Sebagai permulaan, kita akan menganalisis teori, kemudian kita akan menyelesaikan beberapa contoh untuk menyatukan bahan pada pengembangan fungsi rasional pecahan kepada jumlah pecahan mudah. Mari kita lihat lebih dekat kaedah pekali tidak pasti Dan kaedah nilai separa, serta gabungan mereka.

Pecahan termudah sering dipanggil pecahan asas.

Terdapat yang berikut jenis pecahan mudah:

di mana A , M , N , a , p , q ialah nombor, dan pendiskriminasi penyebut dalam pecahan 3) dan 4) adalah kurang daripada sifar.

Mereka dipanggil pecahan jenis pertama, kedua, ketiga dan keempat, masing-masing.

Mengapa pecahkan pecahan kepada pecahan mudah?

Mari kita berikan analogi matematik. Selalunya anda perlu memudahkan bentuk ungkapan supaya anda boleh melakukan beberapa tindakan dengannya. Jadi, perwakilan fungsi rasional pecahan sebagai jumlah pecahan mudah adalah lebih kurang sama. Ia digunakan untuk mengembangkan fungsi ke dalam siri kuasa, siri Laurent dan, sudah tentu, untuk mencari kamiran.

Sebagai contoh, ia memerlukan untuk mengambil kamiran bagi fungsi rasional pecahan. Selepas menguraikan kamiran dan kepada pecahan mudah, semuanya berkurangan kepada kamiran yang agak mudah

Tetapi mengenai kamiran dalam bahagian lain.

Contoh.

Pecahkan pecahan kepada termudah.

Penyelesaian.

Secara amnya, nisbah polinomial diuraikan kepada pecahan mudah jika darjah polinomial dalam pengangka kurang daripada darjah polinomial dalam penyebut. Jika tidak, polinomial pengangka mula-mula dibahagikan dengan polinomial penyebut, dan hanya kemudian fungsi rasional pecahan biasa diuraikan.

Mari lakukan pembahagian mengikut lajur (penjuru):

Oleh itu, pecahan asal akan berbentuk:

Oleh itu, kita akan menguraikan kepada pecahan mudah

Algoritma kaedah pekali tak tentu.

Pertama sekali, faktorkan penyebutnya.

Dalam contoh kami, semuanya mudah - kami mengambil x daripada kurungan.


Kedua, pecahan yang hendak dikembangkan diwakili sebagai hasil tambah pecahan mudah dengan pekali tidak pasti.

Di sini adalah wajar mempertimbangkan jenis ungkapan yang boleh anda miliki dalam penyebut.

Cukup teori, amalan masih lebih jelas.

Sudah tiba masanya untuk kembali kepada contoh. Pecahan itu diuraikan kepada jumlah pecahan termudah bagi jenis pertama dan ketiga dengan pekali tak tentu A , B dan C .


Ketiga, kita bawa hasil tambah pecahan mudah dengan pekali tak tentu kepada penyebut sepunya dan kumpulkan sebutan dalam pengangka dengan kuasa yang sama x.



Iaitu, kita sampai pada persamaan:


Untuk x bukan sifar, kesamaan ini berkurangan kepada kesamaan dua polinomial


Dan dua polinomial adalah sama jika dan hanya jika pekali pada kuasa yang sama adalah sama.

Keempat, kita samakan pekali pada kuasa yang sama bagi x.

Dalam kes ini, kami memperoleh sistem persamaan algebra linear dengan pekali tak tentu sebagai tidak diketahui:


Kelima, kami menyelesaikan sistem persamaan yang terhasil dalam apa jua cara (jika perlu, lihat artikel) yang anda suka, kami dapati pekali tak tentu.


Pada keenam, tulis jawapan.

Tolong jangan malas, semak jawapan anda dengan mengurangkan pengembangan yang terhasil kepada penyebut biasa.

Kaedah pekali yang tidak ditentukan ialah kaedah sejagat untuk menguraikan pecahan kepada pecahan mudah.

Sangat mudah untuk menggunakan kaedah nilai separa jika penyebutnya adalah hasil darab faktor linear, iaitu, ia kelihatan seperti

Mari lihat contoh untuk menunjukkan kelebihan kaedah ini.

Contoh.

Kembangkan pecahan kepada yang paling mudah.

Penyelesaian.

Oleh kerana darjah polinomial dalam pengangka adalah kurang daripada darjah polinomial dalam penyebut, kita tidak perlu membahagikan. Kita beralih kepada penguraian penyebut kepada faktor.

Mari kita keluarkan x daripada kurungan dahulu.

Kami mencari akar trinomial segi empat sama (contohnya, mengikut teorem Vieta):

Oleh itu, trinomial segi empat sama boleh ditulis sebagai

Iaitu, penyebut akan mengambil bentuk

Dengan penyebut yang diberikan, pecahan asal diuraikan menjadi hasil tambah tiga pecahan mudah jenis pertama dengan pekali tak tentu:

Kami mengurangkan jumlah yang terhasil kepada penyebut biasa, tetapi dalam pengangka kami tidak membuka kurungan dan tidak memberikan yang serupa untuk A, B dan C (pada peringkat ini, ia hanyalah perbezaan daripada kaedah pekali tidak pasti):

Oleh itu, kami mencapai kesaksamaan:

Dan sekarang, untuk mencari pekali tak tentu, kita mula menggantikan "nilai peribadi" kesamaan yang terhasil, di mana penyebutnya hilang, iaitu, x=0, x=2 dan x=3 untuk contoh kita.

Pada x=0 kita ada:

Pada x=2 kita ada:

Pada x=3 kita ada:

Jawapan:

Seperti yang anda lihat, perbezaan antara kaedah pekali yang tidak pasti dan kaedah nilai separa hanya dalam cara mencari yang tidak diketahui. Kaedah ini boleh digabungkan untuk memudahkan pengiraan.

Pertimbangkan satu contoh.

Contoh.

Kembangkan ungkapan rasional pecahan kepada pecahan mudah.

Penyelesaian.

Oleh kerana darjah polinomial pengangka adalah kurang daripada darjah polinomial penyebut dan penyebutnya telah pun difaktorkan, ungkapan asal akan diwakili sebagai jumlah pecahan mudah bentuk berikut:

Kami membawa kepada penyebut biasa:

Mari kita bandingkan pengangka.

Jelas sekali, sifar penyebut ialah nilai x=1, x=-1 dan x=3. Kami menggunakan kaedah nilai separa.

Pada x=1 kita ada:

Pada x=-1 kita ada:

Pada x=3 kita ada:

Ia kekal untuk mencari yang tidak diketahui dan

Untuk melakukan ini, kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam kesamaan pengangka:

Selepas membuka kurungan dan mengurangkan sebutan yang sama untuk kuasa x yang sama, kita sampai pada kesamaan dua polinomial:

Kami menyamakan pekali yang sepadan pada kuasa yang sama, dengan itu menyusun sistem persamaan untuk mencari baki yang tidak diketahui dan . Kami mendapat sistem lima persamaan dengan dua yang tidak diketahui:

Daripada persamaan pertama kita segera dapati , daripada persamaan kedua

Hasilnya, kita memperoleh pengembangan kepada pecahan mudah:

Catatan.

Jika kita segera memutuskan untuk menggunakan kaedah pekali tak tentu, maka kita perlu menyelesaikan sistem lima persamaan algebra linear dengan lima tidak diketahui. Penggunaan kaedah nilai separa memudahkan untuk mencari nilai tiga daripada lima yang tidak diketahui, yang sangat memudahkan penyelesaian selanjutnya.

Salam kepada semua, kawan-kawan yang dikasihi!

Nah, tahniah! Kami telah selamat mencapai bahan utama dalam penyepaduan pecahan rasional - kaedah pekali tak tentu. Hebat dan perkasa.) Apakah keagungan dan kekuasaan baginda? Dan ia terletak pada serba boleh. Ia masuk akal untuk mengetahui, bukan? Saya memberi amaran kepada anda bahawa akan ada beberapa pengajaran mengenai topik ini. Untuk topik ini sangat panjang, dan bahannya sangat penting.)

Saya mesti segera mengatakan bahawa dalam pelajaran hari ini (dan yang seterusnya juga) kita tidak akan berurusan dengan integrasi tetapi ... menyelesaikan sistem persamaan linear! Ya Ya! Jadi mereka yang mempunyai masalah dengan sistem, ulangan matriks, penentu dan kaedah Cramer. Dan bagi rakan-rakan yang mempunyai masalah dengan matriks, saya menggesa, paling teruk, untuk menyegarkan ingatan mereka sekurang-kurangnya kaedah "sekolah" untuk menyelesaikan sistem - kaedah penggantian dan kaedah penambahan / penolakan istilah demi istilah.

Untuk memulakan perkenalan kami, kami putar semula filem itu ke belakang. Mari kita kembali secara ringkas kepada pelajaran sebelumnya dan menganalisis semua pecahan yang telah kita sepadukan sebelum ini. Secara langsung, tanpa sebarang kaedah pekali tak tentu! Inilah mereka, pecahan ini. Saya menyusun mereka kepada tiga kumpulan.

Kumpulan 1

Dalam penyebut - fungsi linear sama ada sendiri atau setakat itu. Dalam satu perkataan, penyebut adalah hasil kali sama kurungan borang (Ha).

Sebagai contoh:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

Dan sebagainya. Dengan cara ini, jangan biarkan kurungan menipu anda. (4x+5) atau (2x+5) 3 dengan pekali k dalam. Ia adalah sama, pada dasarnya, kurungan bentuk (Ha). Untuk ini adalah yang paling k daripada kurungan sedemikian sentiasa boleh dikeluarkan.

seperti ini:

Itu sahaja.) Dan tidak kira apa sebenarnya dalam pengangka - cuma dx atau sejenis polinomial. Kami sentiasa mengembangkan pengangka dalam kuasa kurungan (x-a), menukar pecahan besar kepada jumlah yang kecil, membawa (jika perlu) kurungan di bawah pembezaan dan bersepadu.

Kumpulan 2

Apakah persamaan pecahan ini?

Dan perkara biasa ialah dalam semua penyebut adalah trinomial segi empat samakapak 2 + bx+ c. Tetapi bukan sahaja, iaitu dalam satu salinan. Dan tidak kira di sini sama ada diskriminasi itu positif atau negatif.

Pecahan sedemikian sentiasa disepadukan dalam salah satu daripada dua cara - sama ada dengan mengembangkan pengangka dalam kuasa penyebut, atau dengan mengambil kuasa dua penuh dalam penyebut dan kemudian menukar pembolehubah. Semuanya bergantung pada integrand tertentu.

Kumpulan 3

Ini adalah pecahan terburuk untuk penyepaduan. Penyebutnya ialah trinomial segi empat sama tidak boleh terurai, dan juga dalam darjah n. Tetapi, sekali lagi, dalam satu salinan. Kerana, selain daripada trinomial, tidak ada faktor lain dalam penyebut. Pecahan sedemikian disepadukan ke atas . Sama ada secara langsung, atau dikurangkan kepadanya selepas memilih petak penuh dalam penyebut dan kemudian menukar pembolehubah.

Walau bagaimanapun, malangnya, semua kepelbagaian pecahan rasional yang kaya tidak terhad hanya kepada tiga kumpulan yang dianggap ini.

Tetapi bagaimana jika penyebutnya berbeza kurungan? Sebagai contoh, sesuatu seperti:

(x-1)(x+1)(x+2)

Atau pada masa yang sama kurungan (Ha) dan trinomial segi empat sama, sesuatu seperti (x-10)(x 2 -2x+17)? Dan dalam kes lain yang serupa? Di sini, dalam kes sedemikian ia datang untuk menyelamatkan. kaedah pekali tak tentu!

Saya mesti katakan dengan segera: buat masa ini, kami hanya akan bekerjasama betul pecahan. Mereka yang darjah pengangkanya kurang daripada darjah penyebut. Cara menangani pecahan tak wajar diterangkan secara terperinci dalam pecahan. Ia adalah perlu untuk memilih keseluruhan bahagian (polinomial). Dengan membahagikan sudut pengangka dengan penyebut atau dengan mengembangkan pengangka - mengikut kehendak anda. Dan contohnya juga dibongkar. Dan anda entah bagaimana menyepadukan polinomial. Bukan kecil sudah pergi.) Tetapi kami juga akan menyelesaikan contoh untuk pecahan tak wajar!

Sekarang mari kita berkenalan antara satu sama lain. Tidak seperti kebanyakan buku teks mengenai matematik yang lebih tinggi, kita tidak akan memulakan pengenalan kita dengan teori yang kering dan berat tentang teorem asas algebra, teorem Bezout, tentang pengembangan pecahan rasional kepada jumlah yang paling mudah (lebih lanjut mengenai pecahan ini kemudian) dan membosankan lain, tetapi kita akan mulakan dengan contoh mudah.

Sebagai contoh, kita perlu mencari kamiran tak tentu berikut:

Mula-mula lihat integrand. Penyebutnya ialah hasil darab tiga kurungan:

(x-1)(x+3)(x+5)

Dan semua kurungan berbeza. Oleh itu, teknologi lama kami dengan pengembangan pengangka dalam kuasa penyebut tidak berfungsi kali ini: kurungan manakah yang harus diserlahkan dalam pengangka? (x-1)? (x+3)? Ia tidak jelas ... Pemilihan petak penuh dalam penyebut juga tidak ada dalam daftar tunai: terdapat polinomial ketiga darjah (jika anda mendarabkan semua kurungan). Apa nak buat?

Apabila melihat pecahan kita, keinginan yang semula jadi timbul ... Benar-benar tidak dapat ditolak! Daripada pecahan besar kami, yang tak selesa sepadukan, entah bagaimana buat tiga yang kecil. Sekurang-kurangnya seperti ini:

Kenapa jenis ini perlu dicari? Dan semuanya kerana dalam bentuk ini pecahan awal kita sudah ada selesa untuk mengintegrasikan! Tambahkan penyebut bagi setiap pecahan kecil dan ke hadapan.)

Adakah mungkin untuk mendapatkan penguraian sedemikian? Berita itu baik! Teorem matematik yang sepadan mengatakan − Ya awak boleh! Penguraian sedemikian wujud dan unik.

Tetapi ada satu masalah: pekali A, DALAM Dan DENGAN Kami Selamat tinggal kita tak tahu. Dan kini tugas utama kita adalah adil tentukan mereka. Ketahui apa yang sama dengan huruf kami A, DALAM Dan DENGAN. Oleh itu namanya, kaedah tidak pasti pekali. Mari mulakan perjalanan hebat kami!

Jadi, kami mempunyai kesaksamaan, dari mana kami mula menari:

Mari kita bawa ketiga-tiga pecahan ke kanan kepada penyebut biasa dan tambah:

Kini anda boleh membuang penyebut dengan selamat (kerana ia adalah sama) dan hanya menyamakan pengangka. Semuanya seperti biasa

langkah seterusnya buka semua kurungan(pekali A, DALAM Dan DENGAN Selamat tinggal lebih baik ditinggalkan di luar)

Dan sekarang (penting!) kami membina keseluruhan struktur kami di sebelah kanan mengikut kekananan: mula-mula kami mengumpul semua ahli dengan x 2 dalam longgokan, kemudian - hanya dengan x dan, akhirnya, kami mengumpul ahli percuma. Sebenarnya, kami hanya memberikan yang serupa dan mengumpulkan istilah mengikut kuasa x.

seperti ini:

Dan sekarang kita memahami hasilnya. Di sebelah kiri ialah polinomial asal kami. ijazah kedua. Pengangka bagi integrand kami. Betul juga beberapa polinomial darjah kedua. Hidung pekali yang tidak diketahui. Persamaan ini harus sah untuk semua nilai x yang sah. Pecahan di sebelah kiri dan di sebelah kanan adalah sama (mengikut keadaan kami)! Ini bermakna bahawa mereka pengangka dan (iaitu polinomial kami) juga sama. Jadi pekali dengan kuasa x yang sama polinomial ini mesti ada sama rata!

Kita mulakan dengan ijazah tertinggi. Dari dataran. Mari kita lihat jenis pekali yang kita ada X 2 kiri dan kanan. Di sebelah kanan kita mempunyai jumlah pekali A+B+C, dan di sebelah kiri - deuce. Jadi kita mempunyai persamaan pertama.

Kami menulis:

A+B+C = 2

makan. Persamaan pertama selesai.)

Kemudian kita mengikuti trajektori yang semakin berkurangan - kita melihat istilah dengan x dalam darjah pertama. Di sebelah kanan di x kita ada 8A+4B+2C. baik. Dan apa yang kita ada dengan x di sebelah kiri? Hm ... Di sebelah kiri, tiada istilah dengan X sama sekali! Hanya ada 2x 2 - 3. Bagaimana untuk menjadi? Sangat ringkas! Ini bermakna pekali pada x di sebelah kiri kita ada sama dengan sifar! Kita boleh menulis sebelah kiri kita seperti ini:

Dan apa? Kami mempunyai semua hak.) Dari sini, persamaan kedua kelihatan seperti ini:

8 A+4 B+2 C = 0

Nah, secara praktikal, itu sahaja. Ia kekal untuk menyamakan syarat percuma:

15A-5B-3C = -3

Dalam satu perkataan, penyamaan pekali pada kuasa yang sama bagi x berlaku mengikut skema berikut:

Ketiga-tiga persamaan kita mesti dipenuhi serentak. Oleh itu, kami mengumpulkan sistem daripada persamaan bertulis kami:

Sistem ini bukanlah yang paling sukar untuk pelajar yang rajin - tiga persamaan dan tiga tidak diketahui. Tentukan mengikut kehendak anda. Anda boleh menggunakan kaedah Cramer melalui matriks dengan penentu, anda boleh menggunakan kaedah Gauss, anda juga boleh menggunakan penggantian sekolah biasa.

Sebagai permulaan, saya akan menyelesaikan sistem ini dengan cara pelajar budaya biasanya menyelesaikan sistem sedemikian. Iaitu, kaedah Cramer.

Kami memulakan penyelesaian dengan menyusun matriks sistem. Saya mengingatkan anda bahawa matriks ini hanya terdiri daripada jadual pekali untuk yang tidak diketahui.

Inilah dia:

Pertama sekali, kita mengira penentu matriks sistem. Atau, secara ringkas, pengecam sistem. Ia biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani ∆ ("delta"):

Hebat, penentu sistem bukan sifar (-48≠0) . Daripada teori sistem persamaan linear, fakta ini bermakna sistem kita adalah konsisten dan mempunyai penyelesaian yang unik.

Langkah seterusnya ialah mengira penentu yang tidak diketahui ∆A, ∆B, ∆C. Saya mengingatkan anda bahawa setiap satu daripada tiga penentu ini diperoleh daripada penentu utama sistem dengan menggantikan lajur dengan pekali untuk yang tidak diketahui sepadan dengan lajur istilah bebas.

Jadi kami membuat penentu dan mempertimbangkan:

Saya tidak akan menerangkan secara terperinci teknik untuk mengira penentu urutan ketiga di sini. Dan jangan tanya. Ini sudah agak penyelewengan daripada topik akan menjadi.) Siapa yang berada dalam subjek, dia memahami apa yang ia adalah tentang. Dan, mungkin, anda sudah meneka dengan tepat bagaimana saya mengira ketiga-tiga penentu ini.)

Itu sahaja dan selesai.)

Ini adalah cara pelajar berbudaya biasanya memutuskan sistem. Tetapi ... Tidak semua pelajar berkawan dengan penentu. Malangnya. Bagi sesetengah orang, konsep mudah matematik yang lebih tinggi ini kekal sebagai huruf Cina dan raksasa misteri dalam kabus...

Nah, terutamanya untuk pelajar yang tidak berbudaya, saya mencadangkan cara penyelesaian yang lebih biasa - kaedah penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui. Sebenarnya, ini adalah kaedah penggantian "sekolah" lanjutan. Hanya akan ada lebih banyak langkah.) Tetapi intinya adalah sama. Pertama sekali, saya akan mengecualikan pembolehubah DENGAN. Untuk ini saya akan luahkan DENGAN daripada persamaan pertama dan gantikan kepada kedua dan ketiga:

Kami memudahkan, memberikan yang serupa dan mendapatkan sistem baharu, sudah ada dua tidak diketahui:

Sekarang, dalam sistem baru ini, ia juga mungkin untuk menyatakan salah satu pembolehubah dari segi yang lain. Tetapi pelajar yang paling prihatin mungkin akan perasan bahawa pekali di hadapan pembolehubah B – bertentangan. Dua dan tolak dua. Oleh itu, adalah sangat mudah untuk menambah kedua-dua persamaan bersama-sama untuk menghapuskan pembolehubah DALAM dan tinggalkan surat itu sahaja A.

Kami menambah bahagian kiri dan kanan, mengurangkan secara mental 2B Dan -2B dan selesaikan persamaan hanya berkenaan dengan A:

makan. Pekali pertama ditemui: A = -1/24.

Tentukan pekali kedua DALAM. Sebagai contoh, dari persamaan atas:

Dari sini kita dapat:

Hebat. Pekali kedua juga didapati: B = -15/8 . Masih ada sepucuk surat lagi DENGAN. Untuk menentukannya, kami menggunakan persamaan paling atas, di mana kami telah menyatakannya A Dan DALAM:

Jadi:

OK semuanya sudah berakhir Sekarang. Kemungkinan tidak diketahui ditemui! Tidak kira sama ada melalui Cramer atau melalui penggantian. utama, Betul dijumpai.)

Jadi, pengembangan pecahan besar kami kepada jumlah kecil akan kelihatan seperti ini:

Dan jangan biarkan pekali pecahan yang terhasil mengelirukan anda: dalam prosedur ini (kaedah pekali tak tentu), ini adalah kejadian yang paling biasa. :)

Dan kini adalah sangat wajar untuk menyemak sama ada kami telah menemui pekali kami dengan betul A, B Dan DENGAN. Jadi sekarang kita ambil draf dan ingat gred lapan - kita tambah semula ketiga-tiga pecahan kecil kita.

Jika kita mendapat pecahan besar asal, maka semuanya baik-baik saja. Tidak, ini bermakna pukul saya dan cari kesilapan.

Penyebut sepunya jelas akan menjadi 24(x-1)(x+3)(x+5).

Pergi:

ya!!! Dapatkan pecahan asal. Itu yang perlu diperiksa. Segala-galanya adalah baik. Jadi tolong jangan pukul saya.)

Dan sekarang kita kembali kepada integral asal kita. Ia tidak menjadi lebih mudah pada masa itu, ya. Tetapi sekarang apabila pecahan kita telah diuraikan menjadi jumlah yang kecil, menyepadukannya telah menjadi satu keseronokan yang nyata!

Lihatlah sendiri! Kami memasukkan pengembangan kami ke dalam kamiran asal.

Kita mendapatkan:

Kami menggunakan sifat-sifat kelinearan dan memecahkan kamiran besar kami kepada jumlah yang kecil, kami mengeluarkan semua pemalar di luar tanda kamiran.

Kita mendapatkan:

Dan tiga kamiran kecil yang terhasil sudah mudah diambil .

Kami meneruskan integrasi:

Itu sahaja.) Dan jangan tanya saya dalam pelajaran ini dari mana datangnya logaritma dalam jawapan! Siapa ingat, dia dalam subjek dan akan faham segala-galanya. Dan siapa yang tidak ingat - kami berjalan di sepanjang pautan. Saya tidak hanya memakainya.

Jawapan akhir:

Inilah triniti yang begitu indah: tiga logaritma - pengecut, berpengalaman dan bodoh. :) Dan cuba, teka jawapan yang begitu licik dengan segera! Hanya kaedah pekali tak tentu yang membantu, ya.) Sebenarnya, kami sedang menyiasat untuk tujuan ini. Apa, bagaimana dan di mana.

Sebagai latihan latihan, saya cadangkan anda mengamalkan kaedah dan menyepadukan pecahan berikut:

Berlatih, cari integral, jangan ambil untuk bekerja! Anda sepatutnya mendapat jawapan seperti ini:

Kaedah pekali tak tentu adalah perkara yang berkuasa. Ia menjimatkan walaupun dalam keadaan yang paling tidak ada harapan, apabila anda menukar pecahan pula, dan sebagainya. Dan di sini, beberapa pembaca yang prihatin dan berminat mungkin mempunyai beberapa soalan:

- Bagaimana jika polinomial dalam penyebut tidak difaktorkan sama sekali?

- BAGAIMANAKAH seseorang harus mencari pengembangan mana-mana pecahan rasional besar kepada jumlah pecahan kecil? Dalam sebarang bentuk? Mengapa dalam ini dan bukan itu?

- Bagaimana jika terdapat pelbagai faktor dalam pengembangan penyebut? Atau kurungan dalam kuasa seperti (x-1) 2 ? Dalam bentuk apa untuk mencari penguraian?

- Bagaimana jika, sebagai tambahan kepada kurungan ringkas dalam bentuk (x-a), penyebut serentak mengandungi trinomial segi empat sama tak boleh terurai? Katakan x 2 +4x+5 ? Dalam bentuk apa untuk mencari penguraian?

Nah, sudah tiba masanya untuk memahami sepenuhnya dari mana kaki tumbuh. dalam pelajaran seterusnya.)

Penyepaduan fungsi pecahan-rasional.
Kaedah pekali yang tidak ditentukan

Kami terus berusaha untuk menyepadukan pecahan. Kami telah mempertimbangkan kamiran beberapa jenis pecahan dalam pelajaran, dan pelajaran ini dalam erti kata tertentu boleh dianggap sebagai sambungan. Untuk berjaya memahami bahan, kemahiran integrasi asas diperlukan, jadi jika anda baru mula belajar kamiran, iaitu, anda adalah teko, maka anda perlu bermula dengan artikel Kamiran tak tentu. Contoh penyelesaian.

Anehnya, sekarang kita tidak akan berurusan dengan mencari kamiran sebagai ... menyelesaikan sistem persamaan linear. Dalam hubungan ini dengan kuat Saya mengesyorkan melawati pelajaran Iaitu, anda perlu mahir dalam kaedah penggantian (kaedah "sekolah" dan kaedah penambahan (penolakan) penggal demi penggal bagi persamaan sistem).

Apakah fungsi rasional pecahan? Dalam perkataan mudah, fungsi pecahan-rasional ialah pecahan dalam pengangka dan penyebut yang merupakan polinomial atau hasil darab polinomial. Pada masa yang sama, pecahan adalah lebih canggih daripada yang dibincangkan dalam artikel. Penyepaduan beberapa pecahan.

Penyepaduan fungsi pecahan-rasional yang betul

Serta-merta contoh dan algoritma biasa untuk menyelesaikan kamiran fungsi rasional pecahan.

Contoh 1

Langkah 1. Perkara pertama yang SELALU kita lakukan semasa menyelesaikan kamiran bagi fungsi pecahan rasional ialah bertanya soalan berikut: adakah pecahan itu betul? Langkah ini dilakukan secara lisan, dan sekarang saya akan menerangkan caranya:

Mula-mula lihat pengangka dan ketahui ijazah senior polinomial:

Kuasa tertinggi pengangka ialah dua.

Sekarang lihat penyebutnya dan ketahui ijazah senior penyebut. Cara yang jelas adalah dengan membuka kurungan dan membawa istilah yang sama, tetapi anda boleh melakukannya dengan lebih mudah, dalam masing-masing kurungan mencari darjah tertinggi

dan mendarab secara mental: - dengan itu, darjah tertinggi penyebut adalah bersamaan dengan tiga. Agak jelas bahawa jika kita benar-benar membuka kurungan, maka kita tidak akan mendapat ijazah lebih daripada tiga.

Kesimpulan: Kuasa tertinggi pengangka KETAT kurang daripada kuasa tertinggi penyebut, maka pecahan itu betul.

Jika dalam contoh ini pengangka mengandungi polinomial 3, 4, 5, dsb. darjah, maka pecahannya ialah salah.

Sekarang kita hanya akan mempertimbangkan fungsi pecahan-rasional yang betul. Kes apabila darjah pengangka lebih besar daripada atau sama dengan darjah penyebut, kita akan menganalisis pada akhir pelajaran.

Langkah 2 Mari kita memfaktorkan penyebutnya. Mari lihat penyebut kami:

Secara umumnya, di sini sudah menjadi produk faktor, tetapi, bagaimanapun, kita bertanya kepada diri sendiri: adakah mungkin untuk mengembangkan sesuatu yang lain? Objek penyeksaan, tentu saja, akan menjadi trinomial persegi. Kami menyelesaikan persamaan kuadratik:

Diskriminasi adalah lebih besar daripada sifar, yang bermaksud bahawa trinomial sememangnya difaktorkan:

Peraturan am: SEGALA PERKARA yang dalam penyebut BOLEH difaktorkan - pemfaktoran

Mari kita mula membuat keputusan:

Langkah 3 Dengan menggunakan kaedah pekali tak tentu, kami mengembangkan kamiran dan menjadi jumlah pecahan mudah (elemen). Kini ia akan menjadi lebih jelas.

Mari kita lihat fungsi integrand kami:

Dan, anda tahu, pemikiran intuitif entah bagaimana tergelincir bahawa adalah baik untuk menukar pecahan besar kita kepada beberapa yang kecil. Sebagai contoh, seperti ini:

Persoalannya timbul, adakah mungkin untuk melakukan ini? Mari kita menarik nafas lega, teorem analisis matematik yang sepadan menyatakan - BOLEH. Penguraian sedemikian wujud dan unik.

Hanya ada satu tangkapan, pekali kita Selamat tinggal kita tidak tahu, maka dinamakan - kaedah pekali tak tentu.

Anda dapat menekanya, gerak isyarat berikutnya jadi, jangan ketawa! akan bertujuan untuk hanya BELAJAR mereka - untuk mengetahui apa yang mereka setara.

Berhati-hati, saya menerangkan secara terperinci sekali!

Jadi, mari kita mula menari dari:

Di sebelah kiri kami membawa ungkapan kepada penyebut biasa:

Sekarang kita selamat menyingkirkan penyebut (kerana ia adalah sama):

Di sebelah kiri, kami membuka kurungan, sementara kami tidak menyentuh pekali yang tidak diketahui lagi:

Pada masa yang sama, kami mengulangi peraturan sekolah untuk mendarab polinomial. Semasa saya menjadi guru, saya belajar menyebut peraturan ini dengan muka lurus: Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan polinomial yang lain..

Dari sudut pandangan penjelasan yang jelas, adalah lebih baik untuk meletakkan pekali dalam kurungan (walaupun saya secara peribadi tidak pernah melakukan ini untuk menjimatkan masa):

Kami menyusun sistem persamaan linear.
Pertama, kami mencari ijazah senior:

Dan kami menulis pekali yang sepadan dalam persamaan pertama sistem:

Ingatlah nuansa berikut. Apa yang akan berlaku jika pihak kanan tidak wujud sama sekali? Katakan, adakah ia hanya menunjuk-nunjuk tanpa sebarang segi empat sama? Dalam kes ini, dalam persamaan sistem, adalah perlu untuk meletakkan sifar di sebelah kanan: . Kenapa sifar? Dan kerana di sebelah kanan anda sentiasa boleh mengaitkan segi empat sama ini dengan sifar: Jika tiada pembolehubah atau (dan) istilah bebas di sebelah kanan, maka kami meletakkan sifar di sebelah kanan persamaan sistem yang sepadan.

Kami menulis pekali yang sepadan dalam persamaan kedua sistem:

Dan, akhirnya, air mineral, kami memilih ahli percuma.

Eh, ... saya bergurau. Ketepikan jenaka - matematik adalah sains yang serius. Dalam kumpulan institut kami, tiada siapa yang ketawa apabila penolong profesor berkata bahawa dia akan menyerakkan ahli mengikut garis nombor dan memilih yang terbesar daripada mereka. Mari kita serius. Walaupun ... sesiapa yang hidup untuk melihat penghujung pelajaran ini akan tetap tersenyum senyap.

Sistem sedia:

Kami menyelesaikan sistem:

(1) Daripada persamaan pertama, kita menyatakan dan menggantikannya ke dalam persamaan ke-2 dan ke-3 sistem. Sebenarnya, adalah mungkin untuk menyatakan (atau huruf lain) dari persamaan lain, tetapi dalam kes ini adalah berfaedah untuk menyatakannya dari persamaan pertama, kerana terdapat kemungkinan terkecil.

(2) Kami membentangkan sebutan yang serupa dalam persamaan ke-2 dan ke-3.

(3) Kami menambah sebutan persamaan ke-2 dan ke-3 mengikut sebutan, sambil memperoleh kesamaan , daripadanya ia mengikuti bahawa

(4) Kami menggantikan ke dalam persamaan kedua (atau ketiga), dari mana kami dapati itu

(5) Kami menggantikan dan ke dalam persamaan pertama, mendapat .

Jika anda menghadapi sebarang masalah dengan kaedah penyelesaian sistem, selesaikan di dalam kelas. Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear?

Selepas menyelesaikan sistem, ia sentiasa berguna untuk membuat semakan - menggantikan nilai yang ditemui dalam setiap persamaan sistem, akibatnya, semuanya harus "bertumpu".

Hampir tiba. Pekali didapati, manakala:

Kerja yang bersih sepatutnya kelihatan seperti ini:

Seperti yang anda lihat, kesukaran utama tugas itu adalah untuk mengarang (betul!) dan menyelesaikan (betul!) sistem persamaan linear. Dan pada peringkat akhir, segala-galanya tidak begitu sukar: kami menggunakan sifat-sifat lineariti kamiran tak tentu dan integrasi. Saya menarik perhatian anda kepada fakta bahawa di bawah setiap tiga kamiran kami mempunyai fungsi kompleks "percuma", saya bercakap tentang ciri-ciri penyepaduannya dalam pelajaran Kaedah perubahan pembolehubah dalam kamiran tak tentu.

Semak: Bezakan jawapan:

Kamiran asal telah diperolehi, yang bermaksud kamiran ditemui dengan betul.
Semasa pengesahan, adalah perlu untuk membawa ungkapan kepada penyebut biasa, dan ini bukan kebetulan. Kaedah pekali tak tentu dan membawa ungkapan kepada penyebut biasa adalah tindakan songsang bersama.

Contoh 2

Cari kamiran tak tentu.

Mari kita kembali kepada pecahan daripada contoh pertama: . Adalah mudah untuk melihat bahawa dalam penyebut semua faktor adalah BERBEZA. Timbul persoalan, apa yang perlu dilakukan jika, sebagai contoh, pecahan sedemikian diberikan: ? Di sini kita mempunyai darjah dalam penyebut, atau, dalam istilah matematik, pelbagai faktor. Di samping itu, terdapat trinomial segi empat sama tidak boleh terurai (mudah untuk mengesahkan bahawa pendiskriminasi persamaan adalah negatif, jadi trinomial tidak boleh difaktorkan dalam apa-apa cara). Apa nak buat? Pengembangan kepada jumlah pecahan asas akan kelihatan seperti dengan pekali yang tidak diketahui di bahagian atas atau dengan cara lain?

Contoh 3

Hantar fungsi

Langkah 1. Menyemak sama ada kita mempunyai pecahan yang betul
Kuasa tertinggi pengangka: 2
Penyebut tertinggi: 8
, jadi pecahan itu betul.

Langkah 2 Bolehkah sesuatu difaktorkan dalam penyebut? Jelas sekali tidak, semuanya sudah diatur. Trinomial segi empat sama tidak berkembang menjadi produk atas sebab di atas. Baik. Kurang kerja.

Langkah 3 Mari kita mewakili fungsi pecahan-rasional sebagai hasil tambah pecahan asas.
Dalam kes ini, penguraian mempunyai bentuk berikut:

Mari lihat penyebut kami:
Apabila menguraikan fungsi pecahan-rasional kepada jumlah pecahan asas, tiga titik asas boleh dibezakan:

1) Jika penyebut mengandungi faktor "kesepian" dalam darjah pertama (dalam kes kami), maka kami meletakkan pekali tak tentu di bahagian atas (dalam kes kami). Contoh No. 1,2 hanya terdiri daripada faktor "kesepian" sedemikian.

2) Jika penyebutnya mengandungi pelbagai pengganda, maka anda perlu mengurai seperti berikut:
- iaitu, susun secara berurutan semua darjah "x" dari darjah pertama hingga ke-n. Dalam contoh kami, terdapat dua faktor berbilang: dan , lihat sekali lagi pada penguraian yang saya berikan dan pastikan ia diuraikan dengan tepat mengikut peraturan ini.

3) Jika penyebut mengandungi polinomial yang tidak boleh terurai darjah kedua (dalam kes kami ), maka apabila berkembang dalam pengangka, anda perlu menulis fungsi linear dengan pekali tak tentu (dalam kes kami, dengan pekali tak tentu dan ).

Malah, terdapat juga kes ke-4, tetapi saya akan berdiam diri mengenainya, kerana dalam praktiknya ia sangat jarang berlaku.

Contoh 4

Hantar fungsi sebagai jumlah pecahan asas dengan pekali yang tidak diketahui.

Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.
Patuhi algoritma dengan tegas!

Jika anda telah mengetahui prinsip yang anda perlukan untuk menguraikan fungsi rasional pecahan kepada jumlah, maka anda boleh memecahkan hampir mana-mana kamiran jenis yang sedang dipertimbangkan.

Contoh 5

Cari kamiran tak tentu.

Langkah 1. Jelas sekali, pecahan itu betul:

Langkah 2 Bolehkah sesuatu difaktorkan dalam penyebut? boleh. Berikut ialah hasil tambah kubus . Memfaktorkan penyebut menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan

Langkah 3 Dengan menggunakan kaedah pekali tak tentu, kami mengembangkan kamiran dan menjadi jumlah pecahan asas:

Ambil perhatian bahawa polinomial tidak boleh terurai (semak bahawa diskriminasi adalah negatif), jadi di bahagian atas kita letakkan fungsi linear dengan pekali yang tidak diketahui, dan bukan hanya satu huruf.

Kami membawa pecahan kepada penyebut biasa:

Mari buat dan selesaikan sistem:

(1) Daripada persamaan pertama, kita menyatakan dan menggantikan ke dalam persamaan kedua sistem (ini adalah cara yang paling rasional).

(2) Kami membentangkan istilah yang serupa dalam persamaan kedua.

(3) Kami menambah persamaan kedua dan ketiga bagi sebutan sistem mengikut sebutan.

Semua pengiraan lanjut, pada dasarnya, adalah lisan, kerana sistemnya mudah.

(1) Kami menulis jumlah pecahan mengikut pekali yang ditemui.

(2) Kami menggunakan sifat lineariti kamiran tak tentu. Apakah yang berlaku dalam kamiran kedua? Anda boleh menemui kaedah ini dalam perenggan terakhir pelajaran. Penyepaduan beberapa pecahan.

(3) Sekali lagi kita menggunakan sifat lineariti. Dalam kamiran ketiga, kita mula memilih segi empat sama penuh (perenggan kedua terakhir pelajaran Penyepaduan beberapa pecahan).

(4) Kami mengambil kamiran kedua, dalam yang ketiga kami memilih petak penuh.

(5) Kami mengambil kamiran ketiga. sedia.

KEMENTERIAN SAINS DAN PENDIDIKAN REPUBLIK BASHKORTO STAN

GAOU SPO Bashkir Kolej Seni Bina dan Kejuruteraan Awam

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

guru matematik Bashkir

Kolej Seni Bina dan Kejuruteraan Awam

UFA

2014

Pendahuluan ________________________________________________________3

Bab saya. Aspek teori menggunakan kaedah pekali tidak ditentukan _____________________________________________4

Bab II. Cari penyelesaian kepada masalah dengan polinomial dengan kaedah pekali tak tentu ______________________________7

2.1 Memfaktorkan polinomial _______________________ 7

2.2. Tugasan dengan parameter________________________________ 10

2.3. Menyelesaikan Persamaan ________________________________________14

2.4. Persamaan Fungsian ___________________________19

Kesimpulan_________________________________________________23

Senarai rujukan ______________________________24

Permohonan ________________________________________________25

pengenalan.

Kerja ini ditumpukan kepada aspek teori dan praktikal dalam memperkenalkan kaedah pekali tak tentu ke dalam kursus matematik sekolah. Perkaitan topik ini ditentukan oleh keadaan berikut.

Tiada siapa yang akan berhujah dengan fakta bahawa matematik sebagai sains tidak berdiri di satu tempat, ia berkembang sepanjang masa, tugas-tugas baru yang meningkat kerumitan muncul, yang sering menyebabkan kesukaran tertentu, kerana tugas-tugas ini biasanya dikaitkan dengan penyelidikan. Dalam beberapa tahun kebelakangan ini, masalah sedemikian telah dicadangkan di Olimpik matematik sekolah, wilayah dan republik, ia juga tersedia dalam versi USE. Oleh itu, kaedah khas diperlukan yang membolehkan menyelesaikan sekurang-kurangnya sebahagian daripadanya dengan paling cepat, cekap dan berpatutan. Dalam karya ini, kandungan kaedah pekali tak tentu dibentangkan dengan cara yang boleh diakses, yang digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang matematik, daripada soalan yang dimasukkan dalam kursus sekolah pendidikan am hingga bahagian yang paling maju. Khususnya, aplikasi kaedah pekali tak tentu dalam menyelesaikan masalah dengan parameter, persamaan rasional pecahan dan fungsian amat menarik dan berkesan; mereka boleh menarik minat sesiapa sahaja yang berminat dalam matematik. Tujuan utama kerja yang dicadangkan dan pemilihan masalah adalah untuk menyediakan peluang yang mencukupi untuk mengasah dan mengembangkan keupayaan untuk mencari penyelesaian yang pendek dan tidak standard.

Karya ini terdiri daripada dua bab. Yang pertama berkaitan dengan aspek teori penggunaan

kaedah pekali tidak pasti, dalam kedua - aspek praktikal dan metodologi penggunaan sedemikian.

Lampiran kerja mengandungi syarat tugas khusus untuk penyelesaian bebas.

Bab saya . Aspek teori penggunaan kaedah pekali tidak pasti

"Manusia ... dilahirkan untuk menjadi tuan,

tuan, raja alam, tetapi kebijaksanaan,

yang dengannya dia harus memerintah tidak diberikan kepadanya

sejak lahir: ia diperoleh dengan belajar"

N.I. Lobachevsky

Terdapat pelbagai cara dan kaedah untuk menyelesaikan masalah, tetapi salah satu yang paling mudah, paling berkesan, asli, elegan dan pada masa yang sama sangat mudah dan difahami oleh semua orang ialah kaedah pekali tak tentu. Kaedah pekali tak tentu ialah kaedah yang digunakan dalam matematik untuk mencari pekali ungkapan, yang bentuknya diketahui terlebih dahulu.

Sebelum mempertimbangkan penggunaan kaedah pekali tak tentu untuk menyelesaikan pelbagai jenis masalah, kami membentangkan beberapa maklumat teori.

Biarlah mereka diberi

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

polinomial berkenaan dengan X dengan sebarang nisbah.

Teorem. Dua polinomial bergantung kepada satu dan daripada hujah yang sama adalah sama jika dan hanya jikan = m dan pekali masing-masing ialaha 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m Dan T. d.

Jelas sekali, polinomial yang sama diambil untuk semua nilai X nilai yang sama. Sebaliknya, jika nilai dua polinomial adalah sama untuk semua nilai X, kemudian polinomial adalah sama, iaitu, pekali mereka pada kuasa yang samaX padankan.

Oleh itu, idea untuk menggunakan kaedah pekali tak tentu untuk menyelesaikan masalah adalah seperti berikut.

Beritahu kami bahawa hasil daripada beberapa transformasi, ungkapan bentuk tertentu diperoleh dan hanya pekali dalam ungkapan ini tidak diketahui. Kemudian pekali ini dilambangkan dengan huruf dan dianggap sebagai tidak diketahui. Kemudian, sistem persamaan disusun untuk menentukan yang tidak diketahui ini.

Sebagai contoh, dalam kes polinomial, persamaan ini terdiri daripada keadaan kesamaan pekali pada kuasa yang sama X untuk dua polinomial yang sama.

Kami akan menunjukkan perkara di atas dengan contoh konkrit berikut, dan kami akan mulakan dengan yang paling mudah.

Jadi, sebagai contoh, berdasarkan pertimbangan teori, pecahan

boleh diwakili sebagai jumlah

, Di mana a , b Dan c - pekali yang akan ditentukan. Untuk mencarinya, kami menyamakan ungkapan kedua dengan yang pertama:

=

dan menyingkirkan penyebut dan mengumpul di sebelah kiri istilah dengan kuasa yang sama X, kita mendapatkan:

(a + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Oleh kerana kesaksamaan terakhir mesti dipegang untuk semua nilai X, maka pekali pada kuasa yang samaX kanan dan kiri sepatutnya sama. Oleh itu, tiga persamaan diperolehi untuk menentukan tiga pekali yang tidak diketahui:

a+b+c = 2

b - c = - 5

A= 1 , dari mana a = 1 , b = - 2 , c = 3

Oleh itu,

=
,

kesahihan kesaksamaan ini mudah untuk disahkan secara langsung.

Mari kita bayangkan juga pecahan

sebagai a + b
+ c
+ d
, Di mana a , b , c Dan d- pekali rasional tidak diketahui. Samakan ungkapan kedua dengan yang pertama:

a + b
+ c
+ d
=
atau, menyingkirkan penyebut, mengeluarkan, jika boleh, faktor rasional dari bawah tanda akar dan membawa istilah serupa di sebelah kiri, kita mendapat:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b-c + d )
= 1 +
-
.

Tetapi kesamaan sedemikian hanya mungkin dalam kes apabila terma rasional kedua-dua bahagian dan pekali pada radikal yang sama adalah sama. Oleh itu, empat persamaan diperolehi untuk mencari pekali yang tidak diketahui a , b , c Dan d :

a- 2b + 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0 , dari mana a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , iaitu
= -
+
.

Bab II. Cari penyelesaian kepada masalah dengan polinomial kaedah pekali tidak pasti.

“Tiada apa-apa yang menyumbang kepada asimilasi subjek

bagaimana untuk bertindak dengannya dalam situasi yang berbeza"

Ahli akademik B.V. Gnedenko

2. 1. Penguraian polinomial kepada faktor.

Kaedah pemfaktoran polinomial:

1) mengambil faktor sepunya daripada kurungan; 2) kaedah pengelompokan; 3) penggunaan formula pendaraban asas; 4) pengenalan istilah tambahan, 5) transformasi awal polinomial tertentu dengan bantuan formula tertentu; 6) pengembangan dengan mencari punca polinomial tertentu; 7) kaedah pengenalan parameter; 8) kaedah pekali tidak pasti.

Masalah 1. Uraikan polinomial kepada faktor nyata X 4 + X 2 + 1 .

Penyelesaian. Tiada punca di kalangan pembahagi istilah bebas polinomial ini. Kita tidak dapat mencari punca polinomial dengan cara asas lain. Oleh itu, adalah tidak mungkin untuk melakukan pengembangan yang diperlukan dengan mencari punca polinomial ini terlebih dahulu. Ia kekal untuk mencari penyelesaian kepada masalah sama ada dengan memperkenalkan istilah tambahan atau dengan kaedah pekali tak tentu. Ia adalah jelas bahawa X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Trinomial segi empat sama yang terhasil tidak mempunyai punca, dan oleh itu tidak boleh diuraikan menjadi faktor linear sebenar.

Kaedah yang diterangkan secara teknikalnya mudah, tetapi sukar kerana ketiruannya. Sesungguhnya, sangat sukar untuk menghasilkan istilah tambahan yang diperlukan. Hanya tekaan yang membantu kami mencari pengembangan ini. Tetapi

Terdapat cara yang lebih dipercayai untuk menyelesaikan masalah sedemikian.

Seseorang boleh meneruskan seperti berikut: andaikan bahawa polinomial yang diberikan mengembang menjadi produk

(X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

dua trinomial segi empat sama dengan pekali integer.

Oleh itu, kita akan mempunyai itu

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

Ia kekal untuk menentukan pekalia , b , c Dan d .

Mendarabkan polinomial di sebelah kanan kesamaan terakhir, kita dapat:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (iklan + bc ) x + bd .

Tetapi kerana kita memerlukan bahagian kanan kesamaan ini untuk bertukar menjadi polinomial yang sama yang ada di sebelah kiri, kita memerlukan syarat berikut untuk dipenuhi:

a + c = 0

b + A c + d = 1

iklan + bc = 0

bd = 1 .

Hasilnya ialah sistem empat persamaan dengan empat tidak diketahuia , b , c Dan d . Mudah untuk mencari pekali daripada sistem inia = 1 , b = 1 , c = -1 Dan d = 1.

Kini masalah itu selesai sepenuhnya. Kami mendapat:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Masalah 2. Uraikan polinomial kepada faktor nyata X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Penyelesaian. Kami mewakili polinomial ini dalam bentuk

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + A )(X 2 + bx + c), Di mana a , b Dan Dengan - pekali belum ditentukan. Oleh kerana dua polinomial adalah sama jika dan hanya jika pekali pada kuasa yang samaX adalah sama, maka, menyamakan pekali, masing-masing, padaX 2 , X dan istilah bebas, kita mendapat sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

a+b= - 6

ab+c = 14

ac = - 15 .

Penyelesaian sistem ini akan sangat dipermudahkan jika kita mengambil kira bahawa nombor 3 (pembahagi bagi sebutan bebas) adalah punca persamaan ini, dan, oleh itu,a = - 3 ,

b = - 3 Dan Dengan = 5 .

Kemudian X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Kaedah penggunaan pekali tak tentu, berbanding dengan kaedah di atas untuk memperkenalkan istilah tambahan, tidak mengandungi apa-apa tiruan, tetapi ia memerlukan penggunaan banyak peruntukan teori dan disertai dengan pengiraan yang agak besar. Untuk polinomial yang lebih tinggi, kaedah pekali tak tentu ini membawa kepada sistem persamaan yang menyusahkan.

2.2 Tugasan dan dengan parameter.

Dalam beberapa tahun kebelakangan ini, tugasan dengan parameter telah dicadangkan dalam varian USE. Penyelesaian mereka sering menyebabkan kesukaran tertentu. Apabila menyelesaikan masalah dengan parameter, bersama-sama dengan kaedah lain, adalah mungkin untuk menggunakan kaedah pekali tak tentu dengan berkesan. Kaedah inilah yang menjadikannya lebih mudah untuk menyelesaikannya dan mendapatkan jawapan dengan cepat.

Tugasan 3. Tentukan pada apakah nilai parameter A persamaan 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 0 mempunyai tepat dua punca.

Penyelesaian. 1 cara. Dengan bantuan terbitan.

Kami mewakili persamaan ini dalam bentuk dua fungsi

2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – A .

f (x) = 2x 3 - 3 X 2 – 36 X– 3 dan φ( X ) = – A .

Meneroka fungsif (x) = 2x 3 - 3 X 2 – 36 X - 3 dengan bantuan terbitan dan bina grafnya secara skematik (Rajah 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Fungsinya bukan genap mahupun ganjil.

3. Cari titik genting bagi fungsi, selang kenaikan dan penurunannya, ekstrem. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , jadi kita mencari semua titik kritikal fungsi dengan menyelesaikan persamaan f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 dengan teorem bertukar kepada teorem Vieta.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ maks - min +

2 3 x

f / (x) > 0 untuk semua X< – 2 dan X > 3 dan fungsi adalah selanjar pada titikx =– 2 dan X = 3 , oleh itu, ia meningkat pada setiap selang (- ; - 2] dan [ 3 ; ).

f / (x ) < 0 pada - 2 < X< 3 , oleh itu, ia berkurangan pada selang [- 2; 3 ].

X = - 2 mata maksimum, kerana pada ketika ini, tanda derivatif berubah daripada"+" kepada "-".

f (– 2) = 2 (– 8) – 3 4 – 36 (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 ialah titik minimum, kerana pada ketika ini tanda derivatif berubah"-" kepada "+".

f (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84 .

Graf fungsi φ(X ) = – A ialah garis lurus selari dengan paksi-x dan melalui satu titik dengan koordinat (0; – A ). Graf mempunyai dua titik sepunya di −A= 41 , i.e. a =- 41 dan - A= - 84 , i.e. A = 84 .

di

41 φ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2 cara. Kaedah pekali tidak pasti.

Oleh kerana, mengikut keadaan masalah, persamaan ini hanya mempunyai dua punca, pemenuhan kesamaan adalah jelas:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 bc ) x + b 2 c ,

Sekarang menyamakan pekali pada kuasa yang sama X, kita memperoleh sistem persamaan

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc=- 36

b 2 c = a – 3 .

Daripada dua persamaan pertama sistem kita dapatib 2 + b – 6 = 0, dari mana b 1 = - 3 atau b 2 = 2 . Nilai masing-masingDengan 1 dan Dengan 2 ia adalah mudah untuk mencari daripada persamaan pertama sistem:Dengan 1 = 9 atau Dengan 2 = - 11 . Akhir sekali, nilai parameter yang dikehendaki boleh ditentukan daripada persamaan terakhir sistem:

A = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 atau a 2 = 84.

Jawapan: persamaan ini mempunyai dua yang berbeza

akar di A= - 41 dan A= 84 .

Tugasan 4. Cari nilai terbesar bagi parameterA , yang mana persamaanX 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0

dengan pekali integer mempunyai tiga punca yang berbeza, salah satunya ialah - 2 .

Penyelesaian. 1 cara. Menggantikan X= - 2 ke sebelah kiri persamaan, kita dapat

8 + 20 – 2 A + b= 0, yang bermaksud b = 2 a – 12 .

Oleh kerana nombor - 2 adalah punca, anda boleh mengambil faktor sepunya X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (a – 6) ) .

Dengan syarat, terdapat dua lagi punca persamaan. Oleh itu, diskriminasi faktor kedua adalah positif.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0 , iaitu A < 8,25 .

Nampaknya jawapannya adalah a = 8 . Tetapi apabila menggantikan nombor 8 dalam persamaan asal, kita mendapat:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

iaitu persamaan hanya mempunyai dua punca yang berbeza. Tetapi pada a = 7 benar-benar mendapat tiga akar yang berbeza.

2 cara. Kaedah pekali tak tentu.

Jika persamaan X 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0 mempunyai punca X = - 2, maka anda sentiasa boleh mengambil nomborc Dan d supaya untuk semuaX kesaksamaan adalah benar

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = (X + 2)(X 2 + Dengan x + d ).

Untuk mencari nomborc Dan d buka kurungan di sebelah kanan, berikan istilah yang sama dan dapatkan

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + (2 + Dengan ) X 2 +(2 dengan + d ) X + 2 d

Menyamakan pekali pada kuasa yang sepadan X kita ada sistem

2 + Dengan = 5

2 Dengan + d = a

2 d = b , di mana c = 3 .

Oleh itu, X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 atau

d < 2.25, jadi d (- ; 2 ].

Keadaan masalah dipenuhi dengan nilai d = 1 . Nilai akhir parameter yang dikehendakiA = 7.

A n e t: bila a = 7 persamaan ini mempunyai tiga punca yang berbeza.

2.3. Penyelesaian persamaan.

“Ingatlah bahawa apabila anda menyelesaikan masalah kecil, anda

sediakan diri anda untuk menyelesaikan masalah besar dan sukar

tugasan.”

Ahli akademik S.L.Sobolev

Apabila menyelesaikan beberapa persamaan, adalah mungkin dan perlu untuk menunjukkan kepintaran dan kecerdasan, untuk menggunakan teknik khas. Pemilikan pelbagai kaedah transformasi dan keupayaan untuk menjalankan penaakulan logik adalah sangat penting dalam matematik. Salah satu helah ini ialah menambah dan menolak beberapa ungkapan atau nombor yang dipilih dengan baik. Fakta yang dinyatakan itu sendiri, sudah tentu, diketahui oleh semua orang - kesukaran utama adalah untuk melihat dalam konfigurasi tertentu transformasi persamaan yang sesuai dan sesuai untuk digunakan.

Pada persamaan algebra mudah, kami menggambarkan satu kaedah bukan piawai untuk menyelesaikan persamaan.

Masalah 5. Selesaikan persamaan

=
.

Penyelesaian. Darab kedua-dua belah persamaan ini dengan 5 dan tulis semula seperti berikut

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 atau
= 0

Kami menyelesaikan persamaan yang terhasil dengan kaedah pekali tak tentu

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (iklan + bc ) x++ bd

Menyamakan pekali pada X 3 , X 2 , X dan syarat percuma, kami mendapat sistem

a + c = -1

b + A c + d = 0

iklan + bc = -7

bd = -3 , dari mana kita dapati:A = -2 ; b = - 1 ;

Dengan = 1 ; d = 3 .

Jadi X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 atau X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
tiada akar.

Begitu juga, kita ada

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

di mana X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Jawapan: X 1,2 =

Masalah 6. Selesaikan persamaan

= 10.

Penyelesaian. Untuk menyelesaikan persamaan ini, perlu memilih nomborA Dan b supaya pengangka kedua-dua pecahan adalah sama. Oleh itu, kami mempunyai sistem:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Oleh itu, tugasnya adalah untuk mengambil nomborA Dan b , yang mana persamaan

(a + 6) X 2 + ah- 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Sekarang, mengikut teorem kesamaan polinomial, adalah perlu bahawa bahagian kanan kesamaan ini bertukar menjadi polinomial yang sama yang berada di sebelah kiri.

Dalam erti kata lain, hubungan mesti dipegang

a + 6 = 1

A = 5 + 2 b

– 5 = b , daripada mana kita dapati nilaiA = - 5 ;

b = - 5 .

Dengan nilai-nilai iniA Dan b kesaksamaan A + b = - 10 juga sah.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 atau X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Jawapan: X 1,2 =
, X 3,4 =

Masalah 7. Selesaikan persamaan

= 4

Penyelesaian. Persamaan ini lebih rumit daripada yang sebelumnya dan oleh itu kami mengumpulkannya sedemikian rupa X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Daripada keadaan kesamaan dua polinomial

Oh 2 + (a + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

kita memperoleh dan menyelesaikan sistem persamaan untuk pekali yang tidak diketahuiA Dan b :

A = 1

a + 6 = b + 11

12 = – 3 b , di mana a = 1 , b = - 4 .

Polinomial - 3 - 6X + cx 2 + 8 cx Dan X 2 + 21 + 12 d – dx adalah sama antara satu sama lain hanya apabila

Dengan = 1

8 dengan - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , Dengan = 1 , d = - 2 .

Untuk nilaia = 1 , b = - 4 , Dengan = 1 , d = - 2

kesaksamaan
= - 4 adalah adil.

Akibatnya, persamaan ini mengambil bentuk berikut:

= 0 atau
= 0 atau
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Daripada contoh yang dipertimbangkan adalah jelas bagaimana penggunaan mahir kaedah pekali tidak pasti,

membantu untuk memudahkan penyelesaian persamaan yang agak kompleks dan luar biasa.

2.4. Persamaan fungsi.

“Tujuan tertinggi matematik ... terdiri

untuk mencari susunan tersembunyi dalam

huru-hara yang menyelubungi kita

N. Wiener

Persamaan fungsional ialah kelas persamaan yang sangat umum di mana beberapa fungsi adalah yang dikehendaki. Persamaan fungsian dalam erti kata sempit perkataan itu difahami sebagai persamaan di mana fungsi yang dikehendaki berkaitan dengan fungsi yang diketahui bagi satu atau lebih pembolehubah menggunakan operasi membentuk fungsi kompleks. Persamaan berfungsi juga boleh dianggap sebagai ungkapan sifat yang mencirikan kelas fungsi tertentu

[ contohnya, persamaan fungsian f ( x ) = f (- x ) mencirikan kelas fungsi genap, persamaan fungsianf (x + 1) = f (x ) ialah kelas fungsi dengan tempoh 1, dsb.].

Salah satu persamaan fungsi yang paling mudah ialah persamaanf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Penyelesaian berterusan bagi persamaan fungsi ini mempunyai bentuk

f (x ) = Cx . Walau bagaimanapun, dalam kelas fungsi tak selanjar, persamaan fungsi ini juga mempunyai penyelesaian lain. Persamaan fungsi yang dipertimbangkan disambungkan

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

penyelesaian berterusan, yang masing-masing mempunyai bentuk

e cx , DENGANlnx , x α (x > 0).

Oleh itu, persamaan fungsi ini boleh berfungsi untuk mentakrifkan fungsi eksponen, logaritma dan kuasa.

Yang paling banyak digunakan ialah persamaan di mana fungsi kompleks yang dikehendaki adalah fungsi luaran. Aplikasi teori dan praktikal

persamaan sedemikianlah yang mendorong ahli matematik terkemuka untuk mengkajinya.

Sebagai contoh, di penjajaran

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

N.I. Lobachevskydigunakan semasa menentukan sudut selari dalam geometrinya.

Dalam beberapa tahun kebelakangan ini, masalah yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan berfungsi agak kerap ditawarkan di Olimpik matematik. Penyelesaian mereka tidak memerlukan pengetahuan yang melangkaui skop kurikulum matematik sekolah pendidikan am. Walau bagaimanapun, penyelesaian persamaan fungsi sering menyebabkan kesukaran tertentu.

Salah satu cara untuk mencari penyelesaian kepada persamaan fungsian ialah kaedah pekali tak tentu. Ia boleh digunakan apabila penampilan persamaan boleh digunakan untuk menentukan bentuk umum fungsi yang dikehendaki. Ini terpakai, pertama sekali, untuk kes-kes apabila penyelesaian persamaan harus dicari antara keseluruhan atau fungsi rasional pecahan.

Mari kita jelaskan intipati teknik ini dengan menyelesaikan masalah berikut.

Tugasan 8. Fungsif (x ) ditakrifkan untuk semua x sebenar dan memuaskan untuk semuaX R syarat

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Carif (x ).

Penyelesaian. Oleh kerana di sebelah kiri persamaan ini ke atas pembolehubah bebas x dan nilai-nilai fungsif hanya operasi linear dilakukan, dan bahagian kanan persamaan adalah fungsi kuadratik, adalah wajar untuk menganggap bahawa fungsi yang diingini juga adalah kuadratik:

f (X) = kapak 2 + bx + c , Di manaa, b, c – pekali yang akan ditentukan, iaitu pekali yang tidak ditentukan.

Menggantikan fungsi ke dalam persamaan, kita sampai pada identiti:

3(kapak 2 + bx+c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

kapak 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Dua polinomial akan sama sama jika ia sama

pekali pada kuasa pembolehubah yang sama:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

Daripada sistem ini kita dapati pekali

a = 1 , b = - , c = , Jugamemuaskankesaksamaan

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 pada set semua nombor nyata. Pada masa yang sama, adax 0 Tugasan 9. Fungsiy=f(x) untuk semua x ditakrifkan, berterusan dan memenuhi syaratf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Cari dua fungsi sedemikian.

Penyelesaian. Dua tindakan dilakukan pada fungsi yang dikehendaki - operasi menyusun fungsi kompleks dan

penolakan. Memandangkan bahagian kanan persamaan ialah fungsi linear, adalah wajar untuk menganggap bahawa fungsi yang dikehendaki juga linear:f(x) = ax +b , Di manaA Danb adalah pekali yang tidak ditentukan. Menggantikan fungsi ini kef (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , yang merupakan penyelesaian bagi persamaan fungsif (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Kesimpulan.

Kesimpulannya, perlu diingatkan bahawa kerja ini pastinya akan menyumbang kepada kajian lanjut tentang kaedah yang asli dan berkesan untuk menyelesaikan pelbagai masalah matematik, yang merupakan masalah kesukaran yang meningkat dan memerlukan pengetahuan yang mendalam tentang kursus matematik sekolah dan budaya logik yang tinggi. Setiap orang yang ingin mendalami ilmu matematik sendiri juga akan mendapati dalam karya ini, bahan untuk refleksi dan tugasan yang menarik, penyelesaiannya akan membawa manfaat dan kepuasan.

Dalam kerja dalam rangka kurikulum sekolah sedia ada dan dalam bentuk yang boleh diakses untuk persepsi yang berkesan, kaedah pekali tak tentu dibentangkan, yang menyumbang kepada pendalaman kursus matematik sekolah.

Sudah tentu, semua kemungkinan kaedah pekali tak tentu tidak boleh ditunjukkan dalam satu kerja. Malah, kaedah tersebut masih memerlukan kajian dan kajian lanjut.

Senarai sastera terpakai.

Glazer G.I. Sejarah matematik di sekolah.-M.: Pendidikan, 1983.

Gomonov S.A. Persamaan fungsional dalam kursus matematik sekolah // Matematik di sekolah. - 2000 . -№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh.. Manual matematik.- M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Persamaan Algebra Darjah Arbitrari.-M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M. Pengenalan asas kepada persamaan fungsi. - St Petersburg. : Lan, 1997 .

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G. Kamus penerangan istilah matematik.-M.: Enlightenment, 1971

Modenov V.P. Manual Matematik. Ch.1.-M.: Universiti Negeri Moscow, 1977.

Modenov V.P. Masalah dengan parameter.-M.: Peperiksaan, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. Algebra dan analisis fungsi asas.- M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Ia adalah mungkin untuk menyelesaikan lebih mudah // Matematik di sekolah. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Kembangkan polinomial 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 untuk pengganda dengan pekali integer.

5. Pada nilai berapa A X 3 + 6X 2 + Oh+ 12 pada X+ 4 ?

6. Apakah nilai parameterA persamaanX 3 +5 X 2 + + Oh + b = 0 dengan pekali integer mempunyai dua punca yang berbeza, satu daripadanya bersamaan dengan 1 ?

7. Antara punca polinomial X 4 + X 3 – 18X 2 + Oh + b dengan pekali integer terdapat tiga integer yang sama. Cari nilai b .

8. Cari nilai integer terbesar bagi parameter A, di bawah mana persamaan X 3 – 8X 2 + ah +b = 0 dengan pekali integer mempunyai tiga punca yang berbeza, satu daripadanya bersamaan dengan 2.

9. Pada nilai apa A Dan b pembahagian tanpa baki X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Oh + b pada X 2 – 3X + 2 ?

10. Faktorkan polinomial:

A)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 e)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Selesaikan persamaan:

A)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Cari f (X) .

13. Fungsi di= f (X) untuk semua X ditakrifkan, berterusan, dan memenuhi syarat f ( f (X)) = f (X) + X. Cari dua fungsi sedemikian.

Kaedah ini boleh digunakan untuk meminimumkan fungsi algebra logik bagi sebarang bilangan pembolehubah.

Pertimbangkan kes tiga pembolehubah. Fungsi Boolean dalam DNF boleh diwakili dalam bentuk semua kemungkinan ahli gabungan yang boleh dimasukkan dalam DNF:

dengan kн(0,1) ialah pekali. Kaedah ini terdiri daripada memilih pekali sedemikian rupa sehingga DNF yang terhasil adalah minimum.

Jika kita kini menetapkan semua kemungkinan nilai pembolehubah dari 000 hingga 111, maka kita mendapat 2 n (2 3 =8) persamaan untuk menentukan pekali k:

Mempertimbangkan set di mana fungsi mengambil nilai sifar, tentukan pekali yang sama dengan 0, dan padamkannya daripada persamaan, di sebelah kanannya ialah 1. Daripada pekali yang tinggal dalam setiap persamaan, satu pekali disamakan dengan satu, yang menentukan kata hubung pangkat terkecil. Pekali selebihnya disamakan dengan 0. Jadi, pekali unit k tentukan bentuk minimum yang sepadan.

Contoh. Minimumkan fungsi yang diberikan

jika nilai diketahui:
;
;
;
;
;
;
;
.

Penyelesaian.

Selepas memadamkan pekali sifar, kami mendapat:

=1;

=1;

=1;

=1.

Samakan kepada perpaduan pekali , sepadan dengan konjungsi pangkat terkecil dan menukar empat persamaan terakhir kepada 1, dan dalam persamaan pertama adalah dinasihatkan untuk menyamakan pekali kepada 1 . Selebihnya pekali ditetapkan kepada 0.

Jawab: jenis fungsi yang diminimumkan.

Perlu diingatkan bahawa kaedah pekali tidak pasti adalah berkesan apabila bilangan pembolehubah adalah kecil dan tidak melebihi 5-6.

Kubus pelbagai dimensi

Pertimbangkan perwakilan grafik fungsi dalam bentuk kubus berbilang dimensi. Setiap bucu n-kubus berdimensi boleh diletakkan dalam surat-menyurat dengan juzuk unit.

Subset bucu bertanda ialah pemetaan ke n-kubus dimensi bagi fungsi Boolean daripada n pembolehubah dalam SDNF.

Untuk memaparkan fungsi daripada n pembolehubah yang dibentangkan dalam mana-mana DNF, adalah perlu untuk mewujudkan kesesuaian antara istilah mini dan elemennya n-kubus berdimensi.

Miniterm (n-1)-kedudukan
boleh dianggap sebagai hasil daripada melekatkan dua minitherms n-pangkat ke-, i.e.

=

hidup n-kubus dimensi, ini sepadan dengan menggantikan dua bucu yang hanya berbeza dalam nilai koordinat X i menyambungkan bucu ini dengan tepi (tepi dikatakan menutupi bucu kejadian kepadanya).

Oleh itu, istilah mini ( n-1)-tertib ke-berpadanan dengan tepi kubus n-dimensi.

Begitu juga, surat-menyurat miniterms ( n-2)-terdepan ke- n-kubus dimensi, setiap satunya meliputi empat bucu (dan empat tepi).

elemen n-kubus dimensi, dicirikan oleh S ukuran dipanggil S-kiub.

Jadi bucu ialah 0-kiub, tepi ialah 1-kiub, muka ialah 2-kiub, dan seterusnya.

Merumuskan, kita boleh mengatakan bahawa istilah mini ( NS) berpangkat dalam DNF untuk fungsi tersebut n pembolehubah dipaparkan S-kubus, dan setiap satu S-kubus meliputi semua kubus dimensi rendah yang disambungkan hanya pada bucunya.

Contoh. Pada rajah. diberi pemetaan

Di sini miniterms
Dan
sepadan dengan 1-kubus ( S=3-2=1), dan istilah mini X 3 dipetakan kepada 2-kiub ( S=3-1=2).

Jadi, mana-mana DNF memetakan ke n-set kiub dimensi S-kubus yang meliputi semua bucu yang sepadan dengan juzuk unit (0-kubus).

juzuk. Untuk pembolehubah X 1 ,X 2 ,…X n ungkapan
dipanggil konstituen unit, dan
- juzuk sifar ( bermakna sama ada , atau ).

Komponen perpaduan (sifar) ini bertukar menjadi kesatuan (sifar) hanya dengan satu set nilai pembolehubah yang sepadan, yang diperoleh jika semua pembolehubah diambil sama dengan satu (sifar), dan penolakannya - kepada sifar (satu).

Contohnya: unit konstituen
sepadan dengan set (1011), dan juzuk sifar
- set (1001).

Oleh kerana SD(K)NF ialah percabaran (konjungsi) juzuk perpaduan (sifar), boleh dikatakan bahawa fungsi Boolean yang diwakilinya. f(x 1 , x 2 ,…, x n) menjadi satu (sifar) sahaja untuk set nilai pembolehubah x 1 , x 2 ,…, x n sepadan dengan salinan ini. Pada set lain, fungsi ini bertukar kepada 0 (satu).

Pernyataan sebaliknya juga benar, di mana cara mewakili sebagai formula mana-mana fungsi boolean yang ditakrifkan oleh jadual.

Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menulis disjungsi (kata hubung) konstituen satu (sifar) sepadan dengan set nilai pembolehubah di mana fungsi mengambil nilai sama dengan satu (sifar).

Sebagai contoh, fungsi yang diberikan oleh jadual

sepadan

Ungkapan yang terhasil boleh ditukar kepada bentuk lain berdasarkan sifat algebra logik.

Pernyataan sebaliknya juga benar: jika ada yang ditetapkan S-kubus meliputi set semua bucu yang sepadan dengan nilai unit fungsi, kemudian percabaran yang sepadan dengan ini S-kubus miniterms ialah ungkapan fungsi yang diberikan dalam DNF.

Dikatakan bahawa set sedemikian S-kubus (atau istilah mini yang sepadan dengannya) membentuk penutup fungsi. Keinginan untuk bentuk minimum difahami secara intuitif sebagai pencarian untuk penutup sedemikian, nombor S-kubus yang akan menjadi lebih kecil, dan dimensinya S- lebih. Penutup yang sepadan dengan bentuk minimum dipanggil penutup minimum.

Sebagai contoh, untuk fungsi di=
perlindungan sepadan dengan bentuk bukan minimum:

beras a) di=,

salutan dalam rajah b) di=
, beras c) di=
yang minimum.

nasi. Liputan fungsi di=:

a) bukan minimum; b), c) minimum.

Pemetaan fungsi dihidupkan n-dimensi dengan jelas dan ringkas dengan n3. Kubus empat dimensi boleh digambarkan seperti ditunjukkan dalam Rajah., yang memaparkan fungsi empat pembolehubah dan liputan minimumnya sepadan dengan ungkapan di=

Menggunakan kaedah ini untuk n>4 memerlukan pembinaan yang kompleks sehingga kehilangan semua kelebihannya.