan dalam Buku Tahunan Sistem Umum yang hampir rahsia (dan tidak sesuai sama sekali untuk penerbitan sedemikian). Setelah mempertimbangkan graf ini, kami sampai pada kesimpulan bahawa terdapat dua pemalar (mari kita panggil mereka dan ) - supaya untuk menentukan panjang garis pantai dengan membina garis putus dekat dengannya, perlu mengambil kira-kira selang panjang. dan tulis formula berikut:

Nilai penunjuk bergantung, nampaknya, pada sifat garis pantai yang diukur, dan bahagian berlainan garisan ini, dipertimbangkan secara berasingan, boleh memberikan . Bagi Richardson, nilai itu hanyalah metrik yang mudah tanpa makna khusus. Walau bagaimanapun, nampaknya nilai penunjuk ini tidak bergantung kepada kaedah yang dipilih untuk menganggar panjang garis pantai. Jadi, dia patut mendapat perhatian yang paling dekat.

DIMENSI FRAKTAL PANTAI

Selepas mengkaji karya Richardson, saya mencadangkan bahawa walaupun eksponen bukan integer, ia boleh dan harus difahami sebagai dimensi - lebih tepat lagi, sebagai dimensi fraktal. Sudah tentu, saya sedar sepenuhnya bahawa semua kaedah pengukuran di atas adalah berdasarkan takrifan umum bukan piawai bagi dimensi, yang telah digunakan dalam matematik tulen. Takrifan panjang, berdasarkan liputan garis pantai dengan bilangan bintik terkecil jejari , digunakan untuk menentukan dimensi liputan. Takrifan panjang, berdasarkan liputan garis pantai dengan reben lebar , merangkumi idea Kantor dan Minkowski (lihat Rajah 56), dan kami berhutang dimensi yang sepadan dengan Bouligan. Walau bagaimanapun, kedua-dua contoh ini hanya membayangkan kewujudan banyak dimensi (yang kebanyakannya hanya diketahui oleh beberapa pakar) yang bersinar dalam pelbagai bidang matematik yang sangat khusus. Beberapa dimensi ini akan dibincangkan dengan lebih terperinci dalam Bab 39.

Mengapakah ahli matematik perlu memperkenalkan banyaknya dimensi yang berbeza ini? Kemudian, dalam kes tertentu mereka mengambil nilai yang berbeza. Nasib baik, anda tidak akan menghadapi kes sedemikian dalam esei ini, jadi senarai kemungkinan dimensi alternatif boleh, dengan hati nurani yang jelas, dikurangkan kepada dua, yang, bagaimanapun, saya belum sebutkan lagi. Dimensi tertua dan paling banyak dikaji dari senarai kami bermula sejak Hausdorff dan berfungsi untuk mentakrifkan dimensi fraktal - kami akan menanganinya tidak lama lagi. Dimensi kedua, lebih mudah, dipanggil dimensi persamaan: ia tidak seumum dimensi pertama, tetapi ternyata lebih daripada mencukupi dalam banyak kes - kami akan mempertimbangkannya dalam bab seterusnya.

Sudah tentu, saya tidak akan memberikan di sini bukti matematik bahawa eksponen Richardson adalah dimensi. Sejujurnya, saya tidak nampak bagaimana bukti sedemikian boleh dibuat dalam kerangka mana-mana sains semula jadi. Saya hanya ingin menarik perhatian pembaca kepada fakta bahawa konsep panjang menimbulkan masalah konsep bagi kami, dan penunjuk memberikan penyelesaian yang mudah dan elegan. Sekarang dimensi fraktal telah mengambil tempatnya dalam kajian garis pantai, kita tidak mungkin mahu, atas apa-apa sebab tertentu, untuk kembali ke masa-masa ketika kita percaya tanpa berfikir dan naif. Dia yang masih percaya kini perlu mencuba jika mahu membuktikan kesnya.

Langkah seterusnya - menerangkan bentuk garis pantai dan memperoleh makna daripada pertimbangan lain yang lebih asas - Saya mencadangkan untuk menangguhkan kepada Bab 28. Pada ketika ini, sudah memadai untuk mengatakan bahawa dalam anggaran pertama . Nilai ini terlalu besar untuk menerangkan fakta dengan betul, tetapi lebih daripada cukup untuk kita mengatakan bahawa kita boleh, harus, dan secara semula jadi percaya bahawa dimensi garis pantai melebihi nilai Euclidean biasa untuk lengkung.

DIMENSI HAUSDORF FRAKTAL

Jika kita menerima bahawa pelbagai garis pantai semulajadi adalah panjang yang tidak terhingga, dan bahawa nilai panjang berdasarkan nilai antropometrik, hanya memberikan gambaran separa tentang keadaan sebenar, maka bagaimanakah pantai yang berbeza boleh dibandingkan antara satu sama lain? Memandangkan infiniti tidak berbeza dengan infiniti kali empat, berapa banyak kegunaan yang ada untuk kita mengatakan bahawa panjang mana-mana pantai adalah empat kali panjang mana-mana sukunya? Cara yang lebih baik diperlukan untuk menyatakan idea yang sangat munasabah bahawa lengkung mesti mempunyai beberapa "ukuran", dan ukuran untuk keseluruhan lengkung mestilah empat kali lebih besar daripada ukuran yang sama untuk mana-mana sukunya.

Felix Hausdorff mencadangkan kaedah yang sangat bijak untuk mencapai matlamat ini. Kaedahnya adalah berdasarkan fakta bahawa ukuran linear poligon dikira dengan menambah panjang sisinya tanpa sebarang penjelmaan. Ia boleh diandaikan bahawa panjang sisi ini dinaikkan kepada kuasa yang sama dengan dimensi Euclidean garis (sebab untuk andaian ini akan menjadi jelas). Begitu juga, ukuran permukaan kawasan dalam poligon tertutup dikira - dengan menutupnya dengan segi empat sama, mencari jumlah panjang sisi segi empat sama ini dan menaikkannya kepada kuasa (dimensi Euclidean bagi satah) . Jika kita menggunakan darjah "salah" dalam pengiraan, maka hasil pengiraan ini tidak akan memberi kita apa-apa maklumat yang berguna: luas mana-mana poligon tertutup akan sama dengan sifar, dan panjang kawasan dalamannya akan tidak terhingga. .

Mari kita pertimbangkan dari kedudukan sedemikian anggaran poligonal (piecewise-linear) bagi garis pantai, yang terdiri daripada selang kecil panjang . Menaikkan panjang selang kepada kuasa dan mendarabkannya dengan bilangan selang, kita mendapat nilai tertentu, yang boleh dipanggil "tahap anggaran dalam dimensi". Oleh kerana, menurut Richardson, bilangan sisi adalah sama, maka takat anggaran kami mengambil nilai .. Iaitu, anggaran panjang garis pantai menunjukkan tingkah laku yang munasabah jika dan hanya jika .

DIMENSI FRAKTAL LEKOK BOLEH LEBIH BESAR DARIPADA SATU; KELUK FRAKTAL

Mengikut niat penciptanya, dimensi Hausdorff mengekalkan tugas dimensi biasa dan berfungsi sebagai eksponen dalam definisi ukuran.

Walau bagaimanapun, sebaliknya, dimensinya sangat luar biasa - ia dinyatakan sebagai nombor pecahan! Lebih-lebih lagi, ia lebih besar daripada perpaduan, yang merupakan dimensi "semula jadi" untuk lengkung (boleh dibuktikan dengan ketat bahawa dimensi topologi mereka juga sama dengan perpaduan).

Saya mencadangkan untuk memanggil lengkung yang dimensi fraktalnya melebihi dimensi topologi 1 lengkung fraktal. Dan sebagai ringkasan ringkas untuk bab ini, saya boleh menawarkan pernyataan berikut: pada skala geografi, garis pantai boleh dimodelkan menggunakan lengkung fraktal. Garis pantai adalah fraktal dalam strukturnya.

nasi. 55. POKOK MONYET

Pada peringkat ini, lukisan kecil ini harus dianggap hanya sebagai elemen hiasan, ia hanya mengisi ruang kosong.

Walau bagaimanapun, selepas membaca bab 14, pembaca akan mendapati di sini petunjuk untuk membongkar teka-teki "seni bina" dalam Rajah. 210. Petunjuk yang lebih serius diberikan oleh penjana berikut:

Jika seorang ahli matematik perlu "menjinakkan" beberapa lengkung yang tidak sekata, dia boleh menggunakan prosedur piawai berikut: pilih nilai , dan lukis bulatan jejari di sekeliling setiap titik lengkung. Prosedur ini, sejak sekurang-kurangnya kepada Hermann Minkowski, dan juga kepada Georg Cantor sendiri, agak kasar, tetapi sangat berkesan. (Bagi istilah sosej, asalnya, menurut khabar angin yang tidak disahkan, ada kaitan dengan penggunaan prosedur ini oleh Norbert Wiener pada lengkung Brownian.)

Dalam ilustrasi yang diletakkan di sini, pelicinan yang diterangkan di atas tidak digunakan untuk bank sebenar, tetapi kepada satu lengkung teori, yang akan kita bina sedikit kemudian (lihat Rajah 79) dengan sentiasa menambah butiran yang lebih halus dan lebih halus. Membandingkan kepingan sosej di sebelah kanan dengan hujung kanan sosej yang diletakkan di bahagian atas, kita melihat bahawa peringkat kritikal dalam pembinaan lengkung berlaku apabila lengkung mula memasukkan butiran yang lebih kecil daripada . Pada peringkat seterusnya, sosej tidak berubah dengan ketara.

nasi. 57. DATA EMPIRIKAL RICHARDSON MENGENAI KADAR PERTUMBUHAN PANJANG PANTAI

Angka ini menunjukkan keputusan eksperimen mengukur panjang lengkung, dibuat pada pelbagai lengkung menggunakan poligon sama dengan panjang sisi yang semakin berkurang. Seperti yang dijangkakan, dalam kes bulatan, ukuran dengan ketepatan yang semakin meningkat memberikan nilai yang sangat cepat menstabilkan sekitar nilai yang jelas.

Dalam kes garis pantai, anggaran panjang, sebaliknya, tidak stabil sama sekali. Apabila panjang langkah menghampiri sifar, nilai panjang anggaran, diplot dalam sistem koordinat logaritma berganda, membentuk garis lurus dengan cerun negatif. Begitu juga dengan sempadan darat antara negara. Rujukan yang dibuat oleh Richardson dalam pelbagai ensiklopedia mendedahkan perbezaan ketara dalam takrifan panjang sempadan biasa oleh kartografer negara masing-masing: contohnya, panjang sempadan antara Sepanyol dan Portugal ialah 987 km dari sudut pandangan orang Sepanyol dan 1214 km dari sudut pandangan Portugis; sempadan antara Belanda dan Belgium (380 dan 449 km) turut terjejas. Oleh kerana kecerunan garisan yang sepadan ialah -0.25, perbezaan dua puluh peratus antara hasil pengukuran bermakna perbezaan dua kali ganda antara nilai yang diterima untuk pengukuran ini - bukan andaian yang tidak mungkin.

Richardson tidak memberikan tafsiran teori kepada cerun berbeza garisannya. Kami berhasrat untuk mentafsir garis pantai sebagai penghampiran kepada lengkung fraktal dan menganggap cerun garisan yang sepadan dengannya sebagai nilai anggaran perbezaan, di mana adalah dimensi fraktal.

Fraktal dipanggil objek geometri: garisan permukaan, badan ruang yang mempunyai bentuk lekukan kuat dan mempunyai sifat persamaan diri. Perkataan fraktal berasal daripada perkataan fractus dan diterjemahkan sebagai pecahan, pecah. Persamaan diri, sebagai ciri utama, bermakna ia disusun secara lebih kurang seragam dalam pelbagai skala. Jadi, apabila dizum masuk, serpihan kecil fraktal ternyata sangat mirip dengan yang besar. Dalam kes yang ideal, persamaan diri sedemikian membawa kepada fakta bahawa objek fraktal ternyata tidak berubah di bawah pelebaran, i.e. ia dikatakan mempunyai simetri dilatasi. Ia menganggap invarian ciri geometri utama fraktal apabila skala berubah.

Sudah tentu, untuk fraktal semulajadi sebenar terdapat skala panjang minimum tertentu, supaya pada jarak harta utamanya - persamaan diri - hilang. Di samping itu, pada skala panjang yang cukup besar, di mana saiz geometri ciri objek, sifat persamaan diri ini juga dilanggar. Oleh itu, sifat-sifat fraktal semula jadi dianggap hanya pada skala l, memuaskan nisbah . Sekatan sedemikian agak semula jadi, kerana apabila kita memberikan sebagai contoh fraktal - trajektori zarah Brownian yang pecah dan tidak licin, maka kita faham bahawa imej itu adalah idealisasi yang jelas. Intinya ialah keterbatasan masa perlanggaran mempengaruhi skala kecil. Apabila keadaan ini diambil kira, trajektori zarah Brown menjadi lengkung licin.

Ambil perhatian bahawa sifat persamaan diri adalah ciri hanya bagi fraktal biasa. Jika, bukannya kaedah pembinaan deterministik, beberapa unsur rawak dimasukkan dalam algoritma untuk penciptaannya (seperti yang berlaku, contohnya, dalam banyak proses pertumbuhan resapan kelompok, kerosakan elektrik, dll.), maka apa yang dipanggil fraktal rawak timbul. Perbezaan utama mereka daripada yang biasa ialah sifat keserupaan diri hanya sah selepas purata yang sesuai ke atas semua realisasi objek bebas statistik. Pada masa yang sama, bahagian fraktal yang diperbesarkan tidak betul-betul sama dengan serpihan asal, tetapi ciri statistiknya adalah sama. Tetapi fraktal yang kita pelajari adalah salah satu fraktal klasik, dan oleh itu tetap.

panjang garis pantai

Pada mulanya, konsep fraktal timbul dalam fizik berkaitan dengan masalah mencari garis pantai. Apabila ia diukur menggunakan peta kawasan yang tersedia, butiran yang ingin tahu telah didedahkan - semakin besar peta diambil, semakin panjang garis pantai ini.

Rajah 1 - Peta garis pantai

Biarkan, sebagai contoh, jarak dalam garis lurus antara titik yang terletak di garis pantai A dan B sama R(lihat rajah 1). Kemudian, untuk mengukur panjang garis pantai di antara titik-titik ini, kami akan meletakkan kayu bersambung tegar antara satu sama lain di sepanjang pantai supaya jarak antara kayu bersebelahan adalah, sebagai contoh, l=10km. Panjang garis pantai dalam kilometer antara titik A dan B kami kemudian akan mengambil sama dengan bilangan pin tolak satu, didarab dengan sepuluh. Kami akan membuat ukuran seterusnya bagi panjang ini dengan cara yang sama, tetapi kami akan membuat jarak antara kutub jiran sudah sama dengan l=1km.

Ternyata keputusan pengukuran ini akan berbeza. Apabila zum keluar l kita akan mendapat semua nilai panjang yang besar. Berbeza dengan lengkung yang licin, garis pantai laut selalunya sangat lekuk (sehingga skala terkecil) sehingga dengan penurunan dalam pautan. l magnitud L- panjang garis pantai - tidak cenderung kepada had terhingga, tetapi meningkat mengikut undang-undang beransur-ansur

di mana D- beberapa eksponen, yang dipanggil dimensi fraktal garis pantai. Semakin besar nilainya D semakin lasak pantai ini. Asal pergantungan (1) adalah intuitif: semakin kecil skala yang kita gunakan, butiran pantai yang lebih kecil akan diambil kira dan akan menyumbang kepada panjang yang diukur. Sebaliknya, dengan meningkatkan skala, kita meluruskan pantai, mengurangkan panjang L.

Oleh itu, adalah jelas bahawa untuk menentukan panjang garis pantai L dengan skala keras l(contohnya, menggunakan kompas penyelesaian tetap), anda perlu membuat N=L/l langkah, dan nilai L perubahan c l jadi N bergantung kepada l dalam undang-undang. Akibatnya, apabila skala berkurangan, panjang garis pantai meningkat selama-lamanya. Keadaan ini secara ketara membezakan lengkung fraktal daripada lengkung licin biasa (seperti bulatan, elips), yang mana had panjang garis putus yang hampir L kerana panjang pautannya cenderung kepada sifar l terhingga. Akibatnya, untuk lengkung licin, dimensi fraktalnya D=1, iaitu bertepatan dengan topologi.

Marilah kita membentangkan nilai dimensi fraktal D untuk garis pantai yang berbeza. Sebagai contoh, untuk Kepulauan British D? 13, dan untuk Norway D? lima belas. Dimensi fraktal pantai Australia D ? 1. 1. Dimensi fraktal pantai lain juga ternyata hampir kepada perpaduan.

Di atas, konsep dimensi fraktal garis pantai telah diperkenalkan. Mari kita berikan takrifan umum kuantiti ini. biarlah d- dimensi Euclidean biasa bagi ruang di mana objek fraktal kita berada ( d=1- baris, d=2- kapal terbang, d=3- ruang tiga dimensi biasa). Sekarang mari kita tutup objek ini sepenuhnya d-dimensi "bola" jejari l. Katakan kita memerlukan sekurang-kurangnya N(l) bola. Kemudian, jika untuk cukup kecil l magnitud N(l) berbeza mengikut undang-undang kuasa:

kemudian D- dipanggil Hausdorff atau dimensi fraktal objek ini.

Apabila mempelajari geografi, anda, tentu saja, ingat bahawa setiap negara mempunyai kawasan wilayah sendiri dan panjang sempadan, khususnya, jika sesebuah negara dibasuh oleh mana-mana laut atau lautan, maka ia mempunyai sempadan laut dengan panjang tertentu. Pernahkah anda terfikir bagaimana panjang sempadan ini ditentukan? Pada tahun 1977, ahli matematik Amerika Benoit Mandelbrot bertanya kepada dirinya sendiri soalan berikut: berapakah panjang garis pantai Great Britain? Ternyata tidak mungkin menjawab "soalan kebudak-budakan" ini dengan betul. Pada tahun 1988, saintis Norway Jens Feder memutuskan untuk mengetahui berapa panjang garis pantai Norway. Sila ambil perhatian bahawa pantai Norway banyak disentuh oleh fiords. Para saintis lain telah bertanya kepada diri mereka sendiri soalan yang sama tentang garis pantai Australia, Afrika Selatan, Jerman, Portugal dan negara lain.

Kita hanya boleh mengukur panjang garis pantai lebih kurang. Semasa kami mengezum keluar, kami perlu mengukur lebih banyak tanjung dan teluk kecil - panjang garis pantai bertambah, dan tiada had objektif untuk mengezum keluar (dan dengan itu meningkatkan panjang garis pantai); kami terpaksa mengakui bahawa garis ini mempunyai panjang yang tidak terhingga. Kita tahu bahawa dimensi garis lurus ialah satu, dimensi segi empat sama ialah dua, dan dimensi kubus ialah tiga. Mandelbrot mencadangkan untuk menggunakan dimensi pecahan untuk mengukur lengkung "besar" - dimensi Hausdorff - Besicovich. Lengkung bergerigi tak terhingga seperti garis pantai bukanlah garisan yang cukup. Mereka seolah-olah "menyapu" bahagian pesawat, seperti permukaan. Tetapi mereka bukan permukaan. Ini bermakna adalah munasabah untuk mengandaikan bahawa dimensi mereka adalah lebih besar daripada satu, tetapi juga kurang daripada dua, iaitu, mereka adalah objek pecahan-dimensi.

Saintis Norway E. Feder mencadangkan cara lain untuk mengukur panjang garis pantai. Peta itu ditutup dengan grid segi empat sama, sel yang mempunyai dimensi e? e. Dapat dilihat bahawa bilangan N(e) sel sedemikian yang meliputi garis pantai pada peta adalah lebih kurang sama dengan bilangan langkah di mana anda boleh mengelilingi garis pantai pada peta dengan kompas dengan larutan e. Jika e berkurang, maka bilangan N(e) akan bertambah. Jika panjang garis pantai Great Britain mempunyai panjang L tertentu, maka bilangan langkah kompas dengan larutan (atau bilangan sel persegi N(e) yang meliputi garis pantai pada peta) akan berkadar songsang dengan e, dan nilai Ln (e)=N(e) ? e akan cenderung kepada pemalar L apabila k berkurangan. Malangnya, pengiraan yang dijalankan oleh ramai saintis telah menunjukkan bahawa ini tidak sepenuhnya benar. Apabila padang berkurangan, panjang yang diukur bertambah. Ternyata hubungan antara panjang yang diukur L(e) dan pic e boleh diterangkan oleh hubungan anggaran

Pekali D dipanggil dimensi fraktal. Perkataan fraktal berasal daripada perkataan Latin fraktal - pecahan, bukan integer. Satu set dipanggil fraktal jika ia mempunyai dimensi bukan integer. Untuk Norway D=1.52 dan untuk UK D=1.3. Oleh itu, garis pantai Norway dan Great Britain ialah fraktal dengan dimensi fraktal D. Pengiraan juga dilakukan untuk bulatan, dan dimensi fraktal bulatan ialah D=1, yang dijangkakan. Oleh itu, dimensi fraktal adalah generalisasi bagi dimensi biasa.

Bagaimanakah ini difahami dan apakah maksudnya? Ahli matematik mula mengingati sama ada terdapat sesuatu yang serupa sebelum ini dalam matematik atau tidak? Dan mereka ingat! Pertimbangkan sebahagian daripada beberapa garis AB pada satah (Rajah 3). Mari kita ambil segi empat sama dengan tepi e dan tanya diri kita sendiri: berapa banyak petak N(e) dengan tepi panjang e diperlukan untuk menutup garis AB dengan petak sedemikian? Ia boleh dilihat bahawa N(e) adalah berkadar dengan

Begitu juga, jika kawasan sempadan tertutup pada satah (Rajah 4) ditutup dengan grid segi empat sama dengan sisi e, maka bilangan minimum segi empat sama dengan sisi e meliputi kawasan itu akan sama dengan

Jika kita menganggap kawasan sempadan tertutup dalam ruang tiga dimensi dan mengambil kubus dengan tepi e, maka bilangan kubus yang mengisi kawasan ini ialah

Kami mentakrifkan dimensi fraktal berdasarkan perkara di atas dalam kes umum seperti berikut:

Ambil logaritma sisi kiri dan kanan

Melepasi kepada had kerana e cenderung kepada sifar (N cenderung kepada infiniti), kita dapat

Kesamaan ini ialah takrifan dimensi yang dilambangkan dengan d.