Transformasi kamiran. Bab xxxiii

Kaedah pengendalian.

Bagi banyak masalah kekonduksian terma, penggunaan kaedah klasik ternyata tidak berkesan, contohnya, penggunaan kaedah pemisahan pembolehubah untuk masalah dengan sumber haba dalaman.

Peraturan asas dan teorem kalkulus operasi diperolehi oleh M. Vishchenko-Zakharchenko dan Heaviswid. Mereka menjadi paling meluas dalam kejuruteraan elektrik terima kasih kepada kerja Heaviside.

Kaedah operasi Heaviswid adalah bersamaan dengan kaedah transformasi integral Laplace.

Kaedah transformasi Laplace terdiri daripada mengkaji bukan fungsi itu sendiri (asal), tetapi pengubahsuaiannya (imej).

Transformasi kamiran bagi suatu fungsi
ditentukan oleh formula

(40)

Di sini S boleh menjadi nombor kompleks; tetapi pada masa yang sama bahagian benda lebih besar daripada 0.

- asal;
- imej fungsi. Untuk imej wujud, kamiran (51) mesti menumpu.

Jika masalah diselesaikan dalam imej, maka asal ditentukan daripada imej (transformasi) menggunakan formula penyongsangan

(41)

Daripada formula (52) untuk menentukan asal fungsi daripada imejnya, anda boleh menggunakan formula penyongsangan berikut

(41.a)

Formula ini memungkinkan untuk mendapatkan fungsi asal hanya menggunakan operasi pembezaan dan hantaran ke had.

Jika imej adalah fungsi

(42)

yang merupakan kes separa bagi dua keseluruhan fungsi transendental, maka dengan teorem pengembangan yang kita ada

(43)

di mana - akar sederhana fungsi
; dalam kes ini penyebut tidak mengandungi istilah bebas dan

2. Jika imej
mewakili nisbah dua denominasi (fungsi pecahan-rasional), dan darjah denominasi
kurang daripada nilai nominal
, dan denominasi
mempunyai punca gandaan K pada titik , Itu

di mana jumlahnya diambil alih semua akar
. Jika semua akar adalah mudah, i.e. semua K adalah sama dengan satu, maka formula (5) masuk ke (43)

Transformasi Laplace integral mempunyai kelemahannya. Khususnya, kesukaran timbul apabila menyelesaikan masalah di mana keadaan ditentukan sebagai fungsi koordinat ruang, atau menyelesaikan masalah multidimensi.

Dalam hal ini, beberapa kaedah untuk transformasi integral sepanjang koordinat spatial telah dicadangkan mengikut bentuk geometri badan.

Jika penjelmaan diambil sepanjang koordinat spatial x, maka penjelmaan kamiran fungsi itu
boleh diwakili seperti ini:

(44)

Jika kernel transformasi K(p,x) diambil dalam bentuk
atau
, maka penjelmaan kamiran ini masing-masing dipanggil sinus atau kosinus penjelmaan Fourier.

Jika fungsi Bessel dipilih sebagai kernel transformasi
, maka ia dipanggil transformasi Hankel.

Transformasi Fourier yang kompleks mudah digunakan untuk badan yang tidak terhad transformasi Fourier harus digunakan apabila nilai ditentukan pada permukaan badan dengan formula, i.e. pada GU!, dan kosinus ialah transformasi Fourier apabila pembezaan diselesaikan. persamaan pengangkutan pada GI2. Transformasi Hankel boleh digunakan apabila badan bersimetri paksi. Aplikasi praktikal transformasi integral ini dengan kehadiran jadual imej terperinci tidak menyebabkan sebarang kesulitan tertentu.

Peralihan daripada imej kepada asal boleh dilakukan menggunakan formula penyongsangan untuk:

Transformasi Fourier Kompleks

(45)

Transformasi Sinus Fourier

(46)

Transformasi kosinus Fourier

(47)

Transformasi Hankel

(48)

Transformasi kamiran yang dipertimbangkan adalah terpakai untuk badan separa terhad.

Transformasi integral terhingga

Batasan transformasi integral Fourier, Hankel, dan sebahagiannya Laplace, di satu pihak, dan keperluan mendesak untuk menyelesaikan masalah dengan julat perubahan terhingga dalam pembolehubah, sebaliknya, membawa kepada penciptaan kaedah untuk transformasi integral terhingga. . Mereka lebih disukai walaupun untuk masalah yang diselesaikan dengan kaedah klasik.

Idea kaedah transformasi integral terhingga telah dicadangkan oleh N.S. Kommekov

(49)

Penghuraian lebih lanjut mengenai isu kaedah transformasi integral terhingga dicerminkan dalam karya Griabarga G.A., Sleddon, Tranter, Deug (Deig) dan lain-lain.

Jika sempadan penyepaduan terletak di antara 0 dan e, inti sinus terhingga dan kosinus Fourier berubah, serta transformasi Hankel, masing-masing, mempunyai bentuk:

(50)

(51)

Dengan GU1 dan GU2
, dan di GU3 adalah punca-punca persamaan

(52)

Penjelmaan kamiran tak tentu Sama seperti dalam peraturan algebra diberikan yang membolehkan anda mengubah ungkapan algebra untuk memudahkan mereka, dan untuk kamiran tak tentu terdapat peraturan yang membenarkan transformasinya. I. Kamiran bagi hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan jumlah algebra kamiran daripada setiap sebutan secara berasingan, iaitu S dx=lf(x)dx+l (i)="" ii.="" faktor pemalar boleh "diekstrak="" melebihi tanda="" tanda="" kamiran , e.="" ( c-nilai malar formula pengamiran mengikut bahagian iaitu: Mari kita buktikan formula (III). Mari kita ambil pembezaan dari sebelah kanan kesamaan (III) Menggunakan formula 4 daripada jadual dalam § 2 Ch. IX, kita dapat x. Kami mengubah istilah mengikut formula 5 jadual yang sama: dan istilah d J /" (d:) f (l;) dx mengikut formula (B) § 1 bab ini adalah sama dengan d\f (*) f = =/ (x) f" (l:) dx + f (x) /" (x) dx -/" (x) f (*) dx = =f(x)y"(x)dx, i.e. kita mendapat apa yang kita dapat apabila membezakan bahagian kiri kesamaan (III) Rumus (I) dan (II) ditandakan dengan cara yang sama. kamiran, kita memperoleh J (x1 - sin l:) dx= ^ xg dx-^ sin xdx = x* x9 = (-cosх) + C= y + cos x + C. Contoh 2. I ^ dx Menggunakan peraturan II dan formula J COS X 6 daripada jadual kamiran , kami memperoleh J cos2* J COS2* hingga 1 Contoh 3. ^ Inx dx Tiada kamiran sedemikian dalam jadual kamiran yang diberikan dalam § 1. Mari kita hitung ia dengan menyepadukan mengikut bahagian; untuk melakukan ini, kami akan menulis semula kamiran ini seperti berikut: J Dalam xdx= ^ Dalam l: 1 dx = Dalam l: dan<р"(д;)=п1, применим правило интегрирования по частям: J 1 п лг tf* = 1 п л: ср (л;) - J (In х)" ф (х) dx. Но так как ф (л:) = J ф" (л:) dx = ^ 1. = j х0 dx, то, применяя формулу 1 таблицы интегралов (п = 0), получим Ф = *. Окончательно получаем Inxdx = x In л:- = л: In х- J dx - x In jc - x + C. Пример 4. Рассмотрим ^ л; sfn л; rfx. Положим f(x) - x и ф" (л:) = sinx. Тогда ф(лг) = - cosjc, так как (-cos*)" = = sin*. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J х sin х dx = - х cos *- J (*)" (- cos x) dx = = - x cos * + ^ cos x dx = - x cos x + sin x + C. Пример 5. Рассмотрим ^ хгехdx. Положим /(x) = xг и ф"(лг) = е*. Тогда ф(лг) = е*, так как (ех)" = ех. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J хгех dx = x*ex- J (л:1)" dx = = хгех - 2 ^ хех dx. (*) Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла J хех dx. Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим f(x) = x и ф/(лг) = ех. Преобразования неопределенных интегралов Отсюда ^ хех dx = хех - ^ (х)" ех dx = ~хе*-J ех dx = xe* - ех Соединяя равенства (*) и (**), получим окончательно ^ х2е* dx = x2ex - 2 [хех - ех + С] = = х2ех - 2хех + 2ех - 2 С = = хгех - 2хех + 2ех + С, где Ct = - 2С, так что С, есть произвольное постоянное интегрирования.

Transformasi yang memetakan fungsi pembolehubah nyata kepada fungsi

Pembolehubah nyata, dan pembolehubah 7, secara amnya kompleks, dipanggil transformasi kamiran berkenaan dengan pembolehubah itu dipanggil pembolehubah transformasi. Demi kejelasan, di bawah pembolehubah penjelmaan akan dilambangkan dengan simbol Penjelmaan kamiran (1) ditentukan oleh had penjelmaan, isirong dan fungsi berat Had boleh tidak terhingga; Sifat-sifat fungsi akan ditetapkan di bawah. Sesuatu fungsi dipanggil penjelmaan kamiran, serta penjelmaan kamiran, imej atau imej fungsi Di bawah, istilah pertama yang setara ini akan digunakan terutamanya. Fungsi sering dipanggil asal atau prototaip fungsi

Transformasi kamiran mungkin berlaku ke atas beberapa atau semua pembolehubah sekaligus. Generalisasi kepada kes ini yang diberikan di atas

definisi adalah jelas. Di bawah ini kita akan mempertimbangkan transformasi untuk hanya satu pembolehubah. Walau bagaimanapun, penggunaan berturut-turut transformasi sedemikian adalah bersamaan dengan beberapa transformasi dalam beberapa pembolehubah.

Kami akan menandakan fungsi yang diubah dengan simbol yang sama seperti sebelum transformasi, tetapi dengan beberapa jenis ikon di atas simbol: garis, garis bergelombang, dan Dengan pembolehubah mana transformasi itu dijalankan, ia akan menjadi jelas daripada hujah apa fungsi berubah bergantung kepada. Sebagai contoh, kami tidak akan menulis secara eksplisit transformasi integral fungsi berkenaan dengan pembolehubah Argumen dalam kes di mana ini tidak boleh membawa kepada salah faham.

Penjelmaan di mana fungsi diubah semula menjadi fungsi dipanggil penjelmaan kamiran songsang (1) atau ringkasnya penjelmaan songsang. Dalam kes ini, transformasi itu sendiri (1) dipanggil langsung.

Penjelmaan kamiran ditakrifkan apabila kamiran di sebelah kanan (1) wujud. Untuk aplikasi praktikal transformasi integral, bagaimanapun, adalah penting bahawa terdapat juga transformasi songsang, yang, bersama-sama dengan (1), akan mewujudkan korespondensi satu-dengan-satu antara dua kelas fungsi: kelas fungsi asal dan kelas fungsi yang merupakan transformasi integralnya. Di bawah keadaan ini, ia juga mungkin untuk mewujudkan korespondensi antara operasi pada kedua-dua kelas fungsi dan penyelesaian masalah yang diberikan untuk fungsi satu kelas boleh membawa kepada masalah untuk fungsi kelas lain, yang mungkin lebih mudah. Setelah menyelesaikan masalah terakhir ini, penyelesaian kepada masalah asal didapati menggunakan penjelmaan songsang. Contoh yang terkenal kepada pembaca ialah kalkulus operasi, berdasarkan penggunaan transformasi kamiran Laplace. Di sini, pembezaan fungsi kelas asal fungsi sepadan dengan pendaraban dengan pembolehubah bebas fungsi yang merupakan transformasi Laplace. Terima kasih kepada ini, masalah untuk persamaan pembezaan biasa dengan pekali malar dikurangkan kepada masalah algebra untuk fungsi berubah.

Idea untuk menggunakan transformasi kamiran dalam masalah untuk persamaan pembezaan separa adalah serupa: seseorang berusaha untuk memilih transformasi kamiran yang membolehkan operasi pembezaan pada salah satu pembolehubah digantikan oleh operasi algebra. Apabila ini berjaya, masalah yang diubah biasanya lebih mudah daripada yang asal. Setelah menemui penyelesaian kepada masalah yang diubah, menggunakan transformasi songsang mereka juga mencari penyelesaian kepada yang asal. Perbezaan utama daripada kalkulus operasi ialah penggunaan transformasi kamiran kepada persamaan dengan

terbitan separa ialah penggunaan julat penjelmaan kamiran yang lebih luas, yang penting apabila pekali persamaan berubah.